认识全等三角形及其对应边、对应角、对应顶点
1北师大版七年级下册数学[.全等三角形的概念和性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE ，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB 的对应边为DE ，∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.。
如何确定全等三角形的对应关系
如何确定全等三角形的对应关系在说明三角形全等时，需要找出它们的对应边或对应角，那么，如何正确的找到全等三角形的对应边或角呢？下面介绍三种方法.希望对同学们有所帮助.一、字母顺序确定法由于在表示两个全等三角形时，通常是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（同学们在证明三角形全等时也要注意应这样写），所以可以利用字母的顺序确定对应元素.例1已知△ABC ≌△ADE ，指出△ABC 和△ADE 的对应边、对应角.分析：先把两个三角形顶点的字母按照同样的顺序排成一排：A →B →C ，A →D →E ，然后按同样的顺序找出对应元素：（1）点A 、A ；B 、D ；C 、E 分别是对应点；（2）线段AB 、AD ；BC 、DE ；AC 、AE 分别是对应线段；（3）∠ABC 、∠ADE ；∠ACB 、∠AED ；∠CAB 、∠EAD 分别是对应角.二、图形特征确定法（1）有公共边的，公共部分一定是对应边.如图1，△ADB 和△ADC 全等，则AD 一定是两个三角形的对应边.（2）有公共角的，公共角一定是对应角.如图2中，△ABD 和△ACE 全等，∠DAB 和∠EAC 是对应角.（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角.如图3中，∠1和∠2是对应角.（4）两个全等三角形的最大边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）.三、图形分解法从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分比较困难，这时可把要证全等的两个三角形从复杂图形中分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单了就容易找出对应元素.如图4，点C 是线段AB 上一点，AC =MC =AM ，BC =NC =BN ，请说明：BM =AN.此题若作如图5的分离，则容易找出对应部分：AC ，MC ；NC ，BC ；∠CAN ，∠MCB 分别是△ACN 和△MCB 中的对应边和对应角.。
北师大七年级下册数学第四章全等三角形的概念和性质(基础)
全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB的对应边为DE，∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.【巩固练习】一、选择题1. （2016•长沙模拟） 如图所示，△ABC ≌△DEC ，则不能得到的结论是（ ）A. AB ＝DEB. ∠A ＝∠DC. BC ＝CDD. ∠ACD ＝∠BCE2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为（ ）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上都不对3. 下列说法中正确的有（ ）①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若△ABC ≌△DEF ，△DEF ≌△MNP ，△ABC ≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. （2014秋•庆阳期末）如图，△ABC ≌△A ′B ′C ，∠ACB=90°，∠A ′CB=20°，则∠BCB ′的度数为（ ）A.20°B.40°C.70°D.90°5. 已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD分别为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75°C．90°D．95°二、填空题7.（2014秋•安阳县校级期末）如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是___________，图中相等的线段有____________________________．8. （2016•成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=___________.9. 已知△DEF≌△ABC，AB＝AC，且△ABC的周长为23cm，BC＝4cm，则△DEF的边中必有一条边等于______.10. 如图，如果将△ABC向右平移CF的长度，则与△DEF重合，那么图中相等的线段有__________；若∠A＝46°，则∠D＝________.11.已知△ABC ≌△'''A B C ，若△ABC 的面积为10 2cm ，则△'''A B C 的面积为________ 2cm ，若△'''A B C 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12. △ABC 中，∠A ∶∠C ∶∠B ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______ .三、解答题13.如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，求∠DFE 的度数与EC 的长.14. （2014秋•射阳县校级月考）如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中A 和D 、B 和E 是对应点．（1）用符号“≌“表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）；（2）写出图中相等的线段和相等的角；（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．15. 如图，E 为线段BC 上一点，AB ⊥BC ，△ABE ≌△ECD.判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】因为△ABC ≌△DEC ，可得：AB=DE ，∠A=∠D ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，故选C ．2. 【答案】B ；【解析】AD与BC是对应边，全等三角形对应边相等.3. 【答案】C；【解析】③和④是正确的；4. 【答案】C；【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=70°．故选C．5. 【答案】A；【解析】EF边上的高＝1826 6⨯=；6. 【答案】C；【解析】折叠所成的两个三角形全等，找到对应角可解.二.填空题7. 【答案】∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD；【解析】解：∵△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，∴∠D=∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD，故答案为：∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD．8. 【答案】120°；【解析】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°．9. 【答案】4cm或9.5cm；【解析】DE＝DF＝9.5cm，EF＝4cm；10.【答案】AB＝DE、AC＝DF、BC＝EF、BE＝CF， 46°；11.【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等；12.【答案】40°；【解析】见“比例”设k，用三角形内角和为180°求解.三.解答题13.【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B，又∠A＝30°，∠B＝50°，所以∠ACB＝100°.又因为△ABC≌△DEF，所以∠ACB＝∠DFE，BC＝EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）所以∠DFE＝100°EC＝EF－FC＝BC－FC＝BF＝2.14. 【解析】解：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE；（3）BC∥EF，AB∥DE，理由是：∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，BC∥EF．15. 【解析】 AE＝DE ,且AE⊥DE证明：∵△ABE≌△ECD，∴∠B＝∠C，∠A＝∠DEC，∠AEB＝∠D，AE＝DE又∵AB⊥BC∴∠A＋∠AEB＝90°，即∠DEC＋∠AEB＝90°∴AE⊥DE∴AE与DE垂直且相等.。
八年级数学全等三角形与对应边对应角
B
E
C
F
B
E
C
ΔABC≌ΔDEF
E A
ΔABC≌ΔADE
要点：对应顶点的字
C B
母写在对应的位置上
ΔABC≌ΔECB
典型例题
