高考复数专题复习
高考数学专题复习：复数的三角表示
高考数学专题复习：复数的三角表示一、单选题1．1-的三角形式是（ ） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭2．已知复数z 满足4z z ⋅=且0z z +=，则19312021z +的值为（ ） A ．19762-B ．39522-C ．19762D ．395223．设n 是正整数，分别记方程1n x =、()611x -=的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为A 与B ．若存在1Z A ∈，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个，则n 的值可以是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．复数的(12i )6+(11i i -+)9虚部为（ ）A ．﹣iB ．iC ．1D ．﹣15．已知复数z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点)，OZ 与实轴正向的夹角为120︒，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）A ．1B ．2C ．1--D ．1-6．复数sin50cos50z i =-的辐角主值是（ ）A ．50B ．220C ．310D ．3207．已知复数z 对应的向量为OZ (O 为坐标原点)，OZ 与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）A ．1B ．2C ．(1-D ．－18．把复数3对应向量按顺时针方向旋转23π，所得向量对应复数为（ ）A ．B ．－C ．－3D ．39．已知复数2i +和3i --的辐角主值分别为α、β，则()tan αβ+等于（ ）A B ．C ．1-D ．110．如果非零复数有一个辐角为74π-，那么该复数的（ ） A ．辐角唯一 B ．辐角主值唯一 C ．辐角主值为74π-D ．辐角主值为74π 11．复数isin10z =︒的三角形式为（ ） A ．cos10isin10︒+︒ B ．isin10︒C ．()sin10cos90isin90︒︒+︒D ．()sin10cos0isin0︒︒+︒12．已知复数1z -的辐角为56π，1z +的辐角为3π，则复数z 等于（ ）A ．12B ．12-C ．12D ．12-二、填空题13．若复数1z 2cos isin 33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z 的辐角的主值为______．14．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为1Z ，2Z ，3Z ，O (其中O 是原点)，已知1Z 对应复数11z =.则1Z 和3Z 对应的复数的乘积13z z =________. 15．如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是________.16．设1z ，2z ，3z 复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，()312z =+．若11z =，21z z z =，32z z z =，则四边形OABC 的面积为______．三、解答题17．已知复数12sin z θ=，()212cos i z θ=+，ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若12z z ⋅为实数，求角θ的值；（2）若复数1z ，2z 对应的向量分别是a ，b ，存在θ使等式()()0a b a b λλ+⋅+=成立，求实数λ的取值范围.18．计算：（1）8(cos6π+i sin 6π)•2(cos 4π+i sin 4π)； （2）[12(cos74π+i sin 74π)]4；（3+i +i sin60°)； （4）244cosisinππ+.19．若z C ∈，4233z z i +=+，sin cos (i ωθθθ=-为实数，i 为虚数单位． （1）求复数z ；（2）求||z ω-的取值范围．20．求复数1cos isin (2)z θθπθπ=++<<的模与辐角主值.21．（1101012i ⎛+- ⎝⎭⎝⎭；（2）若复数z 满足112z z -=，1arg 3z z π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求复数3(2||)2z z z --.22．如图，分别以ABC 的两边AC BC ，为边向外作正三角形ACE 及BCD △，设AD BE ，交于F 用复数证明：AD BE =且60AFE ︒∠=.参考答案1．B【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】解：122122cos isin 233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭． 故选：B ． 2．D 【分析】首先根据条件求得复数z ，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值. 【详解】设i x,y R z x y ∈=+（），()()22i i 4z z x y x y x y ⋅=+-=+=，即2z ==，020z z x +=⇔+，解得：x =224x y +=，y ∴=当z =时，3i 43322cos sin i 244z e πππ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则39523i 193120213952i2964422ze e ππ+⎛⎫== ⎪⎝⎭()()39522cos 2964isin 2964ππ=+⎡⎤⎣⎦()395239522cos0isin02=+=，当z =时，i 422cos sin i 244z e πππ⎫⎛⎫=-=-+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则3952i 193120213952i988422ze e ππ+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()39522cos 988isin 988ππ=+⎡⎤⎣⎦()395239522cos0isin02=+=，故选：D 3．B 【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合B ，再把选项中的值分别代入计算得到集合A ，一一判断即可求解.【详解】由()611x -=，得()61cos 0isin 0x -=+， 即221cosisin 66k k x ππ-=+，故22cos 1isin 66k k x ππ=++，k =0，1，2，4，5，因此集合()311320,,,,,,2222B ⎧⎫⎛⎛⎛⎛⎪⎪= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，.当3n =时，同理得()111,0,,,22A ⎧⎫⎛⎛⎪⎪=-- ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭， 此时不存在1Z A ∈，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个， 同理可知4n =，6n =时，也不满足题意，故ACD 错； 当5n =时，得：()224466881,0,cos ,sin,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 55555555A ππππππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，当122cos ,sin 55OZ ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，当2Z 取遍集合B 中的元素时，所得12OZ OZ ⋅的不同取值个数有5个，故B 正确. 故选B. 4．D 【分析】分别计算661()()233cos isin ππ=+=cos2π+i sin2π=1，2221(1)()[]111i i i --==++(﹣i )2=﹣1，即可得出. 【详解】∵661()()233cos isin ππ=+=cos2π+i sin2π=1，2221(1)()[]111i i i --==++(﹣i )2=﹣1， ∴9411()(1)11i i i i --⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭i . ∴原式=1﹣i ，其虚部为﹣1. 故选：D 5．D【分析】设复数z x yi =+，根据题意可得cos120||x OZ =︒，sin120||y OZ =︒，即可解决. 【详解】设复数z x yi =+，∵向量OZ 与实轴正向的夹角为120︒且复数z 的模为2，∴1cos12021||2x OZ ⎛⎫=︒=⨯-=- ⎪⎝⎭，sin1202||y OZ =︒==∴1z =-． 故选:D. 6．D【分析】利用诱导公式化简可得出复数z 的辐角主值. 【详解】()()sin 50cos50cos 9050sin 9050cos 40sin 40z i i i =-=---=- ()()cos 36040sin 36040cos320sin 320i i =-+-=+，因此，复数z 的辐角主值为320. 故选：D. 7．D 【分析】由复数对应向量与x 轴正向夹角，及复数的模，应用复数的三角表示写出对应坐标，进而写出复数z 代数形式.【详解】设复数z 对应的点为(x ,y )，则1||cos1202()12x z =︒=⨯-=-，||sin1202y z =︒==∴复数z对应的点为(1-，∴1z =-． 故选：D. 8．C 【分析】将复数3化成三角形式为11113[cos()sin()]66z i ππ=+，从而得到其对应向量绕原点O 按顺时针方向旋转23π后，所得向量对应的复数． 【详解】因为111133[cos()sin()]66i ππ=+， 其对应向量绕原点O 按顺时针方向旋转23π后，所得向量对应的复数为： 1121123[cos()sin()]6363i ππππ-+-3=-.故选：C ． 【点睛】复数乘法的几何意义：复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的．在用到复数的三角表示式时，要先算出复数的模和辐角．求解时注意向量旋转的方向． 9．D【分析】根据题意，得到11tan ,tan 23==αβ，结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】由题意，复数2i +和3i --的辐角主值分别为,αβ，则11tan ,tan 23==αβ，所以 11tan tan 23tan()1111tan tan 123αβαβαβ+++===--⨯. 故选：D. 10．B【分析】由给出的非0复数有一个辐角为74π-，结合辐角主值的概念得答案． 【详解】解：辐角主值的范围是[0，2)π，任何一个复数都有唯一的辐角主值， ∴非0复数有一个辐角为74π-，则该复数有唯一的一个辐角主值4π． 故选：B ． 11．C【分析】根据复数的三角形式直接写出结果即可. 【详解】因为isin10z =︒，所以sin10z =︒，辐角为90︒，所以复数isin10z =︒的三角形式为()sin10cos90isin90︒︒+︒，故选：C. 12．B【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，根据辐角的定义得到方程组，解得即可； 【详解】解：设()i ,z a b a b R =+∈， 因为11i z a b -=-+的辐角为56π，所以5tan 61b a π==- 因为11i z a b +=++的辐角为3π，所以tan 31ba π=+解得12a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12z =-故选：B 13．712π. 【分析】首先求出12z z ，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值. 【详解】1212cos isin cos isin 33244z z ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=cos isin cos isin 3344ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2cos cos i cos sin isin cos i sin sin 34343434ππππππππ=+++cos cos sin sin cos sin sin cos i 34343434ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎭⎝=⎪⎝⎭1277cos sin i 12ππ+=，所以12z z 的辐角的主值为712π. 故答案为：712π.14．2i - 【分析】根据11z =判断点1Z 与x 轴正半轴的夹角，得到点3Z 与x 轴正半轴的夹角，即得复数3z ，再利用复数的乘法运算计算31z z 即可. 【详解】设3Z 对应的复数为3z ，可得312z z ==，复平面上点1Z 与x 轴正半轴的夹角为π3，则点3Z 与x 轴正半轴的夹角为5π6，所以35π5π2cos i sin i 66z ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，所以()()13i 12i z z ==-.故答案为：2i -.15． 【分析】先求出复数2i -的三角形式，然后利用三角形式变换求解1OZ 对应的复数 【详解】解：因为332i 2cos isin 22ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， 所以由题意可得1OZ 对应的复数为3332cos isincos isin 22244ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦333cos isin 2424ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦553cos isin44ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭=，故答案为：16 【分析】根据题意，将复数z 改写成三角形式，结合已知条件分别算出OB 、AOB ∠、OC 、和BOC ∠，即可求解. 【详解】由11z =，得1OA =，由()312z =，得3cos isin 33z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因21z z z =，所以213cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即3OB =，且3AOB π∠=，又因32z z z =，所以323cos isin 33z z ππ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，即9OC =，且3BOC π∠=,因此11sin sin 2323OABC AOB BOCS S SOA OB OB OC ππ=+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=..17．（1）π3θ=；（2）2λ≤-20λ-≤.【分析】（1）首先根据复数三角形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程，解得即可； （2）首先表示出a 、b 的坐标，即可得到22a b +，a b ⋅，再根据平面向量数量积的运算律得到()()2812sin 0λλθθ++-=，参变分类，根据正弦函数的性质得到212021λλ-≤≤+，解得即可；【详解】解：（1）()()()(122sin 12cos i 2sin 2sin 2i z z θθθθθ⋅=+=++∈⎡⎤⎣⎦R ， 12z z ⋅为实数∴sin 2θ=又ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2π3θ≤≤，∴22π3θ=，即π3θ=. （2）因为12sin z θ=，()212cos i z θ=+，所以(2sin ,a θ=，()1,2cos b θ=，所以22224sin 314cos 8a b θθ+=+++=2sin a b θθ⋅=-，()()()()22210a b a b a b a b λλλλ+⋅+=+++⋅=. 得()()2812sin 0λλθθ++-=， 整理得22πsin 13λθλ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭. 因为ππ0,36θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 0,32θ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.只要212021λλ-≤≤+即可，解得2λ≤-20λ-≤≤.18．（1）i ；（2）﹣20736；（3；（4. 【分析】利用棣莫佛定理､三角函数求值即可得出.【详解】（1）原式12iii . （2）原式=124(cos7π+i sin7π)=﹣20736.（3）原式(cos300°+i sin300°)=(12)=. （4）原式)()()111i i i -====+-. 19．（1）1i 2z =+；（2）[]0,2.【分析】 (1)根据复数写出它的共轭复数，结合相等复数的性质即可得出结果.(2)根据求模公式求出||z ω-. 【详解】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，则i z a b =-.因为42i z z +=，所以4(i)2(i)i a b a b ++-=，即62i i a b +=，因此621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1i 2z =+． （2）由（1）知：1i 2z =+，而sin i cos ωθθ=-⋅（θ为实数）因此1||i (sin i cos )|2z ωθθ-=--⋅1|sin )(cos )i |2θθ=-++=1sin()16πθ-≤-≤，022sin()46πθ∴≤--≤， 0||2z ω∴≤-≤，故||z ω-的取值范围是[]0,2．20．2cos 2r θ=-，arg 2z θπ=+ 【分析】把复数化为三角形式后可得结论．【详解】因为2πθπ<<，所以1cos isin z θθ=++22cos i 2sin cos 2cos (cos isin )222222θθθθθθ=+⋅=+2cos (cos isin )2cos cos isin 222222θθθθθθππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此时2cos 02θ->，[0,2)2θππ+∈． 所以2cos2z θ=-，arg 2z θπ=+． 21．（112+；（233cos sin 44i ππ⎫+⎪⎭； 【分析】（1)cos sin 44i i ππ+=+，1cos sin 266i i ππ⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；（2）由题意得11(cos sin )233z i z ππ-=+，进而得到 z 、z 代入目标式化简后转化为三角形式即可.【详解】（11010101011)22i i i i ⎛⎫⎛+-=-+++- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而)1010101011cos sin cos sin 24466i i i i i i ππππ⎫⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-=-+++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭∴原式55551cos sin cos sin 22332i i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）由题意知：11(cos sin )233z i z ππ-=+，所以 1z =，1z =，∴()3332cos sin 244z z z i ππ⎫--+⎪⎭【点睛】本题考查了复数的三角形式，利用复数三角形式的乘方运算化简求值，并由已知复数的模、复角求目标复数的三角形式.22．证明见解析【分析】设向量CB 对应复数()1cos sin z a i θθ=+，向量CE 对应复数()2cos sin z b i αα=+，分别表示出向量BE 与AD ，利用复数的运算法则即可得到结论.【详解】证明：设向量CB 对应复数为()1cos sin z a i θθ=+，则向量CD 对应的复数为()()cos 60sin 60a i θθ︒︒⎡⎤+++⎣⎦； 设向量CE 对应复数为()2cos sin z b i αα=+，则向量CA 对应的复数为()()cos 60sin 60b a i a ︒︒⎡⎤+++⎣⎦；∴向量BE CE CB =-对应复数为()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin b i a i b a b a i ααθθαθαθ+-+=-+-， (BE b ∴===同理，2AD a ==AD BE ∴=.由BE 对应的复数为()()cos cos sin sin b a b a i αθαθ-+-，DA 对应的复数为()()()()60cos 6060sin 60bcos a a bsin a a i θθ︒︒︒︒⎤⎡⎤+-+++-+⎦⎣⎦，且两复数模相等，易知DA 对应复数是由BE 对应复数逆时针旋转60︒得到的，又由图可知BE 对应复数逆时针旋转AFE ∠可得DA 对应复数，60AFE ︒∴∠=.【点睛】本题考查复数的三角形式，复数的模，复数的运算法则，属于难题.。
高考数学复数专题复习(专题训练)
