30.四面体
正多面体顶点数与面数与棱数关系
正多面体顶点数与面数与棱数关系正多面体是指每个面都是正多边形的多面体，它是几何学中的一个重要概念。
在本文中，将讨论正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。
首先，我们来探讨正多面体的特点。
正多面体的每个面都是相等的正多边形，且每个顶点都是围绕相同的边数的面而排列的。
根据欧拉公式，正多面体的顶点数、面数和棱数之间存在着一定的关系。
欧拉公式表达式如下：V - E + F = 2其中，V表示顶点数，E表示棱数，F表示面数。
根据这个公式，我们可以得出正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。
首先，我们来考虑最简单的正多面体——正四面体。
正四面体是由四个等边三角形组成的立体图形，因此它有四个面、四个顶点和六条棱。
代入欧拉公式可以得到：4 - 6 + F = 2通过计算可以得出，正四面体的面数F为四。
所以，正四面体的顶点数、面数和棱数之间的关系为：V=4，E=6，F=4。
这也符合我们在前面讨论的正多面体的定义。
接下来，我们来考虑正六面体（也称为立方体）。
正六面体由六个正方形组成，它有六个面、八个顶点和十二条棱。
代入欧拉公式可以得到：8 - 12 + F = 2通过计算可以得出，正六面体的面数F为八。
所以，正六面体的顶点数、面数和棱数之间的关系为：V=8，E=12，F=8。
同样地，我们可以计算出其他正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。
例如，正八面体（也称为八面体）由八个等边三角形组成，它有八个面、六个顶点和十二条棱。
代入欧拉公式可以得到：6 - 12 + F = 2通过计算可以得出，正八面体的面数F为六。
所以，正八面体的顶点数、面数和棱数之间的关系为：V=6，E=12，F=6。
同样地，我们可以计算出正十二面体（也称为二十面体）、正二十面体（也称为立体二十面体）和正三十面体（也称为二十面体）等正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系。
它们的顶点数、面数和棱数分别为：正十二面体：V=20，E=30，F=12正二十面体：V=12，E=30，F=20正三十面体：V=12，E=30，F=30通过以上的计算，我们可以总结出正多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系为：正四面体：V=4，E=6，F=4正六面体：V=8，E=12，F=8正八面体：V=6，E=12，F=6正十二面体：V=20，E=30，F=12正二十面体：V=12，E=30，F=20正三十面体：V=12，E=30，F=30通过这些例子，我们可以看到，正多面体的顶点数、面数和棱数之间并没有明显的规律，它们的数值取决于多面体的形状和特征。
江苏省五校2024年高三第三次诊断考试数学试题
江苏省五校2024年高三第三次诊断考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．32．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-3．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．3204．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行5．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．526．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或157．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b8．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强9．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．10．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 11．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭12．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中立体几何证明方法及例题
1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质α//βαI γ=a ,βI γ⎫⎬⇒a =b ⎭//baa //b⎫⎬ba ⊄α,b ⊂α⎭α⇒a //αa ⊂α,b ⊂αAb a I b =Aαaa //β,b //ββ⎫⎪⎬⎪⎭(a//b,b//c线线∥⇒a //c)公理4线面平行判定线面平行性质线面∥⇒α//β面面平行判定1面面∥面面平行性质面面平行性质1α//γ⎫β//γ⎭⎫⎪a ⊂β⎬αI β=b ⎪⎭a //α⇒a //bα//β⎫a ⊂α⎭⎬⎬⇒α//β⇒a //β2.线线、线面、面面垂直关系的转化：⎫⎪a Ib =O ⎬l ⊥a ,l ⊥b ⎪⎭a ,b ⊂α⇒l ⊥α⎫⎬⇒α⊥βa ⊂β⎭a ⊥α面面⊥三垂线定理、逆定理线线⊥PA ⊥α,AO 为PO 在α内射影a ⊂α则a ⊥OA ⇒a ⊥PO a ⊥PO ⇒a ⊥AOl ⊥α线面垂直判定1线面垂直定义线面⊥α⊥β面面垂直判定面面垂直性质，推论2⎫⎬a ⊂α⎭⇒l ⊥a⎫⎪αI β=b ⎬⇒a ⊥αa ⊂β,a ⊥b ⎪⎭α⊥γβ⊥γαI β⎫⎪⎬⇒a ⊥γ=a ⎪⎭面面垂直定义αI β=l ，且二面角α-l -β⎫成直二面角⎬⇒α⊥β⎭3.平行与垂直关系的转化：a //b ⎫a ⊥αa ⊥α⎫⇒b ⊥αa⎬⎭⎬⇒αa ⊥β⎭//β线线∥线面垂直判定2线面垂直性质2a ⊥α⎫线面⊥面面平行判定2面面平行性质3面面∥⎬⇒a //b b ⊥α⎭α//β⎫a ⊥α⎬a ⊥β⎭4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
河北省市场监督管理局事业单位考试真题
河北省市场监督管理局事业单位考试真题第一部分常识判断1.通货膨胀的重要表现是（）。
A.社会总需求小于社会总供给B.物价总水平不稳定C.货币发行量超过流通中所需要的金属货币量D.货币不断升值【答案】：C2."揭竿为旗，斩木为兵"形容的是哪一场起义？（）A.绿林起义、黄巾起义B.赤眉起义、陈胜吴广起义【答案】：B3.关于文学作品，下列对应正确的是（）A.泼留希金—《复活》—果戈理B.《玩偶之家》—易卜生—挪威C.于连—《红与黑》—大仲马D.《罪与罚》—陀思妥耶夫斯基—德国【答案】：B4.在当前保护主义上升、世界经济低迷、全球市场萎缩的外部环境下，我们必须充分发挥国内超大规模市场优势，通过繁荣国内经济、畅通国内大循环为我国经济发展增添动力，带动世界经济复苏。
这是因为：A.外因对事物发展起决定作用B.改革是推动社会发展的根本动力C.内因是事物变化发展的根据D.事物发展是量变和质变的统一1/ 14【答案】：C5.老舍戏剧创作高峰，也是中国话剧史里程碑式作品的是（）。
A.《方珍珠》B.《茶馆》C.《关汉卿》D.《龙须沟》【答案】：B6.在丧礼中，晚辈给长辈穿孝主要是为了表示孝意和哀悼。
在我国古代是哪家的丧礼？（）A.佛家B.儒家C.墨家D.道家【答案】：B7.2013年9月19日是我国传统节日——中秋节。
中秋节不单单是华人的节日，也是韩国，日本等国的传统节日。
由此可见，（）。
A.传统文化具有不变性B.文化是民族情感的集中表达C.世界文化具有多样性D.文化既是民族的又是世界的【答案】：D8.“七月流火，九月授衣”，其中“七月流火”指的是:（）A.天气渐渐转凉B.流星异常出现。
C.天气炎热似火【答案】：A2/ 149.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，这一句诗常被后人用来描述我国四大名著中的（）。
A.《左传》B.《红楼梦》C.《西游记》D.《三国演义》【答案】：B10.我国实行适度宽松的货币政策，降低存款利率不利于（）。
高考数学复习专题：欧拉定理与球
欧拉定理与球一、知识点：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体 顶点数V面数F 棱数E 正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体1220303．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=． 4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E =+-，()f p 叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p =．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p =（3）多面体所有面的内角总和公式：①()360E F -︒ 或②0(2)360V -5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O ． 6．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以22r R d =-为半径的一个圆，截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7． 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9．两点的球面距离公式：AB R θ=（其中R 为球半径，θ为A,B 所对应的球心角的弧度数） 10 半球的底面：已知半径为R 的球O ，用过球心的平面去截球O ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O （包含它内部的点），叫做所得半球的底面11．球的体积公式：343V R π=12 球的表面积：24S R π=二、练习：1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求n2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边 6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ． ④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且23AB =，则,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ． 15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．