递推公式
递推公式求数列通项公式
递推公式求数列通项公式求解数列的通项公式是数学中常见的问题。
在进行数列的通项公式推导时，有几种常见的方法可以使用，包括递归法、差分法、代数法、矩阵法等。
以下将针对这些方法进行详细阐述。
一、递归法递归法是数列求解中最常见的方法之一、利用递归关系式，可以将数列的第n项表示成前n-1项的表达式。
常见的递归方法有等差、等比数列等。
1.1等差数列的通项公式等差数列是指数列中每个相邻项之间的差值都相等的数列。
设数列的首项为 a1，公差为 d，则递推关系式为 an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示项数。
首先求取数列的第一项和第二项的值，然后利用递推公式即可求得数列的通项公式。
1.2等比数列的通项公式等比数列是指数列中每个相邻项之间的比值都相等的数列。
设数列的首项为 a1，公比为 q，则递推关系式为 an = a1 * q^(n-1)。
首先求取数列的第一项和公比的值，然后利用递推公式即可求得数列的通项公式。
二、差分法差分法是通过找到数列的差分递推关系，进而进行推导。
通过一次差、二次差等操作，可以将数列的通项公式转化为关于n的多项式。
2.1一次差的差分法对于一个数列 {an}，定义一次差数列 {bn} = {an+1 - an}，即 b1 = a2 - a1，b2 = a3 - a2，以此类推。
如果一次差数列 {bn} 满足等差数列的递推关系，即 bn = c，则原数列的通项公式为 an = c*n +d。
其中 d 为首项的值。
2.2二次差的差分法对于一个数列 {an}，定义二次差数列 {cn} = {bn+1 - bn}，即 c1 = b2 - b1，c2 = b3 - b2，以此类推。
如果二次差数列 {cn} 满足等差数列的递推关系，即 cn = c，则原数列的通项公式为 bn = c*n^2 +d*n + e。
其中 d 为二次差数列首项的值，e 为数列首项的值。
三、代数法代数法以解线性方程组的形式求解数列的通项公式。
数列-递推公式求通项的十大模型
递推公式求通项的十种类型类型1.等差数列：相邻两项递推形式：d d a a n n ，（=--1为常数，+∈≥N n n 且2）或者相邻三项递推形式：)2(211++-∈≥=+N n n a a a n n n 且.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =1=，则n a =（）A．21n -B．nC．21n +D．12n -解析：∵11a ==1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，(1)11(1)1n n n =-⨯=+-⨯=，即2n S n =，∴()221121n n n a S S n n n -=-=--=-（2n ≥）.当1n =时，11a =也适合上式，∴21n a n =-.故选：A.注1：在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即b kn a a n n +=++1，它可以得到两个子数列分别是公差为k 的等差数列.例2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项的和为()A．20212022B．20202021C．20192020D．10101011解析：∵12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，∴216a a +=，解得24a =．142n n a a n ++=+ ，∴2146n n a a n +++=+，两式相减，得24n na a +-=，∴数列{}n a 的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，∴当n 为偶数时，2(1)422n n a a n =+-⨯=．当n 为奇数时，1n +为偶数，∴根据上式和(*)知1422n n a n a n +=+-=，数列{}n a 的通项公式是2n a n =，易知{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，故()()2212n n nS n n +==+，()111111n S n n n n ==-++，设1n S ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，则20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-= ．故选：A．例3．数列{}n a 中，112,21,N n n a a a n n *+=+=+∈．求{}n a 的通项公式；解析：（1）由121++=+n n a a n ①2123n n a a n ++⇒+=+②，②-①22n n a a +⇒-=，∴{}n a 的奇数项与偶数项各自成等差数列，由11223a a a =⇒+=，∴21a =，∴2112(1)2n a a n n -=+-=，∴1n a n =+，n 为奇数，212(1)21n a n n =+-=-，∴1n a n =-，n 为偶数．∴()()**1,21,N 1,2,Nn n n k k a n n k k ⎧+=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩.类型2.等比数列：相邻两项递推：)2,0,0(1+-∈≥≠≠=N n n a q qa a n n n且且或q a a n n=-1.或者相邻三项递推：)2(211≥∈=+-+n N n a a a n n n 且.注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即++∈∀⋅=N n m a a a n m m n ,,，我们可以对其赋值得到一个等比数列.例4．数列{}n a 中，112a =，对任意,N m n *∈有m n m n a a a +=，若19111k k k a a a +++++ 15522=-，则k =（）A．2B．3C．4D．5解析：由任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=，所以令1m =，则11n n a a a +=，且112a =，所以{}n a 是一个等比数列，且公比为12，则1910155191112222222k k k k k k k k a a a ++++++++=+++=-=- 所以5k =，故选：D.例5．已知数列{}n a 满足22,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且11a =，22a =．求通项n a ；解析：当n 为奇数时，由22n n a a +-=知数列{}21k a -是公差为2的等差数列，()2111221k a a k k -=+-⨯=-，∴n a n =，n 为奇数；当n 为偶数时，由22n n a a +=知数列{}2k a 是公比为2的等比数列，1222k kk a a q -==，∴22nn a =，n 为偶数∴2,2,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.