中考复习讲义 全等三角形.第3讲.全等三角形中的角平分线(含答案)
全等三角形、角平分线知识点、例题及习题
【知识梳理】4．角平分线的性质：尺规作图：（1）作一个角等于已知角（2）作已知角的平分线（教材P107）： ⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
（用全等证明） ⑵角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
（P109例题）⑶三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。
【经典例题】例1. （2009·海南中考）5. 已知图2中的两个三角形全等，则∠α的度数是 A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°例2、 如图1所示，长方形ABCD 沿DE 折叠，使点C 恰好落在BA 边上，得点C′，使∠C′EB ＝40°，求∠EDC′的度数.图2c 58° ba72°50°caαMF E CBA例3、已知△ABC ≌△DEF ，且∠A=52°，∠B=71°31′，DE=8.5 cm ，求∠F 的大小与AB 的长.例4 （提高题）如图所示，图中是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF.如果AB＝8 cm ，BE=4 cm ，DH ＝3 cm ，则图中阴影部分面积为 。
例5、如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。
求证：MB=MC例6、你能用尺规进行下面几种作图吗？1、已知三边作三角形2、作一个角等于已知角3、已知两边和它们的夹角作三角形4、已知两角和它们的夹边作三角形5、已知斜边和一直角边作直角三角形6、作角的平分线EDCBA4 321 EDC BA【课堂练习】1、2、已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证：BE=AD3、如图：在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB 交AB 于E ， BC=30，BD ：CD=3：2，则DE= 。
人教版八年级数学上册 第十二章《全等三角形的综合、角平分线》 讲义 (有答案)
第7讲 全等三角形的综合、角平分线⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（B）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B 的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。
中考专题复习全等三角形(含答案)
中考专题复习全等三角形(含答案)中考专题复：全等三角形知识点总结：一、全等图形和全等三角形1.全等图形：两个图形完全相同即为全等图形。
2.全等图形的性质：全等多边形的对应边和对应角分别相等。
3.全等三角形：对应边和对应角分别相等的三角形为全等三角形。
全等三角形对应边上的高、中线相等，对应角的平分线也相等。
全等三角形的周长和面积也相等。
注意：周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。
二、全等三角形的判定1.一般三角形全等的判定：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“BBB”）。
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“BAB”）。
两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“AAS”）。
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“ASA”）。
2.直角三角形全等的判定：利用一般三角形全等的判定可以证明直角三角形全等。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）。
注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。
三、全等三角形的性质1.对应角相等，对应边相等。
2.对应边上的高相等。
3.对应角的平分线相等。
4.对应中线相等。
5.面积相等。
6.周长相等。
四、角平分线的性质及判定性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。
五、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。
综合复：例 1.如图，A、F、E、B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。
求证：△ACF≅△BDE。
删除明显有问题的段落）题目中给出了AE=BF，AC=BD，以及两个直角三角形△ACF和△BDE。
中考重点三角形的角平分线定理
中考重点三角形的角平分线定理中考重点：三角形的角平分线定理三角形是初中数学中的基础知识，其中一个重要的定理是角平分线定理。
角平分线定理是指：三角形内一条角的平分线把对角分成相等的两部分。
一、角平分线定理的表述在三角形ABC中，角BAD的平分线BE将角BAC分成等于角BAD的两个部分，即∠BAE=∠EAC。
二、角平分线定理的证明我们可以通过几何推理来证明角平分线定理。
下面是证明的步骤：1. 连接BE和AC，延长BE至直线AC的另一侧，交于点D。
2. 由于角BAC和角BAD是同一角的两个部分，所以它们的度数相加等于360度，即∠BAC+∠BAD=360°。
3. 同理，∠EAC+∠EAD=360°。
4. 由于角BAD是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠EAC，即∠BAE+∠EAC=180°。
5. 同理，∠BAD=∠EAD，即∠BAD+∠EAD=180°。
6. 将3式和5式相加得到∠BAC+∠BAD+∠EAC+∠EAD=540°。
7. 由于∠BAC+∠BAD+∠EAC+∠EAD=360°+180°=540°，所以BE和AC平行，即BE是∠BAC的平分线。
根据以上证明过程，我们可以得出结论：在三角形ABC中，角BAD的平分线BE将角BAC分成等于角BAD的两个部分，即∠BAE=∠EAC。
三、角平分线定理的应用角平分线定理在解决三角形问题时非常有用。
我们可以利用这个定理来求解三角形内部某个角的度数或者证明两条角平分线相交于三角形的内心。
例如，我们可以利用角平分线定理来证明三角形内心的性质。
三角形的内心是三角形内角平分线的交点，可以用来证明三角形的垂心、重心等性质。
在解题过程中，我们也可以利用角平分线定理来确定一些角的度数。
例如，在某个三角形中已知一条角的度数，要求另一条角的度数，我们可以利用角平分线定理将已知角平分成两个相等的角，从而求得所需角的度数。
(完整)全等三角形和角平分线专题讲解和练习题
C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____． 图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ． 又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． 图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了 学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ． 求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ． 求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ． 求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。
2023年九年级中考数学复习讲义 三角形及其全等
2023年中考数学复习讲义三角形及其全等第一部分：知识点精准记忆一、三角形的基础知识1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2.三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4.三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．二、全等三角形1.三角形全等的判定定理：（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）；（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、线段垂直平分线与角平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．第二部分：考点典例剖析考点一： 三角形的三边关系【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可）【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．考点二： 三角形的内角和外角【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，，连结CD ，BE ．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．考点三：三角形中的重要线段【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是( )A ．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B ．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C ．有两个角互余的三角形是直角三角形D ．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形ABC 40A ∠=︒BD BC CE ==80ABC ∠=︒BDC ∠ABE ∠BEC ∠BDC∠【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）A ．点B ．点C ．点D ．点【例3-3】如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心考点四： 垂直平分线与角平分线的性质 【例4-1】（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【例4-2】在△ABC 中，∠BAC =115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为 A B C D E F G ABC∆D E FGA ．50°B ．40°C ．30°D ．25°【例4-3】如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考点五： 全等三角形的性质与判定【例5-1】2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F ，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5-2】（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．【例5-3】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，，，ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒,BD CE AF BD CE =BF CF ⊥AF CAD ∠45AFE ∠=︒//BD AC BD BC =E BC BE AC =D ABC ∠=∠//AB CD A D ∠=∠，证明：．【例5-4】（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上．若CE ＝BD ，则线段AE 和线段AD 的数量关系是 ．（拓展延伸）在△ABC 中，∠BAC ＝（90°＜＜180°），AB ＝AC ＝m ，点D 在边AC 上． （1）若点E 在边AB 上，且CE ＝BD ，如图（2）所示，则线段AE 与线段AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E 在BA 的延长线上，且CE ＝BD ．试探究线段AE 与线段AD 的数量关系（用含有a 、m 的式子表示），并说明理由．【例5-5】（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．考点六： 三角形全等综合【例6-1】（2022·北京）在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC = BE CF =AE DF=αα（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥； （2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【例6-2】（2022·山东泰安·中考真题）正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE DP ⊥于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE EF =，连接AF BF 、，BAF ∠的平分线交DF 于G ，连接GC ．(1)求证：AEG △是等腰直角三角形；(2)求证：2AG CG DG +=；(3)若2AB =，P 为AB 的中点，求BF 的长．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022•鄂尔多斯）如图，15AOE ∠=︒，OE 平分AOB ∠，//DE OB 交OA 于点D ，EC OB ⊥，垂足为C ．若2EC =，则OD 的长为( )A ．2B ．23C ．4D ．43+2．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得30AC =，45A ∠=︒，90C ∠=︒，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．203B ．60C ．302D ．303．（2022•湘西州）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作//CG AB ，交HM 的延长线于点G ，若8AC =，6AB =，则四边形ACGH 周长的最小值是( )A ．24B ．22C ．20D ．184．（2022•西宁）若长度是4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是( )A ．2B ．5C ．10D ．117．（2022•西宁）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点P ，画射线OP ；连接AB ，AP ，BP ，过点P 作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ．则以下结论错误的是( )A ．AOB ∆是等边三角形B ．PE PF =C ．PAE PBF ∆≅∆D ．四边形OAPB 是菱形5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A．5-B．4C．7D．86．（2022•大连）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒．分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若3AB=，则CD的长是()A．6B．3C．1.5D．1 7．（2022•青海）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE BC=，连接DE，F为DE中点，连接BF．若16AC=，12BC=，则BF的长为( )A．5B．4C．6D．88.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，2OA=，1OB=，3OC=，则AOB∆与BOC∆的面积之和为()A 3B3C33D39．（2022•长沙）如图，在ABC∆中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若22AB=AM的长为()A．4B．2C3D2 10．（2022•海南）如图，直线//m n，ABC∆是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是()A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒11．（2022•黑龙江）如图，ABC∆中，AB AC=，AD平分BAC∠与BC相交于点D，点E 是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若ABC∆的面积是24， 1.5PD=，则PE的长是()A ．90ADC ∠=︒B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =12．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是( )A ．三角形B ．平行四边形C ．长方形D ．正方形13．（2022•贺州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．34︒B ．44︒C ．124︒D ．134︒14.（2022•永州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 为边AC 的中点，2BD =，则BC 的长为( )A 3B ．23C ．2D ．415．（2022•荆州）如图，直线12//l l ，AB AC =，40BAC ∠=︒，则12∠+∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒16．（2022•宜昌）如图，在ABC ∆中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD ∆的周长为( )A ．25B ．22C ．19D ．1817．（2022•岳阳）如图，已知//l AB ，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒18．（2022•台湾）如图，ABC ∆中，D 点在AB 上，E 点在BC 上，DE 为AB 的中垂线．若B C ∠=∠，且90EAC ∠>︒，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？( )A ．12∠=∠，13∠<∠B ．12∠=∠，13∠>∠C ．12∠≠∠，13∠<∠D ．12∠≠∠，13∠>∠19．（2022•宜宾）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是( )A ．5B ．10C ．15D ．2020.（2022•广元）如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为( )A ．2.5B ．2C ．3.5D ．321.（2022•宜宾）如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC ∆内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④22.（2022•杭州）如图，CD AB ⊥于点D ，已知ABC ∠是钝角，则( )A ．线段CD 是ABC ∆的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC ∆的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC ∆的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC ∆的AC 边上的高线二．填空题1.（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC 中，AC ＝4，∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC 边的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则AB 的长为_________________．4题4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．5.（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．6．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且3AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是__________．7.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．三．解答题1.（2022铜仁）如图，点C 在BD 上，,,,⊥⊥⊥=AB BD ED BD AC CE AB CD ．求证：ABC CDE △≌△．2.（2022福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．3.（2022广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．4.（2022大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若AE AC =，求证：AB DB =．5.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．6.（2022梧州）如图，在ABCD 中，E ，G ，H ，F 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且,BE DH AF CG ．求证：EF HG =．7.（2022遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．（1）求证：ADE CDG ≌；（2）若2AE BE ==，求BF 的长8.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．（1）求证：ABE FMN ≌△△；（2）若8AB =，6AE =，求ON 的长．9.（2022安徽）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ．连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．（1）如图1，若∥DE BC ，求证：四边形BCDE 是菱形；（2）如图2，连接AC ，设BD ，AC 相交于点F ，DE 垂直平分线段AC ．（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若AF ＝AE ，求证：BE ＝CF ．10.（2022玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB AC = ②DB DC = ③BAD CAD ∠=∠若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究ABD △与ACD △全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，ABD △与ACD △全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求ABD ACD △≌△的概率．11.（2022北部湾）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．（1）如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：（3）如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．。
中考数学一轮复习全等三角形角平分线辅助知识点及练习题含答案
