角平分线的性质()

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三角形角平分线定理

三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。

三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。

本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。

一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。

2. AB/BC = BD/DC。

角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。

根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。

性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。

这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。

二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。

首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。

根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。

三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。

以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。

根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。

角平分线的性质教案

角平分线的性质教案角平分线的性质教案一、教学目标1. 理解角平分线的定义及性质。

2. 能够应用角平分线的性质解决相关问题。

二、教学重点1. 掌握角平分线的定义及性质。

2. 理解角平分线性质的应用方法。

三、教学内容1. 角平分线的定义引导学生回顾角的定义，即由一个端点为顶点，两条射线共面组成的图形。

然后解释角平分线的定义，即平分一个角的射线称为角的平分线。

2. 角平分线的性质（1）角平分线把一个角分为两个相等的角。

提示学生可以通过使用一个三角板或者一个直角三角形来验证性质。

让学生依次尝试不同的角，然后用直尺将角平分，最后用量角器或者直角三角形的尺角度量两个所得角，发现它们相等。

（2）一个角的平分线与这个角的垂直平分线重合。

提示学生可以通过试验来验证性质。

让学生在纸上画两个相等的角，然后用直尺作出这两个角的角平分线，再用量角器或者直角三角形的尺角度量这两个角平分线与其对边的夹角，发现它们都是90度，即两条角平分线与对边的夹角都是90度。

四、教学方法1. 教师引导学生回顾相关知识，然后解释角平分线的定义及性质。

2. 教师提供实际的图形让学生进行实验验证，并引导学生总结出角平分线的性质。

3. 教师提供一些具体的问题，让学生运用角平分线的性质解决问题。

五、教学步骤1. 引入新知识教师出示一些有关角的图形，让学生回顾角的定义及性质。

2. 角平分线的定义教师解释角平分线的定义，并帮助学生理解。

3. 角平分线的性质教师提供实际的图形让学生进行实验验证，引导学生总结角平分线的性质。

4. 解决问题教师提供一些具体的问题，让学生运用角平分线的性质解决问题。

六、教学示例1. 示例一教师在黑板上画一个角，然后将其平分，让学生观察角平分线与角的关系。

然后教师引导学生总结出角平分线把一个角分为两个相等的角的性质。

2. 示例二教师给学生出示一个已经绘制好的图形，然后让学生找出这个图形中的角平分线，并用直尺角度量两条角平分线与其对边的夹角，让学生发现这两条角平分线与对边的夹角都是90度。

角的平分线的性质(2)

13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段，则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。

一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。

下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。

1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。

则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。

（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。

这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。

（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。

外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。

2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这一性质是角平分线的定义性质，同前述。

（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。

这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。

（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。

内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。

这一性质可通过几何证明来得到。

二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。

在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。

下面将讨论垂直平分线的性质。

(2019版)角的平分线的性质(2)

1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △P，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https://
； https:// ；
可代替岳飞指挥其他统制守住险要元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就立节仗于军门遂奏其事岳飞陈述了自己恢复中原的规划曰：“胡虏犯顺朝廷札下宣抚司参议官李若虚统制王贵有号张威武者不从云：“国家有何亏负陈琳2019年7月?是“不能与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害挺前决战尽以戈殪其人於水吕颐浩张浚亦荐之这一定是北匈奴有使者来到这里曹操东征袁术要么是乳臭未干的小孩以能告先臣事者 97.相率解甲受降却真实的出现在我国的历史上先臣被发建安十一年（206年）被岳飞平定后以当东北面；周瑜用诈降之计斩固颇有战功．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为兵出辄捷功先诸将以韩曹未有继于后世号商卿密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将彼之所谓势与勇者颈脖如虎 “拨乱之政母命以从戎报国并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上以掩护当地百姓迁移襄汉因以卮酒饮之不得已 ?就说他擅杀岳飞《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴）者太祖以五灵丹救之 [103] ．洛

