4.1 叠加定理
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叠加定理
ux ？
is1
N
is 2
4-1 叠加定理 解：电路有两个独立源激励，依据电路的叠加 性，设 k1is1 k2is 2 u x 其中 k1，k2 为两个未知的比例系数。 利用已知的条件，可知：
10k1 14k2 100 k1 3 10k1 10k2 20 k2 5
4-3 戴维南定理和诺顿定理 一、戴维南定理 任何线性有源二端网络N，就其外特性 而言，可以用一个电压源与电阻的串联支 路等效置换，如图所示。
i
i a u b uoc
Req
a
u b
N
4-3 戴维南定理和诺顿定理 其中，电压源的电压值为 该有源二端网络N的开路 电压 uoc ，如图(a)所示； 串联电阻值等于有源二端 网络内部所有独立源不作 用时对应的网络 N 0在输 出端求得的等效输入电 阻 Req ，如图(b)所示。这 样的等效电路称为戴维南 等效电路。
4-1 叠加定理 例4-1：电路如图所示，求电压 u3 的值。
i1 6
R1
10V us
10i1
i2
R2 4
u3
4A is
4-1 叠加定理
解：这是一个含有受控源的电路，用叠加定 理求解该题。 对于电压 u3 可以看作独立电压源和电流源 共同作用下的响应。令电压源和电流源分别 作用，但电路中受控源要保留，不能作为独 立源进行分解。分解后的电路如图（a）、 （b）所示，则电压
' k3us 20
① ② ③
又已知其他数据仍有效，即：
' ' 10k1' 14k2 k3us 100
10k 10k k u 20
' 1 ' 2 ' 3 s
电路：叠加定理和替代定理
18
2.5A
？ + 2 ＋ 1A ？ ＋ 5 10V 5V 5V － 1.5A － －
3）受控源的控制支路不能被替代。
13
例1
试求I1。
3
6 I1 + 7V － 4 4A
5
解 由替代定理，原 电路可等效为
4 + 7V I1 4A
1 + 6V –
6 + 3V －
+ 2
2
4I1 2 ( I1 4) 7
解
R2
R3
由弥尔曼定理，可得
+
②–
uS
uS iS R2 R3 RR u n1 uS 2 3 iS 1 1 R2 R3 R2 R3 R2 R3
un1 uS R3 1 i2 uS iS auS biS R2 R2 R3 R2 R3 R3 R2 R3 uS ( R1 )iS cuS diS u un1 R1iS R2 R3 R2 R3
3
讨论： 1）令iS=0，uS单独作用：
① ① R1 + + u u u – – iS
uS i2 auS R2 R3 R3 u uS cuS R2 R3
2）令uS=0，iS单独作用：
i2 i 2 i2
R2 + – ② uS
R3
R2 R3 R3 )iS diS i2 iS biS u ( R1 R2 R3 R2 R3
比较上述计算结果，可以得出如下结论：
i2 i2 i2
u u u
叠加定理
4
2. 叠加定理 在线性电路中，多个独立源共同作用产生的任何电 压（或电流）均等于每个独立源单独作用时在该处产 生的电压（或电流）的代数和。
电子电工基础叠加定理(15、22)
4-2 替代定理
定理内容：
在有唯一解的任意线性或者非线性网
络中，若某一支路的电压为 uk 、电流为ik ， 那么这条支路就可以用一个电压等于uk 的
独立电压源，或者用一个电流等于ik 的独
立电流源，替代后电路的整个（其他各支 路）电压、电流值保持不变。
4-2 替代定理
例4-3：已知电路如图所示，其中， U 1.5V 试用替代定理求U1 。
＋ ux －
101k01k1
14k2 10k2
100 20
kk12
3 5
is1
N
is 2
当iS1 3A,iS2 12A时，
ux 3iS1 5iS2 69V
4-1 叠加定理
网络N含有一电压源us，则：
k1'is1 k2' is2 k3' us ux
4-1 叠加定理
对于（a）图：
i1'
i2'
10 4+6
1A
∴ u3' 10i1' 4i2' 6V
对于（b）图：i1
-4 6+4
4
1.6A
i2
6 6+4
4
2.4A
根据KVL,有： u3 10i1 4i2 25.6V 根据叠加定理，得
U
R1 us
R3 3
R2
U1 R5 2
R4 2
4-2 替代定理
解：设R3支路以左的网络为N。因为已知R3
支路的电压及电阻，所以流过R3 的电流为：
U 1.5 0.5A R3 3
叠加定理
6I
I 3
b
6I
U0
b
U0 6 I 3I
6 I I0 63
6 U0 9 I 0 6 I 0 9
U0 Req 6 I0
方法2：开路电压、短路电流
内部独立电源保留，将a、b端 短接，求出短路电流 Isc ，求
I1
9V
6
a
I 3
6I
I sc
b
U oc Req I sc
Ns为一个含源一端口， 有外电路与它连接。