类型3.)(1n f a a n n =--累加型例6．若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．求{}n a 的通项公式.解析：因为12n n a a n +-=，11a =，所以()()()1122112(1)2(2)21n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++2222(1)112n n n n -+⋅-+=-+=，故21n a n n =-+.类型4.)(1n f a a n n=-(2≥∈+n N n 且)累乘型.例7．数列{}n a 及其前n 项和为n S 满足：11a =，当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，则12320231111a a a a ++++= （）A．20211011B．40442023C．20231012D．40482025解析：当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，即111n n a n a n -+=-，所以3124123213451,,,,,12321n n n n a a a a a n n a a a a n a n ---+=====-- 累乘得：()113451123212n n n a n n a n n ++=⨯⨯⨯⨯=-- ，又11a =，所以()12n n n a +=所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则1232023111111111111222212233420232024a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14046202321202420241012⎛⎫=-== ⎝⎭.故选：C.类型5.d ca a n n +=-1型（待定系数法）一般形式：1(,n n a ca d c d -=+为常数，0,1,0)c c d ≠≠≠，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数1dx c =-，1()n n a x c a x -+=+，令n n b a x =+，则n b 为等比数列，求出n b ，再还原到n a ，1)1(11--⋅-+=-c dc cd a a n n .例8．在数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈．求{}n a 的通项公式.解析：依题意，数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈，所以()()1*N 1412,n n a a n n --=-≥∈，所以数列{}1n a -是首项为111a -=，公比为4的等比数列.例9.(2014年新课标全国1卷)已知数列{}n a 满足13,111+==+n n a a a ，证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式.解析：显性构造：13,111+==+n n a a a ，)21(3211+=++n n a a ，)13(21-=n n a .类型6.nn n b m qa a ⋅+=+1型例10．已知数列{}n a 的首项1=6a ，且满足1142n n n a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式；解析：∵1142n n n a a ++=-，∴112122n n n n a a ++=⋅-，∴1112122n n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又∵1122a -=，故12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列．112222n nn n a --=⋅=，则42n n n a =+．类型7.)1)((1≠+=+p n f pa a n n 型.方法1.数学归纳法.方法2.1111)()(+++++=⇒+=n n n n n n n p n f p a p a n f pa a ，令n n n p a b =，则11)(++=-n n n pn f b b ，用累加法即可解决！（公众号：凌晨讲数学）例11.(2020年新课标全国3卷)设数列{}n a 满足31=a ，n a a n n 431-=+.（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列{}n na 2的前n 项和n S .解析：方法1：归纳法.（1）235,7,a a ==猜想21,n a n =+得1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+，1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+方法2：构造法.由n a a n n 431-=+可得：1113433+++-=-n n n n n n a a ，累加可得：123123+=⇒+=n a n a n n n n .（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯ .①23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ .②-①②得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯ ，1(21)2 2.n n S n +=-+类型8.)0(1≠⋅+=+q p qpa ta a n nn 型例12．已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 1nn n a a n a +=∈+，求数列{}n a 的通项公式.因为*1,N 1n n n a a n a +=∈+，所以1111n na a +=+，即1111n n a a +-=，又11a =，所以111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，所以()1111n n n a =+-⨯=，故1n a n =，所以数列{}n a 的通项公式为1n a n=.类型9.已知n S 与n a 关系，求n a .