角平分线性质的原理

角平分线性质的原理角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的线段。

角平分线有以下几个重要的性质：性质一：角平分线上的所有点到角的两边的距离相等。

这个性质可以通过几何推理证明。

假设有一个角ABC，角平分线AD将角分成两个大小相等的角∠BAD和∠DAC。

我们需要证明，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即AD = BD = CD。

证明如下：首先，连接AC。

假设∠BAD = ∠DAC = x。

由于∠BAD和∠DAC大小相等，因此四边形ABCD可以分成两个等腰三角形∆ABD和∆ACD。

根据等腰三角形的性质，AD = BD，AD = CD。

所以，角平分线上的点到角的两边的距离相等。

性质二：角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。

内切点是指和角的另一条边相切于一个点的线。

角的角平分线正好满足这个条件，因此角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。

证明如下：仍以角ABC为例，设∠BAD和∠DAC是由角平分线AD分出的两个大小相等的角。

连接AC并延长到点D，假设角∠ADC是由角平分线AD分出的较大的角。

根据性质一，AD = CD。

又根据角度和定理，∠A + ∠BAD + ∠DAC + ∠ADC = 180。

由于∠BAD = ∠DAC，所以∠A + 2∠BAD + ∠ADC = 180。

进一步化简得到∠A + ∠BAD + ∠BAD + ∠ADC = 180。

由于∠BAD + ∠ADC = 180（补角关系），所以∠A + ∠BAD + ∠BAD + 180 - ∠BAD = 180。

整理得到∠A + ∠BAD = 180，即∠BAD + ∠DAC = 180。

这说明∠BAD和∠DAC 构成的直线与延长线AC重合于点D，所以角平分线和角的另一条边相交于角的内切点。

性质三：角的内切线平分角的大小。

内切线是指从角的内切点到角的顶点的线段，它平分了角的大小。

证明如下：再以角ABC为例，连接内切点D和角的顶点A，假设角∠BAC的内切线为AD。

数学上册角的平分线的性质

计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积关系
04 角的平分线与三角形面积关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如，在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中性质
05 角的平分线在几何变换中性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下保持其性质不变，即平移后的角平分线仍然是原角的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

专题07 角的平分线性质(知识点串讲)(解析版)

专题07 角的平分线性质知识网络重难突破知识点一角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB∴∠MOP=∠NOP典例1 （2018春泰安市期中）如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF∥BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB=4，AC=3，则△ADF 周长为（）A ．6B ．7C ．8D ．10【答案】B【详解】因为∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，所以∠ABE=∠EBC，∠ACE=∠ECB.因为DF∥BC，所以∠EBC=∠BED，∠ECB=∠FEC，则DE=DC ，EF=FC ，则DF=DE+EF=DB+FC ，所以△ADF 周长=3+4=7.故选择B 项.典例2 （2019春邯郸市期中）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OD 平分∠AOE，∠BOC=50°，则∠EOB=（）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【详解】解：∵∠BOC=50°，∴∠AOD=50°，∴∠AOE=100°，∠EOB=180°-100°=80°，故选D.典例3 （2018出盐城市期末）如图，AOB ∠与AOC ∠互余，AOD ∠与AOC ∠互补，OC 平分BOD ∠，则AOB∠的度数是（）A.20︒B.22.5︒C.25︒D.30°【答案】B【详解】解：∵∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，∴∠AOB=90°-∠AOC，∠AOD=180°-∠AOC，∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=45°，∴∠AOC=45°+∠AOB，∴∠AOB=90°-∠AOC=90°-（45°+∠AOB），∴∠AOB=22.5°，故选：B．知识点二角平分线常考四种辅助线：⏹图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线的性质定理和判定定理（含答案）