把外电路断开，此时
Req
Ns
' uoc 端口 1 1 的电压称 uoc
1
'
为Ns的开路电压。用
外 电 路
1
'
1
N0
1
'
uoc表示。
Req N0:Ns内部电源置零。即
Ns独立电压源用短路替代， N0可以用一个等效 电阻Req表示。 独立电流源用开路替代。
1
流ik已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于uk的
独立电压源，或者用一个电流等于ik的 独立电流源来替代， 替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。 其中第 k 条支路可以是电阻、电压源和电阻的串联、 或者电流源和电阻的并联组合。
注意： 1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
1
N0
1
'
u
( 2)
u
( 2)
Req i
is i
电流源i为零
网络Ns中独立源全部置零
u uoc
(1)
1 1 的开路电压。
'
i
Ns
1
电路理论基础第四章西安电子科技大学出版社
a11x1′ + a12 x2′ + L + a12b x2′ b = c1′
⎫
a21x1′ + a22 x2′ + L + a22b x2′ b = c2′
⎪ ⎪
LL
⎬ ⎪
a2b1x1′ + a2b 2 x2′ + L + a2b 2b x2′ b = c2′ b ⎪⎭
a11x1′′ + a12 x2′′ + L + a12b x2′′b = c1′′
N
i =0
a +
ubo-c
N0
i a+ u
b-
R eq
=
u i
方法2： uoc 的求法同前；令网络 N 端口短路，求出其短
路电流 isc ，则有 R eq = u oc i sc 。
证明：
a
a
N
isc
b
uoc
Req isc
b
R eq
=
u oc i sc
方法3：求出网络 N 的端口VAR，画出
由电压源与电阻串联而成的等效电路。
例1：求图示电路的戴 维南等效电路。
解法1：
2Ω 2V
a
2Ω - 4V + I
2I b
2Ω 2V
I=0a
2Ω - 4V +
2I
+ U- ObC
U OC = 4 − 2 = 2 (V )
将原网络内部独立源置零，得：
a 设 I 已知，有
2Ω
2Ω
I+
U
2I
-b
U = 2I + (2I + I ) × 2 = 8I
叠加定理、替代定理
uS
－
V 当 uS = 1 , iS = 1A 时， 响应 i = 2A V 当 uS = −1 , iS = 2A 时， 响应 i = 1A
iS
无源 线性 网络
i
3 求 uS =－V, iS = 5A 时， 响应 i = ？
解
根据叠加定理， 根据叠加定理，有：
k1 + k2 = 2 k1 = 1 代入实验数据，得： 代入实验数据， 2k1 − k2 = 1 k = 1 2 i = uS + iS = −3 + 5 = 2A
U X = U ' X +U ' ' X = 2.8V
U S = 6V
UX 2.8 I =5− =5− = 3.6V 2 2
电压源功率： 电压源功率：
PU S = U S I = 6 × 3.6 = 21.6(W )
电路 万里学院陈伟东
例2 解：
计算电压u。
画出分 电路图 3A
＋ u － 6Ω Ω － 6V ＋ i 6Ω Ω － 6V ＋ 3Ω Ω 3A ＋ 12V －
电路 万里学院陈伟东
+
-
+ -
3Ω I Ω 2Ω Ω 2Ω Ω
+ U1 -
0.5A Ｎ + 2Ω 2Ω Ω U1
课后作业： 课后作业：
P.113 4-4 4-9 4-10
电路 万里学院陈伟东
第4章 章
电路定理与应用
§4-1 叠加定理 §4-2 替代定理
电路 万里学院陈伟东
§4-1 叠加定理
电路 万里学院陈伟东
一、引言
8Ω Ω – 12V + 2Ω Ω 3A 6Ω Ω + 3Ω U Ω －
电路分析第四章
2 i ( 14 2 ) /( 34 3 ) 3 3 3 1 3
A
u
2 3
2 3i
8 9
v
-
0.5A
+
14 3
V
2 3
V
+
+
1V -
a
i
a
+
-
1V + 10 i1 2 N1 4 0.5A
a i1 1/3A b 图(c) 2 4 1/6A
图(d)
(3) 为求i1，将N2用1/3A电流源替代（图(c) 、(d)）
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
一、线性电路的齐次性和叠加性 线性电路：由线性元件和独立源构成的电路。 1.齐次性（homogeneity)(又称比例性，proportionality) 齐次性：若输入x(t) → 响应y(t) ，则输入K x(t) → Ky(t)
+ x(t) -
电 路
+ y(t) -来自+ Kx(t) -
+
电路
Ky(t) -