一、复数选择题1．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0D ．1-2．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +3．已知复数21iz i=-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．5．已知i 为虚数单位，若复数()12iz a R a i+=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3C ．5D ．6．设()2211z i i=+++，则||z =（ ）A B ．1C ．2D7．若复数z 满足()322iz i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i8．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2D ．59．若复数2i1ia -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ）A B C ．3D ．510．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1zz =+（ ） A ．1i -+ B ．1i +C ．1i --D ．1i -11．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（ ）A ．B ．4C ．D ．812．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ）A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=13．复数2ii -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15D ．3514．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．43i + B ．34i - C ．34i + D ．43i - 15．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ）A ．5BC D ．3二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 18．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -19．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =20．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件21．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 22．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z23．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 24．已知复数122,2z i z i =-=则（ ） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =25．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=27．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z -28．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=29．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数 30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】 ，它为纯虚数， 则，解得． 故选：D ． 解析：D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-．故选：D ．2．D 【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】 ，. 故选：.解析：D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .3．B 【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限. 【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B.解析：B 【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.4．B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.解析：B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.5．A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得 【详解】由复数为纯虚数，则，解得 则 ，所以，所以 故选：A解析：A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a + 【详解】()()()()()()2221222*********i a i a a i a ii a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a aa a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a += 故选：A6．D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解． 【详解】 因为， 所以，则． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ． 【详解】因为()()()()2221211*********i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．7．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为， 故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z ii i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A.8．B 【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可. 【详解】 ， .故选：B ．解析：B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i ii z i i i++===-，∴z ==故选：B ．9．B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】 由复数（）为纯虚数，则 ，则 所以 故选：B解析：B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】由()()()()()()21i 2221112a i a a ia i i i i ----+-==++- 复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B10．A 【分析】由得出，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】 由题意得，则. 故选：A解析：A 【分析】由()1,1-得出1i z =-+，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】由题意得1i z =-+，则1i 1i i 111i 1i i i 1z z -----+==⋅==-++-.11．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得． 【详解】 因为，所以， 所以 故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --． 【详解】 因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A12．B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数对应的点为，所以 ，满足则 故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B13．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .14．D 【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数. 【详解】 ∴， 故选：D解析：D 【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z . 【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+∴43z i =-， 故选：D15．C 【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可. 【详解】 据题意，得，所以的共轭复数是，所以. 故选：C.解析：C 【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可. 【详解】据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 19．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.20．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.21．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．22．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 23．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.24．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确.故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=． 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．27．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 29．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误;4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
高考数学复习专题：复数
考法一 高考数学复习专题：复数复数的实部与虚部【例1-1】（2023·山西临汾·统考一模）复数()+=+z i 2i 54i 2)(的虚部为（ ）A ．−3iB ．−6iC ．−3D ．−6【答案】D【解析】+−+−+−−=====−−+−−−−z i(2i)12i (12i)(12i)536i 5(4i )1515(12i)1530i2，虚部为−6.故选：D. 【例1-2】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数=−z 1i ，则+z z212的实部为（ ） A ．101 B ．−101 C ．51D ．−51【答案】A【解析】：因为=−z 1i ，所以+=−+−=−z z 2(1i)2(1i)24i 22， 所以+−−+====+++z z 224i (24i)(24i)20105i 1124i 24i 112，所以+z z 212的实部为101.故选：A.【例1-3】（2023·重庆·统考一模）设复数z 满足+⋅=z z i i 1，则z 的虚部为（ ）A ．−21B ．21C ．−1D ．1【答案】B【解析】设=+∈z a b a b i(,R)，则=−z a b i ，所以+−+a b a b i(i)i=1i， −−+=a b a b (i )i+1，得=b 21，解得=b 21，所以复数z 的虚部为21.故选：B. 考法二 共轭复数【例2-1】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）复数z 满足+=−z (1i)24i 2，则复数z 的共轭复数=z （ ） A ．−12i B ．−−2i C ．−+2i D ．+2i【答案】C【解析】将式子+=−z (1i)24i 2化简可得，()+===−−−−z 1i 2i2i 24i24i2，根据共轭复数定义可知=−+z 2i ，故选:C【例2-2】（2023·陕西西安·统考一模）复数−=z 1i ()2i 2的共轭复数为（ ） A ．−2i B ．−4iC ．2iD ．4i【答案】C 【解析】=−+−+==−+z ((1i)(1i))2i 1[]i 2i(1i)22，则=z 2i ，所以复数−=z 1i()2i 2的共轭复数为2i .故选：C【例2-3】（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知复数z 满足−−+=z z 2i 3i 0，则z 的共轭复数=z （ ） A ．+1i B ．−1i C ．+5i 1D ．−5i 1【答案】B【解析】由−−+=z z 2i 3i 0，得−=−z 12i 3i −+=−+(12i)(12i)(3i)(12i)==++51i 55i ，所以=−z 1i .故选：B考法三 复数的模长【例3-1】（2022·北京·统考高考真题）若复数z 满足⋅=−z i 34i ，则=z （ ） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】由题意有()⋅−===−−−−−z i i i 43i 34i 34i i )()(，故==z ||5．故选：B ．【例3-2】（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）已知+=−zz 12i 3，则=z （ ）AB ．3C ．2D 【答案】D 【解析】由+=−zz 12i 3，得−=+z z 3i 2i ，−=+z 12i 3i )(，所以()()−−+===++++z 12i 12i 12i 55i 3i 173i 12i )()(，所以=z D ．【例3-3】（2023·全国·模拟预测）若复数z 满足⋅⋅+⋅−=z z z z 1112)()(，则+=z i （ ）AB C ．3D ．5【答案】B【解析】设=+z x y i ，∈x y ,R .所以+⋅−⋅++⋅−+=x y x y x y x y (i)(i)1i 1i 12)()(， 所以+−−+x y x y xy ()(12i)=122222，所以−−−−++=x y x y xy x y 122()i 0442222，所以⎩+=⎨−−−−=⎧xy x y x y x y 2()0120224422，所以⎩+=⎨+−−−=⎧xy x y x y x y 2()0()(1)120222222， 当+=x y 022时，方程组无解；当=≠x y 0,0时，++=y y 12042没有实数解； 当x 0,y=0≠时，−−=∴=∴=±x x x x 120,4,2422,所以=z 2或−2.所以当=z 2时，+=+z i |2；当=−z 2时，+=−+z i |2所以+=z i 故选：B考法四 复数对应的象限【例4-1】（2021·全国·统考高考真题）复数−−13i2i在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】−===−++−+13i 101022i 55i 1i2i 13i )()(，所以该复数对应的点为⎝⎭ ⎪⎛⎫22,11，该点在第一象限， 故选：A.【例4-2】（2023·全国·模拟预测）若复数=−+z a 2i 1i )()(在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．+∞2,)( B ．−∞−,2)( C ．−2,2)( D ．0,2)(【答案】A【解析】由于=−+=+−−=++−z a a a a a 2i 1i 22i i i 22i 2)()()(，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为+−a a 2,2)(，则⎩−<⎨⎧+>a a 2020，解得>a 2，所以实数a 的取值范围为+∞2,)(，故选：A ．【例4-3】（2023·湖南·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数R =−=+∈z z a a 12i,2i 12)(在复平面内对应的点为P ，Q ，若OP OQ ⊥（O 为坐标原点），则实数a =（ ） A ．−2 B ．−1 C ．0 D ．1【答案】D【解析】复数=−=+z z a 12i,2i 12，则−P 1,2)(，Q a 2,1)(，则(1,2OP =−)，(2,1OQ a =)， OP OQ ⊥，∴−=a 220，解得=a 1，故选：D.考法五 复数的分类【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知i 为虚数单位，复数＋＋=z a 2i 1i 3)()(为纯虚数，则=z （ ） A ．0 B ．21C ．2D ．5【答案】D【解析】由题意，在＋＋=z a 2i 1i 3)()(中，=−+=+−+=++−z a a a a a 2i 1i 22i i 221i)()()(∵z 为纯虚数，∴，+=−≠a a 20210，∴=−a 2，∴=−z 5i ∴=z 5，故选：D ． 【例5-2】（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研数学试题）若虚数z 使得z 2+z 是实数，则z 满足（ ） A ．实部是−21B ．实部是21C ．虚部是0D ．虚部是21【答案】A【解析】设=+z a b i （∈a b ,R 且≠b 0）+=+++=+−++=+−++z z a b a b a ab b a b a a b ab b (i)(i)2i i (2)i 222222， +z z 2是实数，因此+=ab b 20，=b 0（舍去），或=−a 21．故选：A ． 【例5-3】（2022秋·江苏南京·高三校考期末）设a 为实数，若存在实数t ，使得+−−t a 2i(1)i 12为实数（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ）A ．≥−a 2B ．0a<C ．≥−a 1D ．−≤≤−a 21【答案】C 【解析】由题知，⎝⎭⎪+−=+−=−−⎛⎫−−−t t t a a a 2i 2i 2(1)i (1)i 1i 111i 2222)(， 因为存在实数t ，使得+−−t a 2i (1)i 12为实数，所以关于t 的方程−−=−t a 21012有实数根， 所以，=+t a 212有实数根，所以=≥+t a 2012，即≥−a 1所以，a 的取值范围是≥−a 1故选：C考法六 相等复数【例6-1】（2022·全国·统考高考真题）设++=a b (12i)2i ，其中a b ,为实数，则（ ） A ．==−a b 1,1 B ．==a b 1,1 C ．=−=a b 1,1 D ．=−=−a b 1,1【答案】A【解析】因为a b ,R ，++=a b a 2i 2i )(，所以+==a b a 0,22，解得：==−a b 1,1．故选：A.【例6-2】（2023·云南红河· ）A ．⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−⎛⎫⎛⎫33cos isin ππB 2i 1C ．−1iD ．3i π【答案】A⎝⎭⎝⎭==211，由⎝⎭ ⎪−==⎛⎫332cos cos 1ππ，⎝⎭⎪−=−=−⎛⎫332sin sin ππ，A 正确，B 、C 、D 错误.故选：A ．考法七 在复数范围内解方程【例7-1】（2022·高一课时练习）复数2i 的平方根是（ ） A ．+1i 或−−1i B ．2iC ．+1iD ．−−1i【答案】A【解析】设2i 的平方根为+∈x y x y i(,R)，则+=x y (i)2i 2，即−+=x y xy 2i 2i 22，从而⎩=⎨−=⎧xy x y 22,0,22解得⎩=⎨⎧=y x 11,或⎩=−⎨⎧=−y x 1.1,所以复数2i 的平方根是+1i 或−−1i ，故选：A【例7-2】（2021·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知复数−i 2是关于x 的方程++=∈x px q p q R 0,2)(的一个根，则+=pi q （ ）A．25 B ．5C D ．41【答案】C【解析】因为复数−i 2是关于x 的方程++=x px q 02的一个根，所以−+−+=i p i q 2202)()(，所以+=+−pi q i p 423，所以==−p q p 4,23，所以==p q 4,5，则+=+=pi q i 45 C.【例7-3】（2021·江苏·一模）已知+i 2是关于x 的方程++=x ax 502的根，则实数a =（ ） A ．−i 2 B ．−4 C ．2 D ．4【答案】B【解析】因为+i 2是关于x 的方程++=x ax 502的根，则另一根为−i 2 由韦达定理得++−=−i i a 22)()(，所以=−a 4 故选：B考法八 复数的综合运用【例8-1】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）复数=−−z 2211，复数z 2满足⋅=z z 112，则下列关于z 2的说法错误的是（ ）A ．=−z 212B ．=z 12C ．z 2D ．z 2在复平面内对应的点在第二象限【答案】C【解析】对于A ，由已知可得，==z z 112==21=−421)(=−21，故A 正确.对于B ，因为=−z 212，所以==z 12，故B 正确；对于C ，根据复数的概念可知z 2，故C 错误；对于D ，根据复数的概念可知z 2在复平面内对应的点为⎝⎭⎪ ⎪−⎛⎫221，故D 正确.故选：C.【例8-2】（2023·高一课时练习）已知z 1、∈z C 2，且=z 11，若+=z z 2i 12，则−z z 12的最大值是（ ）． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【解析】设=+∈z a b a b i,,R 1)(，=z 11，故+=a b 122，+=z z 2i 12，则=−+−z a b 2i 2)(，−=+−===z z a b 222i 12)(∈−b 1,1][，当1b时，−z z 12有最大值为4.故选：C【例8-3】（2023江苏镇江）（多选）已知复数=+z a b i 111，=+z a b i 222（a 1，b 1，a 2，b 2均为实数），下列说法正确的是（ ） A ．若=z z 212，则>z z 12B ．z 1的虚部为b 1C ．若z z =12，则=z z 1222D ．