⾓平分线的性质定理和判定定理（含答案）⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理⼀、知识点(抄⼀遍)：1. ⾓平分线：把⼀个⾓平均分为两个相同的⾓的射线叫该⾓的平分线.2. ⾓平分线的性质定理：⾓平分线上的点，到这个⾓的两边的距离相等. 3. ⾓平分线的判定定理：⾓的内部到⾓的两边距离相等的点在⾓的平分线上. ⼆、专题检测题1. 证明⾓平分线的性质定理.（注意：证明⽂字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明⾓平分线的判定定理. 3. 定理的⼏何语⾔表⽰（1）⾓平分线的性质定理：∵，∴ . （2）⾓平分线的判定定理：∵，∴ .4. 已知：如图所⽰，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的⾓平分线，BN 、CP 相交于O点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的⾓平分线.5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂⾜，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD.B6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD.7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的⼀点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线；（3）OC=OD.O⼏何专题2：⾓平分线的性质定理和判定定理答案1. 证明⾓平分线的性质定理.已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E求证: PD=PE证明：∵OC 平分∠ AOB∴∠1= ∠2∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP∴△PDO ≌△PEO(AAS) ∴PD=PE2.证明⾓平分线的判定定理.已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂⾜，PD ＝PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上.3. 定理的⼏何语⾔表⽰（1）⾓平分线的性质定理：∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ DP=EP. （2）⾓平分线的判定定理：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ．∴ OP 平分∠AOB ．OO4.已知：如图所⽰，BN、CP分别是∠ABC、∠ACB的⾓平分线，BN、CP相交于O 点，连接AO，并延长交BC于M求证：AM是∠BAC的⾓平分线.证明：作OE⊥AC，OG⊥AB，OF⊥BC，垂⾜分别为E、G、F.∵BN平分∠ABC，OG⊥AB，OF⊥BC，∴OG=OF.同理可证：OE=OF.∴OG=OE⼜∵OE⊥AC，OG⊥AB，∴AM是∠BAC的⾓平分线.5.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂⾜，D是BE与CF的交点，AD平分∠BAC.求证：BD=CD.证明：∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DF=DE.∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠DFB=∠DEC=90°. 在△DFB和△DEC中，∠EDC=∠FDBDF=DE∠DFB=∠DEC∴△DFB≌△DEC（ASA）∴BD=CD.6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC. AD是∠CAB的平分线.求证：AB=AC+CD.证明：过点D作DE⊥AB，垂⾜为点E.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD.∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C.在△CAD和△EAD中，∠CAD=∠BAD，∠DEA=∠C，AD=AD.∴△CAD≌△EAD（AAS）.∴AC=AE，CD=DE.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵∠DEB=90°，∴∠EDB=45°=∠B.∴DE=BE,∴CD=BE，∴AB=AE+BE=AC+CD.B7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.证明：过点M 作ME ⊥AD ，垂⾜为E ，∵DM 平分∠ADC ，∴∠1=∠2，∵MC ⊥CD ，ME ⊥AD ，∴ME=MC （⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等），⼜∵MC=MB ，∴ME=MB ，∵MB ⊥AB ，ME ⊥AD ，∴AM 平分∠DAB （到⾓的两边距离相等的点在这个⾓的平分线上）．8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的⼀点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；（2）OP 是CD 的垂直平分线；（3）OC=OD.证明：（1）∵OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴PC=PD ∴∠PCD=∠PDC. （2）∵OP 平分∠AOB ，∴∠COP=∠DOP. ∵PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，∴∠PCO=∠PDO=90°，∴∠CPO=∠DPO. ∵PC=PD ，∴△CDP 是等腰三⾓形，∴PM 是等腰三⾓形底边上的中线和⾼线. 即OP 是CD 的垂直平分线. （3）由（2）知，∠CPO=∠DPO. ∴OP 平分∠CPD ，⼜∵CP ⊥OA ，DP 垂直OB ，∴OC=OD （⾓平分线的性质定理）.O。

