5.2 圆的对称性 第二课时 课件(苏科版九年级上)
数学：5.2圆的对称性(第2课时)讲学稿(苏科版九年级上)
初三数学师生讲学稿执笔：审核：初三备课组课题：圆的对称性课型：新授课时间：教学目标：1．知识与技能：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.2．过程与方法：经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.3．情感态度与价值观：通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神.教学重点：垂径定理及其逆定理.教学难点：垂径定理及其逆定理的证明.教学设计：一、预习检测1._____________________________________________________是轴对称图形.2. 圆是_________________图形,其对称轴为_________________.3. 如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．则有AE=_____， _____= ， ____= ．4. AB是⊙O直径，AB=4，F是OB中点，弦CD⊥AB于F，则CD=_________5. ⊙O直径为8，弦AB＝4 2 ，则∠AOB＝＿＿＿＿＿。
6. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5二、讲授新课同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?（圆是轴对称图形．过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．）你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。
这样便可知圆有无数条对称轴．圆是轴对称图形。
过圆心的任意一条直线都是对称轴．做一做AO BCDM按下面的步骤做一做:1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题：1．通过第一步，我们可以得到什么?（可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．）2．很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢?（AM ＝BM ，BC ，AD =BD ，因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．）3．还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系? 如右图示，连接OA 、OB 得到等腰△ABC ，即OA=OB ，因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM ，又⊙O 关于直径CD 对称，所以点A 与点B 关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC重合AD 与BD 重合．因此AM ＝BM ，AC ＝BC ，AD =BD ）4．在上述操作过程中，你会得出什么结论?垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：如上图，连接OA 、OB ，则OA=OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵ OA=OB ，OM=OM∴ Rt △OAM ≌Rt △OBM∴ AM=BM∴ 点A 和点B 关于CD 对称∵ ⊙O 关于直径CD 对称∴ 当圆沿着直径CD 对折时，点A 和点B 重合，AC 和BC 重合，AD 和BD 重合 ∴BC ， 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：AM BM CD AD BD CD AB M AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩是直径于为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧． A O B C D M例题讲解通过求解例，来熟悉垂径定理以及常见的辅助线已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）拓展延伸1. 在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,试求AB和CD的距离.2.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为( )(A)16cm或6cm, (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm随堂练习三、课堂小结1．本节课我们探索了圆的对称性．2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理．3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．四、课后作业1．课本习题P93 1、2；2．复习本堂课内容。
5.2 圆的对称性 第二课时 课件(苏科版九年级上)
O
D B
E
C
练习2:在⊙O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= 求圆O的半径。
10 ㎝
，
O
D A B
C
小结：
1：圆是轴对称图形
2：垂径定理及其运用
1、如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点， ①则OP的求值范围是 3≤OP≤5 。 ②使线段OP的长度为整数值的P点
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
A
E
O
B
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的 弦AB，求点O与AB的距离。 变式2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的 距离为3 ㎝，求AB的长。
E
练习1 ：如图，⊙O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
O
求证：PC＝PD， ∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ ． BC=BD ,AC=AD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ BC=BD ; AC=AD C
P B
D
总结归纳
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
位置有 5 个。
O
1 C p2 B A pP
注意圆的轴对称性
思考题:
2、如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的、某居民区一处圆形下水管道破裂，修理 人员准备更换一段新管道．如图所示，污 水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离 为10cm，问修理人员应准备半径多大的管 道？
苏科版数学九年级上册：圆的对称性课件
课外思考
如图,在同圆中,若AB＝2CD,则AB与2CD的大小
关系是(
)．
A．AB＞2CD
C． AB＝2CD
B．AB＜2CD D．不能确定
A
C
D O
B
这两个圆中还有哪些相等的量？
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦相等.