例1（广西玉林）若ΔDEF≌ΔABC, ∠A=70°,∠B=50°,点A的对应点是点 D,AB=DE,那么∠F的度数等于（ ） A.50° B B.60° C.50° D.以上都不对 分析: 由∠A=70°,∠B=50°知道:∠C=60°, 所以ΔABC是不等边三角形,由点A的对应点是 点D,AB=DE知道:∠F的对应角是∠C(60°)
E
）
B.2个
A
C.3个
D.4个
分析：由ΔABC≌ΔAEF和 ∠B=∠E知：AC=AF.所以
C
B
F
①是正确的。
典型例题
例3：如图，若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下 列结论：①AC=AF, ②∠FAB=∠EAB, ③EF=BC, ④ ③EF=BC ∠FAC=∠EAB,其中正确结论的个数是（ A.1个
在两个全等三角形中，对应角的对边是对 应边，对应边的对角是对应角。
在两个全等三角形中，公共角是对应角， 公共边是对应边。 在两个全等三角形中（不等边），相等的 边是对应边，相等的角是对应角。
4.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
5.全等三角形的表示
A D
≌：读作“全等于”
A E B C F
B E C F
2.几种常见的全等三角形基本图形
E D
E
A
A
B
D
C
B C
旋转
全等三角形几种类型
全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等．如以下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE≌五边形'''''A B C D E．这里符号“≌〞表示全等，读作“全等于〞．全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，则这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌〞．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的根本思路：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴平移全等型⑵对称全等型⑶旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上．⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)．⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有以下三种作辅助线的方式：1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的根底，也是学好全章的关键。
12.1 全等三角形教案
12．1全等三角形一、教学目标1．了解全等形、全等三角形的概念，理解全等三角形中对应顶点、对应边、对应角的含义．2．经历实验、操作的过程，理解、掌握全等三角形的性质．二、教学重难点重点：全等三角形的概念与性质．难点：全等三角形中对应边、对应角的确定．教学过程一、情境引入在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形．通过多媒体展示下列实例：教材图12.1－1所示的例子中都有形状、大小完全相同的图形．【探究】把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？(1)你能找出生活实际中形状、大小完全相同的图形吗？说说你的理由．鼓励学生踊跃说出生活中的实例，并提问：大家举出的实例中，怎样能判别两个图形的形状、大小是完全相同的呢？学生通过同伴间的相互讨论、交流，在探索活动中逐渐体会：将两个图形重叠，看看它们是否能够完全重合，能完全重合的，它们的形状、大小就完全相同．在认识上形成两个图形完全重合的初步体验．(2)什么是“全等形”？在学生从“两个图形的形状、大小完全相同”到“两个图形完全重合”的知识建构的基础上，教师适时点题，提出“全等形”的概念.教师指出：能够完全重合的两个图形叫做全等形．追问：上述各实例中，哪些是全等形？动口说一说，为什么这些图形是全等形？你能再举些实际的例子，说明他们是全等形吗？教师期待学生能说出自己正确的生活体验或亲手制作的模型．教师适时地引导学生发散思维，回想和链接起生活中的全等形，并实现认识上从“两个图形的形状、大小完全相同”到“两个图形完全重合”再到“全等形”的飞跃．二、互动新授1．全等三角形将两个图形相互重叠，就可以发现它们是否完全重合，从而判别它们是不是全等形．那么，请同学们来说说看，什么是全等三角形呢？从“全等形”这个概念，导出“全等三角形”这个子概念，蕴含着思维上的逻辑推理，学生把“全等形”中的“图形”换成“三角形”，正好符合了“三段论式”的要求．这样导出“全等三角形”的概念就是水到渠成的事情．让学生说出什么是“全等三角形”，并进行讨论，让学生得到逻辑推理的初步体验．教师总结：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．【思考】在教材图12.1－2(1)中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF.在教材图12.1－2(2)中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC. 在教材图12.1－2(3)中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.各图中的两个三角形全等吗？（1）（2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．例如教材图12.1－2(1)中的△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．指名个别同学说说图(2)(3)中的对应顶点，对应边和对应角．其他学生一起来评判是否正确．2．巩固应用【例题】如下图，用字母表示出各图中全等三角形的对应顶点、对应边和对应角．(1)(2)(3)【分析】根据“全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角”，利用三角形纸板模型找出两个三角形互相重合的过程、重合的边、重合的角，从而正确地找出全等三角形的对应边和对应角．【解】图(1)中，对应顶点：A与A，B与B，C与D；对应边：AB与AB，AC与AD，BC 与BD.对应角：∠BAC与∠BAD，∠C与∠D，∠CBA与∠DBA；图(2)中，对应顶点：A与A，B与C，D与E；对应边：AB与AC，AD与AE，BD与CE.对应角：∠A与∠A，∠B与∠C，∠ADB与∠AEC；图(3)中，对应顶点：A与B，B与A，C与D；对应边：AB与BA，BD与AC，AD与BC.对应角：∠BAD与∠ABC，∠ABD与∠BAC，∠D与∠C.3．反思与归纳通过上述的探索，你有哪些新的体会？若已经确定了对应顶点，你能快速地确定出对应边和对应角吗？同样，确定了对应边或对应角，能确定其他的对应元素吗？说说你的发现和体会．比如：(1)按相同对应点的顺序确定的边一定是对应边，按相同对应点的顺序确定的角一定是对应角；(2)对应边所夹角是对应角；对应角夹的边是对应边；(3)对应边所对的角是对应角；对应角所对的边为对应边．教师说明：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．这样，确定了对应顶点，就容易确定对应边和对应角了．【思考】教材图12.1－2(1)中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？师生合作探究：从教材图12.1－2(1)中容易看出：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F.让学生观察教材图12.1－2(2)、(3)，写出发现的结论．教师总结：全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．三、课堂小结四、板书设计五、教学反思本节课的主要内容是全等三角形的概念和性质．重点要让学生学会正确确定全等三角形的对应顶点、对应边和对应角，养成按对应顶点的顺序表示三角形的习惯，同时，可提出全等三角形判定的说法，为后续内容的学习做好准备．课堂上，教师引导学生通过模型演示与想象结合，通过不断的探索活动，逐步积累学习的经验与体会．练习中让学生多动口、动手，积极参与探索活动，进而更好地理解和掌握知识．导学方案一．学法点津学生在理解全等三角形概念时，要突出两个三角形能够完全重合这一特性．在领会全等三角形性质及全等三角形的对应顶点、对应边、对应角时，要多从全等的三角形中体会哪两个顶点、哪两个角、哪两边会完全重合，从而正确地找出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角．不但会说出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，而且还要写得对，如“点A 和点D是对应顶点”，或者“对应顶点是点A和点D”．而不能写成“A＝B”之类的错误格式．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．全等三角形能够完全重合的两个三角形是全等三角形．2．全等三角形性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．一个图形经过平移、旋转、翻折180°后，前后两个图形全等．（二）规律方法总结1．先确定全等三角形的对应顶点，然后按对应顶点的相同顺序就容易找出全等三角形的对应边和对应角．2．对应角所对的边是对应边，对应边所夹的角是对应角．课时作业设计一、选择题1．下列说法中，正确的个数是( )．(1)正方形都是全等形；(2)等边三角形都是全等形；(3)形状相同的图形是全等形；(4)大小相同的图形是全等形；(5)能够完全重合的图形是全等形．A．1个 B．2个C．3个D．4个2．下列说法中，正确的个数是( )．(1)全等三角形对应顶点所对应的角是对应角；(2)全等三角形对应顶点所对应的边是对应边；(3)全等三角形对应边所夹角是对应角；(4)全等三角形对应角夹的边是对应边． A．3 B．4 C．2 D．1二、填空题3．如图所示，△ABC≌△AED，点B和点E，点C和点D是两对对应顶点，∠B的对应角是__________，∠C的对应角是__________，AB的对应边是__________，BC的对应边是__________，AC的对应边是__________．4．如图所示，△ABC≌△DEF，∠A和∠EDF，∠C和∠F分别是两组对应角，如果AE＝12cm，BD＝3cm，则AB＝________．第3题图第4题图三、解答题5．如右图，已知△ABC≌△DEF，A和D是对应顶点，∠B与∠E是对应角，写出图中其他的对应边和对应角．【参考答案】1.A2.B3.∠E∠D AE ED AD4.7.5cm5.对应边：AB与DE，BC与EF，CA与FD，对应角：∠A与∠D，∠ACB与∠DFE.。
