函数的上下限极限及应用
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限和连续性是微积分学中非常重要的概念，它们在数学和科学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是用来描述函数在某一点上的变化趋势的概念。
在数学中，我们通常用极限来研究函数的性质和行为。
1.1 定义设函数 f(x) 在某一点 a 的某一个邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，都存在另一个正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε成立，那么我们就称函数 f(x) 在点 a 处的极限为 L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
1.2 性质函数的极限具有一些特性，如唯一性、局部有界性、保号性等。
这些性质使得我们可以通过极限来推导函数的一些重要性质。
1.3 应用函数的极限在微积分、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的极限来描述在某一瞬间的速度、加速度等物理量的变化情况。
二、函数的连续性连续性是函数在某一点上无间断变化的特性。
一个函数若在其定义域上的任意一点都满足连续性，则称该函数为连续函数。
2.1 定义设函数 f(x) 在点 a 处有定义，如果满足以下三个条件：1) f(a) 存在；2) lim┬(x→a)〖f(x) exists〗；3) lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗；那么我们就称函数 f(x) 在点 a 处连续。
2.2 性质连续函数具有一些重要的性质，如连续函数的局部保号性、介值性等。
这些性质使得我们可以通过连续函数来解决一些实际问题。
2.3 应用函数的连续性在经济学、物理学、统计学等领域中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过连续函数来描述市场价格的变化情况。
三、函数的极限与连续性的关系函数的极限和连续性是紧密相关的。
在微积分学中，我们通常使用函数的极限来研究函数的连续性。
数列、函数上下极限的性质及其应用文献综述
文献综述数列、函数上下极限的性质及其应用一、前言部分极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。
借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确.极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、… 、直至562⨯(192)边形的面积。
他利用公式22n n r l s n ⋅=⋅(n l 为内接正n 边形的边长，2n s 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。
高考数学中的函数与极限的概念及应用
高考数学中的函数与极限的概念及应用作为高中数学的重要组成部分，函数与极限是每位学生都需要认真学习掌握的内容。
在高考中，函数与极限相关的考点占据了相当大的比重。
同时，函数与极限在生活中也有着广泛的应用。
因此，深入了解函数与极限的概念及应用至关重要。
1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，通常用y=f(x)表示。
其中，y称为函数值，x 称为自变量，f表示函数的具体规则。
函数的定义域是所有自变量的取值范围，而值域是所有函数值的可能取值范围。
函数的图像是一条曲线，它反映了函数关系的特征和规律。
不同类型的函数图像也不同，如线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线等等。
函数可以用于描述各种现象和问题，如人口增长、温度变化、物理过程等。
同时，在计算中也有广泛的应用，如积分、微分、统计等。
因此，学好函数是数学学习的基础。
2. 极限的基本概念极限是函数中的一个重要概念，它可以描述函数在某个点附近的趋势和变化。
通常用lim f(x)=L表示。
其中，x→a表示x无限靠近a，L表示函数在该点的极限值。
极限可以分为左极限和右极限，分别表示x在a点左侧和右侧时的极限值。
如果左右极限相等，则称函数在该点连续。
否则，函数在该点不连续。
函数的极限可以用于求导、积分等计算中。
同时，在物理、工程、金融等领域中也有广泛的应用，如电路设计、结构分析、投资决策等。
3. 函数与极限的常见应用函数与极限在生活中也有很多应用。
以下是其中几个常见的例子：（1）电路设计电路是由各种电器元件组成的，它们之间的关系可以用函数表示。
例如，电流与电阻的关系可以表达为I=V/R，其中I表示电流，V表示电压，R表示电阻。
此外，电路的稳定性和效率等方面也与函数和极限有关。
（2）结构分析建筑、桥梁、机器等结构体的稳定性和安全性需要进行分析。
如果结构体在某个位置的压力过大，就会发生破坏。
此时，可以用函数和极限分析结构体的应力分布，找出破坏点，并改进结构以提高稳定性。
函数极限的求法及应用
函数极限的求法及应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（函数极限的求法及应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数极限的求法及应用摘要:在数学分析中函数极限的运算是最基本的运算之一。
本文结合不同类型的函数极限的实例，给出了九种求法，同时也注明了具体应用时的注意事项。
关键词：函数极限； 数学分析； 求法The Limit of Function Asks The Law and The ApplicationAbstract: In the mathematical analysis limit of function’s operation is one ofmost basic operations 。
This article unifies the different type the limit of function example, gave nine kinds to ask the law ， and simultaneously has also indicated time the concrete application matters needing attention 。
Key words: Limit of function ； Mathematical analysis ； Solve引言函数极限问题贯穿于整个数学分析中,由此可见函数极限是数学分析中最基本、最重要的内容之一。
求解函数极限的方法有带入求值法、利用两个重要极限、利用迫敛性定理、罗比达法则，而且也会运用一些特殊的方法求解函数极限。
高中数学函数极限的概念及相关题目解析
高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中，函数极限是一个重要的概念。
