两圆方程相减的几何意义(可编辑修改word版)

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两圆方程相减的几何意义

两圆方程相减的几何意义稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊两圆方程相减这个有趣的话题，你知道它有啥几何意义不？想象一下，两个圆摆在那里，它们都有自己独特的方程。

当我们把这两个方程相减的时候，就好像打开了一个神奇的数学魔法盒。

其实呀，两圆方程相减得到的方程，代表的是一条直线哦！这条直线和这两个圆有着很特别的关系。

比如说，如果两个圆相交，那相减得到的直线就通过这两个交点。

就好像这条直线是两个圆相遇时留下的“足迹”，是不是很有意思？要是两个圆相切，那这条直线就和切点以及两个圆心在同一条线上。

就像是一条隐形的纽带，把这些关键的点都连在了一起。

而且哦，如果两个圆相离，相减得到的直线也和这两个圆有着神秘的联系。

虽然它们没有直接接触，但这条直线像是在默默传递着它们之间的某种信息。

怎么样，是不是觉得数学里也有这么多好玩的东西？稿子二：嗨喽！今天咱们来深入探讨一下两圆方程相减的几何意义，准备好跟我一起探索这个奇妙的数学世界了吗？当我们面对两个圆的方程，然后大胆地把它们相减，这可不是简单的数学操作，背后藏着好多有趣的秘密呢！假设这两个圆是两个可爱的小伙伴，它们各自有着自己的位置和特点。

那相减之后得到的直线，就像是它们之间的“友谊线”。

如果这两个圆大小差不多，位置也比较接近，相减得到的直线可能就像是它们互相靠近时的“通道”。

要是一个圆大，一个圆小，那这条直线也许就是它们在比较大小和位置时产生的“裁判线”，能告诉我们很多关于它们之间关系的信息。

有时候，这条直线还能帮助我们判断两个圆是亲密相交，还是保持一定距离的相离。

呢，两圆方程相减得到的直线，就像是数学世界里的一个神奇密码，只要我们用心去解读，就能发现两个圆之间那些隐藏的故事和联系。

是不是超级有趣呀？。

两圆相减的几何意义

两圆相减的几何意义嘿，朋友们！今天咱来聊聊两圆相减这个有趣的几何意义。

你们看啊，这圆啊，就像一个个小世界。

想象一下，一个大一点的圆和一个小一点的圆，它们就像是两个不同的领域。

当我们把这两个圆放在一起，然后去思考它们相减的时候，那可有意思了。

这就好像是在一个大集体中，去掉一个小部分。

比如说，我们把一个大班级看作一个大圆，里面有各种不同性格、不同爱好的同学。

然后呢，有一个小团体，就像是那个小圆。

当我们把这个小团体从整个班级中减去，剩下的是什么呢？是其他那些有着不同特点的同学们呀！或者说，把一个城市看作大圆，其中有一个特定的区域是小圆。

当我们进行两圆相减，得到的就是城市里除了那个特定区域之外的其他地方。

这不就像是我们在生活中，去掉一些特定的元素，然后去观察剩下的部分嘛。

两圆相减也可以让我们看到差异和独特之处。

就好比两个圆，一个代表白天的活动，一个代表夜晚的活动。

它们相减之后，就能清楚地看到白天和夜晚各自独有的那些部分。

这多神奇啊！而且啊，这两圆相减还能让我们更清楚地认识事物的边界呢。

就像两个领域有了明确的划分，减去之后，我们能更准确地知道哪里是属于这个，哪里是属于那个。

在很多实际问题中，两圆相减也有很大的用处呢。

比如说在规划一个区域的时候，我们要去掉一些已经被占用的部分，才能更好地规划剩下的空间。

这不就是在运用两圆相减的道理嘛。

你们想想，是不是这样？两圆相减看似简单，却蕴含着这么多有趣又实用的意义。

它就像一把钥匙，能打开我们对世界更深入理解的大门。

它让我们看到了整体与部分的关系，看到了差异和独特性，也看到了如何更好地去划分和利用空间。

所以啊，可别小看这两圆相减，它真的是几何世界里的一个奇妙之处呢！。

非同心的两圆方程相减的几何意义

两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减得：①
当即两圆不同心时，上述方程代表一条直线，记作
将①两边除以2得到：
②
由②可知是的一个法向量，所以，也就是说：
性质，非同心两圆方程相减所得直线必定是连心线的垂线。

