2020年湖北高三联考-文科数学高考模拟试卷(含答案)
湖北2020届高三高考模拟考试数学试题(含答案)
湖北2020届高三高考模拟考试试题理科数学（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，若复数ii z -=123，则z =（ ）A.i -1B.i +1C.i --1D.i +-1 2．已知集合{})3lg(,11x y x B x xA -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y 3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则9762S a a -=（ ） A.5m B.9m C.51 D.91 4．已知+∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。
小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.81 B.41 C.43 D.87 6．已知][x 表示不超过x 的最大整数，（如1]5.0[,1]2,1[-=-=），执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）A ，49850B ．49950 C. 50000 D ．500507.在二项式721)21(xx +的展开式中有理项的项数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8．函数x x x x f sin )(2+=的图像大致为（ ）9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当)1,0[∈x 时，x x f 2sin)(π=，则函数x e x f x g --=)()(在区间]2020,2019[-上的零点个数为（ ）A ．1009B ．2019 C.2020 D.403910．已函数],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=的值域为]45,1[，则实数a 的取值范围是（ ） A.]6,0(πB.]3,0(πC.]2,6[ππD.]2,3[ππ11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线034=-y x 与双曲线右支交于点M ，若OF OM =,|则该双曲线的离心率为（ ）A.3B.2C.5D.612．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）①若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为25； ②若P 在线段B A 1上运动，则1PD AP +的最小值为226+； ③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥ABC P -ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为π2；④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为433 A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知)3,0(),2,1(-==b a ，则向量在向量方向上的投影为 ．14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。
湖北省2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
湖北省2020年高考文科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩∁U B ＝ A ．{4，5} B ．{1，4，5} C ．{6，7} D ．{1，6，7}2. 设复数z 满足z ＝－3＋2ii (i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为 A ．－32 B.32 C ．±32 D ．14．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝A.13B.223 C ．－13 D ．－2235. 下列说法中，正确的是A ．命题“若b a >，则122->ba”的否命题为“若b a >，则122-≤ba”B ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“任意R x ∈，都有012>++x x ” C ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 D ．命题“若022=+b a ，则0=ab ”的逆命题是真命题6. 三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<<C.67.07.07.066log << D.7.067.067.06log <<7.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为 A.56B.45C.34D.238.下图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A. 4πB. 2πC.43π D. π9. 函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B. C. D.10.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:E y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为A.2B.211. 函数()f x =的定义域为M,()g x =N ，则M N ⋂＝A ．[)1,-+∞B ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．已知，则A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省2020年高考文科数学模拟试题及答案
湖北省2020年高考文科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5} 2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A. 3y x =B. y x 1=-C. y x 1=-D. xy 2=4. 已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A. 6B. 6-C. 2-D. 45. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数6. 已知函数，且，则以下结论正确的是 A.B.C.D.7. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为A. 是奇数？；B. 是偶数？；C. 是奇数？；D. 是偶数？；8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当01x ≤≤，()2f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）A. 0B. 0或12-C.14-或12-D. 0或14- 9. 据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸.若取圆周率3π=，则图中x 值为（ ）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.110. 若tan()34πα+=-，则2sin 2cos αα-=（ ）A.35 B. 25-C. -1D. 311.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作垂直于实轴的弦PQ ,若12PF Q π∠=,则C 的离心率e 为( )112 12. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递增,设21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.17n f -=, ()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >> 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年4月湖北省荆门市普通高中2020届高三毕业班高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前湖北省荆门市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题 (解析版)2020年4月一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.) 1. 已知集合{}|10A x x =+>，{}1,0,1B =-，则()R A B =（ ） A. {}1 B. {}1- C. {}0,1 D. {}1,0-【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的基本运算求()R A B ⋂即可. 【详解】{}|10A x x =+>,{}1,0,1B =-.则{}|1RA x x =≤-,故(){}1R AB -=故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,所以基础题. 2. 若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z 的虚部为﹣i B. |z |=2C. z 表示的点在第四象限D. z 的共轭复数为﹣1﹣i【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案.【详解】∵()()()2121111i z i i i i -===-++-, ∴z 的虚部为1-；|z|=z 表示的点的坐标为()1,1-,在第四象限；z 的共轭复数为1i +. 故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念与复数模的求法,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.3. 对于实数m ，“12m <<”是“方程2212x y m m -=--1表示椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程满足条件入手得出m 的取值范围,进而得出正确选项.【详解】由“方程2212x ym m -=--1表示椭圆“可得102012m m m m->⎧⎪-<⎨⎪-≠-⎩,解得12m <<且32m ≠, 所以“12m <<”是 “方程2212x y m m -=--1表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及充分必要条件的判定.4. 我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A. 多821斤 B. 少821斤 C. 多13斤D. 少13斤。
2020年湖北省高三(5月)调研模拟考试文科数学试卷(答案)
2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试
文科数学参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C A C C B C B D D A A D
二、填空题
13. x y 2 0 14.
15. ᧳
粘贴在答题卡上 的指定位置 。
2.选择题 的作答 :每 小题选 出答 案后 ,用 2B铅 笔 把答 题 卡上 对应 题 目的答 案标 号涂
黑 。写在试题卷 、草稿纸和答题卡上 的非答题 区域均无效 。 3.非 选择题 的作答 :用 签字笔 直接答在答 题 卡上对应 的答 题 区域 内。写在试 题卷 、草
C· 一钅卜
手 D。
5.如 图 ,网 格纸上每个小格都是边长为 1 的正方形 ,粗线 画 出的是一个几何体 的三视 图 ,则 该几何体 的体积为
A.1
B.争
昔 C。
D.÷
6.若 △⒕BC三 边长分别为 3,5,7,则 △⒕BC的 面积为
⒏f
7.某 校 随机抽取 1CXl名 同学进行 “垃圾分类 ”的问卷测试 ,测 试结果发现这 100名 同学 的得
是符合题 目要求的。
1.设 全集 σ=N丰 ,集 合⒕={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},则 图中的阴影部分表示的集合为
A.{1,3,5}
B.{2,4}
C.{6,8}
D.{2,4,6,8}
2.已 知 i是 虚数单位,复 数 z满 足(i+1)z=i,则 z的 虚部是
÷ A·
:· ÷i
C.÷i
2020年湖北省华大新高考联盟高考文科数学模拟试卷及答案解析
2020年湖北省华大新高考联盟高考文科数学模拟试卷数学试题一、选择题（共12小题）1.设集合{}3,1,0,1,3A =--，()(){}120B x x x =-+≥，则A B =（ ） A.{}3,3- B.{}1,3 C.{}3,1,3-D.{}3,1,0,1,3--2.已知复数11z i=+，则z z ⋅=（ ） A.0B.1D.23.已知()tan 2αβ+=，tan 1α=-，则tan β=（ ） A.3-B.3C.13-D.134.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为（ ） A.103B.165C.227D.2585.已知lg 2x =，ln 3y =，2log 3z =，则（ ） A.x z y <<B.z y x <<C.x y z <<D.z x y <<6.执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，则集合A 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.67.设椭圆2213x y m +=的离心率为e ，则4m =是12e =的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 的中点，设AC a =，BD b =，则AM =（ ）A.1344a b + B.1344a b - C.3144a b + D.3144a b - 9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.10.将函数2cos 214y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位得到()y f x =的图象，给出下列四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 在(),ππ-上有4个零点；③()f x 在37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④3788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则正确的结论序号是（ ） A.②④B.①②C.③④D.②③11.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，sin2B =，ABC △的面积为2b ac -最小值为（ ）A.B. C. D.12.制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为11sin 32毫米，乙小组制作的晶圆厚度为11sin 23毫米，丙小组制作的晶圆厚度为17cos 28毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（ ） A.甲小组和丙小组 B.丙小组和乙小组 C.乙小组和丙小组D.丙小组和甲小组二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()31log ,021,0x x x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______.14.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为______.15.在等腰直角ABC △中，2AB =，90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 的高，将ABC △沿AD 折叠，折叠后使ABC △成等边三角形，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______.16.设点1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点1F 作直线l 与双曲线C 的左、右支分别交于A ，B 两点，若2234AF BF =且22AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[]0,40，(]40,80，(]80,120，(]120,160，(]160,200得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.18.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知417a a -=，37S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2,log ,n n na nb a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，数列{}n b 前n 项和为n T ，求2n T .19.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，2AC =，侧面11CBB C 为正方形，平面11ACC A ⊥平面ABC .