它不仅在高中数学中占有重要地位，而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。
理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。
本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解，帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。
一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于无穷大或者某个特定值a时，如果存在一个常数L，使得当x趋于无穷大或者a时，f(x)趋于L，那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。
二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 函数极限的有界性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是有界的。
3. 函数极限的保号性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于（或小于）0，那么它的函数值在某个邻域内都大于（或小于）0。
三、函数极限的计算方法在计算函数极限时，我们常常会遇到一些特殊的极限形式，如0/0、无穷大/无穷大等。
下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。
例题1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：当x趋于0时，sinx/x的极限形式为0/0，这是一个不定型。
我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。
首先，我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...，那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，高次项的幂都趋于0，因此我们只需要保留x的一次幂的项，即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。
例题2：计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。
解析：当x趋于无穷大时，x/(x+1)的极限形式为∞/∞，这也是一个不定型。
函数极限的性质及应用
函数极限的性质及应用函数极限的性质及应用是微积分中的重要概念，对于理解和应用微积分的原理和方法具有重要意义。
本文将从定义、性质以及应用几个方面来详细阐述函数极限的性质及应用，并且将针对每个性质和应用给出具体的例子来加深理解。
首先，我们来看一下函数极限的定义。
给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一常数a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数b，则称函数f(x)在x趋近于a的过程中极限是b，记为lim[x→a]f(x)=b。
这个定义的核心思想是通过自变量趋近于某个常数来确定函数的极限，也就是自变量x的取值越靠近a，函数值f(x)越靠近b。
接下来我们来看一下函数极限的性质。
函数极限具有以下几个性质：1. 唯一性：如果函数在x趋近于a的过程中有极限，那么这个极限是唯一的。
也就是说，当x趋近于a时，函数值只会无限接近于一个确定的常数。
2. 有界性：如果函数在x趋近于a的过程中有极限，那么这个极限函数值将是有界的。
也就是说，当x趋近于a时，函数值的取值范围将在一个有限的区间内。
3. 保号性：如果函数在x趋近于a的过程中有极限且极限值不为零，那么函数值在x趋近于a的某一侧将保持与极限值的符号一致。
也就是说，当x趋近于a 时，函数值的符号将与极限值的符号一致。
4. 代数运算性质：函数极限具有一系列的代数运算性质，包括四则运算、复合运算以及连续运算。
这些性质使得我们在计算函数极限时可以借助各种代数运算的规则来简化计算过程。
接下来我们来看一下函数极限的应用。
函数极限的应用非常广泛，下面主要列举几个常见的应用：1. 确定函数收敛性：通过求解函数极限来判断函数是否收敛，也就是函数是否在某个点处存在有限的极限。
这在研究函数的行为和性质时非常重要。
2. 求解无穷大和无穷小：通过求解函数在某个点处的极限来确定函数的无穷大和无穷小行为。
这在研究函数的渐近线和渐近行为时非常有用。
3. 求解导数：通过函数极限的定义和性质，可以推导出求解导数的方法。
函数的极限性质及计算方法
函数的极限性质及计算方法函数的极限性质是微积分学中的重要内容，它描述了函数在特定条件下趋向于某个确定值的特点。
通过研究极限性质，我们可以深入理解函数的行为，并进一步应用于微积分的相关计算中。
本文将介绍函数的极限性质及其计算方法。
1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限表示为lim┬(x→a)〖f(x)。
如果对于任意给定的ε>0〗，存在对应的δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
其中L为常数，表示函数f(x)在x=a处的极限值。
2. 极限的性质函数极限具有以下性质：- 唯一性：函数的极限值唯一，即lim┬(x→a)〖f(x)〗唯一存在。
- 局部性：如果lim┬(x→a)〖f(x)〗存在，那么f(x)在点x=a的某个足够小的邻域内都接近于lim┬(x→a)〖f(x)〗。
- 保号性：如果lim┬(x→a)〖f(x)〗=L且L>0，则存在点x=a的某个足够小的邻域，使得f(x)>0。
- 四则运算性质：设lim┬(x→a)〖f(x)〗=A，lim┬(x→a)〖g(x)〗=B，那么lim┬(x→a)〖(f(x)±g(x))〗=A±B，lim┬(x→a)〖(f(x)·g(x))〗=A·B，lim┬(x→a)〖(f(x)/g(x))〗=A/B（若B≠0）。
3. 常见函数的极限计算方法- 多项式函数的极限：对于多项式函数f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，当x→a时，lim┬(x→a)〖f(x)〗=f(a)。
- 有理函数的极限：对于有理函数f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数，当x→a时，如果q(a)≠0，则lim┬(x→a)〖f(x)〗=p(a)/q(a)。
- 指数函数与对数函数的极限：当x→∞时，lim┬(x→∞)〖a^x=∞〗，lim┬(x→∞)〖logₐx=∞〗。
极限存在的相关定理及应用
极限存在的相关定理及应用极限是微积分里常常涉及的概念，可以用来描述一个函数在某个数轴上的趋势，也可以用来计算一些与函数相关的重要数值。
在数学领域里，有许多与极限存在相关的定理和应用。
下面我们就来详细了解一下这些定理和应用。
一、极限的基本定义在介绍极限存在的相关定理和应用之前，我们先来回顾一下极限的基本定义。
我们可以用“趋于”和“无限接近”的概念来描述极限。
