角平分线的画法及性质
第3节 角平分线的性质及应用
第三节角平分线的性质及应用一、课标导航二、核心纲要1．角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．2．角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上．如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．注：用来证明一条线是一个角的平分线．3．角平分线的画法如下右图所示，已知：∠AO B．作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．4.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．5.与角平分线有关的辅助线模型（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．（3）角平分线+垂线，全等必出现．如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．三、全能突破基础演练1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：94．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．能力提升8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．A．①③B．②③C．①②④D．①②③④10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．A．1 B．2 C．3D．411．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．412．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，（1）求证：∠2=∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD=28°，求∠ADE的度数．19．如图12-3-20所示，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB-P C．20．如图12-3-21所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．中考链接21．（2011·浙江衢州）如图12-3-22所示，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则PQ的最小值为（）．A．1 B．2 C．3 D．422．(2010·青海西宁)八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图12-3-23所示）设计了如下方案：（I）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（II）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（I）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥O B．此方案是否可行？请说明理由．巅峰突破23．如图12-3-24所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的平分线与∠ABC 的外角平分线交于点E，则∠AEB=（）．A．50° B．45° C．40°D．35°24．如图12-3-25所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．。
12.3 角的平分线的性质
A Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为∠AOB 的角平分线
探究二
任意作∠AOB，作出它的角平分线OC，在OC上任取一 点P，过点P分别作OA ，OB的垂线，垂足记为D，E。测 量PD，PE你能得出什么结论？在OC上再取几个点试试。
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） O
D
A
C
P
E B
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
练习1 如图,在△ABC中，AC⊥BC， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝ ，AC＝3㎝，求BE的长。 A E C D
B
探究三
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等, 且离公路,铁路的交叉处５００米，应建在何处？
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， A PF⊥AC于F D
N M F C
∵ BM为△ABC的角平分线 ∴PD=PE 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF离相等
结论：三角形角平分线的交点到三边的距离相等
课堂小结
1.作出已知角角平分线的方法
2.角平分线的性质 3角平分线的性质的逆定理
O
公 路
s
铁 路
你能得出什么结论？
结论 ：角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上
练习2 如图，在△ABC中，D是BC的 中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E， F，且BE＝CF. 求证：AD是△ABC的角平分线。
_角平分线的性质和判定(包含答案)
角平分线的性质和判定（1）以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；（2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，相交于点；（3）连接点和并延长，则射线就是的角平分线若DP=EP，则点P在∠AOB的角平分线上一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定二．重难点：角平分线的性质和判定三．易错点：1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错．题模一：尺规作图例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB∠的边OA上任意两点．（1）尺规作图：作AOB∠的平分线OC；（2）在AOB∠的平分线OC上求作一点P，使PM PN+的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹）如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．题模二：性质例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．例 1.2.3 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．题模三：判定例1.3.1 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥CB 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，DE 平分∠ADC ，且点E 为BC 的中点，连接AE ．（1）求证：AE 平分∠BAD ； （2）求∠AED 的度数．例 1.3.2 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．随练1.1 尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）如图，两条公路EA 和FB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．FABCDEOOEDCBA随练1.2如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.65°B.60°C.55°D.45°随练1.3如图，已知ABC∆的周长是20，OB和OC分别平分ABC∠和ACB∠，OD BC⊥于点D，且3OD=，则ABC∆的面积是（）A.20B.25C.30D.35随练 1.4如图，AB CD∥，BP和CP分别平分ABC∠和DCB∠，AD过点P，且与AB垂直．若8AD=，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2随练1.5三角形中到三边的距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点随练1.6如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．拓展1如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．拓展2如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A.四处B.三处C.两处D.一处拓展3在ABC∆中，AB AC=，70ABC∠=︒（1）用直尺和圆规作ABC∠的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，BDC∠=________．PCBA拓展4 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点拓展5 如图，已知在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，2DE =，则BCE ∆的面积等于________．拓展6 如图，ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC ∆分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5拓展7 如图，已知：BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥于E ，236ABC S cm ∆=；，12AB cm =，18BC cm =，则DE 的长为________cm ．拓展8 如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥交AF 的延长线于F ．（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长．拓展9 如图，△ABC 和△AED 为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ，连接BE 、CD 交于点O ，连接AO ． 求证：（1）△BAE ≌△CAD ； （2）OA 平分∠BOD ．GFE DC BA答案解析角平分线题模一：尺规作图例1.1.1【答案】（1）（2）【解析】（1）如图1所示，OC即为所求作的AOB∠的平分线．（2）如图2，作点M关于OC的对称点M'，连接M N'交OC于点P，则点P即为所求．