高三数学简易逻辑一轮复习
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第十一章简易逻辑
1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力．
1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．
2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．
第1课时逻辑联结词和四种命题
一、逻辑联结词
1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；
命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．
2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．
由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．
3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的当p 与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．
二、四种命题
1．四种命题：原命题：若p则q；逆命题：、否命题：逆否命题： .
2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命题．原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同．3．反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．
例1. 下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是 （ ） A ．p :0＝∅；q :0∈∅
B ．p ：在∆AB
C 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ； :q y ＝sin x 在第一象限是增函数 C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为()0,∞-
D ．p ：圆()1)2(12
2
=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆13
42
2=+
y x 的一条准线方程是x ＝4 解：由已知条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中，
命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故选(C)． 变式训练1：如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题.那么（ ） A ．命题p 和命题q 都是假命题 B ．命题p 和命题q 都是真命题 C ．命题p 和命题“非q ”真值不同 D ．命题q 和命题p 的真值不同 解： D
例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:
(1) 若q <1，则方程x 2
＋2x ＋q ＝0有实根； (2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；
(3) 若x 2＋y 2
＝0，则x 、y 全为零.
解：(1)逆命题：若方程x 2
＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方
程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2
＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．
(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题． 否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题． 逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．
(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2
＝0，为真命题．
否命题：若x 2＋y 2
≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．
逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2
≠0，为真命题．
变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： （1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； （2）矩形的对角线互相平分且相等； （3）相似三角形一定是全等三角形. 解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.
原命题为真命题，否命题也为真命题. （2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等” 原命题是真命题，否命题是假命题. （3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. 原命题是假命题，否命题是真命题.
例3. 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，
p 且q 为假，求m 的取值范围．
典型例题
分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论． 解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．
⎪⎩
⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．
⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为
p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．
(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩
⎨⎧
≥⇒≥≤>3312m m m m 或；
(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩⎨
⎧≤<⇒<<≤213
12
m m m ．
综合，得m 的取值范围是{21≤ 变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a x 在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围. 解 ： 由函数y=a x 在R 上单调递减知0 ⎧<≥-). 2(2), 222a x a a x a x （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的 最小值为2a ，所以2a>1，即a>.2 1即q 真⇔a>.2