2-3第三节 导数的应用(边际与弹性)电子教案
导数及其应用教案
导数及其应用教案教案标题：导数及其应用教案教案概述：本教案旨在引导学生全面了解导数的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
通过理论讲解、示例分析和实践练习，培养学生对导数的理解和运用能力，提高他们解决实际问题的能力。
教学目标：1. 理解导数的定义和性质；2. 掌握常见函数的导数计算方法；3. 理解导数在函数图像、极值和曲线运动等方面的应用；4. 运用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和性质；2. 常见函数的导数计算方法；3. 导数在函数图像、极值和曲线运动等方面的应用。
教学难点：1. 导数在实际问题中的应用；2. 运用导数解决复杂实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、示例题、练习题、实际问题案例等；2. 学生准备：教材、笔记本、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，与学生一起回顾函数的变化率和斜率的概念；2. 提问：你认为如何计算函数在某一点的变化率或斜率？二、理论讲解（15分钟）1. 讲解导数的定义和性质，包括函数在某一点的导数定义、导数的几何意义和导数的性质；2. 通过示例解释导数的计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数计算；3. 引导学生理解导数的物理意义，如速度、加速度等的概念。
三、示例分析（15分钟）1. 分析示例题，引导学生运用导数的定义和性质计算函数的导数；2. 分析函数图像的特征，如切线、极值点等，与导数的关系；3. 分析曲线运动的问题，如速度、加速度等与导数的关系。
四、实践练习（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，涵盖导数的计算、函数图像分析和实际问题应用等方面；2. 引导学生独立解题，鼓励他们思考和探索；3. 辅导学生解决遇到的问题，及时给予指导和反馈。
五、实际问题应用（15分钟）1. 提供一些实际问题案例，如物体的运动问题、最优化问题等；2. 引导学生分析问题，建立数学模型，并运用导数解决问题；3. 鼓励学生展示解题过程和结果，进行讨论和交流。
第三章导数的应用教案
第三章 导数的应用知识点：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞∞⎪⎩⎪⎨⎧用导数在经济分析中的应的应用函数最值在经济问题中函数的极值、最值函数的单调性函数其他类型未定式型未定式型未定式洛必达法则柯西定理拉格朗日中值定理罗尔定理微分中值定理00 教学目的要求：（1）用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。
会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的ξ。
（2）知道洛必达法则，能运用洛必达法则求不定式的极限，重点掌握“”型和“∞∞”型，了解“∞-∞”、“∞⋅0”型等。
（3）掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件，掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件），搞清极值点与驻点的区别与联系。
（4）初步掌握简单实际问题中最大值和最小值的求法；会利用导数讨论一些简单的经济问题。
教学重点：1．函数单调性的判断与单调区间的求法 2．函数极值、最值的求法 3．实际应用 教学难点：1．微分中值定理 2．洛必达法则及应用 3．函数极值的求法与应用4．函数最值的求法与应用第一节 微分中值定理【教学内容】罗尔定理，拉格朗日中值定理。
【教学目的】理解罗尔定理，拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义;会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理和拉格朗日中值定理结论中的ξ。
初步具有应用中值定理论证问题的能力.【教学重点】1．罗尔定理；2．拉格朗日中值定理。
【教学难点】1．罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2．罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中ξ的求解。
【教学时数】1学时 【教学进程】一、 罗尔（Rolle ）定理罗尔（Rolle 1652-1719）法国数学家。
年轻时因家境贫穷，仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus 分析理论。
人教版高中选修(B版)2-21.3.3导数的实际应用教学设计
人教版高中选修(B版)2-21.3.3导数的实际应用教学设计一、教学目标1.了解导数的定义和基本性质；2.掌握导数的实际应用；3.学会利用导数求解实际问题。
二、教学内容本单元主要介绍导数的实际应用，包括最值问题、曲率、变化率、弦与切线等概念。
2.1 最值问题1.求解函数的极值；2.利用导数求解函数的最值；3.求解优化问题。
2.2 曲率1.了解曲率的定义和相关概念；2.掌握求解曲率的方法；3.学会利用曲率求解实际问题。
2.3 变化率1.了解变化率的定义和相关概念；2.掌握如何利用导数求解函数的变化率；3.学会利用变化率求解实际问题。
2.4 弦与切线1.掌握弦与切线的概念和性质；2.学会利用导数求解函数的弦与切线；3.学会利用弦与切线求解实际问题。
三、教学重点和难点3.1 教学重点1.掌握导数的实际应用；2.学会利用导数求解实际问题。
3.2 教学难点1.如何将导数的概念与实际问题相结合；2.如何通过综合运用各种方法求解实际问题。
四、教学方法本课采用问答式教学，引导学生发现实际应用问题中的数学模型，并通过练习加深对导数实际应用的理解。