例1.1.2【答案】【解析】（1）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点C、点D，（2）再分别以点C、点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于一点E，（3）连接OE，则OE为∠AOB的角平分线，（4）连接MN，分别以M、N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧交于点F、点H，（5）连接FH，则FH为线段MN的垂直平分线，（6）直线FH与OE交于点P，点P即为所求．题模二：性质例1.2.1【答案】C【解析】过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．例1.2.2【答案】4【解析】连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR ＝OQ ，OR ＝OP ，∴由勾股定理得：AR 2＝OA 2－OR 2，AQ 2＝AO 2－OQ 2， ∴AR ＝AQ ，同理BR ＝BP ，CQ ＝CP ， 即O 在∠ACB 角平分线上，设BP ＝BR ＝x ，CP ＝CQ ＝y ，AQ ＝AR ＝z ， 则987y z x y x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ x ＝3，y ＝5，z ＝4，∴BP ＝3，CQ ＝5，AR ＝4， BP ＋CQ －AR ＝3＋5－4＝4．例1.2.3【答案】31.5【解析】∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=题模三：判定 例1.3.1【答案】（1）见解析 （2）90°【解析】（1）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，图略．∵DE 平分∠ADC ，EC ⊥CD ，EF ⊥AD ，∴EC ＝EF ，又EC ＝EB ，∴EF ＝EB ，又EF ⊥AD ，EB ⊥AB ，∴点E 在∠BAD 的平分线上，∴AE 平分∠BAD ． （2）∠AED ＝90°． 例1.3.2【答案】见解析．【解析】因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=︒， 则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌．进而由AF AO=得AFO AOF∠=∠；由AOE AFO∠=∠可得AOF∠=AOE∠，即OA平分DOE∠．随练1.1【答案】【解析】如图所示：作CD的垂直平分线，AOB∠的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和1P都是所求的点．随练1.2【答案】A【解析】解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG 是∠CAB 的平分线，∵∠CAB ＝50°，∴∠CAD ＝25°；在△ADC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝25°，∴∠ADC ＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）．随练1.3【答案】C【解析】如图，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ，OB 、OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，3OE OF OD ∴===，ABC ∆的周长是20，OD BC ⊥于D ，且3OD =，1111()32222ABC S AB OE BC OD AC OF AB BC AC ∆∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯ 1203302=⨯⨯=．随练1.4【答案】C【解析】过点P 作PE BC ⊥于E ，AB CD ∥，PA AB ⊥，PD CD ∴⊥， BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，PA PE ∴=，PD PE =，PE PA PD ∴==，8PA PD AD +==，4PA PD ∴==，4PE ∴=．随练1.5【答案】D【解析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知： 三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．随练1.6【答案】见解析【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =．同理可证PF PG =．所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上．拓展1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）如图1，射线CP 为所求作的图形．（2）∵CP 是∠ACB 的平分线∴∠DCE=∠BCE ．在△CDE 和△CBE 中，CD=CB DCE=BCE CE=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），P∴BE=DE．拓展2【答案】A【解析】满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．拓展3【答案】（1）（2）75︒【解析】（1）如图所示，BD 即为所求；（2）在ABC ∆中，AB AC =，70ABC ∠=︒，180218014040A ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， BD 是ABC ∠的平分线，11703522ABD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒， BDC ∠是ABD ∆的外角，403575BDC A ABD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．拓展4【答案】D【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴角形三边距离相等的点应是这个三角形三个内角平分线的交点．拓展5【答案】6【解析】作EF BC ⊥于F ， BE 平分ABC ∠，EF BC ⊥，ED AB ⊥，2EF DE ∴==，BCE ∴∆的面积162BC EF =⨯⨯=．拓展6【答案】C【解析】过点O 作OD AC ⊥于D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，点O 是内心，OE OF OD ∴==， 111::::::2:3:4222ABO BCO CAO S S S AB OE BC OF AC OD AB BC AC ∆∆∆∴===．拓展7【答案】2.4【解析】如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥， DE DF ∴=，ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，1122AB DF BC DE =+， 11121822DE DE =⨯+⨯， 15DE =，236ABC cm ∆=，1536DE ∴=，解得 2.4DE cm =．拓展8【答案】（1）见解析；（2）2a b BE -=，2a b AE += 【解析】（1）连接DB 、DC ，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴DB DC =．∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE DF =．90AED BED ACD DCF ∠=∠=∠=∠=︒在Rt △DBE 和Rt △DCF 中DB DC DE DF =⎧⎨=⎩Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ），∴BE CF =．（2）在Rt △ADE 和Rt △ADF 中∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）．AD AD DE DF =⎧⎨=⎩∴AE AF =．∵AC CF AF +=，∴AE AC CF =+．∵AE AB BE =-，∴AC CF AB BE +=-∵AB a =，AC b =，∴b BE a BE +=-， ∴2a b BE -=， ∴22a b a b AE AB BE a -+=-=-=．拓展9【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）过点A 分别作AF ⊥BE 于F ，AG ⊥CD 于G ．如图所示：G F EDCB A∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB ACBAE CAD AE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△CAD（SAS），（2）连接AO并延长交CE为点H，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，∴AF＝AG，∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G，∴OA平分∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠COH＝∠AOD，∠EOH＝∠AOB，∴∠COH＝∠EOH．∴OA平分∠BOD．。
3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质
易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而 导致错误 10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一 点E，连接DE，则AD与DE的关系为( D) A．AD＞DE B．AD＝DE C．AD＜DE D．无法确定
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E， DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝( B ) A．4 B．3 C．6 D．5
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现，
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D， 已知AB＝10 cm，CD＝3 cm，则△ABD的面积为______1_5_c_m．2
8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，
其 三 条 角 平 分 线 交 于 点 O ， 则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO ＝ _____4_∶__5_∶__6___．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：∠B＝∠C. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中 ， DE ＝ DF ， BD ＝ CD ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C
12.3 第1课时 角的平分线的画法及性质
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点
作这条直线的垂线的方法.
