数值分析(最小二乘法)模板
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告最小二乘法数值分析实验报告篇一：数值分析+最小二乘法实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析 201X年 4 月 13日篇二：数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二乘法三、程序M文件：sy ms x f; xx=input( 请输入插值节点 as [x1,x2...]\n ff=i nput( 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f 2...]\n m=input(请输入要求的插值次数m= n=leng th(xx); fr i=1:(m+1) syms faix; fai=x^(i-1); fr j=1:n x=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H) *inv(H*(H) syms x; f=0; fr i=1:(m+1) f=f+A(i)*x^(i-1); end f plt(xx,ff, * ) hldnezplt(f,[xx(1),xx(n)])四、结果 sav e and run之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2-1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as[f1,f2...] [-1.76 0.42 1.21.341.432.254.38]请输入要求的插值次数m=3 f =133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 9627370496*x^2+1020815915537309/9007199254740992*x^3五、拓展：最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
基本最小二乘法
基本最小二乘法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：基本最小二乘法（Least Squares Method）是统计学中一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过最小化实际观测值与理论值之间的残差平方和来求得模型参数。
最小二乘法常用于回归分析、拟合曲线以及解决线性方程组等问题。
最小二乘法的核心思想是寻找使得误差的平方和最小的参数估计值。
具体来说，假设有n个数据点(x_1,y_1), (x_2,y_2), …, (x_n,y_n)，要拟合这些数据点，可以假设它们之间存在某种函数关系y=f(x)，通过最小化残差平方和的方法来确定函数f(x)的参数值。
最小二乘法的数学表达式可以用下面的公式来表示：\min_{\beta} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \beta^{T}x_{i})^{2}y_{i}是实际观测值，x_{i}是自变量，\beta是要求解的参数向量。
最小二乘法的优势在于它是一种封闭解的方法，能够直接获得参数的解析解，而不需要通过迭代算法来求解。
最小二乘法对于数据中的离群点具有一定的鲁棒性，能够有效地排除异常值的影响。
最小二乘法在实际应用中有着广泛的应用。
在回归分析中，最小二乘法可以用来拟合数据点并预测新的输出值；在信号处理中，最小二乘法可以用来估计信号的频率和幅度；在机器学习和人工智能领域，最小二乘法也被广泛应用于线性回归、岭回归等算法。
最小二乘法也存在一些限制。
最小二乘法要求数据满足线性关系，并且误差项服从正态分布。
如果数据不符合这些假设，最小二乘法的结果可能会出现偏差。
最小二乘法对数据中的离群点较为敏感，如果数据中存在大量离群点，最小二乘法的结果可能会受到影响。
为了解决最小二乘法的这些限制，人们提出了许多改进的方法。
岭回归（Ridge Regression）和Lasso回归（Lasso Regression）是两种常见的正则化方法，可以在最小二乘法的基础上引入惩罚项来减少模型的复杂度，并提高模型的泛化能力。
数值分析之最小二乘法与最佳一致逼近
这里 ( x) 0是 [a, b]上的权函数，它表示不同点 ( xi , f ( xi ))
处的数据比重不同.
5
S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x) (n m) 用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在
S ( x )中求一函数 y S * ( x)， 使误差取得最小.
23
结果如下：
24
2
用正交多项式做最小二乘拟合
用最小二乘法得到的法方程组，其系数矩阵
n . G是病态的
(
(k 0,1,, n). （5.6） j 0 如果 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是关于点集
k
, j )a j d k
{xi } (i 0,1,, m) 带权 ( xi ) (i 0,1,, m)
4 2.00 8.46 2.135
21
( 0 , y ) yi 9.404,
i 0 4
4
(1 , y ) xi yi 14.422.
i 0
故有法方程
5 A 7.50b 9.404, 7.50 A 11.875b 14.422.
解得
A 1.122, b 0.505, a e A 3.071.
使误差平方和
* 2 [ S ( x ) y ] i i i 0 2 i i 0 m m m
min
S ( x )
2 [ S ( x ) y ] , i i i 0
这里
S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x)
(n m).
y S * ( x) 与所给数据{( xi , yi ), i 0,1,, m} 拟合.
4数值分析之最小二乘法
( 0 , n ) c0 ( f , 0 ) (1, n ) c1 ( f ,1 ) ( n , n ) cn ( f , n )
这个叫正则方程组或法方程组. 如果取的是正交基（正交函数系）则可保证系数矩阵是对角阵.
c dx
b a i i 1 i 0
n
b
a
f 1dx
b
c
i i 0
n
b
a
i1dx f 1dx
a
连续函数的最佳平方逼近
c
i i 0
n i i 0
n
b
a
i1dx f 1dx
a
1 1
b
c ( , ) ( f , )
a b 1 2
g
[ห้องสมุดไป่ตู้( xi ) g 2 ( xi )]1/2
i 1
m
最小二乘法
在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数 据: ( xi , yi ) (i 1,2,...m) ,求曲线y=f(x)的近似 曲线.