教学步骤如下：1.简要介绍导数的定义和基本性质；2.以最值问题为例，讲解如何利用导数求解函数的最值；3.以一个实际问题为例，引导学生发现问题中的数学模型，然后通过导数求解最值问题；4.以曲率为例，讲解如何求解函数的曲率；5.以一个实际问题为例，引导学生发现问题中的数学模型，然后通过曲率求解实际问题；6.以变化率为例，讲解如何利用导数求解函数的变化率；7.以一个实际问题为例，引导学生发现问题中的数学模型，然后通过变化率求解实际问题；8.以弦与切线为例，讲解如何利用导数求解函数的弦与切线；9.以一个实际问题为例，引导学生发现问题中的数学模型，然后通过弦与切线求解实际问题。
五、教学资源本次课程需要用到以下教学资源：1.导数概念展示PPT；2.最值问题PPT；3.曲率PPT；4.变化率PPT；5.弦与切线PPT；6.实际问题练习卷。
边际和弹性的教案
边际和弹性的教案教案标题：边际和弹性的教案教案目标：1. 理解边际和弹性的概念以及其在经济学中的应用。
2. 掌握计算和解释边际和弹性的方法。
3. 能够应用边际和弹性的概念分析经济问题。
教学重点：1. 边际概念的理解和应用。
2. 弹性概念的理解和应用。
3. 计算和解释边际和弹性的方法。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿。
2. 白板、马克笔和橡皮擦。
3. 经济学教材和练习题。
教学过程：引入：1. 使用一个现实生活中的例子引入边际和弹性的概念，例如购买冰淇淋的决策或汽车公司的定价策略。
2. 引发学生的思考，让他们思考为什么边际和弹性对经济决策和市场分析非常重要。
讲解边际概念：1. 解释边际的含义，即增加或减少一个单位的变化。
2. 通过使用图表和实际例子，说明边际成本、边际效益和边际分析的概念。
3. 强调边际分析在决策制定中的重要性，特别是在资源有限的情况下。
讲解弹性概念：1. 解释弹性的含义，即需求或供应对价格变动的敏感程度。
2. 介绍价格弹性、收入弹性和交叉弹性的概念。
3. 使用实际例子和计算公式，说明如何计算和解释不同类型的弹性。
应用边际和弹性：1. 提供一些实际的经济问题，让学生应用边际和弹性的概念进行分析和解决。
2. 分组讨论，让学生分享他们的分析和结论，并提供反馈和指导。
3. 鼓励学生思考边际和弹性对经济政策和市场决策的影响。
总结和评估：1. 总结边际和弹性的概念及其应用。
2. 给学生提供一些练习题，以评估他们对边际和弹性的理解和应用能力。
3. 回答学生的问题，并提供个别指导和反馈。
扩展活动：1. 鼓励学生进行更多的实际案例研究，以加深对边际和弹性的理解。
2. 组织小组讨论或辩论，让学生就某个经济问题运用边际和弹性的知识进行辩论。
3. 鼓励学生撰写一篇关于边际和弹性在经济学中的应用的短文或报告。
教学延伸：1. 在下一堂课上，引入更复杂的边际和弹性概念，如边际效用和交叉弹性。
2. 鼓励学生进行更深入的研究，了解边际和弹性在其他学科领域的应用，如管理学和市场营销。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
高中数学导数的应用教案
高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。
教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。
教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。
教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。
二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。
三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。
四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。
五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。
同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。
【优选整合】人教B版高中数学选修2-2133导数的实际应用教案.doc
1.3.3导数的实际应用一、教学目标1.知识和技能目标(1)研究使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；(2)提高将实际问题转化为数学问题的能力.2.过程和方法目标通过学习使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用.3.情感态度和价值观目-标通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，提高将实际问题转化为数学问题的能力.二、教学重点•难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用导数解决牛活中的一些优化问题.三、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，让学生体会导数的工具作用。
四、教学方法师牛互动探究式教学五、教学过程1.最优化问题生活中经常遇到求 _________ 、__________ 、_______ 等问题，这些问题通常称为最优化问题.2.用导数解决最优化问题的基本思路知识应用，深化理解题型一面积、体积的最值问题例1、请你设计一个包装盒，如图1-3-9, ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A, B, C, D 四个点重合于图中的点P,正好形成一个正 四棱柱形状的包装盒，E, F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，15 AE=FB=x(cm).图 1-3-9 (1) 某广告商要求包装盒的侧面积S(cn?)最大，试问x 应取何值？(2) 某厂商耍求包装盒的容积V(cn?)最大，试问兀应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【自主解答】 设包装盒的高为h cm,底面边长为ci cm.由已知得 a=y[2x, 〃 = 6加2'=迄(30_兀),兀<30.(1) S=4ah = 8x(30 ~x) = 一 8(兀一 1+1 800, 所以当x=15时，S 取得最大值.