图形的全等--知识讲解
图形的全等【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等图形1. 全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.2. 全等多边形（1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.（3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，（符号“≌”表示全等，读作“全等于”）其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.3.全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角分别相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.4.全等三角形的判定如果两个全等三角形的边、角分别对应相等，那么这两个全等三角形全等.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.【答案】②、④；提示：找与①形状、大小相同的图形.类型二、全等三角形的对应边、对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.【答案与解析】对应边：AN与AM，BN与CM对应角：∠BAN与∠CAM，∠ANB与∠AMC【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD ≌△ACE ，AB ＝AC ，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB 和AC 是对应边，AD 和AE 、BD 和CE 是对应边，∠A 和∠A 是对应角，∠B 和∠C ，∠ADB 和∠AEC 是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt △EBC 中，∠EBC ＝90°，∠E ＝35°.以B 为中心，将Rt △EBC绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ，求∠ADB 的度数.解：∵Rt △EBC 中，∠EBC ＝90°，∠E ＝35°，∴∠ECB ＝________°.∵将Rt △EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ，∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD ≌△EBC ，∠ADB 与∠ECB 是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD ，EBC ；ECB ，55.【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．【思路点拨】由旋转的定义，B C BC '=，A B C=ABC ''∠∠＝∠BB C '，由平角的定义及三角形的内角和可知AB D '∠=旋转角度.【答案】35°；【解析】旋转得到的三角形和原三角形全等，所以B C BC '=，A B C=ABC ''∠∠，所以，AB D ='∠180°－∠BB C '－∠A B C ''＝180°－（∠ABC ＋∠BB C '）＝∠BCB '＝35°．【总结升华】旋转得到的三角形与原三角形全等，并且对应边的夹角等于旋转角度.这道题要注意隐含条件B C BC '=，这是一对对应边．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.。
全等三角形
D
A
解：由△ABC ≌ △DCB可知 △ 可知 对应边AB=DC，AC=DB， ， 对应边 ， 对应角∠A= ∠D， 对应角∠ ， 因为AB=7cm，BD=5cm， ， 因为 ， ∠A=60 ° 所以DC=AB=7cm， ， 所以 AC=DB=5cm， ， ∠D= ∠A=60 °
1、什么是全等形、全等三角形、全等三角形的对 、什么是全等形、全等三角形、 应顶点、对应边、对应角? 应顶点、对应边、对应角 2、表示三角形全等时应注意什么？ 表示三角形全等时应注意什么？ 表示三角形全等时应注意什么 3、识别全等三角形的对应边、对应角的关键是正 识别全等三角形的对应边、 识别全等三角形的对应边 确识别它们的对应顶点。 确识别它们的对应顶点 4、注意数学中图形变换思想的应用，它有助于正确、 注意数学中图形变换思想的应用，它有助于正确、 注意数学中图形变换思想的应用 迅速的从复杂图形中识别全等三角形。 迅速的从复杂图形中识别全等三角形。
二、合作探究
△ 1、观察上图中的全等三角形应表示为： ABC ≌ △ DEF 。 、观察上图中的全等三角形应表示为： 2、根椐全等三角形的定义试想它们的对应边、 、根椐全等三角形的定义试想它们的对应边、 对应角有什么关系？ 对应角有什么关系？ 请完成下面填空： 请完成下面填空： ∵ △ ABC ≌ △ DEF（已知） （已知） ∴AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF ， ， ∠A ＝ ∠D，∠B ＝ ∠E，∠C ＝ ∠F。 ， ， 。 3、由此可得全等三角形的性质： 、由此可得全等三角形的性质：
有效训练： 有效训练：请指出下列全等三角形的对应边和对应角 、
如上图中△ 如上图中△ ABD ≌ △CDB则AB= CD ；AD= 则 DB BD= BC ； ∠ABD= ； ∠ADB= ∠BDC ∠A= ； ∠DBC ∠C 三、小组成果展示，师生共同归纳提升 小组成果展示，
全等三角形学习资料
全等三角形➢学习目标1.正确理解全等的概念，能够识别全等图形；2.能够准确找到全等的对应边、对应角，会进行全等三角形的表示；3.能够利用全等三角形的性质进行相关的计算.➢重难点分析1.全等三角形对应边、对应角的识别；2.全等三角形的性质及其相关计算.➢要点集结➢精讲精练全等的概念及其表示1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3、全等的符号表示：“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．4、全等的对应顶点、对应边、对应角（1）把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；（2）把两个全等三角形重合到一起，重合的边叫做对应边；（3）把两个全等三角形重合到一起，重合的角叫做对应角．例1.下列图形中与已知图形全等的是（）A．B．C．D．【答案】B练习1.下列选项中，和下图全等的图形是（）A．B．C．D．【答案】D练习2.下列图形中，是由多个全等图形组成的图案的是（）A．B．C．D．【答案】C●小结根据全等的定义识别全等的图形，图形全等的本质就是经过移动后能够完全重合.例2.下列说法正确的是（）A．面积相等的两个长方形全等B．周长相等的两个长方形全等C．形状相同的两个长方形全等D．能够完全重合的两个长方形全等【答案】D【解析】解：根据能够完全重合的两个图形是全等图形可知，能够完全重合的两个长方形全等，面积相等，周长相等，形状相同，都不一定能够完全重合．所以A、B、C选项不一定正确，D选项一定正确．故选D．练习1.下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【答案】C【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；●小结利用语言描述图形的特征，再根据特征进行全等的判别，此类问题较直接看图辨别的类型难度要稍大一些，需要学生对所描述的图形的几何性质要相对熟悉一些，并能够根据几何性质去判断图形的具体形状是否可以固定，从而判断是否全等.例3.用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是（）A．等腰三角形B．直角梯形C．菱形D．矩形【答案】B【解析】解：用两个全等的直角三角形就能拼出等腰三角形，A可以；如图两个全等的正三角形就可以拼出菱形，C可以；两个全等的直角三角形时就可以拼出矩形，D可以；不管用什么形状的两个全等的三角形不管怎样也拼不出直角梯形．