中考数学一轮复习全等三角形角平分线辅助知识点及练习题含答案一、全等三角形角平分线辅助1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,)a ，点B 的坐标(,0)b 且a ，b 满足212360a a a b -++-=．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）如图（1），点C 为x 轴负半轴一动点，OC OB <，BD AC ⊥于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分CDB ∠．（3）如图（2），点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，AFH FBG S S -△△的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．2．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．（1）求证：CD 平分ACB ∠；（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．3．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH的面积（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC边上时，求t的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．4．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.5．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求证：∠ADC+∠B=180º6．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M 为⊙O上一点．（1）若AB 是⊙O 的切线，求∠BMC ；（2）在（1）的条件下，若E ，F 分别是AB ，AC 上的两个动点，且∠EDF =120︒，⊙O 的半径为2，试问BE +CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 7．如图所示，在ABC ∆中，=60ACB ∠，,AE BD 是ABC ∆的角平分线，,AE BD 交于点G ，求证：GD GE =．8．已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，AG 平分,BAC CG AG ∠⊥于G ，连结DG ，若6,4AB AC ==，求DG 的长．9．如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，求CAP ∠的度数．10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上的点，连结AM.如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，求点M 到AC 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）6(0)A ，，0(6)B ，；（2）证明见解析；（3）不变化，9AFH FBG S S -=．【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值，即可求A 、B 两点的坐标； （2）过点O 作OM BD ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（3）由于点F 是等腰直角三角形AOB 的斜边的中点，所以连接OF ，得出OF =BF ．∠BFO =∠GFH ，进而得出∠OFH =∠BFG ，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵212360a a a b ++--＝∴2(6)0a a b -+-＝，∴600a ab -=⎧⎨-=⎩ ，即6a b ==． ∴6(0)A ，，0(6)B ，． （2）如图，过点O 作OM BD ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，根据题意可知=90ACO CAO ∠+∠︒．∵BD AC ⊥，∴=90BCD CBE ∠+∠︒，∴=CAO CBE ∠∠．∵6(0)A ，，0(6)B ，， ∴OA ＝OB ＝6．在AOC △和BOE △中，90CAO EBO OA OB AOC BOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴AOC BOE ASA ≅（）． ∴OE OC ＝，AC BE ＝ ，=AOC BOE S S ． ∴1122AC ON BE OM =， ∴＝OM ON ，∴点O 一定在∠CDB 的角平分线上，即OD 平分∠CDB ．（3）如图，连接OF ，∵AOB 是等腰直角三角形且点F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥，OF FB ＝，OF 平分∠AOB ．∴90OFB OFH HFB ∠∠+∠︒＝＝．又∵FG FH ⊥，∴90HFG BFG HFB ∠=∠+∠=︒，∴OFH BFG ∠∠＝．∵1452FOB AOB ∠=∠=︒， ∴4590135FOH FOB HOB ∠=∠+∠=︒+︒=︒．又∵180********FBG ABO ∠=︒-∠=︒︒=︒﹣，∴FOH FBG ∠=∠．在FOH △和FBG △中OFH BFG OF BF FOH FBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴FOH FBG ASA ≅（）． ∴FOH FBG S S ＝， ∴11116692224AFH FBG AFHFOH FOA AOB S S S S OA OB S S -====⨯=⨯⨯=﹣． 故不发生变化，且9AFH FBG SS -=．【点睛】 本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，∴DG DH DK ==，∴CD 平分ACB ∠；（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠．∵CD 平分ACB ∠，∴DS DT =，∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，∴CQD DFT ∠=∠，在SQD 和TFD △中，90CQD DFT DS DTDSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴SQD TFD △≌△，∴QD FD =，在QDP △和FDP 中QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QDP FDP △≌△，∴45QPD FPD ∠=∠=︒又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，∴CP PD =；（3）证明：延长AB 至M ，使BMBF =，连接FM ． ∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线， ∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，∴C ABE CBE ∠=∠=∠，∴CE EB =，∵BM BF =，∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，在AFC △和AFM △中，C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AFC AFM △≌△，∴AC AM =，∴AE CE AB BM +=+，∴AE BE AB BF +=+，∴BE BF AB AE -=-．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．3．（1）214t ；（2）22t =3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，22t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，32t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，722t =【分析】（1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122AH AB ==，然后与（1）所求的22AH =建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：2AP t =，点Q 为AP 的中点，12AQ AP t ∴==，四边形ABCD 是矩形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，AE ∵是BAD ∠的角平分线， 1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，AQH ∴是等腰直角三角形，2222AH HQ AQ t ∴===， 则AQH 的面积为21124AH HQ t ⋅=； （2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形， //HQ MP ∴，点M 在BC 边上，//HQ BP ∴，点Q 为AP 的中点，HQ ∴是ABP △的中位线，122AH BH AB ∴===， 由（1）知，22AH t =， 则222t =， 解得22t =；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AHHB =，四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，HAQ BHM ∴∠=∠，在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AHQ HBM ASA ∴≅，由（2）可知，此时22t =；②如图3，当点Q 与点E 重合时，在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS ∴≅，3AD AH ∴==，则232t =， 解得32t =；③如图4，当EG HB =时，四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，//,//CD AB HM PQ ∴，,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,42AH t AB ==， 242HB AB AH t ∴=-=-， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE AD ==，32EQ AQ AE t ∴=-=-，在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒，Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -==， 则由EG HB =得：262422t t -=-， 解得722t =；综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722t =【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．4．（1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE=AD，故答案为：CD=AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD.（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．5．见解析.【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．【详解】证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，CF CECFD CEBDF BE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180º．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．6．（1）60°；（2）BE+CF的值是定值，BE+CF=3.【分析】（1）连接BO，由AB是切线可以得到∠ABO的度数，由△ABC为等边三角形，得到∠OBC 的度数，然后得到∠BOC，根据圆心角与圆周角的关系得到∠BMC的度数.（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD ，OD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DH=DN，根据四边形内角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE=NF，于是BE+CF=BH+CN，再计算出BH=12BD，CN=12DC，则BE+CF=12BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．【详解】（1）解：如图，连接BO，∵AB是圆的切线，∴∠ABO=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CBO=90°-60°=30°，∵BO=CO，∴∠BCO=∠CBO=30°，∴∠BOC=120°，∴∠BMC=1BOC602∠=︒（2）解：BE+CF的值是为定值．理由：作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，OD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DH=DN，∠HDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠HDE=∠NDF，在△DHE和△DNF中，∴DHE DNFDH DNHDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DHE≌△DNF，∴HE=NF，∴BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，∴BH=12BD，同理可得CN=12 OC，∴BE+CF=12DB+12DC=12BC ， ∵BD=3，∴BC=23，∴BE+CF=3，∴BE+CF 的值是定值，为：3．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．7．详见解析 【解析】【分析】在AB 上截AF AD =，连接FG ，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得AGD=120AGB ∠︒∠=︒60，，证明ADG AFG ∆∆≌，得GD=GF ，AGD AGF ∠=∠=60°，可证得BGF BGE ∆∆≌，即可得GF=GE=GD.【详解】证明：在AB 上截AF AD =，连接FG ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠EAB ，又∵AG=AG ，∴ADG AFG ∆∆≌，GD GF ∴=，AGD AGF ∠=∠ ，∵60ACB ∠=︒，AE,BD 是ΔABC 的角平分线，∴()111802211802120AGB CAB CBA CAB CBA ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒， ∴60AGD AGF BGF BGE ∠=∠=∠=∠=︒，∵BGF BGE BG BG GBF GBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BGF BGE ASA ∴∆∆≌，∴GF GE = ，∴GD=GE.【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键． 8．1DG =【分析】延长CG 交AB 于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG ，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC ），从而得出DG 的长． 【详解】解：延长CG 交AB 于点E ．AG 平分BAC ∠，CG AG ⊥于G ，CG EG ∴=，4AE AC ==，2BE AB AC ∴=-=，∵CG EG ，D 为BC 的中点，112DG BE ∴==． 故答案为1DG =.【点睛】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键．9．50°【解析】【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得出答案．【详解】延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD=x°，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，∴PF=PM ，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，PA PA PM PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA(HL)，∴∠CAP=∠FAP ，又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF ，∴∠CAP =50°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF 是解决问题的关键．10．点M 到AC 的距离为2【解析】【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN ，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M 到AC 的距离即可．【详解】∵△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，假设这个点是B′， 作MN ⊥AC ，MD ⊥AB ，垂足分别为N ，D ，又∵Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB′=3，DM=MN ，AB′=B′C=3，S △BAC =S △BAM +S △MAC ， 即12×3×6=12×MD×3+12×6×MN ， ∴MD=2，所以点M 到AC 的距离是2．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN，以及AB=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．。
中考数学全等三角形角平分线辅助知识归纳总结含答案
中考数学全等三角形角平分线辅助知识归纳总结含答案一、全等三角形角平分线辅助1．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．（1）求证：CD 平分ACB ∠；（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．2．已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB ∠和ABD ∠，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．3．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．4．在ABC 中，60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，且BD ，CE 交于点F ．（1）如图1，用等式表示BE ，BC ，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE CD BC +=．他发现先在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，再利用三角形全等的判定和性质证明CM CD =即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，则可以证明BEF 与 全等，判定它们全等的依据是 ；ⅱ）由60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，可以得出EFB ∠= °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE CD BC +=的过程． （2）如图2，若40ABC ∠=︒ ，求证：BF CA =．5．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点A B 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数．（3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）6．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC .（1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证： AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？7．已知：等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°；AC=BC ；∠1=∠3；BE ⊥AD 。
初二数学全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)及答案
初二数学全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)及答案一、全等三角形角平分线辅助1．在ABC 中，60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，且BD ，CE 交于点F ．（1）如图1，用等式表示BE ，BC ，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE CD BC +=．他发现先在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，再利用三角形全等的判定和性质证明CM CD =即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，则可以证明BEF 与 全等，判定它们全等的依据是 ；ⅱ）由60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，可以得出EFB ∠= °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE CD BC +=的过程． （2）如图2，若40ABC ∠=︒ ，求证：BF CA =．2．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH的面积（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在BC边上时，求t的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．3．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．4．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．∠和5．如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．NAB∠的平分线交于点C．ABQ⊥；（1）求证：BC AC（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,+=；①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD BE AB②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．6．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求证：∠ADC+∠B=180º7．如图，OA=OB ，∠AOB=90°，BD 平分∠ABO 交OA 于点D ，AE ⊥BD 于E ，求证：BD=2AE.8．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上的点，连结AM.如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，求点M 到AC 的距离.9．如图，在四边形OACB 中，CE OA ⊥于E ，12∠=∠，CA CB =.求证：34180∠+∠=︒；2OA OB OE +=.10．如图，已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=AD ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于E.求证：AB+AC=2AE.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）①ⅰ）△BMF ，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析【分析】（1）先得出结论；①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF ，进而得出△BEF ≌△BMF ，求出∠BFM ，即可判断出∠CFM=∠CFD ，即可判断出△FCM ≌△FCD ，即可得出结论；（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE ，进而判断出△BGF ≌△CEA ，即可得出结论．【详解】（1）BC CD BE =+①如图1，在BC 上取一点M ，使BM BE =，ⅰ）BD 是ABC ∠的平分线，EBF MBF ∴∠=∠， 在BEF ∆和BMF ∆中，BE BM EBF MBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF BMF SAS ∴∆≅∆；ⅱ）BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线， 12FBC ABC ∴∠=∠，12BCF ACB ∠=∠， 在ABC ∆中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，60A ∠=︒，180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，1180()180()1202BFC CBF BCF ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒， 18012060EFB ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：ⅰ）ΔBMF ，SAS ；ⅱ）60；②由①知，60BFE ∠=︒，BEF BMF ∆≅∆，60CFD BFE ∴∠=∠=︒，∵BEF BMF ∆≅∆，60BFE BFM ∴∠=∠=︒，60CFM BFC BFM ∴∠=∠-∠=︒，60CFM CFD ∴∠=∠=︒， CE 是ACB ∠的平分线，FCM FCD ∴∠=∠，在FCM ∆和FCD ∆中，CFM CFD CF CF FCM FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FCM FCD ASA ∴∆≅∆，CM CD ∴=，BC CM BM CD BE ∴=+=+；（2）如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，40ABC ∠=︒，80ACB ∴∠=︒， BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线， 1202ABD CBD ABC ∴∠=∠=∠=︒，1402BCE ACE ACB ∠=∠=∠=︒， 80AEC ABC BCE ∴∠=∠+∠=︒，ABC BCE ∠=∠，BE CE ∴=，在ABC ∆的边AB 左侧作20ABG ∠=︒，交CE 的延长线于G ，40FBG ABD ABG ACE ∴∠=∠+∠=︒=∠．80AEC ∠=︒，80BEG ∴∠=︒，18080G ABG BEG BEG AEC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠=∠，BG BE ∴=，BG CE ∴=，在BGF ∆和CEA ∆中，4080FBG ACE BG CE BGF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，BGF CEA ∴∆≅∆，BF AC ∴=．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出CFM CFD ∠=∠，（2）作出辅助线，判断出BG CE =．2．