点M 为1A C 的中点，点N 为AB 的中点.（1）证明：MN ∥平面11BCC B ； （2）求三棱柱11A ABC -的体积.20.设点F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，当B 点到y 轴距离为1时，5BF =. （1）求抛物线的方程；（2）平行四边形ABCF 的对角线AC 所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由. 21.已知函数()22cos 2f x ax x =+-，（a ∈R ）.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 32sin 3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为253cos 2θρα=-，点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上.（1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求PQ 的最大值. [选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=. （1）求11a b c++的最小值； （2）证明：444a b c abc ++≥.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}3,1,0,1,3A =--，()(){}120B x x x =-+≥，则A B =（ ） A.{}3,3- B.{}1,3 C.{}3,1,3-D.{}3,1,0,1,3--【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可.解：集合{}3,1,0,1,3A =--，()(){}(][)120.21,B x x x =-+≥=-∞-+∞， 则{}3,1,3A B =-， 故选：C.2.已知复数11z i=+，则z z ⋅=（ ） A.0B.1D.2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由2z z z ⋅=求解. 解：∵21111iz i i i -=+=+=--，∴222z z z ⋅===. 故选：D.3.已知()tan 2αβ+=，tan 1α=-，则tan β=（ ） A.3-B.3C.13-D.13【分析】利用βαβα=+-，进行拆角，结合两角和差的正切公式进行计算即可. 解：()()()tan tan 21tan tan 31tan tan 12αβαβαβααβα+-+=+-===-++-，故选：A.4.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为（ ） A.103B.165C.227D.258【分析】设圆的半径为1，圆的面积为S ，求得圆内接正多边形的中心角，再由三角形的面积公式，计算可得正多边形的面积，注意运用近似计算，即可得到所求结论.解：设圆的半径为1，圆的面积为S ， 由圆内接正十二边形的每条边的中心角为3603012︒=︒， 则12111211sin 306322S =⨯⨯⨯⨯︒=⨯=； ∴2310042511008ππ-≈⇒≈⋅； 故选：D.5.已知lg 2x =，ln 3y =，2log 3z =，则（ ） A.x z y <<B.z y x <<C.x y z <<D.z x y <<【分析】利用对数函数的性质求解. 解：∵lg 21x =<，ln 31y =>，2log 31z =>， 所以x 最小， 又∵lg 3lg y e=，lg 3lg 2z =，而lg lg 2e >， ∴x y z <<， 故选：C.6.执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，则集合A 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.6【分析】先根据流程图进行逐一进行运行，即可求出集合A ，从而得解. 解：当20x y =-⇒=；2111x y =-+=-⇒=-， 1100x y =-+=⇒=， 0113x y =+=⇒=，1128x y =+=⇒=，213x =+=，退出循环，所以{}0,1,3,8A =-，则集合A 中元素的个数为4. 故选：B.7.设椭圆2213x y m +=的离心率为e ，则4m =是12e =的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【分析】讨论椭圆焦点位置，从而求出m ，在判断其充分必要性.解：当3m >时，12e ==， ∴4m =当3m <时，12e ==， ∴94m = ∴4m =是12e =的充分不必要条件 故选：A.8.在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 的中点，设AC a =，BD b =，则AM =（ ） A.1344a b +B.1344a b -C.3144a b +D.3144a b -【分析】利用平面向量的基本定理，分解AM AB BM =+，根据题意，找到AB ，BM 与a ，b 的关系，代入即可得答案. 解：如图，∵1122AB DC a b ==-，1122BC b a =+， ∴111244BM BC b a ==+， ∴111131224444AM AB BM a b b a a b =+=-++=-. 故选：D.9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【分析】依题意，可得()()2cos xxf xg x e-=-，当0.01x =时，0y <，可排除选项C ，D ；又4x π=-为极值点，则排除选项B ；由此得出正确答案.解：∵()()2cos xf xg x e x +=，∴()()()2cos x f x g x e x --+-=-，即()()2cos xf xg x e x --+=，∴()()2cos xxf xg x e -=-， ∵2cos xxy e=-，当0.01x =时，0y <，∴可排除选项C ，D ；又()2sin cos 4x xx x x y e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，故4x π=-为极值点，即选项B 错误； 故选：A.10.将函数2cos 214y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位得到()y f x =的图象，给出下列四个结论： ①()f x 为偶函数；②()f x 在(),ππ-上有4个零点；③()f x 在37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④3788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则正确的结论序号是（ ） A.②④B.①②C.③④D.②③【分析】先根据图象的平移变换，求出()f x 的解析式.对于①，只需()0f 取得最值即可；对于②，令()0f x =，求出该区间上的根即可；对于③，根据x 的区间，求出x ωϕ+的范围，看看是否是sin x 的减区间即可；对于④，由函数的对称性判断对称轴即可.解：依题意，()2cos 22cos 21444f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 对于①，因为()01f =，不是最值，故①错；对于②，由()0f x =得1cos 242x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2243x k πππ-=±+，k Z ∈，所以24x k ππ=-+或724x k ππ=+，k Z ∈.令0k =，1-，1，可得1724z π=-，或24π-，或724π，或2324π.故②对； 对于③，当3788x ππ<<时，32242x πππ<-<，此时，cos y x =在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭先减后增，故③错；对于④，3788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示函数关于58x π=对称，此时538f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小值，故④对. 故选：A.11.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，sin23B =，ABC △的面积为2b ac -最小值为（ ）A.B. C. D.【分析】根据二倍角公式和同角的三角函数的关系和面积公式可得6ac =，再根据余弦定理可得()228b a c =-+，则28b ac a c a c=-+--根据均值不等式即可求出.解：因为sin 23B =，所以21cos 12sin 23BB =-=，所以sin 3B =，又因为1sin 2ac B = 所以6ac =，所以()()2222242cos 83b ac ac B a c ac a c =+-=-+=-+，所以28b ac a ca c=-+≥=--，当且仅当a c -=a =，c =故2ba c-最小值为故选：C.12.制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为11sin 32毫米，乙小组制作的晶圆厚度为11sin 23毫米，丙小组制作的晶圆厚度为17cos 28毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（ ） A.甲小组和丙小组 B.丙小组和乙小组 C.乙小组和丙小组D.丙小组和甲小组【分析】设11sin 32a =，11sin 23b =，17cos 28c =，可得：162sin 2a =，163sin 3b =，763cos 8c =.利用三角函数的单调性可得：733cos 3cos 832π>=.12sin 2sin 126π<=，133sin 3sin 362π<=.可得c 最大，否定B ，D.设()sin x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.利用导数研究其单调性即可得出b a >.解：设11sin 32a =，11sin 23b =，17cos 28c =， ∴162sin 2a =，163sin 3b =，763cos 8c =. ∵783π<，∴733cos 3cos 832π>=.又126π<，136π<，∴12sin 2sin126π<=，133sin 3sin 362π<=. ∴c 最大，否定B ，D. 设()sin x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()2cos sin x x x f x x -'=. 令()cos sin g x x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()sin 0g x x x '=-<. ∴函数()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时为减函数，∴()()00g x g <=.∴()0f x '<. ∴函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时为减函数. ∴1132f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11sinsin321132>，∴113sin 2sin 32>.∴b a >. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()31log ,021,0x x x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦34-.【分析】推导出3111log 233f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，从而()212213f f f -⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由此能求出结果.解：∵()31log ,021,0x x x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，∴3111log 233f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭， ()21322134f f f -⎡⎤⎛⎫=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：34-.14.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为0.21.【分析】抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A ，B ，C ，利用互斥事件概率加法公式列出方程组，能求出抽到二等品的概率.解：设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A ，B ，C ，则()()()()()()()0.860.351P A P B P B P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩， 解得抽到二等品的概率()0.21P B =. 故答案为：0.21.15.在等腰直角ABC △中，2AB =，90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 的高，将ABC △沿AD 折叠，折叠后使ABC △成等边三角形，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为6π. 【分析】将三角形沿AD折叠使得，则可求出AD BD CD ===BD CD ⊥，又AD BD ⊥，AD CD ⊥，以A ，D ，B ，C 为顶点构造正方形，可得()226R =，解得即可求出外接球的表面积.解：沿AD 折叠后使ABC △为等边三角形，即折叠后2BC =，易得AD BD CD ===又222224BD CD BC +=+==，所以BD CD ⊥，又AD BD ⊥，AD CD ⊥，以A ，D ，B ，C 为顶点构造正方形， 设三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，则()222222226R AD BD CD =++=++=，解得232R =，所以该三棱锥的外接球的表面积246D R ππ==. 故答案为：6π.16.设点1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点1F 作直线l 与双曲线C 的左、右支分别交于A ，B 两点，若2234AF BF =且22AF BF ⊥，则双曲线C的离心率为5. 【分析】利用已知条件，结合直角三角形以及双曲线的定义，通过余弦定理，转化求解双曲线的离心率即可. 解：2234AF BF =，设24BF m =，23AF m =，因为22AF BF ⊥，所以5AB m =，由双曲线的定义可得：1132542m AF am AF m a⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得m a =，1AF a =，在直角三角形2ABF 中，233cos 55a BAF a ∠==， 在12AF F △中，()22224923cos c a a a a BAF π=+-⋅-∠，所以22173c a =，可得e =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[]0,40，(]40,80，(]80,120，(]120,160，(]160,200得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【分析】（1）利用频率分布直方图性质能求出男生自主学习不超过40分钟的人数和女生自主学习不超过40分钟的人数，由此能估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数.（2）在80名学生中，男生网上学习时间不超过40分钟的人数4人，女生网上学习时间不超过45分钟的人数2人，从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，基本事件总数2615n C ==，至少抽到1名男生包含的基本事件个数21144214m C C C =+=，由此能求出至少抽到1名男生的概率.解：（1）男生自主学习不超过40分钟的人数为：0.0025401500150⨯⨯=人，女生自主学习不超过40分钟的人数为：0.0012540150075⨯⨯=人，∴估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数为：15075225+=人. （2）在80名学生中，男生网上学习时间不超过40分钟的人数：400.0025404⨯⨯=人，女生网上学习时间不超过45分钟的人数：400.00125402⨯⨯=人， ∴选4名男生，2名女生，从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，基本事件总数2615n C ==，至少抽到1名男生包含的基本事件个数21144214m C C C =+=，∴至少抽到1名男生的概率1415m p n ==. 18.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知417a a -=，37S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，数列{}n b 前n 项和为n T ，求2n T .【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为1q ≠，由417a a -=，37S =.可得3117a q a -=，()31171a q q-=-，联立解得：1a ，q .即可得出n a .