角平分线的性质
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在 OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足 为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？
在OC 上再取几个点试
PD PE
一试.通过以上测量， 第一次
你发现了角的平分线的 第二次
什么性质？
第三次
O
A
D C
P
E
B
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，
PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
O
A
D C
P
E
B
证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
A
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
D
B
C E
角平分线的画法
从利用平分角的仪器画角的平分线中，找找灵感，思考如 何利用直尺和圆规作一个角的平分线
A B
O
提示：
(1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器 的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边 相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在 作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线 吗？
的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
A
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等 想一想，点P在∠A 的 平分线上吗？这 说明三角形的三条角平分线有什么关系？ B
《角平分线》第二课时
拓展：其他相关面积定理介绍
海伦公式
海伦公式是一个用于求解三角形面积的公式，它基于三角 形的三边长。与面积比例定理不同，海伦公式不需要知道 三角形的高或角平分线。
三角形中的中线与面积
三角形的中线与面积之间也有密切的关系。中线将三角形 分为两个面积相等的子三角形，这一性质在求解某些问题 时非常有用。
相似三角形的面积比
小组交流讨论和成果展示
分组交流
讨论互动
将学生分成若干小组，每组选派一名代表 汇报本组的实验操作和探究活动成果。
组织各小组之间进行讨论和交流，分享彼 此的经验和发现，提出问题和建议。
成果展示
评价反馈
每组准备一份展示材料，包括实验操作和 探究活动的照片、记录、分析等内容，向 全班展示本组的成果。
教师对学生的实验操作和探究活动进行评价 和反馈，肯定优点和指出不足，提出改进意 见和建议。
表示方法
若$OC$是$angle AOB$的角平 分线，则可以用符号表示为 $angle AOC = angle BOC$。
角平分线基本性质介绍
01
02
03
性质一
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
性质二
角的内部到角的两边距离 相等的点在角的平分线上。
性质应用
利用角平分线的性质，可 以解决与角平分线有关的 距离和角度问题。
05 实验操作和探究活动设计
实验操作：测量和绘制角平分线
准备工具
直尺、量角器、铅笔、橡皮等 绘图工具。
绘制角平分线
使用直尺和铅笔，按照角平分线 的定义，将给定角平分为两个相 等的小角，并绘制出角平分线。
测量角度
使用量角器测量给定角的大小 ，并标记出来。
注意事项
角平分线的性质和判定角平分线画法角平分线的三个基本公式
一、角的平分线性质定理1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作内心。
内心到三角形三边的距离相等；4.三角形一个角的平分线，把对边所分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
二、角平分线画法方法11、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M、N。
2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
方法21、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。
2、连接CN与DM，相交于P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
三、角平分线定义1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
四、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
五、角平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等定理：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
逆定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上。
角平分线的性质
12.3角的平分线的性质（1）一、教学目标：知识与技能：1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质．2.会用尺规作已知角的平分线．3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度价值观：在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
二、教学重点：角平分线画法、性质三、教学难点：角的平分线的性质的探究四、教学准备：角平分仪、三角尺、圆规、卡纸五、课时安排：1课时六、教学过程：（一）创设情境，导入新课1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？（二）探索新知，建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。
已知什么？求作什么？已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画分别以点M，N为圆心，大于二分之一MN长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C.(4)OC与简易平分角的仪器中，AE是同一条射线吗?是(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?提示：利用全等的性质探究2.如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？BD可以看出，第一条折痕为∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕是教的平分线上的一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等。
由此得到一个角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
八年级数学三角形的证明角平分线的性质
角的平分线的性质【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点进阶：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点进阶：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】 类型一、角的平分线的性质及判定例1、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，连接AP ．（1）求证：PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）过点C 作CE⊥AP，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D ．求证：CE=ED ．举一反三：【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.例2、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（）A.11B.5.5C.7D.3.5例3、如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2类型二、角的平分线的性质综合应用例4、如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.举一反三：【变式】如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．【巩固练习】一.选择题1. 已知，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，下列结论：（1）CD＝BD, (2)AE＝CE (3)OA＝OB＝OD＝OE (4)AE＋BD＝AB，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.42.