（1）214t ；（2）t =3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，t =【分析】（1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122AH AB ==，然后与（1）所求的AH =建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：2AP t =，点Q 为AP 的中点，12AQ AP t ∴==， 四边形ABCD 是矩形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，AE ∵是BAD ∠的角平分线，1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，AQH ∴是等腰直角三角形，22AH HQ AQ t ∴===， 则AQH 的面积为21124AH HQ t ⋅=； （2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，//HQ MP ∴，点M 在BC 边上，//HQ BP ∴，点Q 为AP 的中点，HQ ∴是ABP △的中位线， 122AH BH AB ∴===， 由（1）知，22AH t =， 则222t =， 解得22t =；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AHHB =， 四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴， HAQ BHM ∴∠=∠，在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AHQ HBM ASA ∴≅，由（2）可知，此时22t =②如图3，当点Q与点E重合时，在ADE和AHE中，9045D AHEDAE HAEAE AE∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，() ADE AHE AAS∴≅，3AD AH∴==，则23 2t=，解得32t=；③如图4，当EG HB=时，四边形ABCD是矩形，四边形PQHM是平行四边形，//,//CD AB HM PQ∴，,90 GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，在EGQ和HBF中，GEQ BHF EG HBEGQ B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，() EGQ HBF ASA∴≅，2,42AH t AB ==， 242HB AB AH t ∴=-=-， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE AD ==，32EQ AQ AE t ∴=-=-，在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒，Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -==， 则由EG HB =得：262422t t -=-， 解得722t =；综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722t =【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．3．见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE ＝∠DEC ．∴CD ＝CE ．∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键． 4．见解析【分析】作BF 的中点E ，连接AE 、AD ，根据直角三角形得到性质就可以得出AE ＝BE ＝EF ，由BD 平分∠ABC 就可以得出∠ABE ＝∠DBC ＝22.5°，从而可以得出∠BAE ＝∠BAE ＝∠ACD ＝22.5°，∠AEF ＝45°，由∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°就可以得出A 、B 、C 、D 四点共圆，求出AD ＝DC ，证△ADC ≌△AEB 推出BE ＝CD ，从而得到结论．【详解】解：取BF 的中点E ，连接AE ，AD ，∵∠BAC ＝90°，∴AE ＝BE ＝EF ，∴∠ABD ＝∠BAE ，∵CD ⊥BD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DAC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，∴∠EAD ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，∴∠AED ＝45°，∴AE ＝AD ，在△ABE 与△ADC 中，ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE ＝CD ，∴BF ＝2CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE AD AB =+【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC ⊥AC;(2) ①延长AC 交PQ 点F ，先证明AC=FC,再证明△ACD ≌△FCE,即可得AD+BE=AB; ②方法与①相同．【详解】解：（1）∵MN ∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC 平分∠NAB ，BC 平分∠ABQ ∴11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ∴∠BAC+∠ABC=12180⨯︒=90° 在△ABC 中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°∴BC ⊥AC;（2）①延长AC 交PQ 于点F∵BC ⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC 平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC ≌△FBC∴AC=CF ，AB=BF∵MN ∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD ≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE②线段AD ，BE ，AB 数量关系是：AD+AB=BE如图3，延长AC 交PQ 点F,∵MN//PQ ．∴∠AFB=∠FAN ，∠DAC=∠EFC∵AC 平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC ⊥AC∴C 是AF 的中点∴AC=FC在△ACD 与△FCE 中DAC EFC AC FCACD FCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ACD FCE ASA ≅∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．6．见解析.【分析】延长AD 过C 作CF 垂直AD 于F ，由条件可证△AFC ≌△AEC ，得到CF ＝CE ．再由条件AD ＋AB ＝2AE 可证BE ＝DF ，所以△CDF ≌△CEB ，由全等的性质可得∠B ＝∠FDC ，问题得证．【详解】证明：延长AD 过C 作CF 垂直AD 于F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠FAC ＝∠EAC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴∠AFC ＝∠AEC ＝90°，AC=AC ，∴△AFC ≌△AEC(AAS)，∴AF ＝AE ，CF ＝CE ，∵AD+AB=2AE ，又∵AD ＝AF−DF ，AB ＝AE ＋BE ，AF ＝AE ，∴2AE ＝AE ＋BE ＋AE−DF ，∴BE ＝DF ，在△CDF 和△CBE 中，CF CE CFD CEB DF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF ≌△CBE （SAS ），∴∠B ＝∠FDC ，∵∠ADC ＋∠FDC ＝180°，∴∠ADC+∠B=180º．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理． 7．详见解析【分析】延长BO ，AE 并交于F ，证△ABE ≌△FBE ，推出AE=EF ，证△BOD ≌△AOF 推出BD=AF 即可．【详解】延长BO ，AE 并交于F ，∵BD 平分∠ABO ，AF ⊥BD ，∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，在△ABE 和△FBE 中1=2BE BEAEB FEB ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△FBE ，∴AE=EF ，∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO ，∴∠2=∠OAF ，∵∠AOB=90°，∴∠DOB=∠FOA=90°，∴在△OBD 和△OAF 中2=FAO BO AOBOD AOF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△OBD≌△OAF，∴BD=AF，∵AE=EF，∴BD=2AE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.8．点M到AC的距离为2【解析】【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M到AC的距离即可．【详解】∵△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是B′，作MN⊥AC，MD⊥AB，垂足分别为N，D，又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB′=3，DM=MN，AB′=B′C=3，S△BAC=S△BAM+S△MAC，即12×3×6=12×MD×3+12×6×MN，∴MD=2，所以点M到AC的距离是2．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN，以及AB=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．9．详见解析【分析】过点C向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.【详解】如图，过点C 作CF OB ⊥与点F ，则∠F=∠CEO=90°，12∠=∠，OC=OC ，FOC EOC ∴∆≅∆，CE CF ∴=，OE OF =，CA CB =，90CEA CFB ∠=∠=︒，()R t t CAE R CBF HL ∴∆≅，4CBF ∴∠=∠，AE BF =，∵3180CBF ∠+∠=︒，34180∴∠+∠=︒，()()2OA OB OE AE OF BF OE OF OE ∴+=++-=+=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键. 10．详见解析【分析】延长AE 到M ，使ME=AE ，连接CM ，求出AC=CM ，求出DM=MC ，即可得出答案．【详解】延长AE 到M ，使ME=AE ，连接CM ，则AM=2AE ，∵CE ⊥AE ，∴AC=CM ，∴∠M=∠CAD=∠DAB ，∴AB ∥MC ，∴∠B=∠MCD ，∵AB=AD ，∴∠B=∠ADB ，∵∠ADB=∠MDC ，∴∠MCD=∠MDC ，∴MC=MD ，∴AM=2AE=AD+MD=AB+AC ，即AB+AC=2AE.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出DE=EC，有一定的难度．。
中考数学全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)及答案
中考数学全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)及答案一、全等三角形角平分线辅助1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,)a ，点B 的坐标(,0)b 且a ，b 满足212360a a a b -++-=．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）如图（1），点C 为x 轴负半轴一动点，OC OB <，BD AC ⊥于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分CDB ∠．（3）如图（2），点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，AFH FBG S S -△△的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．2．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=900，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．①AE=EF 是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上，求此时点F 的坐标．3．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OM 上运动（点B 不与点O 重合）．（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．4．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC .（1）求证：∠ABD =∠ACD ；（2）求证：AD 平分∠CDE ；（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？5．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求证：∠ADC+∠B=180º6．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O 上一点．（1）若AB 是⊙O 的切线，求∠BMC ；（2）在（1）的条件下，若E ，F 分别是AB ，AC 上的两个动点，且∠EDF =120︒，⊙O 的半径为2，试问BE +CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 7．如图所示，90B C ∠=∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠．（1）求证：AE 是DAB ∠的平分线；（2）若2cm,BAD=60CD =∠，求AD 的长．8．已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，AG 平分,BAC CG AG ∠⊥于G ，连结DG ，若6,4AB AC ==，求DG 的长．9．如图，在ABO ∆中，OA OB =，90AOB ∠=︒，AD 平分OAB ∠，OE AD ⊥于E ，交AB 于F .求证：（1）OD BF =；（2）2AD OF DE -=.10．如图所示，在ABC ∆中，AD 是它的角平分线．求证：::ABD ACD S S AB AC ∆∆=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）6(0)A ，，0(6)B ，；（2）证明见解析；（3）不变化，9AFH FBG S S -=．【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值，即可求A 、B 两点的坐标； （2）过点O 作OM BD ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（3）由于点F 是等腰直角三角形AOB 的斜边的中点，所以连接OF ，得出OF =BF ．∠BFO =∠GFH ，进而得出∠OFH =∠BFG ，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵212360a a a b ++--＝∴2(6)0a a b -+-＝， ∴600a a b -=⎧⎨-=⎩，即6a b ==． ∴6(0)A ，，0(6)B ，． （2）如图，过点O 作OM BD ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，根据题意可知=90ACO CAO ∠+∠︒．∵BD AC ⊥，∴=90BCD CBE ∠+∠︒，∴=CAO CBE ∠∠．∵6(0)A ，，0(6)B ，， ∴OA ＝OB ＝6．在AOC △和BOE △中，90CAO EBO OA OB AOC BOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴AOC BOE ASA ≅（）． ∴OE OC ＝，AC BE ＝ ，=AOC BOE S S ． ∴1122AC ON BE OM =， ∴＝OM ON ，∴点O 一定在∠CDB 的角平分线上，即OD 平分∠CDB ．（3）如图，连接OF ，∵AOB 是等腰直角三角形且点F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥，OF FB ＝，OF 平分∠AOB ．∴90OFB OFH HFB ∠∠+∠︒＝＝．又∵FG FH ⊥，∴90HFG BFG HFB ∠=∠+∠=︒，∴OFH BFG ∠∠＝．∵1452FOB AOB ∠=∠=︒， ∴4590135FOH FOB HOB ∠=∠+∠=︒+︒=︒．又∵180********FBG ABO ∠=︒-∠=︒︒=︒﹣，∴FOH FBG ∠=∠．在FOH △和FBG △中OFH BFG OF BF FOH FBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴FOH FBG ASA ≅（）． ∴FOH FBG SS ＝， ∴11116692224AFH FBG AFHFOH FOA AOB S S S S OA OB S S -====⨯=⨯⨯=﹣． 故不发生变化，且9AFH FBG SS -=．【点睛】 本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（1）△AGE 与△ECF （2）①成立②()2?21-， 【分析】（1）取AB 的中点G ，连接EG ，利用ASA 能得到△AGE 与△ECF 全等．（2）①在AB 上截取AG=EC ，由ASA 证得△AGE ≌△ECF 即可证得AE=EF ．②过点F 作FH ⊥x 轴于H ，根据FH=BE=CH 设BH=a ，则FH=a －1，然后表示出点F 的坐标，根据点F 恰好落在抛物线2y x x 1=-++上得到有关a 的方程求得a 值即可求得点F 的坐标．【详解】解：（1）如图，取AB 的中点G ，连接EG ，则△AGE 与△ECF 全等．（2）①若点E 在线段BC 上滑动时AE=EF 总成立．证明如下：如图，在AB上截取AG=EC，∵AB=BC，∴BG=BE．∴△GBE是等腰直角三角形．∴∠AGE=180°－45°=135°．又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135°．∴∠AGE=∠ECF．又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF．∴△AGE≌△ECF（ASA）．∴AE=EF．②过点F作FH⊥x轴于H，由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a－1．∴点F的坐标为F（a，a－1）．∵点F恰好落在抛物线2=-++上，y x x1∴2-=-++．a1a a1∴a2=2．∴a2=（负值不合题意，舍去）．∴a121-=．∴点F的坐标为2,21)．3．（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）∠ABO＝60°或45°【分析】（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..【详解】（1）如图1，①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABE＝12∠ABO＝30°，∠BAE＝12∠BAO＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣12∠ABO﹣12∠BAO＝180°﹣12（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣12×90°＝135°．（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝12（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，又∵∠BOA＝90°，∴∠GAO＞90°，①∵∠E＝13∠EAF＝30°，∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，∠OAE＝12∠BAO＝12（90﹣∠ABO）∴∠ABO＝60°．②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°∴∠E+∠F=90°∴∠E=22.5°∴∠EFA=90-22.5°=67.5°∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°∴∠ABO=90°-45°=45°【点睛】本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.4．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知 BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 5．见解析.【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．【详解】证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，CF CECFD CEBDF BE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180º．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．6．（1）60°；（2）BE+CF的值是定值，BE+CF=3.【分析】（1）连接BO，由AB是切线可以得到∠ABO的度数，由△ABC为等边三角形，得到∠OBC 的度数，然后得到∠BOC，根据圆心角与圆周角的关系得到∠BMC的度数.（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD ，OD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DH=DN，根据四边形内角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE=NF，于是BE+CF=BH+CN，再计算出BH=12BD，CN=12DC，则BE+CF=12BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．【详解】（1）解：如图，连接BO，∵AB是圆的切线，∴∠ABO=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CBO=90°-60°=30°，∵BO=CO，∴∠BCO=∠CBO=30°，∴∠BOC=120°，∴∠BMC=1BOC602∠=︒（2）解：BE+CF的值是为定值．理由：作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，OD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DH=DN，∠HDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠HDE=∠NDF，在△DHE和△DNF中，∴DHE DNFDH DNHDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DHE≌△DNF，∴HE=NF，∴BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN，在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，∴BH=12BD，同理可得CN=12 OC，∴BE+CF=12DB+12DC=12BC，∵3∴BC=23∴3∴BE+CF3【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．7．（1）详见解析；（2）8cm.【解析】【分析】（1）过点E 分别作EF AD ⊥于F ，由角平分线的性质就可以得出EF=EC ，根据HL 得AEB AEF ∆∆≌，即可得出结论；（2）根据角平分线和平行线的性质求出30CED DAE ∠=∠=︒ ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.【详解】（1）证明：过点E 分别作EF AD ⊥于F ，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ．∵DE 平分∠ADC ．∴∠EDC=∠EDF ，CE=EF ．∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∴BE=EF ．在Rt △AEB 和Rt △AEF 中，EB=EF AE=AE ⎧⎨⎩， ∴Rt △AEB ≌Rt △AEF （HL ），∴∠EAB=∠EAF ，∴AE 是∠DAB 的平分线；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB ∥CD ，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠BAD=60°，DE 平分ADC ∠，AE 是∠DAB 的平分线，60ADE CDE ∠=∠=︒∴ ，30DAE ∠=︒ ，A 90DE =︒∠，∵∠C=90°∴ A 30D E =︒∠，C 30DE =︒∠ ，248AD DE CD cm ∴===.故答案为（1）详见解析；（2）8cm.【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键．8．1DG =【分析】延长CG 交AB 于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG ，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC ），从而得出DG 的长． 【详解】解：延长CG 交AB 于点E ．AG 平分BAC ∠，CG AG ⊥于G ，CG EG ∴=，4AE AC ==，2BE AB AC ∴=-=，∵CG EG ，D 为BC 的中点，112DG BE ∴==． 故答案为1DG =.【点睛】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)连接DF ，证△FAE ≌△OAE ，推出AF=AO ，∠AFO=∠AOF ，求出OD=DF ，求出BF=DF ，即可得出答案；(2)在AD 上截AG=OF ，连接OG ，证△AGO ≌△OFB ，推出GO=BF=OD ，求出DE=GE ，AD-OF=DG=2DE 即可．【详解】(1)连接DF ，∵OE ⊥AD ，∴∠AEF=∠AEO=90°，∵AD 平分∠FAO ，∴∠EAF=∠OAE ，又∵AF=AF ，∴△EAF ≌△OAF(ASA)，∴AF=AO ，∠AFO=∠AOF ，∵AD ⊥OF ，∴EF=EO，∴DF=DO，∴∠DFO=∠DOF，∵∠AFO=∠AOF，∴∠AFD=∠AOB=90°，∵∠AOB=90°，AO=BO，∴∠B=45°，∴∠FDB=∠AFO-∠B=45°=∠B，∴BF=DF，∴OD=BF；(2)在AD上截AG=OF，连接OG，∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，∴∠OAG=22.5°，∵OD=DF，∴∠DFO=∠DOF，∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF，∴∠FOB=22.5°=∠OAG，∴△AGO≌△OFB(SAS)，∴GO=BF=OD，∵OE⊥AD，∴DE=GE，∴AD-OF=DG=2DE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．证明见解析．【分析】根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE=DF，△ABD与△ACD 等高，面积比即为底边的比．【详解】证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∴S△ABD：S△ACD=（12×AB×DE）：（12×AC×DF）=AB：AC．考点：1．角平分线的性质；2．三角形的面积．。