更准确地说，当一个函数f(x)在x趋近于a的过程中，其对应的y值无限接近于某个数L，那么这个数L就是f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim f(x) = L(x→a)其中，lim表示“极限”，f(x)表示函数，a表示在哪个点求极限，而L表示函数f(x)在x趋近于a时的极限值。
如果这个极限存在，我们说函数f(x)在x趋近于a时有极限，否则我们则称它没有极限。
二、中值定理中值定理是微积分学的基础理论之一，也是极限存在的重要应用之一。
中值定理的基本思想是，对于一个连续函数f(x)，如果在一个区间[a,b]上连续且在(a,b)内可导，那么必然存在一个点c，其在[a,b]内，且：f′(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中，f′(c)表示函数f(x)在点c处的导数，(f(b) - f(a)) / (b - a)表示f(x)在[a,b]上的平均斜率。
中值定理在实际应用中非常广泛，可以用来求解一些关于极值点和拐点等数学问题。
三、极值定理极值定理是微积分学的核心内容之一，用来描述函数在某一段区间内的最大值和最小值。
如果一个函数f(x)在某个点x0处极大（或极小），则其一定是导数f′(x)在x0处等于0的点。
这个结论可以 expressed as：如果f(x)在x0处可导且f′(x0) = 0，则x0是f(x)的极值点。
要注意的是，虽然极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点却不一定是极值点，比如在一些情况下，f′(x)在x0处等于0时，函数f(x)既不是极大值也不是极小值。
函数与极限的关系
函数与极限的关系函数与极限的关系函数和极限是数学中常见的两个概念，二者之间有着密不可分的关系。
下面将从函数与极限的定义、性质和应用等方面探讨二者之间的关系。
一、函数与极限的定义函数是一种对应关系，将某个集合内的元素映射到另一个集合内的元素上，通常表示为f(x)。
极限是数列或函数在一定条件下趋近于某个值的过程，通常表示为lim。
因此，函数和极限的定义从本质上讲是不同的，但是二者之间的密切联系充分说明了它们存在着关联。
二、函数与极限的性质1. 函数的极限是唯一的。
如果一个函数存在极限，则它的极限是唯一的。
这是因为，如果存在两个不同的极限，那么这个函数就不能满足极限的定义，即在任何充分接近极限的情况下，函数都会以这个极限为界限，这显然是不符合数学规律的。
2. 函数的极限可以通过夹逼定理求解。
如果一个函数的上限和下限趋近于同一个值，那么这个函数的极限就可以通过夹逼定理求解。
这个定理在计算数列或函数的极限时是非常有用的。
3. 函数的连续性与极限的存在性相关。
一个函数在某个点是连续的，如果该点的极限存在。
反之，如果该点的极限不存在，那么即使该函数在该点处有定义，它也不具有连续性。
三、函数与极限的应用函数和极限是各种数学应用的基础，尤其在微积分学中，它们发挥着重要作用。
1. 在微积分中，函数的极限用于计算导数和定积分；2. 函数的极限也用于计算曲线的斜率，从而帮助我们理解曲线的性质；3. 函数的极限还可以用于计算不定积分，以求得一定区间内的面积或体积。
综上所述，函数和极限有着密切的关联，相互促进，非常重要。
通过学习和掌握函数和极限的基本概念、性质和应用，我们可以更好地理解和掌握微积分学以及其他相关数学学科。
上、下极限的性质与应用
毕业论文题目上、下极限的性质与应用学生姓名王丹丹学号 **********所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学数教1101班指导教师洪洁 __ ____ _ 完成地点陕西理工学院 _ __2015年6月10日上、下极限的性质与应用王丹丹（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西 汉中 723000）指导教师:洪洁[摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用.[关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性1 引言极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1]是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨.2 上、下极限的概念2.1 数列的上、下极限的概念定义2.1.1[5] 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.定义2.1.2[6] 设{}n x 是有界数列,若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.注 数列{}n x 的上极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤.同样,下极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.（3）若{}k n x 是{}n x 的子列,则lim lim k n n n n x x →∞→∞≤ , lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.利用这些,可以将上、下极限的问题,通过选子列的方法解决.定义2.1.3[7] limsup{}k n k n x a →∞≥=称为数列{}n x 的上极限,liminf{}k n k nx b →∞≥=称为数列{}n x 的下极限.注 由于定义2.1.2 设{}n x 是有界数列,下面讨论关于定义2.1.1-2.1.3数列{}n x 无界的情况: （1）数列{}n x 有下界而无上界按定义2.1.1,扩充聚点也可为-∞,+∞,显然,数列{}n x 的最大聚点为+∞,而最小聚点可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.2, -∞,+∞可为极限点,显然,数列{}n x 所有收敛子列的极限组成数集的上确界为+∞,而其下确界可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.3,显然lim n n x →∞=+∞,而inf{}n n kx >单调增加,但可能没有上界,故lim n n x →∞可能为有限数,可能为+∞.（2）数列{}n x 有上界而无下界,同上.（3）数列{}n x 既无上界又无下界,此时按定义2.1.1,定义2.1.2,定义2.1.3,都有lim n n x →∞=+∞,lim n n x →∞=-∞.据上,对无界数列情形,以上三种定义也等价. 定义2.1.4[8] ()1inf sup{}1,2,3k n k nx k ≥≥=称为数列{}n x 的上极限,1supinf{}k k nn x ≥≥称为数列{}n x 的下极限.定义2.1.5[9] 设a 是一个实数（1）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x a ε>-,同时至多有有限个n 使得n x a ε>+,数a 称为数列{}n x 的上极限,记作lim n n x a →∞=.