（2）设2,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，则12,1,n n n b n n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数为奇数.利用等差数列等比数列的求和公式即可得出.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为1q ≠，∵417a a -=，37S =. ∴3117a q a -=，()31171a q q-=-，联立解得：11a =，2q =.∴12n n a -=.（2）设2,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，则12,1,n n n b n n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数为奇数. 数列{}n b 前n 项和为n T ，则()()321222202422n n T n -=++++++++-()()()22412412204123n nn n n n ---+=+=+--.19.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，2AC =，侧面11CBB C 为正方形，平面11ACC A ⊥平面ABC .点M 为1A C 的中点，点N 为AB 的中点.（1）证明：MN ∥平面11BCC B ； （2）求三棱柱11A ABC -的体积.【分析】（1）连结1AC 、1BC ，推导出1MN BC ∥，由此能证明MN ∥平面11BCC B.（2）取AC 的中点H ，连1A H ，则1A H AC ⊥，从而1A H ⊥平面ABC ，进而1A H BC ⊥，由11CBB C 为正方形，得1BC CC ⊥，推导出1BC AA ⊥，1BC AA ⊥，从而BC ⊥平面11ACC A ，由此能求出三棱柱11A ABC -的体积. 解：（1）证明：连结1AC 、1BC ，∵11ACC A 是菱形，点M 为1A C 的中点，∴11AC AC M ⋂=， 又点M 为1AC 的中点，点N 为AB ，∴1MN BC ∥， ∵1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ， ∴MN ∥平面11BCC B .（2）∵侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒， ∴1AAC △为等边三角形，112AA A C AC ===， 取AC 的中点H ，连1A H ，则1A H AC ⊥， ∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，∴1A H ⊥平面ABC ， ∴1A H BC ⊥，而11CBB C 为正方形，∴1BC CC ⊥， 又11AA CC ∥，∴1BC AA ⊥， 又11AA CC ∥，∴1BC AA ⊥，又111AA A H A ⋂=，∴BC ⊥平面11ACC A ，∵11AAC △的面积122sin1202S =⨯⨯⨯︒=∴三棱柱11A ABC -的体积11111233A ABCB A AC V V --===.20.设点F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，当B 点到y 轴距离为1时，5BF =. （1）求抛物线的方程；（2）平行四边形ABCF 的对角线AC 所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.【分析】（1）依题意1B x =，再利用抛物线的定义即可求出p 的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AC 的方程为：x ty m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，(),B B B x y ，()4,0F ，由FA FC FB +=可得12124B B x x x y y y =+-⎧⎨=+⎩，联立方程直线AC 与抛物线方程，利用韦达定理得到2162416B Bx t m y t ⎧=+-⎨=⎩，代入抛物线方程，即可求出m 的值，从而得到直线AC 恒过定点()2,0. 解：（1）依题意，1B x =， 由抛物线的定义可得：152p+=，∴8p =， ∴抛物线的方程为：216y x =；（2）设直线AC 的方程为：x ty m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，(),B B B x y ，()4,0F ， ∴()114,FA x y =-，()4,B B FB x y =-，()224,FC x y =-， 依题意，FA FC FB +=，所以1212444B B x x x y y y -+-=-⎧⎨+=⎩，即12124B B x x x y y y =+-⎧⎨=+⎩，联立方程216x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：216160y ty m --=，∴()2164160t m ∆=-+⨯>，即240t m +>，且1216y y t +=，1216y y m =-，∴()212122162x x t y y m t m +=++=+，∴2162416B B x t m y t⎧=+-⎨=⎩，又∵216B B y x =， ∴()()2216161624t t m =+-，解得2m =，即直线AC 的方程为：2x ty =+，令0y =，2x =， ∴直线AC 恒过定点()2,0.21.已知函数()22cos 2f x ax x =+-，（a ∈R ）.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）先判断函数的奇偶性，再根据导数和函数最值的关系即可求出a 的范围，需要分类讨论.解：（1）若1a =时，()22cos 2f x x x =+-，则()22sin f x x x '=-，∴斜率()2k f ππ'==，∵()24f ππ=-，∴曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()242y x πππ-+=-，即2240x y ππ---=.（2）∵()()f x f x -=， ∴()f x 为偶函数， ∵()0f x ≥，∴当0x ≥时，()0f x ≥， ∵()22sin f x ax x '=-，0x ≥， 令()22sin g x ax x =-，∴()()22cos 2cos g x a x a x '=-=-，①当1a ≥时，()0g x '≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00g x g ≥=， 即()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00f x f ≥=，满足条件，②当0a ≤时，22024f a ππ⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，显然不满足条件，③当01a <<时，若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0g x '=，解得0cos x a =， ∴存在0x ，使得当()00,x x ∈，()0g x '<，∴()g x 在()00,x 上单调递减，即()()00g x g <=，即()0f x '<， ∴()f x 在()00,x 上单调递减，即()()00f x f <=，所以不满足条件， 综上所述a 的取值范围为[)1,+∞.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 32sin 3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为253cos 2θρα=-，点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上.（1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求PQ 的最大值.【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和二次函数性质的应用求出结果.解：（1）曲线1C的参数方程为323x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），转换为直角坐标方程为()22723x y +-=.曲线2C 的极坐标方程为253cos 2θρα=-，转换为直角坐标方程为2214x y +=.（2）设()2cos ,sin Q θθ，()10,2C ，则：()()22212282cos 0sin 23sin 33C Q θθθ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，当2sin 3=-时，1max C Q =所以max 33PQ =+=. [选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=. （1）求11a b c++的最小值； （2）证明：444a b c abc ++≥.【分析】（1）由a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=，利用“1的代换”代入，再由基本不等式求最值；（2）()()4444444442222222221122a b c a b b c a c a b b c a c ++++++++=+≥， 而()()2222222222222222221122222a b b c a c a b b c a b a c b c a c ++=+++++ ()()22212222ab c a bc abc abc a b c abc ≥++=++=，两次基本不等式等号同时成立，结论得证.【解答】（1）解：∵a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=，∴111124a b c a b c c a b a b c a b c a b c ++++++=+=+++≥+=+++. 当且仅当a b c +=时取“=”，∴11a b c++的最小值为4； （2）证明：()()4444444442222222221122a b c a b b c a c a b b c a c ++++++++=+≥. 当且仅当13a b c ===时“=”成立.而()()2222222222222222221122222a b b c a c a b b c a b a c b c a c ++=+++++ ()()22212222ab c a bc abc abc a b c abc ≥++=++=. 当且仅当13a b c ===时“=”成立.∴444a b c abc ++≥，当且仅当13a b c ===时“=”成立.。
2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖北省高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集，集合2，3，4，，4，6，，则图中的阴影部分表示的集合为A. 3，B.C.D.4，6，2.已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为A. B. C. D.3.已知数列的前项和，则A. 13B. 14C. 15D. 164.若则A. B. C. D.5.如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 4B. 2C.D.6.若三边长分别为3，5，7，则的面积为A. B. C. D.7.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在内，按得分分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为A. B. 75 C. D. 808.中，点D为BC的中点，，M为AD与CE的交点，若，则实数A. B. C. D.9.甲、乙、丙、丁四人等可能分配到A、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为A. B. C. D.10.函数的值域为A. B.C. D.11.已知函数在有且仅有4个零点，则的取值范围为A. B. C. D.12.已知存在唯一零点，则实数a的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l过圆的圆心且与直线垂直．则l的方程是______．14.已知双曲线的左焦点关于直线的对称点P在双曲线上．则双曲线C的离心率为______．15.半径为2的球O内内置一圆锥，则此圆锥的体积最大值为______．16.已知函数是定义在的单调函数，对定义域内任意x，均有，则函数在点处切线的纵截距为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和为，且满足求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．18.已知如图1直角中，，，，点D为AB的中点，，将沿CD折起，使面面BCD，如图2．求证：；图2中，求C点到平面ADF的距离．19.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，Q是y轴的正半轴上一点，交椭圆于P，且，的内切圆半径为1．求椭圆C的标准方程；若N点为圆M上一点，求的取值范围．20.年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567平均价格单位：千元吨从表中数据可认为和线性相关性较强，求出以为解释变量为预报变量的线性回归方程系数精确到；以的结论为依据，预测2032年该原料价格．预估该原料价格在哪一年突破1万元吨？参考数据：，，，；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．21.已知函数．若，求过点且与相切的直线方程；若，证明：．22.在直角坐标系中xOy，曲线E的参数方程为为参数，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F的极坐标方程为为参数．求曲线E的普通方程和曲线F的直角坐标方程；若曲线E与曲线F有公共点，求t的取值范围．23.已知函数，的解集为M．求M；若，，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为：．故选：C．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可．本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2.答案：C解析：解：，则z的虚部为：．故选：C．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：数列的前项和，，．则．故选：C．数列的前项和，可得，，即可得出．本题考查了数列的递推关系、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：，可得，．故选：C．由已知利用诱导公式可得，进而根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.答案：D解析：解：如图三棱锥是该几何体的直观图，三棱锥的高为2，底面三角形ABC的底边长为1，高为2，则此几何体的体积为，故选：D．通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．6.答案：C解析：解：可设的三边分别为，，，由余弦定理可得，，可得，可得的面积为．故选：C．可设的三边分别为，，，运用余弦定理可得cos C，由同角的平方关系可得sin C，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：A解析：解：由频率分布直方图得：的频率为：，的频率为：，这100名同学的得分的中位数为：．故选：A．由频率分布直方图求出的频率为，的频率为，由此能求出这100名同学的得分的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：D解析：解：如图，D为BC的中点，，又，且，，且E，M，C三点共线，，解得．故选：D．根据D为BC的中点可得出，再根据即可得出，而根据E，M，C三点共线即可得出，解出即可．本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三点A，B，C共线，且时，，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁四人等可能分配到A、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，基本事件总数，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为．故选：D．基本事件总数，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人不在同一工厂工作的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：A解析：解：由，解得．可得函数的定义域为：．．令，解得，可得为极小值点，，，．函数的值域为．故选：A．由，解得可得函数的定义域为：利用导数研究函数的单调性即可得出值域．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：函数在有且仅有4个零点，此时，，，求得，故选：A．由题意利用正弦函数的零点，正弦函数的周期性，可得，由此得出结论．本题主要考查正弦函数的零点，正弦函数的周期性，属于基础题．12.答案：D解析：解：由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0．，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可．当时，有，令，，则，，，，在上单调递增，，．故选：D．