初中数学全等三角形角平分线辅助知识点-+典型题含答案
初中数学全等三角形角平分线辅助知识点-+典型题含答案一、全等三角形角平分线辅助1．已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB ∠和ABD ∠，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．2．已知点C 是∠MAN 平分线上一点，∠BCD 的两边CB 、CD 分别与射线AM 、AN 相交于B ，D 两点，且∠ABC +∠ADC ＝180°．过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图1，当点E 在线段AB 上时，求证：BC ＝DC ；（2）如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，探究线段AB 、AD 与BE 之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN ＝60°，连接BD ，作∠ABD 的平分线BF 交AD 于点F ，交AC 于点O ，连接DO 并延长交AB 于点G ．若BG ＝1，DF ＝2，求线段DB 的长．3．如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．4．在ABC 中，60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，且BD ，CE 交于点F ．（1）如图1，用等式表示BE ，BC ，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE CD BC +=．他发现先在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，再利用三角形全等的判定和性质证明CM CD =即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，则可以证明BEF 与 全等，判定它们全等的依据是 ；ⅱ）由60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，可以得出EFB ∠= °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE CD BC +=的过程． （2）如图2，若40ABC ∠=︒ ，求证：BF CA =．5．阅读理解如图1，ABC 中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，剪掉重叠部分；……；将余下部分沿∠n n B A C 的平分线1n n A B +折叠，点n B 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC ∠是ABC 的好角．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角BAC ∠的平分线1AB 折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿ABC 的BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与点C 重合．探究发现（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，问BAC ∠ ABC 的好角（填写“是”或“不是”）；（2）若经过三次折叠发现BAC ∠是ABC 的好角，请探究B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系 ；根据以上内容猜想：若经过n 次折叠BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系为 ；应用提升：（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15︒，60︒，105︒，发现 是此三角形的好角；（4）如果一个三角形的最小角是10︒，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角； 则此三角形另外两个角的度数 ．6．如图，∠D ＝∠C ＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB ，∠DEA ＝28°，求∠ABE 的大小．7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：∠ECA ＝40°．8．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于点D ，试说明：BF ＝2CD ．9．如图，在ABO ∆中，OA OB =，90AOB ∠=︒，AD 平分OAB ∠，OE AD ⊥于E ，交AB 于F .求证：（1）OD BF =；（2）2AD OF DE -=.10．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．AB=AC+BD，证明见详解．【分析】延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，问题得证．【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，AC BD，∵//∴∠F=∠CAF，∠，∵AE平分CAB∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∠，∵BE平分ABF∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．2．（1）见解析；（2）AD ﹣AB ＝2BE ，理由见解析；（3）3．【分析】（1）过点C 作CF ⊥AD ，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，证明△BCE ≌△DCF ，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点C 作CF ⊥AD ，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，AE ＝AF ，证明△BCE ≌△DCF ，得到DF ＝BE ，结合图形解答即可；（3）在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，证明△OBH ≌△OBG ，根据全等三角形的性质得到∠OHB ＝∠OGB ，根据角平分线的判定定理得到∠ODH ＝∠ODF ，证明△ODH ≌△ODF ，得到DH ＝DF ，计算即可．【详解】（1）证明：如图1，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，∵∠CBE +∠ADC ＝180°，∠CDF +∠ADC ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （AAS ）∴BC ＝DC ；（2）解：AD ﹣AB ＝2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，∴AD ＝AF +DF ＝AE +DF ＝AB +BE +DF ＝AB +2BE ，∴AD ﹣AB ＝2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，∵BH ＝BG ，∠OBH ＝∠OBG ，OB ＝OB在△OBH 和△OBG 中，BH BG OBH OBG OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBH ≌△OBG （SAS ）∴∠OHB ＝∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH ＝∠ODF ，∵∠OHB ＝∠ODH +∠DOH ，∠OGB ＝∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH ＝∠DAB ＝60°，∴∠GOH ＝120°，∴∠BOG ＝∠BOH ＝60°，∴∠DOF ＝∠BOG ＝60°，∴∠DOH ＝∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，DOH DOF OD OD ODH ODF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODH ≌△ODF （ASA ），∴DH ＝DF ，∴DB ＝DH +BH ＝DF +BG ＝2+1＝3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．3．（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连接BP 、CP ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP =，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DP EP =，然后利用“HL ”证明Rt BDP ∆和Rt CEP 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL ”证明Rt ADP ∆和Rt AEP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE =，再根据AB 、AC 的长度表示出AD 、CE ，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP 、CP ，点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP ∴=， AP 是DAC ∠的平分线，DP EP ，在Rt BDP ∆和Rt CEP 中，BPCP DP EP ，Rt BDPRt CEP(HL)， BD CE ∴=；（2）解：在Rt ADP ∆和Rt AEP 中，APAP DP EP ，Rt ADPRt AEP(HL)， AD AE ∴=，6AB cm =，10AC cm =，610AD AE ，即610AD AD ，解得AD 2cm =．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．4．（1）①ⅰ）△BMF ，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析【分析】（1）先得出结论；①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF ，进而得出△BEF ≌△BMF ，求出∠BFM ，即可判断出∠CFM=∠CFD ，即可判断出△FCM ≌△FCD ，即可得出结论；（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE ，进而判断出△BGF ≌△CEA ，即可得出结论．【详解】（1）BC CD BE =+①如图1，在BC 上取一点M ，使BM BE =，ⅰ）BD 是ABC ∠的平分线，EBF MBF ∴∠=∠， 在BEF ∆和BMF ∆中，BE BM EBF MBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF BMF SAS ∴∆≅∆；ⅱ）BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线，12FBC ABC ∴∠=∠，12BCF ACB ∠=∠， 在ABC ∆中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，60A ∠=︒，180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，1180()180()1202BFC CBF BCF ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒， 18012060EFB ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：ⅰ）ΔBMF ，SAS ；ⅱ）60；②由①知，60BFE ∠=︒，BEF BMF ∆≅∆，60CFD BFE ∴∠=∠=︒，∵BEF BMF ∆≅∆，60BFE BFM ∴∠=∠=︒，60CFM BFC BFM ∴∠=∠-∠=︒，60CFM CFD ∴∠=∠=︒， CE 是ACB ∠的平分线，FCM FCD ∴∠=∠，在FCM ∆和FCD ∆中，CFM CFD CF CF FCM FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FCM FCD ASA ∴∆≅∆，CM CD ∴=，BC CM BM CD BE ∴=+=+；（2）如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，40ABC ∠=︒，80ACB ∴∠=︒， BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线，1202ABD CBD ABC ∴∠=∠=∠=︒，1402BCE ACE ACB ∠=∠=∠=︒， 80AEC ABC BCE ∴∠=∠+∠=︒，ABC BCE ∠=∠，BE CE ∴=，在ABC ∆的边AB 左侧作20ABG ∠=︒，交CE 的延长线于G ，40FBG ABD ABG ACE ∴∠=∠+∠=︒=∠．80AEC ∠=︒，80BEG ∴∠=︒，18080G ABG BEG BEG AEC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠=∠，BG BE ∴=，BG CE ∴=，在BGF ∆和CEA ∆中，4080FBG ACE BG CE BGF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，BGF CEA ∴∆≅∆，BF AC ∴=．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出CFM CFD ∠=∠，（2）作出辅助线，判断出BG CE =．5．（1）是；（2）3∠=∠B C ；∠=∠B n C ；（3）60︒和105︒；（4）另外两个角的度数分别为160︒和10︒【分析】（1）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，且1111AA B C A B C ∠=∠+∠，沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，可得11AB C C ∠=∠，即可证2B C ∠=∠.（2）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，由将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，得11122A B C A A B ∠=∠，最后沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合，得22C A B C ∠=∠，由11B A B C C ∠=∠+∠，可证3∠=∠B C ；由小丽展示的情形一当B C ∠=∠时；由探究（1）当2B C ∠=∠时；由探究（2）当3∠=∠B C 时，它们的BAC ∠均是ABC 的好角；可推经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C .（3）由（2）得∠=∠B n C ，可计算60,105︒︒是ABC 的好角.（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，已知中一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数），依题意列式101010180m mn ++=，可求解得.【详解】（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，BAC ∠是ABC 的好角； 理由如下：沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，11B AA B ∴∠=∠；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，11A B C C ∴∠=∠；1111AA B C A B C ∠=∠+∠；2B C ∴∠=∠，故答案是：是；（2）在ABC 中,沿BAC ∠的平分线1AB 折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合,则BAC ∠是ABC 的好角.证明：11B AA B ∠=∠，22,C A B C ∠=∠，122222A A B C A B C C ∴∠=∠+∠=∠，11B A B C C ∠=∠+∠11122A B C A A B ∠=∠，2C B C ∠∴=+∠∠，3B C ∴∠=∠，由小丽展示的情形一知，当B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；由探究（1）知，当2B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；由探究（2）知，当3∠=∠B C 时，BAC ∠是ABC 的好角；故若经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C . 故答案为：3;B C B n C ∠=∠∠=∠.（3）由（2）知，∠=∠B n C ，60415︒=⨯︒，105715︒=⨯︒，60,105∴︒︒是ABC 的好角.故答案为：60,105︒︒.（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数）.依题意得101010180m mn ++=，化简得(1)17m n +=，,m n 都是正整数，∴,1m n +都是17的整数因子，∴1m =，117n +=，∴1m =，16n =，∴1010m ︒=︒，10160mn ︒=︒，即该三角形的另外两个角是：10︒和160︒.故答案为：10,160︒︒.【点睛】本题考查的是折叠的性质应用、三角形的外角等不相邻的两个内角之和，并涉及一些数学归纳法思想来推导结论，一道比较综合知识点的新颖考题，在第（4）小题中不需要去解出根，而是根据这种限定条件来确定解，这是一种不同于以往的解题思路.6．28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．7．见解析【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，根据SAS可证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，证明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°．【详解】证明：在BC上截取BF＝AB，连DF，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠FBD ，在△ABD 和△ＦBD 中，AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△FBD （SAS ），∴DF ＝DA ＝DE ，又∵∠ACB ＝∠ABC ＝40°，∠DFC ＝180°﹣∠A ＝80°，∴∠FDC ＝60°，∴∠EDC ＝∠ADB ＝180°﹣∠ABD ﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE 和△DCF 中，DF DE FDC EDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCE ≌△DCF （SAS ），∴∠ECA ＝∠DCB ＝40°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．见解析【分析】作BF 的中点E ，连接AE 、AD ，根据直角三角形得到性质就可以得出AE ＝BE ＝EF ，由BD 平分∠ABC 就可以得出∠ABE ＝∠DBC ＝22.5°，从而可以得出∠BAE ＝∠BAE ＝∠ACD ＝22.5°，∠AEF ＝45°，由∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°就可以得出A 、B 、C 、D 四点共圆，求出AD ＝DC ，证△ADC ≌△AEB 推出BE ＝CD ，从而得到结论．【详解】解：取BF 的中点E ，连接AE ，AD ，∵∠BAC ＝90°，∴AE ＝BE ＝EF ，∴∠ABD ＝∠BAE ，∵CD ⊥BD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DAC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，∴∠EAD ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，∴∠AED ＝45°，∴AE ＝AD ，在△ABE 与△ADC 中，ABE DAC BAE ACD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE ＝CD ，∴BF ＝2CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)连接DF ，证△FAE ≌△OAE ，推出AF=AO ，∠AFO=∠AOF ，求出OD=DF ，求出BF=DF ，即可得出答案；(2)在AD 上截AG=OF ，连接OG ，证△AGO ≌△OFB ，推出GO=BF=OD ，求出DE=GE ，AD-OF=DG=2DE 即可．【详解】(1)连接DF ，∵OE ⊥AD ，∴∠AEF=∠AEO=90°，∵AD 平分∠FAO ，∴∠EAF=∠OAE ，又∵AF=AF ，∴△EAF ≌△OAF(ASA)，∴AF=AO，∠AFO=∠AOF，∵AD⊥OF，∴EF=EO，∴DF=DO，∴∠DFO=∠DOF，∵∠AFO=∠AOF，∴∠AFD=∠AOB=90°，∵∠AOB=90°，AO=BO，∴∠B=45°，∴∠FDB=∠AFO-∠B=45°=∠B，∴BF=DF，∴OD=BF；(2)在AD上截AG=OF，连接OG，∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，∴∠OAG=22.5°，∵OD=DF，∴∠DFO=∠DOF，∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF，∴∠FOB=22.5°=∠OAG，∴△AGO≌△OFB(SAS)，∴GO=BF=OD，∵OE⊥AD，∴DE=GE，∴AD-OF=DG=2DE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．详见解析【分析】延长BO，AE并交于F，证△ABE≌△FBE，推出AE=EF，证△BOD≌△AOF推出BD=AF即可．【详解】延长BO，AE并交于F，∵BD 平分∠ABO ，AF ⊥BD ，∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°，在△ABE 和△FBE 中1=2BE BEAEB FEB ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△FBE ，∴AE=EF ，∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO ，∴∠2=∠OAF ，∵∠AOB=90°，∴∠DOB=∠FOA=90°，∴在△OBD 和△OAF 中2=FAO BO AOBOD AOF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OBD ≌△OAF ，∴BD=AF ，∵AE=EF ，∴BD=2AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.。
中考数学二轮复习全等三角形角平分线辅助知识归纳总结及答案