2
f ( x ) g ( x ) ( xi )[ f ( xi ) g ( xi )]
1 0) c0 2 / 3) 0 1 / 12 c 1 / 15 1 c0 10 / 15) c 12 / 15 1
对角阵
例题
10 12 g ( x) 1( x) 0 ( x) 15 15 10 12 ( x 1 / 2) 15 15 4 12 x 15 15
连续函数的最佳平方逼近
f(x) - g (x) = min f(x) - g(x)
数值分析15(最小二乘法1)
x
k 1
m
k
y1 x a0 y2 n xm an y mm y k m k 1 n x k m a k 1 0 x k yk
一个无解的方程组称为不相容。许多情况下方程 个数大于未知量个数使解不大可能满足所有的方程。 定义: 一个方程组称为相容方程(consistent equation),若 至少存在一个解能够严格满足该方程组。 定理: 线性方程Ax=b是相容的当且仅当增广矩阵的秩 等于矩阵A的秩, 即rank([A,b])=rank(A) 。
T T
20:23
10/43
1 1 2 例2 x1 1 1 1 x 2 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 T A A 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 x 3 1 1 1 1 6 1 T A b 1 1 1 1 4 1 3 x2 3 0.5 残差( residuals )r b Ax 0 2 20:23 2 2 2 r 2 r1 r2 r3 ( least squares ) 0.5
20:23
2/43
离散数据的拟合 x x1 f(x ) y1
求拟合函数:
x2 y2
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
c1 c2 x1 y1 c1 c2 x2 y2
( x ) c1 c2 x
y1 1 x1 1 x c y 1 2 2 Ac=y c2 1 x m ym
数值分析 最小二乘a
整理并代入表中的数据得：
2 y a ( x ) a ( xi ) a 0 i 1 i 1 i 1 i 1 6 6 6 6 2 3 x y x a ( xi ) a ( xi ) a 0 i 1 i 1 i 1 i 1 6 6 6 6 4 xi2 y xi2 a ( x3 i ) a ( xi ) a 0 i 1 i 1 i 1 i 1
(1)(,g)=(g,);
(2)(c,g)=c(,g); (3)(1+2,g)=(1,g)+(2,g);
若(,g)=0,称(x)与g(x)正交 ,记为g .
利用内积可以定义函数的平方模
f
2
(f, f)
b
a
f 2 ( x)dx
函数的平方模满 足 (1) 20,而且2=0(x)=0;
x
x ax b m xi 2 求 a 和 b 使得 (a, b) (ax b yi ) 最小。 i i 1
方案一：设 y P ( x )
it easy! We But Take hey, the system ofjust 线性化 /* linearization */：令 Y 1 , X 1 ，则
i 1
[
]
2
2
j 0
n
m
aj
x
i 1
jk i
m
i 1
m
yi xik
记 bk x , ck yi xik
i 1 k i i 1
m
b0 0 . . . b n 0
数值计算方法最小二乘法
数值计算方法最小二乘法最小二乘法，这个名字听上去挺严肃的，实际上它的作用可大了，简直是数据分析的小魔法。
想象一下，你在开车，路上有个小伙伴总是在给你指路，结果他指的方向总是让你偏离目标，心里那个急啊，简直想把他“丢”到窗外去。
可是，最小二乘法就是在帮助你找出那个最靠谱的路线，省得你每次都得绕远路。
说到最小二乘法，它的核心思想就像是“找最小的差距”。
你有没有想过，为什么你总是对着一堆数据发愁？其实就像拼图一样，有些数据就像拼图的边缘，而最小二乘法就是帮你找到那几块最适合的，让整个画面更完整。
想象一下，数据就像是跳跃的小猴子，东奔西跑，最小二乘法就是个聪明的猎手，能把这些猴子都抓到一起，形成一个完美的画面。
最小二乘法是怎么工作的呢？好比你在找人合影，大家的身高都不一样，你想把所有人都照得美美的。
最小二乘法就像是个高个子的摄影师，他会站在一个合适的角度，确保每个人都在最佳的光线下。
通过调整每个人的位置，减少那些因角度不佳造成的“失真”，最终拍出一张人人满意的合照。
在实际应用中，这个方法简直是无处不在。
你可以想象一下，当你在听一首歌，旋律时而高亢，时而低沉，那些音符有时候就像是散落的星星。
最小二乘法就像一个调音师，帮你把这些音符都调整到一个和谐的旋律，听起来更动听，打个比方，就像把一锅乱炖的菜，调成了一道美味的汤。
最小二乘法在科学研究中也发挥着重要的作用。
比如说，科学家们想要测量地球的温度变化，就得用到这些数据。
最小二乘法就像是一位智慧的老者，能通过历史的数据，预测未来的变化，简直厉害得让人瞠目结舌。
学会最小二乘法并不是一朝一夕的事儿。
你得对数据有一定的敏感度，就像一位优秀的厨师，能够根据食材的特点，调配出不同的味道。
最小二乘法也需要你不断尝试和练习，才能在数据的海洋中游刃有余。
不过，最小二乘法的魅力不仅在于它的应用，还在于它带来的思维方式。
它教会我们如何从复杂中找出简单的规律，像是在找宝藏一样，挖掘出数据背后的故事。
昆明理工数值分析大课后复习最小二乘法
数值分析实验报告课题八曲线拟合的最小二乘法一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
二、实验要求t(分）0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y(×10-4)0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.641、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为ϕ( t) = a1t + a2t 2 + a3t 3；3、打印出拟合函数ϕ(t)，并打印出ϕ(t j )与y(t j)的误差，j = 1,2,",12 ；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、* 绘制出曲线拟合图﹡。