先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点．利用放缩法与单调性求出a的取值范围．本题主要考查函数的性质及导数的综合应用，属于基础题．13.答案：解析：解：根据题意，圆的圆心为，直线l与直线垂直，则直线l的斜率，则直线l的方程为，变形可得；故答案为：．根据题意，求出圆的圆心，由直线垂直与斜率的关系可得直线l的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案．本题考查直线的点斜式方程以及圆的一般方程，注意分析圆的圆心，属于基础题．14.答案：解析：解：设左焦点关于的对称点为，由题意可得解得：，，即，而P在双曲线上，，即，整理可得，即，整理可得：，所以离心率，故答案为：．设左焦点的对称点P的坐标，由对称点之间的关系求出P的坐标，代入双曲线的方程可得a，c的关系，进而求出离心率．本题考查双曲线的性质及对称点的求法，属于中档题．15.答案：解析：解：设圆锥的高是h，过球心的一个轴截面如图：则圆锥的底面半径，圆锥的体积，，由解得，，由导数的性质知，当时，圆锥的体积最大．最大值为：．故答案为：．画出过球心的一个轴截面，有图找出圆锥的高和底面半径之间的关系式，再代入圆锥的体积公式，利用求它的导数和导数为零的性质，求出圆锥体积最大时圆锥的高．本题是有关旋转体的综合题，需要根据轴截面和体积公式列出函数关系，再由导数求出函数最值问题，考查了分析和解决问题的能力．16.答案：解析：解：函数对定义域内的任意x，均有，则是定值，不妨令，则，由在递增，且，可得的解为，，则，在点处切线的斜率为，切点为，则在点处切线方程为，可令，可得．故答案为：．由题意得是定值，令，得到，求出t的值，从而求出的表达式，求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，再令，计算可得所求纵截距．本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的解析式的求法和方程的解法，注意运用函数的单调性，考查方程思想和运算能力，本题是一道中档题．17.答案：解：由题意，当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，故，．由知，，当n为偶数时，为奇数，，当n为奇数时，为偶数，，综上所述，可得．解析：本题第题先将代入题干表达式得到的值，当时，由，可得，两式相减并进一步计算转化可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，由此可计算出数列的通项公式；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后分n为偶数和n为奇数两种情况分别运用分组求和法求和，最后综合可得前n项和．本题主要考查数列求通项公式，以及正负号交错出现的数列的求和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：证明：在三棱锥中，取CD 中点E，连结AE，在中，，，，，，又D为AB中点，，，，，，，，为直角三角形，，将没CD折起，使面面BCD，如图，由点E为CD的中点，在等边中，，面面，故AE面BCD，又面ACD，则．解：由，设C点到平面ADF的距离为h，由知点A到面CDF的距离为AE，则，，，由知，有，，点到平面ADF的距离．解析：取CD中点E，连结AE，推导出，面BCD，由此能证明．由，能求出C点到平面ADF的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设的内切圆M切，，PQ于E，F，G连接MG，MF，因为，因为，所以四边形MFGP为正方形，所以，设，，由，且，有，则，，由得，有，故，即，，所以椭圆的方程的标准方程：；设点，所以M到直线的距离为1，由直线的方程，即，所以，或舍，即，故圆M的方程为：，设圆上，由，，有，故的范围为解析：设内切圆与三角形各边的切点，再由直角三角形中，由勾股定理可得椭圆的a值，再由可得c的值，由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得直线的方程，由圆心到直线的距离为半径1，求出圆M的圆心坐标，可得圆的方程，设M的参数坐标，可得数量积的表达式，进而求出其取值范围．本题考查三角形的内切圆的半径与边长的关系，及求椭圆的标准方程的方法，数量积的求法，属于中难题．20.答案：解：，．，．关于x的线性回归方程为；年对应的年份代号为20，由可知，．故预测2030年该原料的价格为千克．又解不等式，得．故年份代号至少为24时，该原料价格才能突破1万元吨．年份代号为24时，对应2036年．故预估该原料价格在2036年突破1万元吨．解析：由已知数据求得与的值，可得线性回归方程；在中求得的线性回归方程中取，预测2032年该原料价格；求解不等式，可得该原料价格突破1万元吨的年份．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．21.答案：解：若，则，，，点在上，当切点为时，，切线方程为，即，切点不为时，设切点为，，切线方程为，其过切点，有，易知是其一解，即，即，故点Q的横坐标，有，又，切线方程为，综合可知，有，故过点且与相切的直线方程为，或．，，，当，时，，单调递增，由，有在上单调递增，由，有，则，要证：，，即证，，，此式恒成立，故时，恒成立．解析：根据导数的几何意义，需要分类讨论，即可求出切线方程；判断函数的单调性，要证：，，只要证，根据正弦函数的性质即可证明．本题考查了切线方程，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了运算能力和转化能力，属于难题．22.答案：解：曲线E的参数方程为为参数，所以，代入，得到．曲线F的极坐标方程为为参数，整理得，转换为直角坐标方程为．由于曲线E：经过点．所以点在直线上，所以．由于曲线E和曲线F相切时，，，．故t的范围是．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：，则，由，可得当时，；当时，恒成立；当时，，综上可得，；证明：由可得，，，，且有，由，可得，即，可得，即为，可得，又，，故，即．解析：由绝对值的意义，运用零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；分别求得，，，，且有，由，可得，再由不等式的性质和两边平方法，化简变形，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式的证明，注意运用综合法和不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x>l}，B={x|x2−2x−3<0}，则A∩B=()A. ⌀B. (1,+∞)C. (−1,3)D. (1,3)2.已知x，y∈R，i为虚数单位，若x1−i=1+yi，则复数x+yi在复平面上对应点的坐标是A. (0,1)B. (2,1)C. (1,0)D. (1,2)3.已知0<a<1，log a x<log a y<0，则()A. 1<y<xB. 1<x<yC. x<y<1D. y<x<14.已知单位向量e1⃗⃗⃗ 与单位向量e2⃗⃗⃗ 的夹角为π3，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =3e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ ，则|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |等于()A. 5B. 6C. √37D. √395.设正实数x，y满足x>23，y>2，不等式9x2y−2+y23x−2≥m恒成立，则m的最大值为()A. 2√2B. 4√2C. 8D. 166.关于频率分布直方图，下列说法不正确的是()A. 纵轴表示频率与组距的比值B. 各长方形的面积等于相应各组的频率C. 长方形的个数与所分组数相等D. 各长方形的面积之和等于样本容量7.函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]的图象大致是()A. B.C. D.8.函数f(x)=sin(πx+2π3)+cos(πx+π6)的一个单调递减区间是()A. [−23,13]B. [56,116]C. [13,43]D. [−16,56]9. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=4，则直线AF 的倾斜角等于( )A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. 5π610. 已知函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，f(x)在定义域上单调递减，则实数a 的范围为( )A. (1,72)B. (1,+∞)C. [1,72]D. (−∞,72]11. 在平面四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，∠BAD =60°，∠DBC =30°，则点D 到边BC 的距离为( )A. 2B. 4C. √72D. √712. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(b >0,a >0)的左焦点为F ，点B 的坐标为(0,b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 23B. 32C. √3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设曲线y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．14. 已知θ∈(π2,π)，则1sinθ+1cosθ=2√2，则sin(θ+π4)________，sin(2θ−π3)=________． 15. 已知A ，B ，C 是球面上三点，且AB =6，BC =8，AC =10，球心O 到平面ABC 的距离等于该球半径的12，则此球的表面积为______ ．16. 设x,y 满足约束条件{x ⩾0x +2y ⩾42x +y ⩽5，则z =2x −y 的最大值是_________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n =a n 2+2a n (n ∈N ∗)(1)求a 1的值及数列{an}的通项公式；(2)记数列{1a n3}的前n 项和为T n ，求证：T n <732(n ∈N ∗)18. 某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据．x 4 5 7 8 y2356(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ； (2)试根据(1)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数． 相关公式：，b =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2,a =y −−bx −19. 如图，设四棱锥S −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°，AB =SC =2，SA =SB =√2．(Ⅰ)求证：平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)设P 为SD 的中点，求三棱锥P −SAC 的体积．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P(1,32)与椭圆右焦点的连线垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)与抛物线y2=4x相切于第一象限的直线l，与椭圆C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与y轴交于点N，求直线MN斜率的最小值．21.已知函数f(x)=ax+cosx，x=π6是f(x)的一个极值点．(1)求a的值；(2)求f(x)在x∈[0,2π]上的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.若a>b>0，求证：a+1(a−b)b≥3．【答案与解析】1.答案：D解析：解：B ={x|−1<x <3}； ∴A ∩B =(1,3)． 故选：D ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得x ，y 的值得答案． 解：由x1−i =1+yi ，得x =(1−i )(1+yi )=(1+y )+(y −1)i ，{x =1+yy −1=0, {x =2y =1,则x +yi =2+i =(2,1)， 故选B ．3.答案：A解析：本题考查了对数函数的性质，是基础题． 由0<a <1结合对数函数的性质即可判断． 解：0<a <1，y =log a x 为减函数， log a x <log a y <0=log a 1，∴x >y >1， 故选：A4.答案：C解析：解：单位向量e 1⃗⃗⃗ 与单位向量e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3， ∴e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos π3=12， 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ ，∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9e 1⃗⃗⃗ 2+24e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +16e 2⃗⃗⃗ 2=9×1+24×12+16×1=37，∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√37． 故选：C ．根据平面向量的数量积与单位向量的概念，求出模长即可． 本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．5.答案：D解析：令y −2=a ，3x −2=b ，则y =a +2，x =b+23，将原式转化为关于a ，b 的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题． 解：设y −2=a ，3x −2=b ，(a >0,b >0)，9x 2y−2+y 23x−2=(b+2)2a+(a+2)2b≥(2√2b)2a+(2√2a)2b=8(b a+ab)≥16，当且仅当a =b =2，即x =43，y =4时取等号， 故选：D ．6.答案：D解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题．根据频数直方图的定义可以判断各个选项中的结论是否正确，由此可解．解：频率分布直方图中纵轴表示频率与组距的比值，A正确；频率分布直方图中各个长方形的面积表示该组的频率，故面积之和等于1，B正确，D错误．长方形的个数与所分组数相等，C正确．故选D．7.答案：C解析：解：函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]满足f(−x)=−f(x)，故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈(0,π2)时，f(x)=cosxx−sinx>0，故排除D，故选：C．分析函数的奇偶性，及x∈(0,π2)时，函数值的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档．8.答案：D解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，考查正弦函数的单调性，考查转化的数学思想，属于中档题．利用两角和的三角函数公式化简f(x)的解析式为f(x)=−2sin(πx−π3)，故f(x)的减区间即为y=2sin(πx−π3)的增区间．令2kπ−π2≤πx−π3≤2kπ+π2，k∈Z，求得x的范围，可得f(x)的减区间．解：f(x)=sin(πx+2π3)+cos(πx+π6)=sinπxcos 2π3+cosπxsin2π3+cosπxcosπ6−sinπxsinπ6=−sinπx+√3cosπx =−2sin(πx−π3)，故f(x)的减区间即为y =2sin(πx −π3)的增区间．令2kπ−π2≤πx −π3≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得2k −16≤x ≤2k +56(k ∈Z)． 结合所给的选项， 故选D ．9.答案：A解析：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F 在l 上的射影为F′，依题意，可求得点P 的坐标，从而可求得|AF′|，可求得点A 的坐标，代入斜率公式，从而可求得直线AF 的倾斜角． 解：∵抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， ∴|PF|=|PA|，F(1,0)，准线l 的方程为：x =−1； 设F 在l 上的射影为F′，又PA ⊥l ，设P(m,n)，依|PF|=|PA|得，m +1=4，m =3，∴n =2√3， ∵PA//x 轴，∴点A 的纵坐标为2√3，点A 的坐标为(−1,2√3) 则直线AF 的斜率2√3−0−1−1=−√3，直线AF 的倾斜角等于2π3． 故选A ．10.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．由分段函数的解析式知，当x >1时，f(x)单调递减，f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)在(−∞,a )上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，求解即可．