=z z 1122【答案】BD【解析】对于A ，复数不等比较大小，A 项错误；对于B ，复数=+z a b i 111，a 1是实部，b 1是虚部，B 项正确；对于C ，z z =12==−+z a b a b 2i 11111222，=−+z a b a b 2i 22222222，不能得到=z z 1222，所以C 项错误；对于D ，=+z a b 111222，=−+z a b a b 2i 11111222，==+z a b 111222，所以=z z 1122，D 项正确；故选：BD.强化训练1．（2022·全国·统考高考真题）若=−z 1，则−=zz z1（ ）A ．−1 B ．−1C ．−31D ．−31【答案】C【解析】=−=−−=+=z zz 1(1113 4.−==−zz z 131故选 ：C2．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）若复数z 满足+⋅=+z (12i)34i （其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是115 B ．z 的虚部是52C ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限D ．=z 5 【答案】C【解析】由题设++−===−++−z 12i (12i)(12i)55i 34i (34i)(12i)112，==z ||=+z 55i 112, A 选项，z 的实部是511，故A 错误；B 选项，z 的虚部是−52，故B 错误； C 选项，复数z 对应的坐标为⎝⎭⎪⎛⎫55,112，在复平面内对应的点在第一象限，故C 正确；D 选项，z D 错误.故选：C3．（2023秋·江苏·高三统考期末）若复数z 满足≤−z 12，则复数z 在复平面内对应点组成图形的面积为（ ） A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π4【答案】D【解析】z 在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，=S π4，故选：D.4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知R ∈a ，+=+a (5i)i 15i （i 为虚数单位），则a =（ ） A ．−1 B ．1 C ．−3 D ．3【答案】A【解析】由题意知，+=−+=+a a (5i)i 5i 15i ，则=−a 1.故选：A.5．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若复数z 满足−=z z 2i ，则++=z 32i （ ）A B C ．D 【答案】B【解析】+==−z 1i1i 2，则++=+=z 32i 4i B. 6．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知复数=−z 2i ，且−+=z az b i ，，其中a ，b 为实数，则−=a b （ ） A ．－2 B ．0C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意得=+z 2i ，则代入原式得：+−−+=a b 2i 2i i )(，即−+++=a b a i 221i )()(，所以⎩+=⎨⎧−+=a a b 11220，解得⎩=−⎨⎧=b a 20，所以−=a b 2．故选：C ．7．（2023·四川凉山·统考一模）已知复数z 满足=+−z1i 13i，z 是z 的共轭复数，则+z z 等于（ ） A ．−2i B ．−2C ．−4iD ．−1【答案】B【解析】由题意在=+−z 1i 13i 中，()()++−−====−=−−−−++−−z 1i 1i 1i 1i 212i 13i 3i 4i 14i 213i 1i 22)()( ∴=−+z 12i ∴+=−−−+=−z z 12i 12i 2故选：B.8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）若+=z 12i i （i 为虚数单位），则=z （ ）A．5 B CD 【答案】B【解析】由+=z 12i i 得==−+z i2i 12i，所以==z ，故选：B 9．（2023·江苏南通·统考一模）在复平面内，复数z z ,12对应的点关于直线−=x y 0对称，若=−z 1i 1，则−=z z 12（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】C【解析】=−z 1i 1对应的点为1,1，其中1,1关于−=x y 0的对称点为−1,1)(，故=−+z 1i 2，故−=−−=−==z z 1i+1i 22i 12故选：C10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知复数z 满足=+z i21，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】=+z i2=2-i 1，所以z 的共轭复数为=+z 2i ，对应在复平面内的点为（2，1），在第一象限， 故选：A11（2023·陕西榆林·统考一模）已知+−−=−z z z z 282i )()(，则+=z i （ ）A．B ．CD 【答案】A【解析】设R =+∈z a b a b i ,)(，则+−−=+=−=−z z z z z z a b 2342i 82i )()(，则==a b 2,1，故+=+=z i 22i 故选：A12．（2023·贵州毕节·统考一模）已知复数=+++z a a a 1i 2)(为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．0或−1C ．1D ．−1【答案】A【解析】因为复数=+++z a a a 1i 2)(为纯虚数，则⎩+≠⎨+=⎧a a a 1002，解得=a 0.故选：A.13．（2023·全国·模拟预测）已知复数z 满足−=+z z 2537i )(，则z 的虚部为（ ） A ．−1311B ．511 C ．1329 D ．−529 【答案】C【解析】对−=+z z 2537i )(移项并整理，得−=+z 23i 57i )(， ∴()()−−+===−++++z 23i 23i 23i 1313i 57i 112957i 23i )()(，∴z 的虚部为1329.故选：C. 14．（2022·全国·统考高考真题）若=+z 1i ．则+=z z |i 3|（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为=+z 1i ，所以+=++−=−z z i 3i 1i 31i 22i )()(，所以+==z z i 3 故选：D.15．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）若复数R +=∈+z a a 3i3i)(是纯虚数，则=z （ ） A ．−1 B ．−iC ．−a iD ．3i【答案】B 【解析】==+−++−z a a a 10103i 3i 339i )()()(为纯虚数，=−=a z 1,i ，=−z i ，故选：B .16．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）i 是虚数单位，设复数z 满足−=+z i 113i )(，则z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为+==13i 2，所以−−+−====−+++−+z i 1(i 1)(i 1)222i 23i (23i)(i 1)15i 15， 所以=+z 22i 15，所以z 的共轭复数对应的点位于第一象限，故选：A 17．（2023秋·浙江·高三期末）已知复数=+∈=z b b z i2i(R),212（其中i 为虚数单位），若−z z 12=b （ ） A ．1 B ．−5 C ．1或−5 D ．−1或5【答案】C【解析】由题意得==−z i2i 22，则−=++z z b 2(2)i 12，所以−==z z 12−b =5或=b 1，故选：C18．（2023广东深圳）设复数z 满足⋅+=−+z 12i 34i )(，则z 的虚部为（ ） A ．−2i B ．2iC ．−2D ．2【答案】D【解析】由⋅+=−+z 12i 34i )(可得++====−−−+z 12i 12i 512i 55(12i)34i ，故=+z 12i ，则z 的虚部为2，故选：D19．（2022·山东济南·山东省实验中学校考模拟预测）虚数单位i 的平方根是（ ） A ．−1B．−−i 22C+22D．+22或 【答案】D【解析】设i 的平方根为+∈a bi a b R (,)，则+=−+=a bi a b abi i ()2222，所以⎩=⎨−=⎧ab a b 21022，解得⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=⎧b a 22或⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=−⎧b a 2． 所以i的平方根为+i 22或−22． 故选：D ．20．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）若复数z 满足+−=+z z z z 2+323i )()(，则z =（ ） A ．+22i 11B ．−22i 11C ．+22iD ．−22i【答案】A【解析】设=+∈z a b a b i ,R )(，则=−z a b i ，所以+=++−=z z a b a b a i i 2)()(，−=+−−=z z a b a b b i i 2i )()(，所以+−=++z z z z a b 2+346i=23i )()(，所以===+a b z 2222,,i 1111.故选：A 21．（2023·广东佛山·统考一模）设复数z 满足+=−z 1i 52i 2)(，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵+=−z 1i 52i 2)(，则()+===−−−−z 1i 2i 21i 52i52i 52，∴z 在复平面内对应的点为⎝⎭ ⎪−−⎛⎫21,5，位于第三象限.故选：C.22．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知复数+z1i 为纯虚数，且+=z 1i1 ，则z =（ ） A ．−1i B ．+1i C ．−+1i 或−1i D ．−−1i 或+1i【答案】C【解析】设=+z a b i (a ，b ∈R )，则++===+++−+−z a b a b b aa b 1i 1i 222i i i 1i )()( ， 因为复数+z 1i 为纯虚数，所以⎩⎪≠⎪−⎨⎪⎪=⎧+b a a b 20,20,解得⎩≠⎨⎧=−a b a b ,, 又+=z 1i 1，所以=−b a 21或=−−b a21，解得=b 1或1b ，所以=−+z 1i 或=−z 1i ．故选:C23．（2023·安徽马鞍山·统考一模）若复数z 满足−=−zz z i 3i ，则z 的虚部为（ ） A ．−1 B ．2C ．1或2D ．−1或2【答案】D【解析】设复数=+∈z a b a b i(,R)，因为−=−zz z i 3i ，即+−−=−a b a b i 3i 22，所以⎩=⎨+−=⎧a a b b 1322，解得：1b或=b 2，所以z 的虚部为−1或2，故选：D .24．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知复数z 满足−=z (12i)i 2023，则=z （ ） A ．−55i 21 B ．+55i 21C ．−55i 12D ．+55i 12【答案】A【解析】因为=⨯=−ii ii 202321011)(，所以()()−−−+====−−−+z 12i 12i 12i 12i 55i i i 21i 12i 2023)(，故选：A. 25．（2023·河南郑州·统考一模）已知i 是虚数单位，若复数z 的实部为1，⋅=z z 4，则复数z 的虚部为（ ）A．B ．C ．−1或1D ．【答案】A【解析】由题意，设=+z b 1i ，则=−z b 1i ，所以⋅=+−=z z b b 1i 1i 4)()(，即+=b 142，所以=b =−z 1或z =+1，所以复数z 的虚部为故选：A.26．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知复数=++z 1i i 3)(，则复数z 的模为（ ）AB ．CD 【答案】C【解析】因为=++=−+z 2i(1i)i 23i ，所以=z C.27．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知复数=−z i 12的共轭复数为z ，则−=z i2（ ） A ．−1i B ．+2iC ．+1iD ．−+1i【答案】A【解析】由题知=+z 12i ，所以−+==−z i1i 1i 22故选：A 28．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知复数=−z 12i 1，=+z 1i 2，则复数z z 12的模z z 12等于（ ）A B C ．D ．【答案】B【解析】复数=−z 12i 1，=+z 1i 2，则=−+=−z z (12i)(1i)3i 12，所以==z z 12故选：B29．（2023·广东梅州·统考一模）已知复数z 满足z +=−1i 2i )(，i 是虚数单位，则z 在复平面内的对应点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由z +=−1i 2i )(可得+===−−−−−z 1i 21i 2i (2i)(1i)， 则z 在复平面内的对应点为−−(1,1)，落在第三象限，故选：C 30．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知z 是纯虚数，−+z 1i2是实数，那么=z （ ） A ．2i B ．iC ．−iD ．−2i【答案】A【解析】因为z 是纯虚数，故可设）=≠z b b i(0，所以()()−−−+=+−−+z b b 1i 1i 1i 1i =22i 2i 1i )()(=++−b b 222i)(，因为−+z 1i 2是实数，所以−=b 20，即=b 2，所以=z 2i .故选：A31．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设a 为实数，若存在实数t ，使+−−t a 2i(1)i i2为实数(i 为虚数单位)，则a 的取值范围是（ ） A ．≥−a 2 B ．0a< C ．≤−a 1 D ．≤−a 2【答案】A 【解析】⎝⎭⎪+−+−−−+−−+−−⎛⎫−−−t t t t a a a a 2i 222221i=1i=i 1i=1i i11i i 2222)()()()()(， 因为存在实数t ，使+−−t a 2i (1)i i 2为实数，a 为实数，所以存在实数t ，−−=t a2102，故存在实数t ，−=t a 222， 所以≥−a 2，故选：A.32．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）设复数z 满足+=z i 2，z 在复平面内对应的点为x y ,)(，则（ ） A ．−+=x y 1422)( B ．++=x y 1422)( C ．+−=x y 1422)( D ．++=x y 1422)(【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为，x y ()，则复数=∈z x y x y +i,,R ，则+=++=z x y i (1)i 2，由复数的模长公式可得++=x y (1)422，故选：D ．33．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）设复数z 满足−=−z z z 1，则z 在复平面上对应的图形是（ ） A ．两条直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线【答案】A【解析】设=+z x y i ，则=−z x y i ，−=−z z z 1可得：−+=x y y 12222)()(，化简得：−=x y 1322)(，即−=x y 13或−=−x y 13，则z 在复平面上对应的图形是两条直线.故选：A34．（2022春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考开学考试）满足条件−=+z i 34i （i 是虚数单位）的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】B【解析】因为+==34i 5，设=+z x y i ∈x y ,R )(，所以−=+−z x y i 1i )(，所以i −==z 5，两边平方得+−=x y 12522)(，满足条件的复数在复平面上对应的点的轨迹是圆， 故选：B35（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知复数z 满足+=+ααz 1i sin i cos )(（i 是虚数单位），则=z （ ）A ．21B C ．2D ．1【答案】B【解析】因为+=+ααz 1i sin i cos )(， 所以()()++−===+++−++−ααααααααz 1i 1i 1i 22i sin i cos sin cos sin cos sin i cos 1i )()(，解得==z 故选：B36．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知复数+1i 是关于x 的方程++=∈x px q p q 0(,R)2的一个根，则+=p q i （ ）A．4 B ．C ．8D ．【答案】D【解析】因为复数+1i 是关于x 的方程++=x px q 02的一个根，所以⎩+=⎨++++=⇒+++=⇒⎧+=p p q p q p p q 201i 1i 02i 002)()()(，解得=−=p q 2,2，所以+==p qi另解：因为复数+1i 是关于x 的方程++=∈x px q p q 0(,R)2的一个根， 所以复数−1i 也是关于x 的方程++=∈x px q p q 0(,R)2的一个根， 所以有++−==−+−==p q 1i 1i 2,1i 1i 2)()(解得=−=p q 2,2，所以+=p qi 故选：D37．（2023·全国·模拟预测）若复数=+++⋅⋅⋅+z n i i i i 23，∈n N *则z 的最大值为（ ）A．1 B C D ．2【答案】B【解析】因为=i i 1，=−i 12，=−i i 3，=i 14，，=+k i i 41，=−+k i 142，=−+k i i 43，=k i 14，∈k N ，且+++=i i i i 0234，所以当=n k 4，∈k N *)(时=z 0，则=z 0，当=+n k 41，∈k N )(时=z i ，则=z 1，当=+n k 42，∈k N )(时=−+z 1i ，则==z当=+n k 43，∈k N )(时=−z 1，则=z 1，所以z 故选：B38．（2021秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）已知函数+=−−x f x x 1()log (1)212的定义域为A ,复数−=−−z a 12ii 3i,若∈a A ,则z ||的取值范围是( )A ．<z 1B ．≤<z 1C ．≤≤z 1D ．<≤z 1【答案】B 【解析】由+−>−x x 11021,得+>−+x x 102,即−<<x 12,所以=−A (1,2) 因为复数−=−=−+−=+−−z a a a 12i 5i (3i)(12i)i 1(1)i 3i 1所以z ||因为∈−a (1,2),所以z || 故选：B39．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）设z 1，z 2为复数，下列命题一定成立的是（ ）A ．如果=z a 1，a 是正实数，那么=z z a 112B ．如果z z =12，那z z =±12C ．如果≤z a 1，a 是正实数，那么−≤≤a z a 1D ．如果+=z z 01122，那么==z z 012 【答案】A【解析】设）（，=+=+∈z x y z x y x y x y i,i ,,,R 1112221122，对A ：∵==z a 1，则+=x y a 11222，∴=+−=+=z z x y x y x y a i i 11111111222)()(，A 正确；对B ：∵z z =12=+=+x y x y 11222222，不能得到=±=±x x y y ,1212，更不能得到z z =±12，例如==z z 1,i 12，则==z z 112，但≠±z z 12，B 错误；对C ：∵=z a 1，则+≤x y a 11222，但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C 错误；对D ：∵+=z z 01122，则+++=−++−+=+−−++x y x y x y x y x y x y x x y y x y x y i i 2i 2i 2i=0112211112222121211222222222222)()()()()()(，可得⎩+=⎨+−−=⎧x y x y x x y y 00112212122222，不能得到====x y x y 01122，例如==z z 1,i 12，则+=−=z z 1101122，但显然≠≠z z 0,012，D 错误.故选：A.40．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知复数1232023i i i i 1i +++++=z ，则复数z 的虚部是（ ） A ．21B ．−21C ．2i 1D ．−2i 1【答案】A 【解析】1232023i i i i 1i 1i 1i++++===+++−−+−−+++++++z i 1i 505i 1i 1i i i 505i i i i 1231234)()()()(+===−−+−−1i 2211i1i )(，故虚部为21 ，故选：A 41．（2022春·广西）下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ）A ．若关于x 的方程+++−=∈i x ax i a R 11402)()(有实根，则=−a 25B ．复数z 满足+=z i i12020)(，则z 在复平面对应的点位于第二象限C ．=−+++z a a a i 412312)(，=++i z a a a 222)(（i 为虚数单位，∈a R ），若>−a 21，则>z z 12D ．