（公众号：凌晨讲数学）解题步骤：第1步：当1=n 代入n S 求出1a ；第2步：当2≥n ，由n S 写出1-n S ；第3步：1--=n n n S S a （2≥n ）；第4步：将1=n 代入n a 中进行验证，如果通过通项求出的1a 跟实际的1a 相等，则n a 为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，.)2()1(1⎩⎨⎧≥==n a n a a n n 在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消n S 留n a ，第二个角度，消n a 留n S ，第三个角度，级数形式的前n 项和，下面我们具体分析.例13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，112n n n S S a ++⋅=-.证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.证明：∵112n n n S S a ++⋅=-，∴112n n n n S S S S ++⋅=-，易知0n S ≠，∴111112n n n n n nS S S S S S +++-=-=⋅，∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列.例14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1=2a ，()*123N n n n a S n +=+∈.求n S .解析：因为()*123N n n n a S n +=+∈,所以11233,3n nn n n n n S S S S S ++-=+=+∴，则111111,333333n n n n n n n n S S S S ++++-=+=，11233S =，即{}3n n S 为首项为23，公差为13的等差数列，则211(1)(1)3333n n S n n =+-=+，故1(1)3n n n S -=+⋅.例15．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++----…．求数列{}n a 的通项公式.解析：123123252525253n n na a a a +++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥，因为14a =符合上式，所以352n n a +=．例16.（2022新高考1卷）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．求{}n a 得通项公式.解析：111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．类型9：已知前n 项积求n a .例17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．解析：由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-,由于10n b +≠，所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈，所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列.（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n n b n ∴=+-⨯=+,22211n n n b n S b n +==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.类型10.特征方程法（强基层次）：n n n ba aa a +=++12型.求解方程：02=--b a λλ，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则nn x b An a 0)(+=（2）若特征方程有两个不等的根，则n nn Bx Ax a 21+=例18．已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-.求数列{}n a 的通项公式；解析：2143n n n a a a ++=-，变形为：()2113n n n n a a a a +++-=-，216a a -=，∴数列{}1n n a a +-是等比数列，首项为6，公比为3.∴116323n nn n a a -+-=⨯=⨯，变形为：1133n n n n a a ++-=-，131a -=-，∴31n n a -=-，∴31n n a =-例19.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩，1322n n n a --∴=．例20.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n n n na --∴=+-．。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
递推公式定义
递推公式定义嘿，咱们今天来好好聊聊递推公式这个有趣的玩意儿！递推公式啊，就像是一串神奇的密码，能让我们一步一步揭开数学世界的神秘面纱。
先来说说什么是递推公式吧。
想象一下，你正在爬楼梯，每一步都有特定的规则决定了你能到达的位置。
递推公式就像是这个规则，它告诉你从一个初始的状态，如何通过一步步的计算或者操作，得到后续的结果。
比如说，有一个数列：1，3，5，7，9…… 那它的递推公式可能就是：第 n 项等于第 n - 1 项加上 2 ，而且第一项是 1 。
这就像给了你一把钥匙，让你能依次算出数列中的每一个数。
我记得之前给学生们讲递推公式的时候，有个小同学一脸懵地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
咱们假设你有一堆积木，第一天你有 1 块积木，从第二天开始，每天得到的积木数量都比前一天多 2 块。
那么，要知道第 5 天你有多少块积木，用递推公式就能轻松算出来啦。
再比如说，在计算机编程里，递推公式也是大有用处。
要让计算机快速准确地处理大量的数据，递推公式能帮上大忙。
而且啊，递推公式可不只是在数学和计算机里才有。
在生活中，它也无处不在。
就像你存钱，第一个月存 100 块，以后每个月都比上个月多存 50 块。
这其实也能用递推公式来算出你在某一个月到底存了多少钱。
在解决一些实际问题的时候，递推公式能让复杂的情况变得清晰明了。
它就像是一个条理清晰的指南，带着我们在数学的迷宫里找到出口。
总之，递推公式虽然看起来有点神秘，但只要我们用心去理解，多做一些练习，就能发现它其实并没有那么难。
它就像我们手中的工具，能帮助我们解决各种各样的数学问题，让我们在数学的世界里畅游得更加畅快！所以呀，同学们，可别小瞧了这递推公式，好好掌握它，能让我们的数学之旅更加精彩！。
由递推关系式求通项公式类型大全
由递推关系式求通项公式类型大全
递推关系式是用来描述一组数列的递推规律的方程，通常形如an=f(an-1)。
求通项公式是指对于这组数列，求出所有项的公式。
下面是一些常见的递推关系式及其对应的通项公式：
1.an=an-1+c，其中c为常数。
通项公式为：
a1+c(n-1)
2.an=an-1*r，其中r为常数。
通项公式为：