解：∵函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，当x >1时，f(x)=2x ，函数f(x)单调递减，则f(x)<2， 当x ⩽1时，f(x)=x 2−2ax +8=(x −a )2+8−a 2，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x =a ，f(x)在(−∞,a )上单调递减， ∵f(x)在定义域上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，解得1⩽a ⩽72． ∴实数a 的范围为．故选C ．11.答案：C解析：解：如图，在△ADB 中，由余弦定理可得DB 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos60°=7． ∴DB =√7．过D 作DM ⊥CB 于M ，DM =DB ⋅sin∠DBC =√7×12=√72．故选：C ．由余弦定理可得BD ，过D 作DM ⊥CB 于M ，DM =DB ⋅sin∠DBC ，即可． 本题考查了余弦定理及解直角三角形，属于基础题．12.答案：B解析：解：∵左焦点为F(−c,0)，点B 的坐标为(0,b)， ∴直线PQ 为：y =bc (x +c)，与y =ba x.联立得：P(acc−a ,bcc−a ). 与y =−ba x.联立得：Q(−acc+a ,bcc+a ).∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则0−acc−a=5(−acc+a )⇒2c =3a ⇒e =32．故选：B ．求出P ，Q 的坐标，利用PB⃗⃗⃗⃗⃗ =5BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出双曲线C 的离心率． 本题考查双曲线C 的离心率，考查学生的计算能力，确定P ，Q 的坐标是关键．13.答案：(1,1)解析：本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及两直线垂直时斜率之间的关系，属于基础题． 利用导数的几何意义求解即可． 解：设P (x 0,1x 0)(x 0>0)因为y =e x ,y′=e x ,k =1，所以y =e x 在点(0,1)处的切线为y −1=1×(x −0),即y =x +1 又y =1x ,y′=−1x 2 由题意得−1x 02=−1,x 0=1所以P (1,1) 故答案为(1,1)．14.答案：−12;−1解析：本题考查两角和与差的三角函数运算、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属中档题． 由sinθ+cosθ=−√22可求得sin (θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)的值；由已知条件易得sin2θ，结合角的范围和同角三角函数基本关系可得cos2θ，由两角差的正弦公式可得．解：∵1sinθ+1cosθ=2√2，∴sinθ+cosθsinθcosθ=2√2，∴sinθ+cosθ=2√2sinθcosθ，平方可得8(sinθcosθ)2−2sinθcosθ−1=0 解得sinθcosθ=−14，或12， ∵θ∈(π2,π)，∴sinθcosθ<0， ∴sin2θ=2sinθcosθ=−12，∴sinθ+cosθ=−√22， ∴(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=32∴sinθ−cosθ=√62， ∴(sinθ−cosθ)(sinθ+cosθ)=−√32=sin 2θ−cos 2θ=−cos2θ ∴cos2θ=√32， 所以sin (θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)=−12∴sin(2θ−π3)=12sin2θ−√32cos2θ=−14−34=−1；故答案为−12;−115.答案：4003π解析：求出三角形ABC 的外心，利用球心到△ABC 所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，是中档题，找出球的半径满足的条件是解题的关键．解：由题意AB =6，BC =8，AC =10，∵62+82=102，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是AC 的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为R ，球心到△ABC 所在平面的距离为球半径的一半， 所以R 2=(12R)2+52， 解得R 2=1003，∴球的表面积为4πR2=4003π.故答案为4003π.16.答案：3解析：本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．解：x，y满足约束条件{x⩾0x+2y⩾42x+y⩽5,z=2x−y得到y=2x−z，所以当直线经过图中A(2,1)时，直线在y轴上的截距最小，所以z的最大值为2×2−1=3；故答案为3．17.答案：(1)解：当n=1时，4a1=4S1=a12+2a1，解得a1=2，(0舍去)，∵4S n=a n2+2a n，当n>1时，4S n−1=a n−12+2a n−1，∴两式相减可得4a n=a n2−a n−12+2a n−2a n−1，(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，∵数列{a n}各项均正，∴a n−a n−1=2，∴{a n}是以2为公差，2为首项的等差数列，∴a n=2+2(n−1)=2n；(2)证明：由于1a n3=1(2n)3=18⋅1n 3<18⋅1n 2<18⋅1n 2−1=116(1n−1−1n+1)(n >1)．则T n =18+18⋅23+18⋅133+⋯+18⋅1n 3 <18+116(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1)=18+116(1+12−1n−1n+1)<18+116×(1+12)=732， 即有T n <732．解析：(1)令n =1，a 1=S 1=，即可得到首项，再由当n >1时，a n =S n −S n−1，化简整理，即可得到a n −a n−1=2，再由等差数列通项公式，即可得到通项；(2)运用放缩法，即有1a n3=1(2n)3=18⋅1n 3<18⋅1n 2<18⋅1n 2−1=116(1n−1−1n+1)(n >1).再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列的通项和前n 项和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消法，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵x −=4+5+7+84=6，y −=2+3+5+64=4，∑x i 4i=1y i =106，∑x i 24i=1=154，∴b =∑x i 4i=1y i −4x −y−∑x i 24i=1−4(x −)2=1，a =y −−bx −=−2，故线性回归方程为：y =x −2； (2)在y =x −2中，取x =9，得y =7．故由线性回归方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7．解析：(1)由已知表格中的数据求得b 与a 的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中的回归方程中，取x =9求得y 值得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.答案：(Ⅰ)证明：连接AC ，取AB 的中点E ，连接SE 、EC ，∵SA =SB =√2，∴SE ⊥AB ，AB =2，∴SE =1， 又四棱锥S −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB =2， ∴CE =√3，又SC =2，∴SC 2=CE 2+SE 2， ∴SE ⊥EC ，又∵SE ⊥AB ，且AB ∩EC =E ，AB ，EC ⊂面ABCD ， ∴SE ⊥面ABCD ， ∵SE ⊂平面SAB ， ∴平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)解：V P−SAC =V S−PAC =V S−DAC −V P−DAC =12V S−DAC =12×13×√34×22×1=√36．解析：(Ⅰ)连接AC ，取AB 的中点E ，连接SE 、EC ，证明SE ⊥面ABCD ，即可证明平面SAB ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)利用转换底面的方法，即可求三棱锥P −SAC 的体积．本题在四棱锥中证明面面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了平面与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．20.答案：解：(1)∵点P(1,32)与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，∴c =1，将P 点坐标代入椭圆方程可得1a 2+94b 2=1， 又a 2−b 2=1，联立可解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设切点坐标为(y 024,y 0)(y 0>0)，则l ：y −y 0=2y 0(x −y 024)．整理，得l ：y =2y 0x +y 02．∴M(−y 024,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =2y 0x +y2x 24+y 23=1，可得(3+16y 02)x 2+8x +y 02−12=0， △=64−4(3+16y 02)(y 02−12)=−12y 04+144y 02+768y 02>0．x 1+x 2=−8y 023y 02+16,x 1x 2=y 04−12y 023y 02+16． ∴AB 的中点坐标为(−4y 023y 02+16,32y 033y 02+16)，∴AB 的垂直平分线方程为y −32y 033y 02+16=−y 02(x +4y 023y 02+16)，令x =0，得y =−12y 033y 02+16，即N(0,−12y 033y 02+16)，∴k MN =−2y3y 02+16．∵y 0>0，∴k MN =−2y 03y 02+16=−23y0+16y≥−√312，当且仅当y 0=4√33时取得等号． ∴直线MN 的斜率的最小值为−√312．解析：(1)由题意求得c ，把P 的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；(2)设切点坐标为(y 024,y 0)(y 0>0)，写出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出AB 的中点坐标，得到AB 的垂直平分线方程，求出N 的坐标，进一步得到MN 的斜率，然后利用基本不等式求直线MN 斜率的最小值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，体现了整体运算思想方法，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=a −sinx ，令f′(π6)=a −sin π6=0得a =12． 经检验，符合题意． 所以a =12(2)由f(x)=12x +cosx 知f′(x)=12−sinx ，令f′(x)=0得x =π6或x =5π6，f(0)=0+cos0=1，f(5π6)=12×5π6+cos5π6=5π12−√32<1，所以f(x)的最小值为5π12−√32．解析：本题考查利用导数研究函数的极值和闭区间上的最值问题，属于中档题．(1)本小题考查利用导数研究函数的极值，f′(x)=a −sinx ，令f′(π6)=a −sin π6=0，即可求出a 的值，注意检验．(2)本小题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，求导之后判断函数的单调性，求出闭区间上的极值，再和区间端点的函数值比较即可．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：见解析解析：a+1(a−b)b =(a−b)+b+1(a−b)b，∵a>b>0，∴a−b>0，b>0，1(a−b)b>0，∴(a−b)+b+1(a−b)b ≥3√(a−b)⋅b⋅1(a−b)b3=3，∴a+1(a−b)b≥3，当且仅当a−b=b=1(a−b)b，即a=2，b=1时等号成立．。
2020年5月25日湖北省武汉市普通高中2020届高三毕业班高考模拟质量检测数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前湖北省武汉市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟质量检测数学(文)试题(解析版)2020年5月25日本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足，12z i i i +=++，则复数z =（ ）. A. 2i +B. 12i +C. 3i +D. 32i -【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到(1)(2)z i i i =++-，再化简即可得到答案.【详解】2(1)(2)2312z i i i i i i i =++-=++-=+.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属于简单题.2.已知集合103x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =（ ）. A . {}21x x -<< B. {}32x x -<< C. {}21x x -<≤ D. {}21x x -≤≤ 【答案】C【解析】【分析】 首先分别解不等式103x x -≤+和2x <，再求交集即可. 【详解】因为(1)(3)01031303x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩， 所以{}31A x x =-<≤. 因为222x x <⇒-<<，所以{}22B x x =-<<.{}21A B x x ⋂=-<≤. 故选：C【点睛】本题主要考查集合交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题.3.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为（ ）.A. 3B. 5C. 10D. 15【答案】B。
2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A. A∩B={x|x＞0}B. A∩B={x|x＞1}C. A∪B={x|x＞1}D. A∪B=R2.已知F1（-3，0），F2（3，0），若点P（x，y）满足|PF1|-|PF2|=6，则P点的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 一条射线3.已知复数z1＝1+2i，z2＝1-i，则（）A. B. C. D.4.已知a=0.24，b=0.32，c=0.43，则（）A. b＜a＜cB. a＜c＜bC. c＜a＜bD. a＜b＜c5.用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（）A. 15B. 16C. 17D. 186.在同一直角坐标系中，函数f（x）=xα（x≥0），g（x）=-logαx的图象可能是（）A. B. C. D.7.数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，则a6=（）A. 32B. 62C. 63D. 648.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A. 4B.C. 2D. 49.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，其与抛物线E：y2=交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为正三角形，则C的离心率为（）A. B. C. D.11.已知点A（2，1），动点B（x，y）的坐标满足不等式组，设z为向量在向量方向上的投影，则z的取值范围为（）A. [，]B. [，]C. [2，18]D. [4，l8]12.设函数f（x）=，则满足2f（f（a）=f（a）的a的取值范围是（）A. （-∞，0]B. [0，2]C. [2，+∞）D. （-∞，0]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则a3与a7等差中项的值为______14.已知向量=（l，2），=（2，1），=（1，n），若（2-3）⊥，则n=______15.函数f（x）=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为______16.已知四面体中，，则四面体的体积为__________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．（1）求BC的长：（2）求△ABC的面积．18.如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC=6；如图2，将图l中△DAC沿AC起，点D在丽ABC上的正投影G在△ABC内部，点E为AB的中点，连接DB，DE，三棱锥D-ABC的体积为l2．（1）求证：DE⊥AC；（2）求点B到平面ACD的距离．19.如图，O为坐标原点，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|=2（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，l）作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．20.