符号语言：
在它思的两同们考弧个圆所：相圆或对在等心等的同角，圆弦圆相那中相或等么，等等吗它如，圆？们果它中所为两们，对什条所如的么弧对果弦？相的圆相等圆心等，心角吗那角所？么相这对等. 符号语言：
在它思的两同们考弦个圆所：相圆或对在等心等的同角，圆圆圆相那中心或等么，角等吗它如相圆？们果等中所为两，，对什条它如的么弦们果弧？相 所圆相等对心等，的角吗那弧所？么相这对等 符号语言：
O
若∠ABC与∠BAC,
A
B
则∠AOC=∠BOC吗？
C
如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB=CD， 试说明∠AOC=∠BOD.
O A
C
D B
问题2.△AOB中，∠A=∠B，⊙O与OA交于点C， 与OB交于点D，与AB将于点E、F． （1）求证： 弧CE＝ 弧DF； （2）写出图中所有相等的线段（不要求证 明）．
为什么？
A
O
B
C
5、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D 在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且 AE=BF，AC与BD相等吗？为什么？
C
D
O
A
E
F
B
1的圆心角
O
n的圆心角
C
1的弧
D
B
A
n的弧
n的圆心角对着n的弧， n的弧对着n的圆心角。
苏科版初三课件2.2 圆的对称性 (2)
2.2 圆的对称性（2）
知识应用
1． 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点 E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．
2.2 圆的对称性（2）
拓展延伸
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， 弧 AC与弧BD相等吗？为什么？
2.2 圆的对称性（2）
变式一
若⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且AB ＝48 cm，CD＝40 cm，求AB、CD之间的距 离．
结论：AM=BM A⌒D=B⌒D A⌒C=⌒BC
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例1．如图，以点O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD 相等吗？为什么？
AC
O
P
DB
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例2． 如图，已知在⊙O中，弦AB的长 为8厘米，圆心O到AB的距离为直径是50cm，弦AB∥CD，且AB＝48 cm， CD＝40 cm，求AB、CD之间的距离．
如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°， 点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合） OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝6时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如
果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说 明理由；
2.2 圆的对称性（2）
课堂总结
通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？
2.2 圆的对称性（2）
课后作业
课本P49 的5，6，7, 8.
2.2 圆的对称性（2）
初中数学 九年级(上册)
2.2 圆的对称性 （2）
初三数学组
2.2 圆的对称性（2）
操作一
在纸上画⊙O，并画出它的任意一条直径， 将⊙O沿这条直径折叠，折痕两旁的部分重合 吗？
圆的对称性课件苏科版数学九年级上册
练习
练习
3.如图，在△ABC中，∠C90°，∠B=28°以点C为圆 心，CA为半径的圆交AB于 点D，交BC于点E。求AD、 DE的度数。
练习
解:如图,连接 CD. ∵以点 C 为圆心,CA 为半径的圆交AB 于点D,.. ∴CA=CD ∴∠A=∠ADC， ∵∠ACB=90°,∠B=28° ∴∠ADC=∠A=62°.
习题
习题
*6.如图，过⊙O内一点P画弦AB，使P是AB的中点. 解:如图,连接OP,过点 P 作弦 AB⊥OP,则P是AB 的中点.
习题
*7.如图，AB、AC是过⊙O 的两条弦，且AB⊥AC， AB=8，AC=6。求⊙O的半 径，
习题
习题
习题
*8.在直径为650mm的圆柱 形油罐内装进一些油后， 其横截面如图。若油面宽 AB=600mm，求油的最大 深度。
练习
2.(1)下列图形中，哪些是轴对称图形?哪些是中心对称 图形?如果是轴对称图形，指出它的对称轴:如果是中心 对称图形，指出它的对称中心
练习
图①是轴对称图形,直径 CD 所在直线为对称轴;图②无 对称性;图③是中心对称图形，圆心 O是对称中心;图④ 既是轴对称图形，又是中心对称图形,过点 O 且分别垂 直于弦AB，AD 的直线是它的对称轴,圆心 O 是它的对 称中心;图⑤既是轴对称图形,又是中心对称图形,过圆心 O的任意一条直线都是它的对称轴,圆心O 是它的对称中 心
练习
(2)当图O中的弦AB为直径(AB与CD互相垂直的条件不 变)时，图形具有怎样的对称性? 当图①中的弦AB 为直径(AB 与CD 相互垂直的条件不变) 时,它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
练习
(3)当图②中的点B在⊙O上运动到什么位置时，图形成 为轴对称图形? 当图②中的点 B 在⊙O 上运动到使弦AB 等于弦AC 时, 图形成为轴对称图形.