参考答案1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求n解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，即5n =．2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n 解：∵8V =，83122E ⨯==，∴26F E V =+-=，即6n =． 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 证明：∵23F E ＝，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E ＝7，∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则E n n nF 221=+++ ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ． ④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且23AB =，则,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．答案：①一个或无数个 ②249m ③3 ④43π ⑤3π 7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ； 答案：3R π 8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ； 答案：3cm9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径．解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O⊥O 1B ．∴4511=∠=∠=∠AOC BO O AO O ． ∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝45cos ⋅OA ＝R 22． ∴ 两点间的纬线的长为：R R 42222=⋅π． ∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴901=∠B AO ． 在B AO Rt 1△中，R AO AB ==12，∴ OB AB OA ==，3π=∠AOB ．∴ 两点间的球面距离是：R 3π． 10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 811．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 答案： 713.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 答案： 614.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ． 答案： 43π，43π15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为2a、a 22，a 23∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积 解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ， 则作轴截面如图，14AA '=，2AC a =，又∵24324R ππ=，∴9R =， ∴2282AC AC CC ''=-=，∴8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ． 由题设 a GE AE AG 3622=-=． ∵ △AOF ∽△AEG ∴a Ra a R 233663-=，得a R 126=． ∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a rR a =---36236，得a r 246=． ∴ 3331728624634341a a r V O=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球． 另法：以O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到1144R OG AG h ===，63h a =， 1116()42824r h h a ===。
高三精选立体几何大题30题(含详细解答)
A BC第1题图ABCD第1题图立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD 把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B 的正切值. 4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。
四面体与六面体网格特征比较
四面体与六面体网格特征比较摘要：文章以一个轴承座零件为例，对轴承座零件分别进行了四面体和六面体网格划分，在此基础上，比较了四面体网格与六面体网格模型的特点，对有限元网格的划分具有一定的参照价值。
关键词：有限元；网格划分；模型比较作为有限元仿真的前处理技术，有限元的网格越来越受到分析工程师们的重视，有限元前处理（即CAD模型与网格划分）占CAE分析流程总时间的40%～45%左右，而计算结果的精确性却主要依赖网格的质量，所以有限元网格划分是进行有限元分析的重要步骤，它直接影响到后续工作的准确性。
六面体网格在计算精度、变形特性、划分网格数量、抗畸变程度及再划分次数等方面比三维四面体网格具有明显的优势，另外在某些情况下只能采用六面体单元进行有限元分析。
因此，六面体网格成为当今三维模型问题分析的首选网格。
然而，由于自动生成网格的需要，对于任意复杂的三维结构全部使用六面体网格划分网格是不现实的，因此，当计算任意形状的物体时，四面体是必不可少的工具。
本文利用有限元前处理软件HyperMesh，采取了两种方式分别对一个轴承座模型进行四面体和六面体的网格划分，比较了两种不同方式网格划分的特点。
1 四面体网格1.1 轴承座几何模型在PRO/E中建立轴承座的三维几何模型，并做了适当的简化处理，简化处理原则是对下一步的静强度计算没有太大影响，但是能有效减少网格单元数量，提高计算精度。
原模型只根据要求去除了支座底部的螺栓孔，保留了所有的圆角和筋等支撑，最大限度的不修改模型，简化后的几何模型如图1所示。
1.2 四面体网格的划分四节点四面体单元与十节点四面体单元是常见的两种四面体单元形式，与四节点单元相比而言，十节点四面体单元绝有较高的精度，但其单元函数相对复杂，生成数据后结构总数较多，计算效率低下，常应变四节点四面体单元虽然单元函数简单，结构自由度少，但是精度低，在HyperMesh中，有对微小曲面，狭窄倒圆角以及细长面的近似画法，对微小区域自动生成较小的网格单元，最大程度上保持了网格表面是三位模型表面的一致性，所以四面体单元比较适合对形状复杂的模型进行网格划分。
关于外接球的表面积与体积计算问题
关于外接球的表面积与体积问题（二）一．选择题（共30小题）1．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4π B．9π C．12π D．16π2．已知三棱柱ABC﹣ABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱111柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B． C． D．3．三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A﹣BC ﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7π B．12π C．16π D．28π4．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28π B． C．32π D．5．已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．6．如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．7．设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V=3V=3，则球的表面积为（）BCDA﹣S﹣BCD A．16π B．64π C．π D．32π8．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60π B．30π C．20π D．15π9．在封闭直三棱柱ABC﹣ABC，BC=8，AB=15，BC⊥AB若的球，V内有一个体积为111．AA=5，则V的最大值是（）1A． B． C． D．36π10．在正方体ABCD﹣ABCD中，M是线段AC的中点，若四面体M﹣ABD的外接111111球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2B．3C．4D．511．三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2π B．4π C．8π D．16π12．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A． B． C．16π D．21π13．已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC 的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．4π B．π C．16π D．12π14．已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）A． B．8π C．20π D．15．已知直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，侧面BCCB的面积为4，则直三11111棱柱ABC﹣ABC外接球表面积的最小值为（）111A．4π B．8π C．16π D．32π16．如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A． B．6π C． D．12π17．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1 B． C． D．18．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4π B．6π C．8π D．10π19．在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A． B． C．24π D．6π20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．21．