菜市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图l所示的频率分布南方匿，接着调查了该市2018年1月-2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1-13分别对应2018年1月至2019年1月）．（1）试估计该市市民的平均购房面积．（2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于[110，130]的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）根据散点图选择=和=两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x，并得到一些统计量的值，如表所示：=0.9369+0.0285=0.9554+0.03061ln x （y i）20.0005910.000164（y i）20.006050份的二手房购房均价（精确到0.001）．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36．参考公式：相关指数R2=1-．21.已知函数f（x）=e x--1（1）若直线y=x+a为f（x）的切线，求a的值．（2）若∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，求b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ+6cosθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）已知P（1，3），C1与C2的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．23.设函数f（x）=|2x+a|+|x-1|-3．（1）当a=4时，求不等式，f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|x＞0}，A={x|x＞1}；∴A∩B={x|x＞1}，A∪B={x|x＞0}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算．2.答案：D解析：解：F1（-3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|-|PF2|=6，因为|F1F2|=6，则点P的轨迹是一条射线．故选：D．利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．3.答案：B解析：【分析】把z1=1+2i，z2=1-i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．【解答】解：∵z1=1+2i，z2=1-i，∴=．故选：B．4.答案：B解析：解：∵a=0.24=0.042=0.0016，b=0.32=0.09，c=0.43=0.064，∴b＞c＞a，故选：B．利用幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论．本题主要考查幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论，属于基础题．5.答案：B解析：解：若个位数是0，则有C=4种，若个位数不是0，则有A=12种，则共有4+12=16种，故选：B．讨论个位数是0，不是0时，对应的个数即可．本题主要考查简单计数的应用，利用讨论个位数是否为0是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越平缓，g（x）=-log a x 的图象为增函数，当1＜a时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越快，g（x）=-log a x的图象为减函数，综上：只有D符合故选：D．结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a （x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．7.答案：C解析：解：数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，a2=2a1+l=3，a3=2a2+l=7，a4=2a3+l=15，a5=2a4+l=31，a6=2a5+l=63，故选：C．利用数列的递推关系式逐步求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查．8.答案：B解析：解：设长方体的三条棱的长分别为：x，y，z，则，可得对角线的长为===．故选：B．首先转化为数学表达式，设出长方体的三条棱的长分别为x，y，z，根据题意列出关系式，通过配方法即可求出对角线的长．本题主要考查了长方体的特征，考查了配方法的应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，则恰好抽到2幅不同种类的概率为p==．故选：B．现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，由此能求出恰好抽到2幅不同种类的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解析：解：由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），可得|AB|=|OA|=2n，即有=n，又n2=m，解得m=，n=1，则-=1，且c=2，即a2+b2=4，可得a=b=，则e==．故选：C．由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），由正三角形的性质和点满足抛物线方程，求得A的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，运用离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，以及抛物线和双曲线的对称性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则=（x，y），=（2，1），则在向量方向上的投影为z=||cosθ==，设u=2x+y，得y=-2x+u，平移直线y=-2x+u，由图象知当直线y=-2x+u经过点B（0，2）时直线的截距最小，此时u=2，当直线y=-2x+u经过D时，直线y=-2x+u的截距最大，由，得，即D（6，6），此时u=12+6=18．即2≤u≤18，则≤z≤，即≤z≤，即z的取值范围是[，]，作出不等式组对应的平面区域，根据数量积的定义，结合目标函数函数的几何意义利用平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用向量投影的定义进行转化，利用目标函数的几何意义利用平移法是解决本题的关键．12.答案：D解析：解：作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，当t＞1时，2•=t成立，即有a＞2或a＜0；当≤t≤1时，21-t=t，即有t=1，可得a=0或a=2．综上可得a的范围是a≥2或a≤0．故选：D．作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，讨论t的范围，结合图象可得a的范围．本题考查分段函数的运用：求函数值，考查分类讨论思想方法和方程思想，以及化简运算能力，属于中档题．13.答案：11解析：解：根据题意，等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则有a1+a9=a3+a7=1+21=22，则a3与a7等差中项为（a3+a7）=11；故答案为：11．根据题意，由等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=1+21=22，进而由等差中项的定义分析可得答案．本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属于基础题．14.答案：4解析：解：；∵；∴；∴n=4．故答案为：4．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出n．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积、减法和数乘的坐标运算．15.答案：（1，2）解析：解：由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3-3（a+x）2+5（a+x）-1+（a-x）3-3（a-x）2+5（a-x）-1=2a3+6ax2-6a2-6x2+10a-2=2a3-6a2+10a-2+（6a-6）x2，对任意x均成立，∴6a-6=0，且2a3-6a2+10a-2=2b，即a=1，b=2，即对称中心（1，2）．故答案为：（1，2）．根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．本题主要考查三次函数对称性的求解，利用对称中心的性质，建立方程是解决本题的关键．16.答案：解析：解：取BD中点O，AC中点E，连接AO，CO，OE，∵四面体ABCD中，AB=AD=BC=DC=BD=5，AC=8，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO=CO==，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，又因为OE⊥AC，所以OE===，∴四面体ABCD的体积：V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC==2×=．故答案为：．取BD中点O，AC中点E，得出BD⊥平面AOC，由四面体ABCD的体积V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC，即可求出结果．本题考查四面体体积的求法，考查四面体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）∵在△ABC中，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．∴由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2AC•CD•cos∠ACD，可得：9=CD2+49-2×CD×7×，由于CD＜7，∴解得CD=5，∵cos∠CDA==-，∴∠CDB=，又∵∠DCB=，∴BC=5．…6分（2）在△CDB中，∠DCB=，∠CDB=，∴C点到AB的距离h=，BD=10，∴△ABC面积S==．…12分解析：（1）在△ABC中，由余弦定理结合CD＜7，解得CD的值，利用余弦定理可求cos∠CDA=-，可求∠CDB=，结合∠DCB=，可求BC的值．（2）在△CDB中，由（1）可求C点到AB的距离h=，BD=10，根据三角形的面积公式即可计算得解△ABC面积．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：证明：（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=6，在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，则△DAC、△EAC均为等腰直角三角形，AC⊥DF，AC⊥EF，又DF∩EF=F，故AC⊥面DEF，又DE⊂面DEF，∴DE⊥AC．解：（2）∵DG⊥面ABC，GA⊂面ABC，GC⊂面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，∵DA=DC，∴GA=GC，∴G在AC的中垂线上，∴EG垂直平分AC，∵F为AC中点，∴E，F，G三点共线，由AB=2AD=2DC=6，得△ABC是等腰直角三角形，，设B到平面ADC的距离为h，则由V D-ABC=V B-ADC，得，∴点B到平面ACD的距离h===4．解析：（1）在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，推导出AC⊥DF，AC⊥EF，从而AC⊥面DEF，由此能证明DE⊥AC．（2）推导出DG⊥GA，DG⊥GC，EG垂直平分AC，E，F，G三点共线，设B到平面ADC的距离为h，由V D-ABC=V B-ADC，能求出点B到平面ACD的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（1）由题意可知：，又a2=b2+c2，有，故椭圆C的方程为：．（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠0，x2≠0），得（4k2+3）x2+8kx-8=0，，且有x1+x2=kx1x2，，==，故==．故点T的纵坐标为3．解析：（1）建立方程求出a．b，c的值即可；（2）通过联立方程组，建立AM、BN的方程，再次联立AM、BN的方程求出交点T的纵坐标．本题主要考查椭圆的性质与方程，直线与圆的位置关系，属于中档题目．20.答案：解：（1）=65×0.05+75×0.1+85×0.2+95×0.25+115×0.15+125×0.05=96．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽亲可知：，解得x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，基本事件总数n=6，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B），其中恰有一人在[120，130]的情况共有3种，∴这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率P=．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，∴模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．2019年6月份对应的x=18．∴=0.9554+0.0306ln18=0.9554+0.0306（ln2+2ln3）≈1.044万元/平方米．解析：（1）利用频率分布直方图能估计该市市民的平均购房面积．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽样能求出x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，从而模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．由此能求出结果．本题考查平均数、概率的求法，考查直线回归方程的应用，考查频率分布直方图、列举法、回归直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，∴f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得x0=0，a=0．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．∴h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h（0）=1-b．①令1-b≥0，即b≤1，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0在x∈[0，+∞）上恒成立，满足题意．②令1-b＜0，即b＞1时，g′（x）min=h′（0）=1-b＜0．又g′（x）在在x∈[0，+∞）上单调递增．∴存在唯一x0∈（0，+∞），使得g′（x0）=-x0-b=0．且g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（x0）=--1-bx0=--1-x0（-x0）=+-1-x0．令u（x）=e x+-1-xe x，x＞0．h′（x）=x（1-e x）＜0，∴h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0．∵x0＞0，∴h（x0）＜0，即g（x0）＜0，不符合题意．综上可得：b≤1．解析：（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，可得f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得a．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1，可得h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h （0）=1-b．对b分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由ρ=8sinθ+6cosθ，得ρ2=8ρsinθ+6ρcosθ，∴x2+y2-6x-8y=0，即（x-3）2+（y-4）2=25；（2）把代入（x-3）2+（y-4）2=25，得．∴t1t2=-20．则|PA|•|PB|=|t1t2|=20．解析：（1）把已知方程两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中参数t几何意义的应用，是中档题．23.答案：解：（1）当a=4时，f（x）≤6即为|2x+4|+|x-1|≤9，当x≥1时，2x+4+x-1≤9，解得1≤x≤2；当x≤-2时，-2x-4+1-x≤9，解得-4≤x≤-2；当-2＜x＜1时，2x+4+1-x≤9，解得-2＜x＜1，综上可得-4≤x≤2，即有f（x）≤6的解集为[-4，2]；（2）由f（x）=|2x+a|+|x-1|-3，=|x+|+|x+|+|x-1|-3≥0+|（x+）-（x-1）|-3=|1+|-3，（当且仅当x=-时取得等号），关于x的不等式f（x）≥2恒成立，可得2≤|1+|-3，即为|1+|≥5，解得a≥8或a≤-12，可得a的范围是（-∞，-12]∪[8，+∞）．解析：（1）由绝对值不等式解法，讨论x≥1，x≤-2，-2＜x＜1，去掉绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值，再由恒成立思想，解不等式可得a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