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）A．4 B．3 C．6 D．53. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB＝（）A.50°B.45°C.40° D .35°4. 如图，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S.若AQ ＝PQ ，PR＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP.其中正确的是（ ）A.①③B.②③C.①②D.①②③5.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A ．△ABC 的三条中线的交点B ．△ABC 三边的中垂线的交点C ．△ABC 三条高所在直线的交点D ．△ABC 三条角平分线的交点6．ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=.若60=∠BAC ，则 ABC ∠ 的大小为（ ）A ． 40B ． 60C ． 80D ． 100二.填空题7. 在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3.折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长为 .8. 如图，已知在ABC △中，90,,A AB AC CD ∠=︒=平分ACB ∠，DE BC ⊥于E ，若15BC cm =，则DEB △的周长为 cm ．9.如图所示，已知△ABC 的周长是20，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，则△ABC 的面积是 ．10.如图△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD 的面积为3，则△ACD 的面积为 ．11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB 是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，若∠CBD＝20°，则∠CED＝__________.三.解答题13．已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．14.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．15．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．。
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法
尺规作图画角平分线的多种方法有以下几种：
1. 三等分法：直接使用尺规作图，以角的顶点为圆心，任意取一个半径作圆，然后分别画两个弧交于圆上的两点，连接这两个点与角的顶点，即可得到角的平分线。
2. 比例法：利用角的平分线将整个角分为两部分，然后再将其中一部分再次平分，直到得到所需的比例。
具体步骤如下：取一条尺寸大于一半角的任意直线段AD，以D为圆心作一个尺规圆，交BC于E和F。
再从E和F分别画直线段连接圆心D，与角的两边交于G和H。
直线GH即为所求的角平分线。
3. 三辅圆法：与三等分法类似，利用尺规作图画三个辅助圆，然后通过相交弧来求解角的平分线。
具体步骤如下：以角的两边分别为半径，在空白纸上画两个圆，分别与角的两边相切，并且两个圆心在同一直线上。
再以角的顶点为圆心，画一个辅助圆与两个已知圆相切。
连接辅助圆上两个切点与角的顶点，即可得到角的平分线。
4. 辅助线法：在需要画角平分线的角内引入辅助线，然后利用已知条件来求解。
具体步骤根据具体情况而定，可以使用角的内切圆、垂直线、平行线等辅助线来求解角的平分线。
12.3 角的平分线的性质(1)
12.3 角的平分线的性质(1)教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重、难点与关键1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．3．•关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB ．求法：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图12．3─3，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，12∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】如课本图12．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化创新练习P31六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破创新练习P32八、板书设计12.3角的平分线的性质一、角平分线的画法二、角平分线的性质1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.三、例题讲解例题九、教学后记角平分线的性质是人教版八年级上册第十二章全等三角形第三节内容.它是在学习了“全等三角形的性质和判定”后,通过一些实际问题讨论了角的平分线的性质.在教学中教师采用了体验探究的教学方式,为学生提供了亲自操作的机会,引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发现角平分线的性质,使学生直接参与教学活动,学生在动手操作中对抽象的数学定理获得了感性的认识,并通过教师的引导上升为理性认识,进而获得新知,使学生的学习变为一个再创造的过程,同时让学生学到获取知识的思想和方法,体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性,为学生今后获取知识以及探索和发现打下了基础.。
【初二数学复习精品课件】角平分线及性质
角平分线及性质知识集结知识元角平分线的性质知识讲解角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长度；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直；如果没有垂直则需要构造垂直后再使用该性质.例题精讲角平分线的性质例1.下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）【解析】题干解析:解：∵OP是∠MON 的平分线，且GE⊥OM，GF⊥ON，∴GE=GF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），故选：D．例2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）【解析】题干解析:解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×5×2=5，∵△ABC的面积为8，∴△ADC的面积为8﹣5=3，∴AC×DF=3，∴AC×2=3，∴AC=3，故选D．例3.如图，AB∥CD，AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，BD过点E且垂直于AB，若点E到AC的距离为3，则BD=．【答案】6【解析】题干解析:解：过E作EF⊥AC于F，∵BD⊥AB，AB∥CD，∴BD⊥CD，∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，∴BE=EF=DE=3，∴BD=BE+DE=6，故答案为：6．角平分线的作图知识讲解在角平分线相关的作图问题中，一般常会用到的是角平分线的定义和角平分线的性质.例题精讲角平分线的作图例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）.【解析】题干解析:解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B．例2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）【解析】题干解析:解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选C．角平分线相关的面积计算知识讲解角平分线的性质能够为面积的计算直接提供现有的高以及高的具体值，所以涉及到角平分的计算也常会与面积结合.例题精讲角平分线相关的面积计算例1.如图，是某油路管道的一部分，延伸其中三条支路恰好构成一个直角三角形，其三边长分别为6cm，8cm，10cm，输油中心O在到三条支路距离相等的地方，则中心O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）为（）.【解析】题干解析:解：设点O到三边的距离为h，则S△ABC=×8×6=×（8+6+10）×h，解得h=2m，∴O到三条支路的管道总长为：3×2=6cm．故选D．