一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．84π B．96π C．112π D．144π22．三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36π B．72π C．144π D．288π23．已知正三棱柱ABC﹣ABC的六个顶点在球O上，又知球O与此正三棱柱的211115个面都相切，求球O与球O的表面积之比（）21A．5：1B．2：1C．4：1D．：124．已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43π B．17π C．34π D．25．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C．16π D．32π26．若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A． B． C． D．则此棱锥的内切球与外接球体积为，的底面边长为，ABCD﹣P已知正四棱锥．27．的半径之比为（）A．1：2B．2：5C．1：3D．4：528．球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A． B．4π C．12π D．36π29．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8π B．12π C．16π D．32π30．已知在三棱锥P﹣ABC中，V=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平ABC ﹣P面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．关于外接球的表面积与体积问题（二）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2017?全国模拟）已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．4π B．9π C．12π D．16π【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而222222的外接球的表面﹣ABCD，即可求出多面体+d=1+（﹣d），求出R=4ER=（）积．，则的距离为d【解答】解：设球心到平面ABCD，∠AEB=60°，EA=EB=3所在的平面与矩形∵△EABABCD所在的平面互相垂直，的距离为，ABCD∴E到平面22222，d）+d∴R=（）=1+（﹣2，∴d=，R=42=16π．4πR的外接球的表面积为E﹣ABCD∴多面体．D故选【点评】本题考查多面体E﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体E﹣ABCD的外接球的半径是关键．2．（2017?大理州二模）已知三棱柱ABC﹣ABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在111同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A． B． C． D．【分析】画出球的内接三棱柱ABC﹣ABC，作出球的半径，然后可求球的表面积．111【解答】解：设AA=h，则1∵棱柱的体积为，AB=2，∴∴h=1，∵AB=2，∴BC==，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP==则球的半径为OA，由题意OP=，∴OA==，3=π所以球的体积为：πR故选B．【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．3．（2017?福州一模）三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2，∠BDC=90°，二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．7π B．12π C．16π D．28π【分析】由题意画出图形，通过求解直角三角形可得三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：设球心为M，BC的中点为P，∵三角形BDC满足∠BDC=90°，∴P为三角形BDC的外心，设△ABC的外心为O，∵△ABC为等边三角形，∴MO⊥平面ABC，MP⊥平面BDC，∵二面角A﹣BC﹣D的大小为150°，∴∠OPM=60°，在等边三角形ABC中，由AB=2，得AP=3，∴OP=1，在Rt△MOP中，可得MO=，在Rt△MOA中，得MA=．∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．故选：D．【点评】本题考查球的表面积与体积，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．4．（2017?香坊区校级一模）已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E，F分别是AB，CD上两动点，且AE=DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE⊥平面ABCD，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（）A．28π B． C．32π D．【分析】三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，232，令f（x）=0，可得x=2﹣12x=72x，f′（x）﹣36x=36x===s．令f（x），DCF△即当x=2时，s最大，此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的DCF△半径为长方体对角线长的一半，得球半径R即可．【解答】解：将矩形ABCD沿EF折起，使得平面ABCD⊥平面BCFE，可得直三棱柱ABE﹣DCF，（如图）三棱柱ABE﹣DCF的底面△DCF，△ABE是直角△，AB⊥BE，FC⊥CD三棱柱ABE﹣DCF的底面积最大时，其体积最大．设FC=x，DCF=6﹣x，s===．DCF△232，令f（x）﹣36x=0，可得x=2）令f（x=36x12x ﹣），f′（x=72x∴当x=2时，s最大DCF△此时CF，CD，CB两两垂直，可以把此三棱柱补成长方体，外接球的半径为长方体对角线长的一半球半径R=，∴几何体外接球的体积为，故选：D．【点评】本题考查了折叠问题，及三棱柱的外接球，属于中档题．5．（2017?贵州模拟）已知三棱锥A﹣BCD中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．【分析】由三棱锥的对边相等可得三棱锥A﹣BCD为某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积．【解答】解：补体为底面边长为1，高为的长方体，外接球的球心为长方体体对角线中点，所以球的半径r=1，球的体积，故选D．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，转化思想，属于中档题．6．（2017?临川区校级模拟）如图，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【解答】解：△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=60°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD==．2=π；该球的表面积为：4π×OD故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．7．（2017?贵阳一模）设SA为球的直径，B、C、D三点在球面上，且SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V=3V=3，则球的表面积为（）BCD﹣ABCD﹣S．A．16π B．64π C．π D．32π【分析】利用SA⊥面BCD，三角形BCD的面积为3，V=3V=3，求出球的直BCDBCD﹣AS﹣径，即可得出结论．【解答】解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，则三棱锥S﹣BCD的高为3h，球的直径为2R，∵三角形BCD的面积为3，V=1，BCDA﹣∴=1，∴h=1，∴R=2，2=16π，4π?2∴球的表面积为故选A．【点评】本题考查球的表面积，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（2017?南岗区一模）已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60π B．30π C．20π D．15π【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，∴EF=AD=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，222222，+OFR+OE，=DFROA连接，OC，有=AE222222，）=3OE+（﹣RR∴=（）+OE，，∴R=2=60π．∴三棱锥的外接球的表面积为4πR．故选A【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．9．（2017?呼和浩特二模）在封闭直三棱柱ABC﹣ABC内有一个体积为V的球，111若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA=5，则V的最大值是（）1A． B． C． D．36π【分析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC﹣ABC内切球半径即可111【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．3=πR，此时球的体积为故选：B．【点评】本题考查了棱柱的内切球的体积，解题关键在于确定球何时半径最大，属于基础题．10．（2017?大东区一模）在正方体ABCD﹣ABCD中，M是线段AC的中点，若四111111面体M﹣ABD的外接球的表面积为36π，则正方体棱长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】设BD的中点O′，则球心O在MO′上，利用四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，求出球的半径，利用勾股定理建立方程，求出正方体棱长．【解答】解：设BD的中点O′，则球心O在MO′上，∵四面体M﹣ABD的外接球表面积为36π，2=36π，∴4πR∴R=3，设正方体棱长为2a，则O′A=a，222，3﹣）2a（）由勾股定理可得3=+（∴a=2，∴正方体棱长为2a=4．