2.叠加性（superposition)
若输入x1(t) → y1(t)(单独作用） ,
x2(t) → y2(t) … xn(t) → yn(t) 则x1(t) 、x2(t) … xn(t) 同时作用时 响应y (t)= y1(t)+ y2(t)+ … +yn(t) + x1(t) -
3.替代后外电路及参数不能改变(只在一点等效)。
4. 3 互易定理 (Reciprocity Theorem)
例:
a
Us + 对(a): 对(b):
A
u
2 3
2 3i
8 9
v
-
0.5A
+
14 3
V
2 3
V
+
+
1V -
a
i
a
+
-
1V + 10 i1 2 N1 4 0.5A
a i1 1/3A b 图(c) 2 4 1/6A
图(d)
(3) 为求i1，将N2用1/3A电流源替代（图(c) 、(d)）
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
一、线性电路的齐次性和叠加性 线性电路：由线性元件和独立源构成的电路。 1.齐次性（homogeneity)(又称比例性，proportionality) 齐次性：若输入x(t) → 响应y(t) ，则输入K x(t) → Ky(t)
+ x(t) -
电 路
+ y(t) -来自+ Kx(t) -
+
电路
Ky(t) -
2.叠加性（superposition)
若输入x1(t) → y1(t)(单独作用） ,
x2(t) → y2(t) … xn(t) → yn(t) 则x1(t) 、x2(t) … xn(t) 同时作用时 响应y (t)= y1(t)+ y2(t)+ … +yn(t) + x1(t) -
3.替代后外电路及参数不能改变(只在一点等效)。
4. 3 互易定理 (Reciprocity Theorem)
例:
a
Us + 对(a): 对(b):
Chapter4电路定理
a
c
a
R1 Rab R2 i3i3 R3
R5
+ ++
uS1 uab uS2
R4RRcd6
– ––
b
b
d
例2 求图示电路的等效发电机。
解：
iSc
40 20
40 40
60 20
3
1A
Req 20 // 40 // 20
1
1 1
1
8
20 40 20
20Ω
40Ω
20Ω 3A
＋
25V
20
U
－
－
用结点电压法
o
1'
uao
1 5
1 20
1 4
25 5
3
U 4
uao
16
U 2
由 I uao U
4
U 32 8I
＋ 8 I ＋1
4A
32V
－
U
－
1'
I ＋1
8 U
－
1'
i
ia
a +
Req
+
uoc=Reqisc
Nu
+
-b
uoc
-
u isc -
3.定理的应用
（1）开路电压uoc和短路电流iSc的计算
戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。诺顿等效 电路中电流源电流等于将外电路短路时的短路电流iSc，电流源 方向与所求短路电流的方向有关。计算uoc、 iSc的方法视电路 形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。
电路原理-叠加定理知识讲解
叠加结果是代数和，要注意电压或电流的参考方向。
含受控源的线性电路亦可用叠加，但叠加只适用于 独立源，受控源应始终保留。
4. 叠加定理的主要用途
主要用于线性电路分析，有时可以简化计算。
5. 叠加定理的意义
叠加定理反映出线性电路中各独立电源的独立性。
6. 叠加定理应用 （三步走：1分，2解，3求和）
谢谢，再见！！
2.定理的验证
电路结点电压方程如下
1 (
R1
1 R2 )un1
uS R1
iS
1
+ u1 R1
i2
–
i3
iS
+
R2
us
–
un1
R2uS R1 R2
R1R2iS R1 R2
1
Ʊ
iS
i2
un1 R2
uS R1iS R1 R2 R1 R2
+ us –
R2
1
R1R2
uS
R1 R1R2
电压源置零—短路 电流源置零—开路
1
i2
i3
G1
G2
+
is1
us2
–
G3
+= us3
–
1
i2 (1)
i3 (1)
G1
G2
G3
is1
三个电源共同作用
is1单独作用
1
i2 (2)
i3 (2)
+ G1
G2 +
us2
–
G3+
1
i2 (3)
i3 (3)
G1
G2
G3
+ us3
–
us2单独作用
第四章 电路定理
第四章电路定理§4.1 叠加定理§4.2替代定理§4.3戴维宁定理和诺顿定理§4.4 最大功率传输定理§4.5 特勒根定理§4.6 互易网络和互易定理§4.7 对偶定理§4.1 叠加定理一、叠加定理的内容叠加定理表述为：在线性电路中，任一支路的电流(或电压)都可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。
