经济数学基础作业2(2020年10月整理).pdf

dx 1
.答案： − 1 F (1 − x2 ) + c 2
0
5. 若 P(x) =
1
dt ，则 P(x) = __________ .答案： −
1
x 1+t2
1+ x2
（二）单项选择题
1. 下列函数中，（
）是 xsinx2 的原函数．
A． 1 cosx2 2
答案：D
B．2cosx2
C．-2cosx2
分析：将被积函数 x 2 − 4 化简为( x − 2 )，利用积分运算法则和基本积分公式求解。 x+2
正确解法：原式= (x + 2)(x − 2) = (x − 2)dx = 1 x2 − 2x + C
x+2
2
（4）
1
1 − 2x
dx
正确答案： − 1 ln 1 − 2x + c 2
分析：将积分变量 x 变为(1− 2x )，利用凑微分方法将原积分变形为 − 1 1 d (1 − 2x) ，
答案：B
B．
+ 1 dx
1 x2
C． + e xdx 0
+
D． sinxdx 1
(三)解答题：
1.计算下列不定积分
本类题考核的知识点是不定积分的计算方法。常用的积分方法有：
1
⑴运用积分基本公式直接积分； ⑵第一换元积分法(凑微分法)； ⑶分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分： ①幂函数与指数函数相乘； ②幂函数与对数函数相乘； ③幂函数与正(余)弦函数相乘。
C． x sin 2xdx
答案：C
4. 下列定积分计算正确的是（
）．
D． x dx
1+ x2
A．
1
2xdx = 2
−1
B．
16
dx = 15
−1
C． (x 2 + x3 )dx = 0 −
D． sin xdx = 0 −
答案：D
5. 下列无穷积分中收敛的是（ ）．
A．
+ 1 dx
1x
正确解法：原式= 2 sin xd x = −2 cos x + C
（7）
xsin
x 2
dx
正确答案： − 2x cos x + 4sin x + c
2
2
分析：这是幂函数与正弦函数相乘的积分类型，所以考虑用分部积分法。
正确解法：设 u = x, v = sin x ，则 du = dx, v = −2 cos x ，所以根据不定积分的分部积分
2 1− 2x
再由基本积分公式进行直接积分。
正确解法：原式= − 1 1 d(1- 2x) = − 1 ln 1 − 2x + C
2 1− 2x
2
（5） x 2 + x2 dx
正确答案： 1 (2
+
3
x2)2
+
c
3
3
分析：将积分变量 x 变为 2 + x2 ，利用凑微分方法将原积分变形为 1 2 + x2 d (2 + x2 ) ，.
2
2
法：
原式=
−
2x cos
x 2
−
−
2 cosx 2dx=源自−2x cosx 2
+
4
cos
x 2
d
x 2
=
−2x cos
x 2
+
4 sin
x 2
+
C
（8） ln( x + 1)dx
正确答案： (x + 1) ln( x + 1) − x + c
分析：这是幂函数与对数函数相乘的积分类型。同上，可考虑用分部积分法。
经济数学基础形成性考核册
作业（二）评讲
（一）填空题
1.若 f (x)dx = 2x + 2x + c ，则 f (x) = ___________________ .答案： 2x ln 2 + 2
2. (sinx)dx = ________ .答案：sin x + c
3. 若 f (x)dx =F (x) + c ，则 xf (1 − x2 )dx = 4.设函数 d e ln(1 + x2 )dx = ___________ .答案：0
正确解法：设 u = ln( x +1),v = 1 ，则 du = 1 dx, v = x ，所以根据不定积分的分部积 x +1
分法：
原式=
x
ln( x
+ 1)
−
x
x dx +1
=x
ln( x
+ 1)
−
(1 −
x
2. 下列等式成立的是（ ）．
A． sinxdx = d(cosx)
B． ln xdx = d( 1 ) x
D．- 1 cosx2 2
C． 2 x dx = 1 d(2x ) ln 2
D． 1 dx = d x x
答案：C 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）．
A． cos(2x + 1)dx ， B． x 1− x2 dx
e
ln 3
ln3 −1
.
e
（利用对数的性质， ln 3 = ln 3 − ln e = ln3 −1, lne = 1) e
可能出现的错误：
①不能将被积函数 3x 看成为 (3) x ，因此不知用什么公式求积分；
ex
e
②
3x ex
dx
=
3
e xdx = 3e x + c ；
③用错公式，
3x dx ex
2
再由基本积分公式进行直接积分。
正确解法： 1
(2 +
1
x2)2
d (2
+
x2)
=
1 (2 +
3
x2)2
+
C
2
3
（6） sin x x dx
正确答案： − 2 cos x + c
分析：将积分变量 x 变为 x ，利用凑微分方法将原积分变形为 2 sin xd x ，再由基本
积分公式进行直接积分。
（1）
3x dx
ex
3x 正确答案： e x + c
3 ln
e
分析：采用第一换元积分法(凑微分法)，将被积函数 3x 变形为 (3)x ，利用积分公式
ex
e
a xdx = a x + c 求解，这里 a = 3 .
ln a
e
，
3x
3x
正确解法：
3x e x dx =
(3) x dx = e x + c = e x + c
=
3x ex
+c.
（2）
(1 + x)2 dx
x
正确答案： 2
x
+
4
3
x2
+
2
5
x2
+c
35
2
分析：将被积函数
(1 + x)2
−1
1
3
变 形 为 2x 2 + 2x2 + x2
，利用基本积分公式
x
x dx = 1 x+1 + c 直接求解，.
+1
正确解法：
(1 + x)2 dx =
1 + 2x + x2 dx
x
1
x2
−1
3
= (x 2 + 2 x + x 2 )dx
1
= 2x 2
+
4
3
x2
+
2
5
x2
+
c
35
可能出现的错误：
①不能将被积函数
x
−3
变形为 x 2 ，因此不知用什么公式求积分；
x5
②公式记错，例如，
x
dx =
−3
x 2 dx
=
−
3
x −3
+
c.
x5
2
（3） x 2 − 4 dx
x+2
正确答案： 1 x2 − 2x + c 2