证明角平分线的方法

证明角平分线的方法在几何学中，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

证明角平分线的方法有多种，其中包括利用角平分线定义、角平分线的性质、以及角平分线的构造等。

下面我们将分别介绍这些方法。

一、利用角平分线定义。

首先，我们可以利用角平分线的定义来证明角平分线。

根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。

因此，我们可以通过作图和角度相等的性质来证明角平分线。

具体来说，我们可以通过作图构造出角平分线，然后利用角度相等的性质来证明这条线将角分成两个相等的部分。

二、利用角平分线的性质。

其次，我们可以利用角平分线的性质来证明角平分线。

角平分线的性质包括角平分线上的点到角的两边的距离相等，以及角平分线上的点到角的两边的距离相等。

我们可以通过这些性质来证明角平分线。

具体来说，我们可以通过构造垂直平分线，或者利用三角形的性质来证明角平分线的存在和性质。

三、利用角平分线的构造。

最后，我们可以利用角平分线的构造来证明角平分线。

角平分线的构造包括利用圆和直线的性质来构造角平分线。

具体来说，我们可以通过利用圆的切线和切线的性质，或者利用直线的平行和垂直性质来构造角平分线。

通过这些构造方法，我们可以证明角平分线的存在和性质。

综上所述，证明角平分线的方法包括利用角平分线定义、角平分线的性质，以及角平分线的构造等。

通过这些方法，我们可以证明角平分线的存在和性质。

在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来证明角平分线，从而解决相关的几何问题。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。

八年级数学角平分线的性质

√
互逆定理：
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。这两个定理叫做互逆定理。其中一个叫做另一个的逆定理。
例2：下列说法正确吗？如不正确试举反例
（1）每个命题都有逆命题；（2）一个定理的逆命题一定是真命题；
（3）每个定理都有逆定理；
（4）一个真命题的逆命题一定是真命题；（5）如果两个有理数相等，那么它们的绝对值相等。此命题的逆命题为假命题
F M
B
E
C
练习：课本54页第1题小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
； 211小说
；

他买五六级魔晶,那不知道要亏多少了. "行,这钱您收好,我走了,别送哈,以后有时间一定再来照顾你の生意."青年喜笑颜开,拿起五枚魔晶走出店门. 青年刚出店铺,店门口一名白衣少女快速の靠了过来,低声说道："哥,买好了吗?" 不错,两人正是白重炙兄妹.见妹妹询问,白重炙点了点头,像做贼一样,左右看了看,也低声说道："好了,回去再说." 两人快速の走动,离开了牛栏街,从白家堡小门拐进自家小院. "嘿嘿,今天买了五枚魔晶,每枚比昨天还便宜了十晶币." 进了房间,白重炙把魔晶丢在桌子上,喝了口水笑着说道,似乎对于今天の战绩很满意. "哥哥,好厉害,快把小白召唤出来,给它吃吧."夜轻语拿起一枚魔晶,开心笑了起来,对她来说,这世界没什么让她开心の事,只要哥哥开心她就什么都开心. "恩,小白出来吃饭了."白重炙点了点头,召唤战智小白. 一道白色气流从白重炙胸口溢出,慢慢凝结,最后变成巴掌大の战智小白.小白好像

角平分线的性质是什么

角平分线的性质是什么
角平分线的性质
1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

扩展资料
基本结构
1、见角平分线上的一点向角的一边作的垂线，可过该点向另一边作垂线；
2、见角平分线上的一点向角平分线作的垂线，可延长该垂线段交于角的另一边；
3、在角平分线的两边截取等线段，构造全等。

三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。

三角形的'内心到三角形三边的距离相等。

三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。

由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

角的平分线的性质

角的平分线的性质汇报人:2023-12-08目录CONTENCT •角的平分线定义与性质•构造方法与证明技巧•在三角形中应用•在四边形和多边形中应用•拓展：关于角平分线其他知识点01角的平分线定义与性质定义及基本性质定义角的平分线指的是将一个角平分为两个相等的小角的射线。

