数列通项公式求法(叠加,叠乘等)全面

数列通项公式的求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。

◆一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

◆二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

1

11n S S n S a n n n 求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

例1．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n

n n ．求数列{}n a 的通项公式.

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n

S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.

◆三、累加（乘）法

对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 解析：由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1，所以

11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ，

将以上各式相加得：1)2()1(1+⋅⋅⋅+-+-=-n n a a n ，又31=a

所以 n a =32

)

1(+-n n 例5.

在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*

N n ∈），求通项n a 。

解析：由已知

n n n a a 21=+，112--=n n n a a ，2212---=n n n a a ，…，21

2=a a

，又11=a ，

所以n a =1-n n a a ⋅⋅--21n n a a …

1

2a a 1a ⋅=⋅-12n ⋅-2

2n …12⋅⋅=2)

1(2-n n ◆四、取倒（对）数法

例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=

+n a a a n n

n 求.n a 解：原条件变形为.311n n n n a a a a =⋅+⋅++两边同乘以

,11+⋅n n a a 得1

1

131+=⋅+n n a a .

∵1132

1

1,211)2113-+=+∴+=+n n n n a a a （

∴.1

322

1-⨯=

-n n a

变式:1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝

3

2

，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－

（1） 求数列｛a n ｝的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数n ，不等式a 1•a 2•……a n <2•n ！

2、若数列的递推公式为1111

3,2()n n

a n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式。

3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式。

4、已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =2

2+n n

a a n ∈N +，求通项a n ．

◆五、待定系数法：

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地，形如

a 1+n =p a n +q

（p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=

1

-p q

，从而得等比数列{a n +k}。 例9、数列{a n }满足a 1=1，a n =

2

1

a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。 解：由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=2

1

（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1，

∴数列{ a n －2}是以21

为公比，－1为首项的等比数列

∴a n －2=－（21）1-n ∴a n =2－（2

1）1

-n

练习、1数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

2、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．

2、递推式为1

1+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1

+n q

，得

111+⋅=++n n n n q a q p q a ，令n

n

n

q a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．

、

例10．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n

n a a )2(≥n ，求n a ．

解：将123-+=n n n a a 两边同除n

3，得

n n n n a a 32131-+=⇒

11

33213--+=n n n

n a a 设n n n a b 3

=，则1321-+=n n b b ．令)(321t b t b n n -=--⇒t b b n n 31

321+=-

⇒3=t ．条件可化成)3(3

231-=--n n b b ，数列{}3-n b 是以38

33311-=-=-a b 为首项，