+i 12是关于x 的方程++=x px q 02的一个根，其中p ､q 为实数，则=q 5 【答案】D【解析】对于A 中，设方程的实数根为t ，代入方程可得+++−=i i t at 11402)(，所以⎩−=⎨++=⎧t t at 401022，解得=±a 25，所以A 不正确；对于B 中，复数+=z i i 12020)(，可得==−++=i i i i z 12112112020，则复数z 在复平面内对应的点为−22(,)11，位于第四象限，所以B 不正确；对于C 中，复数=−+++z a a a i 412312)(，=++i z a a a 222)(，当>−a 21时，可知当+≠a a 02时 ，因为虚数不能比较大小，所以C 不正确；对于D 中，+i 12是关于x 的方程++=x px q 02的一个根， 根据复数方程的性质，可得−i 12也是方程的根，可得⎩+−=⎨⎧++−=−i i q i i p (12)(12)1212，解得=−=p q 2,5，所以D 正确.故选：D.42．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）（多选）已知i 为虚数单位，复数，，=−=+∈z a z a a 2i 2i R 12)(，下列结论正确的有（ ）A ．z z =12B ．=z z 12C ．若+=⋅z z z z 21212)(，则=a 2D ．若=−z i 2，则=a 0 【答案】AC【解析】A 选项，==z z 12，A 选项正确. B 选项，=+≠z a z 2i 12，B 选项错误. C 选项，+=++−z z a a 22424i 12)()(， ⋅=+−z z a a 44i 122)(，若+=⋅z z z z 21212)(，则⎩−=−⎨⎧+=a a a a 2442442，解得=a 2，所以C 选项正确. D 选项，当=a 0时，=≠−z 2i 2，所以D 选项错误. 故选：AC43．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）（多选）设i 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ） A ．=⋅z z z z 1212B ．若z z ,12互为共轭复数，则z z =12C ．若z z =12，则=z z 1222D ．若复数=++−z m m 11i )(为纯虚数，则=−m 1【答案】ABD 【解析】由题意得：对于选项A ：令=+=+z a b z c d i,i 12则⋅=++=−++z z a b c d ac bd ad bc i i i 12)()()( =−++ac bd ad bc 22)()(=⋅z z 12所以=⋅z z z z 1212，故A 正确；对于选项B ：令=+=−z a b z a b i,i 12，z z 12z z =12，故B 正确；对于选项C ：令=+=−z a b z a b i,i 12，==z z 12，根据复数的乘法运算可知：=+=−+z a b a b ab i 2i 12222)(，=−=−−z a b a b ab i 2i 22222)( ，≠z z 1222，所以C 错误；对于选项D ：若复数=++−z m m 11i )(为纯虚数，则+=m 10，即=−m 1，故D 正确. 故选：ABD44．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）（多选）若复数=+z i 121，=−z 73i 2，则下列说法正确的是（ ）．A ．=z 1B ．在复平面内，复数z 2所对应的点位于第四象限C ．⋅z z 12的实部为13D ．⋅z z 12的虚部为−11 【答案】ABC【解析】由题意得，==z 1A 正确；在复平面内，复数z 2所对应的点为−7,3)(，位于第四象限，故B 正确； ∵⋅=+−=−++=+z z 12i 73i 73i 14i 61311i 12)()(， ∴⋅z z 12的实部为13，虚部为11，故C 正确，D 错误． 故选:ABC ．45．（2023秋·浙江宁波·高三期末）（多选）已知∈z z C ,12，且=+=z z z 10112，则（ ）A ．当R =−=+∈z z x y x y 1i,i(,)12时，必有++−=x y (1)(1)1022B ．复平面内复数z 1C ．−=z i 1min 1D ．=+z z 1max12【答案】BD【解析】A 项：+=⇒++−=z z x y 10111001222)()(，故错误；B 项：因为=z 1，故正确；C 项：−≥−=z i z i ||||111，当z 1与i 对应向量同向时取等，故错误；D 项：==≤==+z z 112+z z 12与z 1对应向量反向时取等，故正确. 故选：BD.46．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．−=+−z z z z z z 412121222)(B ．−z z 11是纯虚数或零C ．+≤+z z z z 1212恒成立D ．存在复数z 1，z 2，使得<z z z z 1212【答案】BC【解析】对于A ：+−=−z z z z z z 412121222)()(，令−=+z z x y i 12， 则−=+=−+z z x y x y xy i 2i 122222)()(，−==+z z x y 12222，+xy 22与−+x y xy 2i 22不一定相等，故A 错误；对于B ：=+z a b i 1，则=−z a b i 1，−=z z b 2i 11，当=b 0时为零，当≠b 0时为纯虚数，故B 正确；对于C ：=+=+==z x y z a b z z i,i,1212则+=z z 12+=z z ||||12，(ay bx −≥02),则+−≥a y b x abxy 202222，∴+++≥++a x b x a y b y a x b y abxy 442222222222222)()(∴++≥+x y a b ax by 42222222)()()(∴+ax by 22∴++++≥+++++x y a b x y a b ax by 2222222222，∴≥22，∴+−+≥z z z z ||||0121222)()(故C 正确；对于D ：设=+=+==z x y z a b z z i,i,1212则z z ||||12=+++=−++z z ax xb ay by ax by xb ay i i i i 122)()(==z z 12z z ||||12，故D 错误.故选：BD.47．（2022秋·甘肃甘南）（多选）已知=+∈z a b a b i ,R )(为复数，z 是z 的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）A ．若z 2为纯虚数，则=≠a b 0B ．若∈z R 1，则∈z RC ．若−=z i 1，则z 的最大值为2D ．⋅=z z z ||2【答案】BCD【解析】对于A ，=+=−+z a b a b ab (i)2i 2222)(为纯虚数，所以⎩≠⎨−=⎧ab a b 20022，即=±≠a b 0，所以A 错误；对于B ，()()++−++===−−z a b a b a b a b a ba b a bi i i i 11i 2222， 因为∈zR 1，所以=b 0，从而∈z R ，所以B 正确；对于C ， 由复数模的三角不等式可得=−+≤−+=z z z i i i i 2)(，所以C 正确；对于D ，⋅=+−=+=z z a b a b a b z i i ||222)()(，所以D 正确.故选：BCD ．48．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）（多选）已知复数z 1，z 2，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．若=z z 012，则=z 01或=z 02B ．若+=z z 01222，则==z z 012 C ．若=z z 1222，则z z =12D ．若z z =12，则=z z 1222【答案】AC【解析】对于A ， 设=+=+∈z x y z a b x y a b i,i,,,,R 12)(， 若=z z 012，则=++=−=z z x y a b xa yb xb ya i i ++i 012)()()(，所以⎩=⎨⎧−=xb ya xa yb +00，即⎩=−⎨⎧=xb ya xa yb，所以=−x y ab ab 22，若0a b ，则=−x y ab ab 22成立，此时=z 02；若，=≠a b 00，由=xa yb 得=y 0，由=−xb ya 得=x 0，此时=z 01； 若，≠≠a b 00，由=−x y ab ab 22得=−x y 22，所以==x y 0，此进=z 01， 所以若=z z 012，则=z 01或=z 02，故A 正确；对于B ，设=+=−z z 1i,1i,12则+=+−=z z 1i +1i 0122222)()(，故B 不正确； 对于C ，设=+=+∈z x y z a b x y a b i,i,,,,R 12)(，所以=+−=−∈z x y x y xy z a b ab x y a b i =+2i,+2i ,,,R 12222222)()(，若=z z 1222，则⎩⎩==⎨⎨⇒⎧−=−⎧=xy ab y b x y a b x a 222222或⎩=−⎨⎧=−y b x a ， 所以z z =12，故C 正确；对于D ， 由z z =12，取=+z 1i 1，=−z 1i 2满足条件，而=≠=−z z 2i 2i 1222，故D 不正确. 故选：AC.49．（2023·高一课时练习）在复平面上的单位圆上有三个点Z 1，Z 2，Z 3，其对应的复数为z 1，z 2，z 3．若−=+=z z z 1213△Z Z Z 123的面积S ＝______．【解析】由题意知，===z z z 1123， 由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，得⋅∠==−+−−z z Z OZ z z z z 22cos 112121212222，即∠=︒Z OZ 12012，⋅∠=−=+−+z z Z OZ z z z z 22cos 113131313222，即∠=︒Z OZ 6013，当OZ 2与OZ 3反向，=⨯⨯=S 22221；当线段OZ3在∠Z OZ12的内部时，==S2211所以△Z Z Z123..50（2023·高三课时练习）已知复数=−θz cos i1，=+θz sin i2，则⋅z z12的最大值为______．【答案】23【解析】⋅=⋅== z z z z1212===∵∈θsin20,12][，∴当=θsin212时，⋅z z12=23.故答案为：23.51．（2023·=______．====21)52．（2023·高一课时练习）设z 1，z 2，∈z C 3，下列命题中，假命题的个数为______． ①z z −=11；②若=z z 1222，则⋅=⋅z z z z 1122；③⋅=z z z z z z 3333121222； ④若−+−=z z z z 0122322)()(，则==z z z 123；⑤+≤z z z z 2121222．【答案】2【解析】令+z a b =i 1，+z c d =i 2，则−z a b =i 1,−z c d =i 2.则①−==z z 11，判断正确；②若=z z 1222，则=z z 1222，则=z z 1222又⋅=z z z 1112，⋅=z z z 2222，则⋅=⋅z z z z 1122.判断正确；③==⋅z z z z z z z z z 333333121212222.判断正确； ④若令z =2i 1，z =i 2，+z =1i 3，则−+−=−+=z z z z 110122322)()(， 但此时≠≠z z z 123.判断错误； ⑤当+z =23i 1，+z =2i 2时，=<+−=−=−z z z z z z 22i 402212121222)()(，即+>z z z z 2121222.判断错误.故答案为：253．（2023·上海·统考模拟预测）设∈z z ,C 12且=⋅z z i 12，满足−=z 111，则−z z 12的取值范围为_____．【答案】⎣⎡0,2【解析】设=+=+∈z a b z c d a b c d i,i,,,,R 12，=−z c d i 2，则+=⋅−=+a b c d d c i i i i )(，所以⎩=⎨⎧=b c a d ，−=−+==z a b 11i 11)(，所以−+=a b 1122)(，即z 1对应点a b ,)(在以1,0)(为圆心，半径为1的圆−+=x y 1122)(上.=+=+z c d b a i i 2，z 2对应点为b a ,)(，a b ,)(与b a ,)(关于=y x 对称，所以点b a ,)(在以0,1)(为圆心，半径为1的圆+−=x y 1122)(上，−z z 12表示a b ,)(与b a ,)(两点间的距离，圆−+=x y 1122)(与圆+−=x y 1122)(，如图所示，所以−z z 12的最小值为0+=112所以−z z 12的取值范围为⎣⎡0,2.故答案为：⎣⎡0,254．（2023·高三课时练习）复数z 1与z 2在复平面上对应的向量分别为OZ 1与OZ 2，已知=z i 1，OZ OZ ⊥12，且=OZ OZ 12，则复数=z 2______.【答案】1或−1【解析】依题意，(3,1)OZ =1，设(,)OZ x y =2，由OZ OZ ⊥12得：30OZ OZ ⋅=+=x y 12，由=OZ OZ 12得：+=x y 422，联立解得⎩⎪=⎨⎪⎧=y x 1⎩⎪⎨⎪⎧=−y x 1(1,3)OZ =−2或(1,3)OZ =−2，所以=z 12或=−z 12.故答案为：1或−155（2023·高三课时练习）已知复数z 满足−−≤−−+z z 12log 11121，则z 在复平面上对应的点Z所围成区域的面积为______． 【答案】π21 【解析】12log 1,2,215z z z z −+−+−−−−≤−∴≥<−≤z 12121111，∴=−=s π(52)21π22. 故答案为: π2156（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知=+z x y i ，x 、∈y R ，i 是虚数单位.若复数++z1ii 是实数，则z ||的最小值为______.【【解析】复数++−+=+=+=++−++−+−+z x y x y y x x y y x 1i (1i)(1i)222i i i i (i)(1i)()i 2是实数， 所以=−+y x 202，得=+x y 2.所以===≥z ||当且仅当=−y 1，=x 1取等号，所以z ||.。
高考复习：复数的概念及运算
高考复习：复数的概念及运算contents•复数的基本概念•复数的运算性质目录•复数的三角形式•复数的应用与例题解析CHAPTER复数的基本概念0102复数的定义复平面复数的实部是`a`，表示在实轴上的点；虚部是`b`，表示在虚轴上的点。
实部和虚部模和辐角复数的几何意义复数的四则运算01020304加法减法乘法除法CHAPTER复数的运算性质运算法则例子定义运算法则例子030201运算法则例子定义CHAPTER复数的三角形式总结词通过运用正弦函数，可以将复数表示为正弦形式，简化复数的表示和计算。
详细描述复数的正弦形式是利用正弦函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(cosθ+sinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
这种表示方法将复数转化为实数和虚数的和，方便进行计算和简化。
例如，计算复数的乘法时，可以将正弦和余弦部分分别相乘，再相加得到结果。
总结词详细描述总结词通过运用正切函数，可以将复数表示为正切形式，方便进行计算和简化。
详细描述复数的正切形式是利用正切函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(tanθ)，其中r为模长，θ为辐角。
这种表示方法将复数转化为实数和虚数的比值，方便进行计算和简化。
例如，计算复数的乘法时，可以将实数部分相乘，虚数部分相乘，再相除得到结果。
但是需要注意正切函数在某些角度下存在无穷大或无穷小的值，这会导致计算出现误差或溢出等问题。
因此在实际计算中需要注意角度的范围和数值稳定性。
CHAPTER复数的应用与例题解析复平面向量解析几何力学在处理波动、振动等问题时，复数能够帮助我们更好地理解系统的稳定性和频率响应。
电学在电学中，复数被广泛应用于交流电、电磁场等领域。
量子力学在量子力学中，复数被用来描述微观粒子的波函数和能量。
控制理论在控制系统中，复数被用来描述系统的稳定性和性能。
信号处理在信号处理领域，复数被用来进行傅里叶变换、滤波等操作。
图像处理在图像处理中，复数被用来进行图像的频域分析和滤波。
复数的高考必备知识点
复数的高考必备知识点复习高考，是所有学生必须经历的一段时间，而其中最重要的就是掌握高考的必备知识点。
高考的题目范围广泛，考查的知识点也非常繁多，掌握这些知识点，对于备战高考至关重要。
本文将为大家总结复数的高考必备知识点，并从不同学科的角度进行讲解。
一、语文1. 名词复数形式的构成：大多数名词在单数形式后面加-s构成复数形式，如book-books。
以-s、-sh、-ch、-x结尾的名词，在单词后面加-es构成复数，如class-classes。
以-o结尾的名词，一般加-es构成复数，如potato-potatoes。
但也有例外，如photo-photos。
2. 不可数名词没有复数形式。
例如：information，water。
二、数学1. 复数的基本概念：复数是实数和虚数的总称，形如a+bi的数称为复数，其中a是实部，b是虚部，而i是虚数单位。
2. 复数的加减法：实部相加，虚部相加，例如(3+2i)+(1+3i)=4+5i。
实部相减，虚部相减，例如(3+2i)-(1+3i)=2-1i。
3. 复数的乘法：实部相乘减虚部相乘，例如(3+2i)*(1+3i)=(3*1-2*3)+(3*2+1*3)i=3-6+6i+3i=9-3+9i=6+9i。
4. 复数的除法：利用复数的共轭进行计算，例如(3+2i)/(1+3i)=(3+2i)(1-3i)/(1+3i)(1-3i)=[(3+2i)(1-3i)]/[(1+3i)(1-3i)]=(3-9i+2i-6i^2)/(1-3i+3i-9i^2)=(3-7i+6)/(1+9)=(9-7i)/10=0.9-0.7i。
5. 复数的幂运算：利用指数法则进行计算，例如(i^2)^3=i^6=(-1)^3=-1。
三、化学1. 元素符号的复数形式：化学元素的符号在表示复数形式时，一般在后面添加-s，如atoms。
2. 化学方程式中的复数：在化学反应方程式中，反应物和生成物的系数表示物质的摩尔比。
高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题复习讲练 1 复数的性质
§ 1 复数的性质一、复习要点1．复数的有关概念和性质：（1）两个复数相等的充要条件；（2）复数是实数或纯虚数的充要条件；（3）互为共轭的两个复数的性质；（4）复数的辐角和模的性质．2．复数运算中的几个常用结论：（1）（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1－ｉ）／（1＋ｉ）＝－ｉ；（2）ｉｎ＋ｉｎ＋１＋ｉｎ＋２＋ｉｎ＋3＝0（ｎ∈Ｚ）；（3）设ω＝－（1／2）±（／2）ｉ，则ω3ｎ＝1；（1／ω）＝；ωｎ＋ωｎ＋１＋ωｎ＋２＝0（ｎ∈Ｚ）．3．复习中应把握好的几个要点：（1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考．要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择．（2）应注意解题后的反思．反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力．二、例题讲解例1 （1）已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ｂ＜0，ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｂ－ａｉ，ａｒｇｚ１＝θ，则ａｒｇｚ２等于（）．Ａ．π－θＢ．（π／2）＋θＣ．θ－（π／2）Ｄ．（3π／2）－θ（2）复数（2＋2ｉ）４／（1－ｉ）５等于（）．Ａ．1＋ｉＢ．－1＋ｉＣ．1－ｉＤ．－1－ｉ讲解：（1）显然ｚ１与ｚ２有联系，欲把ａｒｇｚ２用ａｒｇｚ１表示，当找出ｚ２与ｚ１的运算联系．仔细分析，得ｚ２＝－ｉｚ１．∴ａｒｇｚ２＝θ－（π／2），选Ｃ．（2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于2＋2ｉ与1－ｉ的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（2＋2ｉ）４＝－2６，（1－ｉ）５＝2４（1＋ｉ），∴原式＝－[4／（1＋ｉ）]＝－1＋ｉ，选Ｂ．若认真思考一下选项，发现4个选项所给复数的对应点分别位于4个不同象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来．∵2＋2ｉ的一个辐角是θ１＝π／4，1－ｉ的一个辐角是θ２＝－（π／3），∴所求复数的一个辐角为θ＝4θ１－5θ２＝π＋（5π／3）＝2π＋（2π／3），位于第二象限．故排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ．例2 设复数ｚ＝－＋ｉ，记ｕ＝（4／ｚ）３．（1）求复数ｕ的三角形式；（2）如果（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，求实数ａ、ｂ的值．讲解：这道题的两问是有联系的．第（1）问最容易想到将ｚ＝－＋ｉ代入ｕ＝（4／ｚ）３后，先得到ｕ的代数式，再化成三角形式，但是要将（4／ｚ）３化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错．事实上，要求ｕ的三角形式，只要求得｜ｕ｜及ａｒｇｕ即可．注意到复数有关性质就不难得解．第（2）问是先将ｕ和ｚ代入化简后，得到带有ａ、ｂ的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于ａ、ｂ的方程组，再解方程组即可．（1）∵｜ｚ｜＝＝2，∴｜ｕ｜＝｜（4／ｚ）３｜＝（4／｜ｚ｜）３＝2．令ａｒｇｚ＝θ，则ｃｏｓθ＝－（／2）＝－（／2），ｓｉｎθ＝1／2，∴θ＝（5π／6），从而ａｒｇｕ＝－（5π／6）×3＋4π＝3π／2．∴ｕ的三角形式为ｕ＝2（ｃｏｓ（3π／2）＋ｉｓｉｎ（3π／2））．（2）由（1）知，ｕ＝－2ｉ，代入（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，得－（／8）ａ－（（／8）ａ－（／4）ｂ）ｉ＝－－3ｉ．由复数相等的充要条件，得方程组（／8）ａ＝，（／8）ａ－（／4）ｂ＝3．解得ａ＝8，ｂ＝－8．例3 已知复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，且｜ｚ１－ｚ２｜＝．（1）求｜ｚ１＋ｚ２｜的值；（2）求证（ｚ１／ｚ２）２＜0；（3）求证对于任意实数a ，恒有｜ｚ１－ａｚ２｜＝｜ｚ１＋ａｚ２｜． 讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质ｚ·＝｜ｚ｜２，则由｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，得ｚ１１＝ｚ２２＝1，这时只要将｜ｚ１－ｚ２｜与｜ｚ１＋ｚ２｜分别改写成与即可． 