(2) V= crh=2^2(-x 3 + 30?),6迈*(20~x).由W=0,得兀=0(舍去)或x=20.当 xe (0,20)时，V>0；当 xe (20,30)时，F<0.所以当兀=20时，V 取得极大值，也是最大值.总结：1. 解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将血积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值. 2. 解决优化问题时应注意的问题(1) 列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2) —般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数人兀)在给定区间内只有一个极值点或函数/(%)在开 区间上只有一个点使/(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的 函数值进行比较.题型二用料最省、成本(费用)最低问题例2、位于A, B 两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1-3-11所示，若两村用同型号线架设输电线路, 问变丿玉器设在输电干线何处时，所需电线总长最短.此时#=*, 即包装盒的高与底面边长的比值为*.D _____________ C3 km输电干线图 1-3-11【自主解答】 设CD=xkm,则CE= (3-x)km.则所需电线总长 l=AC+BC=p 1 +< + 3~x —(0<x<3),y3 - Y从而 r=-^=--====. 寸 l+H yjl.52+ 3-x 2x _________ 3—x yj 1 +x 2 yj ].5?+ 3—无解得兀=1.2或兀=—6（舍去）.因为在［0,3］上使『=0的点只有x=1.2, 所以根据实际意义，知x=1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE 之间离点D 的距离为1.2 km 处时，所需电线总长最短.总结：1. 用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及 最值问题所研究的对彖.止确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.2. 利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f （x ）=0时，如果函数在这点有极大（小） 值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值.六、当堂检测1. 某箱子的体积与底面边长兀的关系为V （x ）=x 2（^^）（0<x<60）f 则当箱子的体积最大时，箱子底面边长 为（）A. 30B. 40C. 50D. 602. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量兀（单位：万件）的函数关系式为y=-|?+81x-234, 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A. 13万件B. 11万件令r=o,即 BD 变压器C. 9万件D. 7万件3.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27兀，且用料最省，则水桶的底面半径为4.某产品的销售收入yi（万元）是产量兀（千台）的函数：>'I =17X2（X>0）,生产成本以万元）是产量兀（千台）的函数:^2=2?-^>0）,为使利润最大，应生产________________ 千台.5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的•商品件数与商品单价的降低值兀（单位：元，0三疋30）的平方成正比，已知商品单价降低2元吋，一星期多卖出24件.（1）将一个星期的商品销售利润表示成兀的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？设计意图：目的是让学牛学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、导数的基本概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算机科学、物理学、经济学等领域，导数都具有广泛的应用。
在微积分中，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它描述了函数在该点附近的局部行为。
导数可以通过两种方式计算：几何定义和算术定义。
1. 几何定义：导数可以理解为函数图像在某点的斜率，表示为$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
2. 算术定义：导数可以理解为函数在某点上的瞬时速度，表示为$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
二、导数的性质及计算方法导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的可加性：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的和f(x)+g(x)也在该点上可导，且导数满足$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$。
2. 导数的乘法规则：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的乘积f(x)g(x)也在该点上可导，且导数满足$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。
3. 导数的链式法则：若函数y=f(g(x))可以分解为两个函数f(u)和g(x)，且它们在某点上可导，那么复合函数y也在该点上可导，并且满足$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}}\cdot \frac{{du}}{{dx}}$。