（2）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x b ε<+,同时至多有有限个n 使得n x b ε<-,数b 称为数列{}n x 的下极限,记作lim n n x b →∞=.注1 由文献[6]可知定义2.1.1-2.1.5是等价的.注2 由于其优点各异（定义2.1.1、定义2.1.2容易想象,定义2.1.3、定义2.1.4便于运用,定义2.1.5介乎其间）,不同的教材侧重于不同的优点,自然就会出现不同形式的定义了.推论 当lim n n x a →∞=的充分必要条件是lim lim n n n n x x a →∞→∞==.注1 若{}n x 是无界数列,则它的上、下极限至少有一个不存在.当{}n x 没有上界时,我们可以认为它的上极限为+∞,记为lim n n x →∞=+∞;当{}n x 没有下界时,它的极限为-∞,记为lim n n x →∞=-∞.但当数列单方有界时,却不能导出上、下极限之一存在的结论. 2.2 函数的上、下极限定义2.2.1[10] 设()f x 在点x a =的某去心邻域内有定义,如果存在点列()n n x a x a →≠使lim ()()n n f x A A →∞=∈,则称x a →时,()f x 存在子极限A .或者说A 是当x a →时()f x 的一个子极限.与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者M *与最小者M *,分别称作上极限与下极限记为lim ()x af x →以及lim ()x af x →.同样有lim ()x af x →存在且仅当lim ()lim ().x ax af x f x →→=2.3集合列的上、下极限定义2.3.1[11]设{}n A 是一个集合列,记lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==;lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==.它们分别称为集合列{}n A 的上极限与下极限.3 上、下极限的性质性质3.1[12]（保序性） lim lim .n n n n x x →∞→∞≤性质3.2[13]（控制性质） 若{}k n x 为{}n x 的子列,则有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤lim lim .k n n n n x x →∞→∞≤≤性质3.3[5](保不等式性) 设数列{}n x 和{}n y 是两个有界数列且有0N >,使当n N >时,有n n x y ≤则lim lim n n n n x y →∞→∞≤,lim lim n n n n x y →∞→∞≤.注1 若0n n ∀≥有n x α≤(常数),则有lim n n x α→∞≤;若0n n ∀≥有n x β≥,则有lim n n x β→∞≥.注2 若,αβ为常数,又存在0N >,时有n x αβ≤≤则lim lim n n n n x x αβ→∞→∞≤≤≤.性质3.4[14]（符号性质） lim lim()n n n n x x →∞→∞=--,lim lim()n n n n x x →∞→∞=--.性质3.5[15]（符号性质）（1）若0c <,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.（2）若0c >,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.性质3.6 若{}n x 为有界递增数列,则lim lim .n n n n x x →∞→∞= 相比极限运算,上极限和下极限的优点在于不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段.但是另一方面,相比极限运算,上极限和下极限运算又存在一个缺点,就是它们不存在类似于极限的四则运算那样的公式.但仍然成立下列一系列相对较弱的结论. 性质3.7 (加减运算性质)若{}n x ,{}n y 为有界数列,则 lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+ (3.1)lim()lim lim .n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.(3.2)注1 不等式（3.1）和（3.2）中的严格不等号有可能成立.例如,取(1)n n a =-,1(1)n n b -=-,n N +∈,则有lim lim 1n n n n x y →∞→∞==-,lim lim 1n n n n x y →∞→∞==,lim()lim()0n n n n n n x y x y →∞→∞+=+=.推论 若{}n x 和{}n y 中有一个收敛,则有:lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.性质3.8(加减运算性质) 若{}n x ,{}n y 为有界数列,则lim()lim lim lim()n n n n n n n n n n x y x y x y →∞→∞→∞→∞+≤+≤+.性质3.9(乘法运算性质) 若0n x ≥,()01,2n y n ≥=,则lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞≤lim()lim lim n n n n x x x x y x y →∞→∞→∞≤.特别地,若{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号.性质3.10（倒数运算性质） 若0(1,2)n x n >=lim 0n n x →∞>,则11limlim n nn n x x →∞→∞=.推论 若0n x >,1,2,3n =,且1lim lim1n n n nx x →∞→∞=则数列{}n x 收敛.4 上、下极限的应用4.1上、下极限在数列敛散性中的作用上面我们总结了上、下极限的概念以及它的相关性质,下面就利用上、下极限的概念和性质来解决数列的敛散性.例4.1.1若0(1,2,)n x n >=1limn n nx x +→∞≤. 分析 有界数列{}n x 的极限不存在,即有界数列{}n x 发散时,但有界数列{}n x 的上极限和下极限一定是存在的;又由定义2.1.5的推论可知当一个数列收敛时,它的极限值与上、下极限之间的关系.这个例子就是利用这个数列本身的结构及其与上、下极限的关系来证明它的敛散性.证 设1limn n nx x x +→∞=,当x =+∞时,结论必然成立. 当0x ≤<+∞时,由数列极限的定义可知,0ε∀>,0N ∃>当k N >时,有1n nx x x ε+<+, 任取n N >,令,1,,1k N N n =+-,将所得n N -个不等式相乘,由k N >可得:121121()n N N N n nN N n n x x x x x x x x x ε-++-+--⋅⋅<+, 即()n N nNx x x ε-<+, 则()n n x M x ε<+.