2020年湖北省高考数学(文科)模拟试卷(7) 含详细答案解析
3??- ??- 6 ≤ 0 x， y 满足约束条件 { ??- ??+ 2 ≥ 0 ，若目标函数
??≥ 0，??≥ 0
z＝ ax+by（ a＞ 1， b
2
3
＞ 1）的最大值为 12，则
+
的最小值为
．
??-1 ??-1
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）已知函数 f（ x）＝ x2+bx+c（ b， c∈R），且 f （ x）＜ 0 的解集为 { x|﹣ 3＜ x＜ 1} ； 数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，对任意 n∈N * ，满足 Sn＝ f（ n） +3﹣ n．
2 ＞(
11 10
)
4
????对
n∈N* 恒成立，求实
数 x 的取值范围．
18．（ 12 分）在改革开放 40 年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码 x
1
2
3
4
5
6
第 3页（共 20页）
年产量（万吨）
6.6
6.7
7
7.1
7.2
（ 1）求 a1 的值及数列 { an} 的通项公式；
（ 2）已知数列 { bn} 的前
n 项和为
Tn，满足 ????=
2????-
1，n∈N* ，求数列 2
{ an?bn} 的前
n项
和 An；
（ 3）已知数列
{c n} 满足 ????=
(
10 11
)
2020年湖北武汉高三三模数学试卷(文科)
18. 如图，在棱长为 的长方体 点．
中， ， ， 分别为棱
，
， 的中
（ 1 ） 求证： （ 2 ） 求四面体
． 的体积．
19. 一个小商店从一家食品有限公司购进 袋白糖，每袋白糖的标准重量是 ，为了了解这些白糖的
实际重量，称量出各袋白糖的实际重量(单位： )如下： ， ， ， ， ， ， ，
，，．
∴虚部
．
故选 ．
2. C
5
解析:
∵
，
，
∴
，
故选 ．
3. A
解析:
同时抛两枚骰子共有
种结果，
符合条件的有 ， ， ， 共 种可能，
∴
，故选 ．
4. C
解析:
当 ， 时，
，
∴
，
．
当 ， 时，
，
∴
，
．
当，
时，
，
∴
，
．
当，
时，
，
∴
，
．
当 时，
，
∴
，
．
当 时，
，
6
故输出
．
∴选 ．
5. B 解析: ∵ ∴
∴
∴ ∴ 故选 ．
， ， ， ， ， ， ．
6. C
解析:
圆
与圆
的方程相减得：
，
由圆
的圆心 ，半径 为 ，
且圆心 到直线
的距离
，
则公共弦长为
．
故答案为： ．
7. B 解析: ，
解得：
，
又∵
①
②
由①可得：
③
联立②③可得
，
又
，
2020年湖北省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)
2020年湖北省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. B.C. D.2.已知，其中i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，，，则A. B. C. D.4.已知平面向量均为单位向量，若向量的夹角为，则A. 37B. 25C.D. 55.若不等式对恒成立，则实数m的最大值为A. 7B. 8C. 9D. 106.某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分100分，从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是A. 第三组的频数为18人B. 根据频率分布直方图估计众数为75分C. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分D. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分7.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为A. B.C. D.8.函数的单调增区间为A. B.C. D.9.已知F是抛物线的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且，则直线l的斜率为A. B. C. D.10.已知函数，若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.平面四边形ABCD中，，，，，，则四边形ABCD的面积为A. B. C. D.12.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以为直径的圆过点B，且A为的中点，则C的离心率为A. B. 2 C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是______．14.已知为锐角，且，则______．15.已知A，B，C是球O球面上的三点，，，且四面体OABC的体积为则球O的表面积为______．16.自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数的图象经过点和，求；设数列的前n项和为，，求的前n项和．18.2020年春节期间，新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻全国人民众志成城．共克时艰，为疫区助力．我国S省Q市共100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力，募捐价值百万的物资对口输送湖北省H市．现对100家商家抽取5家，其中2家来自A地，3家来自B地，从选中的这5家中，选出3家进行调研．求选出3家中1家来自A地，2家来自B地的概率．该市一商家考虑增加先进生产技术投入，该商家欲预测先进生产技术投入为49千元的月产增量．现用以往的先进技术投入千元与月产增量千件，2，3，，的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，且：，，，，，其中，，，根据所给的统计量，求y关于x回归方程，并预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为19.如图，在四棱锥中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，，点M 是SA的中点，，，．求证：平面平面SCD；若，求三棱锥的体积．20.已知椭圆：过点，其左、右顶点分别为A，B，左、右焦点为，，其中．求栖圆C的方程：设为椭圆C上异于A，B两点的任意一点，于点N，直线l：，设过点A与x轴垂直的直线与直线l交于点P，证明：直线BP经过线段MN的中点．21.已知函数．求函数的奇偶性．并证明当时函数只有一个极值点；当时，求的最小值；22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线、曲线在第一象限交于P、Q，且，点M的直角坐标为，求的面积．23.已知实数a、b满足．求的取值范围；若，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，．故选：A．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由，得，，，则复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件求解a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.答案：D解析：解：，，，，，，，故选：D．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.答案：C解析：解：因为平面向量均为单位向量，且向量的夹角为，则；故．故选：C．先根据已知条件求得模长的平方，进而求得结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的模长，考查计算能力．5.答案：C解析：解：根据题意，，则，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为9，若不等式对恒成立，即式恒成立，必有恒成立，故实数m的最大值为9；故选：C．根据题意，由基本不等式的性质分析可得的最小值为9，据此分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题．6.答案：C解析：解：对于A，因为各组的频率之和等于1，所以分数在内的频率为：，所以第三组的频数为人，故正确；对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故正确；对于C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：分，故错误；对于D，因为，，所以中位数位于上，所以中位数的估计值为：，故正确；故选：C．对于A频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在内的频率；对于B根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即可得解；对于C，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分，对于D，由中位数将所有的小长方形的面积均分即可求解．本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．本题属于中档题．7.答案：B解析：解：根据题意，设，有，即函数为偶函数，排除A、D；设，则，在区间上，为减函数，且，，其对称轴为，开口向下，在区间上为增函数，上为减函数，在区间上，为减函数，此时，函数为减函数，故函数为增函数，排除C；故选：B．根据题意，设，分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数为增函数，排除C；即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的分析，属于基础题．8.答案：A解析：解：函数，令，；解得，；所以的单调增区间为，．故选：A．化函数为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间．本题考查了三角函数的化简和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．通过抛物线的定义与性质求出A的坐标，得到P的坐标，然后求解直线的斜率即可．【解答】解：F是抛物线的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且，可得A的坐标所以，所以直线l的斜率为：．故选：C．解析：【分析】本题考查分段函数，函数的单调性的应用，是中档题．当，即时，由二次函数的图象和性质，可知存在，且，使得成立；当，即时，若存在，且，使得成立，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：函数，存在，且，使得成立，当，即时，由二次函数的图象和性质，可知：存在，且，使得成立，当，即时，若存在，且，使得成立，则，解得，，综上所述：实数a的取值范围是．故选：C．11.答案：B解析：解：如图，，，，，，在中，由余弦定理，可得：，整理解得：，可得：，可得：，由于在中，由余弦定理，可得：，可得：，解得：，或舍去，则四边形ABCD的面积．由已知利用余弦定理可得：，，可求，在中，由余弦定理可得，解得BD的值，根据三角形的面积公式可求四边形ABCD 的面积的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：解：如图，因为A为的中点，所以，又因为B在圆上，所以，故，则：，联立，解得，则，整理得：，，即，，．故选：B．由题意画出图形，结合已知可得，写出的方程，与联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．13.答案：解析：解：由题意得，且切线斜率为1．设切点为，则，所以，．故切点坐标为．故答案为：先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．本题考查了利用导数的几何意义的应用，本题利用切点处的导数等于切线斜率构造方程求解，注意掌握．14.答案：解析：解：，，可得：，为锐角，，解得：，或舍去．故答案为：．利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合为锐角，解方程可求的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．15.答案：解析：解：三棱锥，A、B、C三点均在球心O的表面上，且，，，外接圆的半径为：，的外接圆的圆心为G，则，，三棱锥的体积为24，，即，，球的半径为：．球的表面积：．故答案为：．求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．16.答案：9600解析：解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且，，目标函数，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线经过点时，截距z最小，在可行域的整数点中，点使z取得最小值，即，每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元．设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意，，把运输队所花成本z看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．本题主要考查了简单的线性规划问题，根据题意列出不等式组是解题关键，本题属于中档题．17.答案：解：由题意得，解得，，所以，；由易知数列为以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以前n项和．解析：由代入法解方程可得a，b，进而得到所求通项公式；由等差数列的求和公式，化简，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：设A地2家分为，，B地3家分为，，，由题意得，所有情况为：，，，，，，，，，，共10种，其中A地1家，B地2家的有6个，故所求的概率为；由线性回归方程公式，，且，所以线性回归方程为：，当时，年销售量y的预报值千件，故预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量为千件．解析：设A地2家分为，，B地3家分为，，，由题意得，所有情况为10种，满足条件的有6种，求出即可；由线性回归方程公式，求出a，b，再求出线性回归方程，取代入求出即可．本题考查了古典概型求概率，求线性回归方程，考查了运算能力，中档题．19.答案：证明：取BC中点E，连接DE，则，由题意可得：四边形ABED为正方形，且，，则，又平面平面ABCD ，平面平面，平面SCD，平面MBD，平面平面SCD．解：过点S作，交CD的延长线于点H，连接AH．则为SD与底面ABCD所成的角，即．由可得：，在中，，，点M到平面ABCD的距离三棱锥的体积．解析：取BC中点E，连接DE，则，由题意可得：四边形ABED为正方形，可得，于是，根据面面垂直的性质定理可得：平面SCD，进而得出平面平面SCD．过点S作，交CD的延长线于点H，连接为SD与底面ABCD所成的角，即点M到平面ABCD的距离可得三棱锥的体积．本题考查了空间位置关系、三棱锥的体积、空间角、转化方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由题意知，，则，，，故椭圆的方程为，由知，，过点A且与x轴垂直的直线的方程为，结合方程，得点，直线PB的斜率为，直线PB的方程为，因为于点N，所以，线段MN的中点坐标，令，得，因为，所以，即直线BP经过线段MN的中点．解析：根据椭圆上一点到两焦点的距离之和为2a，可求出a，已知焦点坐标，可知c，可求方程．根据题意求出ABP的坐标，求PB直线方程，求出点N坐标，求出其中点，可带入判断在直线PB上．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算能力，属于难题．21.答案：解：因为，故函数时偶函数．，，故只需讨论时情况，，由三角函数的性质知，，，，时，是增函数，又是偶函数，所以时，单调递减．故时，函数只有一个极小值点．由知，只需求时的最小值．，设，，因为，由零点存在性定理，存在唯一的，使得．当，，递减；．又因为，所以时，恒成立，在上递减；当时，，为增函数．所以．解析：由奇偶性定义容易判断函数的奇偶性；要说明函数只有一个极值点，即导函数只有一个零点，结合导函数的单调性即可解决；讨论函数的单调性，求出函数的极小值、端点处函数值比较即可求出最小值．本题考查了利用导数研究函数的极值以及最值问题．要注意二次求导的目的是研究一阶导数的单调性，最终研究的一阶导数的符号，从而确定原函数的单调性．同时考查了学生的逻辑推理、数学运算以及抽象概括等数学核心素养．属于压轴题．22.答案：解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．直线l：转换为极坐标方程为，代入，解得．代入，得到，由于，所以，故：，解得，，所以，．则．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：因为，所以．当时，，解得，即；当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；由知，因为当且仅当时取等号，所以．解析：由已知得．当时，，解得，即；当时，，解得，即，得，即，即；由知，可得即．本题考查了不等式的性质，不等式的证明，属于中档题．。
湖北省2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
5
参考答案
一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7. B 8.B 9. D 10.C 11.B 12.A
二、填空题
13.
x
R， x2
1 x
0 14.
4
1
15.
15 3
16.