另外，注意到对于等圆（），连心线中点满足②，也就是说：
结论甲：非同心等圆方程相减，所得直线为连心线中垂线。

把①变形为
即，即
即③
这里是上的点。

由③我们可以看到，上的点必然同在两圆之外或两圆之内，也就是说如果两圆内含，则必然与两圆相离。

当在两圆之外时，③告诉我们到两圆的切线长相等。

下面我们结合③和性质1来讨论外离内含两种情况下，的位置。

结论乙：非同心外离（内含）两圆方程相减，所得直线垂直连心线且直线上的点到两圆切线长相等。

(等切线)
下面结合图形说明结论乙。

如图，只要确定了连心线上的等切点，就可以画出
根据③，及，可以解得的值，然后即有的位置，从而有。

内含的情况与外离类似，前面已经解释过必定与两圆相离，且必定在连心线靠近小圆圆心一侧（证明从略），具体的坐标计算方法与外离情况一样。

结论丙：非同心相交两圆方程相减，所得直线包
含公共弦。

结论丁：非同心相切(内切外切)两圆方程相减，所得直线为过两圆切点的公切线。

结论丙可以用两点确定一条直线来说明，结论丁可以用切点在直线上以及前文性质来说明，较简单，从略。

两圆相减

两圆方程相减与圆的根轴直线与圆这一章有这么一个内容，那就是关于两圆的位置关系，相信很多同学都有印象：已知两圆的方程，求这两圆的公共弦所在直线的方程，只需要把两个圆的方程相减即可，当然前提是x2和y2系数要一样。

并且若两圆相切，则得到的直线方程就是他们内公切线方程，若两圆半径相等，则得到的直线方程就是他们的对称轴方程：圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0两式相减得：L：(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0当两圆相交时，L为相交弦所在直线方程，若相切，则为他们的内公切线方程，若两圆半径相等，则为他们的对称轴方程。

那么，涉及到两圆位置关系的题目，可以先轻易地将相交弦直线方程求出，然后利用直线与圆的位置关系求解。

我们当然是不能停留在“记住”的层面，我们有两个问题摆在这里：1：为什么如此便能求出两圆的公共弦直线方程？2：当两圆相离半径也不相等的时候，按照上面的方法也能得到一条直线L，这时候的直线L与两圆又有什么关系？我们首先看第一个问题，我们首先看到，L的方程是两圆联立得到的方程，所以两圆的两个交点都在L上，而两点已经可以确定一条直线，故L即为公共弦直线的方程。

当两圆相切时，我们可以从极限的角度去看待这个问题，就跟我们第一次接触“导数”的概念一样，切线就是极限状态下的割线，这样相互联系对学生的学习也是很有好处的。

我们也可以从L与两圆的交点个数看：L与圆O1联立方程的解的个数，与圆O1与圆O2联立出的方程的解的个数是一样的，而O1与O2只有一个解，故L与O1也只有一个交点。

如果你愿意，你还可以从圆心到直线距离等于半径这个角度看。

当两个圆半径相等时，我们可以先求出他们的圆心连线方程，然后观察L与此直线的关系，可以发现他们斜率之间的关系：L： (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0O1点坐标=(-D1/2，-E1/2);O2点坐标=(-D2/2,-E2/2),简单计算便知，L与O1O2垂直；O1O2的中点坐标为P=(-(D1+D2)/4,-(E1+E2)/4)，结合D12+E12-4F1=D22+E22-4F2(因为两圆半径相等)，便可知P点在L上，从而证明L为两圆的对称轴。

改进学生学习方式的教学尝试——自主探究两圆方程差的几何意义

自主探究的学习环境，留给学生适当的拓展、伸的延
１若ａ≠ ｃｂ≠ｄ，圆Ｃ、同心时，、或即。Ｃ不方程
③ 是二元一次方程，示直线，为直线 ④ 表记
当圆Ｃ与圆Ｃ。：相交时，学案例就是笔者进行的一点尝试，期望通过对教材中的一个思考题的探究与拓
展，进学生的学习方式．改
１发现问题
程 ① 与 ② ，以一定也适合方程 ③ ，以两交点都所所
在直线 ③ 上．所以任意两个相交圆的方程相减，一定是两圆公共弦所在直线的方程．
若Ｒ。＝ｒ，圆ｃ、：即ｃ重合时，方程 ③ 化为０＝０恒成立，示坐标平面上的任一点；，表若 ≠ ｒ，即圆ｃ与圆Ｃ内含时，方程 ③ 无解，不表示任何点．
师：想到用方程去解决问题，明解析法已经你说运用自如，同时利用分类讨论得出的结论也算全
一
学生甲的提问使我意识到这是一个实施探究学
习的不错素材，于是我并没有去正面回答他的问题，而是点拨几句让他自己去思考．师：先，首你猜想两相交圆的方程相减，定是一
２、ａ＝ｃｂ＝ｄ即圆Ｃ、：若且，Ｃ同心时，方程 ③
化简为一ｒ＝０．
人教Ａ版教材必修３的４２２．．节圆与圆的位置关系，了如下例题：给