其中()N N M x x ε-=+,于是有)x ε<+,由此得)x x εε≤+=+.由ε的任意性可知,所证结论成立.例4.1.2设{}n x 为有界数列,{}k n x (1,2,)k =是它的一个子列,1,1a a <≠- ,证明,如果()lim k k n k x ax A →∞+= ,则{}n x 收敛并求其极限.证 由上,下极限的性质3.7有()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,于是lim lim lim lim n n n n n n n n x a x x a x →∞→∞→∞→∞+≥+ .由1a < 可得lim lim n n n n x x →∞→∞≥,从而{}n x 收敛,令 lim n n x c →∞=.则()()lim lim lim 1k k n n k n n n n A x ax x a x a c →∞→∞→∞=+=+=+ ,由于1a ≠- ,因此 lim 1n n A x a→∞=+ . 利用上、下极限讨论问题的方便之处在于,不需要在数列是否有极限的问题上花费太多的功夫,而可以直接利用给定条件来讨论上、下极限的关系,从而少绕了不少弯．下面就是一个例子,如果不使用上、下极限的工具,论证将会比较繁琐.例4.1.3 设非负数列{}n x 满足条件0(1,2,)m n m n x x x m +≤<+=,(1,2,)n = ,证明数列liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞== .证 对任意的1,2,n = 有1121102n n n x x x x x nx --≤≤+≤+≤≤,于是,10n x x n ≤≤,因此数列{}n xn是有界数列,从而上、下极限以及上、下界都是有限数.令 inf{,1,2,}n xn nβ==,则有lim nn x nβ→∞≥.取定正整数m ,对于任意的正整数n ,必有(,,)n pm q p q q m =+∈<,于是n m q a pa a ≤+,因此q n mx x px n pm q n≤++. 对于固定的,m n p →∞⇔→∞,取上极限便得limlim lim q n m m n n n x x px xn pm q n m→∞→∞→∞≤+=+.对于每一个m 都成立,因而liminf{,1,2,}inf{,1,2,}n m n n x x xm n n m nβ→∞≤====,从而有limlim n n n n x xn n→∞→∞≤.又根据limlim n n n n x xn n→∞→∞≥所以liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞==.上、下极限的概念与性质的引入,为很多问题的证明都开辟了一条简便的思路,尤其是对于柯西收敛原则的证明上表现最为突出.如果没有上、下极限的概念与性质,在证明柯西收敛原则的充分性时,就要分三步证明:（1）证明{}n x 有界;（2）证明{}n x 有收敛子列{}k n x 收敛到某个常数a ;（3）证明{}n x 也收敛到a .而利用上、下极限的概念的性质,在证明柯西收敛原则的充分性时就提供了很多方便之处.定理4.1.4 设{}n x 是有界数列.（1）lim n n x a →∞=的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>- 且在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<= ;(2)lim n x x a →∞= 的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>+ 且存在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<=.定理4.1.5 若{}n x 是有界数列且有lim n n x a →∞= 和lim n x x b →∞=,则有（1） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 a ; （2） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 b ;（3）存在{}n x 的任一收敛子列,若其极限为 c ,则有a c b ≤≤ .定理4.1.6（柯西收敛原则） 数列收敛的充分必要条件是它是一个柯西数列.证 必要性 设lim n x x a →∞= .于是对于任给的0ε> ,都有N ,使当n N > 时,就有2n x a ε-<.于是当,m N n N >> 时,就有m n m n x x x a x a ε-≤-+-< ,即{}n x 为柯西数列.充分性 设{}n x 是柯西数列.于是有N ,使当,m N n N >> 时,就有1m n x x -< .特别地,当1m N =+ 时,有()1111,,N n N x x x n N ++-<<+>可见,{}n x 有界.对于任给的0ε> ,存在N ' ,使当n N '> 时,就有1n N x x ε'+-< ,11,N n N x x x n N εε''++'-<<+> .在上式中分别取上,下极限,由定理4.1.4得到11lim lim N n n N x n x x x x εε''++→∞→∞-≤≤≤+ .因此有0lim lim 2n n n n x x ε→∞→∞≤-≤ .由0ε> 的任意性即得lim lim n n n n x x →∞→∞≤ .再由定理4.1.5即知{}n x 收敛.注1 柯西数列[10]:设{}n x 是一个数列,如果对于∀0ε>,都存在自然数N ,使当m N >,n N >时,就有m n x x ε-<,则称{}n x 为柯西数列或基本数列.注2 柯西收敛原则的证明为数列的敛散性的证明又提供了一条快速有效的思路,即要证明一个数列是收敛数列,只要证明它是柯西数列便可. 4.2上、下极限在极限运算中的作用例4.2.1已知lim n n x x →∞=,求证01lim1nn x x x x n →∞+++=+.分析 这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:由于对任意0ε>,存在(1,2,)N N =,当k N >时,有k x x x εε-<<+,所以011N x x x n ++++()1n N x n ε-+-+011n x x x n +++<<+ 011N x x x n ++++()1n Nx n ε-+++(4.1) 令n →∞,得到01()lim ()1nn x x x x x n εε→∞+++-≤≤++.再由ε的任意性得到01lim 1n n x x x x n →∞+++≤+. 错误是预先认定了极限01lim 1nn x x x n →∞++++的存在.如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题.证 由（1）,令n →∞,得到0101()limlim ()11n nn n x x x x x x x x n n εε→∞→∞++++++-≤≤≤+++, 再由ε的任意性得到0101limlim 11n n n n x x x x x x x n n →∞→∞++++++==++. 