5.2圆的对称性(二)
1 2
2
a
d2
R2
变式3：在半径为5㎝的⊙O 总常结用：的已辅知助四线个：量中
中,弦AB=8cm,OE⊥AB于E交 的①任作意半两径个②量过，圆总心可作
⊙O于F,求EF的长.
以弦求的出垂其线余（两段个）量.
已知a、r，求h
例题导学
例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为 AC和BD有什么关系？为什么？ 解：AC=BD
E O
•
D
2、 在⊙O中弦CD＝24，圆心O到
弦CD的距离为5,则⊙O的直径是 C
•o
EF
D
___2_6___
A
3、 若AB为⊙O的直径，弦
CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,
D
O• E
则CD＝___1_6___
C
B
如B⌒图D相，等AB吗、？C为D什是么⊙？O的两条平行弦，A⌒C与
解：AC = BD
A
Dx
B
设CD=xcm,则AO=OC=(x+4)cm
10 C
在Rt△AOD中，AD2 OA2 OD2 (x 4）2 42
在Rt△ACD中，AD2 AC2 CD2
2
10 x2
(x 4）2 42
2
10 x2
x1 1, x2 5(舍去) OC 5cm
∵ OE⊥AB
∴ AB=2AE=8cm
大刀阔斧
变式3：在半径为5㎝的⊙O中，弦AB=8cm，
OE⊥AB于E交⊙O于F，求EF的长.
解：连接OA,则OA=5cm
5.2圆的对称性 课件4(数学苏科版九年级上册)
B ）
(D) 不 能 确 定
A C
B
O
D
如果AB=2CD,那么弧AB与2倍的弧CD有什么关系？
5.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦 ⌒ CE∥AB, CE的度数为40°.求 ∠AOC的度数.
D B
O E A
C
课后小结：
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2.在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。
B
D
E
A
C
练习：
1.如 图 ， 在
C D O
O中 ， AC =BD ， AOB=50， 求 COD的 度 数 。 A
B A
O B C
2.如 图 ， 在
O中 ， AB =AC， A=40， 求 ABC的 度 数 。
3.如 图 ， 在 同 圆 中 ， 若 （ A） AB ＞ 2 CD
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
[来源:学_科_网]
A
A’
O
B
O’
B’
例1.如图,AB、AC、BC都是⊙O的弦， 若∠AOC=∠BOC ,则∠ABC与∠BAC 相等吗？为什么？
解 ： ABC= BAC
∵ AOC= BOC
O
AC=BC
ABC= BAC
A C B
︵
例2.已知：如图，AB是⊙O的直径， 点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E， ⌒ ⌒ DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD 相等吗？为什么？
AOB=2 COD， 则 AB与 2 CD的 大 小 关 系 是 （ (B) AB ＜ 2 CD (C) AB＝ 2 CD (D) 不 能 确 定
2.2 第2课时 圆的轴对称性-2020秋苏科版九年级数学上册课件(共19张PPT)
A.13寸
B.20寸
C.26寸
D.28寸
随堂练习
4.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象
限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的
半径为13，则点P的坐标为__(3_,_2_)___.
随堂练习
5.如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动， 则OP的最小值是____3____.