三、实验目的1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验原理——最小二乘法拟合在函数的最佳平方逼近中f(x)∈[a,b],对已知函数f(x)的一组离散数据{(xi,yi),i=0,1,…m}，yi=f(xi)，求函数拟合S*(x),记误差δi=S*(xi)-yi 要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,⋅⋅⋅=的曲线拟合，这里()()m i x f y i i ,,1,0⋅⋅⋅==，要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,⋅⋅⋅=拟合，若记误差()()()T m i i i m i y x S δδδδδδ,,,,,,,1,0210*⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-=，设()()()x x x n ϕϕϕ,,,10⋅⋅⋅是[]b a C ,上线性无关函数族，在()()(){}x x x span n ϕϕϕϕ,,,10⋅⋅⋅=中找一函数()x S *,使误差平方和()[]()()[]22*222min ∑∑∑=∈==-=-==mi i i x S mi mi i i iy x S y x S ϕδδ， （4.1）这里()()()()()m n x a x a x a x S <111100ϕϕϕ+⋅⋅⋅++=. （4.2）这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
昆明理工数值分析大作业最小二乘法
数值分析实验报告课题八曲线拟合的最小二乘法一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
二、实验要求t(分）0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y(×10-4)0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.641、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为ϕ( t) = a1t + a2t 2 + a3t 3；3、打印出拟合函数ϕ(t)，并打印出ϕ(t j )与y(t j)的误差，j = 1,2,",12 ；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、* 绘制出曲线拟合图﹡。
三、实验目的1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验原理——最小二乘法拟合在函数的最佳平方逼近中f(x)∈[a,b],对已知函数f(x)的一组离散数据{(xi,yi),i=0,1,…m}，yi=f(xi)，求函数拟合S*(x),记误差δi=S*(xi)-yi 要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,⋅⋅⋅=的曲线拟合，这里()()m i x f y i i ,,1,0⋅⋅⋅==，要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,⋅⋅⋅=拟合，若记误差()()()T m i i i m i y x S δδδδδδ,,,,,,,1,0210*⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-=，设()()()x x x n ϕϕϕ,,,10⋅⋅⋅是[]b a C ,上线性无关函数族，在()()(){}x x x span n ϕϕϕϕ,,,10⋅⋅⋅=中找一函数()x S *,使误差平方和()[]()()[]22*222min ∑∑∑=∈==-=-==mi i i x S mi mi i i iy x S y x S ϕδδ， （4.1）这里()()()()()m n x a x a x a x S <111100ϕϕϕ+⋅⋅⋅++=. （4.2）这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
数值分析之最小二乘法与最佳一致逼近
就要求矩阵 G非奇异，
而 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)在 [a, b]上线性无关不能推出 矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
定义10
设 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) [a, b]的任意线
性组合在点集 {xi , i 0,1,, m}(m n) 上至多只有 n 个
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,, m} 上给定，这就是科
学实验中经常见到的实验数据 {( xi , yi ), i 0,1,, m}的
曲线拟合.
1
问题为利用 yi f ( xi ), i 0,1,, m, 求出一个函数
y S * ( x) 与所给数据{( xi , yi ), i 0,1,, m} 拟合.
13
令 S1 ( x) a0 a1 x, 这里 m 4, n 1, 0 ( x) 1, 1 ( x) x, 故
( 0 , 0 ) i 8,
i 0 4
( 0 , 1 ) (1 , 0 ) i xi 22,
i 0
4
(1 , 1 ) i xi2 74,
这样就变成了线性模型 .
19
例2
设数据 ( xi , yi )(i 0,1,2,3,4) 由表3-1给出，
表中第4行为 ln yi yi ,通过描点可以看出数学模型为 及 b. y aebx , 用最小二乘法确定 a
表3 1 i xi yi 0 1.00 5.10 1 1.25 5.79 2 1.50 6.53 3 1.75 7.45 4 2.00 8.46
4
S ( x ) 的一般表达式为线性形式.