计算导数的方法主要有以下几种：1. 利用基本函数的导数公式进行求导。
2. 利用导数的性质，例如可加性、乘法规则和链式法则，对复杂函数进行求导。
3. 利用导数的几何定义，通过极限的方法进行求导。
三、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域：1. 最优化问题：导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
第三章导数微分边际与弹性
微积分教案例3设函数f(x)可微,-2- 2f (xAx2f(x)f (x)第三章 导数、微分、边际与弹性第一节导数概念教学目的与要求： 理解导数概念，意义教学重点(难点)：对导数概念理解，及其与连续的关系 一、 引例 二、 导数的定义f (X 0)limx 0 xlimx 0f (X 0X) f(X o ) Xlim X Xf(X ) Xf (X 。
) X 0 f (X x) f (x) f (x) lim - ----- ------------------- x 0 X左导数f (X) lim f(X0x) f(X0)lim f(x) f(X0)x 0-Xx xX X 0右导数f(X 0 X) f(x °) f (X) f(x °)f (x) lim ------------------------------- lim ---------------------- x 0 X x XoX x 0f (X 0) A f (X 0) f (X 0) A三、导数的几何意义 曲线yf x 在点X 0,y °处切线:y y 0 f X 0 x X 01xsin — x 0例1讨论f(x)x X 0在X = 0处可导性.0 X 0解：lim f (x) lim xsinx 00 f (0) , f (x)在 x = 0 连续「 f(x)-f(0) 「 . 1 ，尸右 limlim sin —不存在 x 0x-0 x 0 xf (x)在x = 0不可导例2已知f(x °)存在，则lim* 街*)2f /(X 0)h 0h -----------limf(X 05h)E5f /(X 0) h 0h「m f(x ° 3h) fg h)_lim [f(x 0 3h) f(x °) f(x °h) f(x °)]4 f (X 0)「 f ( x) - f (0) lim 。
【教案】校级公开课--导数的应用(教案)
《导数的应用》教学设计开课班级：高二（1）开课教师：教学设计背景本节是高中数学人教A版选修2-2第一章“导数在研究函数中的应用”内容基础上，进一步拓展延伸应用的内容。
导数除了在函数的单调性及函数的极值、最值等方面应用外，还可以应用于探究函数的零点或方程的解问题，以及应用于不等式证明问题，既灵活多变，又具有一定的综合能力要求，基于教材和学生知能背景及前期教学状况，相应作此导数的应用教学设计，以帮助学生进一步树立联系的观点利用导数处理问题的意识．学情分析学生前期已经学习导数在研究函数中的应用等内容，体会了导数的思想，初步感受了导数应用价值，初步具备了利用导数处理问题的意识和能力。
教学目标通过变式教学过程，用联系的观点，进一步探究导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用，培养运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想方法解决问题的能力。
培养学生综合思考问题的能力，以及克服困难解决问题的信心与毅力。
教学重点、难点重点应用导数导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用难点利用联系的观点，运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想解决问题教法变式教学、学生探究、引导讲授教学用具：多媒体教学过程一、复习回顾知识点一：导数的几何意义函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x, f(x))处的切线的斜率，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x))处的切线方程为y－y=f′(x) (x－x)知识点二：函数的单调性当函数y=f(x)在某个区间(),a b 内可导如果'()0f x >，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果'()0f x <，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．知识点三：函数的极值对于可导函数f(x)判断其极值的方法为如果在0x 附近的左侧'()0f x >，右侧'()0f x <，那么，0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧'()0f x <，右侧'()0f x >，那么，0()f x 是极小值.知识点四：函数的最值闭区间[a ，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：○1求函数f(x)在(a ，b)内的极值；○2将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
导数的应用课程设计
导数的应用课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握导数的应用，包括求函数的切线方程、单调性、极值和最值等。
学生应能理解导数的基本概念，并能运用导数解决实际问题。
在技能目标方面，学生应能熟练运用导数求解函数的切线方程、单调区间、极值和最值等问题。
在情感态度价值观目标方面，学生应能体验到数学的实用性和趣味性，培养对数学的热爱和兴趣。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括导数的定义、导数的几何意义、导数的运算规则以及导数在实际问题中的应用。
首先，引导学生回顾函数的极限概念，进而引入导数的定义，通过几何直观解释导数的概念。
然后，介绍导数的运算规则，包括求导法则和复合函数的导数。
最后，结合实际问题，讲解导数在求解函数的切线方程、单调性、极值和最值等方面的应用。
三、教学方法为了提高学生的学习兴趣和主动性，本节课采用多种教学方法。