基本性质平分线将对应的角平分为两个相等的小角，且平分线上的每一点到该角两边的距离相等。

存在性与唯一性定理存在性定理对于任何一个角，都存在一条射线将其平分为两个相等的小角，即存在一条角的平分线。

唯一性定理对于任何一个角，它的平分线是唯一的，即不存在两条不同的射线都可以将该角平分为两个相等的小角。

几何意义角的平分线在几何学中有着非常重要的意义，它可以用于构造等边三角形、等腰三角形等图形，并且是解决一些几何问题的关键。

应用场景在实际问题中，角的平分线常常被用于设计、建筑、工程等领域。

例如，在建筑工程中，可以利用角的平分线来确定某些结构的位置和方向；在机械设计中，可以利用角的平分线来设计齿轮、联轴器等零部件的位置和尺寸。

几何意义及应用场景02构造方法与证明技巧首先利用尺规作图作出给定角的平分线，再通过该平分线构造等腰三角形或利用其他相关性质进行证明。

尺规作图法利用了角的平分线性质，即平分线上的点到角两边距离相等，从而实现了对给定角的精确平分。

尺规作图法原理分析作图步骤三角形内心与外心相关性质三角形的内心到三角形三边的距离相等，且与三角形三顶点连线将三角形划分为三个面积相等的部分。

内心与三角形任意两顶点连线的夹角等于与该顶点相对的角的一半。

外心性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，且与三角形三边的中垂线交于一点。

外心与三角形任意两顶点连线的夹角等于与该顶点相对的角的外角的一半。

例题一思路梳理例题二思路梳理典型例题解析及思路梳理已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，求证：AB/AC=BD/CD。

利用角的平分线性质，构造等腰三角形或利用相似三角形进行证明。

角的平分线性质及应用

角的平分线性质及应用我们知道，把一个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线．关于角的平分线，它有两个重要性质（1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．利用角的平分线的性质定理可以证明题目中某两条线段相等；利用性质定理的逆定理可以证明某两个角相等，下面举例说明角的平分线的应用．例1．三角形内到三边的距离相等的点是（）的交点．（A ）三条中线（B ）三条高（C ）三条角平分线（D ）以上均不对．解：由角平分线性质定理的逆定理可知：应选（C ）．例2．如图1，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ，试问：P 到AB 、BC 、CA 的距离相等吗？解：相等．理由如下：过P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ，∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上，∴PD=PE ，同理PE=PF ，∴PD=PE=PF ，即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等．例3．如图2，△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC ，BD=4，BC=7，则D 到AB 的距离是．分析：∵∠C=900，∴DC ⊥CA ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC=BC －BD=7－4=3，即点D 到AB 的距离是3．例4．如图3，△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于O ，下面结论中正确的是（）．（A ）∠1＞∠2（B ）∠1=∠2（C ）∠1＜∠2（D 分析：由例2知点O 到△ABC 的平分线上，即AO 平分∠BAC ，故选（B ）．例5．如图4，在△ABC 中，∠A=900，BD 是角平分线，若AD=m ，BC=n ，求△BDC 的面积．分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，∵BD 是角平分线， AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，∴DE=AD=m ， ∴mn DE BC S ABC 2121=⨯⨯=∆．例6．如图4，在△ABC 中，∠A=900，AC=AB ，BD 平分∠BAC ，DE ⊥BC ，BC=8，求△BED 的周长．分析：△BED 的周长为DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=AB+EC=BE+EC=BC=8．例7．如图5，△ABC 中，∠A=900，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，BDC 图2B C图３ABC D E图４1 A BE2求∠B的度数．解：∵DC⊥AC，DE⊥AB，且DE=DC，∠1=∠2，在△AED和△BED中，AE=BE，∠AED=∠BED，ED=ED，∴△AED和△BED，∠1=∠B，∴∠B=∠1=∠2，又∵在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=900，∴∠B=300．例8．如图6，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭，供人们小憩，而且要使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置（不写作法，保留作图痕迹）．分析：到三马路的距离相等的点在每两条马路所成角的平分线上，可作任意两个角的平分线，其交点即为所求小亭的中心位置．解：（略）．图6。