中考数学二轮复习全等三角形角平分线辅助知识归纳总结及答案一、全等三角形角平分线辅助1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,)a ，点B 的坐标(,0)b 且a ，b 满足212360a a a b -++-=．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）如图（1），点C 为x 轴负半轴一动点，OC OB <，BD AC ⊥于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分CDB ∠．（3）如图（2），点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，AFH FBG S S -△△的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．2．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD BC =+，DAB ∠的平分线和ABC ∠的平分线交于CD 边上点P ．求证：PC PD =；（2）在（1）的条件下，如图③，若10AB =，1tan 2PAB ∠=．当PBC 有一个内角是45︒时，PAD △的面积是 ．3．∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB=°（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D①若∠BAO=60°，则∠D=°．②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．4．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OM 上运动（点B 不与点O 重合）．（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，①当∠ABO ＝60°时，求∠AEB 的度数；②点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB 的大小；（2）如图2，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线所在的直线分别相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．5．如图，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至点E ，DE AD =，试求ECA ∠的度数．6．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于点D ，试说明：BF ＝2CD ．7．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC .（1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证： AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？8．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，求证：∠ADC+∠B=180º9．如图，已知BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 外一点，△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，M 为⊙O 上一点．（1）若AB 是⊙O 的切线，求∠BMC ；（2）在（1）的条件下，若E ，F 分别是AB ，AC 上的两个动点，且∠EDF =120︒，⊙O 的半径为2，试问BE +CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 10．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证：()12DE AB AC =-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）6(0)A ，，0(6)B ，；（2）证明见解析；（3）不变化，9AFH FBG S S -=．【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值，即可求A 、B 两点的坐标； （2）过点O 作OM BD ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（3）由于点F 是等腰直角三角形AOB 的斜边的中点，所以连接OF ，得出OF =BF ．∠BFO =∠GFH ，进而得出∠OFH =∠BFG ，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵212360a a a b ++--＝∴2(6)0a a b -+-＝，∴600a ab -=⎧⎨-=⎩ ，即6a b ==． ∴6(0)A ，，0(6)B ，． （2）如图，过点O 作OM BD ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，根据题意可知=90ACO CAO ∠+∠︒．∵BD AC ⊥，∴=90BCD CBE ∠+∠︒，∴=CAO CBE ∠∠．∵6(0)A ，，0(6)B ，， ∴OA ＝OB ＝6．在AOC △和BOE △中，90CAO EBO OA OB AOC BOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴AOC BOE ASA ≅（）． ∴OE OC ＝，AC BE ＝ ，=AOC BOE S S ． ∴1122AC ON BE OM =， ∴＝OM ON ，∴点O 一定在∠CDB 的角平分线上，即OD 平分∠CDB ．（3）如图，连接OF ，∵AOB 是等腰直角三角形且点F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥，OF FB ＝，OF 平分∠AOB ．∴90OFB OFH HFB ∠∠+∠︒＝＝．又∵FG FH ⊥，∴90HFG BFG HFB ∠=∠+∠=︒，∴OFH BFG ∠∠＝．∵1452FOB AOB ∠=∠=︒， ∴4590135FOH FOB HOB ∠=∠+∠=︒+︒=︒．又∵180********FBG ABO ∠=︒-∠=︒︒=︒﹣，∴FOH FBG ∠=∠．在FOH △和FBG △中OFH BFG OF BF FOH FBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴FOH FBG ASA ≅（）． ∴FOH FBG S S ＝， ∴11116692224AFH FBG AFHFOH FOA AOB S S S S OA OB S S -====⨯=⨯⨯=﹣． 故不发生变化，且9AFH FBG SS -=．【点睛】 本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：∵OC 平分AOB ∠，∴AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中， OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，∵AP平分DAB∠，∴DAP BAP∠=∠，∵AP AP=，∴ADP AEP△≌△．∴PE PD=．∵AB AD BC=+，∴BE BC=，∵BP平分ABC∠，∴ABP CBP∠=∠．∵BP BP=．∴PBE PBC△≌△．∴PE PC=．∴PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠PAB＝PBPA＝12，∴PA＝2PB，∵PA2+PB2＝AB2，∴PB＝25，PA＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP ⊥AP ，AP ＝PH ＝45， ∵∠DAP ＝∠H ，AP ＝PH ，∠DPA ＝∠CPH ，∴△ADP ≌△HCP （ASA ），∴CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，若∠PBC ＝45°时，则∠PBC ＝∠H ＝45°，∴PB ＝PH （不合题意舍去），若∠BPC ＝45°时，则∠HPC ＝∠BPC ＝45°，如图④，过点C 作CN ⊥BP 于N ，CM ⊥PH 于M ，∴CM ＝CN ，∵S △PBH ＝12×BP ×PH ＝12×BP ×CN +12×PH ×CM ， ∴CM ＝CN ＝453， ∴S △PCH ＝12×45×453＝403＝S △ADP ； 若∠PCB ＝45°时，如图⑤，过点P 作PF ⊥BC 于F ，∵∠PAB ＝∠H ，∴tan H ＝tan ∠PAB ＝12， ∴12PF FH ， ∴FH ＝2PF ， ∵PF 2+FH 2＝PH 2＝80，∴PF ＝4，FH ＝8，∵PF ⊥BC ，∠BCP ＝45°，∴∠PCB ＝∠FPC ＝45°，∴CF ＝PF ＝4，∴CH ＝4，∴S △ADP ＝S △CPH ＝12×4×4＝8， 故答案为：8或403． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍.【详解】 （1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。
中考数学二轮复习全等三角形角平分线辅助知识归纳总结附解析
中考数学二轮复习全等三角形角平分线辅助知识归纳总结附解析一、全等三角形角平分线辅助1．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．（1）求证：CD 平分ACB ∠；（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．2．已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB ∠和ABD ∠，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．3．已知点C 是∠MAN 平分线上一点，∠BCD 的两边CB 、CD 分别与射线AM 、AN 相交于B ，D 两点，且∠ABC +∠ADC ＝180°．过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图1，当点E 在线段AB 上时，求证：BC ＝DC ；（2）如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，探究线段AB 、AD 与BE 之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN ＝60°，连接BD ，作∠ABD 的平分线BF 交AD 于点F ，交AC 于点O ，连接DO 并延长交AB 于点G ．若BG ＝1，DF ＝2，求线段DB 的长．4．（特例感知）（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．5．在ABC 中，60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，且BD ，CE 交于点F ．（1）如图1，用等式表示BE ，BC ，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE CD BC +=．他发现先在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，再利用三角形全等的判定和性质证明CM CD =即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，则可以证明BEF 与 全等，判定它们全等的依据是 ；ⅱ）由60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，可以得出EFB ∠= °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE CD BC +=的过程． （2）如图2，若40ABC ∠=︒ ，求证：BF CA =．6．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）． 7．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点A B 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数． （3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）8．如图，∠D ＝∠C ＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB ，∠DEA ＝28°，求∠ABE 的大小．9．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、ACB ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ，试判断FE 和FD 之间的数量关系.10．如图，在四边形OACB 中，CE OA ⊥于E ，12∠=∠，CA CB =.求证：34180∠+∠=︒；2OA OB OE +=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，∴DG DH DK ==，∴CD 平分ACB ∠；（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠． ∵CD 平分ACB ∠，∴DS DT =，∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，∴CQD DFT ∠=∠，在SQD 和TFD △中，90CQD DFT DS DTDSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴SQD TFD △≌△，∴QD FD =，在QDP △和FDP 中QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QDP FDP △≌△，∴45QPD FPD ∠=∠=︒又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，∴CP PD =；（3）证明：延长AB 至M ，使BMBF =，连接FM ． ∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，∴C ABE CBE ∠=∠=∠，∴CE EB =，∵BM BF =，∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，在AFC △和AFM △中，C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AFC AFM △≌△，∴AC AM =，∴AE CE AB BM +=+，∴AE BE AB BF +=+，∴BE BF AB AE -=-．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．2．AB=AC+BD ，证明见详解．【分析】延长AE ，交BD 的延长线于点F ，先证明AB=BF ，进而证明△ACE ≌△FDE ，得到AC=DF ，问题得证．【详解】解：延长AE ，交BD 的延长线于点F ，∵//AC BD ，∴∠F=∠CAF ，∵AE 平分CAB ∠，∴∠CAF=∠BAF ，∴∠F=∠BAF ，∴AB=BF ，∵BE 平分ABF ∠，∴AE=EF ，∵∠F=∠CAF ，∠AEC=∠FED ，∴△ACE ≌△FDE ，∴AC=DF ，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．3．（1）见解析；（2）AD ﹣AB ＝2BE ，理由见解析；（3）3．【分析】（1）过点C 作CF ⊥AD ，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，证明△BCE ≌△DCF ，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点C 作CF ⊥AD ，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，AE ＝AF ，证明△BCE ≌△DCF ，得到DF ＝BE ，结合图形解答即可；（3）在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，证明△OBH ≌△OBG ，根据全等三角形的性质得到∠OHB ＝∠OGB ，根据角平分线的判定定理得到∠ODH ＝∠ODF ，证明△ODH ≌△ODF ，得到DH ＝DF ，计算即可．【详解】（1）证明：如图1，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，∵∠CBE +∠ADC ＝180°，∠CDF +∠ADC ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （AAS ）∴BC ＝DC ；（2）解：AD ﹣AB ＝2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，∴AD ＝AF +DF ＝AE +DF ＝AB +BE +DF ＝AB +2BE ，∴AD ﹣AB ＝2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，∵BH ＝BG ，∠OBH ＝∠OBG ，OB ＝OB在△OBH 和△OBG 中，BH BG OBH OBG OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBH ≌△OBG （SAS ）∴∠OHB ＝∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH ＝∠ODF ，∵∠OHB ＝∠ODH +∠DOH ，∠OGB ＝∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH ＝∠DAB ＝60°，∴∠GOH ＝120°，∴∠BOG ＝∠BOH ＝60°，∴∠DOF ＝∠BOG ＝60°，∴∠DOH ＝∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，DOH DOF OD OD ODH ODF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODH ≌△ODF （ASA ），∴DH ＝DF ，∴DB ＝DH +BH ＝DF +BG ＝2+1＝3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．4．（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（3）5． 【分析】 （1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图①BD 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=，BC 是直径，90BDC ∴∠=︒，2222435BC BD CD ∴=+=+=，1122BC DE BD DC =， 125DE ∴=， 125DF DE =∴=． 故答案为125 （2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD =，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③ 7BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，10AC ∴==，由切线长定理可知：610842AN +-==， 541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ， 则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ， 即2MN =，在Rt OMN ∆中，OM ===．【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（1）①ⅰ）△BMF ，边角边；ⅱ）60；②详见解析；（2）详见解析【分析】（1）先得出结论；①利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；②利用角平分线得出∠EBF=∠MBF ，进而得出△BEF ≌△BMF ，求出∠BFM ，即可判断出∠CFM=∠CFD ，即可判断出△FCM ≌△FCD ，即可得出结论；（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG=CE ，进而判断出△BGF ≌△CEA ，即可得出结论．【详解】（1）BC CD BE =+①如图1，在BC 上取一点M ，使BM BE =，ⅰ）BD 是ABC ∠的平分线，EBF MBF ∴∠=∠， 在BEF ∆和BMF ∆中，BE BM EBF MBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF BMF SAS ∴∆≅∆；ⅱ）BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线， 12FBC ABC ∴∠=∠，12BCF ACB ∠=∠， 在ABC ∆中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，60A ∠=︒，180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，1180()180()1202BFC CBF BCF ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒， 18012060EFB ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：ⅰ）ΔBMF ，SAS ；ⅱ）60；②由①知，60BFE ∠=︒，BEF BMF ∆≅∆，60CFD BFE ∴∠=∠=︒，∵BEF BMF ∆≅∆，60BFE BFM ∴∠=∠=︒，60CFM BFC BFM ∴∠=∠-∠=︒，60CFM CFD ∴∠=∠=︒，CE 是ACB ∠的平分线，FCM FCD ∴∠=∠，在FCM ∆和FCD ∆中，CFM CFD CF CF FCM FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FCM FCD ASA ∴∆≅∆，CM CD ∴=，BC CM BM CD BE ∴=+=+；（2）如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，40ABC ∠=︒，80ACB ∴∠=︒，BD ，CE 是ABC ∆的两条角平分线，1202ABD CBD ABC ∴∠=∠=∠=︒，1402BCE ACE ACB ∠=∠=∠=︒， 80AEC ABC BCE ∴∠=∠+∠=︒，ABC BCE ∠=∠，BE CE ∴=，在ABC ∆的边AB 左侧作20ABG ∠=︒，交CE 的延长线于G ，40FBG ABD ABG ACE ∴∠=∠+∠=︒=∠．80AEC ∠=︒，80BEG ∴∠=︒，18080G ABG BEG BEG AEC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠=∠，BG BE ∴=，BG CE ∴=，在BGF ∆和CEA ∆中，4080FBG ACE BG CE BGF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，BGF CEA ∴∆≅∆，BF AC ∴=．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出CFM CFD ∠=∠，（2）作出辅助线，判断出BG CE =．6．（1）214t ；（2）22t =3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，22t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，32t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，722t =【分析】（1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122AH AB ==，然后与（1）所求的22AH =建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：2AP t =，点Q 为AP 的中点，12AQ AP t ∴==， 四边形ABCD 是矩形，90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，AE ∵是BAD ∠的角平分线，1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，AQH ∴是等腰直角三角形，22AH HQ AQ t ∴===， 则AQH 的面积为21124AH HQ t ⋅=； （2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，//HQ MP ∴，点M 在BC 边上，//HQ BP ∴，点Q 为AP 的中点，HQ ∴是ABP △的中位线，122AH BH AB ∴===，由（1）知，2AH =，则22t =，解得t =；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AHHB =，四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，HAQ BHM ∴∠=∠，在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AHQ HBM ASA ∴≅，由（2）可知，此时22t =；②如图3，当点Q 与点E 重合时，在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS ∴≅，3AD AH ∴==， 23=，解得32t =；③如图4，当EG HB =时，四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，//,//CD AB HM PQ ∴，,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,42AH AB ==， 24HB AB AH ∴=-=， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=， Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE ==32EQ AQ AE t ∴=-=-，在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒， Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -==， 则由EG HB =2624t -=-， 解得722t =综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722t =【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．7．（1）不发生变化，∠AEB =135°；（2）不发生变化，∠CED =67.5°；（3）60°或45°【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB =90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出∠BAE =12∠OAB ，∠ABE =12∠ABO ，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB =90°，进而得出∠OAB +∠OBA =90°，故∠PAB +∠MBA =270°，再由A D 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知∠BAD =12∠BAP ，∠ABC =12∠ABM ，由三角形内角和定理可知∠F =45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知∠CDE +∠DCE =112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知∠EAO =12∠BAO ，∠EOQ =12∠BOQ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF =90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB 的大小不变，∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴∠AOB =90°，∴∠OAB +∠OBA =90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED =67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．8．28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．9．详见解析【解析】【分析】如图，过点F 作FH BC ⊥，FG AB ⊥，垂足分别为H 、G ，根据角平分线，可得点F 是ABC ∆的内心，则有FG FH =，继而根据三角形内心的性质可得FDH FEG ∠=∠，从而可得FDH FEG ∆∆≌，继而可得FE=FD.【详解】FE=FD ，理由如下：如图，过点F 作FH BC ⊥，FG AB ⊥，垂足分别为H 、G. F 是BAC ∠，ACB ∠的平分线AD 、CE 的交点，F ∴为ABC ∆的内心，FG FH ∴=.60B ∠=︒， ()1602FAC FCA BAC BCA ∴∠+∠=∠+∠=︒， 又60FDH B BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠；60FEG BAD FAC FCA BAD ∠=∠+∠+∠=︒+∠，FDH FEG ∴∠=∠，又GH FH =，FDH FEG ∴∆∆≌，FD FE ∴=.【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．10．详见解析【分析】过点C 向OA 、OB 作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.【详解】如图，过点C 作CF OB ⊥与点F ，则∠F=∠CEO=90°，12∠=∠，OC=OC ，FOC EOC ∴∆≅∆，CE CF ∴=，OE OF =，CA CB =，90CEA CFB ∠=∠=︒，()R t t CAE R CBF HL ∴∆≅，4CBF ∴∠=∠，AE BF =，∵3180CBF ∠+∠=︒，34180∴∠+∠=︒，()()2OA OB OE AE OF BF OE OF OE ∴+=++-=+=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.。