两圆相减后所得的直线方程的几何意义

方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++两圆相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和 ⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。

但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。

如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。

因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。

我就两圆的5种位置关系进行研究。

一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。

所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。

二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。

当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。

巧用圆的一般方程解题

巧用圆的一般方程解题圆的一般方程C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x .当点),(00y x P 在圆外时，0002020>++++F Ey Dx y x ，该数值的几何意义是什么呢？经过探索，我们发现：结论 1：已知圆C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，当点),(00y x P 在圆外时，过点P 作圆的切线PA ，切点为A ，则切线长;002020F Ey Dx y x PA ++++=ACccccccc P证明: 由圆C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 可知：圆心)2,2(E D C --，半径F E D r 42122-+=，从而222r PC PA -=，即)4(41)2()2(2220202F E D E y D x PA -+-+++= 化简可得.002020F Ey Dx y x PA ++++=已知圆)04(0:12121111221>-+=++++F E D F y E x D y x C ；圆)04(0:22222222222>-+=++++F E D F y E x D y x C .若两圆相交，我们知道两圆方程相减，可得两圆公共弦方程: 0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .若两圆外离，两圆方程相减得到的直线方程：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D有什么几何意义呢？经过探索，我们发现：结论2：（1）已知圆)04(0:12121111221>-+=++++F E D F y E x D y x C 与圆)04(0:22222222222>-+=++++F E D F y E x D y x C 相离，过直线0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上任意一点P ，分别向两圆作切线PB PA ,.则 CPB PA =.（2）已知圆)04(0:12121111221>-+=++++F E D F y E x D y x C 与圆)04(0:22222222222>-+=++++F E D F y E x D y x C 相离，过两圆外一点P ，分别向两圆作切线PB PA ,，切点分别为B A ,若PB PA =，则点P 在直线0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上.PA B证明：（1）设直线0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上任意一点),(00y x P ，则0)()()(21021021=-+-+-F F y E E x D D .即2020210101F y E x D F y E x D ++=++由结论1得;101012020F y E x D y x PA ++++=;202022020F y E x D y x PB ++++=从而PB PA =（2）设两圆外任意一点),(00y x P ，因为PB PA =，所以101012020F y E x D y x ++++202022020F y E x D y x ++++= 化简并整理得0)()()(21021021=-+-+-F F y E E x D D于是P 点在0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上.灵活运用上述两个小结论解题，常常能节省思维量和运算量，提高解题速度，节省时间，达到事半功倍的效果，下面举几个例子.例1 （2005年江苏高考题）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P2C 1C分别作圆1O 与圆2O 的切线PN PM ,（M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=.试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.PM N解：以21O O 所在直线为x 轴，21O O 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.设动点),(y x P ，则圆1O ：03422=+++x y x ，圆2O ：03422=+-+x y x .根据PN PM 2=及结论1，知 =+++3422x y x 2)34(22+-+x y x ，整理得 031222=+-+x y x点评：本题通常用圆的标准方程来解，运算量大，且易错.用圆的一般方程和结论1来解决，不仅简单方便，而且不宜错，同时还节省了时间.例2（2007年四川高考题）已知圆O 的方程是,0222=-+y x 圆O '的方程是.010822=+-+x y x 由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是解：由结论2(2)得动点P 的轨迹方程0)108()2(2222=+-+--+x y x y x ，整理得23=x 点评：本题通常采用设动点),(y x P ，由圆的基本性质建立等式方程，然后再化简，才能得到.此过程繁琐，且等量关系不易找到，化简容易错.采用本文中的结论2一步就解决了，不仅结果正确，而且提高解题速度.例3（2013年江苏镇江模拟）已知圆422=+y x 与圆0146622=++-+y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程是解：过直线l 上任意一点分别向两圆作切线PA ，PB ，切点分别为A,B ，由于两圆关于直线l 对称，有对称性可知PB PA =，由结论2可得直线l 的方程为0)4()1466(2222=-+-++-+y x y x y x ，整理得03=--y x .点评：本题通常采用求两圆的圆心的连线段的中垂线方程的来解.此方法不光运算量大，而且斜率容易求错.而巧用结论2很快就能解决.总之，有关圆的一般方程与切线长的问题都可以运用本文的两个小结论，把复杂的问题简单化，达到事半功倍的效果.2O 1O。