若 k ( x)是 k 次多项式，S ( x ) 就是 n 次多项式. 为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中 S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x) (n m) 考虑加权平方和
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析2012 年 4 月 13 日数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形二、方法最小二乘法三、程序M文件： syms x f;xx=input(‘请输入插值节点as [x1,x2...]\n’);ff=input(‘请输入插值_ __________________ ___________________ ___________________ ___________________实验一MATLAB在数值分析中的应用插值与拟合是来源于实际、又广泛应用于实际的两种重要方法随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，它们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色下面对插值中分段线性插值、拟合中的最为重要的最小二乘法拟合加以介绍分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi) 一维插值◆yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值x为节点向量值，y为对应的节点函数值如果y为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或xi 的维数，则返回NaN ◆ yi=interp1(y,xi)此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1) ◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)method用来指定插值的算法默认为线性算法其值常用的可以是如下的字符串nearest 线性最近项插值linear线性插值spline 三次样条插值贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告1. 对函数f(x)?,哪一种曲线拟合较好?为什么?能找出更好的拟合曲线吗?七、总结1、从图像可以看出用lagrange插值函数拟合数据中间拟合的很好，但两边与原函数图象相比波动太大，逼近效果很差，出现所谓的Runge现象2、从图像可以看出用最小二乘法去拟合较少的数据点，曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好3.一般情形高次插值比低次插值精度高,但是插值次数太高也不一定能提高精度.八、附录1、M文件：function cy=Lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx);cy=zeros(1,m);for k=1:n+1t=ones(1,m);for j=1:n+1if j~=kt=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));endendcy=cy+y(k).*t ;end>> x=-5::5;>> y=1./(x. +1);>> plot(x,y)>> n=10;>> x0=-5:10/n:5;>> y0=1./(1+x0. );>> cx=-5::5;>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);>> hold on>> plot(cx,cy)e1 =xxxx大学数值分析实验报告题目：学院：专业：年级：学生姓名：学号：日期：曲线拟合的最小二乘法xxxx学院xxxxxxx xxxx级xxx xxx 2014年12月24日课题八曲线拟合的最小二乘法一、问题的提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘拟合求得拟合曲线在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求出含碳量y与时间t的拟合曲线0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55t(分)y(x10?4)0 二、要求1、用最小二乘法进行曲线的拟合；2、近似表达式为：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3；?(t)，3、打印出拟合函数：并打印出?(tj)与y(tj)的误差，其中j?1,2,3,?,12；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、*绘制出拟合曲线图；三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线性方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合进精度间的关系；四、MATLAB2011a简介及算法介绍MATLAB2011a本实验是基于MATLAB2011a软件平台进行程序设计MATLAB2011a是一款将数据结构、程序特性以及图形用户界面完美地结合在一起的一款强大的软件MATLAB的核心是矩阵和数组，在MATLAB2011a中，所有的数据都是以矩阵或数组的形式来表示和存储的MATLAB2011a提供了常用的矩阵代数运算功能，同时还提供了非常广泛的、灵活的数组运算功能，用于数据集的处理MATLAB的编程特性与其他高级语言类似，同时它还可以与其他语言(如Fortran和C语言)混合编程，进一步扩展了自身的功能这次作业课题，主要采用了MATLAB语言进行程序的编写，误差计算，拟合函数的输出，以及拟合曲线(1)和拟合曲线(2)与原离散数据点在一个图形界面中的现实的显示最小二乘拟合法在函数的最佳平方逼近中f(x)?C[a,b],如果f(x)只在一组离散的点集?xi,i?0,1,2,3,?,m?上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?的曲线拟合，这里yi?f(xi)(i?0,1,2,3,?,m)，要求一个函数y?S*(x)与所给数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?拟合若记误差?i?S(xi)?yi(i?0,1,2,3,?,m),??(?0,?1,?2,?3,??m)T,设?0(x),?1(x),?,?n(x)是*?C[a,b]上线性无关的函数族，在??span??0(x),?1(x),?,?n(x)?