23
2
4
3
三、解答题
a2＋ c2－ b2 17. 解： (1) 由已知及余弦定理得 2c× 2ac ＝ 2a＋ b,
PM
一点，且满足
2 ，求三棱锥 M PBD 的体积
MC
20. （本试题满分 12 分）
已知椭圆 C ： x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1， F2 ，点 P 是椭圆 C 上的一点，若
PF1 PF2 ， F1F2 2 ， F1PF2 的面积为 1. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过 F2 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点， 设 O 为坐标原点， 若 OE OA OB ，求四边形 AOBE
A. 2 2
11. 函数 f x
B. 3 2
1 的定义域为 M, g x
1 2x
C. 2
D. 3
x 1 的定义域为 N，则 M N＝
A． 1,
1 B ． 1,
1 C ． 1,
D．
,1
2
2
2
12．已知
，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13. 命题：“
x0
1
2π 1
33
S＝ BC· AC·sin
＝ × 2 × 2× ＝ .
2020年湖北省高考数学(文科)模拟试卷(10)
D． c＜ b＜ a
【解答】
解： c=
3
24 ＜2， a=
???31?8?＞? ???3?9?=? 2，??=
???42?4?＞? ???41?6?＞? 2，
又 a= ???31?8??= 1 + ???3?6，????= ???42?4??= 1 + ???4?6，??
∵ ???4?6??=
1，
????64??
19．（ 12 分）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PD⊥底面 ABCD ，点 E 是 PC 的中点． （ 1）求证： PA∥平面 EDB ；
（ 2）若 PD ＝ AD＝ 2，求三棱锥 P﹣ EDB 的体积 VP﹣EDB．
20．（ 12 分）已知抛物线 C： x2＝ 2py（p＞ 0）上一点 P（ 2， m）， F 为焦点，△ PFO 面积为
P=
52-(- 12) 4-(-2)
=
12 ，
故选： D ．
x，使不等式 |??- 1| ≤ 3成立的概率是： 2
第 6页（共 17页）
3
5．（ 5 分）设 a＝ log318，b＝ log424， c= 24 ，则 a、 b、 c 的大小关系是（
）
A ．a＜ b＜ c
B ．a＜ c＜ b
C． b＜ c＜ a
=
-
3，
故选： A．
4．（ 5 分）在区间 [ ﹣ 2，4]上：任取一个实数
x，则使得
|??-
1|
≤
3 成立的概率为（ 2
）
3 A．
7
4 B．
5
2 C．
3
1 D．
2
【解答】 解：在闭区间 [0， 4]上等可能的任取一个实数 x，
湖北省武汉市部分市级示范高中2020届高三12月联考数学(文科)试题Word版含解析
湖北省武汉市部分市级示范高中2020届高三12月联考数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为（）A. -1B. 1C.D.2.函数是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C. D.3.若变量满足约束条件，那么的最小值是（）A. -2B. -3C. 1D. -44.已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则（）A. B. C. D.5.直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. 2B.C.D.6.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向右平移个长度单位B. 向左平移个长度单位C. 向右平移个长度单位D. 向左平移个长度单位7.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.8.函数的导函数的图像大致是（）A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B.C. D.10.是双曲线的右焦点，过点向曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.11.等差数列的前项和，若，，则下列结论正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，12.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若角为锐角，，，且，则角的值为__________．14.已知圆过的直线,过直线上的点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率=___________15.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．16.在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，由点集所表示的区域的面积是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.18.已知等差数列的公差为2，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，分别为线段的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积.20.在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，的面积为，求的值；（2）若，求的取值范围．21.已知椭圆的左、右焦点分别为，设点与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上的三点，满足，记线段的中点的轨迹为，若直线与轨迹相交于两点，求的值.22.已知函数.（1）若函数在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.湖北省武汉市部分市级示范高中2020届高三12月联考数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为（）A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】因为 ,所以 ,的虚部为1,选B2.函数是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质求出的值.【详解】由题得，故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).3.若变量满足约束条件，那么的最小值是（）A. -2B. -3C. 1D. -4【答案】B【解析】实数满足的线性区域如图所示：可化为，由图可知当直线经过点时，截距取最小值，即.故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.已知正项等比数列的前项和为，且,与的等差中项为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，故，又，∴，∴，，，故选D．5.直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】y′=（lnx）′=, ，令得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程, ∴ln2=1+b∴b=ln2-1．故选C．点睛：对于直线是曲线的切线问题，都是先求导数，令直线斜率与导数值相等得出切点坐标，再代入直线方程即可得出参数值.6.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向右平移个长度单位B. 向左平移个长度单位C. 向右平移个长度单位D. 向左平移个长度单位【答案】D【解析】，平移k个单位（k>0,向左；k<0,向右）得。
2020年湖北高三一模数学试卷(文科)
2020年湖北高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数满足，则（ ）．A. B. C. D.3.若抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ）．A. B. C. D.4.已知函数，那么的值为（ ）．，A.B.C.D.5.已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ）．A.B.C.D.6.已知，则下列不等式不成立的是（ ）．A.B.C.D.7.直线与圆相交于、两点，则“”是 “”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.对任意，函数的导数都存在，若恒成立，且，则下列结论正确的是（ ）．A.B.C.D.9.已知函数：①，②，，，从中任取两个函数，则这两个函数奇偶性相同的概率为（ ）．A.B.C.D.10.函数且的图象可能为（ ）．A.B.C.D.11.设为双曲线的右焦点，过的右顶点作轴的垂线与的渐近线相交于、两点，为坐标原点，四边形为菱形，圆与在第一象限的交点是，且，则双曲线的方程是（ ）．A.B.C.D.12.己知从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为，第二行为，，第三行为，，，第四行为，，，，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则 （ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列为等差数列，其前项和为，，则 ．14.已知长方体各个顶点都在球面上，，，过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 ．15.已知，，则．16.设函数的两个零点分别为，，且在区间上恰好有两个正整数，则实数的取值范围 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.函数部分图象如图所示．求的最小正周期及解析式；设，求函数在区间上的最大值和最小值．（1）（2）18.如图，三棱锥中，是正三角形，．证明：．若，，求点到平面的距离．19.某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为元，每个蛋糕的售价为元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图．天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）12（2）（3）频数日需求量若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕个，设当天的需求量为（），则当天的利润（单位：元）是多少？若蛋糕店一天制作个生日蛋糕．求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式．求当天的利润不低于元的概率．若蛋糕店计划一天制作个或个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作个还是个生日蛋糕？（1）（2）20.已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，离心率，短轴长为．求椭圆的方程．如图，点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．（1）（2）21.已知函数．若函数在上单调递增，求实数的取值范围．若函数在处的切线平行于轴，，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】解析:∵，，∴．解析:因为，所以．故选．解析:∵准线方程为，∴，，∴抛物线方程为．故选．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于，两点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线，的极坐标方程．直线绕点旋转后，与曲线，分别交于，两点，求．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．若不等式恒成立，求的取值范围．A1.A2.D3.∵，∴．解析:由，，且与夹角为，得．故选．解析:取，，，对于选项，，选项成立；对于选项，，选项不成立；对于选项，，，，选项成立；对于选项，，，，选项成立．解析:若，则直线，圆心到直线的距离，可得，但是，若，由对称性可知直线或均满足要求，因此“”是“” 充分不必要条件．，D 5.，B 6.A 7.令，则，所以为上单调递增函数，因为，所以，即．解析:①是非奇非偶函数，②是偶函数，奇函数，是偶函数，从中任取两个函数，基本事件总数，这两函数奇偶性相同包含的基本事件个数，所以这两函数奇偶性相同的概率为．解析:对于函数且，它的定义域关于原点对称，且，故函数，所以的奇函数，故它的图象关于原点对称，排除、，又当时，，排除．故选．解析:双曲线的渐近线方程为，由过的右顶点作轴的垂线与的渐近线相交于，两点，且四边形为菱形，则对角线互相平分，∴，，D 9.D 10.D 11.∴结合选项可知，只有满足，由，解得，，∵，∴，解得，则，故双曲线方程为，故选．解析:由图表可知：数表为从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第组个奇数，第组个奇数，，第组个奇数，则前组共个奇数．设在第组中，又是从开始的连续奇数的第个奇数，则有，解得，即在第组中，则前组共个数．又第组中的奇数从右到左，从小到大，则为第组从右到左的第个数，即为第组从左到右的第个数，即，，故．解析:，．解析:∵长方体各个顶点都在球面上，C 12.13.14.∴球的半径为：，取中点，则当截面与垂直时，截面面积最小，此时球心到截面的距离为：，故答案为：．15.解析:因为，两边同时平方得，即，等式左边上下同时除以，得，解方程可得，，当时，由二倍角公式得；当时，由二倍角公式得，所以．16.解析:令，可得，即，由题意可得方程有个解，，且在区间上恰有两个正整数，故函数的图象和直线有两个交点，且这个交点的横坐标分别为，，再令，则，即的图象和直线有两个交点，且这个交点的横坐标分别为，，在区间上恰有两个正整数，而这两个正整数应为和．令，则，令，则，（1）（2）（1）∴，求得．故符合条件的的范围是：．解析:由图可得，，所以． 所以．当时，，可得，因为，所以．所以的解析式为．．因为，所以．当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．解析:取中点，连，，为正三角形，∴，中，，（1），．（2）最大值为；最小值为．17.（1）证明见解析．（2）．18.（2）（1）∴，∴平面，∴．正中，，中，∴， ，，∴ ，∴中，，∴，∴，由（）证：平面，又为中点∴，，，，设到平面的距离为，，，，∴，．解析:当时，，当时，．（1）当时，，当时，．12（2），（）．当天的利润不低于元的概率为．（3）蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕，证明见解析．19.12（2）（3）（1）（2）由（）得当天的利润 关于当天需求量的函数解析式为：，（）．设“当天利润不低于”为事件，由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”，∴,所以当天的利润不低于元的概率为．若一天制作个蛋糕，则平均利润为：，若一天制作个蛋糕，则平均利润为：，∵﹐∴蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕．解析:由题意得，解得，∵，，∴，，故椭圆的标准方程为．①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，故；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，化简得，设，，，，（1）．（2）．20.（1）（2），点到直线的距离，因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，∴．综上，面积的最大值为．解析:由，得，∵函数在上单调递增，∴对于任意恒成立，即对于任意恒成立．∵，∴可变形为，即对任意恒成立．设，则，令，得，当时，，则在区间上单调递减；当时，，则在区间上单调递增，∴函数的最小值为，∴．∴实数的取值范围为．∵ 函数在处的切线平行于轴，根据函数的导数的几何意义得，即，∴．∴，则不等式可化为，即，由于当时，不等式左边，不等式右边，即无论为任何实数，不等式对于都不成立．（1）．（2）不存在整数，使不等式在时恒成立．21.（1）（2）（1）所以不存在整数，使不等式在时恒成立．解析:由，得，∴，即曲线的极坐标方程为，由曲线，得，∴，即曲线的极坐标方程为．由，得，即直线的斜率为，从而，，由已知，设，，将代入，得，同理，将代入，得，∴．解析:，∵，∴时，符合，得，时，，解得．时，不符合，舍去，（1），．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）综上，的解集为．由得恒成立，令，，，①时，，在单减，，②时，，，③时，，∴在单减，，综上，，∴．∴的取值范围．。