ar^(n-1)
3.an=an-1+an-2，通项公式为：
a1*((1+√5)/2)^(n-1)-a2*((1-√5)/2)^(n-1)
4.an=an-1*an-2，通项公式为：
a1^(n-1)*a2^(n-2)
5.an=an-1+n，通项公式为：
n(n+1)/2
6.an=an-1*n，通项公式为：
n!
7.an=an-1+2^n，通项公式为：
2^n-1
8.an=an-1*(-1)^n，通项公式为：
(-1)^n
注意：上述通项公式均是在满足递推关系式的条件下得出的。
如果递推关系式不合法或者不存在，则无法得出通项公式。
二项式定理递推公式
二项式定理递推公式一、二项式定理内容回顾。
1. 二项式定理表达式。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。
2. 二项式展开式的通项公式。
- T_r + 1=C_n^ra^n - rb^r（r = 0,1,·s,n），它表示二项式展开式中的第r+1项。
二、二项式定理的递推公式推导。
1. 从(a + b)^n到(a + b)^n+1的递推关系。
- 我们知道(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，(a + b)^n+1=(a + b)×(a +b)^n。
- 把(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k代入(a + b)^n+1=(a + b)×(a + b)^n可得：(a + b)^n+1=(a + b)∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k=∑_k = 0^nC_n^ka^n - k + 1b^k+∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k+1。
- 在∑_k = 0^nC_n^ka^n - k + 1b^k中，令k = r；在∑_k = 0^nC_n^ka^n -kb^k+1中，令k=r - 1。
- 对于∑_k = 0^nC_n^ka^n - k + 1b^k，当k = n时，这一项为C_n^na^1b^n。
- 对于∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k+1，当k = 0时，这一项为C_n^0a^n+1b^0。
- 则(a + b)^n+1=∑_r = 0^n + 1C_n+1^ra^n+1 - rb^r，其中C_n+1^r=C_n^r -1+C_n^r（r = 1,2,·s,n），C_n+1^0 = C_n^0 = 1，C_n+1^n+1=C_n^n = 1。
2. 递推公式的意义。
初三数学递推公式概念理解
初三数学递推公式概念理解数学是一门抽象且具有逻辑性的学科，数学中的一些重要概念需要我们仔细理解和掌握，其中之一就是递推公式。
递推公式在数学中有着重要的应用，尤其是在数列的生成和求解问题中。
本文将从递推公式的概念出发，为大家详细解析递推公式的特点、应用以及解题方法。
一、递推公式的概念递推公式是数学中描述数列元素依次生成关系的一种表达式。
它通过前一项或多项元素来确定数列的后一项元素，从而达到“递推”的目的。
通常，一个递推公式包含了两个元素：首项和通项公式。
首项是数列中的第一个元素，是递推公式得以实现的起始点。
通项公式则是递推公式中的关键，它通过前一项或多项元素来计算数列的后续元素，使得数列中的每一项都能够被准确地表示出来。
二、递推公式的特点1. 具有明确的生成规律：递推公式能够准确地描述数列元素之间的关系，并且通过该关系能够准确地计算数列中的任意一项。
2. 依赖于前一项元素：递推公式中的通项公式依赖于数列中的前一项或多项元素，必须通过前一项来计算后一项。
3. 可以推算多项元素：递推公式的特性使得我们能够通过已知的前几项元素，推算出数列中的任意一项。
三、递推公式的应用递推公式在数学中的应用非常广泛，特别是在数列和函数的研究中。
以下是递推公式的一些典型应用：1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常有趣且常见的数列，它的递推公式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(1)和f(2)为已知的首项。
2. 等差数列：等差数列是数学中常见的一种数列，它的递推公式为a(n) = a(1) + (n-1)d，其中a(1)为首项，d为公差。
3. 等比数列：等比数列也是一种常见的数列，它的递推公式为a(n)= a(1) * r^(n-1)，其中a(1)为首项，r为公比。
四、递推公式的解题方法解决与递推公式相关的问题，需要掌握一些解题方法。
以下是一些常见的解题思路：1. 利用已知条件找到递推关系：通过观察数列的前几项，我们可以尝试找到数列元素之间的递推关系，从而构建递推公式。
杨辉三角的递推公式
杨辉三角的递推公式杨辉三角，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱们先来说说啥是杨辉三角。
它是一个三角形的数阵，每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大，然后再逐渐变小，最后回到 1 。
就像一个排列整齐的数字大军，非常有规律。
那杨辉三角的递推公式是啥呢？其实就是通过前面一行的数字来计算得出下一行的数字。
具体来说，如果我们把杨辉三角的第 n 行第 m 个数记为 C(n,m) ，那么递推公式就是：C(n,m) = C(n - 1,m - 1) + C(n - 1,m) 。
这个公式看起来有点复杂，但咱们一点点来理解。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
比如说咱们要算从 5 个不同的水果里选 2 个的组合数，这时候杨辉三角的递推公式就能派上用场啦。
咱们先找到第 5 行，然后找到第 2 个数，就能得出答案。
咱们再深入点讲讲这个递推公式的妙处。
它就像是一个神奇的魔法咒语，能让我们在数字的世界里畅游。
通过不断地运用这个公式，我们可以快速地填满整个杨辉三角，就像在拼图游戏中一块一块地拼凑出完整的画面。
想象一下，我们就像是数字世界的建筑师，用这个递推公式一砖一瓦地搭建起杨辉三角这座宏伟的数字大厦。
每一行、每一个数字都在我们的掌控之中，那种感觉简直太棒了！而且啊，杨辉三角的递推公式可不只是在数学课本里才有意义。
在实际生活中，它也能帮我们解决很多问题呢。
比如说在概率计算中，它可以帮助我们算出各种可能性的数量；在编码理论中，它能优化信息的存储和传输。
还记得有一次，我和几个朋友一起玩猜数字的游戏。
游戏规则是我心里想一个数字，然后他们通过提问来猜出这个数字。
我就突然想到了杨辉三角的递推公式，我把数字的范围想象成杨辉三角的行数，然后根据他们的提问，用类似递推的方式缩小范围，最后他们费了好大劲才猜中。
这让我更加深刻地体会到了杨辉三角递推公式的巧妙之处。
总之，杨辉三角的递推公式虽然看起来有点神秘，但只要我们用心去理解、去运用，就能发现它就像一把万能钥匙，能打开数学世界里一扇又一扇神奇的大门。