例2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）【答案】D【解析】题干解析:解：如图，过D 作DF ⊥AC ，∵AD 是角平分线，DE ⊥AB ，∴DF=DE=3，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴15=×6×3+×AC×3，解得AC=4，故选D ．例3.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DE=2，AC=3，则△ADC 的面积是（ ）【解析】题干解析: 解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，∴DE=DF=2．∴S △ACD =AC•DF=×3×2=3，故选A ．角平分线求点线距离知识讲解求点到线的距离问题在角平分线相关的部分是非常典型的一种类型题，其中需要明确的知识包括点到线的距离的标准定义、角平分线的性质，将两者结合来添加辅助线也是非常重要的一种处理手段.例题精讲角平分线求点线距离例1.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）【解析】题干解析:解：作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：B．例2.如图，O是直线BC上的点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q，若EF=10，则FQ+EP的长度为（）.【解析】题干解析:解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，EG⊥OA，EP⊥OB，FQ⊥OC，∵FQ=FG，EG=PE，∵EF=FG+EG，∴FQ+EP=EF=10，故选B．例3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠BAC的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为．【答案】20cm【解析】题干解析:解：如图，过点M作DM⊥AB于D，∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，∴DM=CM=20cm，即M到AB的距离为20cm．故答案为：20cm．利用角平分线的性质求线段取值范围知识讲解求线段取值范围的问题，是利用角平分线的性质和垂线段最短这两个知识处理问题的一个典型题型，有线段的范围就能求出最值，所以求线段的最值问题也是此类型题目，处理方法相同.例题精讲利用角平分线的性质求线段取值范围例1.如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD=3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是（）.【解析】题干解析:解：如图，过点P作PE⊥OA于E，∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，∴PE=PD=3，∵动点Q在射线OA上运动，∴PQ≥3，∴线段PQ的长度不可能是2．故选A．例2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）.【解析】题干解析:解：∵垂线段最短，∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PQ=PA=2，故选B．例3.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）【解析】题干解析:解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2DM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．角平分线的性质在几何问题中的应用知识讲解角平分线的性质为几何计算、证明题提供线段相等的条件，所以一般在题目中出现角平分线且有垂直条件出现时，常会考虑到角平分线的性质.例题精讲角平分线的性质在几何问题中的应用例1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC 的周长为20，则△ABC的面积为．【答案】30【解析】题干解析:解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，△ABC的面积=×AB×3+×AC×3+×BC×3=30．故答案为：30．例2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．【答案】证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DC=DE；∴BD+DE=BD+CD=BC；∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，∴AC=AE，而AC=BC，∴BC=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，即△DBE的周长等于AB．【解析】题干解析:如图，证明DC=DE；进而证明BC=AE，即可解决问题．例3.如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．（1）求证：BD+CE=DE；（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．【答案】证明：（1）∵∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，∴∠EAC=∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，CE=AD，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；（2）BD-CE=DE，理由如下：∵CE⊥AN，BD⊥AN，∴∠AEC=∠BDA=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴BD-CE=AE-AD=DE．【解析】题干解析:（1）易证∠EAC=∠ABD，即可求证△ABD≌△CAE，根据全等三角形相等的性质即可解题；（2）先根据垂直的定义得到∠AEC=∠BDA=90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE，于是有BD-CE=AE-AD=DE．角平分线的判定知识讲解1.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意：①这是判定角平分线的一个标准判定方法；②如果强调了“在角的内部”，则满足判定条件的线是唯一的，尤其是在三角形中；如果没有强调“在角的内部”，则满足判定条件的线不唯一.例题精讲角平分线的判定例1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）.【解析】题干解析:解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故选D．例2.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．【解析】题干解析:利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．例3.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．【答案】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF （HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴AD是∠BAC的平分线．【解析】题干解析:首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，再根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AD是∠EAC的平分线．角平分线在选址问题中的应用知识讲解对于选址问题，要能够将实际问题抽象成数学问题，到线性实体的距离相等即等价于到点到线的距离相等，这就是典型的对角平分线的判定方法的考查.例题精讲角平分线在选址问题中的应用例1.三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点，使它到三条直线的距离相等，则这样的点共有（）.【解析】题干解析:解：作直线l1，l2，l3所围成的△ABC的外角平分线和内角平分线，内角平分线相交于点P1，外角平分线相交于点P2、P3、P4，根据角平分线的性质可得，这4个点到三条直线的距离分别相等．故选：D．例2.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）【解析】题干解析:解：∵货物中转站到三条公路的距离相等，∴可供选择的地址是三条角平分线的交点处．故选B．角平分线性质和判定的综合应用知识讲解根据角平分线的定义和性质可知，角平分线不仅能提供角的关系，还能提供边的关系：①角平分线将一个大角分成相等的两个小角；②角平分线上的点到角的两边距离相等.角平分线在几何计算和证明中被利用的频率比较高.