两圆外切直接相减求的两圆的公切线

两圆外切直接相减求的两圆的公切线
两圆外切时，它们的公切线长度可以通过直接相减两圆的半径来求得。

这是因为两圆外切意味着它们恰好相切于一点，而这一点到两圆心的距离分别是两圆的半径。

因此，两圆的公切线长度等于两圆半径之差。

假设有两个圆，圆A的半径为r1，圆B的半径为r2，且r1>r2。

那么，两圆的公切线长度可以通过以下公式求得：
公切线长度= r1−r2
这个公式是基于两圆外切的定义和性质得出的。

需要注意的是，这个公式只适用于两圆外切的情况，如果两圆内切或相交，那么公切线的长度就不能通过直接相减两圆半径来求得。

此外，还需要注意的是，公切线可能不止一条，具体数量取决于两圆的位置关系。

对于两圆外切的情况，通常会有两条公切线，它们分别位于两圆的两侧。

如果需要求出具体的公切线方程，可以使用点到直线距离公式和两圆心的坐标来求解。

两个圆的方程相减

两个圆的方程相减【原创版】目录1.圆的一般方程介绍2.两个圆的方程相减的意义3.举例说明如何进行两个圆的方程相减4.结论：两个圆的方程相减的意义和应用正文一、圆的一般方程介绍圆是平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合。

在数学中，圆可以用一般方程来表示，即：(x - a) + (y - b) = r。

其中，(a, b) 是圆心的坐标，r 是半径。

二、两个圆的方程相减的意义在数学中，两个圆的方程相减，可以用来找出两个圆的公共部分，即两个圆的交集。

这通常在解决几何问题时非常有用，例如在求解两个圆的交点或者判断两个圆是否相交等问题时。

三、举例说明如何进行两个圆的方程相减假设我们有两个圆的方程：(x - 1) + (y - 1) = 2 和 (x - 2) + (y - 2) = 8。

我们可以通过将两个圆的方程相减，来找出两个圆的公共部分。

首先，将两个圆的方程相减，得到：(x - 1) + (y - 1) - (x - 2) - (y - 2) = 2 - 8。

化简后，得到：2x - 4y + 7 = 0。

然后，我们可以将这个方程转换为标准的圆的一般方程。

首先，将方程移项，得到：2x - 4y = -7。

然后，将两边同时除以 2，得到：x - 2y = -7/2。

最后，将方程两边同时平方，得到：(x - 2y) = (-7/2)。

因此，我们可以得到一个新的圆的方程：(x - 2y + 7/2) = 49/4。

这个新的圆的方程表示的圆，就是两个原圆的公共部分。

四、结论：两个圆的方程相减的意义和应用通过两个圆的方程相减，我们可以找出两个圆的公共部分，这对于解决许多几何问题都非常有用。

两相交圆方程相减得公共弦方程

两相交圆方程相减得公共弦方程两相交圆方程相减得公共弦方程在代数几何中，我们经常遇到求解两个相交圆的公共特性的问题。

其中一个问题是求解两相交圆的公共弦方程。

本文将以深度和广度的方式探讨这个问题，并提供一个有价值的解决方案。

1. 了解圆的方程在开始解决问题之前，我们首先需要了解圆的方程。

一个圆可以由其圆心坐标和半径确定。

给定一个圆心坐标为(x0, y0)且半径为r的圆，其方程可以表示为：(x - x0)² + (y - y0)² = r²2. 两个相交圆的方程我们假设有两个相交的圆，其圆心分别为(x1, y1)和(x2, y2)，半径分别为r1和r2。

我们需要求解这两个圆的公共弦方程。

为此，我们需要找到两个圆的交点坐标。

我们可以将两个圆的方程相减，得到一个含有交点坐标(x, y)的方程：(x - x1)² + (y - y1)² - ((x - x2)² + (y - y2)² = r1² - r2²展开上述方程，我们可以得到如下的表达式：x² - 2x1x + x1² + y² - 2y1y + y1² - (x² - 2x2x + x2² + y² - 2y2y + y2²) = r1² - r2²化简上述表达式，我们可以得到：-2x1x + x1² - 2y1y + y1² + 2x2x - x2² + 2y2y - y2² = r1² - r2²3. 公共弦方程的推导我们希望将上述方程进一步转化为公共弦方程的形式。

为此，我们需要找到公共弦的特征。

由于公共弦是两个圆的一个公共部分，我们可以将公共弦的两个端点表示为坐标(x, y)和(x', y')。

两圆方程相减后所得方程的几何意义

两圆方程相减后所得方程的几何意义两圆方程相减后所得方程的几何意义
作为数学中的重要概念，圆的概念和方程一直是人们最多的研究内容。

在初等
数学中，学习到的圆的数学模型就是圆的标准方程。

根据圆的特性，圆的标准方程为： $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 其中，x0和y0是圆心的坐标，r是圆的半径。