第2章 对称图形—圆
2.2 圆的对称性
第2课时 圆的轴对称性
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.圆的轴对称性 2.垂径定理
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
新知导入
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它们的规律。
课程讲授
1 圆的轴对称性
问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？你 能证明你的结论吗？
) ) ) )
课程讲授
2 垂径定理
证明 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上
的弦，AB⊥CD，垂足为CD中，
∵OC=OD，OP⊥CD
∴PC=PD,∠BOC=∠BOD ∴∠AOC=∠AOD BC BD,AC AD.
A
O
P
D
B
课程讲授
2 垂径定理
从上面的证明过程中我们可以知道：
课程讲授
1 圆的轴对称性
O
O
O
归纳：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是圆的对称轴.
课程讲授
2 垂径定理
问题1 请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的 弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．在所 画图中有哪些相等的线段、相等的弧？
苏科版九上数学课件2-2圆的对称性(2)
O
求半径OC的长。
A
D
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4㎝，弦AC=㎝， 10 求圆O的半径。
C E O
A
D
B
C
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
A
●M B
●O
小结：
1：圆是轴对称图形
2：垂径定理及其运用
思考题:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E，∠CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
九年级数学(上)第五章 圆
•5.2.圆的对称性(2)
学习目标：
1：理解圆是轴对称图形。
2：掌握垂径定理，并能灵活运用。
复习
如图，如AB=CD则（）如
⌒⌒
AB=CD
则（）
如∠AOB=∠COD则（）
D
O
C
A
B
基本图形：
C
A
B
M└
●O
D
例1已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点，AC与BD相等吗？ 为什么？
A
D
E C
O
B
O.
A C 弦AB的长为8㎝， 圆心O到AB的距离为3㎝，求圆O的半径。
AE
B
O
变式1:在半径为5㎝的圆O中，有长8㎝的 弦AB，求点O与AB的距离。
2：在半径为5㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离 为3㎝，求AB的长。
E
练1：如图，
圆O的弦AB＝8㎝，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
2.2 圆的对称性 课件 苏科版数学九年级上册(40张PPT)
解：如图2.2-9，连接OC. ∵ CD⊥AB，
感悟新知
∴ CH＝DH＝12CD＝12×8＝4(垂直于弦的直径平分弦). 又∵ OC＝12AB＝12×10＝5， ∴在Rt△OCH中，利用勾股定理，得 OH＝ OC2－CH2＝ 52－42＝3.
方法提醒
感悟新知
利用垂径定理求线段的长的方法： 垂径定理是解决圆中的计算、证明问题常用 的知识， 求线段长时，一般利用半径、圆心到 弦的垂线段、弦的一半构造直角三角形，运用 勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理” 求解．
感悟新知
例 3 [模拟·武汉] 如图2.2-5，A、B、C、D是⊙O上四点， 且AB＝CD. 求证：AD＝BC. 解题秘方：由圆心角、弧、弦之间的 关系定理的推论证明 A⌒D＝B⌒C即可解决 问题．
感悟新知
证明：∵ AB＝CD，∴ A⌒B＝C⌒D . ∴ A⌒C＋B⌒C ＝A⌒C＋A⌒D . ∴ A⌒D＝B⌒C . ∴ AD＝BC.
解题秘方：紧扣圆的旋转不变性，结合旋转中心O确定 旋转角．
解：因为圆心O为旋转中心，旋转后的图形与原图形重 合，所以∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝360°÷3＝ 120°．所以旋转角可以为120°． 答案：D
感悟新知
特别提醒
在圆的许多性质中，圆的对称性(轴对称、 中心对称及旋转不变性)是最基本的性质．此题 利用性质时要结合图形，易误得旋转角度是 60°．
感悟新知
例 6 [模拟·泰州] 如图2.2-10， 在△ABC中，AB＝5， AC＝4，BC＝2，以点A为圆心，AB 长为半径作 ⊙A，延长BC交⊙A于点D， 则CD 的长为( ) A. 5 B. 4
C.
9 2
D. 2 5
感悟新知
解题秘方：连接AD，过点A作AE⊥BD于E，利用同圆 的半径相等可得AD＝AB＝5，利用垂径定理可知DE＝ BE，得CE＝DE－2，再利用勾股定理构建方程可求DE 的长，进而可得CD的长.
