叶仲豪平面几何讲义

平面几何讲义

叶中豪（老封）

1. 求证：三角形外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。

2．设一条直线l截△ABC的三边BC、CA、AB所在直线于D、E、F三点，O1、O2、

O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。求证：△O1O2O3的垂心H位于直线l上。

3．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM ＝∠CAN。设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。求证：O1、O2、A三点共线。（2012年全国联赛）

4．设P是△ABC内一点，D是BC上一点，作△ACE∽△BDP，△ABF∽△CDP。

求证：E、P、F三点共线。

5. 已知△ABC的内切圆与AC、AB边切于E、F两点，自C点作∠B的平分线的垂线，

垂足为P。求证：E、P、F三点共线。

6．△ABC内心为I，内切圆切AB、AC边于E、F，延长BI、CI分别交直线EF于M、N。求证：S四边形AMIN＝S△IBC。

7．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB 于E，过O作AC垂线交直线PC于F。求证：A、E、F三点共线。

8．如图，矩形ABCD中，EF∥AB，EF与对角线BD交于G点。过E作ET⊥DF，垂

足为T；过F作FS⊥BE，垂足为S。求证：S、G、T三点共线。

9. 设⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，两动点A、B从Q点出发，按逆时针方向分别沿两圆运动，且角速度保持相等。求证：平面上存在一点X，使得X始终到A、B等距。

10. AD是△ABC外接圆切线，M是BC中点，O是外心，E是OD上任一点，过E作BC垂线EH交圆ADE于另一点F。求证：A、F、M三点共线。

11. 如图，点E在AD上，点F在BC上，PE⊥BC，PF⊥AD。

求证：AE

ED

＝

BF

FC

的充要条件是PA

uu r

·PC

uu u r

＝PB

uur

·PD

uu u r

。

12. 已知ABCD是圆内接四边形，对角线AC、BD交于P点，O是外接圆心。过A、B 分别作邻边AD和BC的垂线交于E点。求证：E、O、P三点共线。

13．设A、B、C、D是一条直线上依次排列的四点，以AC、BD为直径的两圆相交于

X、Y，P是直线XY上任意一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C及M，直线BP与

以BD为直径的圆相交于B及N。求证：AM、DN和XY三线共点。

14. 如图，⊙O1、⊙O2是△ABC的旁切线，与各边切于E、F、G、H，EG、FH延长交

于P。求证：PA⊥BC。（1996年全国联赛）

15．设OA、OB、OC是从O点出发的三条射线，D是平面上任意一点，过D作DF∥OA，DE∥OC，分别交OB于E、F，再过E、F作一对平行线，分别交OA、OB于P、Q。

求证：P、D、Q三点共线。

16．已知AB、CD分别是相离两圆圆O1、圆O2的外公切线和内公切线，直线AC、BD交于P。求证：O1、P、O2三点共线。

17. （帕普斯定理）设A、B、C，D、E、F分别是两条直线上的点，交错联结AE、BD；AF、CD；BF、CE分别交于P、Q、R三点。求证：P、Q、R三点共线。

18．如图，圆O为△ABC的外接圆，P为△ABC内部一点，且AP⊥BC，以AP为直径作圆S交AB、AC分别于F、E，圆S交圆O于K，圆O的点K处的切线交BC于M，BE交CF 于L。求证：MK＝ML。

19．如图，AT是锐角△ABC的角平分线，TE⊥AB于E，TF⊥AC于F，CE与BF交于点P。求证：AP⊥BC。

20. 已知P是△ABC内任意一点，作PE⊥AB，PF⊥AC，AQ⊥CP，AR⊥BP，E、F、Q、R为垂足，联结QE、RF。求证：QE、RF、BC三线共点。

21. △ABC中（AB≠AC），AT是角平分线，M是BC中点，H是垂心，HM交AT 于D，作DE⊥AB，DF⊥AC。求证：E、H、F三点共线。

B

22．E、F分别在Rt△ABC的直角边AC、AB边上，BE、CF交于D，圆AEF交外接圆于P。求证：AP⊥PD。

23．已知P是矩形ABCD内任意一点，BP延长交DC于E，DP延长交BC于F，AP 延长交外接圆于G。求证：EG⊥FG。

24．已知Rt△ABD∽Rt△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM 垂线交AD于F。求证：DE＝EF。

25．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ＝2∠NMQ。（98年伊朗竞赛）