初二数学 全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)及解析
初二数学 全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)及解析一、全等三角形角平分线辅助1．如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．2．（特例感知）（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．3．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．4．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD BC =+，DAB ∠的平分线和ABC ∠的平分线交于CD 边上点P ．求证：PC PD =；（2）在（1）的条件下，如图③，若10AB =，1tan 2PAB ∠=．当PBC 有一个内角是45︒时，PAD △的面积是 ．5．阅读资料，解决问题．人教版《数学九年级（下册）》的30页有这样一个思考问题：问题：如图，在ABC △中，DE BC ∥交AB ，AC 于点D ，E ，如果通过“相似的定义”证明ADE ABC △△∽？分析：根据“两直线平行，同位角相等”容易得出三对对应角分别相等，再根据“平行线分线段成比例”的基本事实，容易得出AD AE AB AC=，所以这个问题的核心时如何证明“DE AE BC AC =”． 证明思路：过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ，构造平行四边形BDEF ，得到DE BF =，从而将比例式中的DE ，BC 转化为共线的两条线段BF ，BC ，同时也构造了基本图形“”，得到BF AE BC AC=，从而得证．解决问题：（1）①类比资料中的证明思路，请你证明“三角形内角平分线定理”．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图1，ABC △中，AD 是角平分线．求证：AB BD AC DC=．②运用“三角形内角平分线定理”填空：已知：如图2，ABC △中，AD 是角平分线，7AB =，4AC =，6BC =，则BD =__________．（2）我们知道，如果两个三角形有相同的高或者相等的高，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究ABD△和ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．已知：如图3，ABC△中，AD是角平分线．求证：AB BD AC DC=．6．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=E F是否一定成立？说出你的理由；②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．7．如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．NAB∠和ABQ∠的平分线交于点C．（1）求证：BC AC⊥；（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD BE AB+=；②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．8．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠=．9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上的点，连结AM.如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，求点M 到AC 的距离.10．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC BD CD ->-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连接BP 、CP ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP =，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DP EP =，然后利用“HL ”证明Rt BDP ∆和Rt CEP 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL ”证明Rt ADP ∆和Rt AEP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE =，再根据AB 、AC 的长度表示出AD 、CE ，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP 、CP ，点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP ∴=， AP 是DAC ∠的平分线，DP EP ，在Rt BDP ∆和Rt CEP 中，BPCP DP EP ，Rt BDPRt CEP(HL)， BD CE ∴=；（2）解：在Rt ADP ∆和Rt AEP 中，APAP DP EP ，Rt ADPRt AEP(HL)， AD AE ∴=，6AB cm =，10AC cm =，610AD AE ，即610AD AD ，解得AD 2cm =．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（35 【分析】 （1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图①BD 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=，BC 是直径，90BDC ∴∠=︒，2222435BC BD CD ∴=+=+=，1122BC DE BD DC =， 125DE ∴=， 125DF DE =∴=． 故答案为125 （2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD =，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③ 72BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，226810AC ∴=+=，由切线长定理可知：610842AN +-==， 541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ， 则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ， 即2MN =，在Rt OMN ∆中，2222215OM MN ON =+=+=． 5【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD【分析】（1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（3，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD平分∠ADC；（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．【详解】（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵点C的坐标为（3，0），∴OC=3=OE，∴点E的坐标为（0，3）；（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，∵2OCB DAO ∠=∠，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC=903︒=30°，∠DCA=2903⨯︒=60° ∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD ．【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．4．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：∵OC 平分AOB ∠，∴AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中， OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴POM PON △≌△．结论应用：在AB上截取AE AD=，∵AP平分DAB∠，∴DAP BAP∠=∠，∵AP AP=，∴ADP AEP△≌△．∴PE PD=．∵AB AD BC=+，∴BE BC=，∵BP平分ABC∠，∴ABP CBP∠=∠．∵BP BP=．∴PBE PBC△≌△．∴PE PC=．∴PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠PAB＝PBPA＝12，∴PA＝2PB，∵PA2+PB2＝AB2，∴PB＝25，PA＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB ＝BH ＝10，又∵PB 平分∠ABC ，∴BP ⊥AP ，AP ＝PH ＝45， ∵∠DAP ＝∠H ，AP ＝PH ，∠DPA ＝∠CPH ，∴△ADP ≌△HCP （ASA ），∴CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，若∠PBC ＝45°时，则∠PBC ＝∠H ＝45°，∴PB ＝PH （不合题意舍去），若∠BPC ＝45°时，则∠HPC ＝∠BPC ＝45°，如图④，过点C 作CN ⊥BP 于N ，CM ⊥PH 于M ，∴CM ＝CN ，∵S △PBH ＝12×BP ×PH ＝12×BP ×CN +12×PH ×CM ， ∴CM ＝CN ＝453， ∴S △PCH ＝12×45×453＝403＝S △ADP ； 若∠PCB ＝45°时，如图⑤，过点P 作PF ⊥BC 于F ，∵∠PAB ＝∠H ，∴tan H ＝tan ∠PAB ＝12， ∴12PF FH ， ∴FH ＝2PF ， ∵PF 2+FH 2＝PH 2＝80，∴PF ＝4，FH ＝8，∵PF ⊥BC ，∠BCP ＝45°，∴∠PCB ＝∠FPC ＝45°，∴CF ＝PF ＝4，∴CH ＝4，∴S △ADP ＝S △CPH ＝12×4×4＝8， 故答案为：8或403． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．5．（1）①证明见解析②4211 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）①如图过点C 作AB 的平行线交AD 的延长线于点E ，然后说明ADB EDC △∽△，利用相似三角形的性质即可完成证明;②设BD x =,然后利用（1）的结论和已知条件即可完成解答; （2）过点D 作AB ，AC 的垂线，垂足为M 、N ，过点A 作BC 的垂线，垂足为H ;先利用角平分线定理说明DM DN =，然后再利用等面积法得到11:::22ABD ADC S S AB MD AC DN AB AC =⋅⨯=△△和11:::22ABD ADC S S BD AH OC AH BD DC =⋅⋅=△△，从而得到::AB AC BD DC =，即AB BD AC DC=. 【详解】（1）①证明：过点C 作AB 的平行线交AD 的延长线于点E ，∴1E ∠=∠，又∵AD 平分BAC ∠，∵12∠=∠，∴2E ∠=∠，∴AC CE =，又∵34∠=∠，∴ADB EDC △∽△， ∴AB BD CE DC =， ∴AB BD AC DC =． ②设BD x =，∴6DC x =-，又∵AB BD AC DC =， ∴746x x=-， ∴4427x x =-，∴1142x =，42x 11=．（2）过点D 作AB ，AC 的垂线，垂足为M 、N ，过点A 作BC 的垂线，垂足为H ，∵AD 为BAC ∠的角分线，∴DM DN =，11:::22ABD ADC S S AB MD AC DN AB AC =⋅⨯=△△， 又∵11:::22ABD ADC S S BD AH OC AH BD DC =⋅⋅=△△， ∴::AB AC BD DC =，∴AB BD AC DC=． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的知识，其中运用等面积法、相似三角形的性质和证明、做辅助线均是解答本题的关键.6．（1）见解析；（2）①见解析；②点F 的坐标为F （，）【解析】试题分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中点，从而只需取AB点G，连接EG，则有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同样可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，证全等即可；②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式，设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．解：（1）如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE≌△ECF．（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．证明：如图2，在AB上截取AG=EC．∵AB=BC，∴BG=BE，∴△GBE是等腰直角三角形，∴∠AGE=180°﹣45°=135°，∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135°，∴∠AGE=∠ECF，而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF．②由题意可知抛物线经过A（0，1），D（1，1）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，过点F作FH⊥x轴于H，由①知，FH=BE=CH ，设BH=a ，则FH=a ﹣1，∴点F 的坐标为F （a ，a ﹣1），∵点F 恰好落在抛物线y=﹣x 2+x+1上，∴a ﹣1=﹣a 2+a+1，∴a=（负值不合题意，舍去），点F 的坐标为F （，）. 考点：二次函数综合题．7．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE AD AB =+【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC ⊥AC;(2) ①延长AC 交PQ 点F ，先证明AC=FC,再证明△ACD ≌△FCE,即可得AD+BE=AB; ②方法与①相同．【详解】解：（1）∵MN ∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC 平分∠NAB ，BC 平分∠ABQ ∴11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ∴∠BAC+∠ABC=12180⨯︒=90° 在△ABC 中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°∴BC ⊥AC;（2）①延长AC 交PQ 于点F∵BC ⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC 平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC ≌△FBC∴AC=CF ，AB=BF∵MN ∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD ≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE②线段AD ，BE ，AB 数量关系是：AD+AB=BE如图3，延长AC 交PQ 点F,∵MN//PQ ．∴∠AFB=∠FAN ，∠DAC=∠EFC∵AC 平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC ⊥AC∴C 是AF 的中点∴AC=FC在△ACD 与△FCE 中DAC EFC AC FCACD FCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ACD FCE ASA ≅∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．8．详见解析【解析】【分析】过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，∴CF=CE ，在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB ⎧⎨⎩∴CBE CDF ∆∆≌， CBE CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒，A C 180B D ∴∠+∠=︒ .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．9．点M 到AC 的距离为2【解析】【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN ，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M 到AC 的距离即可．【详解】∵△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，假设这个点是B′， 作MN ⊥AC ，MD ⊥AB ，垂足分别为N ，D ，又∵Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB′=3，DM=MN ，AB′=B′C=3，S △BAC =S △BAM +S △MAC ， 即12×3×6=12×MD×3+12×6×MN ， ∴MD=2，所以点M 到AC 的距离是2．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN ，以及AB=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．10．详见解析【解析】【分析】可以在AB 上截取AE=AC ，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论．【详解】在AB 上截取AE=AC ，则BE=AB-AC ，在△AED 和△ACD 中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△ACD(SAS)，∴DE=DC ，在△BDE 中，BD-DE ＜BE(三角形两边之差小于第三边)，∴BE>BD-CD ，即AB-AC>BD-CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的关键．。
中考数学二轮复习全等三角形角平分线辅助知识点-+典型题及答案
中考数学二轮复习全等三角形角平分线辅助知识点-+典型题及答案一、全等三角形角平分线辅助1．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．（1）求证：CD 平分ACB ∠；（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．2．阅读理解如图1，ABC 中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，剪掉重叠部分；……；将余下部分沿∠n n B A C 的平分线1n n A B +折叠，点n B 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC ∠是ABC 的好角．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角BAC ∠的平分线1AB 折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿ABC 的BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与点C 重合．探究发现（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，问BAC ∠ ABC 的好角（填写“是”或“不是”）；（2）若经过三次折叠发现BAC ∠是ABC 的好角，请探究B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系 ；根据以上内容猜想：若经过n 次折叠BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系为 ；应用提升：（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15︒，60︒，105︒，发现 是此三角形的好角；（4）如果一个三角形的最小角是10︒，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角； 则此三角形另外两个角的度数 ．3．如图，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至点E ，DE AD =，试求ECA ∠的度数．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：∠ECA ＝40°．5．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．6．如图1，点A 是直线MN 上一点，点B 是直线PQ 上一点，且MN//PQ ．NAB ∠和ABQ ∠的平分线交于点C ．（1）求证：BC AC ⊥；（2）过点C 作直线交MN 于点D （不与点A 重合），交PQ 于点E,①若点D 在点A 的右侧，如图2，求证：AD BE AB +=；②若点D 在点A 的左侧，则线段AD 、BE 、AB 有何数量关系？直接写出结论，不说理由．7．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE ⊥BC 交BC 于点E ：(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC 中，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想.8．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，求证：∠ADC+∠B=180º9．如图，在ABO ∆中，OA OB =，90AOB ∠=︒，AD 平分OAB ∠，OE AD ⊥于E ，交AB 于F .求证：（1）OD BF =；（2）2AD OF DE -=.10．