范里安《微观经济学：现代观点》课后习题及详解(选择)【圣才出品】

第5章 选 择

1．假定两种商品是完全替代品，商品2的需求函数是什么？

答：假设完全替代的效用函数是：u （x 1，x 2）＝x 1＋x 2，（为了简化计算，这里只考虑替代比例为1:1的情况）在预算约束下，消费者选择效用最大化，即：

121200max x x x x ≥≥+，

1122..s t p x p x m +=

由约束条件，解得x 1＝（m －p 2x 2）/p 1，同时由于x 1≥0，则（m －p 2x 2）/p 1≥0，即：x 2≤m/p 2。

将x 1的表达式以及约束条件x 2≤m/p 2代入效用函数后，得到：

2222222011

1max 1x m p m p x p m x x p p p ≤≤⎛⎫-+=+- ⎪⎝

⎭ 从而解得： 12212212212 0 (,,)0/ / p p x p p m m p p p m p p p <⎧⎪==⎨⎪>⎩

到间的任何值 如图5-1所示。

图5-1 完全替代商品的需求曲线

2．假设无差异曲线是一条斜率为－b的直线，并且给定任意的价格p1、p2和收入m，那么，消费者的最优选择是什么？

答：如图5-2所示，比较预算线与无差异曲线的斜率可知，当p1/p2＞b时，消费者的最优选择为只购买商品2；当p1/p2＜b时，消费者的最优选择为只购买商品1；当p1/p2＝b时，预算线上的任意消费组合都是消费者的最优选择。

图5-2 完全替代偏好的最优选择

3．假定一个消费者在每一杯咖啡里总是加2汤匙糖。如果每汤匙糖的价格为p1，每杯咖啡的价格为p2，消费者花费在咖啡和糖上的总额为m美元，那么，他或她将打算购买多少咖啡和糖？

答：设x1表示糖，x2表示咖啡，消费者的效用函数为：u（x1，x2）＝min{x1，2x2}，那么消费者的最优选择总是满足：2x2＝x1，将这一条件代入预算线方程p1x1＋p2x2＝m中，可以得到x1＝2m/（2p1＋p2）、x2＝m/（2p1＋p2）。

4．假定你对冰淇淋和橄榄具有高度的非凸偏好，如正文所描述的那样，你所面临的价格分别为p1和p2，并有m美元可供支出。请列出你所选择的最优消费束。

答：消费者的最优消费束为（0，m/p2）或者为（m/p1，0）。

这是因为：在非凸偏好的情况下，消费者对于端点消费束的偏好甚于对平均消费束的偏好，因此这种情况下，消费者的最优选择为只消费两种商品中的一种商品，即最优消费束为（0，m/p2）或者为（m/p1，0）。

5．如果一个消费者的效用函数为u（x1，x2）＝x1x24，那么，他在商品2上的花费占他收入的比例是多少？

解：消费者会把4/5的收入花费在商品2上。

分析如下：这是一个典型的柯布-道格拉斯效用函数，对其进行单调变换，可得u（x1，x2）＝x11/5x24/5。关于柯布-道格拉斯效用函数有一个特殊性质，即消费者在每种商品上的花费总是占他收入的一个固定份额，这个份额的大小由效用函数中的指数来决定。

证明过程如下：在预算约束下，消费者最大化其效用：

1211200

max x x x x αα-≥≥， 1122s t p x p x m +=.．

由拉格朗日乘数法有：

max x 1αx 21－α＋λ（m －p 1x 1－p 2x 2）

从而得到一阶条件为：

()11121122 1x x p x x p αααααλαλ---⎧=⎪⎨-=⎪⎩

则

()1111112122221211p x p x x x p x p x x x ααααλααλαα--===--

所以消费者会把（1－α）的收入花费在商品2上。在本题中，消费者会将4/5的收入花费在商品2上。

6．在哪一种类型的偏好下，无论课征从量税还是课征所得税，消费者的境况会一样好？ 答：当消费者的偏好为互补型时，无论课征从量税还是课征所得税，消费者的境况会一样好。如图5-3所示，在征税后，无论在哪种税收条件下，消费者的最优选择都不变，所以两种税收条件下，消费者的境况一样好。

图5-3 对互补型偏好征税