例题精讲角平分线性质和判定的综合应用例1.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）【解析】题干解析:解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．故选A．例2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）【解析】题干解析:作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，根据角平分线的性质得到FP=FH，根据角平分线的判定定理判断即可．解：作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，∵CF是∠BCE的平分线，∴FP=FG，∵BF是∠CBD的平分线，∴FH=FG，∴FP=FH=FG，又FP⊥AE，FH⊥AD，∴AF平分∠BAC，故选：C．例3.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．【答案】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．【解析】题干解析:（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．角平分线性质模型知识讲解利用角平分线的性质构造辅助线，其最终的模型如下图：例题精讲角平分线性质模型例1.如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【答案】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【解析】题干解析:过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．例2.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°.求证：2AE=AB+AD．【答案】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD.【解析】题干解析:过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由条件∠ADC+∠B=180°证BE=DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得DF=EB，问题可解．例3.在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【答案】解：（1）①∵∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC=∠BAC=×30°=15°，∠FCA=∠ACB=×90°=45°，∴∠AFC=180°﹣15°﹣45°=120°；故答案为：120°．②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°﹣∠B），∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=180°﹣（180°﹣∠B）=90°+∠B，∵∠B=60°，∴∠AFC=90°+×60°=120°；（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG=FH=FM，∵∠EFH+∠DFH=120°，∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°，∴∠EFH=∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF=DF．【解析】题干解析:（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG=FH=FM，再求出∠EFH=∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH 和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．角平分线的对称模型知识讲解在利用角平分线的对称特点添加辅助线类的题目，常会与下一节要讲的截长补短的结构相关，所以在分析题目时，有时候可以从多个角度入手，拓展解题思路.例题精讲角平分线的对称模型例1.已知，如图，△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求∠B的度数．【答案】解：如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED （SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠B=2×40°=80°．【解析】题干解析:在AC上截取AE=AB，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“边角边”证明△ABD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=DE，全等三角形对应角相等可得∠B=∠AED，再求出CE=BD，从而得到CE=DE，根据等边对等角可得∠C=∠CDE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED=2∠C，然后根据三角形的内角和定理列方程求出∠C，即可得解．例2.已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=120°，∴∠BAC+∠ACB=60°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=60°，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF，∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠COD=60°，在△COF和△COD中，，∴△COF≌△COD，∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．（2）如图2中，当∠ABC≠60°时，结论不成立．由（1）可知，假设结论成立．则有∠AOF=∠COF=∠COD=60°，∴∠AOC=120°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∵∠BAC=2∠OAC，∠ACB=2∠OCA，∴∠BAC+∠BCA=120°，∴∠B=60°，这个与已知矛盾，∴结论不成立．【解析】题干解析:（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．只要证明△AOE≌△AOF，△COF≌△COD，即可解决问题．（2）结论不成立．用反证法证明即可．例3.在△ABC中，∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O．（1）如图1，若∠ACB=90°，求证：BF+CE=BC；（2）如图2，若∠ABC与∠ACB是任意角度，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【答案】解：（1）在BC上找到D，使得BF=BD，∵∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∵BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠FBO=∠CBO=15°，∠ECO=∠BCO=45°，∴△BOC中，∠BOC=120°，∴∠BOF=∠COE=60°，由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得△BOD≌△BOF（SAS），∴∠BOD=∠BOF=60°，∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠COD=∠COE，由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得∴△OCE≌△OCD（ASA），∴CE=CD，∵BC=BD+CD，∴BC=BF+CE．（2）结论BC=BF+CE仍成立．在BC上找到D，使得BF=BD，∵∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°，∠ECO=∠BCO，∴∠BOF=∠COE=60°，由BF=BD，∠FBO=∠CBO，BO=BO可得△BOD≌△BOF（SAS），∴∠BOD=∠BOF=60°，∴∠COD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠COD=∠COE，由∠COD=∠COE，CO=CO，∠ECO=∠BCO可得∴△OCE≌△OCD（ASA），∴CE=CD，∵BC=BD+CD，∴BC=BF+CE．【解析】题干解析:（1）在BC上找到D，使得BF=BD，根据SAS易证△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，进而得出∠COE=∠COD=60°，即可证明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BD+CD即可得出结论；（2）在BC上找到D，使得BF=BD，易证△BOF≌△BOD，可得∠BOF=∠BOD=60°，进而得出∠COE=∠COD=60°，即可证明△OCE≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BD+CD即可得出结论．