中找一个函数S*(x)使误差平方和??这里22[S(xi)?yi]?min?[S*(xi)?yi]2, ()2i*2i?0i?0s(x)??i?0mmmS(x)?a0?0(x)?a1?1(x)?a2?2(x )?a3?3(x)??an?n(x) (n?m). () 这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法. 用最小二乘法拟合曲线时，首先要确定S(x)的形式，这不是单纯的数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得到的观测数据(xi,yi)有关；通常要从问题的运动规律或给定的数据描图，确定S(x)的形式，并通过实际计算选出最好的结果——这点将从下面的例题得到说明. S(x)的一般表达式为()式表示的线性形式.若?k(x)是k次多项式，S(x)就是n次多项式为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中都考虑加权平方和2?2??22(xi)[S*(xi)?yi]2. ()i?0m 这里?(x)?0 (i?0,1,2,3,?m)是[a,b]上的权函数它表示不同的点(xi,yi)处的数据比重不同，列如：?(xi)可以表示点(xi,yi)处的重复观测次数用最小二乘法拟合曲线的问题，就是在形如()式的S(x)中求一函数y?S(x),使()式取得最小值它转化为求取多元函数*I(a0,a1,?an)(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]2i?0j?0mn***的极小点(a0,a1,?,an)的问题这与多元函数求极值的必要条件的问题一样，则有：mn?I?2??(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]?k(xi)?0k?0,1,2,?,n. ?aki?0j?0若记(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi),()i?0mm(f,?k)(xi)f(xi)?k(xi)?dk,k?0,1,2,3?,n, ()i?0上式可以改写为：?(?j?0mk,?j)aj?dk, k?0,1,2,3?,n, ()线性方程组()称为法方程，可以将其写成：Ga?d其中??Ta?(a0,a1,?a2),d?(d0,d1,?dn)T,(0,0)(0,1)(,)(,)11G10(n,0)(n, 1)(0,n)(n,1)() (?n,?n)?五、课题分析拟合近似表达式：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3的最高次数为三次，我们知道当拟合多项式的最高次数n?3时，与连续的情形一样，在求解法方程Ga?d的过程中，会出现系数矩阵(格拉姆矩阵)G为病态的问题但是如果?0(x),?1(x),?2(x),?,?n(x)是关于点集?xi?(i?0,1,2,?,m)带权?(xi)(i?0,1,2,?,m)正交的函数族，即：0,jk,()(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi)??i?0?Ak?0,j?k,m则法方程的解为：(f,?k)?(?k,?k)*ak(x)f(x)?iii?0mk(xi),k?0,1,2,?,n ()??(x)?ii?0m2k(xi)这样就能避免求解格拉姆矩阵，也不会在求解线性方程组是就不会出现病态问题现在我们需要根据给定的节点x0,x1,?xm及权函数?(xi)?0,造出带权?(xi)正交的多项式?Pn(x)?.注意n?m，用递推公式表示Pk(x),即：?P0(x)?1,?() ?P1(x)?(x??1)P0(x),?P(x)?(x??)P(x) P(x),k?1,2,3,?,n?1.k?1kkk?1?k?1这里Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，根据Pk(x)的正交性，得：m??(xi)xiPk2(xi)??(xPk(x),Pk(x))??k?1?i?0?m?(Pk(x),Pk(x))2?(x)P(x)?iki?i?0??(xPk,Pk),k?0,1,2,3,?,n?1, () ??(P,P)kk?m??(xi)Pk2(xi)??(Pk,Pk)i?0?,k?1,2,3 ,?,n??k(Pk?1,Pk?1)?(xi)Pk2?1(xi)??i?0?用正交多项式?Pk(x)?的线性组合做最小二乘曲线拟合，只要根据公式()和()逐步求Pk(x)得同时，相应计算出系数(f,Pk)*ak??(Pk,Pk)??(x)f(x)P(x)iikii?0m??(x)Pii?0m, k?0,1,2,?,n，()2k(xi)*并逐步把ak,Pk(x)累加到S(x)中去，最后就会得到所求的拟合曲线。
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2019730059 专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y 的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）1 / 13（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi， yi） i＝1， 2，， N。
都对应于 xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f （x；c1，c2，cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，， m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然Nm 时，参数不能确定。
在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
数值分析 第七章最小二乘法
∑ [ϕ ( xi ) − f ( xi )] ρ ( xi )
2
m
达到最小
(1) 线性无关； ( 2 ) Φ中的任一函数ϕ ( x ) 都可由这n+1个函数线性表示. 这n+1个函数称为Φ的一个基。可记为Φ =span {ϕ0 , ϕ1,L , ϕn }
如n次多项式全体作为一个函数类, 1, x, x ,L , x 就是它的一个基,任意一个n次多项式都由它线性表示.
5
例
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f ( xi ) 3.8
6.3 7.9 8.6 9.2
9.5 9.7 9.9 10.1 10.2
用最小二乘法求拟合曲线. 现选取三种不同的曲线类型： 1. y1 = a + bx + cx 2 ;
x 2. y2 = ; a + bx 3.