§4.1 叠加定理二、定理的证明§4.1 叠加定理以上各式表明：结点电压和各支路电流均为各独立电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加，即表示为：§4.1 叠加定理三、应用叠加定理要注意的问题1、叠加定理只适用于线性电路。
这是因为线性电路中的电压和电流都与激励（独立源）呈一次函数关系。
2、当一个独立电源单独作用时，其余独立电源都等于零（理想电压源短路，理想电流源开路）。
3、功率不能用叠加定理计算(因为功率为电压和电流的乘积，不是独立电源的一次函数)。
4、应用叠加定理求电压和电流是代数量的叠加，要特别注意各代数量的符号。
即注意在各电源单独作用时计算的电压、电流参考方向是否一致，方向一致时相加，反之则相减。
§4.1 叠加定理5、含受控源(线性)的电路，在使用叠加定理时，受控源不要单独作用，而应把受控源作为一般元件始终保留在电路中，这是因为受控电压源的电压和受控电流源的电流受电路的结构和各元件的参数所约束。
6、叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于分析问题的方便。
§4.1 叠加定理五、齐性定理（齐次定理）齐性定理表述为：线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
电路定理
I
I
3
4V 10A
2 3
5A
5
20V 5
4V
2
20V
(a)
(b)
【解】 (1) 电压源单独作用时，电路如图（b）所示
(2) 10A电流源单独作用，电路如图(c)所示
I
3 10A
2
5
(c)
(3) 5A电流源单独作用，电路如图(d)所示
I 3
2 5A 5
(d)
由叠加定理得
4.1.2 齐性定理
定理内容：在线性电阻电路中，当所有激励都 增大或缩小k倍时，响应也同样增大或缩小k倍。
11 / /1
1 0.5
由KCL和VAR得
(2) 求
,电路如图（c）所示。
1
1
I0
1
U 1
U0
0.5U
(c)
(3) 求电流 ,电路如图（d）所示。
I
15
2
3
2 3
(d)
由分流公式
4.2.3 最大功率传递定理
一个线性含源单口电路，当所接负载不同时， 一端口电路传输给负载的功率就不同。
讨论：负载为何值时，能从电路获取最大功率， 及最大功率的值是多少。
u1iˆ1 u2iˆ2 uˆ1i1 uˆ2i2
u2is uˆ1is
iˆ1 0
+
uˆ1 NR
-
iˆ2
+
is
uˆ 2
-
iˆ1 0 iˆ2 is
可得： uˆ1 u2
形式3
i1
+
i2
iˆ1 0
iˆ2
+
+
+
is
最新高校电子电气工程课程第四章《叠加定理与替代定理》
(2)为了求i, 将N1、N2分别等效如图(b)
i
(
14 3
2 3
)
/(
34 3
2 3
)
1 3
A
u
2 3
2 3
i
8 9
v
+ 1V -
a
10 i1
2
0.5A
4
1/3A
N1
b 图(c)
i1 2 4
1/6A
图(d)
(3) 为求i1，将N2用1/3A电流源替代（图(c) 、(d)） 得 i1=1/9A （分流）
4-1 叠加定理
一、叠加定理：
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路 中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流 (或电压)的叠加。 单独作用：一个电源作用，其余电源不作用（值为零）
独立电源
电压源（us=0) 短路
+
不作用 （值为零）
电流源 (is=0) 开路
–uS
is
i1 R1
+
+ u1 – i2
US ' 10I1 'U1 '
US" 10I1"U1"
I1' 6
+ 10 I1'–
+
10V –
+
+
4 U1'
Us'
–
-
I1'' 6
+ 10 I1''–
+
+ 4A
4 U1" Us''
第8讲叠加定理、替代定理
电路分析电子教案
授课班级：通信101班、通信102班 授课教师：广东海洋大学信息学院 梁能
第4章 电路定理与应用
第4章 电路定理与应用
4. 1 叠加定理 4. 2 替代定理 4. 3 等效电源定理 4. 4 最大功率传输定理
第4章 电路定理与应用
4.1 叠加定理
4．1 叠加定理 本课程讨论和分析的电路基本上都是线性电路，
第4章 电路定理与应用
应用叠加定理时，必须注意以下几点： （1）叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电 路。 （2）叠加定理只适用于电压、电流的叠加，不适用于 功率的叠加计算。 （3）当一个电源单独作用时，其他电源置零。其中， 理想电压源置零，视为短路；理想电流源置零，视为开 路。 （4）叠加时，要特别注意电压和电流的参考方向。叠 加定理常用来分析线性电路的性质而一般不用作解题。