当堂练习单选题练习1.某地为了发展旅游业，要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址地点共有（）处．【解析】题干解析:解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．故选A．练习2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）【解析】题干解析:解：作FP⊥AE于P，FG⊥BC于G，FH⊥AD于H，∵CF是∠BCE的平分线，∴FP=FG，∵BF是∠CBD的平分线，∴FH=FG，∴FP=FH=FG，又FP⊥AE，FH⊥AD，∴AF平分∠BAC，故选：A．练习3.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）【解析】题干解析:解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选C．练习4.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）【解析】题干解析:解：如图，过D作DF⊥AC，∵AD是角平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=3，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴15=×6×3+×AC×3，解得AC=4，故选D．练习5.如图，OP平分∠MON，PA⊥OA于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的值为（）【解析】题干解析:解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，∴点P到OM的距离等于2，而点Q是射线OM上的一个动点，∴PQ≥2．故选D．练习6.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）【解析】题干解析:解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2DM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．练习7.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）【解析】题干解析:解：∵货物中转站到三条公路的距离相等，∴可供选择的地址是三条角平分线的交点处．故选B．练习8.如图，AB⊥AC，AG⊥BG，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°、其中正确的结论是（）【解析】题干解析:解：∵AG∥BC，∴∠BAG=∠ABC，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠ABF，∴∠BAG=2∠ABF，①正确；BA不一定平分∠CBG，②错误；∵AB⊥AC，AG⊥BG，∴∠BAG+∠ABG=90°，∠ABC+∠ACB=90°，∵AG∥BC，∴∠BAG=∠ABC，∴∠ABG=∠ACB，③正确；∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵CD、BE分别是∠ACD，∠ABC的角平分线，∴∠FBC+∠FCB=45°，∴∠CFB=135°，④正确，故选：C．练习9.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）【解析】题干解析:解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×5×2=5，∵△ABC的面积为8，∴△ADC的面积为8﹣5=3，∴AC×DF=3，∴AC×2=3，∴AC=3，故选D．填空题练习1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=°．【答案】30【解析】题干解析:解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，∵CD平分∠ACB，∴DF=DM，∵∠BAC=120°，∴∠DAM=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=60°，∴∠DAM=∠BAE，∴DM=DN，∵DF⊥BC，∴DE平分∠AEB，∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，∴AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DEF=45°，∵∠B=∠C=30°，∴∠DCF=15°，∴∠EDC=30°，故答案为：30．解答题练习1.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．【答案】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF （HL），∴DE=DF，∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴AD是∠BAC的平分线．【解析】题干解析:首先证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，再根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AD是∠EAC的平分线．练习2.已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=120°，∴∠BAC+∠ACB=60°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=60°，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF，∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠COD=60°，在△COF和△COD中，，∴△COF≌△COD，∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．（2）如图2中，当∠ABC≠60°时，结论不成立．由（1）可知，假设结论成立．则有∠AOF=∠COF=∠COD=60°，∴∠AOC=120°，∴∠OAC+∠OCA=60°，∵∠BAC=2∠OAC，∠ACB=2∠OCA，∴∠BAC+∠BCA=120°，∴∠B=60°，这个与已知矛盾，∴结论不成立．【解析】题干解析:（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．只要证明△AOE≌△AOF，△COF≌△COD，即可解决问题．（2）结论不成立．用反证法证明即可．练习3.观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB=2∠B．（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，DE=DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∠ACB=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴BE=DE=DC，则AB=BE+AE=CD+AC；（2）AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD=DG，∠AGD=∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠AGD=2∠B，又∵∠AGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BE=DG=DC，则AB=BG+AG=CD+AC；（3）AB=CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，∵∠ACB=2∠B，∴∠FGD=2∠B，又∵∠FGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BG=DG=DC，则AB=BG﹣AG=CD﹣AC．【解析】题干解析:（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE=AC，∠AED=∠ACB，由∠ACB=2∠B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE=DE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证；（2）AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD=AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）即可得证；（3）AB=CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，同（2）即可得证．