于是推得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.类似上述过程,不少书中直接写为:“令n →∞,（4.1）式的左右两边分别趋于x ε-和x ε+.”由于ε的任意性可得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段．下面就是一个利用上极限与下极限运算解决极限问题例子.例4.2.2 设1a >,x >1,1,2,31nn na x x n x ++==+ , (4.2)试证 lim n n x →∞=证 易得到01n x a <<+.因而lim n n x β→∞=与lim n n x α→∞=存在,而且0α≥.由此可得到0β>,令()1xf x x α+=+则()()2211()011x x aaf x x x +---'==<++.故()f x 单调递减.在(1)中取上限可得1a a βαααβββ+≥⇒+≥++, 所以有a a αβαβα+≥+⇒≥≥,故αβ=,因而lim n n x →∞存在,在(1)中取极限,可得出lim n n x →∞=注 如果0β≤,则有αβ=,因而{}n x 的极限存在且等于零,在(4.2)中令n →∞,便得到矛盾. 求解函数的上、下极限,有利于认清函数本身的结构. 例4.2.3 设1()sinf x x=,求0lim ()x f x →,0lim ()x f x →.解 据函数的有界性可知,任何子极限都介于-1和1之间. 选取数列1022n x n =→+则()1()n f x n →→∞.若选取10322n y n =→+则()1()n f y n →-→∞.因此可知0lim ()1x f x →=,0lim ()1x f x →=-.可以证明,任何介于[1,1]-之间的实数都是0x →时1()sin f x x=的子极限. 4.3 上、下极限在级数论中的作用上、下极限在级数理论中将会使一些结果更为完整.例如,利用上、下极限改进了达朗贝尔判别法[10]（比值判别法）,柯西判别法[10]（根值判别法）,使得它们的结论更加完整.而利用改进型的判别法,可以得到幂级数收敛半径的完整性结果.定理4.3.1 对于正项级数1nn u∞=∑,令ρ=那么（1）当1ρ<时,级数1nn u∞=∑收敛;（2）当1ρ>或无穷大时,级数1nn u∞=∑发散;（3）当1ρ=时,级数1nn u∞=∑可能收敛也可能发散.注 改进型的判别法就是针对达朗贝尔判别法（比值判别法）,柯西判别法（根值判别法）这两个判别法中的极限1limn n nu u ρ+→∞=与n ρ=不存在的情形给出的.幂级数收敛半径的结论如下 对于幂级数nn n a x∞=∑,如果1limn n na a ρ+→∞=或n ρ=, （4.3）则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩如果（4.3）的极限不存在,利用上、下极限就可以得到完整的结论.定理4.3.2 对于幂级数nn n a x∞=∑,ρ=,则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩注 定理4.3.2是对幂级数收敛半径的结论的进一步补充,得到幂级数收敛半径完整性的结果. 4.4 上、下极限在后续教程中的应用引入上、下极限的概念在一些后续课程中也有很大的作用.特别是在实变函数的教学中.如大家所知,关于Lebesgue 积分有三大收敛定理,其中Faton 引理的表述就要用到上、下极限的概念. 如果在教学中没有预先引进下极限的概念,理论在这里就将是无法处理的.定理4.4.1（Fatou 引理） 若{()}n f x 是可测集E 上非负可测函数列,则lim ()lim ()nm n x E En n f x d f x d →∞→∞≤⎰⎰.证 非负函数()inf{()}n j g x f x j n =≥显然有1()()n n g x g x +≤,1,2k =,而且lim ()lim ()n n n n g x f x →∞→∞=,x E ∈.由Levi 定理得lim ()lim ()nn E n n E f x dx g x dx →∞→∞=⎰⎰lim ()lim ()n n EEn n g x dx f x dx →∞→∞=≤⎰⎰.注1 Levi 定理[11]:设{()}k f x 是可测集E 上的非负可测函数列,满足12()()()k f x f x f x ≤≤≤≤,且有lim ()()k k f x f x →∞=,x E ∈,则lim()()k EEk f x dx f x dx →∞=⎰⎰.注2 由Faton 引理推导Lebesgue 控制收敛定理时,上、下极限的作用也是不可替代的,最后必须由不等式lim ()()lim ()n x m n m EEn n f x d f x d f x d →∞→∞≤≤⎰⎰⎰.推出 lim()()n m n m EEn f x d f x d →∞=⎰⎰．上、下极限的概念的引入在测度论中也有很重要的作用. 定理4.4.2[2]设集列{}i E 是单调增加的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.定理4.4.3[2] 设集列{}i E 是单调减少的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,且1mE <+∞,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.例4.4.4 设{}n E 是pR 中一列可测集,证明: （1）(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤;（2）若存在0n ,使0()n n n m E ∞=<+∞,则(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.证 （1）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===.记n k k nA E ∞==,则12n A A A ⊂⊂⊂.由定理4.4.3得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N N =,()k n k nm E mE ∞=≤成立,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤.（2）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===,记n k k nB E ∞==,则12n B B B ⊃⊃⊃.又已知存在0n ,使00()()n k k n m B m E ∞==<+∞,由定理4.4.2得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N ,有()k n k nm E mE ∞=≥,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.参考文献[1]隋廷芳.上、下极限的七个等价定义 [J].呼盟电大分校学报,1994:10. [2]胡长松.实变函数[M].北京:科学出版社,2002.11:56-57.