因此，圆的方程与半径和圆心有关，可以用来描述圆的几何形状。

如果相减两个圆的方程，也就是方程的差，它的几何意义就是两个圆之间的距离。

例如，$$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2$$
$$(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2$$
相减，即可得到两圆之间的距离：
$$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2$$
因此，从数学上讲，相减两个圆方程，即可得到两圆之间的距离，这就是相减
两个圆方程后所得方程的几何意义。

相减两个圆方程所得方程的几何意义不仅可以应用于两个圆之间的距离的计算，而且可以运用于其他圆形的几何形状的描述。

例如，圆的外接矩形也是一种圆形几何形状，可以根据相减两个圆方程的结果，求出其外接矩形的四个顶点的坐标。

总而言之，相减两个圆方程后所得方程的几何意义既可以应用于圆心之间的距
离的计算，也可以应用于圆形几何形状的描述。

它在几何上是一种简单而有效的方法，为我们提供了一种方便的解决方案
相减两个圆方程后所得方程的几何意义是可以用来求得两个圆之间的距离。

由
此可以求得他们之间所形成的圆形几何形状，如圆的外接矩形等形状，从而可以求得所有形状的参数，让我们能够用最简单的数学模型解决复杂的几何问题。

(完整版)两圆方程相减的几何意义

方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。

但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。

如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。

因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。

我就两圆的5种位置关系进行研究。

所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。

因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。

相离的圆方程相减的意义

相离的圆方程相减的意义好吧，今天我们来聊聊“相离的圆方程相减的意义”，听起来有点深奥，但别担心，咱们慢慢来。

想象一下生活中的圆。

圆就像朋友，围着你转，开心的时候它特别亮，烦恼的时候它也不离不弃，真是个好伴。

这时候，我们可以把这些圆看成是一些方程，它们在数学的世界里默默地运转。

相离的圆呢，就是它们彼此之间有一定的距离，像两个好朋友，虽然不常见面，但彼此心中都有个位置。

好比说，我们有两个圆，A和B。

A的方程是 ( (x a_1)^2 + (y b_1)^2 = r_1^2 )，B 的方程则是 ( (x a_2)^2 + (y b_2)^2 = r_2^2 )。