第4章 电路定理与应用
叠加性：对于线性电路，若激励x1(t)在电路 中产生响应y1(t)、激励x2(t)在电路中产生响应 y2(t)，也就是x1(t)→y1(t)、 x2(t)→y2(t)，则当激 励x1(t)和x2(t)共同作用于该电路时产生的响应 为y1(t)与y2(t)的叠加，即x1(t) + x2(t)→y1(t) + y2(t)。
合起来可表示为：
a1x1(t) + a2x2(t)→a1y1(t) + a2y2(t)。 应用齐次性与叠加性可以分析线性电路中
较为复杂的电路问题。
第4章 电路定理与应用
下面以简单线性电路的例子说明叠加定理的本质。 电路如图所示，求电流i1。
解：设网孔电流为iA，iB。由图可知iB=is，对网孔A 列出的KVL方程为：
(R1 R2 )iA R2is us
授课班级：通信101班、通信102班 授课教师：广东海洋大学信息学院 梁能
第4章 电路定理与应用
第4章 电路定理与应用
4. 1 叠加定理 4. 2 替代定理 4. 3 等效电源定理 4. 4 最大功率传输定理
第4章 电路定理与应用
4.1 叠加定理
4．1 叠加定理 本课程讨论和分析的电路基本上都是线性电路，
第4章 电路定理与应用
应用叠加定理时，必须注意以下几点： （1）叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电 路。 （2）叠加定理只适用于电压、电流的叠加，不适用于 功率的叠加计算。 （3）当一个电源单独作用时，其他电源置零。其中， 理想电压源置零，视为短路；理想电流源置零，视为开 路。 （4）叠加时，要特别注意电压和电流的参考方向。叠 加定理常用来分析线性电路的性质而一般不用作解题。
第4章 电路定理与应用
叠加性：对于线性电路，若激励x1(t)在电路 中产生响应y1(t)、激励x2(t)在电路中产生响应 y2(t)，也就是x1(t)→y1(t)、 x2(t)→y2(t)，则当激 励x1(t)和x2(t)共同作用于该电路时产生的响应 为y1(t)与y2(t)的叠加，即x1(t) + x2(t)→y1(t) + y2(t)。
合起来可表示为：
a1x1(t) + a2x2(t)→a1y1(t) + a2y2(t)。 应用齐次性与叠加性可以分析线性电路中
较为复杂的电路问题。
第4章 电路定理与应用
下面以简单线性电路的例子说明叠加定理的本质。 电路如图所示，求电流i1。
解：设网孔电流为iA，iB。由图可知iB=is，对网孔A 列出的KVL方程为：
(R1 R2 )iA R2is us
电路叠加定理
I (2）
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2A 4 1
4
4
＋
6V +
－
4
3
1
3
I (1) （1）2A电流源作用
I (2）
I
(1)
1 1 3
II(1S)
1 2=0.5 1 3
（2）6V电压源作用：
I
(2)
1 1 3
UI (S2)
6 /
4
1.5A
I
I (1)
I (2)
1 4
IS
1 4
US
aI1
I
SI
(1)a2 IU(
注意
①当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 ②具有可加性。
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例 RL=2 R1=1 R2=1 us=51V，求电流 i
21A R1
+
+21V– +
us
–
R2
– us'=34V
8A R1 + 8V –
13A R2
3A R1 + 3V –
5A R2
i i '=1A
+ RL 2V
2A
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2A 4 1
4
4
＋
6V +
－
4
3
1
3
I (1) （1）2A电流源作用
I (1) 1 2=0.5 1 3
（2）6V电压源作用：
I (2) 6 / 4 1.5A
I (2）
P(1)
I(1)
2
3=0.75W
P(2)
I(2)
2
3=6.75W
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Δ R11 R12 R21 R22
R11 R22 R12 R21
i11
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
R11ia1+R12ib1=us1
R21ia1+R22ib1=0
us1 R12
0 ia1 R11
R22 R12
R21 R22
R22 Δ
us1
i12
i13
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
i1’
i1''
R2 +
us2 –
is R1
+