[3]Robert Ely.Nonstandard Student Conceptions About Infinitesimals[J].Journal For Research in Mathematics Education,2010,41;117-146.[4]Ryszard Engelking.General Topology[M].London:Warszarva,1977:27-47.[5]华东师范大学数学系编:数学分析（第三版）（上）[M].北京:高等教育出版社,2001:172-176. [6]杜其奎,陈金茹.数学分析精读讲义（上）[M].北京:科学出版社,2012:236-237. [7]崔尚斌.数学分析教程（上）[M].北京:科学出版社,2013:70-71.[8]毛羽辉,韩士安,吴畏.数学分析学习指导书（第四版）(上) [M]. 北京:高等教育出版社,2011.6:249-252. [9]马建国.数学分析（上）[M].北京:科学出版社,2011.5:53-55.[10]郭林,王学武,刘柏枫.数学分析（3）[M]. 北京:清华大学出版社,2012.4:13-15. [11]郭懋正.事变函数与泛函分析[M].北京:北京大学出版社,2005.2:117-118. [12]李成章,黄玉民.数学分析（第二版）（上）[M]. 北京:科学出版社,2007:40-41. [13]叶常青.数列上、下极限的新定义及其应用[J].漳州师院学报,1996:48-52. [14][美]G.克莱鲍尔.数学分析[M].上海:科学技术出版社,1983:50-52.[15]王振福,张建军.数列的上极限与下极限探析[J]. 包头:包头职业技术学院学报,2008.3（1）:12-14.The Nature Of the Superior and Inferior Limits and theApplicationWangDanDan（Grade110, Class1, Major Mathematics and applied mathematics, Mathematics Dept, Shaanxi Universityof Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi ）Tutor: Hong JieAbstract :This article introduced the concept of the superior and inferior limits and superior and inferior limits ofisotony, protecting the inequality and some properties in the arithmetic, an example is given to illustrate the role of thesuperior and inferior limits in the sequence convergence and divergence, equivalent and theory of series and discussed the superior and inferior limits in real functions of real variable and the application of the theory of seies.Key words:Superior Limit; Inferior Limit; Sequence; Convergence。
函数的极限-课件
通过这个PPT课件，我们将深入了解函数的极限，探讨其定义、性质、求解方 法、连续性以及应用领域，帮助您更好地理解和应用相关知识。
什么是函数的极限
函数的极限是指随着自变量趋近某个特定值，函数取值的趋势。我们将讨论 其定义和概念，以及极限的基本性质。
如何求解函数的极限
重要极限公式、极限的运算法则以及夹逼定理等是求解函数极限的关键工 具。我们将学习它们的应用方法。
参考资料
常用函数极限表格
提供常见函数的极限值和性质的表格，作为学 习和记忆的参考。
相关专业书籍和资料
推荐一些深入学习函数极限的专业书籍和学术 资料，供进一步研究使用。
函数的极ห้องสมุดไป่ตู้与连续性
极限存在的充分条件
我们将研究函数极限存在的条件，并探讨它们与函 数连续性之间的关系。
极限与函数的连续性
了解极限与函数连续性之间的关联，以及在函数图 像上的表现。
函数极限的应用
1 极限与导数的关系
探索函数的极限与导数之间的联系，以及这种联系在微积分中的重要性。
2 极限在微积分中的应用
了解如何使用函数极限解决微积分问题，例如求曲线的切线、曲线的变率等。
3 极限在实际问题中的应用
通过实际问题案例，展示函数极限在科学、工程、经济等领域的实际应用。
练习与总结
练习题解析
通过解析一些典型练习题，加深对函数极限的理解 和应用能力。
总结和回顾
总结已学习的知识点，回顾整个课程，确保对函数 的极限有全面的理解。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中的重要概念，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是函数在某一点或无穷远处的趋势。
首先，我们来定义函数在某一点的极限。
定义1：设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，其中L是一个实数，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
根据上述定义，我们可以推导出一些性质：性质1：函数极限的唯一性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是唯一的。
性质2：函数极限的局部性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是局部的。
性质3：函数极限与函数值的关系。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在且与f(a)相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
二、函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的连续程度。
定义2：设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，如果lim(x→a)f(x)=f(a)成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
根据连续性的定义，我们可以得到以下结论：结论1：如果函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a的任意去心邻域内都连续。
结论2：如果函数f(x)在点x=a处连续且lim(x→a)g(x)=A，其中g(x)是另一个函数，那么lim(x→a)f(g(x))=f(A)。
结论3：在区间[a,b]上连续的函数必在该区间上有界。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中有着广泛的应用，下面以两个典型例子来说明：例子1：求函数f(x)=sin(x)/x当x趋于0时的极限。