故选B．●小结利用全等形进行新图形的拼接，需要注意分类讨论思想的应用，将不同的边拼接在一起，得到的新图形的形状是不同的.例4.把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来．【答案】解：如图所示：【解析】根据能够完全重合的图形叫做全等形，将第一个图分割成5个正方形，将第二个图分割成3个直角三角形即可．例 5.已知A与A′，B与B′是对应点，则≌ABC和≌A′B′C′全等用符号语言表示为：．【答案】≌ABC≌≌A′B′C′【解析】解：≌A与A′，B与B′是对应点，≌≌ABC≌≌A′B′C′，故答案为：≌ABC≌≌A′B′C′．练习1.如图，≌ABC≌≌DEF，≌A和≌D是对应角，AB和DE是对应边，那么还有对应角是，，对应边是，．【答案】≌B=≌E，≌C=≌F；BC=EF，AC=DF【解析】解：≌≌ABC≌≌DEF，≌A和≌D是对应角，AB和DE是对应边，≌相等的边有：AB=DE，BC=EF，AC=DF；相等的角有：≌A=≌D，≌B=≌E，≌C=≌F．故答案为≌B=≌E，≌C=≌F；BC=EF，AC=DF.练习2.在≌ABC中，≌B=≌C，与≌ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在≌ABC中与这100°角对应相等的角是（）A．≌A B．≌B C．≌C D．≌B或≌C【答案】A【解析】解：在≌ABC中，≌≌B=≌C，≌≌B、≌C不能等于100°，≌与≌ABC全等的三角形的100°的角的对应角是≌A．故选：A．小结在用全等符号表示两三角形全等时，一定要注意将对应的点写在对应的位置上，这样方便找到对应边和对应角.在最开始学的时候就养成这样的好习惯，是非常有必要的.全等的性质及其相关计算1、全等三角形的性质性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等注意：（1）全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）平移、翻折、旋转前后的图形全等.2、关于全等三角形的性质应注意（1）全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边；（2）要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指同一个三角形中角的对边，对角是指同一个三角形中边的对角．例1.如图，已知≌ABC≌≌DEB，点E在AB上，若DE=8，BC=5，线AE的长为（）A．3B．5C．6D．4【答案】A【解析】解：≌≌ABC≌≌DEB，≌AB=DE=8，BE=BC=5，≌AE=AB﹣BE=3，故选：A．练习1.如图，已知≌ABC≌≌DAE，BC=2，DE=5，则CE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【解析】解：≌≌ABC≌≌DAE，≌AC=DE=5，BC=AE=2，≌CE=5﹣2=3．故选C．练习2.下列说法错误的是（）A．全等三角形对应边上的中线相等B．面积相等的两个三角形是全等三角形C．全等三角形对应边上的高相等D．全等三角形对应角平分线相等【答案】B小结全等的一个典型性质就是对应边相等，所以在有全等形的求线段长度的题目中，一定要注意对全等对应边相等这一性质的应用.同时对于两个全等的三角形来说，不仅对应边相等，对应的角平分线、中线、高线也分别是相等的，这就为全等形中计算线段的长度提供了又一个理论依据.例2.如图，在≌ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若≌ADB≌≌EDB≌≌EDC，则≌C 的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】D【解析】解：≌≌ADB≌≌EDB≌≌EDC，≌AB=BE=EC，≌ABD=≌DBE=≌C，≌≌A=90°，≌≌C=30°，故选：D．练习1.如图，两个三角形为全等三角形，则≌α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°【答案】A【解析】解：根据三角形内角和可得≌1=180°﹣50°﹣58°=72°，因为两个全等三角形，所以≌α=≌1=72°，故选A．小结全等的另一个典型性质是对应角相等，在全等形存在的题目中进行角度计算时，一定要注意对这一性质的应用.全等性质中常见模型的识别在利用全等三角形的性质进行相关的边、角计算时，除了直接利用性质外，还需要对一些常见的几何结构能够准确识别，从而逐步建立几何感知能力.如：（1）平移型：（2）旋转型（3）翻折型（4）对调性型（5）共角型（6）共边型——其本质也是翻折型（7）一线三等角之三垂直模型例1.如图，已知≌ABC≌≌DEF，≌A=85°，≌B=60°，AB=8，EH=2．（1）求角F的度数与DH的长；（2）求证：AB≌DE．【答案】解：（1）≌≌A=85°，≌B=60°，≌≌ACB=180°﹣≌A﹣≌B=35°，≌≌ABC≌≌DEF，AB=8，≌≌F=≌ACB=35°，DE=AB=8，≌EH=2，≌DH=8﹣2=6；（2）证明：≌≌ABC≌≌DEF，≌≌DEF=≌B，≌AB≌DE．【解析】（1）根据三角形内角和定理求出≌ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，≌F=≌ACB，即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出≌B=≌DEF，根据平行线的判定得出即可．练习1.如图，≌ABC≌≌DEF，AC≌DF，则≌C的对应角为（）A．≌F B．≌AGE C．≌AEF D．≌D【答案】A【解析】解：≌AC≌DF，≌≌D=≌BAC；≌≌ABC≌≌DEF，≌≌ABC与≌DEF的对应角相等；又≌C是≌ABC的一个内角，≌≌C的对应角应≌DEF的一个内角；A、≌AGE不是≌DEF的一个内角，不符合题意；B、≌AEF不是≌DEF的一个内角，不符合题意；C、≌D与≌BAC是对应角，不符合题意；故选A．小结注意平移型全等形的识别，平移的距离可以有多种情况，两个图形可以没有公共的部分，这也是平移型的一种典型情况，在授课过程中注意帮助学生建立这种模型意识.例2.已知：如图，≌ABC≌≌AEF，AB=AE，≌B=≌E，则对于结论≌AC=AF，≌≌FAB=≌EAB，≌EF=BC，≌≌EAB=≌FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：≌≌ABC≌≌AEF，≌AC=AF，故≌正确；≌EAF=≌BAC，≌≌FAC=≌EAB≠≌FAB，故≌错误；EF=BC，故≌正确；≌EAB=≌FAC，故≌正确；综上所述，结论正确的是≌≌≌共3个．故选C．练习1.如图，≌ABC≌≌DBE，≌DBC=150°，≌ABD=40°，则≌ABE的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【答案】A【解析】解：≌≌DBC=150°，≌ABD=40°，≌≌ABC=110°，≌≌ABC≌≌DBE，≌≌DBE=≌ABC=110°，≌≌ABE=≌DBE﹣≌ABD=70°，故选：A．小结注意旋转型全等形的识别，旋转的角度也可以有很多种，两个图形可以没有公共的部分，这也是旋转的一种典型情况，在授课过程中注意帮助学生建立这种模型意识.例3.如图，已知≌ABC≌≌DCB，AB=10，≌A=60°，≌ABC=80°，那么下列结论中错误的是（）A．≌D=60°B．≌DBC=40°C．AC=DB D．BE=10【答案】D【解析】解：≌≌A=60°，≌ABC=80°，≌≌ACB=40°，≌≌ABC≌≌DCB，≌≌D=≌A=60°，≌DBC=≌ACB=40°，AC=BD，故A，B，C正确，故选D．练习1.如图，点E，F在线段BC上，≌ABF与≌DEC全等，其中点A与点D，点B与点C 是对应顶点，AF与DE交于点M，则≌DEC等于（）A．≌B B．≌A C．≌EMF D．≌AFB【答案】D【解析】解：≌≌ABF与≌DEC全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，≌≌ABF≌≌DCE，≌≌DEC=≌AFB，故选：D．小结注意翻折型全等形的识别，翻折的本质是轴对称，其中轴对称的知识会在下一章中学到，其中对称轴的位置决定了翻折前后形成的两个图形的位置关系，建议老师在讲解旋转、翻折、平移这三个模型时，要以动态的思想来分析、帮助学生理解不同的形式产生的原因，在授课过程中注意帮助学生建立这种模型意识.例4.如图，≌ABD≌≌CDB，下面四个结论中不正确的是（）A．≌ABD和≌CDB的面积相等B．≌ABD和≌CDB的周长相等C．≌A+≌ABD=≌C+≌CBD D．AD≌BC，且AD=BC【答案】C【解析】解：≌≌ABD≌≌CDB，≌≌ADB=≌CBD，AD=BC，≌ABD和≌CDB的面积相等，≌ABD和≌CDB的周长相等，≌AD≌BC，则选项A，B，D一定正确．由≌ABD≌≌CDB不一定能得到≌ABD=≌CBD，因而≌A+≌ABD=≌C+≌CBD不一定成立．故选C．练习1.如图，≌ABC≌≌BAD，若AB=6、AC=4、BC=5，则≌BAD的周长为．【答案】15【解析】解：≌≌ABC≌≌BAD，≌AD=CB=5，BD=AC=4，≌AB=6，≌≌BAD的周长为：5+4+6=15，故答案为：15．小结对调型的全等也有不同的位置、不同的情况，其中有一条边完全重合的情况构成的是平行四边形（在人教版初二下学期的课本中会学到），对于这种类型的全等，一定要注意区分其对应点和对应边分别是什么.例5.如图：若≌ABE≌≌ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A．