(华师版)八年级数学下册名师导学案：课题 菱形的判定(2)

课题菱形的判定(2)

【学习目标】

1．让学生理解并掌握菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

2．让学生学会用菱形的性质与判定相结合解决相关的计算与说理．

3．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

【学习重点】

菱形的判定定理2.

【学习难点】

用菱形的性质与判定相结合解决相关的计算与说理．

行为提示：创设问题情景导入，激发学生的求知欲望．

行为提示：让学生阅读教材，尝试完成“自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流．

知识链接：

1．菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直．

2．类比法：比较事物的相同点，类比的两个或两类对象要有相同或相似处．

解题思路：证明性质定理时，已经是平行四边形，所以只需证明一组邻边相等即可．

方法指导：对于范例1，对角线已给出垂直，所以只需证四边形是平行四边形即可．情

景导入生成问题

【旧知回顾】

1．菱形有哪些特殊性质？

答：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直．

2．我们已学过菱形的哪些判定方法？内容是什么？

答：定义法和判定定理1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．

自学互研生成能力

知识模块一对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【自主探究】

1．类比矩形、菱形的判定定理1，试问：菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形．这个命题是假命题．如图：那么，添加一个什么条件能使其成为真

命题呢？

,(第1题图)),(第2题图)) 2．猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形．”动手操作：如图，按书本P116“探索”中的过程进行．当对角线垂直的时候，会得到什么图形？同学之间交流一下．

3．用尺规作图作菱形的方法：见书本P116“试一试”．

4．菱形的性质定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD互相垂直．求证：四边形ABCD是菱形．

证明：∵四边形ABCD是▱，∴OB＝OD，∵AC⊥BD，

∴∠AOB＝∠AOD，∵AO＝AO，

∴△AOB≌△AOD(S.A.S.)，∴AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

【合作探究】

范例1：已知：如图，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F.求证：四边形AFCE是菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC，∴∠1＝∠2.

又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌△COF，∴EO＝FO.

∴四边形AFCE是平行四边形．

又∵EF⊥AC，∴▱AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．

学习笔记：

1．菱形的三个判定：定义法；四条边都相等的四边形；对角线互相垂直的平行四边形．2．常用添加辅助线的方法：连接对角线．

3．求线段的长用的比较少的方法(出奇不意)：面积法．

行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比．

学习笔记：检测的目的在于让学生掌握对角线互相垂直的平行四边形是矩形，并学会在菱形中求最小值的方法.知识模块二 菱形性质与判定的综合运用

【合作探究】

范例2：如图，▱ABCD ，E ，F 是对角线AC 上的两点，若∠ABF ＝∠CDE ＝90°.

(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；

(2)若AB ＝AD ＝8，BF ＝6，求AE 的长．

分析：由平行四边形的性质得出AB ＝CD ，AB ∥CD ，可得到∠BAC ＝∠DCA ，由A .S .A .证明△ABF ≌△CDE ，得出BF ＝DE ，∠AFB ＝∠CED ，可得到BF ∥DE ，结论得证；连结BD 交AC 于点G ，可证四边形ABCD 是菱形，得出AC ⊥BD ，再证出四边形BEDF 是菱形，得出BE ＝BF ＝6，由勾股定理求出AF ，由三角形面积关系求出BG ，再由勾股定理求出EG ，于是可以求出结果．

解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，

∴∠BAC ＝∠DCA.

在△ABF 和△CDE 中，∵∠BAC ＝∠DCA ，AB ＝CD ，∠ABF ＝∠CDE ，

∴△ABF ≌△CDE ，∴BF ＝DE ，∠AFB ＝∠CED ，∴BF ∥DE ，

∴四边形BEDF 是平行四边形；

(2)连结BD 交AC 于点G.∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形，

∴AC ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形，∴BE ＝BF ＝6，EG ＝FG . ∵∠ABF ＝90°，AB ＝AD ＝8，BF ＝6，∴AF ＝AB 2＋BF 2＝10，

∵S △ABF ＝12AF ·BG ＝12

AB ·BF ， ∴BG ＝AB ·BF AF ＝245

， ∴EG ＝BE 2－BG 2＝185

， ∴AE ＝AF －2EG ＝10－2×185＝145

. 交流展示 生成新知

1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在

各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一 对角线互相垂直的平行四边形是菱形