首先，运用讲授法，系统地讲解导数的定义、几何意义和运算规则。
其次，采用案例分析法，通过具体例子引导学生运用导数解决实际问题。
此外，小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高合作能力。
最后，利用实验法，让学生亲自动手操作，加深对导数概念的理解。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本节课准备了一系列教学资源。
教材方面，选用《高等数学导数应用》教材，系统地讲解导数的理论和应用。
参考书方面，推荐学生阅读《导数及其应用》等书籍，以拓宽知识面。
多媒体资料方面，制作了导数的动画演示和案例分析的PPT，增强课堂的趣味性和直观性。
实验设备方面，准备了计算机和投影仪，以便进行课堂演示和讲解。
五、教学评估本节课的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分。
平时表现主要评估学生在课堂上的参与程度、提问回答和小组讨论的表现。
作业方面，布置与课程内容相关的练习题，要求学生在规定时间内完成，培养学生的自主学习能力。
考试则分为期中考试和期末考试，期中考试主要评估学生对导数知识的掌握情况，期末考试则综合评估学生对导数应用的理解和运用能力。
导数的应用教案
导数的应用教案导数的应用教案一、教学目标：1.了解导数的概念及其意义；2.掌握导数的计算方法；3.能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容：1.导数的概念及其意义；2.导数的计算方法；3.导数的应用实例。
三、教学过程：1.导入导数概念：教师通过提问方式引导学生回顾前面学习的知识，了解函数的极限与导数之间的关系，并引入导数的概念。
教师可以通过举例说明导数的概念，如汽车行驶距离与时间的关系等。
2.导数的计算方法：教师介绍导数的计算方法，包括极限定义、导数公式和导数性质等，并通过具体的例子进行讲解，如多项式函数的导数计算等。
3.导数的应用实例：教师通过实际问题让学生应用导数解决实际问题，如求函数的最值、判定函数的增减性、判定函数的凸凹性等。
教师可以先进行概念讲解，然后给出具体的应用实例，让学生进行分析和解答。
4.教学巩固与拓展：教师进行导数的应用拓展，让学生了解导数在其他领域的应用，如物理学中的速度与加速度、经济学中的边际产量与边际成本等，并进行讲解和讨论。
四、教学方法：1.导入法：通过导入问题或例子引发学生思考，激发学生学习兴趣。
2.讲解法：通过讲解导数的概念和计算方法，使学生掌握相关知识。
3.示范法：通过示范具体例题，帮助学生理解和掌握导数的应用方法。
4.讨论法：通过学生的互动讨论，加深对导数应用的理解和掌握。
五、教学资源：1.课件：包括导数的概念、计算方法及应用实例的课件。
2.习题集：提供导数的应用习题，帮助学生巩固和拓展知识。
六、教学评价：1.课堂练习：提供一定数量的导数应用题，检查学生的掌握情况。
2.作业：布置一定数量的导数应用题，供学生进行复习和巩固。
3.学生评价：通过学生对教学过程的反馈和教师的观察，对教学效果进行评价。
七、教学反思：通过开展导数的应用教学，学生能够进一步理解导数的概念、计算方法及其在实际问题中的应用，从而提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
同时，教师应根据学生的实际情况和兴趣，合理安排教学内容和方法，提高教学效果。
导数的应用教案
导数的应用教案教案1: 导数的应用——相关变化率教学目标:1. 理解导数的意义，能够解释导数代表相关变化率的含义。
2. 能够在实际问题中应用导数求解相关变化率。
3. 能够在实际问题中应用导数解决最优化问题。
教学准备:1. 教师准备相关变化率和最优化问题的实际应用例题，如某物体运动的速度和加速度问题，总收益和销售量的关系问题等。
2. 准备计算导数和求解最优化问题的手段和方法。
教学过程:引入：1. 导入相关变化率的概念，引导学生思考在我们日常生活中有哪些变量之间存在相关变化的情况，并了解相关变化率的重要性。
2. 引入导数的概念，解释导数代表相关变化率的含义，即导数表示因变量相对于自变量的变化速率。
探究：1. 通过实例和图形直观理解导数的概念，包括斜率、切线、变化率等。
2. 让学生进行实际问题的探究，如给定一个函数表达式，利用导数求解相关变化率的具体问题。
3. 引导学生通过具体实例，进一步理解导数的应用，如速度和加速度的关系问题。
拓展：1. 引导学生应用导数解决最优化问题，比如通过导数求解某函数的最大值、最小值等问题。
2. 引导学生思考一些实际问题，如制作某个产品的成本、利润与销售量的关系，利用导数求解最优销售量等实际问题。
实践：1. 组织学生分组完成一些实际问题的探究和求解，让学生练习运用导数求解实际问题。
2. 学生通过小组展示和分享，互相学习和交流，提高对导数应用的理解和掌握程度。
总结：1. 归纳和总结导数的应用领域，通过概念总结和案例分析，强化学生对导数应用的理解。
2. 提醒学生导数应用的实际意义和重要性，鼓励学生在日常生活中运用导数的方法和思想解决问题。
课后作业:1. 完成课后练习题，巩固导数应用的知识和技能。
2. 搜集相关应用实例，了解和探究更多的导数应用领域。
3. 思考导数应用的局限性和拓展方向，形成个人的思考和见解。
《 导数应用》全部教案
北师大版高中数学选修2-2第三章《 导数应用》全部教案扶风县法门高中 姚连省 §1 函数的单调性与极值第一课时 导数与函数的单调性（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． （二）．新课探究1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动 2() 4.9 6.510h t t t =-++中高度h 随时间t 变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图 像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'()f x表示函数()f x在点00(,)x y处的切线的斜率．