由ｚ１１＝ｚ２２＝1及（ｚ１－ｚ２）＝2，得ｚ１２＋ｚ２１＝0．∴ （ｚ１＋ｚ２）（ｚ１＋２）＝｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２＋ｚ１２＋ｚ２１＝2，故 ｜ｚ１＋ｚ２｜＝．此题也可利用复数加减法的几何意义求解．（留给读者自己去完成）（2）若（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则（ｚ１／ｚ２）２＝ａ２－ｂ２＋2ａｂｉ，要证（ｚ１／ｚ２）２＜0，即证ａ２－ｂ２+2ａｂｉ∈Ｒ－， ∴ ａｂ＝0，但ｚ１≠0，∴ （ｚ１／ｚ２）≠0，∴ 只能是ａ＝0．∴ 要证原命题，只要证（ｚ１／ｚ２）是纯虚数即可．因此，首先要在已知等式｜ｚ１－ｚ２｜＝中变出（ｚ１／ｚ２）．∵ ｜ｚ１－ｚ２｜＝，｜ｚ２｜＝1，∴ （｜ｚ１－ｚ２｜）／｜ｚ２｜＝，即｜（ｚ１／ｚ２）－1｜＝．∴ （（ｚ１／ｚ２）－1） （＝2，即（（ｚ１／ｚ２）－1）（（１／２）－1）＝2，也即 （ｚ１１／ｚ２２）－（ｚ１／ｚ２）－（１／２）＝1．∴ （ｚ１／ｚ２）＋＝0．设（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），上式化为 （ａ＋ｂｉ）＋（ａ－ｂｉ）＝0，即ａ＝0． 又∵ ｚ１≠0，∴ ａ、ｂ不能全为零，∴ ｂ≠0． 则（ｚ１／ｚ２）＝ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠0）． ∴ （ｚ１／ｚ２）２＝－ｂ２＜0．若注意到｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１－ｚ２｜及ｚ１与ｚ２加减法的几何意义，不难得出｜ｚ１＋ｚ２｜与｜ｚ１－ｚ２｜恰为同一平行四边形的两条对角线长，而已知恰是此平行四边形为正方形的条件，则会得出简解．（请读者证明，并加以比较） （3）利用复数性质｜ｚ｜２＝ｚ·证左、右两边等于同一个值即可．（留给读者完成）三、专题训练 1．已知复数ｚ＝＋ｉ，则ａｒｇ（1／ｚ）是（ ）．Ａ．π／6Ｂ．11π／6Ｃ．π／3Ｄ．5π／32．已知ｚ１＝－（1／2）＋（／2）ｉ，ｚ２＝－（1／2）－（／2）ｉ，并且＝ｉ，那么ｎ可以取（）．Ａ．6Ｂ．8Ｃ．1Ｄ．123．复数ｚ１＝3＋ｉ，ｚ２＝ａ－ｉ，ｚ＝ｚ１·ｚ２，则是实数与是纯虚数的充要条件分别是（）．Ａ．ａ＝3与ａ＝－（1／3）Ｂ．ａ＝－（1／3）与ａ＝3Ｃ．ａ＝3与ａ＝（1／3）Ｄ．ａ＝（1／3）与ａ＝34．（（1－ｉ）６／（－1－ｉ）３）＋（（1＋ｉ）／（1－ｉ））３的值等于（）． Ａ．0Ｂ．2ｉＣ．－2ｉＤ．ｉ5．已知ｉ＝－－ｉ，则｜ｚ｜＝________，ａｒｇｚ＝________．6．已知关于x的实系数方程x２-2ax+a２-4a+4=0的两虚根分别为x１、x２,且|x１|+|x２|=3,则a的值为________．7．给出下列命题：①a,b∈R，且a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件；②ｚ１、ｚ２为复数，ｚ１-ｚ２＞0是ｚ１＞ｚ２的必要条件；③复数z的辐角主值为θ是z２的辐角主值为2θ的充分条件；④非零复数ｚ１、ｚ２对应的向量与垂直的充要条件是ｚ１=ki·ｚ２（k∈R，且k≠0）．其中正确命题的序号为________．8．设复数ｚ１、ｚ２、ｚ３满足ｚ１２＋ｚ３ｚ１＋ｚ３ｚ２＝0，且ｚｉ≠0（ｉ＝1，2，3），求ａｒｇ（ｚ１＋ｚ３／ｚ２＋ｚ３）．9．设非零复数z的辐角主值为（3π／4），且z３+2（z２-zi）是实数．（1）求复数z；（2）若w＝ｃｏｓθ＋isinθ（0≤θ≤2π），求|z-w|的最大值与最小值．10．设ｚ１，ｚ２∈Ｃ，w＝ｚ１ｚ２＋ｚ２ｚ1，ｕ ＝ｚ１ｚ1＋ｚ２２．问w与ｕ能否比较大小．如果能，比较它们的大小；如果不能，说明理由．。
新高考复数知识点总结归纳
新高考复数知识点总结归纳一、名词的复数形式名词的复数形式通常有以下几种情况：1. 一般情况下，在名词末尾加-s：book→books, dog→dogs。
2. 以-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，在末尾加-es：dish→dishes,box→boxes。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es：city→cities, baby→babies。
4. 以-f或-fe结尾的名词，将f或fe改为v，再加-es：wolf→wolves, knife→knives。
5. 一些特殊名词的复数形式需要单独记忆：child→children,man→men, woman→women。
二、不可数名词与可数名词1. 不可数名词是指不能用数目进行计数的名词，一般用单数形式。
常见的不可数名词有：water, milk, bread, information等。
2. 可数名词是指可以进行数目上的计数的名词，可以有复数形式。
常见的可数名词有：book, cat, dog, apple等。
3. 有些名词可以既作不可数名词，又作可数名词，表示不同的意思。
比如：glass可以表示"玻璃杯"，是可数名词；也可以表示"玻璃"，是不可数名词。
三、复数名词的用法1. 表示一般复数概念：They have three cats.2. 表示某些事物的一部分：I ate two slices of pizza.3. 表示一种人或一类东西：The Chinese are good at math.4. 表示许多或一定数量的人或物：Many students go to school by bus.5. 表示两种东西：I want both apples and oranges.四、不规则名词的复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要单独记忆。
下面列举一些常见的不规则名词的复数形式：1. child→children2. man→men3. woman→women4. tooth→teeth5. foot→feet6. goose→geese7. mouse→mice8. ox→oxen九、对不可数名词进行量化对不可数名词进行量化时，可以使用以下方法：1. 使用量词或数量短语来修饰：a bottle of water, a piece of cake。
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》复数
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.5复数最新考纲1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．(×)(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)题组二教材改编2．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |等于()A ．0 B.12C ．1D.2答案C 解析∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C.3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是()A ．1－2i B ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案D解析CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1答案A解析∵z 为纯虚数，2－1＝0，－1≠0，∴x ＝－1.题组三易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析∵复数a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.6．(2020·模拟)若复数z 满足i z ＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析由题意，∵z ＝2－2i i ＝(2－2i )·(－i )i·(－i )＝－2－2i ，∴z ＝－2＋2i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限．故选B.7．i 2014＋i 2015＋i 2016＋i 2017＋i 2018＋i 2019＋i 2020＝________.答案－i解析原式＝i 2＋i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝－i.题型一复数的概念1．(2018·武汉华中师大一附中月考)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则复数z 的虚部为()A.35B ．－35C.35i D ．－35i答案B解析因为(1＋2i)z ＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋2i＝(1－i )(1－2i )5＝－1－3i5，因此复数z 的虚部为－35，故选B.2．(2019·钦州质检)复数2＋i1＋i的共轭复数是()A ．－32＋12iB ．－32－12iC.32－12iD.32＋12i 答案D解析由复数2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ，所以共轭复数为32＋12i ，故选D.3．(2018·烟台模拟)已知复数a ＋2i2－i是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 等于()A ．－4B ．4C ．1D ．－1答案C解析a ＋2i 2－i ＝(a ＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2a －2＋(a ＋4)i5，∵复数a ＋2i2－i为纯虚数，∴2a －2＝0且a ＋4≠0，解得a ＝1.故选C.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于()A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i －i －i 2＝3＋i.(2)i (2＋3i )等于()A ．3－2iB ．3＋2iC ．－3－2iD ．－3＋2i答案D解析i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D.命题点2复数的除法运算例2(1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i1－2i等于()A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案D解析1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z (1＋i)＝1－i ，则z 等于()A ．iB ．－iC ．1＋iD ．1－i答案A解析由题意，复数z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－i ，所以z ＝i ，故选A.命题点3复数的综合运算例3(1)(2018·达州模拟)已知z (1＋i)＝－1＋7i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|z |等于()A.2B ．3＋4i C ．5D ．7答案C解析z ＝－1＋7i 1＋i＝(－1＋7i )(1－i )2＝3＋4i ，故z ＝3－4i ⇒|z |＝5，故选C.(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③|αβ|＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，故②正确；③|αβ|＝|－i |＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i －1＋1＋2i －1＝0，故④正确．故选C.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1(1)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋a i ，z ·z ＝4，则a 为()A ．1或－1B ．1C ．－1D ．不存在的实数答案A解析由题意得z ＝3－a i ，故z ·z ＝3＋a 2＝4⇒a ＝±1，故选A.(2)(2018·潍坊模拟)若复数z 满足z (2－i)＝(2＋i)·(3－4i)，则|z |等于()A.5B ．3C ．5D ．25答案C解析由题意z (2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i ，则z ＝10－5i 2－i ＝(10－5i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5，所以|z |＝5，故选C.题型三复数的几何意义例4(1)(2018·天津河东区模拟)i 是虚数单位，复数1－ii在复平面上对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C解析由题意得1－i i ＝(1－i )i i 2＝1＋i－11－i ，因为复数－1－i 在复平面上对应的点在第三象限，故选C.(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③B 点对应的复数．解①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．跟踪训练2(1)(2018·洛阳模拟)已知复数z ＝5i 3＋4i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的点在()A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案A解析∵z ＝5i 3＋4i ＝5i·(3－4i )(3＋4i )·(3－4i )＝45＋35i ，∴z ＝45－35i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第四象限．故选A.(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．答案5解析由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，x ＋y ＝3，x －y ＝－2，＝1，＝4，故x ＋y ＝5.1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2等于()A ．－8－6iB ．－8＋6iC ．8＋6iD ．8－6i答案C解析∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i 2＝8＋6i.2．(2018·聊城模拟)设复数z ＝(1－i )21＋i，则|z |等于()A ．4B ．2 C.2D ．1答案C解析z ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－i(1－i)＝－1－i ，|－1－i|＝2，故选C.3．(2018·海淀模拟)已知复数z 在复平面上对应的点为(1，－1)，则()A ．z ＋1是实数B ．z ＋1是纯虚数C ．z ＋i 是实数D ．z ＋i 是纯虚数答案C解析由题意得复数z ＝1－i ，所以z ＋1＝2－i ，不是实数，所以选项A 错误，也不是纯虚数，所以选项B 错误．所以z ＋i ＝1，是实数，所以选项C 正确，z ＋i 是纯虚数错误，所以选项D 错误．故选C.4．已知i 为虚数单位，若复数z 满足z ＋iz －i＝1＋i ，那么|z |等于()A ．1 B.2C.5D ．5答案C解析∵z ＋i z －i＝1＋i ，z ＋i ＝(1＋i)(z －i )，i z ＝(2＋i)i ，∴z ＝2＋i ，∴|z |＝1＋4＝5，故选C.5．(2018·成都七中模拟)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若i －2a －i为纯虚数，则a 等于()A.12B ．－12C ．2D ．－2答案B 解析由题意知i －2a －i ＝(i －2)(a ＋i )(a －i )(a ＋i )＝(－2a －1)＋(a －2)i a 2＋1＝－2a －1a 2＋1＋a －2a 2＋1i ，又由i －2a －i为纯虚数，所以－2a －1＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，故选B.6．若复数z 满足(3＋4i )z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于()A ．－15－75iB ．－15＋75iC ．－125－725iD ．－125＋725i 答案D解析由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i ，故选D.7．(2018·济南模拟)设复数z 满足z (1－i)＝2(其中i 为虚数单位)，则下列说法正确的是()A ．|z |＝2B ．复数z 的虚部是i C.z ＝－1＋iD ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限答案D解析z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝2，复数z 的虚部是1，z ＝1－i ，复数z 在复平面内所对应的点为(1,1)，显然在第一象限．故选D.8．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案3或6解析∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．9．(2018·江苏)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．答案2解析由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii＝2－i ，∴z 的实部为2.10．(2018·天津)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________.答案4－i解析6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.11．已知复数z 满足z ＋3z ＝0，则|z |＝________.答案3解析由复数z 满足z ＋3z＝0，则z 2＝－3，所以z ＝±3i ，所以|z |＝ 3.12．若复数z ＝1－i ，则z ＋1z 的虚部是________．答案－12解析z ＋1z ＝1－i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 2＝32－12i ，故虚部为－12.13．(2018·厦门质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝i 3，则|z |＝________.答案22解析由题意知z ＝i 31－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－i ＋12＝12－12i ，则|z |＝22.14．(2019·天津调研)已知i 为虚数单位，复数z (1＋i)＝2－3i ，则z 的虚部为________．答案－52解析由z (1＋i)＝2－3i ，得z ＝2－3i 1＋i ＝(2－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－5i 2＝－12－52i ，则z 的虚部为－52.15．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解(1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，2－4>0，4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．16．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝又z ＋3＝a ＋3＋b i 的实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，0，＋3＝－b ，因为b ≠02＋b 2＝5，＝－b －3，＝－1，＝－2＝－2，＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.17．(2018·威海模拟)若复数a ＋i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案C 解析由题意得z ＝a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2，因为z 在复平面内对应的点在第一象限，＋1>0，－a >0，所以－1<a <1.故选C.18．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋3i 3＋i∈R ，则复数z ＝________.答案3解析∵复数z ＝a ＋3i 3＋i ＝(a ＋3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3(1＋a )＋(3－a )i 4＝3(1＋a )4＋3－a 4i ∈R ，∴3－a 4＝0，即a ＝3.则复数z ＝3(1＋a )4＝434＝ 3.19．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是()A ．[－1,8] B.－916，1C.－916，7 D.916，7答案A 解析由复数相等的充要条件可得＝2cos θ，－m 2＝λ＋4sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋4sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－4sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－4sin θ＋4＝4sin 2θ－4sin θ＝θ－1，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－4sin θ∈[－1,8]．20．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则a ＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．。
专题2.1复数的概念(七个重难点突破)高考数学
故答案为：④.