b ae x
6
数据的平移与压缩 为了简化计算,减少计算误差有时对数据表可以进行平移和压缩. 例:从1870年开始,100多年来地球大气温度上升的数据如下, 试用最小二乘法预测:照此增长方式,到哪一年地球温度将 比1870年增高7度.(设年份与 温度增高的关系为指数函数)
8
最小二乘法的矩阵形式 设:给出 ( xi , yi ), i = 1, 2,L , m. Φ = span{ϕ0 , ϕ1 ,L , ϕ n } 现在要求 a0 , a1,Lan 可令: ϕ ( x ) ϕ ( x ) 0 1 1 1 ϕ (x ) ϕ (x ) 1 2 A= 0 2 L L ϕ0 ( xm ) ϕ1 ( xm )
L ϕn ( x1 ) y1 r L ϕn ( x2 ) u y2 y= M L L L ϕn ( xm ) ym ur T 则最小二乘法的法方程组就可以写为: A AC =
数值分析课件Chapter7曲线拟合与线性最小二乘问题.ppt
可以验证 x GT (GGT )1(F T F )1 F T b
是法方程组的一个解，故是原方程组的一个最小二乘解
推论7.1.2 若 rankA ，r则方n程组
有无穷多个最小二乘解。
Ax b
Def 2 方程组 Ax b 的所有最小二乘解中2-范数最小
8.9
8.5
10
4
3.5
22
9
8
11
4.5
4.2
23
9.5
8.1
12
4.6
3.5
24
10
8.1
可以看出,纤维强度随 拉伸倍数增加而增加
并且24个点大致分 布在一条直线附近
因此可认为强度与 拉伸倍数之间的主 要关系是线性关系
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y ( x ) a bx
该直线称为这一问题的数学模型。
线性无关，下面讨论正交分解的具体实现方法。
记 A [a1, a2 , , an ]，Q [q1, q2 , , qr ] 其中 a1, a2 , , ar线性无关，q1, q2 , , qr两两正交。
Gram-Schmidt正交化方法： 由 A QU 得
a1 u11q1 a2 u12q1 u22q2
y a bx c 1 x
1( x) 1;
2(x)
x;
3(x)
1 x
三、最小二乘问题解的存在性、唯一性
Def 1 设 A R，m若n 存在 x 精R确n地满足
数值分析3-4(最小二乘法)
按某种标准最小。
度量标准不同，将导致不同的拟合结果，常用的准则有如下三种：
(1)使残差的最大绝对值为最小
max i
ei
max i
yi
F(xi )
min
(2)使残差的绝对值之和为最小
ei min i
(3)使残差的平方和为最小
ei2 min i
A 4.48072, b 1.0567 a e A 11.3253103
y 11.3253 103 e1.0567t F (2) (t )
请回答: 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？ 答：只要分别计算这两个数学模型的误差，从中挑选误差较小的模型即可。
本例经过计算可得
max i
|
(1) i
三、求解步骤
确定拟合曲线的形式 确定变量对应的数据
确定法方程 求解法方程
最困难！
四、举例
例1. 已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.
xi
1
2
3
4
5
fi
4 4.5 6
8 8.5
ωi
21311
解
根据所给数据，在坐标纸上标出，从图中看到各点在一条直线附近，故
可选择线性函数作拟合曲线，即令
S1( x) a0 a1 x
|
0.568
103
, max i
可由原始数据
计算出来。
拟合S数1(据x) a bx
。
( xi , yi ) (i 1,...,16) ( xi , yi )
(ti , yi )
这里0( x) 1,1( x) x 可求得 (k , j ),( y,代j入),法j方, 程k 得 0,1
数值分析大作业曲线拟合的最小二乘法
数值分析上机作业实验报告专业：建筑与土木工程姓名：学号：联系电话：课题四 曲线拟合的最小二乘法一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量 y 与时间t 的拟合曲线。
二、要求1 、用最小二乘法进行曲线拟合；2 、近似解析表达式为()t ϕ=a 1t+a 2t 2+a 3t 33 、打印出拟合函数()t ϕ，并打印出()tj ϕ与()y tj 的误差，j=1,2...，12：4 、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5 、* 绘制出曲线拟合图﹡。
三、目的和意义1 、掌握曲线拟合的最小二乘法；2 、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3 、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验结果：1.用最小二乘法做出的曲线拟合为三次多项式a1= -0.0052 ，a2= 0.2634 ，a3= 0.0178。
()tϕ= (-0.0052) t+ (0.2634) t2 + (0.0178) t3三次多项式的误差平方和=0.2583。
图形为：图形上红线表示拟合曲线，*表示实验所给的点。
源代码为：x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%b1= polyval(a1,x)r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%hold onplot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%（说明本程序调用了MATLAB中的函数polyfit、polyval、plot）2.另外选取几个近似表达式：主要选取6次、9次和12次的拟合表达式。