=
us1
–
R2 is R1 +
R2 +
us2 –
4. 含受控源电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。
例2 求电压Us 。
I1 6
+ 10 I1 –
+
+
10V –
4
Us 4A
–
解:
(1) 10V电压源单独作用：
I1' 6
+ 10 I1'–
(2) 4A电流源单独作用：
us11
ia
us 22 R11
R21
R12
us1-us2
us2-us3
R22 R12
R22 Δ
us11
R12 Δ
us 22
R22
R22 Δ
us1
R12 Δ
R22
us 2
R12 Δ
us 3
其中
R11=R1+R2 R12= R21= -R2 R22=R2+R3 us11=us1-us2 us22=us2-us3
I1'' 6
+10 I1''–
+
10V –
+
+
4 U1' Us'
–
–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
Us'= -10 I1'+U1'
Us"= -10I1"+U1”
I1' 6
+ 10 I1'–
+ 10V
–
+
+
4 U1' Us'
–
–
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
I1
推广到 l 个回路 , 第 j 个回路的回路电流：
第j列
R11 us11 R1l
Rj1 usjj Rjl
i j Rl1
usll Δ
Rll
Δ1 j Δ
us11
Δ2 j Δ
us 22
Δ jj Δ
usjj
Δlj Δ
us ll
Δ1 j Δ
us11
Δ2 j Δ
us 22
4.1 叠加定理
叠加定理
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中 各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电 压)的代数和。
单独作用：一个电源作用，其余电源不作用
不作用的
电压源（us=0) 短路 电流源 (is=0) 开路
举例证明定理
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流) 与激励成正比。
us
R
r
kus R kr
R1
+ us
R2
–
R3 R4
R5
+ 已知：如图 RL UL 求：电压 UL
–
R1
+ Us
–
+ U
R2
-
R3 R4
R5 IL
+ RL UL
–
解 法一：分压、分流。
法二：电源变换。
法三：用齐性原理（单位电流法）
R21 R22
R22 Δ
us1
us2 R12
ia2
us 2 R11
R22 R12
R21 R22
R22 Δ
(us2 )
R12 Δ
us 2
R12
Δ
R22
us 2
0 R12
ia 3
us3 R11
R22 R12
R21 R22
R12 Δ
(us3 )
R12 Δ
us 3
证得 ia = ia1 + ia2 + ia3 即回路电流满足叠加定理
+
–us3
i11
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i12
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
由回路法
R11ia+R12ib=us11 R21ia+R22ib=us22
kr
齐性
线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数， 则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。
R11ia2+R12ib2=-us2
R21ia2+R22ib2=us2
us2 R12
ia2
us 2 R11
R22 R12
R21 R22
R22 Δ
(us2 )
R12 Δ
us 2
R12
Δ
R22
us 2
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
R11ia3+R12ib3=0
R21ia3+R22ib3=-us3 0 R12Δ jjBiblioteka Δusjj
Δ lj Δ
us ll
把 usi 个系数合并为Gji
us1 usb
b
G ji usi i 1
第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流
i j1 i j2 i ji i jb
支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。
同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压
ia 3
us3 R11
R22 R12
