2-3第三节 导数的应用(边际与弹性)电子教案
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第三节 导数的应用（边际与弹性）
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数y f (x)在x0 处可导，则在(x0,x0 x)内的
平均变化率为y；在x x
x0
处的瞬时变化率为
lim f (x0 x) f (x0)
4、边际需求
定义 若 Q f(P )是 需 求 函 数 ， 则 需 求 量 Q 对 价 格 P 的 导 数 dPf(P )称 为 边 际 需 求 函 数 . dQ
显 然f， (P)
1
f 1(Q)
例 6某 商 品 的 需 求 函 数 为 Q Q (P ) 7 P 5 2， 求 P 4 时 的 边 际 需 求 ， 并 说 明 经 济 意 义 ．
而边际成本则为： C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q)
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为
Q2 C (Q ) 1100 1200 ， 求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2)生产 900 个单位到1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
平均R收益 R(Q) 25517 Q15 QQ15 15
边 际 R (Q 收 ) 益 (2 02Q ) 14
Q 15
5 Q 15
当 销 售1量 5个从 单 位 增 20个 加单 到位 时 收 益化的率平为
RR(20)R(15) 32025513
Q 2015
5
例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品
解 Q(P)dP2P,当P4时 的 边 际 需 求 为
dQ Q(P) 8
P4
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1、弹性的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0处可导，且 x0 0，
称函数的相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )
L(Q) R(Q)C(Q)
显然,边际利润可由边际收 与入 边际成本决, 定
C(Q)
0
R(Q) C(Q) 时, L(Q) 0
C(Q)
0
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分
析后，得出总利润 L(Q) (元)与每月产量 Q (吨)的
关系为 L L(Q) 250Q 5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释．
例3 设某产品的需求函数为P20Q， 其中 P 为
5
价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总
收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个
单位增加到20个单位时收益的平均变化率． 解 总收 R益 Q(Q P )为 2Q 0Q 2
5
销 售 15个 单 位 时
总收R益 (20QQ2)
255
Q15
5
Q15
的需求函数为P
P(Q)
百度文库
10e
Q
2，其中Q为需求量，
P为价格，且最大需求量为6．求该商品的收益函数
和边际收益函数．
解
Q
收 益 R (Q ) 函 P Q 1 数 Q 02e (0 Q 6 )
Q
边际收 R (Q )益 5(2函 Q )e数 2(0Q 6)
3、边际利润
定义：总利润L函 (Q)的 数导数
解 边际利 L(Q )润 2为 51 0Q 0,则
L(Q) L(2)050 Q20
L (Q ) L (2)5 0
Q 2 5
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
C (Q )Li m CLiC m (Q Q )C (Q )
Q Q 0
Q 0
Q
2)边际平均成本：
平均成 C(本 Q)的导数
C(Q)CQ (Q)
QC(QQ)2C(Q)称为平均边. 际
总 成 C (Q )等 本于 固 C 0与 定 可 成 C 变 1(本 Q )之 成和 本 即C ： (Q )C 0C 1(Q )
解 (1)生产900个单位时的总成本为
C(Q) 11 09002 01775
Q900
1200
平均成本为
C(Q) 17715.99 Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q )C (10 ) C 0 (90)0 1 09 1 97 3 1 7 .55 8 Q 10 9 00 00 100
(3)边 际 成C(本 Q)函 2Q数 Q,当 Q9 0 0 1206000
时的边际 C(Q 成 ) 本 1.5 Q9 0 0
2、边际收益
定义：总 收 益R(函 Q)的 数导 数
R(Q)Lim RLim R(QQ)R(Q)
Q0Q Q0
Q
称 为 边 际 收 . 益 函 数
设 P 为 价 P P (Q 格 )，， 因 此 R (Q )P Q Q P (Q )， R (Q )P (Q ) Q P (Q )
L(Q)Lim LLim L(QQ)L(Q)
Q Q0
Q0
Q
称为边际 . 利润
边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一 般 情 况 下 ，数总 L(Q)利 等润 于函 总 收 益 函 数 R(Q)与 总 成 本 C(Q 函 )之数差 ． 即
L(Q) R(Q)C(Q),则边际利润为
当x 1时，标志着 x从 x0减小一个单位.
这表明 f (x)在点 x x0处，当 x产生一个单位的 改变时，y近似改变 f (x0 )个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．
二、 经济学中常见的边际函数
1、边际成本
1)边际成本
总 成 本 C (Q )的 函导 数数
x0
x
f (x0)
，
经济学中称它为f (x) 在x x0 处的边际函数值.