故选C．【点评】本题考查正方体棱长，考查四面体M﹣ABD的外接球表面积，确定球心的位置是关键．11．（2017?绵阳模拟）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2π B．4π C．8π D．16π【分析】PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC上一动点，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大，最大值是，求出PC=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥P﹣ABC的外接球的直径，即可得出结论．【解答】解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP 就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．此时，PM=，在Rt△PBC中，PB?PC=BC?PM?PC=?PC=．三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=1，2=4π．的外接球的表面积为4πRABC∴三棱锥P﹣故选：B．【点评】题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12．（2017?湖北模拟）如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球的表面积为（）A． B． C．16π D．21π【分析】由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正主形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，由此能求出该空间几何体的外接球的表面积．【解答】解：如图，由几何体的三视图知该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，△SBC是边长为2 的等边三角形，AB⊥平面SBC，取BC中点F，AD中点E，连结SF，EF，取EF中点M，则MF=1，SF=，设该几何体外接球的球心为O，则OM⊥面ABCD，设OM=x，过O作OH⊥SF，交SF于H，则SH=，OH=MF=1，222，=OS∴OD=R2222，（）+x+=1即（）解得x=，∴R==，∴该空间几何体的外接球的表面积S==．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的外接球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．13．（2017?楚雄州一模）已知P，A，B，C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为（）A．4π B．π C．16π D．12π【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=R，∴=R，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴×××R×Rsin60°×R=，解得R=2，2=16π．S=4πR∴球O的表面积故选：C．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键．14．（2017?临翔区校级一模）已知底面边长为的正三棱锥O﹣ABC的体积为，且A，B，C在球O上，则球的体积是（）A． B．8π C．20π D．【分析】正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，求出小圆半径、三棱锥的高，可得球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：正三棱锥的顶点正好是球心，底面为一个小圆，因正△ABC的边长为，所以小圆半径r=2，又因，所以三棱锥的高h=1，设球半径为R，则，，故选A．【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．15．（2017?灵丘县校级三模）已知直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，侧面111BCCB 的面积为4，则直三棱柱ABC﹣ABC外接球表面积的最小值为（）11111A．4π B．8π C．16π D．32π【分析】设BC=2x，BB=2y，则4xy=2，利用直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，1111可得直三棱柱ABC﹣ABC外接球的半径为≥=，即可求出三棱柱ABC﹣ABC外接111111球表面积的最小值．【解答】解：设BC=2x，BB=2y，则4xy=4，1∵直三棱柱ABC﹣ABC中，∠BAC=90°，111∴直三棱柱ABC﹣ABC外接球的半径为≥=，111∴直三棱柱ABC﹣ABC外接球表面积的最小值为4π×2=8π．111故选：B．【点评】本题考查三棱柱ABC﹣AB确定C外接球表面积的最小值，考查基本不111等式的运用，确定直三棱柱ABC﹣ABC外接球的半径的最小值是关键．111 16．（2017?广安模拟）如图1，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A． B．6π C． D．12π【分析】由已知得PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，∴PA、PF、PE两两垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF为棱构造一个长方体，则四面体PAEF的四个顶点在这个长方体的外接球上，∴这个球的半径为R==，2=4π×=6π．S=4πR∴该球的表面积是．B故选：本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、【点评】四面体的性质及构造法的合理应用．B折成一个直二面角AC沿对角线ABCD（2017?郴州二模）将边长为的正方形．17．﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）A．1B． C． D．【分析】先求出V，再求出四面体ABCD的表面积S=S+S+S+S，由BCD△ADCABDD﹣ABC△ABC△△四面体ABCD的内切球的半径r=，能求出结果．【解答】解：∵边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，∴=1，AC=2，取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO==1，且DO⊥平面ABC，∴V==，ABCD﹣BD==，AB=BC=AD=DC=，∴=，=1，∴四面体ABCD的表面积S=S+S+S+S BCD△△ADCABD△ABC△=2+，∴四面体ABCD的内切球的半径r===2﹣．故选：D．【点评】本题考查四面体的内切球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四面体内切球半径与其体积和表面积的关系式的合理应用．18．（2017春?简阳市期末）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4π B．6π C．8π D．10π【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为=．所以球的直径是，半径长R=，2=6πS=4πR则球的表面积故选B．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．19．（2016秋?晋中期末）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A． B． C．24π D．6π【分析】取AC中点D，连接SD，BD，由题意可得∠SDB为二面角S﹣AC﹣B，取等边△SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，所以cos∠EDO=，OD=，所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：D．利用已知条件求出线段解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，【点评】．长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径．20．（2017春?陆川县校级期中）如图，在三棱锥D﹣ABC中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A． B．4π C．2π D．【分析】利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角，扩展几何体为长方体，求出外接球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：在三棱锥D﹣ABC中，，可得AC⊥BC，AC⊥CD，CD⊥CB，则C﹣ABD三棱锥看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球计算长方体的外接球，外接球的半径为：=1．外接球的体积为：=．故选：D．【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及最后思想计算能力．21．（2017春?山西月考）一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为（）A．84π B．96π C．112π D．144π【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为O，O，则球O的球心O为线段OO21212，由此能求出球O的表面积．RO的半径为，利用勾股定理求出R的中点，设球【解答】解：∵一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O，O，则球O的球心O为线段OO的中点，2211设球O的半径为R，222=28（）+则R=（），2=112π．S=4πR∴球O的表面积故选：C．【点评】本题球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、方程思想、整体思想，是中档题．22．（2017春?顺庆区校级月考）三棱锥的棱长均为4，顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．36π B．72π C．144π D．288π【分析】正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同．