R21 R22
R12 Δ
(us3 )
R12 Δ
us 3
us11
ia
us 22 R11
R21
R12
R22 R12
R22 Δ
us11
R12 Δ
us22
R22 Δ
us1
R12 R22 Δ
us 2
R12 Δ
us 3
R22
us1 R12
0 ia1 R11
R22 R12
小结 :
i1 R1
+ us1
–
1. 叠加定理只适用于线性电路的电流、电压计算。
电压源为零—短路。 电流源为零—开路。 u，i 叠加时要注意各分量的方向。
2. 功率不能叠加(功率为电源的二次函数)。
p ui (u u)(i i) ui ui
3. 也可以把电源分组叠加(每个电源只能作用一次)
设 IL =1A
U
K = Us / U
UL= K IL RL
可加性 (additivity property)
us1
R
r1
us2
R
r2
us1
r1+ r2
us2 R
k1 us1 R k1 r1 k2 us2 R k2 r2
线性
k1 us1
k1 r1+ k2 r2
k2 us2 R
us1 us2 R
r
k us1 k us2 R
等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压
的代数和。
6
例1
求图中电压u。
+ 10V
–
解
(1) 10V电压源单独作用，
+
4 u
4A
–
(2) 4A电流源单独作用，
4A电流源开路 6
10V电压源短路 6
+ 10V
–
+
4 u' –
+
4 u''
4A
–
u'=4V
u"= -42.4= -9.6V
共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
10 64
1A
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1'
I 1
4
4
6
4
1.6 A
U 1
46 46
4
9.6V
= -101+41= -6V
Us"= -10I1"+U1”
= -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
R11 R22 R12 R21
i11
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
R11ia1+R12ib1=us1
R21ia1+R22ib1=0
us1 R12
0 ia1 R11
R22 R12
R21 R22
R22 Δ
us1
i12
i13
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
i1’
i1''
R2 +
us2 –
is R1
+
=
us1
–
R2 is R1 +
R2 +
us2 –
4. 含受控源电路亦可用叠加，但受控源应始终保留。
例2 求电压Us 。
I1 6
+ 10 I1 –
+
+
10V –
4
Us 4A
–
解:
(1) 10V电压源单独作用：
I1' 6
+ 10 I1'–
(2) 4A电流源单独作用：
us11
ia
us 22 R11
R21
R12
us1-us2
us2-us3
R22 R12
R22 Δ
us11
R12 Δ
us 22
R22
R22 Δ
us1
R12 Δ
R22
us 2
R12 Δ
us 3
其中
R11=R1+R2 R12= R21= -R2 R22=R2+R3 us11=us1-us2 us22=us2-us3
I1'' 6
+10 I1''–
+
10V –
+
+
4 U1' Us'
–
–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
Us'= -10 I1'+U1'
Us"= -10I1"+U1”
I1' 6
+ 10 I1'–
+ 10V
–
+
+
4 U1' Us'
–
–
I1'' 6
+10 I1''–
+
+
4 U1" Us'' 4A
–
–
I1
推广到 l 个回路 , 第 j 个回路的回路电流：
第j列
R11 us11 R1l
Rj1 usjj Rjl
i j Rl1
usll Δ
Rll
Δ1 j Δ
us11
Δ2 j Δ
us 22
Δ jj Δ
usjj
Δlj Δ
us ll
Δ1 j Δ
us11
Δ2 j Δ
us 22
4.1 叠加定理
叠加定理
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中 各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电 压)的代数和。
单独作用：一个电源作用，其余电源不作用
不作用的
电压源（us=0) 短路 电流源 (is=0) 开路
举例证明定理
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流) 与激励成正比。