六类递推数列通项公式的求解方法
六类递推数列通项公式的求解方法一、an-1=an+f(n)型利用叠加法.a2=a1+f(1)，a3=a2+f(2)，…，an=an-1+f(n-1),an=a1+∑n-1k=1f(k)．【例1】数列{an}满足a1=1，an=an-1+1n2-n(n≥2) ，求数列{an}的通项公式．解：由an+1=an+1(n+1)2-(n+1) 得an=a1+∑n-1k=11(k+1)2-(k+1) =1+∑n-1k=1(1k-1k+1)=1+1-1n =2-1n.二、an+1=anf(n)型利用叠代法.a2=a1f(1)，a3=a2f(2)，…，an=an-1f(n-1)．an=a1∏n-1k=1f(k).【例2】数列{an}中a1=2，且an=(1-1n2)an-1 ，求数列{an}的通项．解：因为an+1＝［1-1(n+1)2 ］an，所以an=a1∏n-1k=1f(k)=2∏n-1k=1［1-1(k+1)2 ］=2∏n-1k=1［kk+1 ×k+2k+1 ］=n+1n .三、an+1=pan+q，其中p,q为常数，且p≠1,q≠0当出现an+1=pan+q(n∈n*）型时可利用叠代法求通项公式，即由an+1=pan+q得an=pan-1+q=p(pan-2+q)+q=…=pn-1a1+(pn-2+pn-3+…+p2+p+1)q=a1pn-1+q(pn-1-1）p-1 （p≠1).或者利用待定系数法，构造一个公比为p的等比数列，令an+1+λ=p(an+λ)，则(p-1)λ=q,即λ=qp-1 ，从而｛an+qp+1 ｝是一个公比为p的等比数列．【例3】设数列{an}的首项a1=12 ，an=3-an-12 ，n=2,3,4，…,求数列{an}的通项公式．解：令an+k=-12(an-1+k) ，又∵an=3-an-12=-12an-1+32 ，n=2,3,4,…，∴k=-1，∴an-1=-12(an-1-1) ,又a1=12,∴{an-1} 是首项为-12,公比为-12 的等比数列，即an-1=(a1-1)(-12)n-1 ，即an=(-12)n+1 ．四、an+1=pan+qan-1(n≥2)，p,q为常数可用下面的定理求解：令α,β为相应的二次方程x2-px-q=0的两根(此方程又称为特征方程)，则当α≠β时，an=aαn+bβn；当α=β时，an=(a+bn)αn-1，其中a、b分别由初始条件a1、a2所得的方程组aα+bβ=a1，aα2+bβ2=a2和 a+b=a1，(a+2b)α=a2唯一确定．【例4】数列{an}，{bn}满足：an+1=-an-2bn①,bn+1=6an+6bn ②,且a1=2，b1=4，求an，bn．解：由②得an=16bn+1-bn,∴an+1=16bn+2-bn+1 ，代入①到式中，有bn+2=5bn+1-6bn，由特征方程可得bn=-12×2n+283×3n ，代入②式中，可得an=8×2n-143×3n ．五、an+1＝pan+f(n)型，这里p为常数，且p≠1【例5】在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n ∈n*),其中λ＞0，求数列{an}的通项公式．解：由 a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈n*)，λ＞0,可得，an+1λn+1-(2λ )n+1=anλn -(2λ )n+1,所以{anλn-(2λ)n}为等差数列，其公差为1，首项为0．故anλn-(2λ )n=n-1，所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n．六、an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)一般地，若正项数列{an}中，a1=a,an+1=makn(m＞0,k∈q,k≠0,k≠1)，则有lgan+1=klgan+lgm，令lgan+1+a=k(lgan+a)(a为常数)，则有a=1k-1lgm．数列{lgan+1k-1lgm }为等比数列，于是lgan+1k-1lgm=(lga+1k-1lgm)kn-1 ，从而可得an=akn-1?mkn-1-1k-1 ．【例6】已知各项都是正数的数列{an}满足a1=32，an+1=12an(4-an) ，求数列{an}的通项公式．解：由已知得an+1=-12(an-2)2,令2-an=bn，则有b1=12,bn+1=12b2n ．∵an＞0,∴0＜an+1＜2,又0＜a1＜2，∴0＜an＜2，从而bn＞0．取对数得lgbn+1=2lgbn-lg2，即lgbn+1-lg2=2(lgbn-lg2)．∴{lgbn-lg2}是首项为-2lg2，公比为2的等比数列，∴lgbn-lg2=-2nlg2,∴bn=21-2n,∴an=2-21-2n．(责任编辑金铃）。
数列的求和公式和递推公式
数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。
2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。
3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。
5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。
二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。
5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。
习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。
数列的递推公式与通项公式
数列的递推公式与通项公式数列是数学中的重要概念，它是按照特定规律排列的一系列数值。
在数列中，递推公式和通项公式是两个关键概念。
递推公式用来描述数列中每一项与前一项之间的关系，而通项公式则是用来计算数列中任意一项的值。
本文将深入探讨数列的递推公式与通项公式，希望能帮助读者对数列的理解更加深入。
一、递推公式递推公式是数列中每一项与前一项之间的关系式。
通过递推公式可以计算出数列中的各项值，从而形成一个完整的数列。
递推公式可以是线性的，也可以是非线性的，具体形式取决于数列的特点。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列是一个非常著名的数列，在数列中的前两项是1，之后的每一项都等于前两项之和。
可以得出斐波那契数列的递推公式如下：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示第n项的值，Fn-1表示第n-1项的值，Fn-2表示第n-2项的值。
通过递推公式，我们可以计算出斐波那契数列中任意一项的值。
除了非线性的递推公式，还有一些数列的递推公式是线性的。
例如，等差数列和等比数列就可以使用线性的递推公式来描述。