练习4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．【解析】题干解析:首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．练习5.如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【答案】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【解析】题干解析:过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．练习6.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．【答案】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．【解析】题干解析:首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得：∠A+∠C=180°．练习7.如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE=DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E=∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．【答案】证明：（1）∵D为AB的中点，∴BD=AD，在△AED与△BFD中，，∴△AED≌△BFD（SAS），∴∠E=∠DFB，∵DF∥AC，∴∠C=∠DFB，∴∠C=∠E；（2）∵DF平分∠AFB，∴∠AFD=∠DFB，∵∠E=∠DFB，∴∠AFD=∠AED，∵ED=DF，∴∠DAF+∠AFD=90°，∵EF∥AC，∴∠AFD=∠FAC，∴∠DAF+∠FAC=90°，∴AC⊥AB．【解析】题干解析:（1）根据SAS证明△AED与△BFD全等，再利用等量代换证明即可；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质进行证明即可．。
角平分线的画法尺规作图
角平分线的画法尺规作图
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
尺规作图做一个角的角平分线按照以下步骤：
1、先在纸上画一个角∠AOB，这个角是作为要被平分的角。
2、以任意长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边于C、D。
3、然后以C为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧。
4、接着以D为圆心，同3步骤一样以长度为半径用圆规画圆弧。
5、最后两圆弧交于E点。
6、连接顶点O和E，OE即为角平分线。
在三角形中的定义。
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的性质1
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离水远一些儿的地方去发展，那你们后来去了哪里啊？”耿英无助地看看爹和哥哥，可他们似乎都没有准备回答妹妹问话的意思。再看看可怜 的弟弟，耿直却低声说：“姐，还是你说哇。”郭氏看到耿英为难的样子，心里已经明白了七八分：也许就该是说到他们父子分离的当口 了„„郭氏咬咬牙，发狠地说：“说哇英子，娘能挺得住„„”耿英忍忍眼泪，低声说：“爹准备带俺们三个去景德镇发展，可就在穿过山涧 小路翻越大山时，建筑在两山之间的拦水大坝，突然之间就，就垮塌了。当时，俺们三个刚刚到了山顶上，可，可爹他，他，他不见了„„” 快八年了，而且爹爹现在就好好地坐在自己的面前，但回想起当时那痛心的一幕，耿英还是忍不住夺眶而出的泪水，耿正和耿直也哭了。郭氏 和耿兰同时痛哭失声„„耿直哭着说：“娘，都怪俺，是俺非要去看山顶上的那个大坝„„”耿老爹一直认真听着，始终没有插话。听到这里， 他也泪流满面了。懂事的尚武往前挪挪椅子，轻轻推一推他的膝盖。他明白尚武的意思，赶快擦把脸清一清嗓子说：“好啦好啦，俺这不是没 有死嘛！剩下来的俺来说哇！”见妻子略略止住了悲声，小女儿也扬起泪脸来看着自己，耿老爹暗暗咬咬牙，故作轻松地说：“其实啊，说起 来也没有多么复杂。俺被洪水卷走后，努力屏住气，右手抓住扁担抱在胸前，左手像蛤蟆那样划水，竟然就漂浮上来了！眼前正好漂来一块儿 门板，俺就爬上去了。不，是那个会水的白兄弟托着一块儿门板向俺游来，并把俺推上去的！”耿正、耿英和耿直都瞪大了眼睛问：“爹，你 说什么？是白幺爹，他„„”耿老爹点点头，肯定地说：“对，俺当时真是这样看到和感到的！”耿老爹也顾不了耿正兄妹三人还在瞪着眼儿 互相看呢，只管自己继续说下去：“后来，门板被冲到了一百多里远的一个小寺庙前，老和尚和徒弟们发现了俺，就把俺救了。和尚师徒们对 俺很好，老和尚还给俺调理治病。俺把一个聪明可爱的小沙弥当成了小直子。”郭氏又痛哭开了：“原来，你是急疯了啊！”耿老爹拍拍妻子 的胳膊，轻轻地说：“说好了不兴哭的！”耿兰问：“后来呢，俺三哥，难道说，他，他是老和尚的徒弟„„”尚武插话了，轻轻地说：“兰 妹妹，你听咱爹慢慢说嘛，三哥怎么会是老和尚的徒弟呢！”接下来，耿老爹就将如何救不慎落水的尚武，如何将尚文兄妹三个当成耿正兄妹 仨，尚武的父母如何想方设法为自己求医问药„„简要地述说了一遍。说到病好之后确知耿正兄妹三人很可能已经不在人世，耿老爹几次哽咽， 全家人都泪落纷纷。听完了，郭氏哭着说：“俺已经觉察出来，你们父子说话有些个话里有话，但却没有想到，竟然会是这样哇„„”郭氏不 歇气儿地痛哭开了，大家也不再劝说什么，只管各自
人教版角的平分线的性质(17)
公路
铁路
Ｓ
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
角平分线的性质
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
想一想： 为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
再见
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E
A
求证: PD=PE
D
C
P
O
EB
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
结论：
到角的两边的距离相等的点在角 平分线上。
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
求证：OC平分∠AOB。
A
证明：在△OMC和△ONC中，
Ｍ
角平分线的性质1
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法： A 画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想一想： 为什么OC是角平分线呢？ 已知：OM=ON， MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC Ｂ 即：OC平分∠AOB A
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） A 同理 PE=PF. D F ∴ PD=PE=PF. N PM 即点P到边AB、BC、 B C CA的距离相等 E
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于 点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 所在直线的距离相等． Ｄ
Ｃ F H
Ｐ
Ｂ G
Ｅ
Ａ
1：画一个已知角的角平分线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
再 见
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Ｍ
Ｎ
Ｏ O
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
结论：
到角的两边的距离相等的点在角 平分线上。
思考：
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角平分线的画法及性质
角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
材料：圆规、纸张、尺子、铅笔。
1、首先准备好下图的工具，圆规和尺子是必不可少的。
2、在纸上随便画一个角AOB。
3、用圆规以O为原点，任意距离为半径，在纸上画弧，与角AOB相交于点C和点D。
4、先以点C为原点，CD为半径画圆弧；再以点D为原点，DC为半径画圆弧，两圆弧相交于点E。
5、连接OE，OE就是叫AOB的角平分线了。
1、角平分线可以得到两个相等的角。
2、角平分线上的点到角两边的距离相等。
3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4、三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。