∵三棱锥的棱长均为4，∴正方体的棱长是4，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，2=144π．6R=6，球的表面积为4π×∴2R=12，∴故选：C．【点评】巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．23．（2017春?东湖区校级月考）已知正三棱柱ABC﹣ABC的六个顶点在球O上，1111又知球O与此正三棱柱的5个面都相切，求球O与球O的表面积之比（）221A．5：1B．2：1C．4：1D．：1【分析】由题意得两球心是重合的，设球O的半径为R，球O的半径为r，则正21三棱柱的高为2r，AB=2r，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O的球122222=R5r=R，即心，则（2r）+rR的半径为r【解答】解：设球O的为，球O12的球面上，ABCO的侧棱与底面垂直，三棱柱的六个顶点都在球ABC∵三棱柱﹣1111．2r∴三棱柱的高（侧棱长）为=2rAB=2r所示：1的大圆截面如图O的底面与球CB﹣正三棱柱ABCA（）可得，BO11111正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O的球心，122222，∴球O与球O的表面积之比为5r5=R∴（2r）：+r1=R．，∴21故选：A【点评】本题考查了球与三棱柱的组合体，根据几何体的性质，找到球心，求出半径是解题关键，属于中档题．24．（2017春?奉新县月考）已知四面体ABCD的六条棱中，AC=BD=4，其余的四条棱的长都是3，则此四面体的外接球的表面积为（）A．43π B．17π C．34π D．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以3，4，3为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，222222=9，+z+z=16并且x，+yy=9，x2222=17=x+z+y）设球半径为R，则有（2R，2=174R，∴2=17π．S=4πR∴球的表面积为故选B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．25．（2017春?高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C．16π D．32π【分析】如图，取BC中点D，连结AD、PD，过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，即∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，由tan∠APD=，得AP以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P﹣ABC的外接球，即可求出半径．【解答】解：如图，取BC中点D，连结AD、PD，∵AB=AC，∴AD⊥BC，由因为PA⊥面ABC，∴BC⊥面PAD，过A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成角，∴tan∠APD=，∵AD=，∴．∵AB，AC，AP相互垂直，∴以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P ﹣ABC的外接球，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为2=4π；4πR故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的外接球，转化已知求出球的半径是关键，属于中档题．26．（2017春?高平市校级月考）若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A． B． C． D．【分析】利用AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，求出PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，即可得出结论．【解答】解：∵AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，∴PA=，三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为=2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为，故选A．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，考查线面垂直，线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．27．（2017春?惠安县校级月考）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：2B．2：5C．1：3D．4：5【分析】取BC中点E，求出PE，HP，可得四棱锥P﹣ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比．【解答】解：取BC中点E，由题意，正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，体积为，∴PE=，HP=2，从而四棱锥P﹣ABCD的表面积为S=+=8，V==，∴内切球的半径为r=．设四棱锥P﹣ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，222，+1=R﹣∴（2R）∴R=，∴棱锥的内切球与外接球的半径之比为2：5．故选B．【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥P ﹣ABCD的表面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．的两半平面相切，﹣βlα﹣与锐二面角O春?建始县校级月考）球2017（．28．两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的表面积为（）A． B．4π C．12π D．36π【分析】设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，利用三角函数、平面几何知识求解．【解答】解：设球O与平面α，β分别切于点P，Q，过点O作OR⊥l于低能R，连接PR，QR，PQ，设PQ与OR相交于点S，其抽象图如下图所示，则有PO⊥PR，OQ⊥QR，故P，O，Q，R四点共圆，此圆的直径为2，由正弦定理得，∴，又二面角α﹣l﹣β为锐二面角，所以∠PRQ=60°，∠PRO=30°，∴OP=1，即球的半径为1，2=4π，故选B．球O的表面积为S=4πR【点评】本题考查了球的性质，空间问题转化为平面问题是解题的关键，属于中档题．29．（2016?衡水万卷模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8π B．12π C．16π D．32π【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．2=16π．ABCD外接球的表面积为：4πR四面体故选：C．【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．30．（2016?河南模拟）已知在三棱锥P﹣ABC中，V=，∠APC=，∠BPC=，PA ABCP﹣⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S==，PBC△∴V=V==，PBCAP﹣ABC﹣∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，。
立体几何经典习题集(含答案)
立体几何基础A 组题一、选择题：1．下列命题中正确命题的个数是 （ ） ⑴ 三点确定一个平面⑵ 若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内 ⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0B.1C.2D.3答案：A2．已知异面直线a 和b 所成的角为︒50，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是︒30的直线条数有且仅有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案：B 3．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是 （ ） (1) 若βα//，则m l ⊥ (2) 若βα⊥，则m l // (3) 若m l //，则βα⊥ (4) 若 m l ⊥，则βα//A.(3)与（4）B.（1）与（3）C.（2）与（4）D.（1）与（2）答案：B4．已知m 、n 为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l （ ） A.与m 、n 都相交 B.与m 、n 中至少一条相交 C.与m 、n 都不相交 D.至多与m 、n 中的一条相交答案：B5．设集合A={直线}，B={平面}，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，则下列命题中的真命题是 （ ）A. c a b a b c ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// B.c a c b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ C.c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ D. c a b c b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//答案：A6．已知a 、b 为异面直线，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AC=AD ，BC=BD ，则直线a 、b 所成的角为 （ ） A. ︒90 B. ︒60 C. ︒45 D. ︒30答案：A7．下列四个命题中正确命题的个数是 （ ） 有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱是正方体底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥A.1个B.2个C.3个D.0个答案：D8．设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这些集合之间关系是 （ ） A.Q M N P B.Q M N P C.Q N M P D.Q N M P答案：B9．