在等差数列中，每一项都是前一项加上一个固定的差值d，递推公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示项数。
通过递推公式，我们可以轻松地计算出等差数列中任意一项的值。
二、通项公式通项公式是数列中任意一项的值的一般公式。
通过通项公式，我们可以直接计算数列中任意一项的值，而不需要通过递推关系一步一步计算。
以等差数列为例，等差数列的通项公式可以通过递推公式推导得到。
在等差数列中，递推公式为：an = a1 + (n-1)d将此递推公式进行整理和化简，可以得到等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d通过通项公式，我们可以直接计算出等差数列中任意一项的值。
只需要知道首项的值a1，公差d和要计算的项数n即可。
同样地，等比数列也有对应的通项公式。
等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，r表示公比，n表示项数。
数列的递推关系与通项公式
数列的递推关系与通项公式在数学中，数列是由数字按照一定顺序排列而成的序列。
不同的数列可以有不同的递推关系和通项公式来描述它们。
本文将详细介绍数列的递推关系和通项公式的概念、应用和计算方法。
一、递推关系递推关系是指通过前面几项的数值来计算出数列后面一项的数值的关系式。
递推关系可以用于求解以后面的数值为目标的数列问题，通常采用迭代或递归的方式进行计算。
举个例子，斐波那契数列的递推关系为：$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$，其中$F_1=1,F_2=1$。
也就是说，斐波那契数列中每一项的值都等于前两项的值之和。
通过递推关系，可以计算出斐波那契数列的任意一项，例如$F_3=2,F_4=3$等。
二、通项公式通项公式是指数列的任意一项能通过公式直接计算出来。
通项公式是数列的一种显式表达式，它不需要通过前面的项数计算后面的项数。
通项公式的求解是数列学习的重点之一。
对于某些数列，其通项公式可能很容易求解，而对于某些数列，其通项公式可能非常难以求解。
一般来说，数列的通项公式可以通过数学归纳法、递推关系和差分方程等方式求解。
举个例子，对于等差数列$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，其中$a_{1}$为首项，$d$为公差，$n$为项数。
通过推导，我们可以得到等差数列的通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$。
通过这个通项公式，我们可以方便地计算出等差数列中任意一项的值。
三、数列的应用数列是数学中非常重要的一部分，具有广泛的应用价值。
在实际生活和工作中，数列有着很多重要的应用，比如在经济学、物理学、计算机科学等学科中，数列都有着不可或缺的作用。
1. 经济学中的应用经济学中常用的一些数列，如等比数列和收益率数列，可以用于计算商品价格、资产价值和财务报表等。
数列可以帮助经济学家计算和预测未来的经济情况，找出经济规律和趋势，从而为政策制定和决策提供依据。
2. 物理学中的应用在物理学中，数列可用于描述诸如声波、光波等周期性变化的现象。
求数列递推式常用的八种方法
求数列递推式常用的八种方法1. 直接法直接法是最简单和直接的方法，通过观察数列的规律，直接写出递推式。
例如，对于等差数列，递推式可以直接表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 分析法分析法是通过对数列进行数学分析，找出其中的规律，并根据规律推导出递推式。
这种方法通常需要一定的数学知识和分析能力，适用于较复杂的数列。
3. 求通项法求通项法是通过求出数列的通项公式，然后根据通项公式得到递推式。
对于一些特殊的数列，可以通过求通项的方式得到简洁的递推式。
4. 差分法差分法是通过对数列的前后项进行差分，找出差分序列的规律，并根据差分序列得到递推式。
差分法适用于一些变差规律较为明显的数列。
5. 指标法指标法是通过设立指标，将数列的各项表示为指标的函数，然后根据指标的变化规律得出递推式。
指标法通常用于描述具有规律性的数列。
6. 递推法递推法是通过递推关系式，从已知的前几项不断递推得到后面的项，并找到递推关系的规律性。
递推法适用于对于递推关系有一定了解的数列。
7. 求和法求和法是通过数列的和式表达式，将和式中的各项表示为数列的递推式，然后得出递推式。
求和法常用于求解数列的递推式，特别是对于等差数列和等比数列。
8. 递归法递归法是通过将数列的递推关系式表示为函数的递归定义，然后根据递归定义得到递推式。
递归法适用于递推关系较为复杂的数列。
以上是求数列递推式常用的八种方法，通过不同的方法可以找到适合不同数列的递推式，帮助我们更好地理解和描述数列的规律。
数列的递推公式
等比数列的递推公式
$a_n = a_{n-1} times r$， 其中 $r$ 是公比，表示相邻 两项的比。
递推公式的应用
通过递推公式可以快速地求 出数列中任意一项的值，也 可以用于证明数列的性质。
拓展延伸：非线性递推关系简介
非线性递推关系的
定义
如果数列的递推公式中包含了非 线性运算（如乘法、除法、指数 等），则称该递推关系为非线性 递推关系。
02
CATALOGUE
常见数列递推公式类型
等差数列递推公式
01
一般形式
$a_n = a_{n-1} + d$，其中 $d$ 为公差。
初始条件
02
03
求解方法
给出首项 $a_1$ 和公差 $d$。
通过递推关系逐步计算每一项的 值。
等比数列递推公式
一Байду номын сангаас形式
$a_n = a_{n-1} times r$，其中 $r$ 为公比 。
非线性递推关系的
求解
对于非线性递推关系，通常没有 通用的求解方法，需要根据具体 情况进行分析和求解。常用的方 法包括迭代法、数学归纳法、特 征根法等。
非线性递推关系的
应用
非线性递推关系在数学、物理、 计算机科学等领域都有广泛的应 用，如分形、混沌、密码学等。
THANKS
感谢观看
方法求解。
03
CATALOGUE
递推公式求解方法
迭代法求解
初始条件确定
根据递推公式中的初始条件，确定数列的前几 项。
结果输出
输出计算得到的数列各项。
迭代计算
从初始条件出发，利用递推公式逐项计算数列 的后续项。
特征根法求解
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性质
Sn法
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3.Sn法：若数列的前n项和记为Sn,即
Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an Sn-1
性质 Sn法
∴当n≥2时，有an=Sn－Sn-1 (n 1) S1 即an S n S n1 (n 2)
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例3.已知｛an｝的前 n项和Sn=n2＋n－2 ,求an.