圆的对称性课件苏科版九年级数学上册(完整版)2
·O
即△AOB是等腰三角形.
∵P是AB的中点，即AP=BP， ∴AB⊥CD.
A
P C
B
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
=B⌒D（. 垂径定理）
2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，A⌒C =B⌒C,
求证：CD垂直平分AB.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
系是否依然成立？为什么？
A
B
C
D
O·
O ·′
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如 果∠AOB=∠COD，那么，AB⌒=C⌒D，弦AB=弦CD.
弧、弦与圆心角的关系定理
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所
对的弦也相等.
①∠AOB=∠COD CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
由此易得 A⌒D =B⌒D.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AP=BP,
A⌒C =B⌒C,
⌒⌒ AD =BD.
·O
AP B D
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为 什么？
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为CD
没有过圆心
➢垂径定理的几个基本图形：
C A
O
O
A
EB
D
A
DB
E
B D O
A C
O CB
5.2圆的对称性1
{AB=A′B′
A B =A′B′
2.
A B =A′B′
{
AB=A′B′
∠AOB=∠A′O′B′
3.
AB=A′B′
{
A B =A′B′ ∠AOB=∠A′O′B′
1的 圆 心 角
C D
1的 弧
O
n 的 圆 心 角
B A
n 的 弧
的 弧 ，n 的 弧 对 着 n 的 圆 心 角 。
B ）
(D) 不 能 确 定
A C
B
O
D
总 结
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2.在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。
3. 圆 心 角 的 度 数 与 它 所 对 的 弧 的 度 数 相 等 。
回顾总结
通过本课的学习，你又有 什么收获？
n 的 圆 心 角 对 着 n
圆 心 角 的 度 数 与 它 所 对 的 弧 的 度 数 相 等 。
典型例题
例 1： 如 图 在 ABC 中 ， C=90， B=28， 以 C为 圆 心 ， 以 CA为 半 径 的 圆 交 AB于 点 D， 交 BC于 点 E， 求 AD， DE的 度 数 。
B
解：连接CD
∵∠C=90°,∠B=28° ∴∠A=62°
又∵CA=CD ∴∠ACD=56° ∴∠BCD=34° ∴ A D、 D E
D
E
的度数
A
C
分别为56°，34°
例 2： 如 图 ,AB,AC,BC 都 是 O的 弦 ， AOC= BOC， ABC与 BAC相 等 吗 ？ 为 什 么 ？
5.2圆的对称性(二)
九年级数学§5.2 圆的对称性（二）班级 姓名 学号 学习目标1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设（1）什么是轴对称图形？（2）如何验证一个图形是轴对称图形？ 二、探究学习 1.尝试（1） 在圆形纸片上任意画一条直径.（2） 沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： _______________________________________________________________. 2.探索如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ；将圆形纸片沿AB 对折.通过折叠活动，你发现了什么？__________________________________________________________________. 请试一试证明！ 3.总结垂径定理：_________________________________________________________。
4.典型例题例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？例2.如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。
（1）求的半径；（2）若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
5.巩固练习（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
① ② ③④ ⑤DDBB（2）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.（3）如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.（4）如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？（5）在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度.（6）设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结1．圆的轴对称性及有关性质.2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.【课后作业】班级 姓名 学号1． 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____ 2．如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有AM=_____， _____= ， ____= ．3. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.4. ⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___5. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 cm.6.已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．7.已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。
2.2圆的对称性(2)-苏科版九年级数学上册课件
CD过圆心O CD⊥AB
AC=BC
AD=BD
A
两个条件缺一不可
判断:
1.经过圆心的直线平分弦. （ ×） 2.垂直于弦的直线平分弦 .（ ×）
C
O
E
B
D CC
AA┏EE OO DD
BB
例1.已知：如图,在以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两 点.AC与BD相等吗?为什么?