正四棱锥P —ABCD 中，高PO 的长是底面长的21，且它的体积等于334cm ，则棱AB 与侧面PCD 之间的距离是 （ ） A.cm 2 B. cm 2 C. cm 1 D.cm 22答案：A10．纬度为α的纬圈上有A 、B 两点，弧在纬圈上，弧AB 的长为απcos R （R 为球半径），则A 、B 两点间的球面距离为 （ ）A. R πB. R )(απ-C. R )2(απ-D. R )2(απ-答案：D11．长方体三边的和为14，对角线长为8，那么 （ ） A.它的全面积是66 B.它的全面积是132C.它的全面积不能确定D.这样的长方体不存在答案：D12．正四棱锥P —ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于（ ）A.21B. 22C. 32D. 33答案：D13．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是 （ ）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般平行四边形答案：B二、填空题：14．正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的重点，则EF 与BG 所成角的余弦值为________________________答案：510 15．二面角βα--a 内一点P 到两个半平面所在平面的距离分别为22和4，到棱a 的距离为24，则这个二面角的大小为__________________答案：︒︒16575或16.四边形ABCD 是边长为a 的菱形，︒=∠60BAD ，沿对角线BD 折成︒120的二面角A —BD —C 后，AC 与BD 的距离为_________________________答案：a 43 17．P 为︒120的二面角βα--a 内一点，P 到α、β的距离为10，则P 到棱a 的距离是_________________答案：3320 18．如图：正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成︒60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是______________________答案：4219．已知三棱锥P —ABC 中，三侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角的大小分别为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos _______________答案：1 20．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____________（只需写出一个可能的值）。
四面体与平行六面体
四面体与平行六面体四面体与平行六面体之间存在一种特殊的关系，即四面体可以补成一个平行六面体，且各棱恰好为平行六面体各面上的一条对角线。
它们之间有如下性质：性质1.任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，并且1=3V V 四面体平行六面体；性质2.棱长为a的正四面体可以补成一个棱长为2a 的正方体；性质3.三组对棱分别相等且有一个面为锐角三角形的四面体可以补成一个长方体。
例1.(03全国联赛)在四面体ABCD 中，设1AB =,CD =直线AB ,CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积为例2（12年石家庄一模）设四面体ABCD中,AB CD AC BD m ====AD BC n ==，且226m n +=，则四面体ABCD 体积最大值为（10全国）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）(A)练1.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ） A. 81π B.36π C.81πD. 144π练2．在四面体ABCD ，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为 ．例3.（04福建竞赛）四面体ABCD 中，,,AB CD A BC AD b CA BD c ======。
如果异面直线AB 与CD 所成的角为α，则cos α=练．如图，有一个内接的四棱锥P ABCD -，若PA ABCD ⊥底面，2BCD π∠=，2ABC π∠≠，4,5,3BC CD PA ===，该球的表面积为（ ）A ．100πB ．50πC ．80πD 例4.棱长为a 的正四面体ABCD 的棱CD 在平面α内， ||AB α，E ，F 在平面α上的射影，则由A ，B ，E,C,F,D 为 顶点的几何体的体积为例5.正四面体ABCD 的四个顶点在半径为R 是的球上，求AB 的长。
分子32种点群的分类
ＩＶ．Ｉ７－离子
Ｖ．萘的二氯化物
3
ＶＩ．Ｈ３ＢＯ３ 分子
４ Ｄｎ 群
如果某分子除了一个主旋转轴 Ｃｎ（ｎ ２）之外 还有 ｎ 个垂直于 Ｃｎ 轴的二次轴 Ｃ２ 则该分子属 Ｄｎ 点群
左图为 Ｄ２ 对称性分子 Ｃ２ 主轴穿过联苯轴线 经过 ２ 个 Ｏ 为水平面上 的 Ｃ２ 轴 还有一个 Ｃ２ 轴与着两个 Ｃ２ 轴垂直 双 乙 二 胺 ＮＨ２－ＣＨ２－ＣＨ２－ＮＨ２－ＣＨ２－ＣＨ２－ＮＨ２ 可对 Ｃｏ３＋离 子 ３ 配位螯合 ２ 个双乙二胺与 Ｃｏ３＋形成 Ｃｏ（ｄｉｅｎ）２ 配合物 具有 Ｄ２ 对称性 （右图）
１，３，５－三甲基苯 图 ＩＩ 是 Ｃ３ 点群的例子 若不考虑甲基上 Ｈ 原子 分子的对称性可 以很高 但整体考虑 Ｃ６Ｈ３（ＣＨ３）３ 只有 Ｃ３ 对称元素 Ｃ３ 轴位于苯环中心 垂直于苯环平面 分子绕 Ｃ３ 轴转动 １２０ ２４０ 都能复原．
旋转一定角度的三氯乙烷 图 ＩＩＩ 也是 Ｃ３ 对称性分子
1
ＩＩ． １，３，５－三甲基苯 ＩＩＩ．ＣＨ３ＣＣＬ３ ２ Ｃｎｖ 群 若分子有 ｎ 重旋转轴和通过 Ｃｎ 轴的对称面 就生成一个 Ｃｎｖ 群 由于 Ｃｎ 轴的存在 有一 个对称面 必然产生 ｎ－１ 个对称面 两个平面交角为 ／ｎ 它也是 ２ｎ 阶群 水分子属 Ｃ２ｖ 点群 Ｃ２ 轴经过 Ｏ 原子 平分 ＨＯＨ 分子所在平面是一个 ｖ 平面 另一个 ｖ 平面经过 Ｏ 原子且与分子平面相互垂直
与水分子类似的 Ｖ 型分子 如 ＳＯ２ ＮＯ２ ＣｌＯ２ Ｈ２Ｓ， 船式环已烷（图 ＩＶ） Ｎ２Ｈ４（图 Ｖ）等均属 Ｃ２ｖ 点群 其它构型的分子亦多属 Ｃ２ｖ 群的．
图 ＩＶ． 船式环已烷
图 Ｖ． Ｎ２Ｈ４
ＮＨ３ 分子（图 ＶＩＩ）是 Ｃ３ｖ 点群典型例子 Ｃ３ 轴穿过 Ｎ 原子和三角锥的底心 三个垂面各包括一 个 Ｎ－Ｈ 键 其它三角锥型分子 ＰＣｌ３ ＰＦ３ ＰＳＣｌ３ ＣＨ３Ｃｌ ＣＨＣｌ３ 等 均属 Ｃ３ｖ 点群 Ｐ４Ｓ３（图 ） 亦属 Ｃ３ｖ 点群
立体几何题
1．已知:直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC垂直于BC,D为AB中点,AC=BC=BB1=2.求证:(1)BC1平行于面CA1D 。
(2)求B1到面CA1D的距离。
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面中心,B1H垂直于D1O,H为垂足.求证:B1H垂直于面AD1C。
3．四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,若△BCD的垂心为O,求证:AO⊥平面BCD.4．α∩β=CD,A、B是直线l上的两点，A、B在β内的射影分别为A1，B1两点，当直线l满足条件______时,CD⊥A1B1。
注:此题有多种答案,所填答案正确即可,不必考虑所有情况。
5．AB为⊙O的直径,MB⊥⊙O所在的平面于点B,C为⊙O上一点,且MB=4,AC=BC=2.⑴证明:平面MAC⊥平面MBC。
⑵求MA与BC所成角的大小。
⑶设P为MA的中点,求点M到平面PBC的距离。
6．在矩性ABCD中,AB=a,AD=2b,a<b,E,F分别是AD,BC的中点,以EF为折痕把四边形EFCD 折起,当角CEB=90度时,二面角C-EF-B的平面角的余弦值=_____ 。
7．正方体中ABCD-A1B1C1D1，E为BC的中点，则二面角D1-B1E-C1的正切值是（）。
[答案2分之根5]8．把边长为a的正三角形沿高线折成60度的二面角，求A到BC的距离。
9．ABCD是矩形，AB=4 ，BC=3，E是CD中点。
沿AE将三角形AED折起，二面角D-AE-B为60度。
求二面角D-EC-B大小。
10．在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2√34，F是线段PB上一点，CF=15/17√34，点E在线段AB上，且EF⊥PB.(1)证明：PB⊥平面CEF;(2)求二面角B-CE-F的正切值。
11．平行四边形ABCD中,∠DAB=60度,AD= 1∕2 AB=a , E,F分别是AB,CD的中点,以EF 为二面角的棱,转动平行四边形AEFD,当转成二面角A-EF-B为60度时,求三棱柱ABE-DCF 的侧面积。
正四面体的性质ppt课件
S
分析：本题若仔细观察已知条件， 易知S-ABC为正四面体。而正四面 体必可补成正方体，显然，EF在正 方体的两底面的中心连线上， B F 与正方体的侧棱SD平行，由 ∠ASD=45°，知选(C).
15
E
A C
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课堂练习
2.如图，四面体S-ABC体积为72，连接两面的重 心E、F，则EF的长度是（ ）
E
F
A
C
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课堂小结
同学们都掌握这些性质了吗？ 你还有什么疑问呢？ 在解答问题是你需要注意一些什么问题？
17
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作业布置
1. 半径为R的球的内接正四面体的体积等于_ __________. 2. 棱长为2的正四面体的体积为____赏！ 再见！
19
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此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
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20
分析：连接SE、SF延长分别交A B、BC 于G、H，易知 EF= GH= AB，故只需求出正四 面体的棱长即可，本题若直接由 体积求棱长有一定的难度，若根 B 据结论，先把正四面体补成正方 体，则V正方体=3V正四面体=216， 故正方体的棱为6，而正四面体 的棱长为6，所以EF=AB=2.