如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，求CAP ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，∴DG DH DK ==，∴CD 平分ACB ∠；（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠． ∵CD 平分ACB ∠，∴DS DT =，∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，∴CQD DFT ∠=∠，在SQD 和TFD △中，90CQD DFT DS DTDSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴SQD TFD △≌△，∴QD FD =，在QDP △和FDP 中QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QDP FDP △≌△，∴45QPD FPD ∠=∠=︒又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，∴CP PD =；（3）证明：延长AB 至M ，使BMBF =，连接FM ． ∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线， ∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，∴C ABE CBE ∠=∠=∠，∴CE EB =，∵BM BF =，∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，在AFC △和AFM △中，C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AFC AFM △≌△，∴AC AM =，∴AE CE AB BM +=+，∴AE BE AB BF +=+，∴BE BF AB AE -=-．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．2．（1）是；（2）3∠=∠B C ；∠=∠B n C ；（3）60︒和105︒；（4）另外两个角的度数分别为160︒和10︒【分析】（1）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，且1111AA B C A B C ∠=∠+∠，沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，可得11AB C C ∠=∠，即可证2B C ∠=∠.（2）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，由将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，得11122A B C A A B ∠=∠，最后沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合，得22C A B C ∠=∠，由11B A B C C ∠=∠+∠，可证3∠=∠B C ；由小丽展示的情形一当B C ∠=∠时；由探究（1）当2B C ∠=∠时；由探究（2）当3∠=∠B C 时，它们的BAC ∠均是ABC 的好角；可推经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C .（3）由（2）得∠=∠B n C ，可计算60,105︒︒是ABC 的好角.（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，已知中一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数），依题意列式101010180m mn ++=，可求解得.【详解】（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，BAC ∠是ABC 的好角； 理由如下：沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，11B AA B ∴∠=∠；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，11A B C C ∴∠=∠；1111AA B C A B C ∠=∠+∠；2B C ∴∠=∠，故答案是：是；（2）在ABC 中,沿BAC ∠的平分线1AB 折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合,则BAC ∠是ABC 的好角.证明：11B AA B ∠=∠，22,C A B C ∠=∠，122222A A B C A B C C ∴∠=∠+∠=∠，11B A B C C ∠=∠+∠11122A B C A A B ∠=∠，2C B C ∠∴=+∠∠，3B C ∴∠=∠，由小丽展示的情形一知，当B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；由探究（1）知，当2B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；由探究（2）知，当3∠=∠B C 时，BAC ∠是ABC 的好角；故若经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C . 故答案为：3;B C B n C ∠=∠∠=∠.（3）由（2）知，∠=∠B n C ，60415︒=⨯︒，105715︒=⨯︒，60,105∴︒︒是ABC 的好角.故答案为：60,105︒︒.（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数）.依题意得101010180m mn ++=，化简得(1)17m n +=，,m n 都是正整数，∴,1m n +都是17的整数因子，∴1m =，117n +=，∴1m =，16n =，∴1010m ︒=︒，10160mn ︒=︒，即该三角形的另外两个角是：10︒和160︒.故答案为：10,160︒︒.【点睛】本题考查的是折叠的性质应用、三角形的外角等不相邻的两个内角之和，并涉及一些数学归纳法思想来推导结论，一道比较综合知识点的新颖考题，在第（4）小题中不需要去解出根，而是根据这种限定条件来确定解，这是一种不同于以往的解题思路.3．40°【分析】在BC 上截取BF AB =，连接DF ，通过证明()ABD FBD SAS ≌，可得18080DFC A ︒∠=-∠=︒，再通过证明()DCE DCF SAS ≌，即可求得40ECA DCB ∠=∠=︒【详解】解：如图，在BC 上截取BF AB =，连接DF ， BD 是ABC ∠的平分线，ABD FBD ∴∠=∠，在ABD △和FBD 中，,,,AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBD SAS ∴△≌△，BFD A ∴∠=∠，AD DF =，∴DE=DF ，18080DFC A ∴∠=︒-∠=︒，又40ABC ACB ∠=∠=︒，60FDC ∴∠=︒，18060EDC ADB ABD A ∠=∠=︒-∠-∠=︒，EDC FDC ∴∠=∠，在DCE 和DCF 中，,,,DE DF EDC FDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DCE DCF SAS ∴△≌△，故40ECA DCB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 4．见解析【分析】在BC 上截取BF ＝AB ，连DF ，根据SAS 可证明△ABD ≌△FBD ，得出DF ＝DA ＝DE ，证明△DCE ≌△DCF ，故∠ECA ＝∠DCB ＝40°．【详解】证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连DF ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠FBD ，在△ABD 和△ＦBD 中，AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△FBD （SAS ），∴DF ＝DA ＝DE ，又∵∠ACB ＝∠ABC ＝40°，∠DFC ＝180°﹣∠A ＝80°，∴∠FDC ＝60°，∴∠EDC ＝∠ADB ＝180°﹣∠ABD ﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE 和△DCF 中，DF DE FDC EDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCE ≌△DCF （SAS ），∴∠ECA ＝∠DCB ＝40°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE ＝∠DEC ．∴CD ＝CE ．∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键． 6．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE AD AB =+【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC ⊥AC;(2) ①延长AC 交PQ 点F ，先证明AC=FC,再证明△ACD ≌△FCE,即可得AD+BE=AB; ②方法与①相同．【详解】解：（1）∵MN ∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC 平分∠NAB ，BC 平分∠ABQ ∴11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ∴∠BAC+∠ABC=12180⨯︒=90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°∴BC⊥AC;（2）①延长AC交PQ于点F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵MN∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD即：AB=AD+BE②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE 如图3，延长AC交PQ点F,∵MN//PQ ．∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC∵AC平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC ⊥AC∴C 是AF 的中点∴AC=FC在△ACD 与△FCE 中DAC EFC AC FCACD FCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ACD FCE ASA ≅∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．7．（1）CD=AD ；（2）CD=AD ；（3）BC=AD+BD.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE ，根据∠A=90°，AB=AC ，可得∠C=45°，由DE ⊥BC 可得△DEC 是等腰直角三角形，可得CD=DE ，进而可得答案；（2）在BC 上截取BE=AB ，连接DE ，利用SAS 可证明△ABD ≌△EBD ，可得AD=DE ，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC 上取一点E ，使BE=BD ，作DF ⊥BA 于F ，DG ⊥BC 于G ，由角平分线的性质就可以得出DF=DG ，利用AAS 可证明△DAF ≌△DEG ，可得 DA=DE ，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE ，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，∴DE=AD ，∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠C=45°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CD=DE=AD ，故答案为：CD=AD （2）如图，在BC 上截取BE=AB ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD.（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．8．见解析.【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．【详解】证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，CF CECFD CEBDF BE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180º．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)连接DF，证△FAE≌△OAE，推出AF=AO，∠AFO=∠AOF，求出OD=DF，求出BF=DF，即可得出答案；(2)在AD上截AG=OF，连接OG，证△AGO≌△OFB，推出GO=BF=OD，求出DE=GE，AD-OF=DG=2DE即可．【详解】(1)连接DF，∵OE⊥AD，∴∠AEF=∠AEO=90°，∵AD平分∠FAO，∴∠EAF=∠OAE，又∵AF=AF，∴△EAF≌△OAF(ASA)，∴AF=AO，∠AFO=∠AOF，∵AD⊥OF，∴EF=EO，∴DF=DO，∴∠DFO=∠DOF，∵∠AFO=∠AOF，∴∠AFD=∠AOB=90°，∵∠AOB=90°，AO=BO，∴∠B=45°，∴∠FDB=∠AFO-∠B=45°=∠B，∴BF=DF，∴OD=BF；(2)在AD上截AG=OF，连接OG，∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，∴∠OAG=22.5°，∵OD=DF，∴∠DFO=∠DOF，∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF，∴∠FOB=22.5°=∠OAG，∴△AGO≌△OFB(SAS)，∴GO=BF=OD，∵OE⊥AD，∴DE=GE，∴AD-OF=DG=2DE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．50°【解析】【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得出答案．【详解】延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD=x°，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，∴PF=PM ，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，PA PA PM PF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA(HL)，∴∠CAP=∠FAP ，又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF ，∴∠CAP =50°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．。
初二数学 全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)附解析
初二数学 全等三角形角平分线辅助(讲义及答案)附解析一、全等三角形角平分线辅助1．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．（1）求证：CD 平分ACB ∠；（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．2．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．3．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点A B 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数． （3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）4．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角∠DCM 的平分线CF 于点F ．（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．①AE=EF 是否一定成立？说出你的理由；②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax 2+x+c 经过A 、D 两点，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在此抛物线上，求此时点F 的坐标．5．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．6．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．7．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．8．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，AD BE ⊥于D ，求证：2AC BD =.9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，M 为边BC 上的点，连结AM.如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，求点M 到AC 的距离.10．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、ACB ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ，试判断FE 和FD 之间的数量关系.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，∴DG DH DK ==，∴CD 平分ACB ∠；（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠． ∵CD 平分ACB ∠，∴DS DT =，∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，∴CQD DFT ∠=∠，在SQD 和TFD △中，90CQD DFT DS DTDSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴SQD TFD △≌△，∴QD FD =，在QDP △和FDP 中QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QDP FDP △≌△，∴45QPD FPD ∠=∠=︒又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，∴CP PD =；（3）证明：延长AB 至M ，使BMBF =，连接FM ． ∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线， ∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，∴C ABE CBE ∠=∠=∠，∴CE EB =，∵BM BF =，∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，在AFC △和AFM △中，C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AFC AFM △≌△，∴AC AM =，∴AE CE AB BM +=+，∴AE BE AB BF +=+，∴BE BF AB AE -=-．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．2．（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD【分析】（1）先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（3，0），得到OC=2=OE ，进而得到点E 的坐标；（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，得OC=OP ，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC ，故AD=PA+PD=OC+CD ．【详解】（1）如图①，∵AD ⊥BC ，BO ⊥AO ，∴∠AOE=∠BDE ，又∵∠AEO=∠BED ，∴∠OAE=∠OBC ，∵A （-5，0），B （0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE ≌△BOC ，∴OE=OC ，又∵点C 的坐标为（3，0），∴OC=3=OE ，∴点E 的坐标为（0，3）；（2）如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM=ON ，∴OD 平分∠ADC ；（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵2OCB DAO ∠=∠，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC=903︒=30°，∠DCA=2903⨯︒=60° ∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD≌△OCD，∴OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．3．（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED =67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．4．（1）见解析；（2）①见解析；②点F的坐标为F（，）【解析】试题分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中点，从而只需取AB点G，连接EG，则有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同样可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，证全等即可；②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式，设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．解：（1）如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE≌△ECF．（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．证明：如图2，在AB上截取AG=EC．∵AB=BC，∴BG=BE，∴△GBE是等腰直角三角形，∴∠AGE=180°﹣45°=135°，∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135°，∴∠AGE=∠ECF，而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF．②由题意可知抛物线经过A（0，1），D（1，1）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，过点F 作FH ⊥x 轴于H ，由①知，FH=BE=CH ，设BH=a ，则FH=a ﹣1，∴点F 的坐标为F （a ，a ﹣1），∵点F 恰好落在抛物线y=﹣x 2+x+1上，∴a ﹣1=﹣a 2+a+1，∴a=（负值不合题意，舍去），点F 的坐标为F （，）. 考点：二次函数综合题．5．（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍.【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，知识点睛中考要求第三讲 全等三角形中的角平分线注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A B OP【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．例题精讲重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点重、难点【解析】 ∵O 点为ABC △中角平分线的交点，∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．ABCDEO【解析】 利用SAS 证得ABE ∆≌ACD ∆，∴E D ∠=∠，根据已知可得BD CE =，利用AAS 证得BOD ∆≌COE ∆， ∴OD OE =，利用SAS 证得AOD ∆≌AOE ∆， ∴OAD OAE ∠=∠，∴OA 平分DAE ∠【例3】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【解析】 ∵AB AC =∴ABC ACB ∠=∠∵CD 平分ACB ∠，∴12DCB ACB ∠=∠．同理12EBC ABC ∠=∠．在DCB ∆与EBC ∆中，ABC ACB ∠=∠，DCB EBC ∠=∠，BC CB = ∴DCB EBC ∆∆≌，∴CD BE =．点评：其实就是等腰三角形底角平分线相等．【例4】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．ADOCBD CBAED CBA【解析】 延长AD 到E ，使ED AD =，连结BE ，在ADC ∆和EDB ∆中 AD EDADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC EDB ∆∆≌∴AC EB =，CAD BED ∠=∠ 又∵BAD CAD ∠=∠ ∴BAD BED ∠=∠ ∴AB EB = ∴AB AC =．【例5】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA4321FO DECBA【解析】 BE CD BC +=理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆ ∴12∠=∠ ∵60A ∠=︒∴1901202BOC A ∠=︒+∠=︒∴120DOE ∠=︒ ∴180A DOE ∠+∠=︒ ∴180AEO ADO ∠+∠=︒ ∴13180∠+∠=︒ ∵24180∠+∠=︒ ∴12∠=∠ ∴34∠=∠利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆∴CD CF =∴BC BF CF BE CD =+=+【点评】此题老师在证明角度相等的时候，可以不用讲义给的方法，而是根据60BOC ∠=︒来证明【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【解析】 ∵12∠=∠，34∠=∠，AC AC =∴ACD ACB ∆∆≌ ∴AB AD =∴12∠=∠，AE AE = ∴AED AEB ∆∆≌ ∴ED EB =【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．