在x x=处，'()0f x>，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x在x附近单调递增；在1x x=处，'()0f x<，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x在1x附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b内，如果'()0f x>，那么函数()y f x=在这个区间内单调递增；如果'()0f x<，那么函数()y f x=在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x=，那么函数()y f x=在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x=单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x=的定义域；（2）求导数''()y f x=；（3）解不等式'()0f x>，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x<，解集在定义域内的部分为减区间．（三）．典例探析例1、已知导函数'()f x的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+> 因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x>，即时，函数2()23f x x x=--；当'()0f x<，即时，函数2()23f x x x=--；函数32()23241f x x x x=+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+∞或(),a-∞内的图像“平缓”．例4、求证：函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x=+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数． （四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2（五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数()y f x =单调区间；（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性（六）．布置作业：课本P62页习题3-1A 组1、2 五、教后反思：第二课时 导数与函数的单调性（二）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
导数及其应用教案
导数及其应用教案导数及其应用教案一、教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数的应用领域及其作用。
二、教学内容：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在函数图像研究中的应用；4. 导数在物理、经济等领域的应用。
三、教学过程：1. 导入导数的概念，引出导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
给出导数的定义：若函数在点a处的导数存在，则称函数在点a处可导，记为f'(a)。
2. 介绍导数的计算方法：a. 用导数定义法计算：根据导数的定义，利用极限运算求出导数；b. 用基本导数公式计算：介绍常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；c. 用导数运算法则计算：介绍导数的四则运算法则，包括常数倍、和差、积、商。
3. 导数在函数图像研究中的应用：a. 求函数的增减区间：根据函数的导数求出函数的增减性和极值点；b. 求函数的凹凸区间和拐点：根据函数的导数求出函数的凹凸性和拐点。
4. 导数在物理、经济等领域的应用：a. 导数表示速度和加速度：介绍物理学中速度和加速度的概念，并利用导数计算速度和加速度；b. 导数表示边际效应和弹性：介绍经济学中边际效应和弹性的概念，并利用导数计算边际效应和弹性。
5. 总结导数的应用：导数在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用，帮助我们研究函数的性质、分析物体的运动和评估经济的效益等。
四、教学方法：1. 讲授导数的定义和性质，引导学生思考导数的计算方法；2. 结合例题和实际问题，让学生动手计算导数和应用导数；3. 培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生思考导数的实际应用。
五、教学评价：1. 练习题：布置一些导数计算和应用题目，要求学生独立完成；2. 口头回答问题：提问学生导数的定义和应用，检查学生对导数的理解程度；3. 个案分析：根据学生的学习情况，进行个别辅导和评价。
六、板书设计：导数的概念：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
人教版高中选修(B版)2-21.3.3导数的实际应用教学设计 (2)
人教版高中选修(B版)2-21.3.3 导数的实际应用教学设计一、教学目标1.了解导数的基本概念和求导方法；2.理解导数在实际应用中的意义和作用；3.能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1.导数的概念和求导方法；2.导数在实际应用中的意义和作用；3.导数的实际应用举例。
三、教学方法1.讲授法：通过课堂讲授掌握基础概念和求导方法；2.问题导入法：通过引入实际问题导入，引发学生的兴趣并加深对导数的理解；3.分组探究法：通过分组合作，团队合作解决实际问题，增强合作意识，培养实际解决问题的能力；4.讨论法：通过讨论，深化对导数在实际应用中的理解。
四、教学重点和难点1.教学重点：导数的概念和求导方法，导数在实际应用中的意义和作用；2.教学难点：如何运用导数解决实际问题。
五、教学过程设计1. 导入（5分钟）通过引入实际问题，如汽车行驶中的加速度、弹簧自由振动等，引发学生对导数的兴趣，加深对导数的理解。
2. 讲授导数的概念和求导方法（10分钟）讲解导数的概念，刻画导数的几何意义，讲解导数的计算方法。
