上海交大研究生矩阵理论答案

习题 一

1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ⎡⎤

⎢

⎥

-⎣⎦ cos sin sin cos x x x x ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++⎡⎤

⎢⎥-++⎣⎦

，故由归纳法知

cos sin sin cos n

nx nx A nx nx ⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

。

（2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n

k

r

k

r

A A A A ==-，即只需算出2

3

,A A 即可。

（3）记J=0 1 0 1

1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，则 ， 1122111

11 () n n n n

n n n n n n n n n

n

i i n i

n

n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a

a -----=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=+==⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

n

∑。 2．设112

2 (1,0),0 a A P P a A E λλ-⎡⎤===⎢⎥⎣⎦

则由得

2

1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

1时,不可能。

而由2

112

222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1

i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而

1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

===⎢⎥⎢⎥⎢⎥

--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

。 注：2A E =-无实解，n

A E =的讨论雷同。

3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2

n 个未知数时线

性方程AX -XA=0有2

n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩

阵，

通过直接检验即发现A 为纯量矩阵。110n n a a a -+++=

4．分别对（A B ）和A C ⎛⎫

⎪⎝⎭

作行（列）初等变换即可。

5．先证A 或B 是初等到阵时有()*

**AB B A =，从而当A 或B 为可逆阵时有()*

**AB B A =。

考虑到初等变换A 对B 的1n -阶子行列式的影响及*1A A -=即可得前面提到的结果。

下设 00 0r E PAQ ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，

（这里P ，Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可：

**

* 0 00 00 0r r

E E B B ⎛⎫⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦⎝⎭， （1） r

（2） r=n-1时，*

00 00 10 0r E ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，n1

2

*

*nn 0 0 0 0 B 0

n B B r

E B ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎢⎥

⎣⎦

，但 1112111121212222122212 00 0 0 0 0n n n r n n n nn b b b b b b b b b E b b b b b b ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故 *

00 0r E B ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥

⎣⎦⎝⎭n1

2 nn 0 B 0

n B B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

*

* 00 0r E B ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦。 6．由()()0()0r A r A AX AX AX ⊥⊥

==⇔=及，即0AX =与0A AX ⊥

=同解，此即所

求证。

7．设其逆为()

ij a ，则当I 固定时由可逆阵的定义得n 个方程

()()()

1

2

1

111123n j j j i i i in ij a a w a w a w δ----+++

+=，1,2,

j n =，

其中ij δ为Kronecker 符号。对这里的第l 个方程乘以()()

1j n l w

--然后全加起来得

(

)()

(

)()

111j n j n i ij nw a w ----=，即得()()

111j n i ij a w

n

-+-=

。

注：同一方程式的全部本原根之和为0，且m

w 也是本原根（可能其满足的方程次数小于n ）。

习题 二

1． 因11x x x ⊕==⊕，所以V 中零元素为1，x 的负元素为

1

x

，再证结合律、交换律和分配律。 2． 归纳法：设1

21s W W W V -≠，则下面三者之一必成立： （1）121s s W W W W -⊂； （2）1

2

1s s W W W W -⊃。 （3） 存在1

2

1\s s W W W W α-∈及12

1\()s s W W W W β-∈。 如果是（1）（2）则归纳成立，如果是（3）则选s 个不同的数12,,,s k k k ，则必有某

一个1

2i s k W W W αβ+∉。

3． U 是满足方程tr(A)=0解向量空间，其维数为2

1n -，故其补空间为一维的，可由任一

迹非0的矩阵生成。

4． 易证线性封闭。又设V 中元素为12

11n n n n f a x a x a ---=++

+，则U 是满足方程

110n n a a a -++

+=的子空间。故U 的维数为n-1，其补空间为一维的，故任取一系

数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。

5． 记U=()123,,u u u ，()12,W w w =，把U,W 放在一起成4行5列的矩阵，其Hermite

标准形为

1 4 5 1 2150 1 1 390 0 0 1 30 0 0 0 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，

故U

W 的基为123w w -+，U 的基为123w w -+，1u ；W 的基为123w w -+，1w ；

U W + 的基为123w w -+，1u ，1w 。

6．0(,,,)0x y z w U

W x y z w x y z w ⎧+++=⎫⎧=⎨⎨⎬-+-=⎩⎩

⎭， 1 1 1 121 1 1 1r ⎛⎫= ⎪

--⎝⎭，