O
AC E DB
A
AE=BE， AC=BC AD=BD
O
E
B
D
将一圆形纸片对折后,你发现了什么结论?
圆是轴对称图形, 经过圆心的任意一 条直线都是它的对称轴.
当弦AB垂直于直径 CD时，将纸片沿CD对 折,你发现了什么？
AE=BE， AC=BC AD=BD
A
C
O
E
B
D
已知: 在⊙O中，CD是直径，
C
AB是弦，CD⊥AB于E.
②
O
求证: AE=BE，AC=BC
AD=BD
垂径定理:
A
E
B
D
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦
所对的两条弧.
垂直于弦的直径 C
符号语言：
AE=BE
CD是过直圆径心O
O
CD⊥AB于E
AC=BC
AD=BD A
E
B
D
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
符号语言：
AE=BE
例2.如图，已知：在⊙O中，弦AB的 长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm. 求⊙O的半径.
O 53 A 4E B
常用辅助线:过圆心作弦的垂线段
5.2圆的对称性(2)教学案+课堂作业(南沙初中九年级上)
南沙初中初三数学教学案教学内容：5.2圆的对称性 (2)课型：新授课学生姓名：______ 教学目标：1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3、能初步应用垂径定理进行计算和证明．4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．教学重点：垂径定理及应用．教学难点：垂径定理的证明教学过程：一、知识回顾1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。
2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
二、操作与探索提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆也是_________图形，___________________________它的对称轴。
三、探究与思考1.判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
2.(1) 将第一个图中的弦AB改为直径（AB与CD相互垂直的条件不变），结果如何？(2)将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？3、思考：如何确定圆形纸片的圆心？四、尝试与交流1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折。
通过折叠活动，我们可以发现：___________________________。
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理:____________________________________________________.4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、几何语言:五、例题解析例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？例2、如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。
《42 圆的对称性》课件 (苏科版九年级上)
AOB=A’O’B’
AB=A’B’ AB = A’B’
2.
AB = A’B’
AB=A’B’ AOB=A’O’B’
AB = A’B’ AOB=A’O’B’
3.
AB=A’B’
练习：
1.如图 ，在 O中，AC =BD ，AOB=50，求COD的度 数。 A C B D A O O
2.在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。
3. 圆心 角的度数 与它所对 的弧的度 数相等。
布置作业：P115页
第4题
A C
B
O
D
1的圆心 角
C D
1的弧
O
n的圆心 角
B A
n的弧
n的圆 心角对着 n 的弧 ， n的弧 对着n 的圆 心角。
圆心 角的度数 与它所对 的弧的度 数相等。
例1：如图 在 ABC中，C=90，B=28，以C为圆 心， 以CA为半 径的圆交 AB于点 D，交BC于点 E， 求 AD，DE的度 数。
B C
2.如图，在
O中，AB =AC，A=40，求ABC的度数。
3.如图，在同圆 中，若 AOB=2COD，则AB与2CD的大小 关系是（ （A）AB ＞2CD (B) AB ＜2CD (C) AB＝2CD (D) 不能确 定
C）
A
C O D
B
4.在同圆 中，若 AB=2CD，则AB与2CD的大小 关系是（ B ） （A）AB＞2CD (B)AB ＜2CD (C) AB＝2CD (D) 不能确 定
A
A’
O
B
O’
B’
AOB=A’O’B’
九上数学课件 圆的对称性(课件)
则AC与AE的大小关
系是 AC=AE .
C
D B
O
2.如图，在△ABC中，
∠C=90°，∠A=25°，以点C
为圆心，BC为半径的圆交
AB于点D，交AC于点E，
则弧BD度数5为0°
.
B D
C
EA
能力提升： 我们已经知道在⊙O中，如果2∠AOB=∠COD，则 C⌒D=2A⌒B，那么CD=2AB也成立吗？若成立，请说明 理由；若不成立，那它们之间的关系又是什么？
B D OC A
知 一 推 三
1.判断题 （1）等弦所对的弧相等.
