四川大学2014春材料力学期中考试评讲

1.67
mm
四、选做题
如图所示纯弯曲梁的横截面为高 h 、宽 b 的矩形，梁材料为非 线弹性材料，其应力应变的绝对值满足关系 C ，这里 C 为 材料常数，梁截面上所受的弯矩为 M。则在满足平截面假设和单向 受力假设的条件下，试求梁横截面上的正应力计算公式。
y
h
z
2
M
h
o
2
b
解：如图所示，由于对称性，梁截面形心水平轴 z 轴是中性轴。
5 qL2 72
所以最大弯矩在中间截面，为：
M max
5 72
qL2
根据梁的强度条件有：
max
M max Wz
5 qL2 72 Wz
[ ]
所以梁的许可载荷为：
[q]
72Wz [
5L2
]
72 309 103 160 5 6000 2
20 N/mm
20 kN/m
5、如图所示矩形截面悬臂梁在自由端受集中力作用，梁表面与轴 线平行的线段 AB 的长度 a=300mm，变形后的伸长量 Δa=0.125mm， 线段距轴线的距离 c=50mm ，截面高 h=120mm，宽 b=40mm，梁长
由于梁弯曲时满足平截面假设和单向受力假设，则梁的几何方程仍
然是：
y
(0 y h ) 2
只考虑上半截面，则截面上的应力为： C C y (0 y h )
2
静力学关系为：M 2Ay d A
(0 y h ) 2
则有：
M 2C
1 1
y2 d A
A
令：
In
2
1 1
y 2 d A 2b
I z 3400 cm4 ,Wz 309 cm3 )
A
L/3
q
Bz
L
L/3
解：梁的约束反力为：
q25
R
R1
R2
2
(L
3
L)
qL 6
最大弯矩可能在支座处也可能在中间截面处。
支座处：
MR
1 2
q(1 3
L)2
1 qL2 18
中间截面处：M R
R(1 L) 1 q(1 L 1 L)2 2 23 2
（6）制造钢筋混凝土梁时，往往先将钢筋绷得很紧后再浇筑混凝 土，养护适当时间后再将绷紧钢筋的力卸掉，这样制成的钢筋混凝 土梁将具有更好的承载能力。（预应力）
（7）成语“势如破竹”形容的是做某件事情时如果我们把最初的 环节做好了，而事情后面的各个环节会因此而迅速容易地被解决这 样一种情景，但该成语的字面意思是竹子很容易在竖直方向劈开， 而在横向却很难如此。（各向异性）
（4） 秦始皇兵马俑坑除了出土了震惊中外的真人大小的兵马俑外， 还出土了数量众多的青铜剑，有的青铜剑被倒伏的兵俑压折成超过 角，但搬开兵俑后，青铜剑又奇迹般地恢复到直线形状，这让在场 的考古工作者十分惊叹古人的智慧和生产工艺。（弹性 ）
（5）坐火车的时候，特别是在晚上，我们能清晰地听到很有节奏 的“哐铛——哐铛”声，那是因为火车的铁轨在连接处都留有一条 缝隙，而不是紧靠在一起连接起来。（失稳）
即： FN 2 2FN3
物理方程为：
L1
FN1 L EA
FN1
1 2
FN 2
F
L2
FN 2 L EA
L3
FN 3L EA
如图(b)所示，几何方程为：
解得
L1 2L2 L3
uA
L3
FL 4EA
wA
L1
3FL 4EA
2、作如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。
qa qa 2
q
A
C
B
DE
aa
4a
解：求约束反力：
max
(m / 2) 180103
GI p
1106
180103
2 60103 235500 3.14
2 /m [ ]
圆轴的刚度足够。
4、如图所示 No.22a工字钢外伸梁受均布载荷 q 作用，已知 L=6m ， 材料的许用应力 [σ]=160MPa 。不计工字钢的自重，求梁的许可载 荷 [q]。(No.22a工字钢的截面参数为： A 42.128cm2
3．（4分）如下左图所示，螺钉穿过一刚性平板，螺钉的几何尺寸 为：D=30mm ，d=20mm ，h=10mm ，载荷 F=40kN 。则螺钉中的 拉伸应力为： 127.4 MPa；挤压应力为：102 MPa；剪切应力为： 63.7 MPa。（1分）
4．如上右所示矩形等截面轴自由扭转时，截面上切应力为零的点 是： A,B,C,D,O 。
A
h3
2 y2 d y
0
4
b(
h
)
5 2
52
1
5
bh 2
52
则曲率公式为：
1 ( M )2
CI n
于是横截面上的应力计算公式为：
C C y C( M ) y M y
CI n
In
即：
M y 5 2M y
In
bh2 h
其中： M 是由上往下弯的弯矩，则梁上半部分受拉，下半部分受 压，下半部的压应力分布与上式相同。如果 M 是由下往上弯的弯矩，
B
D
①②
45
③ 45
A
F
C
B
D
①②
FN1
45 FN 2
③ 45
A
FN 3
C
F
①②