3. 分组探究导数的实际应用（20分钟）将学生分成小组，每组给出一个实际应用问题，让学生通过合作讨论，解决问题并展示给所有的学生，其他学生需要提出问题或建议。
例如：问题1：假如车速仪表是恒定的，用车速仪表中的读数作为车速，那么误差大小是多少？司机行驶一辆车，要求计算车速仪表的误差大小。
问题2：山顶上的标准重力加速度为9.8m/s2，端点高度为3000m的斜面为直角三角形，一铅球从山顶垂直落下并在斜面上滚动，求铅球运动学参数。
4. 讨论导数在实际应用中的作用（10分钟）通过讨论，总结导数在实际应用中的作用，如加速度的概念和计算、最大值和最小值的求解、曲线切线问题的求解等。
5. 总结与展望（5分钟）总结本节课的内容和重点，展望下节课的教学内容和目标。
六、教学反思通过本节课的设计，使学生加深了对导数的理解，并掌握了求导的方法。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法介绍导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
讲解导数的运算法则：导数的四则运算、复合函数的导数等。
1.3 导数的应用解释导数在实际应用中的意义：例如，求解物体的速度、加速度等问题。
举例说明导数在实际问题中的应用：如优化问题、物理运动问题等。
第二章：导数与函数的增减性2.1 引入增减性的概念解释函数的单调递增和单调递减：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
2.2 利用导数判断函数的极值解释函数的极值概念：函数在某一点的导数为0，且在该点附近导数符号发生变化的点。
讲解如何利用导数判断函数的极值：通过导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。
2.3 应用实例分析举例说明如何利用导数判断函数的增减性和极值：如函数f(x) = x^3的增减性和极值分析。
第三章：导数与曲线的切线3.1 切线方程的导数表示解释切线的概念：函数在某一点的导数即为该点处的切线斜率。
推导切线方程的一般形式：y y1 = m(x x1)，其中m为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
3.2 利用导数求解曲线的切线讲解如何利用导数求解曲线的切线：求出切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程。
3.3 应用实例分析举例说明如何利用导数求解曲线的切线：如函数f(x) = x^2的切线求解。
第四章：导数与函数的单调性4.1 单调性的定义与性质解释函数的单调性：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
强调单调性的重要性：单调性可以帮助我们理解函数的变化趋势。
4.2 利用导数判断函数的单调性讲解如何利用导数判断函数的单调性：通过导数的正负来确定函数的单调递增或递减区间。
高中数学选修2-232导数的应用教案
类型三求参变量的范围例3.设函数1()(0lnf x xx x=>且1)x≠（Ⅰ）求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）已知12ax x>对任意(0,1)x∈成立，求实数a的取值范围。
课堂检测内容1．函数xxy ln=的单调递减区间是（）A．),(1+∞-e B．),(1--∞e C．),0(1-e D．),(+∞e2．已知f x x x m()=-+2632（m为常数）在[]-22，上有最大值3，那么此函数在[]-22，上的最小值为（）A．-5B．-11C．-29D．-373．函数()y f x=在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图，记()y f x=的导函数为/()y f x=，则不等式/()0f x≤的解集为_____________课后作业布置1、已知函数32()1f x x ax x=+++，a R∈．①讨论函数()f x的单调区间；②设函数()f x在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a的取值范围．2、已知函数2()(2ln),(0)f x x a x ax=-+->，讨论()f x的单调性.3、设函数xaxxf+=ln)(（a>0）.（1）当a=1时，求)(xf的单调区间.（2）若)(xf在(]1,0上的最小值为２，求ａ的值．预习内容布置预习《椭圆》。
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4、边际需求
定义 若 Q f(P )是 需 求 函 数 ， 则 需 求 量 Q 对 价 格 P 的 导 数 dPf(P )称 为 边 际 需 求 函 数 . dQ
显 然f， (P)
1
f 1(Q)
例 6某 商 品 的 需 求 函 数 为 Q Q (P ) 7 P 5 2， 求 P 4 时 的 边 际 需 求 ， 并 说 明 经 济 意 义 ．
C (Q )Li m CLiC m (Q Q )C (Q )
Q Q 0
Q 0
Q
2)边际平均成本：
平均成 C(本 Q)的导数
C(Q)CQ (Q)
QC(QQ)2C(Q)称为平均边. 际
总 成 C (Q )等 本于 固 C 0与 定 可 成 C 变 1(本 Q )之 成和 本 即C ： (Q )C 0C 1(Q )
解 (1)生产900个单位时的总成本为
C(Q) 11 09002 01775
Q900
1200
平均成本为
C(Q) 17715.99 Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q )C (10 ) C 0 (90)0 1 09 1 97 3 1 7 .55 8 Q 10 9 00 00 100
L(Q)Lim LLim L(QQ)L(Q)
Q Q0
Q0
Q
称为边际 . 利润
边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一 般 情 况 下 ，数总 L(Q)利 等润 于函 总 收 益 函 数 R(Q)与 总 成 本 C(Q 函 )之数差 ． 即
L(Q) R(Q)C(Q),则边际利润为
x0
x
f (x0)
，
经济学中称它为f (x) 在x x0 处的边际函数值.
