数列通项公式求法(叠加,叠乘等)全面
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数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。
◆一、直接法
根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。
◆二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2
1
11n S S n S a n n n 求解.
(注意:求完后一定要考虑合并通项)
例1.①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n .求数列{}n a 的通项公式.
②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n
S n n =+-,求数列{}n a 的通项公式.
◆三、累加(乘)法
对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列,我们可以根据递推公式,写出n 取1到n 时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。
例4. 若在数列{}n a 中,31=a ,n a a n n +=+1,求通项n a 。 解析:由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1,所以
11-=--n a a n n ,221-=---n a a n n ,…,112=-a a ,
将以上各式相加得:1)2()1(1+⋅⋅⋅+-+-=-n n a a n ,又31=a
所以 n a =32
)
1(+-n n 例5.
在数列{}n a 中,11=a ,n n n a a 21=+(*
N n ∈),求通项n a 。
解析:由已知
n n n a a 21=+,112--=n n n a a ,2212---=n n n a a ,…,21
2=a a
,又11=a ,
所以n a =1-n n a a ⋅⋅--21n n a a …
1
2a a 1a ⋅=⋅-12n ⋅-2
2n …12⋅⋅=2)
1(2-n n ◆四、取倒(对)数法
例6..设数列}{n a 满足,21=a ),N (3
1∈+=
+n a a a n n
n 求.n a 解:原条件变形为.311n n n n a a a a =⋅+⋅++两边同乘以
,11+⋅n n a a 得1
1
131+=⋅+n n a a .
∵1132
1
1,211)2113-+=+∴+=+n n n n a a a (
∴.1
322
1-⨯=
-n n a
变式:1.已知数列{a n }满足:a 1=
3
2
,且a n =n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈--(,)+-
(1) 求数列{a n }的通项公式;
(2) 证明:对于一切正整数n ,不等式a 1•a 2•……a n <2•n !
2、若数列的递推公式为1111
3,2()n n
a n a a +==-∈,则求这个数列的通项公式。
3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时,n n n n a a a a 112--=-,求通项公式。
4、已知数列{a n }满足:1,1
3111
=+⋅=--a a a a n n n ,求数列{a n }的通项公式。
5、若数列{a n }中,a 1=1,a 1+n =2
2+n n
a a n ∈N +,求通项a n .
◆五、待定系数法:
1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地,形如
a 1+n =p a n +q
(p ≠1,pq ≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法:设a 1+n +k=p (a n +k )与原式比较系数可得pk -k=q ,即k=
1
-p q
,从而得等比数列{a n +k}。 例9、数列{a n }满足a 1=1,a n =
2
1
a 1-n +1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式。 解:由a n =21a 1-n +1(n ≥2)得a n -2=2
1
(a 1-n -2),而a 1-2=1-2=-1,
∴数列{ a n -2}是以21
为公比,-1为首项的等比数列
∴a n -2=-(21)1-n ∴a n =2-(2
1)1
-n
练习、1数列{a n }满足a 1=1,0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。
2、已知数列{}n a 满足11=a ,且132n n a a +=+,求n a .
2、递推式为1
1+++=n n n q pa a (p 、q 为常数)时,可同除1
+n q
,得
111+⋅=++n n n n q a q p q a ,令n
n
n
q a b =从而化归为q pa a n n +=+1(p 、q 为常数)型.
、
例10.已知数列{}n a 满足11=a ,123-+=n n
n a a )2(≥n ,求n a .
解:将123-+=n n n a a 两边同除n
3,得
n n n n a a 32131-+=⇒
11
33213--+=n n n
n a a 设n n n a b 3
=,则1321-+=n n b b .令)(321t b t b n n -=--⇒t b b n n 31
321+=-
⇒3=t .条件可化成)3(3
231-=--n n b b ,数列{}3-n b 是以38
33311-=-=-a b 为首项,