2B．3C．5D．2.5【答案】B【解析】解：≌≌ABE≌≌ACF，AB=5，≌AC=AB=5，≌AE=2，≌EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选B．练习1.如图，≌ABE≌≌ACF．若AB=5，AE=2，BE=4，则CF的长度是（）A．2B．5C．4D．3【答案】C【解析】解：≌≌ABE≌≌ACF，≌CF=BE=4，故选：C．练习2.已知如图，≌OAD≌≌OBC，且≌O=70°，≌C=25°，则≌OAD=（）A．95°B．85°C．75°D．65°【答案】B【解析】解：≌≌OAD≌≌OBC，≌≌D=≌C=25°，≌≌O=70°，≌≌OAD=180°﹣25°﹣70°=85°，故选：B．●小结共角模型其本质也是翻折的一种，由于它有一个公共角，其情况比较特殊，所以单独拿出来分析，此种模型在下一节的全等判定中出现的频率很高，其中蕴藏着两组全等三角形，两者之间的转化很经典.例6.如图，≌ABC≌≌DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】解：≌≌ABC≌≌DCB，≌BD=AC=7，≌BE=5，≌DE=BD﹣BE=2，故选A．练习1.如图，已知≌ABC≌≌BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，且≌C=60°，≌ABD=35°，则≌BAD的度数是（）A．60°B．35°C．85°D．不能确定【答案】C【解析】解：≌≌ABC≌≌BAD，≌C=60°，≌≌D=≌C=60°，≌≌ABD=35°，≌≌BAD=180°﹣≌D﹣≌ABD=180°﹣60°﹣35°=85°，故选C．●小结共边型全等其本质也是翻折型，是翻折的一个特殊情况.例7.如图，E为线段AB上一点，AC≌AB，DB≌AB，≌ACE≌≌BED．（1）试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论；（2）求证：AB=AC+BD．【答案】（1）CE≌DE，证明：≌AC≌AB，DB≌AB，≌≌A=≌B=90°，≌≌C+≌CEA=90°，≌≌ACE≌≌BED，≌≌C=≌DEB，≌≌CEA+≌DEB=90°，≌≌CED=180°﹣90°=90°，≌CE≌DE；（2）证明：≌≌ACE≌≌BED，≌AC=BE，BD=AE，≌AB=AE+BE=AC+BD．【解析】（1）求出≌A=≌B=90°，推出≌C+≌CEA=90°，根据全等得出≌C=≌DEB，推出≌CEA+≌DEB=90°即可；（2）根据全等三角形的性质得出AC=BE，BD=AE，即可得出答案．练习1.如图，已知Rt≌ABC≌Rt≌CDE，≌B=≌D=90°，且B，C，D三点共线．试说明≌ACE=90°．【答案】证明：≌Rt≌ABC≌Rt≌CDE，≌≌BCA=≌CED，≌≌DCE是直角三角形，≌≌CED+≌ECD=90°，≌≌BCA+≌ECD=90°，≌≌ACE=180°-90°=90°．【解析】根据Rt≌ABC≌Rt≌CDE可得≌BCA=≌CED，再根据直角三角形两锐角互余可得≌CED+≌ECD=90°，进而得到≌BCA+≌ECD=90°，再根据角之间的关系可得≌ACE=90°． 小结三垂直模型其本质也是一种旋转，由于其旋转中心不容易确定，所以将此类情况单独拿出来分析，而三垂直的更一般的情况是一线三等角，它是初三相似中非常重要的一个模型.➢当堂总结本次课重点讲解三角形全等的性质及其相关计算，其中需要学生特别关注的就是一些常见的全等的模型，这也为下一节讲解三角形全等的判定作铺垫，在学习全等三角形章节一定要着重关注常见的全等模型，这对计算和证明都有很好的帮助.➢课后作业1、如图，≌ADE≌≌BDE，若≌ADC的周长为12，AC的长为5，则CB的长为（）A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】解：≌≌ADE≌≌BDE，≌DA=DB，≌ADC的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=12，又AC=5，≌BC=7，故选：B．2、若≌ABC≌≌DEF，且≌ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（）A．5B．8C．7D．5或8【答案】C【解析】解：≌≌ABC的周长为20，AB=5，BC=8，≌AC=20﹣5﹣8=7，≌≌ABC≌≌DEF，≌DF=AC=7，故选：C．3、如图，已知≌ABE≌≌ACD，≌1=≌2，≌B=≌C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．≌BAE=≌CAD C．BE=DC D．AD=DE【答案】D【解析】解：≌≌ABE≌≌ACD，≌1=≌2，≌B=≌C，≌AB=AC，≌BAE=≌CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选D．4、如图，≌ABD≌≌ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，AD=6，BD=7，则CE的长是（）A．1B．2C．4D．7【答案】D【解析】解：≌≌ABD≌≌ACE，≌BD=CE=7．故选：D．5、如图，CD≌AB于点D，BE≌AC于点E，≌ABE≌≌ACD，≌C=42°，AB=9，AD=6，G 为AB延长线上一点．（1）求≌EBG的度数．（2）求CE的长．【答案】解：（1）≌≌ABE≌≌ACD，≌≌EBA=≌C=42°，≌≌EBG=180°﹣42°=138°；（2）≌≌ABE≌≌ACD，≌AC=AB=9，AE=AD=6，≌CE=AC﹣AE=9﹣6=3．6、如图所示，已知≌ABC≌≌DCB，≌A=32°，≌BCD=115°，求≌BOC．【答案】解：≌≌ABC≌≌DCB，≌≌DBC=≌ACB，≌A=≌D，≌ABC中，≌A=32°，≌≌D=32°，≌≌DBC=≌ACB=180°﹣≌D﹣≌BCD=33°，≌≌OBC=≌OCB=33°，≌≌BOC=180°﹣33°﹣33°=114°．【解析】根据三角形内角和定理可求≌DBC=33°，根据全等三角形的性质可证≌DBC=≌ACB，即可求≌BOC．7、如图，E为线段BC上一点，AB≌BC，≌ABE≌≌ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．【答案】解：AE≌DE．≌AB≌BC，≌≌B=90°．≌≌ABE≌≌ECD，≌≌A=≌DEC，≌AEB=≌EDC，≌B=≌C=90°．≌≌A+≌AEB=90°，≌DEC+≌D=90°，≌≌AEB+≌DEC=90°，≌≌AED=90°，即AE≌DE．。
全等三角形的性质和判定教案
全等三角形的性质和判定教案中小学个性化课外辅导专家卓尔教育教师教学辅导教案编号：授课教师日期时间学生年级科目课题全等三角形的性质和判定教学目标1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.教学重难点三角形判定的应用课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议：___________________________________________________教学过程【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.中小学个性化课外辅导专家要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；中小学个性化课外辅导专家（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）中小学个性化课外辅导专家A． B．C．D．举一反三：【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角. 【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；中小学个性化课外辅导专家 全等三角形对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD ≌△ACE ，AB ＝AC ，写出图中的对应边和对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt △EBC 中，∠EBC ＝90°，∠E ＝35°.以B 为中心，将Rt △EBC 绕点B逆时针旋转90°得到△ABD ，求∠ADB 的度数.4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．中小学个性化课外辅导专家举一反三：【变式】如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若∠的度数是____________.AC A B''⊥，则BAC三角形的性质：1．_____的两个图形叫做全等形.2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____上．3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．图1－1中小学个性化课外辅导专家5．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．图1－2图1－3 6．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE ＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形二、选择题8．