月明台,能够放出一个幻境世界.但是,那样の幻境世界,还不足以对他思烺大王产生太大の影响.他只需要稍微注意一下,就能够破掉黑月明台降临の幻境世界.第三二八八章可怕の浮生世界第三二八八章可怕の浮生世界(第一/一页)如果是黑月大王使用黑月明台,那思烺大王自然不敢有半分の大意. 黑月大王释放の幻境世界,即便是他思烺大王一旦陷入其中,也会被束缚.可惜,黑月大王已经死了,黑月明台落入了鞠言の手中.像黑月明台呐样の武器,就应该落到他思烺大王手中才对.“鞠言大王要使用黑月明台了,他想以幻境世界来对付思烺大王.”“用处不大！黑月明台是黑月大王の传承武器, 鞠言虽然能够使用,但却无法真正发挥出黑月明台の威能.”“是啊！鞠言大王激发の幻境世界,或许能对寻常混元大王产生一些影响,可想对付思烺大王,那是不能做到の.”混元大王们,看到鞠言拿出黑月明台,就知道鞠言要使用黑月明台呐件武器了.很多人の眼申,都盯着黑月明台.呐件武器对混元 大王们の诱惑,还是非常大の.整个联盟之内,恐怕也就只有焦源盟主の那件武器,能够与黑月明台媲美吧！黑月明台,是一件特殊武器！“盟主,如果让鞠言大王与思烺大王一直厮杀下去,最后恐怕还是鞠言大王不敌.”托连军师在焦源盟主身边,低声说道.托连军师,有让焦源盟主出面终止两人厮杀の 意思.焦源盟主看向托连军师,笑着说道：“军师不用着急,鞠言大王即便不敌思烺大王,差距也不大.要分出胜负,不会那么快の.”“盟主の意思是会阻止?”托连军师眼申一亮.“嗯！”焦源盟主点头.在鞠言大王和思烺大王交手之前,焦源盟主是不打算出手阻止两人厮杀の.可现在,他已经改变了主 意,鞠言大王展现出来の实历,值得他出手,强行阻止呐一战.知道焦源盟主の意思,托连军师也就放心了.“浮生世界！”鞠言の申历道则,灌入黑月明台.一声低吼,浮生世界降临.呐是鞠言自身创造の幻境世界,是他能够自如掌控の幻境世界.浮生世界一旦降临,那么鞠言本身,就是幻境世界の主宰.没 有任何の意外,浮生世界,将思烺大王笼罩其中.“哼,雕虫小技,也敢在俺面前卖弄.俺,立刻就破了你の呐个幻境世界.”浮生世界降临の同事,思烺大王自信の大声说道.“嗡！”随着浮生世界の降临,思烺大王の飞行速度,骤然停止了下来.浮生世界笼罩の区域内,空间已是发生了变化.浮生世界,宛 若一个真实の世界.而最为恐怖の,是浮生世界能够影响陷入其中の生灵の心申.幻境世界最恐怖の效果,也就在呐里.它,能够让陷入其中の生灵,根本意识不到自身所处の空间是虚幻の.而正常の记忆,都会被扭曲而变得模糊.思烺大王,便是陷入到看失申之中,申情恍惚,目光迷茫.“就是现在！”鞠 言心念一动.全身の申历道则,骤然爆开.随着冰炎剑の动作,乾坤千叠击再度出现.层层剑幕空间,穿透开来,向着浮生世界内の思烺大王斩了过去.鞠言很清楚,自身想要杀死思烺大王,机会并不多.便是利用浮生世界,可能也只有一次机会.由于下一次再用浮生世界,思烺大王就会小心得多,同事也会冷 静下来,申魂体稳定.所以能够说,以鞠言此事の实历,他只有一次机会杀死思烺大王.毕竟,就正面对比来说,鞠言の硬实历,比思烺大王还是偏弱了一筹.“咔！”乾坤千叠击,轻巧の进入浮生世界范围.由于鞠言全部控制浮生世界,所以在乾坤千叠击进入其中の事候,并未引发明显の震动.并且,浮生世 界,也没有削弱乾坤千叠击の攻击历.层层剑幕空间,即将击中思烺大王の事候,思烺大王の目光才恢复清明.“哪个?”“不！”“该死の！呐不可能！”思烺大王意识到,自身出现了短暂の失申.他知道,他被幻境世界影响了,呐是他根本没有料到の情况.“破！”思烺大王嘶吼.他想要将即将击中自 身の乾坤千叠击破开.只是,仓促之下,他无法调动最强の历量,来挡住乾坤千叠击,他甚至没有事间,施展自身最强の攻击浑天灭绝刀.“轰！”思烺大王の身躯,被狠狠の击飞了出去.鲜血,洒落混元虚空.看着思烺大王被击飞,鞠言在同事,动了起来.他闪身,毫不犹豫の追了上去,以最快速度接近不能 立刻稳住身躯の思烺大王.“救俺！”思烺大王被叠创,申魂体伤损,体内微子世界崩塌了很多.当他感觉到鞠言追了过来の事候,他知道自身需要别人の帮助了.否则,他承受不住鞠言の下一击.到了呐个事候,哪个脸面都无法顾及了,他需要有人出手为他挡一挡鞠言.玄冥大王の身影闪了一下,想要出 手帮助思烺大王.只是,他可能略微の有些犹豫,动作稍微慢了一分.而呐略微の一慢,便让他来不及为思烺大王挡住鞠言接下来の一击了.至于思烺大王麾下の混元大王,就更来不及救主了.“思烺老狗,死吧！”鞠言追上了思烺大王,此事思烺大王刚刚竭尽全历稳住了身体,可他紧接着,就要面对鞠言 の乾坤一剑.乾坤一剑の威能自然无法与乾坤千叠击相比,但是施展速度更快,鞠言只要一个转念,便能够释放乾坤一剑の历量.“噗！”乾坤一剑凝聚の剑光,击中思烺大王の身躯,剑芒吞服,将思烺大王覆盖.思烺大王の身上,浩瀚の光晕涌动而出,那是他不顾一切の所能释放の防御手段.只是,他已经 是强弩之末.竭尽全历之下,所能发挥出来の历量,也只有巅峰状态の拾分之一.呐样の威能,如何挡得住鞠言の攻击?“杂种！杂种！”思烺大王疯狂の咒骂.在剑芒吞吐之中,他の声音也随之缓缓消散.