us
R
r
kus R kr
R1
+ us
R2
–
R3 R4
R5
+ 已知：如图 RL UL 求：电压 UL
–
R1
+ Us
–
+ U
R2
-
R3 R4
R5 IL
+ RL UL
–
解 法一：分压、分流。
法二：电源变换。
法三：用齐性原理（单位电流法）
R21 R22
R22 Δ
us1
us2 R12
ia2
us 2 R11
R22 R12
R21 R22
R22 Δ
(us2 )
R12 Δ
us 2
R12
Δ
R22
us 2
0 R12
ia 3
us3 R11
R22 R12
R21 R22
R12 Δ
(us3 )
R12 Δ
us 3
证得 ia = ia1 + ia2 + ia3 即回路电流满足叠加定理
+
–us3
i11
R1
R2
R3
+ ia1
ib1
–us1
证明
i1 = i11 + i12 + i13
i12
R1
R2
R3
ia2 + ib2
–us2
i13
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
i1
R1 + ia
–us1
R2 + ib
–us2
R3
+
–us3
由回路法
R11ia+R12ib=us11 R21ia+R22ib=us22
kr
齐性
线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数， 则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。
R11ia2+R12ib2=-us2
R21ia2+R22ib2=us2
us2 R12
ia2
us 2 R11
R22 R12
R21 R22
R22 Δ
(us2 )
R12 Δ
us 2
R12
Δ
R22
us 2
R1 ia3
R2 ib3
R3
+
–us3
R11ia3+R12ib3=0
R21ia3+R22ib3=-us3 0 R12Δ jjBiblioteka Δusjj
Δ lj Δ
us ll
把 usi 个系数合并为Gji
us1 usb
b
G ji usi i 1
第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流
i j1 i j2 i ji i jb
支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。
同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压
ia 3
us3 R11
R22 R12
R21 R22
R12 Δ
(us3 )
R12 Δ
us 3
us11
ia
us 22 R11
R21
R12
R22 R12
R22 Δ
us11
R12 Δ
us22
R22 Δ
us1
R12 R22 Δ
us 2
R12 Δ
us 3
R22
us1 R12
0 ia1 R11
R22 R12
小结 :
i1 R1
+ us1
–
1. 叠加定理只适用于线性电路的电流、电压计算。
电压源为零—短路。 电流源为零—开路。 u，i 叠加时要注意各分量的方向。
2. 功率不能叠加(功率为电源的二次函数)。
p ui (u u)(i i) ui ui
3. 也可以把电源分组叠加(每个电源只能作用一次)
设 IL =1A
U
K = Us / U
UL= K IL RL
可加性 (additivity property)
us1
R
r1
us2
R
r2
us1
r1+ r2
us2 R
k1 us1 R k1 r1 k2 us2 R k2 r2
线性
k1 us1
k1 r1+ k2 r2
k2 us2 R
us1 us2 R
r
k us1 k us2 R
等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压
的代数和。
6
例1
求图中电压u。
+ 10V
–
解
(1) 10V电压源单独作用，
+
4 u
4A
–
(2) 4A电流源单独作用，
4A电流源开路 6
10V电压源短路 6
+ 10V
–
+
4 u' –
+
4 u''
4A
–
u'=4V
u"= -42.4= -9.6V
共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
10 64
1A
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1'
I 1
4
4
6
4
1.6 A
U 1
46 46
4
9.6V
= -101+41= -6V
Us"= -10I1"+U1”
= -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V