（× ）
（2）等弧所对的弦相等.
（√ ）
（3）圆心角相等，所对的弦相等. ( × )
2.弦长等于半径的弦所对的 圆心角等于 60 ° .
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果 两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分 别相等．
( ( ( (
( (
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么_A_B_=__C_D___，∠__A_O_B__=_∠__C_O_D_． （2）如果AB=CD ，那么_A_B__=_C_D___，∠_A_O__B_=_∠__C_O__D__．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么__A__B_=__C_D___，A__B_=_C__D___．
2AB＞CD
AB C
O
E
D
如图，已知⊙O与△ABC三
A
边均相交，在三边上截得的
D
H
线段DE＝FG＝HK，∠A＝ 50°，则∠BOC的度数
N
Q
O E
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A
B
O
垂径定理和勾股定理相结合，构 造直角三角形，把圆的问题化归 并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接ＯＡ 为直线形问题解决。
解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ，
Ｆ
60cm 10cm
A
A
O
B
Ｅ
O
B
R 30 ( R 10)
2 2
2
作垂径，连半径，构造 ＣＤ＝８０cm 思考: 在例2中,我们已计算出⊙Ｏ的半 直角三角形 Ａ Ｂ F 径Ｒ＝５０cm,如果水面宽度由 60cm 变 E Ｄ Ｃ 注意圆的对称性 为80cm,那么污水面下降了多少 cm? 两弦在圆 O ·
A
A
PC＝PD;
O C B P D
O C (D) P B
⌒ ⌒ AC=AD; ⌒ ⌒ BC=BD
垂径定理：垂直于弦的直径平分这
条弦，且平分弦所对的两条弧．
证明：连接ＯＣ、ＯＤ．
已知：在⊙Ｏ中，ＡＢ是直径， ∵ＯＣ＝ＯＤ，ＯＰ⊥ＣＤ， ＣＤ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ垂足为Ｐ。 ． ∴ＣＰ＝ＤＰ，∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ A
位置有 5 个。
O
1 C p2 B A pP
注意圆的轴对称性
思考题:
2、如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D O
E
C
B
3、某居民区一处圆形下水管道破裂，修理 人员准备更换一段新管道．如图所示，污 水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离 为10cm，问修理人员应准备半径多大的管 道？
O
求证：PC＝PD， ∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ ． BC=BD ,AC=AD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ BC=BD ; AC=AD C
P B
D
总结归纳
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
A
O
D B
E
C
练习2:在⊙O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= 求圆O的半径。
10 ㎝
，
O
D A B
C
小结：
1：圆是轴对称图形
2：垂径定理及其运用
1、如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点， ①则OP的求值范围是 3≤OP≤5 。 ②使线段OP的长度为整数值的P点
九年级 数学上册 （苏科版）
圆的对称性（2）
复 习
如图，若AB=CD，则 ⌒ ⌒ 若AB=CD ，则
若∠AOB= ∠COD，则 D O B C
A
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
如图，CD是⊙O的弦，画直 径AB⊥CD，垂足为P；将圆形 纸片沿AB对折.通过折叠活动，你发 现了哪些相等的线段和相等的弧？
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
CD平分弦AB 结论 CD平分弧A B
D
条件
CD为直径 CD⊥AB
CD平分弧ADB
例题解析
例1 已知：如图，在以O为圆心的两个 同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D 两点，AC与BD相等吗？为什么？
O A
.
C
P
ห้องสมุดไป่ตู้
D
B
基本图形：
C
A
M└
●
B O
D
例题解析
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
A
E
O
B
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的 弦AB，求点O与AB的距离。 变式2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的 距离为3 ㎝，求AB的长。
E
练习1 ：如图，⊙O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
心同旁
60cm 10cm
Ａ F Ｂ
Ｒ＝５０cm；
C C
A O
B
D
O ·
D
Ｃ
Ｄ
E
两弦在圆 心两旁