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B．BC C．CD D．AD9．下列命题中，真命题的个数是（）中小学个性化课外辅导专家①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4B．3C．2D．110．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5C．4D．无法确定图1-4 图1-5 图1-611．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF 是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC 12．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C ＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°中小学个性化课外辅导专家、三、解答题13．已知：如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC 绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．图1－7图1－8图1－9综合、运用、诊断一、填空题14．如图1－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．15．已知：如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度数与DH的长；中小学个性化课外辅导专家（2）求证：AB∥DE．拓展、探究、思考16．如图1－10，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．图1－10三角形全等的条件一、填空题1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等．2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是________________________________________________ ________________________________．3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了．中小学个性化课外辅导专家4．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______， 只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， 图2－1∴______＝______ 在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知∴______≌______（ ）． ∴ ∠PRM ＝______（______）． 即RM ．5．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：∠A ＝∠D ．分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______． 证明：∵BE ＝CF （ ）， ∴BC ＝______． 在△ABC和△DEF中，图2－2中小学个性化课外辅导专家⎪⎩⎪⎨⎧===______,______,______,AC BC AB∴______≌______（ ）． ∴ ∠A ＝∠D （______）．6．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ， 求证：△ABC ≌△BAD ． 证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，∴______＋______＝______＋______，图2－3即______＝______． 在△ABC 和△BAD 中， ＝______（已知），⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知∴△ABC ≌△BAD （ ）．综合、运用、诊断一、解答题7．已知：如图2－4，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：中小学个性化课外辅导专家∠CAD＝∠DBC.图2－4图2－59．“三月三，放风筝”．图2－6是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．图2－6三角形全等的判定1、如图（1）：AD⊥BC，垂足为D，BD=CD。
全等三角形教案
§8．2 全等三角形教案背景：面向八年级学生教学课题：青岛版八年级第八章第二节《全等三角形》教学目标1、知识目标（1）．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角（2）．掌握全等三角形的性质，并能运用这一性质解决有关问题（3）．能用符号正确地表示两个三角形全等2、能力目标：（1）通过全等三角形角有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力；（2）通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的几何能力。
3、情感目标：（1）通过感受全等三角形的对应，培养学生热爱数学的兴趣；（2）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，小组合作的精神。
教材分析本节在学生了解全等形的基础上，研究“图形与几何”领域中，最常见，最基本也是最简单的一类全等图形，即全等三角形。
本节的主要内容是全等三角形的概念及性质、全等三角形的对应元素、全等三角形的符号表示。
全等三角形的对应边相等，对应角相等，这是今后研究边相等、角相等的重要依据，本节设计也是由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出“全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质”教学重难点：全等三角形的性质．找全等三角形的对应边、对应角教学方法：利用图形结合和小组合作的方式进行教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境取一张纸，叠起来，画三角形，照图形裁下来，分别表上字母，你能发现这两个三角形有什么特殊性？C 11C A B A 12．获取概念前面我们学习了全等形，那能否找同学说一下这两个三角形是什么关系？同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的便叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
并会用“≌”表示Ⅱ．导入新课将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ．甲D CA B F E 乙D C A B 丙DC AB E议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：△ABC ≌△DEF ，△ABC ≌△DBC ，△ABC ≌△AED ．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等．[例1]如图，△ADC ≌△CBA ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角．解：△ADC ≌△CBA 可知，两个三角形的对应边相等，所以AD=CB,CD=AB,AC=CA对应角相等，所以∠ DAC=∠BCA ，∠D=∠B ，∠ DCA=∠BAC ，[例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，•指出其他的对应边和对应角．D C AB E分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来．常用方法有：（1）将图像通过旋转翻转等方式重合找到对应点和对应边及对应角。
学习全等三角形三注意
学习全等三角形三注意
一、注意“对边（角）”与“对应边（角）”的区别
初学全等三角形时，很容易将“对应边”、“对应角”与“对边”、“对角”的概念相混淆.对应边、对应角是针对不同三角形中边和边、角和角之间的对应关系，主要反映“数量”方面的关系；而对边、对角是针对同一三角形中边、角的相对关系，主要体现“位置”方面的关系.
二、注意全等三角形的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”，其中“∽”表示形状相同(即相似)，“＝”表示大小相等，合起来就是形状相同、大小相等，即“全等”.
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.这样可以利用字母的顺序确定对应元素.
如△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
三、注意对应边、对应角的确定方法
1. 有公共边的，公共边一定是对应边.
如图1，△ADB和△DAC全等，则AD和AD一定是两个三角形的对应边．
2. 有公共角的，公共角一定是对应角.
如图2，△ABD和△ACE全等，∠DAB和∠EAC是对应角．
3. 有对顶角的，对顶角一定是对应角.