这两个圆之间的关系就像两个人的距离，亲密又不失空间。

它们的相减，简直就像两位老友把各自的生活琐事拿出来分享，看看哪些地方有相同，哪些地方又是完全不同。

把这两者的方程相减，可以得到一个新的方程，这个方程能揭示出它们之间的距离和差异。

这样一来，咱们就能通过这些数学的“秘密交流”，弄清楚它们之间的距离到底有多远，像是在做朋友之间的距离测量。

比如说，你和朋友在不同的城市，偶尔打个电话聊聊，心里想着你们的距离有多远。

但如果你们把各自的生活细节都讲出来，那种距离就不再是单纯的公里数了。

相减后的结果，仿佛是两个朋友从各自的生活中抽出了一些元素来看看，嘿，原来我和你的生活有这些不同之处啊。

数学上说，两个圆相离，说明它们不会交叉，也就是说彼此间有着自己的空间。

你想，两个朋友如果一直黏在一起，生活会不会变得无趣呢？所以，这种相减的意义不仅在于找出彼此的不同，更在于相互之间那种微妙的联系。

相减就像把各自的生活表演给对方看，哦，原来你也有这样的烦恼，真是太好笑了。

在生活中，我们常常在找朋友，彼此分享快乐和烦恼。

这个相减的过程就像是我们用不同的视角去理解对方。

当你把自己的生活细节告诉朋友时，那一瞬间，你们的距离仿佛也缩短了。

数学上，两个圆相减的结果反映了彼此之间的关系，这就像在说：虽然我们相隔千里，但我依然能够感受到你的存在。

为啥两圆相减就是公共弦方程

为啥两圆相减就是公共弦方程
两个圆之间的公共弦方程是一个人们常常遇到的有趣数学概念。

它不仅能让我们了解圆的特性，还能帮助我们发现到解决日常生活中出现的问题的方法。

说到两圆的公共弦方程，它实际上是指两个圆的公共弦的方程。

这里说的公共弦也称作弦，是指从两个圆的圆心连接的圆周上的线段。

两圆之间的公共弦方程可以通过特殊的数学运算，来表达出这种连接的线段的表达式。

此外，我们还可以使用两圆的公共弦方程来求解生活中出现的问题。

例如，当我们放一些圆形的座位，我们就可以通过两圆的公共弦方程，来求出每个座位之间的距离。

对于内外半径均不同的两圆来说，我们可以通过此方程解析出他们相交的链接的点的表达式，然后再轻松计算出其距离。

另外，我们还可以使用两圆的公共弦方程来给拼图游戏提供帮助。

当我们有一个两个圆部分相交的拼图时，我们可以使用两圆的公共弦方程解析出具体模型，来帮助我们更快正确拼出它们。

从以上可以看出，两个圆之间的公共弦方程，是一个有趣又实用的数学概念，能够帮助我们解决生活中的各种问题，是一种数学概念的精妙表达。

两个圆相减即为相交弦方程的证明

两个圆相减即为相交弦方程的证明
假设有两个圆，圆A和圆B，圆心分别为O_A和O_B，半径分别为r_A和r_B。

要证明两个圆的相交部分可以等效为一个弦，我们可以按照以下步骤进行推导：
1.连接圆A和圆B的圆心O_A和O_B，并假设连接线段为
线段AB。

2.根据几何性质，圆心连线与相交弦垂直且平分相交弦。

因
此，线段AB是相交弦的中垂线。

3.连接圆A和圆B的两个切点C和D，分别位于圆A和圆B
上。

由于切线与半径垂直，因此线段OC和OD是圆A和圆B的半径。

4.在三角形O_AOC和O_BOD中，OC和OD是相等的，因为
它们是相同半径的圆的切线。

此外，OO_A和OO_B也是相等的，因为圆心连线相等。

5.根据SAS（边-边-边）三角形相似性准则，三角形O_AOC
和O_BOD是全等的，因为它们具有相等的边和夹角。

6.因此，角AO_CO_B和角BO_DO_A也是相等的。

它们都是
圆心角，对应于相交弦AB所扇出的角度。

7.根据圆心角定理，该圆心角的度数等于所对弦的角度。

8.因此，我们可以得出结论，相交部分所对的弦AB与相交
圆心角AO_CO_B和BO_DO_A的度数相等。

这证明了两个
圆的相交部分等效为一个相交弦。

综上所述，我们通过几何推导证明了两个相交圆的相交部分可以等效为一个相交弦。

相减式方程

1、两圆方程相减得到什么相离的两圆方程相减可以得到两圆心连线的垂线，且垂足距两圆心的距离比为圆的半径之比，相交的两圆方程相减可以得到公共弦的方程，切的两圆方程相减可以得到公切线的方程。

在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆有无数条对称轴。

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

圆可以表示为集合{M||MO|=r}，其中O是圆心，r 是半径。

圆的标准方程是(x - a) ² + (y - b) ² = r ²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。

圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

圆是一种几何图形。

根据定义，通常用圆规来画圆。

同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。

圆是轴对称、中心对称图形。

对称轴是直径所在的直线。

同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。

当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。

所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是一种概念性的图形。

通过两圆的圆心距当圆心距小于两圆半径之差时两圆内含当圆心距等于两圆半径之差时两圆内切当圆心距小于两圆半径之和大于半径之差时两圆相交当圆心距等于两圆半径之和时两圆外切当圆心距大于两圆半径之和时两圆外离。

2、举例化学方程式怎么相减假设：被减式 - 减式 = 差式你可以将减式先倒过来,写成逆反应,然后再用被减式与该逆反应相加.比如：被减式：4KClO3 = 3KClO4 + KCl减式：2KClO3 = 2KCl + 3O2↑则可以将减式写成逆反应：2KCl + 3O2 = 2KClO3.然后把被减式和逆反应相加：4KClO3 + 2KCl + 3O2 = 3KClO4 + KCl + 2KClO3最后消去两边相同量的物质即可：2KClO3 + KCl + 3O2 = 3KClO4。

