线性代数课后习题

第四章 向量组的线性相关性

1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.

解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T

=(1-0, 1-1, 0-1)T

=(1, 0, -1)T .

3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .

2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得

)523(6

1321a a a a -+=

])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6

1T T T --+=

=(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组

A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;

B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=3121

23111012421301

402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-------971820751610402230421301

~r ⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛------5314

00251552000751610

4213

01 ~r

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-----000000531400

751610421301

~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=000000110

20

1

110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.

4. 已知向量组

A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;

B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,

知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.

5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.

证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.

(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.

6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,

所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为

0222

000430

12||≠=-=B ,

所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.

7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由

)1)(1(11111

1||+-=--=a a a a

a a A

知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.

解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使

λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,

由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλ

λλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,

设2

11

λλλ+-

=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .

9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.

例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有