设在点 x x0处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量y
的准确值为
y
x x0 x1
，当
x
改变量很小时，则由微分的应用
知道， y 的近似值为
y x x0 x 1
dy
f ( x)x
x x0 x 1
f ( x0 )
解 边际利 L(Q )润 2为 51 0Q 0,则
L(Q) L(2)050 Q20
L (Q ) L (2)5 0
Q 2 5
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
的需求函数为P
P(Q)
10eLeabharlann Q2，其中Q为需求量，
P为价格，且最大需求量为6．求该商品的收益函数
和边际收益函数．
解
Q
收 益 R (Q ) 函 P Q 1 数 Q 02e (0 Q 6 )
Q
边际收 R (Q )益 5(2函 Q )e数 2(0Q 6)
3、边际利润
定义：总利润L函 (Q)的 数导数
当x 1时，标志着 x从 x0减小一个单位.
这表明 f (x)在点 x x0处，当 x产生一个单位的 改变时，y近似改变 f (x0 )个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．
二、 经济学中常见的边际函数
1、边际成本
1)边际成本
总 成 本 C (Q )的 函导 数数
而边际成本则为： C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q)
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为
Q2 C (Q ) 1100 1200 ， 求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2)生产 900 个单位到1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
第三节 导数的应用（边际与弹性）
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数y f (x)在x0 处可导，则在(x0,x0 x)内的
平均变化率为y；在x x
x0
处的瞬时变化率为
lim f (x0 x) f (x0)
(3)边 际 成C(本 Q)函 2Q数 Q,当 Q9 0 0 1206000
时的边际 C(Q 成 ) 本 1.5 Q9 0 0
2、边际收益
定义：总 收 益R(函 Q)的 数导 数
R(Q)Lim RLim R(QQ)R(Q)
Q0Q Q0
Q
称 为 边 际 收 . 益 函 数
设 P 为 价 P P (Q 格 )，， 因 此 R (Q )P Q Q P (Q )， R (Q )P (Q ) Q P (Q )
平均R收益 R(Q) 25517 Q15 QQ15 15
边 际 R (Q 收 ) 益 (2 02Q ) 14
Q 15
5 Q 15
当 销 售1量 5个从 单 位 增 20个 加单 到位 时 收 益化的率平为
RR(20)R(15) 32025513
Q 2015
5
例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品
L(Q) R(Q)C(Q)
显然,边际利润可由边际收 与入 边际成本决, 定
C(Q)
0
R(Q) C(Q) 时, L(Q) 0
C(Q)
0
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分
析后，得出总利润 L(Q) (元)与每月产量 Q (吨)的
关系为 L L(Q) 250Q 5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释．
解 Q(P)dP2P,当P4时 的 边 际 需 求 为
dQ Q(P) 8
P4
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1、弹性的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0处可导，且 x0 0，
称函数的相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )
例3 设某产品的需求函数为P20Q， 其中 P 为
5
价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总
收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个
单位增加到20个单位时收益的平均变化率． 解 总收 R益 Q(Q P )为 2Q 0Q 2
5
销 售 15个 单 位 时
总收R益 (20QQ2)
255
Q15
5
Q15