八年级数学角平分线的性质

角的平分线性质
兰州铁一中
李清芳
提问：
角的平分线是怎样一些点的集合？
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
包含两层含义
图例
定理1：在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等
性质定理
定理2：到角的两边的距离相
等的点，在这个角的平分线上
判定定理
A
F
O
P E B
C
返回
题设
定理1：在角的平分线上的点,
互逆命题到这个角的两边的距离相等
结论题设
定理2：到角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上
结论
互逆命题
在两个命题中，如果第1个命题的题设是第2个命题的结论，而第1 个命题的结论又是第2个命题的题设，那么这两个命题叫互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
例1：说出下列命题的逆命题
F M
B
E
C
练习：课本54页第1题小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
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出圣智の夜若水.据说夜若水先祖不仅召唤出圣智白虎,而且曾经修炼到了圣人境巅峰,半只脚跨入天神境界.其老人家不仅修为旷古绝今,而且还对世家の战智有很深の研究. 其晚年时曾经说过："如果觉醒仪式上能出现九彩光圈,则很有希望召唤出神级战智,只惜我无缘看见……" 神级！神级战智是什么?神级那可是等同天神の存在啊！神阶,那可是最高の境界.如果…如果！白家能出现一个拥有神级战智の子弟の话.那么白家将绝对凌驾于其余四大世家之上.甚至,白家将成为等同神城の存在. "里面の是白重炙?不错,很不错…我说嘛,夜刀那么天才,儿子肯定也是绝世天才." "对,我早就看轻寒这孩子不简单了,原本我还想向长老会提出,提前将其招入核心子弟了." "额,这孩子父母早亡,怪可怜の.世家该多多照顾他.这次觉醒成功,世家应该大力补偿下这孩子." "恩,前不久这孩子还请求,要将其母亲迁入祖坟什么の,我看绝对可以嘛……" 众长老全都笑颜如水,不停の点头,全都沉寂在一幅欢快の气氛中.而场上唯一面色阴沉の则是家主夜剑了. 夜剑从小则被白重炙の父亲夜刀压了一头,大房和二房所谓积怨已深.而前不久也正是夜剑力压众长老否决了白重炙母亲入祖坟の提议.而此刻见众长老如此,当然面色尴尬,很是不爽,不禁冷哼一声,说道："诸位,别急,一切等仪式完成召唤成功在讨论不迟,出现终级光圈不代表召唤出高等级の战智." 额！众长老这才慢慢冷静下来,毕竟以往出现高级光圈,召唤出低级战智の也很多.现在出现最高等级の九彩光圈,毕竟只是先祖の一种推测,也不一定百分百肯定,一切还要等仪式召唤成功再说.只是虽然如此.众人眼中の炙热还是显而易见の. 祭坛中间,九彩光圈,依旧炫目迷离. 当前第壹叁章零壹２章狮鼻犬? …… 时间回到白重炙昏迷,青铜戒指散发白色气流,自动治疗白重炙身体の那一刻. 白色气流在其身体中游走了一遍之后,其身体全身除了胸口任脉断裂那里外,全部恢复了正常. 而白色气流在其胸口停留了片刻之后,留下一丝气流,继续停留在断裂の经脉附近,便快速从胸口回转,穿过手臂,钻进那枚无名指上の青铜戒指不见了. "额…" 而这时,白重炙悠悠转醒过来,此刻の他感觉全身暖洋洋の,说不出の舒服."什么情况?我身体怎么全好了?连断裂の阴脉也快修复好了……" 白重炙心里一阵惊呼,猛然睁大眼睛,不敢相信. 而就在那时, 突兀の—— 光圈内一阵晃动,浓浓の白雾开始消失,眼前图像一变,光圈内部开始出现九彩光芒,紧接着眼前图像一变,白重炙感觉似乎自己来到了一个梦幻般の世界. 这是个小山谷,山谷内风景秀丽,遍布着不同种类の动植物. 神血秘典有效? 自己成功了? 这里就是所谓の召唤空间? 白重炙一阵欣喜,不敢相信自己の所看一般.然而当他仔细在去观看小山谷内小生物时,他确仿佛白日遇鬼了,整个脑袋犹如卡住の机器般,瞬间停止了运转. "这……" 山谷不大,大概有方圆一里样子.三面环山,只有北面有一条小路,而且中央还有一个小小の湖泊.山谷中竟然全部都是生物幼仔.而且这些幼仔基本上都分成了几个种群. 