1
2
3
4
5
6
7
16
8
17
9
18
10
11
12
13
14
15
试卷讲评课件
2 + 2i/2i + 2
6.以2 + i的实部为虚部，2i + 1的虚部为实部的复数为_____________.
【分析】依题意分别确定实部与虚部，即可得解.
【详解】因为 + 的实部为2， + 的虚部为2，故所求复数为 + .
及正切型函数的值域，即可求得参数的范围.
1
2
3
4
5
6
7
16
8
17
9
18
10
11
12
13
14
15
试卷讲评课件
【详解】∵ 是实数， ∈ , ，�� ≠ ，∴ + − = ，
即 =
−
恒成立.
−
又
∴
=
【详解】由
，解得 = −，故 = −.
+≠
故答案为： = −
1
2
3
4
5
6
7
16
8
17
9
18
10
11
12
13
14
15
试卷讲评课件
8.已知x是实数，则“复数x x − 1 + i是纯虚数”的充分不必要条件是“
x = 0(或x = 1)
_______________”.
【分析】根据复数的概念、复数的代数形式以及复数的分类即可求解.
复数测试卷复习题 (含答案)
高考复数专题（1）姓名：1、若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = 02、设i 是虚数单位，则复数32i i-= i.3、若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z = 23i -4、设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|= 1 5、若复数R ∈i1ai1＋－，则实数a ＝ －1 6、复数()i 2i -= 12i +7、 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为 i 8、若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z = 1i - 9.设复数a +bi （a ，b ∈R，则（a +bi ）（a -bi ）=______3__.高考复数专题（1）作业 姓名：10.i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 2- .11.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为12.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = 1i -- 13.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z 142i ． 14、复数3＋2i2－3i＝ i 15、在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 2＋4i16、若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是 －1和417已知复数z ＝11＋i，则z －·i 在复平面内对应的点位于第 二象限 18、设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于第 二象限高考复数专题（2）姓名：1、复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于第 四 象限2、已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位)，若复数a b ∈R ，则实数x 的值为 833、设z ＝1－i (i 是虚数单位)，则z 2＋2z ＝ 1－i 4、在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是 22 5、设复数z 满足关系式z ＋|z －|＝2＋i ，则z 等于 34＋i 6 、若复数z ＝a ＋i1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则|a ＋2i |等于 22 7、若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ________－18、若a 是复数z 1＝1＋i2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________．－25 9、如果复数2－bi 1＋2i(i 是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b 等于________． －23高考复数专题（2）作业 姓名：10、已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为 32-11、复数(3i －1)i 的共轭复数．．．．是 －3＋i12、已知复数z 满足()()12z i i i -⋅+=-，则z z ⋅=13、已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在． 第 四 象限14、设复数z 满足关系i i z 431+-=⋅，那么z =__34i +_______,|z|=___54_______.15、设i 是虚数单位，复数=++iii 123 116、若i x x x )23()1(22+++- 是纯虚数，则实数x 的值是 117、已知复数11z i i=+-，则复数z 的模｜z ｜＝18、复数201511i i +⎛⎫⎪-⎝⎭＝ －i高考复数专题（3）姓名：1、复数21ii -等于 －1＋i2、复数i215+的共轭复数为 1+2i3、已知i 是虚数单位，则复数3(12)z i i =⋅-+的虚部为4、设复数i z 431-=，i z 322+-=，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第 二 象限5、若i 是虚数单位，则复数21i z i-=+的实部与虚部之积为 34-6、纯虚数z 满足23z -=，则z 为7、设m ∈R ，222(1)m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m = 一28、复平面内，复数2)31(i +对应的点位于第 二 象限9、已知复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第 一 象限高考复数专题（3）作业 姓名：10、复数12z a i =+，22z i =-+，如果12||||z z <，则实数a 的取值范围是 11<<-a11、已知ni m i n m ni im+-=+则是虚数单位是实数其中,,,,11的虚部为 112、若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为 43-13、设a 是实数，且211ii a +++是实数，则=a 114、200811i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝ 115、若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 -616、已知复数z = (1 – i )(2 – i )，则| z |的值是 ． 1017、复数z 满足i i i z +=-2)(，则 z =i -118、复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是 －1－i高考复数专题（4）姓名：1、复数11i =+ 1122i - 2、若复数i z +=1 （i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数 ， 则2z +z -²的虚部为 03、复数z = i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 -1-i4、若ibi-+13= a+b i （a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a+b =____________.35、设i 为虚数单位，则复数34ii+= 43i -6、复数（2+i ）2等于 3+4i7、在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 (1 ,3)8、i 是虚数单位，复数ii-+435= 1+i9、设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ．高考复数专题（4）作业 姓名：10、计算：31ii-=+ i 21-（i 为虚数单位） 11、设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= 1i +12、在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于第 二象限13、复数31ii--等于 2i +14、复数8+15i 的模等于 17 15、已知1iZ＋=2+i,则复数z= 1-3i16、i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是 －317、i 是虚数单位，i(1+i)等于 -1+i18、若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 1-高考复数专题（5）姓名：1、i 是虚数单位，52i i-= -1+2i2、复数32(1)i i += 23、设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a = 1-4、已知复数z=1－i, 则12-z z 等于 25、若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = 26、复数211i ii +-+的值是 07、i 是虚数单位，32i 1i=-（ 1i - ）8、已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z = i ．9、复数322ii +的虚部为____45__．高考复数专题（5）姓名：10、3i 的共轭复数是 33i -- 11、复数1ii+在复平面中所对应的点到原点的距离为 22 12、复数()2化简得到的结果是 －l13、若a 为实数，i iai 2212-=++，则a 等于 2 214、若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 2π15、若i R b a i b i i a ,)2(∈+=+、，其中是虚数单位，则a+b = －116、2(1)i i += -217、设i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛+20081i i 2100418、若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = 4高考复数专题（6）姓名：1、复数312i i ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的虚部为________. －12、若复数()2i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = 03、ii -210= -2+4i4、复数3223ii+=- i5、若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 36、已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i )x －y 的值为 －47、若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 3+5i8、已知i 是虚数单位，则31ii+-= 1+2i9、在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于第 四 象限10、 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且i z -=21，则复数21z z = i 5453+-高考复数专题（6）姓名：11、已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = 1712、设a ∈R ，且（a +i ）2i 为正实数，则a 等于 -113、若i3i34m m +-(m ∈R )为纯虚数，则)i 2i 2(m m -+ 2 008的值为 114、设复数z 1=1－2i, z 2=1+i, 则复数z =21z z 在复平面内对应的点位于第 三象限15、若(a －2i)i = b －i ，其中a 、b ∈R ,i 是虚数单位，则a 2+b 2等于 516、 |1|11|1|i ii i +++++＝ 217、设复数z 1=1+i, z 2=x －i(x ∈R ),若z 1·z 2为实数，则x 等于 118、若复数z 满足 Z =i （2－z ）（i 是虚数单位），则z = . 1+i19、复数3ii)2i)(1(+--的共轭复数是 . －3+i20、若复数()()i 2ai 1＋＋的实部和虚部相等，则实数a 等于 21。
高考数学真题题型分类解析专题专题02 复数
一、复数的概念
（ ） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ． 1 i
i2 = −1 k ∈ Z
i 4k = 1, i 4 k +1 = i, i 4k + 2 = −1, i 4k +3 = −i
（2）形如 a + bi(a, b∈ R) 的数叫复数，记作 a +bi∈C ．
高考数学真题题型分类解析 专题 02 复数
命题解读
考向
高考对复数的考查，重点是复数的运 共轭复数、复数的除法运算
算、概念、复数的模、复数的几何意义 等，难度较低.
复数的乘法运算 复数的几何意义
复数的模
考查统计 2022·新高考Ⅰ卷，2 2023·新高考Ⅰ卷，2 2024 新高考Ⅰ卷，2 2022·新高考Ⅱ卷，2 2023 新高考Ⅱ卷，1 2024·新高考Ⅱ卷，1
综上所述，无论方程的判别式b2 −4ac 的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的
情况，即实系数一元二次方程ax2 +bx + c = 0（ a 、b 、c∈ R 且a ≠ 0 ）的两个根与系数满足关系
， x1
+
x2
=
−
b a
x1 x2
=
c a
4 / 11
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数
=
(1− i)2
−2i
=
= −1− i .
