第5章微分方程模型
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
微分方程(模型)
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x (t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) 2 (100 t )
微分方程模型
重庆邮电大学
数理学院
引言
微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。
在研究某些实际问题时，经常无法直接得 到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关 于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技 术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去， 其影响是广泛的。
四. 悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 l ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软 的，
y x 2 2.
微分方程的几个应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一. 嫌疑犯问题
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
培训资料--微分方程模型人口模型等
x0
x0 0
t
人口发展方程
• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
F(r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数 r ( ) ~ 最高年龄
m
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) m p(r, t) F r
人口发展方程
f
(t
)
(t
)r2 r1
h(r,
t
)k
(r,
t
)
p(r,
t
)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p 0
(r
r
t)e (s)ds r t r
,
0
t
r
f (t r)e0(s)ds , t r
p0 (r)
• 正反馈系统
(r,t) p(r,t)dt, dt dr1
p p (r,t) p(r,t) 一阶偏微分方程
r t
p
r
p t
(r, t )
p(r, t )
人口发展方程
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t)
f
(t ),
t0
~生育率（控制人口手段）
p0 (0) f (0) --------相容性条件
b(r,
t)k
(r,
t)
p(r,
t)dr
b(r,t) (t)h(r,t)
0
r2 r1
h(r , t )dr
1
h~生育模式
(t)
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
第五章 微分方程模型讲1
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
第5章微分方程与差分方程
回答这个问题并不重要, 重要的是要会求解 它,它可变形为
微分方程的解 微分方程的解是指能使微分方程成为恒等式
的已知函数. 微分方程的通解：含有 n 个相互独立的任意
常数的解,其中 n 是微分方程的阶数.
初值条件：确定通解中 n 个任意常数的条件. 微分方程的特解：满足初值条件的本概念 定义 凡含有自变量、未知函数及其微商(或
微分)的方程,称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分
方程,否则称为偏微分方程. 本书只讨论常微分方程，以后所说的微分方
程都是指常微分方程. 微分方程中未知函数微商的最高阶数称为微
分方程的阶.
线性微分方程 未知函数及其各阶微商都是一次的微分方
第5章 微分方程与差分方程
重点：微分方程的解法 难点：建立微分方程模型
5.1 微分方程基础 5.1.1 实际背景
建立这一问题 的数学模型如下：
微分方程 初值条件
指数增长模型 设人口数量N(t)的增长速度与
现有人口数量成正比, 求N(t). (P247)
设开始时人口数量为N0, 年增长率为r,建立这一问题 的数学模型如下：
5.4.3 二阶常数线性差分方程
二阶常系数非齐次线性差分方程
5.4.4 差分方程的应用(离散模型) 令yn = 0得
离散阻滞增长模型
市场经济中的蛛网模型
稳定的蛛网模型
p
p1 p3
1 5
p0
p2
4
g 62
3 f
O q1 q3 q0 q4 q2
q
不稳定的蛛网模型
pf
pp13
5 1
p0
p2
4
在求解微分方程时,要注意其初值条件. 求解得到结果时，一般要解释结果的实际意 义. 例如指数增长模型比较适用于短期预测,而 不太适用于长期预测,因为当时间变量趋于无穷 大时，所研究的变量趋于无穷大,这与实际是不 相符的.
微分方程模型-药物中毒急救模型(附matlab编程)
100μg/ml浓度会出现严重中毒, 200μg/ml浓度可致命.
医生需要判断：
（1）孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml？
（2）如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案？
调查与分析
口服药物
胃肠道 药量x(t)
转移速率
和x成正比
血液系统
体外
了解药物的半衰期，可以帮助制定合理的用药 间隔，并且可以预知药物在体内的变化趋势。
调查与分析
通常，血液总量约为人体体重的7 % ~8%，体重 50~60 kg的成年人有4000ml左右的血液. 目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为 其血液总量约为2000ml.
调查与分析
临床施救的办法
• 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率 增加到原来（人体自身）的2倍.
在t=0瞬间进入胃肠道.
dx x, x(0) 1100
dt
y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度与y(t)
成正比(比例系数μ) , t=0时血液中无药物.
dy x y, y(0) 0
dt
模型求解
dx x, x(0) 1100
dt
药物吸收的半衰期为5 h
x(t) 1100et
2. 血液系统中药物的排除速率与y(t) 成正比，比例系数 μ(>0)，t=0时血液中无药物.
3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h.
4. 孩子的血液总量为2000 ml.