③ A L3
L2 45
45 45 L1
2L2 L3
45
解：结构是一次超静定桁架结构。
如图(b)所示，假设三杆中的内力分别为： 力）， FN3（压力）。
FN1（拉力），
FN2（拉
则平衡方程为： FN 3 FN 2 cos 45 ; FN1 FN 2 sin 45 F
I
I
在不考虑梁的剪切变形情况下，截面上任意点满足简单虎克定律，
即：
(x, y) E (x, y) E (d x)
dx
距梁中性层 y 处的水平方向的微元线段的伸长量为：
(x, y) d x Fxy
(d x)
dx
y
E
EI
所以 线段的伸长量为：
a
a (d x)
a Fcx d x Fca 2
L=1m，材料的弹性模量 E=80GPa，不考虑梁的剪切变形，（1）求 梁自由端的集中力 F 是多大？（2）梁上缘的总伸长 ΔL 是多少？
aF
x
A
B
c
h
b L
解：（1）求自由端的集中力
在图示坐标系下，梁任意截面上的弯矩为： M (x) Fx
任意截面上的正应力为： (x, y) M (x) y Fxy
mA 0
6RAa qa2
Fra Baidu bibliotek
5qa2
1 q(4a)2 2
0
Fy 0 RB 3qa
RA 2qa
qa
qa 2
q
A
C
DE
RA
aa
4a
Fs
2qa
qa D
E
A
C
a
B RB
B
x
3qa
CD
E
A 3qa2
M 2qa2
4qa2
9 qa2 2
B
x
3、如图所示两端固定的圆轴，内径为 d=20mm ，外径为 D=40mm，
（1） 铸铁压缩时并不是从横截面上破坏，而是从接近 的斜截面上 破坏。（切应力）
（2） 我家煤气灶的烟道管必须穿过阳台的一扇窗户，为此安装师 傅在窗户的玻璃上开了一个圆孔以让烟道管通过，而且还用砂纸将 圆孔的周边打磨得非常光滑，这样窗户玻璃使用的时间会较为长久。 （应力集中）
（3） 自行车骑一段时间后，其辐条就需要再拧紧一次，不然自行 车将不能正常行驶。（松弛 ）
403 16
(1 0.54 )
3.14 403 16
15 16
11775 mm3
Ip
D 4
32
(1 4 )
Wp
D 2
11775 20 235500mm4
圆轴的最大切应力为：
max
(m / 2) Wp
1106 2 11775
42.5 MPa
[
]
圆轴的强度足够。 圆轴的最大单位长度扭转角度为：
则梁上半部分受压，下半部分受拉，上下部分的压拉应力的绝对值 由上式决定。
二、多项选择题
1．生活中一些常见的现象都具有一定的力学道理，描述这些现象 的力学道理往往可用一个关键的力学术语来描述，如“弹性、各向 同性、各向异性、拉应力、切应力、应力集中、预应力、失稳、蠕 变、松弛”等等，下面是生活中一些常见的现象，请在上面列举的 力学术语中选择最贴切的一个填到后面的括号中。
长度 2L=200mm ，在轴的中间作用有集中外力偶矩 m=1kNm。已知 [τ]=60Mpa ，[θ]=2度/m ，G=60GPa 。试校核圆轴的强度和刚度。
图(b)
解：由于对称性，圆轴两端的约束反力偶矩均为 m/2，如图(b)所示。
因： d 20 0.5
D 40
Wp
D3
16
(1 4 )
0
yc 0 EI
2EI
故：
F 2EIa Ebh3a 80103 401203 0.125 25.6kN
ca 2
6ca2
6 50 3002
(2)求梁的上缘总伸长
L
L
(d x)
0
yh / 2
L Fhx d x 0 2EI
FhL2 4EI
hL2 a 2ca 2
120 1000 2 0.125 2 50 300 2
（8）玻璃品制造师傅要切割一块玻璃，他先是用直尺和金刚钻在 这块玻璃需要切割的地方划开一条线，再将这条线移至桌沿，然后 轻轻一拍，这块玻璃即从划线处断为两截。（拉应力）
2．如下图所示的截面图形中，弯曲中心与图形形心重 合的有：A，D，E 。
( A)
(B)
(C )
(D)
(E)
(F)
三、计算题
1、如图所示结构，①、②、③三杆一端铰接在固定的刚性圆弧构 件 BDC上，另一端铰接在A处，铰A 受竖向集中力 F作用，各杆的 抗拉刚度均为 EA，长度均为 L，求铰A 的水平位移和竖向位移。
材期中考试评讲
2014.5.25
一、填空题
1．如下左图所示，某矩形截面杆件横截面上的正应力沿高度方向 线性分布，而沿宽度方向均匀分布，截面上的最大正应力为 ，截面 的底边应力为零， 为截面形心。则杆件横截面上的轴力 90kN ， 弯矩 0.9kNm 。
y
max
30
o
x
60
z
y z
2．（4分）如上右图所示是两个直径为 的圆形组成的截面，其对两 个坐标轴的惯性矩分别为： Iz= πd4/32 ；Iy= 5πd4/32 ； Izy= 0 。