两圆相减为什么是直线

两圆相减为什么是直线中学数学研究2008年第l1期(3)当PQ在△ABC外部时(如图2),求关于z的函数关系(注明的取值范围),并求出z为何值时最大,最大值是多少?典型错误在解(3)问中,矩形^,fEf的面积=M7\,?NF,无法用表示ⅣF,思路受阻,陷入僵局.在考虑自变量的范围时,误认为PQ在BC边上移动,即0<<6.在运动型几何问题中,要善于从变中寻不变,正确找出不变的图形结构或不变的数量关系,本题中有△AMN∽△c,=,詈=,..NF=一号z+4-=z(一z+4)=一z+4=一鲁(一3)+6.当z=3时,有最大值6.本题在(1)(2)问引导学生思维循序渐进,在变化过程中,始终有△4^r∽△ABC,对应高的比等于相似比.在变化过程中,PQ的长度始于(2)问中的特殊位置,.'.2.4<z<6.引导学生正确识图,依据图形处理好"动"与"静","瞬间"与"过程"的辩证关系,正确把握变化的图形位置中不变的数量关系.引导学生养成纠错质疑的习惯,加强思维严谨性训练,对思维过程中的出现段落点,进行批判性回顾,分析和检查,在反思纠错的过程中培养学生运用数学方法(如观察,猜想,化归,构造函数等)解决问题的能力,同时通过剖析错因,渗透一些常用的数学思想方法.纠错剖析的过程蕴涵着解决数学问题的择优性,补缺完整性,既有对解决问题过程的探究又有结果分析的本质揭示,以充分暴露学生思维形式弥补认识观点的缺损,让学生思维一直处于积极,活跃的状态,通过引导学生主动参与寻错探因的纠错活动,深入探讨思维走入"歧途"的原因,丰富学生思维活动经验,更有效地提高学生的解题能力和思维品质.盥坐业坐鲁拿}拿}章盘业鲁章螺}坐}e坐业ejk誊业业e}} 固相减为什墨壶绫浙江电大富阳学院(311400)楼文胜一,问题的提出在普通高中课程标准实验教科书《数学》(2)"圆与圆的位置关系"中有一个例题:已知圆Cl:z+十2+8一8=0,圆C2:+一4一4一2=0,试判断圆Cl与圆C2的关系.教材的解法为:圆Cl与圆C2的方程联立,得到方程组{三:二三三二二呈三;c-,一c2,得【z+一4z一4一2=0(2),,' 十2一1=0(3),由(3)得=互,代入(1),并整理得2—2z一3=0(4),方程(4)根的判别式△:(一2)—4×1×(～3)>0.所以方程(4)有两个不相等的实数根.也即方程组有两个解,所以两个圆相交.此解法的旁注中,提出了如下思考问题:"画出圆C1与圆C2以及方程(3)表示的直线, 你发现了什么?你能说明为什么吗?"笔者在教学中发现:学生能够发现(3)是过两圆交点的直线,也能说明理由.但当笔者按照教参的要求提出:"当两圆相切,相离或内含时, 两圆方程相减为什么还是直线方程?这条直线与两圆在图像特征上存在什么关系?同心时相减为什么又不是直线方程?",让学生在课外作为研究性学习的课题,基本上学生都不能完整解决这一课题.笔者向同行们请教,大家均说没有深入思考过这一问题,说明旁注没有引起数学教师们的重视.教参对各个习题均给出了解答,但对上述这么有意义的问题却没有给出参考答案或提示,笔者认为这实在是一个遗憾,所41?20O8年第11期中学数学研究以不惴浅薄,在这儿给出一个解答,供大家参考.二,问题的探究右图是例题的图示,A,B是两圆的交点,如设A(l,1),B(2,2),则其坐标满足(3)是易于说明的,但是(3)所代表的直线还有不少点,其含义是什么呢?其实上面(1),(2)组成的方程组,相减得到(3)并不是等价的,与(3)等价的应该是(1),(2)两式的右边同时加上一个常数是,即.{:+:+2z+8一8是?加足【'+'一4z一4一2忌(2)的几何意义是C1的半径变为25+足,C2的半径变为,//1O+是,这样七一变就得到一组圆,如有两个交点就在(3)所表示的直线上,让忌变动,就能得到很多交点,这些交点构成直线(3). 同样的理由可以说明为什么相离两圆的方程相减还是直线方程.不失一般性,我们可以举两个简单的圆方程加以说明:+y2:1(5),(一3)+=1(6),易知两圆相离,(5)一(6)得=詈(7),(7)与(5),(6)式并不等价,要等价在(5),(6)两式右边可以同加一个常数忌,如忌为正,则(5)(6)两圆的半径同时扩大,当扩大到一定程度两圆相切,进而相交,这些交点构成了直线(7).因为两圆一开始相离,半径扩大后才相交,所以交线肯定在一开始两圆的外部,由圆的对称性,相减所得直线必与两圆的连心线垂直.这儿需要说明的是,如一开始两圆的半径不等,则两圆的半径也不是相同数量扩大的. 可以完全类似的说明相切,内含两圆的方程相减也是直线方程.