−2i
故选：D
5．（2024·山东德州·三模）已知复数 z 满足： z − i(2 + z) = 0 ，则 z = （ ）
． ． ． ． A −1− i B −1+ i C 1+ i D 1− i 【答案】B
高考数学专题复习：复数的三角形式及其运算
高考数学专题复习：复数的三角形式及其运算一、单选题1．复数2cos isin 55ππ⎤⎫÷+⎪⎥⎭⎦的三角形式是（ ）A ．cos isin 55ππ⎫+⎪⎭B 33cos isin 1010ππ⎫+⎪⎭C cos isin 55ππ⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦D 44cos isin 55ππ⎫+⎪⎭ 2．复数都可以表示(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，其中z 为z 的模，θ称为z 的辐角．已知复数z 满足2(1)1i i z-=+ ，则z 的辐角为（ ） A ．π4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π43．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A ．，34π B ．34π C ．4π D ．4π412i 化成三角形式，正确的是（ ） A ．cos sin 33i ππ+ B ．cos sin 66i ππ+ C ．22cos sin 33i ππ+ D ．1111cos sin 66i ππ+ 5．设复数12sin cos 42z i ππθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭在复平面上对应向量1OZ ，将向量1OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转34π后得到向量2OZ ，2OZ 对应复数()2cos isin z r ϕϕ=+，则tan ϕ=（ ） A ．2tan 12tan 1θθ+- B ．2tan 12tan 1θθ-+ C ．12tan 1θ+ D ．12tan 1θ- 6．已知123cos sin ,2cos sin 26633z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12 z z =（ ）A ．iB ．2iC ．D ．3i7．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面内对应的点，O 是坐标原点.若1212z z z z +=-，则AOB ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形8．cos sin cos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -9．()4cos sin 2cos sin 33i i ππππ⎛⎫+÷+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1C ．1-D ．1- 10．()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．6iB ．6iC ．6i -D ．6i - 11．()()()1cos30sin 302cos 60sin 603cos 45sin 452i i i ︒+︒⨯︒+︒⨯︒+︒=（ ）A ．22+B ．22-C ．22-+ D ．22--12．将复数1对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到的向量为1ON ，那么1ON 对应的复数是（ ）A iB iC ．iD ．i二、填空题13．设复数(cos isin )(0,02)z r r θθθπ=+>≤<，其中i 为虚数单位，若z 满足210z z ++=，则tan θ=________． 14．复数sin1cos1i -的辐角主值是_______．15．复数4cos sin 33z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对应的点在第________象限 16．5cos sin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×π2cos sin 44i π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=________ 三、解答题17．把复数i z 对应的向量绕原点逆时针旋转23π后，所得的向量对应的复数为i ，求复数z ．18．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． （1）4(cossin )66i ππ+； （2）2(cossin )33i ππ-19．已知k 是实数，ω是非零复数，且满足3arg 4πω=，()()22111i k ωω+++=+. （1）求ω；（2）设[)cos sin ,0,2z i θθθπ=+∈，若1z ω-=，求θ的值.20．已知复数()11212,221z i z i z i z +=+=+-. （1）求2z ；（2）在ABC 中，3B π=，且2cos 2cos 2C u A i =+，求2u z +的取值范围.21．求证：(cos3sin3)(cos 2sin 2)cos5sin5i i i θθθθθθ--=-.22．若z C ∈，42i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ；（2）求z ω-的取值范围.参考答案1．C【分析】直接根据复数三角形式的除法法则求解即可．【详解】解：∵2cos isin 55ππ⎤⎫÷+⎪⎥⎭⎦ ()2cos 0isin 0cos isin 55ππ+=⎫+⎪⎭ cos 0isin 055ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos isin 55ππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦， 故选：C ．2．C【分析】根据题意，先求出复数z ，再结合(cos sin )z z i θθ=+(02π)θ≤<，即可求出θ.【详解】 由2(1i)1i z -=+，得()212111i i z i i i--===--++，故551i cos πisin π44z ⎫⎫=--==+⎪⎪⎪⎭⎭， 所以5π4θ=. 故选C ．3．B【分析】 由题可知1255cos sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出1z ，再根据1z 对应的坐标即可得出它的辐角主值.【详解】 由题可知1255cos sin cos sin 4433z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11122z ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)()()1111i z i i --∴====+-， 可知1z对应的坐标为(，则它的辐角主值为34π. 故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式，属于基础题.4．B【分析】直接根据特殊角的三角函数值计算可得;【详解】解:因为cos6π=1sin 62π=1cos sin 266i i ππ=+ 故选：B【点睛】本题考查复数的基本概念，考查了复数的三角形式，属于基础题． 5．A【分析】先把复数1z 化为三角形式，再根据题中的条件求出复数2z ，利用复数相等的条件得到sin ϕ和cos ϕ的值，求出tan ϕ.【详解】因为1z ==，所以1z ⎫=，设cos β=sin β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则cos tan 2sin θβθ=，23355cos sin cos +sin +4444z i i ππππββββ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎦，即r =5cos cos 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin sin 4πϕβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故5sin 54tan tan tan 544cos 4πβππϕββπβ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭ cos 11tan 2tan 12sin cos 1tan 2tan 112sin θβθθθβθθ+++===---. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合运算，较难. 解答时要注意将1z 、2z 化为三角形式然后再计算.6．D【分析】根据复数乘法运算的三角表示，即得答案.【详解】1233cos sin 2cos sin 2cos sin 2663326363z z i i i ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3cos sin 322i i ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故选：D .【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.7．B【分析】根据复数的向量表示，以及复数加减法的几何意义，可得结果.【详解】根据复数加（减）法的几何意义及1212z z z z +=-，知以OA ,OB 为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故AOB ∆为直角三角形.故选：B【点睛】本题主要考查复数加减的几何意义，属基础题.8．C【分析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.【详解】cos sin cos sin 6633i i ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos sin 6363i ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos sin 22i ππ=+ i =故选：C.【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.9．C【分析】根据复数三角形式的除法法则，进行计算即可.【详解】4(cos sin )2cos sin 33i i ππππ⎛⎫+÷+ ⎪⎝⎭ 2cos sin 33i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 222cos sin 33i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1=-故选：C.【点睛】本题考查三角形式的除法法则，属基础题.10．D【分析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可.【详解】()()4cos60sin603cos150sin150i i ︒+︒⨯︒+︒()()12cos 60150sin 60150i =︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦()12cos210sin 210i =︒+︒1122i ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭6i =-故选：D.【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题.11．C【分析】根据复数三角形式乘法的运算法则，进行计算即可.【详解】()()1cos30sin 302cos 60sin 602i i ︒+︒⨯︒+︒⨯()3cos45sin 45i ︒+︒ ()()123cos 306045sin 3060452i =⨯⨯︒+︒+︒+︒+︒+︒⎡⎤⎣⎦ ()3cos135sin135i =︒+︒3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘法法则，属基础题.12．A【分析】先将复数1写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可.【详解】复数1的三角形式是2cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,向量1ON 对应的复数是2cos sin 332cos sin 66cos sin 22i i i ππππππ⎛⎫+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ 故选：A【点睛】本题主要考查了复数三角形式的运用,属于基础题.13．【分析】根据题意，求出复数z 的代数形式，结合其三角形式即可求解.【详解】由210z z ++=，得21324z ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即12z =-， 因(cos isin )(0,02)z r r θθθπ=+>≤<，所以sin 2tan 1cos 2θθθ===-故答案为：14．312π+ 【分析】根据题意，结合复数的三角形式即可求解.【详解】 由3cos 1sin12π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 1cos12π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得33sin1cos1cos 1isin 122i ππ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此复数sin1cos1i -的辐角主值为312π+. 故答案为：312π+. 15．一【分析】将复数化为2z =，由复数的几何意义即可求解.【详解】4cos sin 233z i ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以复数对应的点在第一象限.故答案为：一【点睛】本题考查了复数的几何意义，理解复数的几何意义，属于基础题.16．5522i + 【分析】根据复数三角形式的运算求解即可.【详解】5cos sin 66i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×π2cos sin 10cos sin 446464i i πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦10⎫=⎪⎪⎝⎭ 5522i =+,故答案为：5522i + 【点睛】 本题主要考查了复数三角形式的运算，考查了运算能力，属于中档题.17．12- 【分析】根据向量的旋转，利用复数的乘法，化简即可求解.【详解】复数zi 对应的向量绕原点逆时针旋转23π后，可得221(isin )(i 332z z ππ+=-=，即1(i 2z ==， 所以1i=i 2z -， 解得1=2z -. 18．（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）复数4(cos sin )66i ππ+为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式；（2）先把复数2cos sin 33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，转化为三角形式552cos sin 33i ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为(),a bi a b R +∈的形式；【详解】（1）复数4(cossin )66i ππ+模r ＝4，辐角的主值为θ＝6π. 4(cos sin )66i ππ+4cos 4sin 66i ππ=+1442i =⨯2i =. （2）2cos sin 33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2cos 2sin 233i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦552cos sin 33i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 复数的模为2，辐角的主值为θ＝53π， 2cos sin 33i ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭552cos 2sin 33i ππ=+1222i ⎛=⨯+⨯ ⎝⎭1=. 19．（1）1i ω=-+（2）74πθ=【分析】 （1）根据辐角，设出复数ω，再根据等量关系待定系数即可；（2）由（1）中所求复数ω代入（2）中的模长计算公式，即可化简求得.【详解】（1）3arg 4πω=，可设()a ai a ω=-∈R ， 将其代入()()22111i k ωω+++=+，化简可得()2212a a a i i ka kai +++=-， ∴()2212a ka a a ka =⎧⎨++=-⎩，解得21k a =⎧⎨=-⎩， ∴1i ω=-+.（2）z ω-()()cos 1sin 1i θθ=++-===∵1z ω-=1 化简得cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵2444πππθπ+<+≤， ∴24πθπ+=， 即74πθ=. 【点睛】本题考查复数的三角形式的化简和计算，属综合基础题.20．（1）2z i =-（2）⎣⎭【分析】（1）利用复数的运算法则化简即可（2）由条件得2cos cos u z A i C +=+，2222cos cos u z A C +=+化成基本型，利用三角函数的知识求出范围.【详解】（1）因为()11212,221z i z i z i z +=+=+-，所以()()()212122121i i i z i i i i ++⎡⎤⎣⎦+===-+-+-.（2）因为22cos 2cos cos cos 2C u z A i i A i C +=+-=+， 所以22cos(22)131C u z π=+++1cos 21cos 222A C +++ ()11cos 2cos 22A C =++ 因为3B π=，所以23A C π+=，所以23A C π=-， 所以4cos 2cos 2cos(2)cos 23A C C C π+=-+11cos 22cos 2cos 22cos(2)223C C C C C C π=-+==+ 即22cos(22)131C u z π=+++ 因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,333C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以1cos(2)1,32C π⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，所以2215,24u z ⎡+⎫∈⎪⎢⎣⎭所以2u z +的取值范围为⎣⎭. 【点睛】三角函数有关的范围问题，一般要先将函数化为基本型，然后利用三角函数的图象及其性质求解.21．证明见解析.【分析】利用复数三角形式的乘法法则，模相乘、辐角相加，即可得到证明.【详解】(cos3sin3)(cos 2sin 2)i i θθθθ--[cos(3)sin(3)][cos(2)sin(2)]i i θθθθ=-+--+-cos(5)sin(5)cos5sin5i i θθθθ=-+-=-.【点睛】本题考查复数三角形式的运算、诱导公式，考查对概念的理解与应用，考查基本运算求解能力.22．（1）1i 2z =+；（2）[]0,2.【分析】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出z ω-，利用正弦函数的值域可求出z ω-的取值范围.【详解】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z a bi =-，()()42a bi a bi i ++-=∴，即62a bi i +=，所以621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12z i ∴=； （2）()11sin cos sin cos 22z i i i ωθθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=+⎭---+=， 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛⎫ ⎪⎝⎭≤∴， 02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.【点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.。
专题2.2复数的四则运算(七个重难点突破)高考数学
【详解】原式= − − + − − − = −.
(2)设z1 = x + 2i，z2 = 3 − yi(x，y ∈ R)，且z1 + z2 = 5 − 6i，求z1 − z2.
【答案】− + .
【详解】因为 = + ， = − ， + = − ，
− = + + − ，
显然 − ≠ ，由 − 为纯虚数，得 + = ，解得 = −，
所以 + = −.
故选：
试卷讲评课件
3.在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为 −2sin120∘ , −2cos120∘ ，则
z + 2 3 =(
求 z1 + z2 .
【答案】
【分析】设对应的复数为 ，对应的复数为 ，利用向量运算
和复数的向量表示可解.
试卷讲评课件
【详解】设对应的复数为 ，对应的复数为
，
则 + 对应的复数为 + ， − 对应的
复数为 − ，
因为 = = ，且 − = ，
所以 + + − = − ，
=
+=
所以
，解得
，
=
− = −
所以
− = + − − = − + [ − − ] = − + .
试卷讲评课件
【分析】(1)(2)运用复数加减运算及复数相等求解即可.
