圆和旋转压轴题解题技巧详细解析

如何短时间突破期中数学压轴题

还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。

个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法，希望能够帮到大家。 一、旋转：

纵观08年——13年各区的期中数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。

旋转模型：

1、三垂直全等模型

三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

E

D

C

A

B

E D C

A

B

2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图：

C

C

C

A

B

D

E

A

B

D

E

E

D

B

A

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°)

(2) 等腰直角三角形(旋转90°)

A'D

C

B

A

F'

D'

F

E

D

C

A

(3) 等边三角形旋转(旋转60°)

(4) 正方形旋转(旋转90°)

②

①F

E

D

C

B

A

P

F

E

D

C

B

A

G

F

E

D

C

B

A

4、半角模型

半角模型所有结论：在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF =45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N .求证：

N

M F

E

D

C B

A

G

O A

H

N M

F

E

D

C

B

(1) BE +DF =EF ；

(2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2+DN 2=MN 2；

(6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为1：2(由△AMN 与△AEF 的高之比AO ： AH =AO ：AB =1：2而得到)；

M E D

C B

A

(7) S △AMN =S 四边形MNFE ；

(8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ；

(9) ∠AEN 为等腰直角三角形，∠AEN =45°.(1. ∠EAF =45°；2.AE ：AN =1：2)

解题技巧：

1.遇中点，旋180°，构造中心对称

例：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，在四边形BDEC 中，DB DE =，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM ，DM ．

⑴ 在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； ⑵ 求证：AM DM ⊥；

⑶ 当α=___________时，AM DM =．

[解析]⑴ 如图所示；

⑵ 在⑴的基础上，连接AD AF ，

由⑴中的中心对称可知，DEM FCM △≌△，

∴DE FC BD ==，DM FM =，DEM FCM ∠=∠， ∵360ABD ABC CBD BDE DEM BCE α∠=∠+∠=+︒-∠-∠-∠

360DEM BCE α=︒--∠-∠，

360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠，

∴ABD ACF △≌△，∴AD AF =， ∵DM FM =，∴AM DM ⊥． ⑶ 45α=︒．

F

M

E

D

B A C

2.遇90°。旋90°，造垂直；

例：请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

图1

A

B

C

D

E

图2

A

B C

D

E

[解析] ⑴ 2

2

2

DE BD EC =+

证明：根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE '∆ ∴AEC ABE '∆∆≌

∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠ 在Rt ABC ∆中 ∵AB AC =

∴45ABC ACB ∠=∠=︒ ∴90ABC ABE '∠+∠=︒ 即90E BD '∠=︒

∴222E B BD E D ''+= 又∵45DAE ∠=︒

∴45BAD EAC ∠+∠=︒ ∴45E AB BAD '∠+∠=︒ 即45E AD '∠=︒ ∴AE D AED '∆∆≌ ∴DE DE '=

∴222DE BD EC =+

E'

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B A

⑵ 关系式2

2

2

DE BD EC =+仍然成立

证明：将ADB ∆沿直线AD 对折，得AFD ∆，连FE ∴AFD ABD ∆∆≌

∴AF AB =，FD DB =

FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠ 又∵AB AC =，∴AF AC =

∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+︒