数值分析(最小二乘法)模板
9/46
不相容方程解的存在性
Ax b
x arg min || Ax b ||2 2
x
不相容方程的最小二乘解总是存在的。 证明: 即证明正规方程是相容方程。 rank([ATA, b])=rank(ATA)
设rank( A) k , 则rank( AT A) rank( AT ) rank( A) k , rank([ AT A, AT b]) rank( AT A) k 由于[ AT A, AT b] AT [ A, b], 故rank([ AT A, AT b]) min{rank( AT ),rank([ A, b])} rank([ AT A, AT b]) k 综上所述 ,rank([ AT A, AT b]) rank(AT A) k
其中Fk 为 Frobenius矩阵。
A=F1-1F2-1 · · · · · · Fn-1-1 A(n – 1) L U
1 m 21 L 1 m n1 m n , n 1
19:25
1
a11 U
a12 (1) a 22
定理 矩阵A列满秩时, 最小二乘解唯一x= (ATA ) -1ATb。
19:25
11/46
不相容方程解的唯一性 是否存在某种意义下的唯一性? 最小范数最小二乘解 (minimum norm least squares solution)
若存在G满足 Gb 2 x 2 其中x {x : Ax b 2 Az b 2 z }, 则称Gb 是最小范数最小二乘解, G称为最小范数最小二乘广义矩阵。
a1n (1) a2 n ( n 1 ) a nn
数值分析(21)离散数据的最小二乘拟合.ppt
由 函 数 ( x ) 和 点 集定 x , x , . . . x 义 一 个 向 量 j 0 1 m
j ( x0 ) j ( x1 ) m1 j R , j 0,1,..., n ( x ) j m
第三节 离散数据的最小二乘曲线拟合
一、问题的提法与计算
给定m 1个数据点 xi x0 , x1 , , xm , f ( xi ) f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xm ), 及权系数0 , 1 , ..., m ,并已知函数模型s( x , c )。用给 定的数据点，按给定的函数模型，构造拟合函数s( x ) 逼近未知函数f ( x ), 使
线 性 最 小 二 乘 问 题 ： 求 矛 盾 方 程 组 A C Y 的 最 小 二 乘 解 。
数值分析
连续函数最佳平方逼近问题的一般提法
* 在 中 寻 找 一 个 函 数 sx () c () x j j n
在 内 积 空 间 C [ a , b ] 中 ， 设 f ( x )[ C a , b ] , 但 f ( x ),
T T 0 T 0 0 T 1 A A 0, 1,..., n T T n 0 n (0 ,0 ) (0 ,n) T 0 n
d e t (A )
1 x 0 1 x 1
n x 0 n x 1
1 j i n
(x x )0
i j
n
n 1 x x n n n 1 所 以是 , , . . . , R 中 线 性 无 关 的 向 量 组 。 0 1 n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3/46
19:25
离散数据的线性拟合 x x1 x2 f(x ) y1 y2
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
求拟合函数: ( x ) a00 ( x) a11 ( x)
0 ( x1 ) 1 ( x1 ) 0 ( xm ) 1 ( xm ) y1 n ( x1 ) a0 y2 n ( xm ) an y m
( u1 , vk ) ( u1 , u1 )
uk -1 +uk
23/46
Gram-Schmidt正交化的矩阵编码
v1 u1 v2 v3 vk
( u1 , v2 ) ( u1 , u1 ) ( u1 , v3 ) ( u1 , u1 )
u1 u2 u1 ( u22 ,u32 ) u2 u3 u1
19:25 pinv(X)*y, norm(X\y) , norm(pinv(X)*y) X\y,
14/46
1范数意义下的残差最小
Sparse and Redundant Representations:
参考文献:
From Theory to Applications in Signal and Image Processing
定理: Gb是不相容矩阵的最小范数最小二乘解当且仅当 AGA=A, (AG)H=AG, GAG=G, (GA)H=GA。
注释: 最小范数最小二乘广义矩阵即Moore-Penrose矩阵。
19:25
12/46
总结 相容方程
Ax b Ax b
arg min Ax b
x 2 2
矩阵可逆则解唯一, 如果矩阵秩亏损的情形, 则所有解 中有唯一的最小范数解。
19:25
1 1 2 1 1 x1 1 x 2 3 3 9
18/46
1.7500 0.7500 1.9500 0.9500
直接方法: 高斯消元法
A(n – 1) = Fn-1Fn-2· · · · · · · F1 A
定理 矩阵A列满秩时, 最小二乘解唯一x= (ATA ) -1ATb。
19:25
11/46
不相容方程解的唯一性 是否存在某种意义下的唯一性? 最小范数最小二乘解 (minimum norm least squares solution)
若存在G满足 Gb 2 x 2 其中x {x : Ax b 2 Az b 2 z }, 则称Gb 是最小范数最小二乘解, G称为最小范数最小二乘广义矩阵。
19:25
15/46
最小二乘拟合问题研究包括:
模型的选取
存在唯一性 最小二乘解的计算
19:25
16/46
为什么不直接求解正规方程?