③当 = 时， − = − ，
所以 = − + = − + − + − − = − + ，
高考数学专题复习题：复数的四则运算
高考数学专题复习题：复数的四则运算一、单项选择题（共15小题） 1．若(22i)i z −=，则z =（ ） A ．11i 44+B ．11i 44−−C ．11i 44−D ．11i 44−+2．已知i 为虚数单位，则()()21i 21i ++−的值为（ ） A ．4 B ．2C ．0D ．4i3．复数103iz =−+（i 为虚数单位），z 的共轭复数为（ ） A ．3i −−B ．3i −+C ．3i −D ．3i +4．复数()()23i 1i z =−+的共轭复数z =（ ） A ．26i +B ．26i −C ．26i −+D ．26i −−5．已知复数z 满足i 2i z =−，其中i 为虚数单位，则2iz=+（ ） A ．43i5+−B ．43i5+ C ．35i4+−D ．34i5+ 6．复数()21i1iz −=+的共轭复数为（ ）A ．1i −−B ．12i −−C ．1i −+D ．12i −+7．若复数z 满足(1i)(1z −=+z 的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −8．已知复数z 满足210z z ++=且z 是z 的共轭复数，则z z +=（ ） A．1−B ．1C D ．9．已知i 为虚数单位，复数1i22iz −=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．11i 22−B ．11i 22+C ．1i 2D ．1i 2−10．若复数z 满足()i 12i z −=，则z =（ ） A ．1i − B ．1i +C ．1i −−D ．1i −+11．复数5i 2z =−的共轭复数为（ ） A ． i 2+B ．i 2−C ．2i −−D ．2i −−12．已知复数123i z z ==，则12z z =（ ） A．B．C．3i D．3i13．已知()2i m −为纯虚数，则实数m =（ ） A ．0B ．1C ．1−D ．1±14．2020i =（ ） A ．iB ．i −C ．1D ．1−15．已知2i +是实系数方程20x px q +−=的一个复数根，则p q +=（ ） A ．9−B ．1−C ．1D ．9二、多项选择题（共5小题）16．已知方程1n x =在复数范围内有n 个根，且这n 个根在复平面内对应的点n 等分单位圆.下列复数是方程91x =的根的是（ ） A ．1 B ．iC．12−D ．cos40isin40+17．已知12,z z 是两个复数，下列结论中正确的是（ ） A ．若12z z =，则12z z ∈RB ．若12z z +为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数18．已知复数12ω=−，ω为ω的共轭复数，则（ ） A ．1ωω⋅= B ．22ωωωω+=+ C ．210ωω++=D ．2320241ωωωω++++=19．如果设12,z z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的两个根，其中11i z =+，那么（ ） A ．12z z =B ．2212z z =C ．2p =−D ．2q =20．设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A ．212z z =B ．33120z z −= C ．22120z z −= D ．121z z =三、填空题（共10小题）21．若复数12,z z 是方程22100−+=x x 的两根，则211222z z z z ++=________. 22．i 是虚数单位，复数112i12i−=−________. 23．已知复数z 满足()2i 21z z +=−，则复数z =________. 24．i 是虚数单位，化简1i1i+−的结果为________. 25．复数2iiz −=（i 为虚数单位），则z =________. 26．写出一个满足()1i z +⋅∈R ，且2z >的复数z ，z =________. 27．已知复数z 满足()34i 5z −=，则z =________. 28．若2i1ia +−是纯虚数，则实数a 的值为________. 29．在复数范围内，方程416x =的解集为________. 30．若复数z 满足i(1)2z −=，则z =________．。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》知识点总复习附答案解析
新数学《复数》专题解析(1)一、选择题1．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1 B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．3．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( )A ．1B ．2C D ．3【答案】D因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.4．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A ．3 B ．5C ．3D ．5【答案】B 【解析】22(2)22(1)5z i i i i =-=-=+-=，故选B ．5．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ） A ．61 B ．13 C ．20 D ．10【答案】C 【解析】由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为，则，从而,选C.6．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2 B 3C 2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=+=∴=±>∴=Q ，选B.7．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得z ，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．由题意，2z i =-+，则22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8．（2018江西省景德镇联考）若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2 BC ．1D ．【答案】B 【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a az i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212aa z i -=⇒==-，,z ==,故选B.9．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C D 【答案】D 【解析】 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.10．已知复数z，则|z |＝( ) A ．14 B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：因为===，因此|z |＝1211．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i +D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.12．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）A ．8-B ．8+C ．1+D ．8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案. 【详解】|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为)221(18=+=+.故选：B . 【点睛】本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.13．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若231zi i=+-，则4z i +=（ ）A ．6B ．50C ．D 【答案】C 【解析】 【分析】计算5z i =-，再代入计算得到答案. 【详解】由231zi i =+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ． 【点睛】本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.14．复数12i2i+=-（ ）． A ．i B ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.15．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．(,-∞D ．(【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.16．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -=，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.17．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.18．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2C D ．【答案】A 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z .故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.19．若复数满足，则复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A．-1 B．1 C．0 D．2【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。
名词变复数规则及专项练习(高考复习专用)
名词变复数规则及专项练习名词变复数规则变化及发音：1、绝大多数的可数名词在词尾加上s ；eg:book→books；desk→desks;pen→pens;car→cars s遇t读浊辅音[ts］,遇d读清辅音[dz］eg:friend→friends; cat→cats;2.、以s、x、ch、sh结尾的单词，在该词末尾加上-es；读音规则：读[iz]；eg：bus→buses；box→boxes；watch→watch ches; dish→dishes3、以辅音字母+y结尾的名词，要把y变为i，再加—es;读音规则：读[z]。
eg:fly→flies；bab y→b abies; 元音字母加y结尾的单词直接加s；toy→toys；boy→boys；4、以—f或—fe结尾的名词，要将-f或-fe变为-v，再加es;读音规则：读[vz]；eg：knife→knives；leaf→leaves（树叶);5、以-o结尾的名词有生命的加-es,无生命的加-s;读音规则：读[z]。
有生命:tomato→tomatoes西红柿；potat o→potatoes土豆; hero→heroes 无生命：radio→radios收音机photo→photos照片名词变复数不规则变化：1.单词内部发生变化：口诀“oo常常变ee，男人女人a变e”eg：foot→feet脚;tooth→teeth牙齿；man→men男人；woman→women 女人；2。
单复数相同：“羊鱼小鹿无变化，单数复数是一家”eg:sheep→sheep绵羊；fish→fish鱼；deer→deer鹿;3.不规则变化：child→children孩子；m ouse→mice老鼠;German→Germans德国人；4“某国人”的复数有三种类型：口诀“中日不变，英法变，其它S加后边"（1）Chinese，Japanese单数复数同形,不需加s；（2）Englishman, Frenchman，Dutchman复数要把man 变为men；（3）其他各国人以–an, -ian收尾的均直接加s.如：Americans，Australians澳大利亚人,Germans德国人一、写出下列名词的复数形式1、orange2、class3、box4、bus5、piano6、child7、shelf 8、bed9、baby 10、family11、toy 12、foot13、Japanese 14、radio15、photo 16、sheep17、tomato 18、watch19、woman 20、knife二．写出下列各词的复数形式am is he she it this thatI you三. 将下列句子改为复数句子:1。
高考集合复数知识点
高考集合复数知识点在高考中，复数知识点是我们必须要掌握的一项重要内容。
掌握好复数知识点，不仅可以在语法考题中得分，还可以在阅读理解和写作中得到运用。
一、复数的构成1. 一般情况下，名词的复数形式是在词尾加上-s，如：books、tables、pens等。
2. 以s、x、ch、sh结尾的名词，复数形式变为在词尾加上-es，如：boxes、matches、watches等。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，复数形式变为将y改为i，再加上-es，如：berries、butterflies等。
4. 以f或fe结尾的名词，复数形式变为将f或fe改为v，再加上-es，如：leaves、thieves等。
5. 一些不规则的名词复数形式需要进行记忆，如：children、people、geese等。
二、复数用法1. 表示一类人或物的复数名词，在句中可以与复数动词连用，如：These books are interesting.2. 复数名词作主语时，用复数谓语动词，如：Boys play football every day.3. 复数名词作宾语时，用单数或复数动词均可，如：They have many trees. / They have a lot of trees.4. 复数名词前可以用many、several、some等修饰，如：I bought several apples.三、复数形式的特殊用法1. 复数名词作定语时，通常要加上of短语，如：a pair of shoes、a bottle of water等。
2. 复数名词作主语时，谓语动词常用单数形式，表示整体意义，如：Mathematics is my favorite subject.3. 一些集团、团体的名词，当成整体看待时，用单数形式，当成个体看待时，用复数形式，如：The United Nations was established in 1945. / My family are all coming to the party.四、常见易混淆的复数形式1. man的复数是men，woman的复数是women。
高考复数的知识题型总结归类
结总型高考复数的知识题一、复数的有关概念（1）复数1. 定义：形如a＋bi （a，b∈R）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. （i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1）2. 表示方法：复数通常用字母z 表示，即z＝a＋bi （a，b∈R），叫做复数部，b 叫做复数z 的虚部.（注意b 是虚部而不是的代数形式，a 叫做复数z 的实bi ）（2）复数集1. 定义：全体复数所成的集合叫做复数集.2. 表示：大写字母C.（3）复数的分类复数集、实的关系数集、虚数集、纯虚数集之间( 4 ) 复数相等的充要条件a＋bi ＝c＋di ? a＝c 且b＝da＋bi ＝0? a＝b＝0. （a,b,c,d 均为实数）说明：要求复数相等要先将复数化为z＝a＋b i （a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部.二、复平面的概念是b，复数z=a+bi ( a、b∈R)可用点Z( a，b) 表示，坐标是a，纵点Z 的横坐标叫做叫做实轴，y轴系来表示复数的平面叫做复平面，x轴这个建立了直角坐标实轴上的点都表示实数虚轴数（1）实轴上的点都表示实上的点都表示纯虚数（2）虚轴数对为(0，0)（3）原点对应的有序实三、复数的两种几何意义（1）复数z＝a＋b i （a，b∈R）→对应复平面内的点Z（a，b）.（2）复数z＝a＋b i （a，b∈R）→平面向量→OZ四、复数的模复数z＝a＋b i （a，b∈R）对应的向量为O Z ，则O Z 的模叫做复数z 的模，记作| z| ，且大小.的模表示实数，可以比较大小的，但它们注意：两个虚数是不可以比较五、复数的运算设z1=a+bi ，z2=c +di ( a、b、c、d∈R)是任意两个复数，z1 与z2 的加法运算律：z1+z2=( a+bi )+( c +di )=( a+c )+( b+d) i .z1 与z2 的减法运算律：z1- z2=( a+bi )-( c +di )=( a- c)+( b- d) i .z1 与z2 的乘法运算律：z1·z2= ( a+bi )( c +di )=( ac－bd)+( bc+ad) i .z1 与z2 的除法运算律：z1÷z2 =( a+bi ) ÷( c +di )= （分母要利用平方差实数化）六、共轭复数1. 定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。
高考文科复数复习知识点+例题+练习
复数的概念及运算一． 知识回顾1. 复数的有关概念形如______________的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足_________,a 叫做_________，b 叫做________，复数集记作_______________________。
2. 复数的分类复数),(R b a bi a ∈+是实数的充要条件是_________；是纯虚数的充要条件是__________.3. 复数相等两个复数)(2,1R d c b a di c z bi a z ∈+=+=、、、，若21z z =，则____________。
4. 共轭复数如果两个复数实部________，而虚部___________，则这两个复数互为_____________，即复数bi a z +=的共轭复数为z =_________。
5. 复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x 轴叫做 ，y 轴叫做 ，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 。
(2)复数z ＝a ＋b i 、有序实数对(a ，b )、点Z (a ，b )是一一对应的．(3)设OZ →＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数a ＋b i 的 (或 )，记作|a ＋b i|，且|a ＋b i|＝ .(4)复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．6. 复数的代数运算对于i 有i 4n ＝______，i 4n ＋1＝_____，i 4n ＋2＝_____，i 4n ＋3＝_____(n∈Z)．已知两个复数z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a 、b 、c 、d∈R)，则z1±z2＝______________，z1·z2＝_______________ ，z1z2＝a ＋bic ＋di ＝________________．特别地，若z ＝a ＋bi ，则z·z ＝a 2＋b 2.二． 例题讲解已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)．求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解答】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.故当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴a ≠±1且a≠6.∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1计算：(1)2－i 31－2i ； (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2011. 【解答】 (1)2－i 31－2i ＝2＋i 1－2i ＝(2＋i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝2i ＋i1＋2＝i.(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2011＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 21005·21－i＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－2i 1005·21－i ＝i ＋i 1005·21－i＝i ＋i·21－i ＝－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋1i.i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则乘积ab 的值是()A ．－15B ．－3C ．3D ．15复数综合练习题一.选择题1.湖南 复数21i=- ( ) A1+i B 1-i C-1+i D-1-i2.全国23()1i i-=+ （ ） A -3-4i B-3+4i C3-4i D3+4i3.陕西 复数Z= 1i i+在复平面内对应的点在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限4.辽宁 设a,b,c R ∈若121i i a bi+=++则 （ ） A a= 32 b= 12 B a=3 b=1 C a=12 b=32 D a=1 b=3 5.江西 已知)()(1,x i i y x y +-=则分别为 （ ）A x=-1 y=1B x=-1 y=2C x=1 y=1D x=1 y=26.安徽 ()21i i =-=已知则 （ ）A i =B i =C i =D i =7.浙江 已知i 为虚数单位则51i i-=+ （ ） 23A i -- B 23i -+ C 23i - D 23i +8.山东 已知2a i b i i+=+ ，a,b R ∈ 则a+b= ( ) A-1 B1 C2 D39.北京在复平面内，复数6+5i 与 -2+3i 对应的点分别为A , B.若C 为AB 的中点，则点C 对应的复数为 （ ）A 4+8iB 8+2iC 2+4iD 4+i10.四川，设i 是虚数单位，计算23i i i ++= （ ）A-1 B1 C-i Di11.天津，复数31i i+=- （ ） A1+2i B2+4i C-1-4i D2-i12.复数a+bi 与c+di 的积是实数的充要条件是 （ ）A ad+bc=0B ac+bd=0C ac=bdD ad=bc13.当213m ﹤﹤时，复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限二．计算题1.一直复数Z 与)(228Z i +-都是纯虚数，求Z2.已知i 是虚数单位21mim R i -∈+且是纯虚数,求20112()2mi mi -+3. 设为共轭复数，且 ，求的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复数
【考纲解读】 1．复数的概念
① 理解复数的基本概念．② 理解复数相等的充要条件． ③ 了解复数的代数表示法及其几何意义． 2．复数的四则运算
① 会进行复数代数形式的四则运算．② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【考点预测】
高考对此部分容考查的热点与命题趋势为:
1.复数是历年来高考重点容之一,经常以选择题与填空题形式考查,难度不大，在考查复数的概念及运算的同时，又考查转化与化归思想等数学思想，以及分析问题与解决问题的能力.
2.2015年的高考将会继续保持稳定,坚持复数的相关概念及其运算,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念
形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ；b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模
向量OZ →
的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的四则运算
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝
a ＋
b i
c －
d i
c ＋
d i c －d i
＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2
(c ＋d i≠0)．
【例题精析】
考点一 复数的有关概念
例1. (2012年高考卷文科4)设,R a b ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数i
b a +为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件 B 。
必要不充分条件 C 。
充分必要条件 D 。
既不充分也不必要条件
【名师点睛】本小题主要考查复数的有关概念,复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可． 【变式训练】
1.(2011年高考卷3)设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 【答案】1
【解析】因为321(32)()23i
z i i i i
-++=
=-+-=+，所以13z i =+,故z 的实部是1. 考点二 复数的四则运算
例2.(2012年高考卷文科2) 已知i 是虚数单位，则
31i
i
+-=( ) A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i
【变式训练】
2. （2012年高考新课标全国卷文科2）复数z ＝－3+i
2+i
的共轭复数是 ( )
（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i
【易错专区】 问题：复数的综合应用
例.（2012年高考卷3）设a b ∈R ，，117i
i 12i
a b -+=
-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ．
【课时作业】
1. (2012年高考全国卷理科1)复数
131i
i
-+=+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i - 【答案】C 【解析】
i i
i i i i i i 212
42)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 2. (2011年高考卷理科2)复数z=22i
i
-+(i 为虚数单位)在复平面对应的点所在象限为( )
（A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案】D
【解析】因为22(2)34255
i i i
z i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3. (2011年高考卷理科1) i 是虚数单位，复数
131i
i
--=( )
A.2i -
B. 2i +
C.12i --
D. 12i -+ 【答案】A
【解析】因为
13(13)(1)
212
i i i i i --+==--，故选A. 4.(2011年高考卷理科1)设 i 是虚数单位，复数ai
i 1+2-为纯虚数，则实数a 为( )
（A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 1
2
5.(2011年高考卷理科2)把复数z 的共轭复数记作z ，若1z i =+，i 为虚数单位，则
(1)z z +=( )
（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i +（D ）3 【答案】 A
【解析】(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=- 故选A. 6.(2011年高考卷理科1)若i
z i
1+2=
，则复数z =( ) A. i -2- B. i -2+ C. i 2- D. i 2+ 【答案】D
【解析】因为i
z i
1+2==()()i i i 1+2-=2-，所以复数z =i 2+,选D. 7．（2010年高考卷文科2）复数z =1i
i
+在复平面上对应的点位于( )
(A)第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
8. (2012年高考卷理科12)已知复数2
(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10
【解析】2
(3)z i =+=2
9686i i i ++=+，228610z =+=.
9．(2011年高考卷理科19)（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），
复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z .
【考题回放】
1.（2012年高考卷文科1）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为( ) (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【答案】A 【解析】i i
i i i i i i z 535
2515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=
.故选A. 2.（2012年高考卷文科3）复数1
1i
=+( ) (A)
1122i - (B)11
22
i + (C) 1i - (D) 1i + 【答案】A 【解析】
11111(1)(1)222
i i i
i i i --===-++-，故选A. 3.(2012年高考卷文科1)设i 为虚数单位，则复数34i
i
+=( ) A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i 【答案】D 【解析】因为
34i i +=(34)()
1
i i +⋅-=43i -,故选D. 4.(2012年高考卷文科1)i 是虚数单位，复数534i i
+-=( )
（A ）1-i （B ）-1+I （C ）1+I （D ）-1-i
5．(2012年高考卷文科2)在复平面，复数
103i
i
+对应的点的坐标为( ) A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1)
【答案】A
【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
i i
i i i i i i i i i 3110
301091030)3)(3()3(103102
2+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．
6.（2012年高考卷文科1）复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ） （A ）1i -- （B ）1i - （C ）13i -+ （D ）12i -
7. (2012年高考卷文科2)复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】A
【解析】由z=i （i+1）=1i -+，及共轭复数定义得1z i =--.
8.(2011年高考卷理科1)复数
234
1i i i i
++=-( ) （A ）1122i -
- (B) 1122i -+ (C) 1122i - (D) 1122
i +
9. (2012年高考卷文科1)计算：31i
i
-=+ （i 为虚数单位） 【答案】 12i - 【解析】
31i i -=+242
i
-=12i -. 10. (2012年高考卷文科12)若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a+b=____________.
解得0,3a b ==,所以a+b=3.。