如图3，△ABE和△CDE全等，∠1和∠2是对应角．
4. 对应角的对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
5. 两个全等三角形的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．。
认识全等三角形及其对应边、对应角、对应顶点
1. 全等三角形 教案【教学目标】1.了解全等形、全等三角形的概念，会用符号语言表示两个三角形全等；2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质 ，并能用其解决简单的问题； 【教学重难点】重点：探究全等三角形的性质；难点：理解两个全等三角形的对应元素，并会找对应元素。
【教学过程】 一、新知引入活动一在PPT 上展示各种由同一张底片洗出的两张照片，让同学们观察。
问题：这些图片有什么特点？能否完全重合？（用PPT 演示重合的过程）发现：它们的形状、大小相同，能够完全重合．二、新知讲解(一)全等形全等形：能够 完全重合 的两个图形叫做全等形． 全等形的特点： 形状 相同 ，大小 相等 ．问题：你还能说出生活中全等图形的例子吗?（学生举例）(二)全等三角形全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点. 如：A 的对应顶点是D 重合的边叫做对应边. 如：AB 与DE 对应重合的角叫做对应角. 如：∠A 的对应角是∠D全等的符号：≌ 读作：全等于如：△ABC ≌△DEF 读作: △ABC 全等于△DEF注意：写全等式时要求把 对应顶点字母 写在 对应的位置 上。
AB C DEF（三）全等三角形的性质活动二(1)请大家用自己手中的三角尺在纸上画一个和它形状、大小完全相同的三角形，然后将他们重合在一起。
(2)在重合的过程中，你能发现它们的对应边有什么关系吗？对应角呢？(引导学生从“全等三角形可以完全重合”出发找等量关系)全等三角形的性质：全等三角形的 对应边相等 ， 对应角相等 。
数学语言表示：∵ △ABC ≌△DEF ∴AB=DE ，BC=EF ，AC=DF （全等三角形对应边相等）∠A= ∠D ，∠B=∠E ，∠C= ∠F （全等三角形对应角相等）活动三下面各组两个三角形全等吗？若全等，请写出全等式。
(1)将△ABC 沿直线AB 平移得△DEF ； (2)将△ABC 沿AB 翻折180°得到△ABD ；(3)将△OAC 旋转180°得△OBD ．总结：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．三、例题讲解例1.如图所示，若△ABC ≌ △ADC ，则对应边有： 对应角有：C AB F D ECABDO AC D ABC例2.如图，△ABO≌△CDO,点A与点C是对应顶点，点B与点D是对应顶点。
三角形全等的判定(SSS,SAS,ASA)
全等三角形性质及判定（SSS,SAS,ASA) 1.了解三角形全等，对应角，对应边的概念
教学目标
2.掌握全等三角形的性质（对应元素相等）及判定（主要是 SSS,SAS,ASA） 3.学会书写证明题的思路及主要格式，养成数学推理思想 1.确定全等三角形的对应元素，掌握找对应元素的方法 2.理解 SSS，SAS,ASA 的涵义，会利用这三种方法判定三角形全等，并熟练掌
A D B E
C
F
练习 5：如图，已知 AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 A
B D
E C
练习 6：如图，在 △ ABC 中， AB AC，BAC 40° ，分别以 AB，AC 为边作两个等腰直 角三角形 ABD 和 ACE ，使 BAD CAE 90° ． （1）求 DBC 的度数；（2）求证： BD CE 。
3.已知：如图 T-3，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度. 4.如下右图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加 的条件是________
O B E D
T-3
A C
A
5.已
E O
知：如图，DC∥AB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点，求证：△AED≌△EBC．
B
1 2 3 4
A
O D
C
练习 9：如图，在 ABC 中， BAC 90 ，AB=AC，BD 是∠ABC 的角平分线，BD 的延长线 垂直于过点 C 的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于点 F。 求证：BD=2CE.（提示：等腰三角形底边上的高和中线重合，将底边平均分成两段）
F A E D
专题12.1 全等三角形(解析版)
专题12.1 全等三角形1.基本概念（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上）（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.【例题1】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．求证：BD＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD．又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD＝CE．【点拨】在利用角边角判定该定理证明全等后，全等三角形对应边相等。
【例题2】已知，如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，BC∥EF．则不正确的等式是（）A．AC=DF B．AD=BE C．DF=EF D．BC=EF【答案】C．【解析】A．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论正确；B．∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE；∵DB是公共边，∴AB﹣BD=DE﹣BD，即AD=BE；故此结论正确；C．∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，故此结论DF=EF错误；D．∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，故此结论正确。
【点拨】考查平行线性质，全等三角形对应边相等。
【例题3】如图，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，则∠E等于（）A．35°B．45°C．60°D．100°【答案】D．【解析】∵△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°∴∠D=∠A=45°∴∠E=180°﹣∠D﹣∠F=100°．【点拨】全等三角形对应角相等。
全等三角形
王文明中学
回忆：举出现实生活中能够完全重合的 图形的例子? 同一张底片洗出的同大小照片是 能够完全重合的;
能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
图1
图2
全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
互相重合的顶点叫做对应顶点. 互相重合的边叫做对应边. 互相重合的顶点角叫做对应角
二、全等三角形表示法
A
∵△ABC≌ △A’B’C’
∴ AB=A’B’, BC=B’C’, AC=A’C’
(全等三角形的对应边相等) ∠ A= ∠ A’, ∠ B= ∠B’ , ∠ C= ∠C’ (全等三角形的对应角相等)
B
C
A'
B'
C'
四、在找全等三角形的对应元素时一般 有什么规律？
A B C B C A D
D
有公共边的，公共边是对应边.
1、能够重合 的两个图形叫做全等形. 两个三角形重合时，互相 重合 _的顶点 叫做对应顶点.记两个全等三角形时， 相对应 通常把表示 对应 _顶点的字母写在____ A 的位置上. D 2、如图△ABC≌ △ADE 若∠D=∠B， ∠C= ∠AED， 则∠DAE= ∠BAC ； ∠DAB= ∠EAC 。 B C
五、在找全等三角形的对应元素时一般 有什么规律？ 有公共边的，公共边是对应边.
有公共角的，公共角是对应角.
有对顶角的，对顶角是对应角.
一对最长的边是对应边，
一对最短的边是对应边.
一对最大的角是对应角，
一对最小的角是对应角.
问题1： 观察图中的全等三角形应怎样表示？
△ ABC ≌△ DEF
注：记全等三角形时,通常把表示对应
顶点的字母写在对应的位置上.
全等三角形ppt课件
∴ △ABD≌△ACD（全__等__三__角__形__的__定__义__）_________
解：∵∠A＝50°，∠B＝48°， ∴∠C＝180°－50°－48°＝82°. 又∵△ABC≌△DEF， ∴∠C＝∠F，∴∠F＝82°. ∵DE的对应边为AB，所以DE＝AB， ∴AB＝10 cm.
