2020年高考文科数学模拟试卷

2020年高考文科数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题检出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共60分）
1.设复数满足，其中为虚数单位，则（）
A. B. 2 C. D.
2.设全集U＝R，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的首项为，且，则（）
A. B. C. D.
5.函数的图像大致为（）
A. B. C. D.
6.某中学高三（1）班有学生55人，现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取5名同学参加一项活动，已知座位号为5号、16号、27号、49号的同学均被选出，则被选出的5名同学中还有一名的座位号是（）
A. 36
B. 37
C. 38
D. 39
7.（）．
A. B. C. D.
8.已知菱形的边长为2，，点满足，若，则
（）
A. B. C. D.
9.执行如图的程序框图，则输出的值为（）
A. 1
B.
C.
D. 0
10.已知双曲线-y2=1的一条渐近线方程是y= x，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
11.数书九章中对己知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白与著名的海伦
公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幕减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即，现有周长为的满足：：：：，试用以上给出的公式求得的面积为
A. B. C. D.
12.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若
的中点坐标为，则的方程为（）
A. B. C. D.
二、填空题（共4题；共20分）
13.函数的图像在点处的切线垂直于直线，则
________.
14.若数列的首项，且；令，则
________．
15.函数的最大值为________
16.把三个半径都是2的球放在桌面上，使它们两两相切，然后在它们上面放上第四个球（半径是2），使它与下面的三个球都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（共5题；共60分）17.为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了
名女性或名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图.
参考公式：
，其中（1）完成下列列联表：
（2）能否在犯错误概率不超过的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”.
附：
18.在中，、、分别是的三个内角、、所对的边，已知
．
（1）求证：、、成等差数列；
（2）求角的取值范围．
19.如图，四棱锥中，底面是正方形，是正方形
的中心，底面，是的中点．求证：
（Ⅰ）平面；
（Ⅱ）平面平面．
20.已知函数f（x）= ．（x＞0）
（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：=1上的一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1•k2的值；
（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
喜欢旅游不喜欢旅游估计
女性
男性
合计
四、选考题，共10分。

请考生在第22、23题中任选一直作答。

如果多做。

则按所做的第一题计分。

（共2题；共20分）
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，以极点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；
（2）若过点且倾斜角为的直线，点为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离. 23.不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x﹣2y﹣3z=4，求x2+y2+z2的最小值．
答案
一、选择题：
1.D
2. A
3. B
4. C
5. B
6. C
7. C
8.A
9. D 10. D 11. A 12. D
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. （1）解：根据等高条形图，女生不喜欢打羽毛球的人数为，
男性不喜欢打羽毛球的人数为.
填写列联表如下：
（2）解：根据列联表中数据，计算
，
所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关.
18. （1）证明：由已知得：，
∴
∴，
∴，即，∴、、成等差数列．
（2）解：
，
∴．，∴
19. （Ⅰ）证明：连接．
∵是的中点，是的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面
（Ⅱ）证明：∵底面，
，
又∵，且，
∴平面．
∵平面，
∴平面平面．
20. （1）解：函数f（x）=
∴f′（x）= [ ﹣1﹣ln（x+1）]=﹣ [ +ln（x+1）]．
由x＞0，x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0．
因此函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数
（2）解：解法一：当x＞0时，f（x）＞恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．又k为正整数．则k的最大值不大于3．
下面证明当k=3时，f（x）＞（x＞0）恒成立．
即证明x＞0时（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1﹣2x，
则g′（x）=ln（x+1）﹣1．
当x＞e﹣1时，g′（x）＞0；当0＜x＜e﹣1时，g′（x）＜0．
∴当x=e﹣1时，g（x）取得最小值g（e﹣1）=3﹣e＞0．
∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．
因此正整数k的最大值为3．
解法二：当x＞0时，f（x）＞恒成立．
即h（x）= ＞k对x＞0恒成立．
即h（x）（x＞0）的最小值大于k．
由h′（x）= ，记Φ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）．（x＞0）
则Φ′（x）= ＞0，
∴Φ（x）在（0，+∞）上连续递增．
又Φ（2）=1﹣ln3＜0，Φ（3）=2﹣2ln2＞0，
∴Φ（x）=0存在惟一实根a，且满足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1），
由x＞a时，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a时，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知：
h（x）（x＞0）的最小值为h（a）= =a+1∈（3，4）．
因此正整数k的最大值为3
21.（1）解：由圆R的方程知圆R的半径，
因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
所以，即①
又点R在椭圆C上，所以②联立①②，解得，
所以，所求圆R的方程为
（2）解：因为直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x都与圆R相切，
所以，，
两边平方可得k1，k2为（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+（y02﹣8）=0的两根，可得，因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以
（3）解：方法一①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由（2）知2k1k2+1=0，所以，故．
因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，即，所以，
整理得，
所以
所以．
方法（二）①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，
解得，
所以，
同理，得．
由（2）2k1k2+1=0，得，
所以
= ，
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．
综上：OP2+OQ2=36．
四、选考题，共10分。

请考生在第22、23题中任选一直作答。

如果多做。

则按所做的第一题计分。

22. （1）解：由得，
把代入上式得，
∴曲线的直角坐标方程为．
设点的直角坐标为，
则，
∴点的直角坐标为．
（2）解：由题意得直线的方程为，即．
设点，
则点到直线的距离为，
故当时，有最小值，且．
∴点到直线的最小距离为．
23.解：由柯西不等式，得[x+（﹣2）y+（﹣3）z]2≤[12+（﹣2）2+（﹣3）2]（x2+y2+z2），
即（x﹣2y﹣3z）2≤14（x2+y2+z2），
即16≤14（x2+y2+z2）．
所以，即x2+y2+z2的最小值为．。