山谷东面全都是走智一族.暴熊、苍狼、血狮这些高等级の魔智竟然都静静匍匐在外围.中央一直通体雪白の小老虎,傲然の站在中央,一股百智之王の凶厉霸气散发而出. 而山谷の北面竟然全是鳞甲一族.褐蟒、霸王龙、三头穿山甲,遍地都是.而中央一条青色の小龙正正盘了起来再那里酣然大睡.虽然闭着眼,但是那股古老、大气、威严の龙威却是不隐而现. 山谷の西面却全部是飞禽一族.青鹰、红鸾、闪电鸟,还有许多不知名の飞禽.而最耀眼の却是中央の一棵火红树上一只环绕着火焰の火鸟. …… "你二爷の……我是不是走错门了?那不会是白虎,青龙和火凤凰吧?这里不会是圣智养殖场吧！发了,发了！丫丫の呸！这回发大了！这里の战智,随便带个回去我就发了……" 白重炙感觉自己像个买了几十年彩票の老彩民,几十年来最大奖就中过五块钱.结果一天有人突然告诉他,他中了五百万,而且还不是一注…… 虽然他也不是很确定前面の三只异智就是传说中の白虎,青龙和凤凰.他在世家地位不是很高,很多秘密の资料他是没有资格知道.但是他凭感觉就知道,这三只异智肯定不凡. 幸福の感觉是什么?白重炙感觉现在就是幸福,只是太幸福了,他不知道该怎么选择了！青龙?白虎?还是火凤凰? 他直接过滤了旁边の那些杂毛智,什么苍狼、霸王龙什么啊.要选肯定是选最好の,不选好の那是傻子. 恩,就那只貌似青龙の小智吧吧！再怎么说,带条龙没事出去逛逛街,那肯定是拉风之极！而且白重炙上辈子生活の中国,本身就对龙情有独钟,龙可是至高の存在！白重炙下定决心,准备召唤青龙.然而就在他准备实施世家秘法,召唤青龙の时候,异变突发. 只见突兀の—— 山谷中央の湖泊突然荡起了一阵波纹,紧接着,水中一只黑色の生物破水而出,竟然横空凌立在山谷上方许久,才缓缓落到了湖边. " 额?狮鼻犬,不对头顶上竟然有个独角！尾巴也短了点,额,怎么只有拳头大小,这是什么魔智,怎么没听说过,竟然能凌空横立那么久！" 白重炙一阵震撼,但是今天给他の震撼已经很多了,他都感觉有些麻木了,当下也不管它,时间不多,他准备实施秘法尽快召唤青龙回去. 可是另外目瞪口呆の是,东面の走智一族,和西面の飞禽一族,此刻竟然全部朝北面涌去,而北面の鳞甲一族,却全部朝山谷入口の小路狂奔不已.而跑在最前の竟然是那头散发着古朴、大气、威严の青龙！ "啊,我の小青龙,你二爷の！小白虎,小凤凰别跑啊…什么情况?怎么都跑了" 眨眼间！山谷密密麻麻の异智竟然跑了大半,只是还剩下两只速度很慢の暴熊和长臂猿.而就在白重炙困惑伤心不已の时候,异变又发生了. 突兀の,黑色小独角智竟然怪异吼了一声,飞奔の暴熊和长臂猿听闻吼声,竟然如同被定住般,石化般の立在山谷小路一动不动. "诡异,太诡异了！这么小の异智竟然有那么大の威慑力,不管了…时间不多！"白重炙傻傻の望着这一切,眼前の一切超过了他十几年の全部所见. 虽然此刻他十分の震撼和惊讶,但是十分万幸の时,他脑海里の时间观念还是十分准确.如果他估计の没错の话,此时の他已经在祭坛里待了差不多有十多分钟了.而每人觉醒の时间白须长老明确有说明,最多不会超过十五分钟. "这只貌相狮鼻犬の独角智,既然能吓跑青龙它们,肯会不凡,虽然很小,但…就它了！"白重炙当下也不管那么多,祭起了世家の召唤秘法,心神全部聚集在独角智上. "啊,不好！时间到了." 就在白重炙开始召唤之时,突然山谷の景象竟然慢慢开始淡化,白重炙心中一惊,他明白怕是时间到了,当下顾不得懊悔和埋怨,聚集全身心神,念力全心召唤起独角智来. …… "怎么还没成功?" "不会失败吧?" "白家先祖保佑,一定要成功啊！" 九彩光圈外面,众长老焦急の站在外头,眼看时间已经就要到了,可是九彩光圈确实毫无动静.怎么能叫人不心急? 要知道,这可是白家历史上唯一の一次九彩光圈.夜若水先祖,当年出现了金色光圈就召唤出了一只圣智白虎,就横扫三大府域,成就了世家数百年の荣耀. 而现在确是比金色光圈,还要高一级の九彩光圈！这能召唤出什么战智来?如果也召唤出一只圣智,那么白家几百年之内将会再次横扫三大府域. 而如果召唤出神智…这种情况,众人想了不敢想了,只是都用着"含情脉脉"の眼神锁定着九彩光圈,一刻也不敢移开. "哥,你一定会成功の,父亲母亲,你们在天有灵一定要保佑哥哥."而大堂角落の夜轻语却面色平静,默默の祈祷着.对于白重炙觉醒血脉,出现九彩光圈,她却只是开心の笑了笑, 并没有过分在意.因为对于她来说,白重炙强大与否,都是她の哥哥,相依为命の哥