16
S
正四面体的性质
学校： 授课人：
1
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教学目标
1.使学生在理解四面体的基础上掌握正四面 体的性质。 2.培养学生观察、分析、推理、概括的能力。 3.掌握应用正四面体的性质来解决相关问题。
2
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重难点
1.掌握正四面体性质的推理方法。 2.会应用正四面体的性质来解题。
3
立体几何—解答题专项练习
立体几何—解答题专项练习一．解答题（共40小题）1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥平面PAB．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E 是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：BC⊥DE．3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．4．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．求证：（1）平面BDD1⊥平面PAC；（2）直线PB1⊥平面PAC．5．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．6．如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD中点（1）证明：PB∥平面ACE（2）（文）证明：CD⊥平面PAD（3）（理）证明：平面PCD⊥平面PAD．7．如图所示，已知PA垂直于圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA=AC，点E是线段PC的中点．求证：AE⊥平面PBC．8．如图，ABCD是正方形，O是该正方体的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：BD⊥平面PAC．9．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1，BC1上分别有两点E，F，且= =，求证：EF∥平面ABCD．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．13．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AC⊥BC．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）当BC的长为多少时，直线A1B与平面ABC1所成角的正弦值为．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．17．已知△ABC中，AB⊥BC，BC=2，AB=4，分别取边AB，AC的中点D，E，将△ADE沿DE折起到△AD1E的位置，使A1D⊥BD，设点M为棱A1D的中点，点P为A1B的中点，棱BC上的点N满足BN=3NC．（Ⅰ）求证：MN∥平面A1EC；（Ⅱ）求三棱锥N﹣PCE的体积．18．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．19．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D 的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．20．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．21．如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q ﹣ABP的体积．22．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．23．已知等腰直角△S′AB，S′A=AB=4，S′A⊥AB，C，D分别为S′B，S′A的中点，将△S′CD沿CD折到△SCD的位置，SA=2，取线段SB的中点为E．（I）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．24．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=4，AC⊥BC．（Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）设四边形AA1C1C对角线的交点为D，求三棱锥C1﹣A1BD的体积．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．26．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．27．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．28．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．29．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．30．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB ﹣D的余弦值．31．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．32．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．33．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC 内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．34．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．35．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．36．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．37．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．38．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．39．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C﹣A1DE的体积．40．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．立体几何—解答题专项练习参考答案一．解答题（共40小题）1-12．略；13．；14．；15．4；16．；17．V N﹣PEC=V P﹣NCE= =；18．；19.存在，中点；20．；21．1；22．；23．﹣；24．；25．；26．4；27．；28．6+2；29．1；30．；31．；32．；33．；34．﹣；35．3+2；36．；37．；38．；39．1；40．；sin∠DFE=。
考点30空间线面位置关系的判定及其性质-备战2019年浙江新高考数学考点一遍过
（ 2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该
点 .常结合公理 3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明
三线共点 .
（ 3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；
③三求：解三角形，求出作出的角．
如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
.
(3) 判定空间两条直线是异面直线的方法 ①判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点
B 的直线是异面直线．
②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握如下可以作为推理依据的公理和定理
.
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
.
公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .
公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
.
公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 .
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
.
（2）符号语言： 如 图 （ 1 ）、（ 2） 所 示 ， 在 ∠ AOB 与 ∠ A ′O ′B ′中 ， O A∥ O A, O∥B O ，B 则
A O B A O B或 AOB A O B 180 .
A ．若 a⊥ α,且 a⊥ b,则 b∥ α
B ．若 γ⊥ α,且 γ⊥ β,则 α∥β
正四面体形和三角锥形的键角
正四面体形和三角锥形的键角正四面体和三角锥形这两种几何形状，乍一听，好像就跟咱们平常的生活没什么太大的关系。
你可能觉得这俩东西跟咱日常生活一点都不沾边，顶多在数学课本里见过。
可是呢，细想一想，咱们身边其实到处都是它们的影子！你不信？那就来看看这两种形状里的“秘密”，尤其是它们的键角，嘿，保证能让你眼前一亮。
现在，先说说正四面体吧。
正四面体，这名字听着就挺威风的，其实它就是那种四个面都是等边三角形的立体。
好比你拿一个小积木，四个三角形拼在一起，形成一个尖尖的“小金字塔”，这就是正四面体。
再来看看它的键角。
键角，简单来说就是两个面之间的夹角。
如果你把正四面体的每一个面都想象成一个滑板，两个面接触的地方，滑板就形成了一个角度。
正四面体的键角是一个特别神奇的数字，约为109.5度，简直就像是大自然给它量身定制的角度，不多不少，正好让这个形状看起来稳定又美观。
为什么这么神奇呢？这就跟分配资源有关，四个三角形要和谐地拼在一起，每个角度都得“平分秋色”，就像在婚礼上，宾客们轮流上台敬酒，每个环节都得保持一定的“间距”，才能让整个场面看起来不至于拥挤或是分裂。
这109.5度的角度就是这种“和谐分配”的体现，既不显得太直，也不显得太钝，刚刚好，妥妥的和谐社会。
好啦，说了正四面体，再来说说三角锥形。
名字上，三角锥形的构造也跟它的名字一样直观，简直就像一个顶尖儿的三角形，下面是个三角形的底面，上面尖尖的部分，直接向上延伸。
嗯，三角锥给我的感觉就是一种“虎视眈眈”的存在——就像一个充满力量的尖塔，随时准备冲破天际。
至于它的键角，这就稍微复杂一点，因为它不像正四面体那样均匀。
三角锥形的角度与底面的位置有关系，甚至底面三角形的大小都会影响上面的角度。
你想啊，这个尖尖的部分要和底面形成一个角度，而这角度又不是固定的，得看底面和上面那个顶点之间的距离。
这就是说，三角锥的键角不像正四面体那么“老实”，它总是带着点儿变数。
所以，它的键角是变化的，不能简单用一个固定的数值来表达。
四面体数的公式
四面体数的公式
四面体数的公式是：n(n + 1)(n + 2) / 6，其中n表示第n个四面体数。
这个公式可以用来计算第n个四面体数，也就是由n个三角形数依次叠加而成的四面体所包含的小球数目。
四面体数每层为三角形数，因此四面体数可以被看作是从第一层开始，每一层都是一个三角形数，然后将这些三角形数依次叠加起来所形成的。
具体来说，第n个四面体数是由前n个三角形数之和所组成的。
四面体数的概念在数学、物理学和化学等领域中都有广泛的应用。
在数学中，四面体数是一种离散几何对象，与欧拉公式、组合数学等密切相关。
在物理学和化学中，四面体数也被用来描述某些特定的物理和化学现象，例如晶体结构和分子构型等。
此外，四面体还有其他相关的公式，例如四面体的体积公式和表面积公式等。
四面体的体积公式是：V = (1/3) ×h ×S，其中h是高，S是底面积。
而四面体的表面积公式则需要根据具体的四面体形状来确定，不同的四面体形状可能会有不同的表面积公式。
总之，四面体数的公式是一种重要的数学工具，在离散几何、组合数学以及其他领域中都有广泛的应用。
各晶系特点总结
25.
25.
25.
方 26.
26.
26.
26.
27.
27.
27.
27.
高级晶
28.
28.
28.
28.
族
29.
29.
29.
29.
30.
30.
30.
30.
等 31.
31.
31.
31.
轴 32.
32.
32.
32.
