固体物理第一二章习题解答资料讲解

固体物理第一二章习

题解答

第一章习题

1.画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中

的原子个数和配位数。

(1)氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）

铍；（8）钼；（9）铂。

解：

名称分子式结构惯用元胞布拉

菲格

子

初基元胞

中原子数

惯用元

胞中原

子数

配位数

氯化钾KCl NaCl结

构

fcc 2 8 6

氯化钛TiCl CsCl结

构

sc 2 2 8

硅Si 金刚石fcc 2 8 4 砷化镓GaAs 闪锌矿fcc 2 8 4

碳化硅

SiC

闪锌矿

fcc 2 8 4

钽酸锂

LiTaO 3

钙钛矿

sc

5

5

2、6、12

O 、Ta 、Li

铍

Be

hcp

简单

六角

2

6

12

钼

Mo bcc

bcc 1 2 8

铂

Pt fcc

fcc 1 4 12

2. 试证明：理想六角密堆积结构的

1

2

8 1.6333c a ⎛⎫== ⎪⎝⎭。如果实际的c

a

值比这个数值大得多，可以把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。

证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a ，而相邻两层的最近邻原子间距为：

21

2

2

43⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=c a d 。

当d =a 时构成理想密堆积结构，此时有：2

1

2243⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=c a a ，

由此解出：633.1382

1

=⎪

⎭

⎫

⎝⎛=a c 。

若

633.1>a

c

时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， 因此层间堆积不够紧密。

3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、

（111）、（112）。 解：

4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原

胞。若采用初基原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？ 解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标

系中，在1a 、2a 、3a 三个基矢坐标上的截距为

(

)

2,,2∞，则晶面

指数为（101）。同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐标系1a 、2a 、

3a 上的截距为

(

)

∞,2,2，则晶面指数为（110）。

5. 试求面心立方结构（100）、（110）、（111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比

较大小；说明垂直于上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解：

晶面指数 原子数面密度

面间距

对称轴 （100）

22a

a

C 4

（110） 24.1a a 22 C 2 （111）

23.2a

a 3

3 C 3

6. 对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：132a a i j →→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，232a a i j →→→⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭

，

k c c =。求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。

解：由倒格基失的定义，可计算得：Ω⨯=→

→→

3212a a b π=

a π2)3

1(→

→+j i ， →

→

→→→

+-=Ω⨯=j i a a a b )3

1

(22132ππ，→→

→→

=Ω⨯=k c a a b ππ22213（未在图中画出）

正空间二维初基原胞如图（A ）所示，倒空间初基原胞如图（B ）所示

（1）由→

→

21b b 、组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六角晶系的特征。

（2）由→

→

21a a 、构成的二维正初基原胞，与由→

→

21b b 、构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。

（3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。

7. 用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl ]晶向与（hkl ）晶面垂直。

证明：由倒格矢的性质，倒格矢→

→

→

→

++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（hkl ）。由晶向指数[hkl ]，

晶向可用矢量A 表示，则：→

→

→

++=321a l a k a h A 。

倒格子基矢的定义：Ω⨯=

→→→

)(2321a a b π；Ω⨯=→→→

)(2132a a b π；Ω

⨯=→

→→

)

(2213a a b π 在立方晶系中，可取→

→

→

321a a a 、、

相互垂直且321a a a ==，则可得知332211b a b a b a ，　，　，

且321b b b ==。设

m a b i

i

=（为常值，且有量纲，即不为纯数），

则 A m a l a k a h m G hkl ）＝321(++=→

→→，即hkl G 与A 平行;也即晶向[hkl ] 垂直于晶面

（hkl ）

8. 考虑晶格中的一个晶面（hkl ），证明：(a ) 倒格矢123h G hb kb lb =++垂直于这个晶面；

(b ) 晶格中相邻两个平行晶面的间距为2hkl h

d G π=

；(c ) 对于简单立方晶格有

()

2

2

2

22

a d h k l =++。 证明：（a ）晶面（hkl ）在基矢321a a a 、　、　

上的截距为l

a k a h a 32

1、　、　。作矢量： k a h a m 211-=

，l a k a m 322-=，h

a l a m 1

33-= 显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl ）晶面上（如右图），且

()

()()()

0222321321321213

21211=⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⋅⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⋅a a a l

a a a k a a a h k a h a

b l b k b h k a h a G m h πππ

同理，有02=⋅h G m ，03=⋅h G m 所以，倒格矢()hkl G h ⊥晶面。 （b ）晶面族（hkl ）的面间距为： h

h h hkl G G b b b h h a G G h a d 11=

⋅=⋅=