范里安《微观经济学:现代观点》课后习题及详解(选择)【圣才出品】

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第5章 选 择

1.假定两种商品是完全替代品,商品2的需求函数是什么?

答:假设完全替代的效用函数是:u (x 1,x 2)=x 1+x 2,(为了简化计算,这里只考虑替代比例为1:1的情况)在预算约束下,消费者选择效用最大化,即:

121200max x x x x ≥≥+,

1122..s t p x p x m +=

由约束条件,解得x 1=(m -p 2x 2)/p 1,同时由于x 1≥0,则(m -p 2x 2)/p 1≥0,即:x 2≤m/p 2。

将x 1的表达式以及约束条件x 2≤m/p 2代入效用函数后,得到:

2222222011

1max 1x m p m p x p m x x p p p ≤≤⎛⎫-+=+- ⎪⎝

⎭ 从而解得: 12212212212 0 (,,)0/ / p p x p p m m p p p m p p p <⎧⎪==⎨⎪>⎩

到间的任何值 如图5-1所示。

图5-1 完全替代商品的需求曲线

2.假设无差异曲线是一条斜率为-b的直线,并且给定任意的价格p1、p2和收入m,那么,消费者的最优选择是什么?

答:如图5-2所示,比较预算线与无差异曲线的斜率可知,当p1/p2>b时,消费者的最优选择为只购买商品2;当p1/p2<b时,消费者的最优选择为只购买商品1;当p1/p2=b时,预算线上的任意消费组合都是消费者的最优选择。

图5-2 完全替代偏好的最优选择

3.假定一个消费者在每一杯咖啡里总是加2汤匙糖。如果每汤匙糖的价格为p1,每杯咖啡的价格为p2,消费者花费在咖啡和糖上的总额为m美元,那么,他或她将打算购买多少咖啡和糖?

答:设x1表示糖,x2表示咖啡,消费者的效用函数为:u(x1,x2)=min{x1,2x2},那么消费者的最优选择总是满足:2x2=x1,将这一条件代入预算线方程p1x1+p2x2=m中,可以得到x1=2m/(2p1+p2)、x2=m/(2p1+p2)。

4.假定你对冰淇淋和橄榄具有高度的非凸偏好,如正文所描述的那样,你所面临的价格分别为p1和p2,并有m美元可供支出。请列出你所选择的最优消费束。

答:消费者的最优消费束为(0,m/p2)或者为(m/p1,0)。

这是因为:在非凸偏好的情况下,消费者对于端点消费束的偏好甚于对平均消费束的偏好,因此这种情况下,消费者的最优选择为只消费两种商品中的一种商品,即最优消费束为(0,m/p2)或者为(m/p1,0)。

5.如果一个消费者的效用函数为u(x1,x2)=x1x24,那么,他在商品2上的花费占他收入的比例是多少?

解:消费者会把4/5的收入花费在商品2上。

分析如下:这是一个典型的柯布-道格拉斯效用函数,对其进行单调变换,可得u(x1,x2)=x11/5x24/5。关于柯布-道格拉斯效用函数有一个特殊性质,即消费者在每种商品上的花费总是占他收入的一个固定份额,这个份额的大小由效用函数中的指数来决定。

证明过程如下:在预算约束下,消费者最大化其效用:

1211200

max x x x x αα-≥≥, 1122s t p x p x m +=..

由拉格朗日乘数法有:

max x 1αx 21-α+λ(m -p 1x 1-p 2x 2)

从而得到一阶条件为:

()11121122 1x x p x x p αααααλαλ---⎧=⎪⎨-=⎪⎩

()1111112122221211p x p x x x p x p x x x ααααλααλαα--===--

所以消费者会把(1-α)的收入花费在商品2上。在本题中,消费者会将4/5的收入花费在商品2上。

6.在哪一种类型的偏好下,无论课征从量税还是课征所得税,消费者的境况会一样好? 答:当消费者的偏好为互补型时,无论课征从量税还是课征所得税,消费者的境况会一样好。如图5-3所示,在征税后,无论在哪种税收条件下,消费者的最优选择都不变,所以两种税收条件下,消费者的境况一样好。

图5-3 对互补型偏好征税

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