这儿再讲一下为什么同心两圆的方程相减得到的不是直线方程,如z +:1,z+=2,相减得0=1,这是因为半径在扩大的过程中,两圆始终不相交,当然也就不会出现交线了.三,问题的结论与应用由上面探究,我们可以得到一个初步结论:当两圆相交时,两圆方程相减得到方程所表示42?的直线是两圆交点的连线;当两圆相切时,两圆方程相减得到方程所表示的直线是过两圆交点的两圆的公切线;当两圆内含时,两圆方程相减所得的方程所表示的直线在两个圆的外部,且与两圆的连心线垂直(延长线);当两圆相离时, 两圆方程相减所得的方程所表示的直线在两个圆外部,且与两圆的连心线垂直.从上面初步结论可知:两圆相减所得直线与连心线交于两圆变化过程中的相切位置.由此,若两圆方程已知,我们可以定量的知道交点的位置.设圆C1的方程:(z—z1)+(一1)=R,圆C2的方程为(—2)+(.)I—2)=,,两圆的圆心距为d,如两圆外离,且方程右边加足后相切,则~/尺++~/,|+足=,解得:,.而:.所以直线与连心线(小圆圆心为起点,大圆圆心为终点)交于定比为的分点处,当两圆外切时结论仍成立.设圆C1的方程:(z—1)+(一1)=R,圆C2的方程:(—2)+(.)『一2)=r,两圆的圆心距为,如两圆内含时(不同心),如方程右边加忌后相切,则,/尺+是一~/r+足=,同理可求得直线与连心线(小圆圆心为起点,大圆圆心为终点)交于定比为詈(这时小于0)的分点处,当两圆内切时结论仍成立.综上,两圆方程相减所得直线方程与连心线(小圆圆心为起点,大圆圆心为终点)垂直交于定比为的分点处.应用举例侈0从圆(z—1)+(—1)=J外一点P(2,3),向该圆引切线尸lA,PB,切点为A,B,求过A,B的直线方程.中学数学研究2008年第11期解法一:如设已知圆的圆心为C,根据几何性质知,切点是以PC为直径的圆与圆C的交点,以PC为直径的圆方程为(z一1)(z一2)+(一1)(j,一3)=0,联立f(z一1)(z一2)'+(一1)(一3)=0(1)(—1)+(—1)=l(2)(1)一(2)得+2一4=0,即为AB的直线方程.解法二:因为PA=PB,所求直线AB可以看作以P为圆心,以PA为半径的圆与圆C相减所得,易知以P为圆心,PA为半径的圆方程是(一2)+(一3)=4,与圆C方程联立得{三二;:二;;;:相减得+2一4=【(z一1)+(一1)=1,…～. O,即为AB所在直线方程.亭业业ee}坐e业业}}薯章拿盘e}坐盥拿}业坐e窖警"或"命题的困惑之解惑湖北省阳新县高级中学(435200)吕俊平江苏省无锡市梅梁中学(214092)吕秀英1.问题的提出笔者曾在教辅资料中遇见不少关于"或"命题的矛盾说法.现在,文[1]指出对教辅资料或数学杂志上常见的如下两个命题的不同说法及困惑:(1)4的平方根是2或一2;(2)实数的平方是正数或0.文[2]认为命题(1)是复合命题,即或q形式,:4的平方根可能是2;q:4的平方根可能是一2.于是真g真,或g亦真.文[3]认为命题(1)从实质出发可写为"4的一个平方根是2或4的一个平方根是一2". 困惑:如果"4的平方根是2或一2"是复合命题,那么如何理解构成复合命题"或q"的原命题中是怎样省略"可能","一个"等词的?文[2]仍然认为命题(2)是复合命题,理由同上,由,q构成的"或q"中,"可能"一词因省略而成.文[4]称命题(2)为复合命题,是为了简易逻辑中的称呼相一致(意即这里"或"为逻辑联结词),并指出:它不是由"所有"对"或"分配而来的,因为它可以写成如下的形式:"一部分实数的平方大于0或一部分实数的平方等于0". 文[5]指出命题(2)是简单命题,不是复合命题,处理方法是回到最原始的命题定义中去, 把语句中的"正数或0"看成整体.困惑:同一问题,不同的观点得到不同的结果,真是众说纷纭,作为一名中学数学教师如何给自己的学生真实可信的答案?命题(1),(2)是简单命题还是复合命题,有一个客观直接的方法判断吗?2.问题的剖析事实上,在文[2],[3],[4],[5]几种观点中,笔者认为[5]的说法是真实可信的答案,现分析如下:第一,对于"或"命题是否为复合命题,应考虑原命题中的"或"是否为逻辑联结词,我们不能一见"或"就以为含逻辑联结词而认为是复合命题.全日制普通高级中学教科书数学(必修)第一册(上)第25页的引例是值得商榷的,其陈述如下:"这里的'或'(指逻辑联结词)我们已经学过,像不等式2一一6>0的解集是{zlz< 一2或z>3}①.'且'(指逻辑联结词)我们也学过,像不等式z2一一6<0的解集是{z}一2 <<3},即{>一2且z<3}②."显然,结合课本上下文意思,即指上述①,②中的"或","且"都是逻辑联结词,这样就误导了我们对逻辑联结词的判断.实际上,①,②中43?。