4.2 二次型的标准型与规范型

4.2 二次型的标准型与规范型
二次型是一个重要的数学概念，常常出现在线性代数和数学分析中。

在研究二次型的性质时，我们可以通过对其进行特征值分解来得到其标准型和规范型。

本文将对二次型的标准型与规范型进行详细阐述。

1. 二次型
二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次齐次多项式，其中 $x$ 是 $n$ 维实向量，$A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。

其中 $n$ 称为二次型的阶数。

二次型具有以下性质：
（1）对称性：$f(x)=x^TAx=x^T(A^T)x=f(x)$；
（2）齐次性：$f(kx)=k^2f(x)$，其中 $k$ 是常数；
（3）线性性：$f(x+y)=f(x)+f(y)$；
（4）正定性：如果对于任意非零 $x$，有 $f(x)>0$，则称这个二次型是正定的；
（8）无定性：如果既不是正定的，也不是负定的，则称这个二次型是无定性的。

2. 标准型
标准型是指经过矩阵相似变换得到的对角矩阵。

标准型对于研究二次型的性质非常方便，因为对角矩阵的特殊性质使得二次型的性质易于判断。

我们可以通过以下步骤获得一个二次型的标准型：
（1）求出二次型的矩阵 $A$ 的特征值和特征向量；
（2）将特征向量按对应的特征值大小排列，组成矩阵 $P=[p_1, p_2, \cdots, p_n]$；
（3）令 $D=\begin{bmatrix}
\lambda_1 & & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{bmatrix}$，其中 $\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值；
（4）则可得到一个相似变换矩阵 $T=P^{-1}$，使得 $T^{-1}AT=D$。

此时，$D$ 即为该二次型的标准型。

标准型的优点在于可以直接通过特征值的正负性判断二次型是否正定、负定或者无定。

例如，如果所有的特征值都为正，则该二次型是正定的；如果所有的特征值都为负，则该
二次型是负定的；如果特征值有正有负，则该二次型是无定性的。

3. 规范型
规范型是指在标准型的基础上，进一步对其进行线性变换，使得二次型的矩阵具有更
加简单的形式。

规范型对于研究二次型的性质更为方便，因为规范型所需要的线性变换也
具有特殊性质，比如正交矩阵。

我们以正定二次型为例。

对于一个二次型 $f(x)=x^TAx$，因为它是正定的，所以
$A$ 必定是正定矩阵。

我们可以通过 Cholesky 分解将其分解成 $A=UU^T$ 的形式，其中$U$ 是一个上三角矩阵。

令 $y=U^Tx$，则有：
此时，$f(x)$ 的形式已经变成了一个标准型。

同时，因为 $U$ 是正交矩阵的上三角
矩阵，所以 $y=U^Tx$ 表示了一个对 $x$ 进行正交变换之后的向量，称为 $f(x)$ 的规
范化变量。

由于 $U$ 是正交矩阵，所以 $U^{-1}=U^T$，说明对 $x$ 进行逆变换即可得
到原来的向量：
$$x=Uy=UU^Tx$$
规范化变量 $y$ 的形式通常会比原向量 $x$ 更加简单，这为研究二次型的性质提供
了便利。

规范型的定义类似于标准型，只是需要更复杂的变换。

同样以正定二次型为例，可以
通过正交相似变换将二次型的矩阵 $A$ 转换成二元平方和的形式，即：
$$f(x,y)=x_1^2+\cdots+x_r^2-y_1^2-\cdots-y_s^2$$
其中 $r+s=n$，$r$ 和 $s$ 分别是矩阵 $A$ 的正特征值和负特征值的个数。

在上式中，$x_i$ 和 $y_i$ 是经过正交变换得到的规范化变量。

规范型通过更为复杂的变换将二次型的矩阵转化成了更加简单的形式，例如平方和的
形式。

这为研究二次型的性质提供了便利，同时也让二次型的特征值的计算更加容易。

综上所述，二次型的标准型和规范型都是将二次型的矩阵通过线性变换转化成更加简
单的形式。

标准型适用于判断二次型的性质，而规范型则更适用于通过平方和的形式研究
二次型的性质。

在对二次型进行研究时，标准型和规范型都起到了非常重要的作用。