单形
晶轴选择
晶体常数
空间格 子类型
晶族
晶 系
对称型
低 级 晶 三 33. L1
族
斜 34. C
37. 2/m
a≠b≠c, α =γ =90° β ＞90°
单斜格子 PC
35. 轴双面 36. 反应双面 37. 斜方柱
L2 或 P 70. 3L2 多 于 71. L22P 一个 72. 3L23PC
3L2——X、Y、Z 轴； L22P 中：L2——Z 轴,
2P 的法线——X、Y 轴
38. 222 39. mm2 40. mmm
18-6 三方柱 18-7 平行双面 19-1 复三方单锥 19-2 三方单锥 19-3 六方单锥 19-4 复三方柱 19-5 三方柱
19-6 六方柱 19-7 单面 20-1 复三方偏三角面体 20-2 菱面体 20-3 六方双锥 20-4 复六方柱 20-5 六方柱
20-6 平行双面
以不在同一平面内的三个主要晶
L3、L6、Li6——Z 轴，以垂直 z 轴 彼此以 120 °相交（正端间）的 L2
或 P 的法线——X、Y、U 轴。 无 L2 及 P 时： X、Y、U 轴平行晶 棱选取
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四面体与平行六面体一、一般四面体的性质性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切球球心（简称四面体的内心）。
内切球与四面体四个面内切。
若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似的有,,B C D S S S ,则内切球半径3A B C DVr S S S S =+++.性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球球心（简称四面体外心）。
外接球通过四面体四顶点。
性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。
性质4.四面体体积公式一：11113333A A B B C C D D V S h S h S h S h ==== 性质5.四面体体积公式之二：1||||sin ,6V AB CD d AB CD =⋅⋅⋅<> （其中d 为AB 、CD 距离）性质6.四面体体积公式二：2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 333333C D AB A D BC A B CD B C DA B D AC A C BDS S S S S S S S S S S S V AB BC CD DA AC BDθθθθθθ======二、特殊四面体的性质（1） 正四面体：各边均相等；（2） （3） 等腰四面体：三组对边分别相等。
三、平行面体像平行四边形是平面图几何的基础一样， 平行六面体是立体几何的基本图形。
性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心； 性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。
推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。
推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的14。
性质 3.平行六面体的每一体对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱长及其所夹余弦之积的两倍。
性质 4. 平行六面体的每一体对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心，且被三角形截面分成三等分。
性质5. 平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方4倍，等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的二倍。
性质 6.设平行六面体的全面积为S ，体积为V ，四条体对角线长为1111,,,AC A C BD B D l l l l ,则111122222AC A C BDB D S l l l l ≤+++。
11113222221()24AC A C BD B D V l l l l ≤+++，32(6)V ≤。
性质7.通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分。
推论1.以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的16。
推论 2.以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的13。
性质8.平行六面体的体积等于底面面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积。
四、四面体与平行六面体的关系四面体与平行六面体之间存在一种特殊的关系，即四面体可以补成一个平行六面体，且各棱恰好为平行六面体各面上的一条对角线。
它们之间有如下性质：性质1.任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，并且1=3V V 四面体平行六面体； 性质2.棱长为a的正方体； 性质3.三组对棱分别相等且有一个面为锐角三角形的四面体可以补成一个长方体。
例1.(03全国联赛)在四面体ABCD 中，设1AB =,CD =,直线AB ,CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积为例2（12年石家庄一模）设四面体ABCD中,AB CD AC BD m ====AD BC n ==，且226m n +=，则四面体ABCD 体积最大值为（10全国）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）(C)练1.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）A. 81πB.36πC.814πD. 144π练2．在四面体ABCD，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为 ．例3.（04福建竞赛）四面体ABCD 中，,,AB CD A BC AD b CA BD c ======。
如果异面直线AB 与CD 所成的角为α，则cos α= 练．如图，有一个内接的四棱锥P ABCD -， 若PA ABCD ⊥底面，2BCD π∠=，2ABC π∠≠，4,5,3BC CD PA ===，该球的表面积为（ ）A ．100πB ．50πC ．80πD ．条件不够，不能求 例4.棱长为a 的正四面体ABCD 的棱CD 在平面α内， ||AB α，E ，F 在平面α上的射影，则由A ，B ，E,C,F,D 为顶点的几何体的体积为例5.正四面体ABCD 的四个顶点在半径为R 是的球上，求AB 的长。
例6.将边长分别为2,2,2a b c 的锐角三角形的各边中点连接起来，形成四个三角形，它是一个四面体的展开图。
求这个四面体的体积。
例7.证明，如果四面体相对棱间的距离分别为123,,h h h ，则四面体的体积12313V h h h ≥。
练1.已知四面体ABCD 的一组对棱,AB CD 的中点分别为M 、N 。
求MN 与BC 所成角大小。
练2.四面体S ABC -中，有三组对棱分别相等且依次为练3.四面体ABCD 中，AC BC ⊥,AD BD ⊥.证明：直线AC 与BD 夹角的余弦值小于CDAB例8.下列四组数中，有一组不可能是某一四面体的四条高,这组数是 （）A．1,222 B．4,,333 C．2,555例9.在直角四面体V ABC -中，090AVB BVC CVA ∠=∠=∠=,记VAB ∆、VBC ∆、VCA ∆、ABC ∆的面积分别为123,,,S S S S 。
求证：2222123S S S S =++（09清华）四面体ABCD 中，AB CD =,,AC BD AD BC ==.(1) 求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；(2) 设底面为BCD ，另外三个面与面BCD 所成的二面角为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=。
（10武大）有4条边长为2的线段和两条边长为a 的线段，用这六条线段作棱，构成一个三棱锥，问a 为何值时，构成的三棱锥体积最大？（10同济）如图四面体ABCD 中，AB CD 和为对棱，设,,,AB a CD b AB CD ==夹角为为α，距离为d 。
（1） 若2πα=，且棱AB BCD ⊥平面，求四面体的体积； （2） 当2πα=，证明:四面体的体积为定值；（3） 求四面体的体积。
（09华南理工）已知,,,A B C D 是某球面上不共面的四点，且AB BC AD ===，2BD AC ==,BC AD ⊥,则此球的表面积等于 。
（09复旦）半径为R 的球内部装4个半径相同的球，则小球半径r 可能的最大值是 。
（０７武大）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 的边长为４，侧棱1CC 长为３，又Ｅ为1CC 上的点，且1CE =。
（１） 求：1B D 与BDE 平面所成角的正弦值；（２） 求四面体1A BED -的体积。
（０７武大）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F M 分别为棱111,,AB BB A D 中点。
（３） 求证：CM DEF ⊥平面； （４） 求点Ｍ到平面DEF 的距离。
（０７武大）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F P 分别为棱111,,AA CD B C 中点。
（１）求证： BE PF ⊥；（２）求四面体B PEF -的体积。
（０８武大）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,Ｅ为棱AB 中点。
（５） 求二面角1B EC B --的正切值； （６） 求四面体11E B D C -的体积。
（０８武大）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,Ｅ为棱AB 中点。
（７） 求证：四面体11A AC E -与四面体11C AC E -的体积相等； （８） 求点A 到平面11AC E 的距离。
（０８浙大）有一圆锥正放，它的高为h ，圆锥内水面高为1h ，123h h =，现将圆锥导致，求倒置的水面高度2h 。
（１０五校），求它表面积的最小值（09华南理工）如图，在正三棱锥P ABC -中，，底面边长为2，E 为BC 的中点，EF PC⊥于F 。
（1） 求证：EF 是异面直线PA 与BC 的公垂线； （2） 求异面直线PA 与BC 的距离； （3） 求点Ｂ到面APC 的距离。