正规方程(normal equation) AT Ax AT b
A Rmn , 其中m n, AT Ax AT b注意AT A Rnn cond ( A A) (cond ( A))
Matlab: pinv (Pseudoinverse) 比较back slash和pinv的区别。
1 2 3 16 4 5 6 17 X 7 8 9 , y 18 10 11 12 19 13 14 15 20
2/46
离散数据的多项式拟合 x x1 x2 f(x ) y1 y2
求拟合函数:
1 1
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
n
( x) a0 a1 x
x1 xm
n 1
an x
y1 x a0 y2 n xm an y m
19:25
9/46
不相容方程解的存在性
Ax b
x arg min || Ax b ||2 2
x
不相容方程的最小二乘解总是存在的。 证明: 即证明正规方程是相容方程。 rank([ATA, b])=rank(ATA)
设rank( A) k , 则rank( AT A) rank( AT ) rank( A) k , rank([ AT A, AT b]) rank( AT A) k 由于[ AT A, AT b] AT [ A, b], 故rank([ AT A, AT b]) min{rank( AT ),rank([ A, b])} rank([ AT A, AT b]) k 综上所述 ,rank([ AT A, AT b]) rank(AT A) k
a1n (1) a2 n ( n 1 ) a nn
19/46
矩阵LU分解是高斯消元法的矩阵编码。
回顾:
不相容Ax b
m n
超定方程Ax b, 其中A R
x
,m n
最小二乘解 x arg min || Ax b ||2 （least squares） 2
T 2
1 1
x1 xm
1 1 2 1 1 T X 0 , X X 2 1 1 19:25 0
y1 x a0 y2 n xm an y m
|| y || || Qx || || x ||
2 2 2 2
x 2 2
2 2
2 2
x arg min || QAx Qb || arg min || Rx Qb ||
x
19:25
21/46
—— Gram-Schmidt正交化——
u1 v1 u2 v2 u3 v3 uk vk
( x ) c1 c2 x
y1 1 x1 1 x c y 1 2 2 Ac=y c2 1 x m ym
超定方程组
c1 c2 xm ym
19:25
19:25
10/46
定理 如果矩阵A 列满秩, 则ATA可逆。
证明 : 如果矩阵列满秩则矩阵列向量1 , 2 , 线性无关, 则对于任意的非零向量c Ac c11 c2 2 cn n 0, 进一步有对任意非零向量c A Ac 0,
T T
, n
因为矩阵AT A正定, AT A可逆。
—— Gram-Schmidt正交化——
v1 u1 v2 v3 vk
19:25
( u1 , v2 ) ( u1 , u1 ) ( u1 , v3 ) ( u1 , u1 )
u1 u2 u1 u1
( u2 , v3 ) ( u2 , u2 )
u2 u3
( uk 1 , vk ) ( uk 1 , uk 1 )
19:25
( u1 , v2 ) ( u1 , u1 ) ( u1 ,v3 ) ( u1 , u1 )
u1 u1 u1
( u2 , v3 ) ( u2 , u2 )
u2
( uk 1 , vk ) ( uk 1 , uk 1 )
( u1 ,vk ) ( u1 , u1 )
uk -1
22/46
19:25
8/46
相容方程解的唯一性 是否存在某种意义下的唯一性?
最小范数解(minimum norm solution):
如果存在G满足 Gb 2 = min x 2 , 则称Gb为相容方程的最小范数解,
Ax b
广义逆矩阵G为最小范数广义逆矩阵。
定理: Gb是相容矩阵的最小范数解当且仅当 AGA=A, (GA)H=GA。 参考: 张贤达, 矩阵分析与应用, 清华大学
初等变分原理 arg min Ax b 2 AT Ax AT b ( normal eqaution )
x 2
19:25
20/46
正交矩阵QTQ=QQT=I 半正交矩阵QTQ=I(列正交)或QQT=I (行正交)
回顾:正交矩阵乘向量,则向量2范数不变。 QTQ= I , y =Qx
yT y (Qx)T (Qx) xT QT Qx xT x
如果m =n且A非奇异, 则方程的解为x A-1b。一个自然的问题是在 m n和A为秩亏缺( rank ( A) min{m , n})的情况下是否存在一个与 x A-1b相类似的解, 比如x Gb是相容方程的解?
定理: 相容方程Ax=b对y不等于零有解x=Gb当且仅当 AGA=A。(G称为是A的广义逆generalized inverse)
《数值分析》 16
最小二乘解的存在唯一性
最小二乘解的数值方法
19:25
1/46
离散数据的直线拟合 x x1 x2 f(x ) y1 y2
求拟合函数:
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
c1 c2 x1 y1 c1 c2 x2 y2
ann ( x)
超定方程组
19:25
4/46
回顾:
Ax b
m n
2 2
超定方程Ax b, 其中A R
x
,m n
最小二乘解 x arg min || Ax b ||（next best）
初等变分原理 arg min Ax b 2 AT Ax AT b ( normal eqaution )
1 k ( ukk1 , uk 1 ) uk -1 +uk