设在点 x x0处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量y
的准确值为
y
x x0 x1
，当
x
改变量很小时，则由微分的应用
知道， y 的近似值为
y x x0 x 1
dy
f ( x)x
x x0 x 1
f ( x0 )
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数y f (x)在x0 处可导，则在(x0,x0 x)内的
平均变化率为y；在x x
x0
处的瞬时变化率为
lim f (x0 x) f (x0)
4、边际需求
定义 若 Q f(P )是 需 求 函 数 ， 则 需 求 量 Q 对 价 格 P 的 导 数 dPf(P )称 为 边 际 需 求 函 数 . dQ
显 然f， (P)
1
f 1(Q)
例 6某 商 品 的 需 求 函 数 为 Q Q (P ) 7 P 5 2， 求 P 4 时 的 边 际 需 求 ， 并 说 明 经 济 意 义 ．
而边际成本则为： C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q)
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为
Q2 C (Q ) 1100 1200 ， 求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2)生产 900 个单位到1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
平均R收益 R(Q) 25517 Q15 QQ15 15
边 际 R (Q 收 ) 益 (2 02Q ) 14
Q 15
5 Q 15
当 销 售1量 5个从 单 位 增 20个 加单 到位 时 收 益化的率平为
RR(20)R(15) 32025513
Q 2015
5
例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品
解 Q(P)dP2P,当P4时 的 边 际 需 求 为
dQ Q(P) 8
P4
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1、弹性的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0处可导，且 x0 0，
称函数的相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )
L(Q) R(Q)C(Q)
显然,边际利润可由边际收 与入 边际成本决, 定
C(Q)
0
R(Q) C(Q) 时, L(Q) 0
C(Q)
0
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分
析后，得出总利润 L(Q) (元)与每月产量 Q (吨)的
关系为 L L(Q) 250Q 5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释．
例3 设某产品的需求函数为P20Q， 其中 P 为
5
价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总
收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个
单位增加到20个单位时收益的平均变化率． 解 总收 R益 Q(Q P )为 2Q 0Q 2
5
销 售 15个 单 位 时
总收R益 (20QQ2)
255
Q15
5
Q15
的需求函数为P
P(Q)
百度文库
10e
Q
2，其中Q为需求量，
P为价格，且最大需求量为6．求该商品的收益函数
和边际收益函数．
解
Q
收 益 R (Q ) 函 P Q 1 数 Q 02e (0 Q 6 )
Q
边际收 R (Q )益 5(2函 Q )e数 2(0Q 6)
3、边际利润
定义：总利润L函 (Q)的 数导数
解 边际利 L(Q )润 2为 51 0Q 0,则
L(Q) L(2)050 Q20
L (Q ) L (2)5 0
Q 2 5
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
C (Q )Li m CLiC m (Q Q )C (Q )
Q Q 0
Q 0
Q
2)边际平均成本：
平均成 C(本 Q)的导数
C(Q)CQ (Q)
QC(QQ)2C(Q)称为平均边. 际
总 成 C (Q )等 本于 固 C 0与 定 可 成 C 变 1(本 Q )之 成和 本 即C ： (Q )C 0C 1(Q )
解 (1)生产900个单位时的总成本为
C(Q) 11 09002 01775
Q900
1200
平均成本为
C(Q) 17715.99 Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q )C (10 ) C 0 (90)0 1 09 1 97 3 1 7 .55 8 Q 10 9 00 00 100
(3)边 际 成C(本 Q)函 2Q数 Q,当 Q9 0 0 1206000
时的边际 C(Q 成 ) 本 1.5 Q9 0 0
2、边际收益
定义：总 收 益R(函 Q)的 数导 数
R(Q)Lim RLim R(QQ)R(Q)
Q0Q Q0
Q
称 为 边 际 收 . 益 函 数
设 P 为 价 P P (Q 格 )，， 因 此 R (Q )P Q Q P (Q )， R (Q )P (Q ) Q P (Q )
L(Q)Lim LLim L(QQ)L(Q)
Q Q0
Q0
Q
称为边际 . 利润
边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一 般 情 况 下 ，数总 L(Q)利 等润 于函 总 收 益 函 数 R(Q)与 总 成 本 C(Q 函 )之数差 ． 即
L(Q) R(Q)C(Q),则边际利润为
当x 1时，标志着 x从 x0减小一个单位.
这表明 f (x)在点 x x0处，当 x产生一个单位的 改变时，y近似改变 f (x0 )个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．
二、 经济学中常见的边际函数
1、边际成本
1)边际成本
总 成 本 C (Q )的 函导 数数
x0
x
f (x0)
，
经济学中称它为f (x) 在x x0 处的边际函数值.
设在点 x x0处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量y
的准确值为
y
x x0 x1
，当
x
改变量很小时，则由微分的应用
知道， y 的近似值为
y x x0 x 1
dy
f ( x)x
x x0 x 1
f ( x0 )