PDBOCA【解析】 ∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的角平分线∴AOP COP ∠=∠，BOP DOP ∠=∠∴AOB COD ∠=∠ 在AOB ∆和COD ∆中 OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOB COD ∆∆≌(SAS )，∴AB CD =．【例8】 如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．FBEDCA【解析】 在AC 上截取AG AE =，连结FG ，AEF AGF ∆∆≌，AFE AFG ∠=∠，FE FG =，可推出60CFG CFD ∠=︒=∠，进而证明CFG CFD ∆∆≌，FG FD =，进而得FE FD =．【例9】 长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【解析】 由AB =4，AE 平分∠BAD 可知BE =AB =CD =4． 由基本图可知△BEF ≌△CDE ，故EF =DE又BC =7，BE =4，故CE =3． 由勾股定理可知，DE =5． 从而可知EF =5．【例10】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B 321MF ACD E B【解析】 延长AD 到M ，使DM AD =，连结EM ，利用SAS 证明ADC ∆≌MDE ∆，∴3M ∠=∠，AC EM =，又AC EF =，∴EM EF =，∴1M ∠=∠，∴13∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴23∠=∠，∴12∠=∠，∴EF ∥AB ．【补充】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．F GE DCBAHAF GBE DC【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中 CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．【例11】 如图，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB =6，AC =3，∠BAC =120°．求AD 的长．DCBAFMEPD CBA【解析】 在AB 上取点E ，使得AE =AC =3，连接CE ，过点B 作CE 的平行线，交AC 的延长线于点F ，延长AD 交BF 于点M ． ∵∠CAD =∠EAD ，AC =AE ∴点C 、E 关于AD 对称 ∴AD ⊥CE ，EP =CP ∵CE ∥BF∴AM ⊥BF ，BM =FM∵∠BAC =120°，AD 平分∠BAC ∴∠BAD =60°∴AM =12AB =3∵CE BF ∥∴1123PD PC PC PD PM DM BM FM ===⇒= ∴AD =23AM∴AD =2【例12】 如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．DPC B AEDPC B A【解析】 PB PC AB AC +>+，理由如下．如图所示，在AB 的延长线上截取AE AC =，连接PE ．因为AD 是BAC ∠的外角平分线， 故CAP EAP ∠=∠．在ACP ∆和AEP ∆中，AC AE =，CAP EAP ∠=∠，AP 公用， 因此ACP AEP ∆∆≌， 从而PC PE =．在BPE ∆中，PB PE BE +>， 而BE BA AE AB AC =+=+， 故PB PC AB AC +>+．【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．C D B PAECD B PA【解析】 在AB 上截取AE AC =，连结EP ，根据SAS 证得AEP ∆≌ACP ∆，∴PE PC =，AE AC =又BEP ∆中，BE PB PE >-，BE AB AC =-，∴AB AC PB PC ->-【例13】 如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，20DEF ∠=︒，则BAC∠等于________．FEDC BA【解析】 方法一：易证AED ADC ∆∆≌，△DEF 为等腰三角形．又由0DEF 20∠=，则∠EDF ＝180－40＝140度，则∠BAC ＝360－90－90－140＝40度．方法二：在三角形AEC 中，70AEC ACE ∠=∠=︒，180707040BAC ∠=∠︒-︒-︒=︒【点评】此题老师可以采用第二种方法，但是第一种方法旨在让学生更加熟悉角平分线的性质【例14】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．D C B AED C BAABCDE【解析】 方法一：在AC 上取一点E ，使得AB AE =连结DE ．在ABD ∆和AED ∆中AB AE =，BAD EAD ∠=∠AD AD =∴ABD AED ∆∆≌∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠，ED EC =∴AB BD AC +=．方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC AE =，连结DE ． 在AED ∆和ACD ∆中，AE AC =EAD CAD ∠=∠，AD AD =∴AED ACD ∆∆≌，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=． 方法三：延长DB 到点E使得AB BE =，连结MCE M ∠=∠ 则有EAB E ∠=∠2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴AE AC =又∵EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠ C DAC ADE =∠+∠=∠∴DF EF =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+===ABCDEEDCB A FM方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点 延长BF 到M ，使FM FA =，连结AM∴ABF FBC ∠=∠∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB FC = ∵AF FM =，∴M FAM ∠=∠∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠ ∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB AM = ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且DEB EBA BAE ∠=∠+∠∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD BE = 同理MA ME =∵AF FM =，FB FC =，∴AC BM =．∴AC AB BD =+【补充】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB C DE DCB A【解析】 方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒． 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒ ∴72CDE ∠=︒∴CDE DEC ∠=∠ ∴CD CE =∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒． ∵CB CF =， ∴F FBC ∠=∠． ∴FAB C ABC ∠=∠+∠． ∴72FAB ∠=︒．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒ ∴BF AB AC FD ===． ∴AF CD =．∴BC AC CD =+．FDCB A【补充】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．BAF EDC321【解析】 解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠． 又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形．∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =． 又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =． ∵12∠=∠，BD 为公共边，∴BAD BFD ∆≌，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．∵()111118010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∴()()18011801002060ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒． ∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒．∵DF DE =，∴DFC DEC ∆∆≌．∴E DFC ∠=∠，34∠=∠． ∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴80E ∠=︒．∵440∠=︒，∴340∠=︒，故3480ECB ∠=∠+∠=︒． ∴ECB E ∠=∠，故BC BE =． ∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+．解法三：如图，延长BD 到E ，使BE BC =．延长BA 到F ，使BF BC =．连接CE 、EF 、DF ． ∵12∠=∠，BD 公共， ∴BDC BDF ∆∆≌．∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠．又∵120100120BDC BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，40BCD ∠=︒，BADC21FE43AFE∴40BFD ∠=︒． ∵BE BF =，120∠=︒． ∴80BEF BFE ∠=∠=︒， ∴804040DFE ∠=︒-︒=︒．而180********FAD BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒． ∴FAD DEF ∠=∠．又FD 公共，∴FAD FED ∆∆≌．∴ED AD =． ∴BC BE BD AD ==+【例15】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MFD CB AEMFD CB A【解析】 题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰AEC ∆，之后再证明MF 是CBE∆的中位线即可．如图所示，延长AB 、CF 相交于点E ，在AFE ∆和AFC ∆中，EAF CAF ∠=∠，AF AF =，AFE AFC ∠=∠， 故AFE AFC ∆∆≌， 从而AE AC =，EF FC =． 而CM MB =，故MF 是CBE ∆的中位线，从而()()111222MF BE AE AB AC AB ==-=-．【补充】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥且1()2DE AB AC =+．E DC B AFE DCB A【解析】 如图所示，延长BA 到F ，使AF AC =，连接DF ．在ADC ∆和ADF ∆中，AC AF =，FAD CAD ∠=∠，AD AD =，故ADC ADF ∆∆≌，从而C 、D 、F 三点共线，且D 是CF 的中点，DE 是CFB ∆的中位线，故DE AB ∥，且11()22DE FB AB AC ==+【补充】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBAN PMD CB A【解析】 如图所示，延长AB 、CM 相交于P ．取PB 的中点N ，连接MN ，则NM BD ∥， 故ANM ABD ADB AMN ∠=∠=∠=∠，则AM AN =． 容易证明APM ACM ∆∆≌，故AP AC =．因此22AB AC AB AP AB AN NP AB AN BN AN AM +=+=++=++==．【例16】 如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，ME AD ⊥且交AC 的延长线于E ，12CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．EMDCBAEMDCBAP【解析】 如图所示，延长CE 到P ，使EP CE =，连接DP 、BP ．因为2CD CE =，故CD CP =，则CDP CPD ∠=∠． 因为ACB CDP CPD ∠=∠+∠，故2ACB CPD ∠=∠． 因为BM MC =，CE EP =，故ME BP ∥． 因为AD ME ⊥，故AD BP ⊥． 因为AD 平分BAP ∠，故AB AP =．在ABD ∆和APD ∆中，AB AP =，BAD PAD ∠=∠，AD AD =， 故ABD APD ∆∆≌，从而ABD APD ∠=∠，因此2ACB ABC ∠=∠．点评：实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．【例17】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【解析】 ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠∵180ABG ABC ∠+∠=︒，180ACH ACB ∠+∠=︒ ∴90D E ∠=∠=︒，∴ABG ACH ∠=∠． ∵BD 、CE 是角平分线 ∴DBA ECA ∠=∠．在ABD ∆与ACE ∆中，AD BD ⊥，AE CE ⊥AB AC =，DBA ECA ∠=∠，D E ∠=∠，∴ABD ACE ∆∆≌，∴AD AE =．【补充】已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求证：⑴ DE AB ∥；⑵ ()12DE AB BC CA =++．E B A D CNM EB A D C【解析】 大凡涉及角平分线的问题，常常隐含着全等三角形的问题，从而获得等边、等角，以助证题．如图所示，延长CD 、CE 分别交直线MN 于M 、N 两点， 则易证得ADC ADM △≌△，BEC BEN △≌△．于是可得D 、E 分别为CM 、CN 的中点．至此，命题容易获证．【例18】 在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++FEN M CBAFENMC B A【解析】 延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB ∆∆≌，Rt Rt ANC FNC ∆∆≌，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN EB BC CF AB BC AC =++=++．【补充】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-FENMCB A【解析】 延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB ∆∆≌，Rt Rt ANC FNC ∆∆≌， ∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC = ∴MN BC ∥且()()1122MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．【例19】 在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =o ∠，求证：12DE AC =． C E DB A M CN E D B A【解析】 取AB 、BC 的中点，连结MN ，∵60B =︒∠，∴30BAE BCD ==︒∠∠．从而得12BE BM AB ==，12BD BN BC ==，BDE BNM △≌△，MN DE =．又因12MN AC =，故12DE AC =．【补充】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【解析】 作CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，可推出DF BE =，易证△CEB ≌△CFD ，∴ABC ADC ∠+∠180=︒【例20】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB AFEABCD【解析】 ① AB CD BC +=；② BE CE ⊥在线段BC 上取点F ，使FB AB =，连结EF ． 在ABE ∆和FBE ∆中 AB FBABE FBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE FBE ∆∆≌∴AEB FEB ∠=∠，BAE BFE ∠=∠ ∵180A D ∠+∠=︒ 而180BFE CFE ∠+∠=︒ ∴CDE CFE ∠=∠ 在CDE ∆和CFE ∆中 CDE CFE DCE FCE CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDE CFE ∆∆≌∴DEC FEC ∠=∠，CD CF =∴AB CD BC +=，90BEC BEF CEF ∠=∠+∠=︒【例21】 如图所示，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，FG 平行于BC 交AB 于G ． AE =4，AB =14，则BG =______．H AB CDEF GGFE D CB A【解析】 角平分线、直角．过E 作EH 垂直BC 交BC 于H 点，易证△AEC ≌△EHC ；由角度分析易知∠AEF =∠AFE ，即AE ＝AF ；则有EH ＝EA ＝AF ； 又可证△AGF ≌△BHE ，则AG ＝EB ＝14－4＝10，则BG ＝10－6＝4．【补充】如图所示，在Rt 三角形ABC 中，90,C CH AB ∠=︒⊥于H ，AG 平分BAC ∠，交CH 于D ，交BC于G ，在BC 上取BE =CG ，连接ED ，证明：CDE ∆是直角三角形．F ABCD G EHHEG DCBA【解析】 直角三角形、角平分线过G 做GF 垂直AB 于F ；由角的关系易得∠CDG =∠CGD ，即CG ＝CD ； 易证△ACG ≌△AFG ；CG ＝GF ＝CD ；CE ＝GB ，∠HCB =∠FGB ；综合得到，△CGE ≌△GFB ，得证． 【例22】 在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ．自C 作CG AB ⊥交AD 于E ，交AB于G ．自D 作DF AB ⊥于F ，求证：CF DE ⊥．GABC DEF1221FE D CBAG QGABC D EF12【解析】 解法一：如图．90ACD AFD ∠=∠=︒∵，∴CDE CED ∠=∠4点共圆，ACF ADF ∠=∠∴．又12∠=∠∵，290ADF ∠+∠=︒，190ACF ∠+∠=︒∴，故CF DE ⊥．解法二：如图，连接EFAD ∵是BAC ∠的平分线，DC AC ⊥，DF AB ⊥， CD DF =∴，ADC ADF ∠=∠．CG AB ⊥∵，DF AB ⊥，CE DF ∴∥，CED FDE ∠=∠，CDE CED ∠=∠， CD CE DF ==∴，四边形CEFD 是菱形． CF DE ⊥∴．解法三：如图．12∠=∠∵，90ACD AFD ∠=∠=︒，AD 公共， ACD AFD ∴△≌△．AC AF =∴，CD DF =．AD ∴是CF 的中垂线，故CF DE ⊥．解法四：如图，延长FD AC 、交于Q ，连接BQ ．12∠=∠∵，DC AC ⊥，DF AB ⊥， CD FD =∴．显然Rt Rt DCQ DFB △≌△，CQ BF =∴．又90QFB BCQ ∠=∠=︒∵，C F B Q ∴、、、4点共圆， CFBQ ∴为等腰梯形，ABQ △为等腰三角形．12∠=∠∵，AD BQ ⊥∴．而CF BQ ∥，AD CF ⊥∴．【例23】 如图所示，90BAC DAE ︒∠=∠=，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECBANO F H MECBA【解析】 如图所示，设AM 交DC 于H ，要证明AM CD ⊥，实际上就是证明90AHD ︒∠=，而条件BM ME=不好运用，我们可以倍长中线AM 到F ，连接BF 交AD 于点N ，交CD 于点O ．容易证明AM E FM B ∆∆≌，则AE FB =，EAF F ∠=∠，从而AE FB ∥，90ANF ︒∠=．而90CAD DAB ︒∠+∠=，90DAB ABN ︒∠+∠=，故CAD ABN ∠=∠， 从而CAD ABF ∆∆≌，故D F ∠=∠．而90D DON FOH F ︒∠+∠=∠+∠=，故90AHD ︒∠=，亦即AM CD ⊥．【补充】⑴在ABC ∆中，96A ∠=o ，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠ 的角平分线相交于点1A ，1A BC ∠与1ACD ∠的角平分线交于2A ，…，依次类推4A BC ∠与4A CD ∠的角平分线交于5A ，求5A ∠大小． A 2A 1ABC D A B CDEFG⑵(初二第5届希望杯1试)如右上图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=o ，110BGC ∠=o ，求A ∠的度数．【解析】 ⑴在此教师帮助学生回忆补充第2讲的几个重要结论．根据结论易得：112A A ∠=∠，同理2112A A ∠=∠，3212A A ∠=∠，4312A A ∠=∠，54132A A ∠=∠=oG F EDCB A H⑵延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠ ∵DHC A ABH ∠=∠+∠∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠ ∴211014080A ∠=⨯-=o o o【例24】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 、AM 分别是ABC ∠、BAC ∠的平分线，DN BC ⊥，GF BD ⊥．求证：14MN BF =．F NM G DCB ARHF NM GD CB A【解析】 如图，作DH BC ∥，交AB 于H ，交AM 于R ．∵ABC ∆为等腰三角形，且AM 平分BAC ∠ ∴M 为BC 中点，且AM BC ⊥ ∵BD 平分ABC ∠，且GF BD ⊥∴FGB ∆为等腰三角形，且D 为FG 的中点 又∵HD BF ∥∴12HD BF =，且R 为HD 中点，即2HD RD =可以发现四边形RMND 为矩形，于是RD MN =∴1124MN RD HD BF ===【习题1】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．家庭作业C E DB AC FE GDB A【解析】 延长AC 交BE 的延长线于F ，过E 作EG BC ∥交CF 于G ，容易证得3AF AB AC ==，且E 为BF之中点，故易得AC CG GF ==．【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．D C B AEDC BA【解析】 方法一：在AC 上取一点E ，使得AB AE =， 连结DE ．在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠， AD AD =．∴ABD AED ∆∆≌， ∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵AB BD AC +=，∴EC BD ED ==2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠．其他方法参考例题．【习题3】AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．DECFBADE OCFB A【解析】 由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，故恢复等腰三角形．延长AC 交BE 的延长线于点O ，易证得ABE AOE ∆∆≌，所以E 为BO 的中点，又EF AC ∥，所以EF 为ABC ∆的中位线，故AF FB =． 这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件．【习题4】如图所示，AD 平行于BC ，DAE EAB ∠=∠，ABE EBC ∠=∠，AD =4，BC =2，那么AB =________．FABCDEEDCB A【解析】 过E 做EF 交AB 于F ，使AF ＝AD ，易证∆ADE ≌∆AFE ；∆EFB ≌∆EBC 则AB ＝AD ＋BC ＝6．【习题5】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G ．求证：BF CG =．EGF DC BAEGFDC BA【解析】 连接BE 、CE ．DE Q 垂直平分BC ，∴BE CE =，AE Q 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥，∴EF EG =，又90BFE CGE ∠=∠=︒，∴Rt BEF ∆≌Rt CEG ∆(HL )，∴BF CG =，【备选1】在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．C D B AECD B A【解析】 在AC 上截取AE AB =，连结DE根据SAS 证得ABD ∆≌AED ∆，∴AED B EDC C ∠=∠=∠+∠，DE BD =， 结合已知可得ED EC =，∴EDC C ∠=∠，∴2B C ∠=∠，:2:1B C ∠∠=【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．月测备选21ECBA 543MA BCE12【解析】 延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM =∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠ ∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．F EBCDA EBCDA【解析】 如图所示，在AB 上截取AF ，使AF AD =．连接EF ，则可得ADE AFE ∆∆≌，于是ADE AFE ∠=∠． 由AD BC ∥可知180ADE C ︒∠+∠=． 而180EFC AFE ︒∠+∠=，从而EFC C ∠=∠． 注意到BE 平分B ∠，BE 公用，由角边角公理的推论可知EFB ECB ∆∆≌， 从而BF BC =，故AD BC AF BF AB +=+=．。