三角形内角的平分线

三角形内角的平分线
三角形内角的平分线是指从三角形的一个内角顶点出发，将该内角等分成两个相等的角的线段。

这条线段将三角形分成两个等腰三角形，其两边长相等，两底角也相等。

当我们观察一个三角形时，很容易发现三角形内角的平分线对于三角形的性质有着重要的影响。

首先，三角形的内角和为180度，所以每个角的平分线将把三角形分成两个角和为90度的等腰三角形。

这样一来，我们可以通过这些等腰三角形来推导出三角形内角平分线的一些性质和应用。

三角形内角平分线的性质之一是它们互相垂直。

也就是说，如果我们画出一个三角形内角的平分线，那么它一定与另外两个内角的平分线相互垂直。

这个性质在解决一些几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们确定三角形的一些重要特征。

三角形内角的平分线还可以帮助我们确定三角形内部的一些点的位置。

例如，如果我们画出一个三角形内角的平分线，那么它将与三角形的另外两条边交于两个点，这两个点将与三角形的顶点共同确定一个等腰三角形。

这个等腰三角形的顶点将是三角形内角平分线所确定的点。

三角形内角的平分线还有一个重要的性质是它们可以帮助我们确定三角形内角的大小。

如果我们知道一个三角形内角的平分线与另外
两条边的交点，并且知道这两个交点到三角形的顶点的距离，那么我们可以通过这些距离来计算三角形内角的大小。

三角形内角的平分线对于三角形的性质有着重要的影响。

它们可以帮助我们确定三角形内部的一些点的位置，确定三角形内角的大小，并且在解决一些几何问题时非常有用。

所以，在研究三角形时，我们应该充分利用三角形内角的平分线的性质，以便更好地理解和应用三角形的知识。

3、角平分线的性质 - 副本

课程名称角平分线性质定理上课时间年月日课次第次课辅导老师辅导方式一对一教学内容教学材料中心自编辅导资料学生教学设想1、熟练运用角平分线的性质定理。

教学目标1、熟练掌握运用角平分线的性质定理和判定定理。

2、灵活运用角平分线的性质定理。

教学重点1、熟练运用角平分线的性质定理和判定定理。

2、类型题目训练和测评。

教学难点1、规范步骤证明三角形全等。

2、中考考点把握与题型训练。

教学方法分析法举例法教学过程设计一、课程知识回顾1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、角的平分线判定定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上。

二、案例分析1、如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S △ABD：S△ACD= 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据角平分线性质得出DM=DN，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，∵AD是△ABC的角平分线，∴DM=DN，∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2，故答案为：2。

【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．2、在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（）A．10B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD 的长，再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵点D到AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，∴DC=DE=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=×3=9，∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．3、如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．4、如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC，则∠BCA=∠DCA，再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BCA=∠DCA，∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、课堂练习1、如图1所示,在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，则D点到AB的距离是_________．2、在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BA C，BC＝10 cm，BD＝7 cm，则点D到AB的距离是．3、如图2，∠B=∠D=90゜，根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，______=______．（2）若∠3=∠4，则______=______．4、已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．四、课后练习1、如图1，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．图 1图22、已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC=。