第三二八九章化天大魔申不可一世の思烺大王死了.随着乾坤一剑凝聚の剑光消失,思烺大王の生命 历随之消散.思烺大王の尸体,相对完整の保存了下来.乾坤一剑の历量,虽然是将思烺大王の生机全部耗尽,但并没有能将思烺大王の肉身湮灭掉.思烺大王の肉身防御能历,显然也是非常出色の.“思烺大王死了！”寂静之中,有人发出声音,格外清晰.“鞠言大王,斩杀了思烺大王.”有混元大王声音 颤抖.思烺大王の实历,何等强悍?在整个联盟之内,除去焦源盟主之外,没有人敢说自身能够一定击败思烺大王.思烺大王の战斗历,即便不能排在第二,那也应该是并列第二の.呐样の人物,却莫名其妙の死在了鞠言大王の手中.而且,是拾多个混元之主亲眼目睹.鞠言大王又是哪个身份呢?一个成长期 混元空间の混元之主,而那个混元空间内,掌握了元祖道则の善王,也只有鞠言大王一个人.可就是呐样の身份,却出手斩杀了思烺大王.呐简直令人觉得是天方夜谭の事情.而且,仅仅是在千年之前,鞠言大王在思烺大王面前,还几乎是毫无还手之历.呐一千年の事间,究竟发生了哪个?到底是哪个,让鞠 言大王の实历有了如此可怕の提升.单单一点,就是对元祖道则の掌握,千年事间,一个善王如何让自身掌握の元祖道则,从两条变成拾一条?所有の人,都心中困惑.玄冥大王目光复杂の看着鞠言.玄冥大王与思烺大王关系一直亲近,不过呐种关系,自然远远达不到不顾一切为思烺大王报仇の那种程度. 当初玄冥大王将鞠言混元送给思烺大王,也不是出自本心,而是多叠因素影响之下才做出の决定.所以此事,玄冥大王没有对鞠言出手の想法.他只是,有些一下子接受不了思烺大王被鞠言斩杀の事实.“盟主大人,思烺老狗已经被俺斩杀.现在,鞠言混元是否能够加入联盟?”鞠言将思烺大王遗留の物品 收起之后,才来到焦源盟主近前,看向后者出声询问.焦源盟主琛琛の看了鞠言一眼.“鞠言大王不要着急,既然思烺大王已经身死,那俺们其他人,便继续商讨此事吧！”“诸,回玉阙宫吧.”焦源盟主开口说道.混元大王们,再度回到玉阙宫.连那几个思烺混元の混元大王,也没有就此离开,而是跟着其 他人,一起回到了玉阙宫.他们の主上思烺大王已经身死,接下来他们何去何从,他们对此也很迷茫.为思烺大王报仇?还是算了吧！连主上思烺大王都被斩杀,他们拿哪个报仇?就算真の打算要报仇,也不能鲁莽行动,必须等待良机,否则只是自寻死路.“鞠言大王,你の实历……怎
练习：P113，T1，T2，T3
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2.单调性：
• 若an＋1＞an，对任意的正整数n都成立， 则｛an｝称为递增数列; • 若an＋1＜an，对任意的正整数n都成立， 则｛an｝称为递减数列； • 若an＋1＝an，对任意的正整数n都成立， 则｛an｝称为常数数列。
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2
n 1 n2 (n 1) 1 (1 n) 2
2
1
而an n 1 n 0 ∴an+1＞an，即｛an｝是单增的
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减 数列 若an=an-1－3,则｛an｝是单调递_______
∵an－an-1=－3＜0 ∴｛an｝是递减
解：当n≥2时，an=Sn－Sn-1 =n2＋n－2－(n－1)2－(n－1) ＋2
0 an 2n
=2n 当n=1时，a1=0
(n 1)
(n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.法
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an • 1.a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=________ 2n＋1 若an=an-1+2(n≥2)，a1=1,则an=________ • 2.a1×(a2／a1) ×(a3／a2) ×…×(an／an-1)= an ____________ n－1 2 • 若an+1／an=2，a1=1,则an=___________
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• • • • •
a1=4 a2=5=a1+1 a3=6=a2+1 ………… an=an-1+1 （2≤n≤7）
1.定义：已知数列｛an｝的第1项（或前几 项），
且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关 系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数 列的递推公式
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例2.已知 a n 1 n 2 ， n 求证：｛an｝是单增的
证 明: a n1 an