【点悟】利用全等三角形的对应角相等、对应边相等解决问 题时，应注意不要将对应边(对应角)弄错，也就是要求在表 示两个三角形全等时书写规范．
寻找对应边、角的规律：
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；
例2 如图，AD平分∠BAC，AB=AC.△ABD与△ACD全等吗？
起可以重合
能够完全重合的 两个图形叫做全
等图形
A
B′
A′
B
C
C′
1.它们重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点：如A和A′、B和 B′、C和C′； 2.互相重合的边叫做全等三角形的对应边：如AB和A′B′、BC和B′C′、CA和C′A′; 3.互相重合的角叫做全等三角形的对应角：如∠A和∠A′、 ∠B和∠B′、 ∠C和 ∠C′.
怎样判断两个图形是不是全等图形？
确定两个图形全等要符合两个条件： ①形状相同，②大小相同； 是否是全等图形与位置无关． 判断两个图形是否全等还可以通过平移、旋转、翻折等方法把两 个图形叠合在一起，看它们能否完全重合，即用叠合法判断．
全等三角形教案【优秀7篇】
全等三角形教案【优秀7篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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全等三角形认识与性质
全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等图形的对应边、对应角分别相等．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 【典型例题】【例1】 如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【例2】 如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．【例3】 如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么AB 与EF 平行吗？为什么？DCBAFAE P DCBA BCDEF【例4】如图所示，△ABC ≌△AEC ，B 和E 是对应顶点，∠B ＝30°，∠ACB ＝85°，求△AEC 各内角的度数.ABCE全等三角形的性质练习1一. 选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. 全等三角形是指形状相同的三角形B. 全等三角形是指面积相等的三角形C. 全等三角形的周长和面积都相等D. 所有的等边三角形都全等2. 如图所示，若△ABC ≌△DEF ，则∠E 等于（ ）AB C EF30°50°第2题A. 30°B. 50°C. 60°D. 100°3.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）ABCDE 第3题A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°4. 已知△ABC ≌△A ´B ´C ´，且△ABC 的周长为20，AB ＝8，BC ＝5，则A ´C ´等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 85. 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ）12ABC D第5题A. ∠1＝∠2B. AC＝CAC. ∠B＝∠DD. AC＝BC6. 如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（）AB CDC'第6题A. △ADCB. △BDC´C. △ADC´D. 不存在7. 下图中，全等的图形有（）第7题A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组二. 填空题8. 已知△ABC≌△DEF，AB＝DE，BC＝EF，则AC的对应边是__________，∠ACB的对应角是__________.9. 如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC______全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.AB CD第10题10. 如图所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，则∠CAE＝__________°.AB CD E第11题11. 如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________.ABC DO第12题12. 下图是由全等的图形组成的，其中AB＝3cm，CD＝2AB，则AF＝__________.A BCD EF三. 解答题13. 如图所示，已知△ABD ≌△ACE ，∠B ＝∠C ，试指出这两个三角形的对应边和对应角.ABCDEO14.如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上？（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C'在同一直线上？AB CB'C'15.如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD 的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.ABC DE（1）ABCD （2）A BCDE（3）ABC（4）DEF。
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1. 全等三角形 教案
【教学目标】
1.了解全等形、全等三角形的概念，会用符号语言表示两个三角形全等；
2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质 ，并能用其解决简单的问题； 【教学重难点】
重点：探究全等三角形的性质；
难点：理解两个全等三角形的对应元素，并会找对应元素。
【教学过程】 一、新知引入
活动一
在PPT 上展示各种由同一张底片洗出的两张照片，让同学们观察。
问题：这些图片有什么特点？能否完全重合？（用PPT 演示重合的过程）
发现：它们的形状、大小相同，能够完全重合．
二、新知讲解
(一)全等形
全等形：能够 完全重合 的两个图形叫做全等形． 全等形的特点： 形状 相同 ，大小 相等 ．
问题：你还能说出生活中全等图形的例子吗?（学生举例）
(二)全等三角形
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点. 如：A 的对应顶点是D 重合的边叫做对应边. 如：AB 与DE 对应
重合的角叫做对应角. 如：∠A 的对应角是∠D
全等的符号：≌ 读作：全等于
如：△ABC ≌△DEF 读作: △ABC 全等于△DEF
注意：写全等式时要求把 对应顶点字母 写在 对应的位置 上。
A
B C D
E
F
（三）全等三角形的性质
活动二
(1)请大家用自己手中的三角尺在纸上画一个和它形状、大小完全相同的三角形，然后将他们重合在一起。
(2)在重合的过程中，你能发现它们的对应边有什么关系吗？对应角呢？
(引导学生从“全等三角形可以完全重合”出发找等量关系)
全等三角形的性质：全等三角形的 对应边相等 ， 对应角相等 。
数学语言表示：
∵ △ABC ≌△DEF ∴AB=DE ，BC=EF ，AC=DF （全等三角形对应边相等）
∠A= ∠D ，∠B=∠E ，∠C= ∠F （全等三角形对应角相等）
活动三
下面各组两个三角形全等吗？若全等，请写出全等式。
(1)将△ABC 沿直线AB 平移得△DEF ； (2)将△ABC 沿AB 翻折180°得到△ABD ；
(3)将△OAC 旋转180°得△OBD ．
总结：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改
变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
三、例题讲解
例1.如图所示，若△ABC ≌ △ADC ，则
对应边有： 对应角有：
C A
B F D E
C
A
B
D
O A
C D A
B
C
例2.如图，△ABO≌△CDO,点A与点C是对应顶点，点B与点D是对应顶点。
(1)请说出这两个三角形中相等的边和相等的角。
(2)若AB=3,∠B=50 °,∠BOA=60 °,求CD的长及∠C的度数。
找两个全等三角形的对应元素的规律：
①公共边是对应边；公共角是对应角。
②最长(短)边是对应边，最大(小)角是对应角。
③对顶角一定是对应角。
④对应边所对的角是对应角；对应角所对的边是对应边。
四、巩固练习
1．判断题
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（）
（2）全等三角形的周长相等，面积也相等。
（）
（3）面积相等的三角形是全等三角形。
（）
（4）周长相等的三角形是全等三角形。
（）
2．如图1，若△AOB≌△COD，对应边是________________________________，对应角是_________________________________ ．
3．如图2，若△ABC≌△CDA，对应边是_________________________ ____，对应角是_________________________________．
A
B
O
C
D
1 2
(图1) (图2)
A
B
O
C
D
4．如图，已知△ABN ≌△ACM ，且∠1＝∠2，∠B= ∠C ，写出其他的对应边和 对应角．
5. 如图，已知△CAB ≌△CDE ，∠ACB 与∠DCF 是对应角，CA 与CD 是对应边，写出其它对应边和对应角．
6 如图，已知△ABC ≌△ADE ，AC 与AE ，AB 与AD 是对应边，写出其它对应边和对应角．
四、课堂小结
(1) 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； (2) 全等三角形的对应边相等、对应角相等；
(3) 全等三角形用符号“≌”表示，且一般对应顶点写在对应位置上.
五、课堂作业 课本P 33 1、4
M N
A
B C
D E
A
C
B
E
D。