模型建立
口服药物
胃肠道 药量x(t)
转移率和
x成正比
血液系统
体外
药量y(t)
排除速率 和y成正比
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中描述变化的一种重要工具，它能够描述系统中随时间、空间或者其他变量而发生的变化规律。
微分方程模型是一种基于微分方程的数学模型，用于描述各种实际问题的变化过程。
1.变量与变化率的关系：微分方程模型描述了系统中变量随时间的变化率，即变量的导数。
它指出了变量如何随时间而变化，从而提供了数量化的描述。
2.初始条件和边界条件：微分方程模型需要给定初始条件和边界条件，以确定具体的解。
初始条件是在系统起始时给定的变量值，边界条件是在系统边界上给定的限制条件。
这些条件可以是实际问题中必须满足的条件。
3.多变量之间的关系：微分方程模型可以涉及多个变量之间的相互作用。
这些变量可以表示不同的物理量或者变化过程，它们之间的关系可以是线性的、非线性的、常系数的或者变系数的。
这些关系可以通过微分方程进行描述。
4.具体问题的建模过程：微分方程模型的建立需要针对具体问题进行分析和建模过程。
这个过程中需要确定问题中涉及的变量、关系以及边界条件，并将其转化为合适的微分方程模型。
这个过程可以涉及到数学推理、物理实验、统计分析等多个方面。
微分方程模型的应用非常广泛，几乎涉及到各个学科领域。
例如，在物理学中，微分方程模型可以用于描述粒子的运动、电磁场的分布、热传导等问题；在经济学中，微分方程模型可以用于描述市场供需关系、经济增长等问题；在生物学中，微分方程模型可以用于描述生物种群的演化、药物动力学等问题。
微分方程模型的求解方法也非常丰富多样，可以通过数值方法、解析方法、近似方法等进行求解。
数值方法通过将微分方程转化为差分方程，然后采用逼近的方式进行求解。
解析方法通过数学推导和变量分离的方式求得方程的解析解。
近似方法通过针对特定问题的特殊性质，利用适当的近似方法得到问题的近似解。
总之，微分方程模型是一种重要的数学工具，广泛用于各个学科领域中的问题描述和解决。
它通过描述变量与变化率的关系，建立初始条件和边界条件，描述多变量之间的关系等方面，为实际问题提供了准确的数学描述和求解方法。
《数学建模》习题及参考答案 第五章 微分方程模型
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
微积分的应用-微分方程模型
t* 0.54 1 540(s) 9(min) 0.001
例3 追线问题
我缉私舰雷达发现距 c km处有一艘走私船正 以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最大的 速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持舰的 瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰 追逐路线和追上的时间。
1.模型假设：
为
，求在任一时刻的水面高度（设
v 2gh
开始时水池水的高度为 ）和将水放空的时
间.
h0
等量关系：
t 时间的
水池减少的水量 = 出水量 。
A[h(t t) h(t)] BS
A[h(t t) h(t)] B S
t
t
A dh Bv A dh B 2gh
dt
dt
初始条件
h(0) h0
1
dx
c
y
y
2
dy
1
令
y c
y
2
tant
从而，y c sin2 t ,dy 2c sin t cos tdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos 2tdt
积分后得到
x
c 2
2t
sin
2t
c1
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
dx
0
2gy
这是泛函的极值问题，令
f y, y 1 y2
2gy
由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足
的欧拉方程为：
f y
y
f
c1
即
y2
y 1 y2
1 y2
y
c1
这可化简为
第五章 微分方程模型
第五章 微分方程模型5.1、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 解：设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立：1046750386941868wdw dt --=经化简有：232313956139565429()41868t t w et e c -=-⋅+假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下：2323139561395605429()41868t t w et e w -=-⋅+5.2、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。
在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。
鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。
此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。
（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下：2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt=--（2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题2()0.003()0.001()0.002(0)1000000dp t p t p t dtp ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ 解得0.0010.0012999998()11000001t tae p t a ae --+==-其中当t→∞ 时，2p →。
数学建模实验答案_微分方程模型
数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型（2学时）（第5章微分⽅程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。
k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数（⽇接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病⼈的⽐例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最⼤值，并在曲线图上标注。
提⽰：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图⽤fplot 函数，调⽤格式如下： fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd，调⽤格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。
返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot，调⽤格式如下：plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使⽤⽂本标注函数text，调⽤格式如下：格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。
第五章 微分方程模型 5.1 传染病模型5.2 经济增长模型5.3 正规战与游击战5.4 药物在体内的分布与排除5
每个劳动 力的产值
z
Q L
每个劳动 力的投资
y
K L
模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
z Q / L f0g( y) g(y) y , 0 1
Q f0L(K / L)
g(y)
Q(K , L) f0K L1 Douglas生产函数
Q , Q 0 K L
2Q 2Q K 2 , L2 0
dt
L(t) L0et
Q f Lg( y) g(y) y 0
dK f Ly
dt
0
y K , K Ly L
dK L dy Ly
dt dt
dK f Ly
dt
0
dK L dy Ly
dt dt
dy y f y
dt
0
Bernoulli方程
1
y(t)
f 0
( y1
0
f 0
)e (1 ) t
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
m0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等领域。
微分方程模型可以描述许多实际问题，并通过数学方法求解，为问题的解决提供了重要的工具。
本文将介绍微分方程模型的基本原理，以及其在实际问题中的应用。
微分方程模型的基本原理可以归结为以下几个方面：1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，分别涉及到一元函数和多元函数。
2. 初始条件和边界条件：为了求解微分方程，还需要给出相应的初始条件和边界条件。
初始条件是在特定点上未知函数及其导数的已知值，而边界条件是在特定区域上未知函数的已知值或导数的已知值。
3. 解的存在唯一性：微分方程的解并不是任意的函数，而是满足特定条件的函数。
对于一阶常微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，如果已知函数f在某个区域内连续，则微分方程存在唯一的解。
4. 解的求解方法：求解微分方程的方法有很多，常见的方法包括分离变量法、变量代换法、常数变易法、特征方程法等。
对于一些特殊的微分方程，还可以采用级数解法、变换法、拉普拉斯变换等高级方法。
微分方程模型的应用广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：微分方程模型在物理学中有着广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，描述物体的运动。
电路中的电流、电压变化也可以用微分方程模型来描述。
2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用微分方程模型进行描述。
例如，经济增长模型、人口增长模型等都可以用微分方程来分析。
3. 生物学：生物学中的许多现象和过程也可以用微分方程模型来描述。
例如，生物种群的增长、化学反应速率等都可以通过微分方程进行建模。
4. 工程学：工程学中的控制系统、信号处理等问题也可以用微分方程模型来分析和解决。
5. 计算机科学：微分方程模型在计算机图形学、机器学习等领域也有一定的应用。