解：根据函数的极限定义，在x趋于0时，我们需要求lim(x→0)(sin(x)/x)。
函数的上下极限和应用 数学毕业论文
2012届本科毕业论文函数的上下极限及其应用学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学08班学生姓名：指导教师：答辩日期：2012年5月 3 日新疆师范大学教务目录引言 (1)1. 数列上下极限的基本概念 (1)2．函数上下极限的定义及等价述 (2)3．单侧上，下极限 (6)4.函数上，下极限的不等式 (6)总结 (6)5.函数得上下极限列题 (6)参考文献 (8)函数的上下极限及其应用摘要：数列的上、下极限和函数的上、下极限是数列极限和函数极限的进一步加深和推广，所以我们将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题.关键词：函数；数列；上极限；下极限引言数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题..1数列上下极限的基本概念定义：数列{}n x 的上，下极限可用εδ-语言来描述如下：数lim n x μ=意指如下两条件成立：a ）ε∀> 0，n x 终<εμ+（即ε∀> 0，∃N> 0当n > N 时，恒有n x <εμ+） （此条等价于：∀c>μ，n x 终<c ）。
b ）ε∀> 0，n x 常>με-（即ε∀> 0，∀N> 0，∃n > N ，使得n x >με-） （此条等价于：∀c<μ，n x 常>c ）。
同样，lim n n x λ→∞=意指：a ')ε∀> 0，n x 终>λε- .b ') ε∀> 0, n x 常<λε+.另外，当且仅当{}n x 上无界时，规定lim n n x →∞=+∞；当且仅当lim n n x →∞=+∞时，规定lim n n x →∞=lim n n x →∞=+∞；当且仅当{}n x 下无界时，规定lim nn x →∞=-∞；当且仅当lim nn x →∞=-∞时，规定lim lim n n n n x x ∞→→∞==-∞.定理：1.任一有界数列，存在收敛的子数列（一下称之为致密性原理）.任何数列都有广义收敛子数列（广义收敛，意指及极限允许为无穷大）. 2.数列{}n x 的上极限的特征是：a ）∃子数列{k n x }使得lim lim knn k n x x →∞→∞=.b ）对于{}n x 的任一收敛子数列{k n x }，恒有lim lim k n n k n x x →∞→∞≤. 同样，下极限lim n x 特征是：a ')∃子数列{k n x }，使lim k n k x →∞lim n n x →∞=.b '）∀收敛子数列{k n x }，有lim k n k x →∞≥lim n n x →∞.3.如{k n x }是{}n x 的子数列，则lim k n k x →∞lim n n x →∞≤，lim k n k x →∞lim n n x →∞≥利用这些，我们可以将上，下极限的问题，通过选子数列的方法解决。
数列上下极限的不同定义方式及相关性质综述
目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点； 数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n→+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim lim inf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出limsup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>， 如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =， 这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1()2a b c ε=+-， 则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..ab s tU U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001[2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979[3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004[10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008[11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao 200711150652007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。
数学中的极限概念及其应用
数学中的极限概念及其应用极限是数学中一种重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。
极限用于描述函数的趋势和变化，解决许多实际问题，并且是微积分的基础概念之一。
本文将首先介绍极限的定义和基本性质，然后探讨它在微积分、数列和级数以及物理学中的应用。
极限可以简单地理解为函数在某个特定点的趋近情况。
具体而言，给定一个函数和一个点，当自变量趋近于该点时，函数的值是否趋近于某个特定值。
数学上，我们用极限符号"lim"来表示，比如lim(x→a)f(x)。
在定义极限时，我们需要考虑函数在该点的左右两侧。
如果当自变量从左侧趋近于该点时，函数的值趋近于某个特定值，我们称之为左极限。
同样地，当自变量从右侧趋近于该点时，函数的值趋近于某个特定值，我们称之为右极限。
只有当左极限和右极限相等时，函数才有极限，否则就是无极限。
极限有许多有用的性质。
其中一个是极限的唯一性，即一个函数在某个点只能有一个极限值。
另一个是极限的保号性，即当函数的极限为正时，函数在该点的右侧值也必须为正。
此外，还有极限的四则运算法则和复合函数的极限法则等。
这些性质使得我们可以通过对已知函数的极限进行简单的计算来获得新的函数的极限。
极限在微积分中扮演着重要的角色。
微积分研究函数的变化和趋势，而极限正是描述函数在某一点的趋近情况。
通过计算函数在特定点的极限，我们可以了解函数在该点的行为，比如函数是否连续或者是否存在切线。
例如，求解函数在某点的导数时，我们可以通过极限的定义来计算函数的变化率。
极限在数列和级数中也有广泛的应用。
数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
当数列中的元素趋近于某个数时，我们称之为数列的极限。
通过求解数列的极限，我们可以了解数列的增长方式、收敛性以及散度性。
类似地，级数是由一系列项按照一定规律相加而得到的无穷序列。
通过计算级数的部分和的极限，我们可以判断级数的收敛性和散度性。
此外，极限在物理学中也具有重要的应用。
微积分 两个重要极限 第二个公式的变形,应用,技巧
微积分两个重要极限第二个公式的变形,应用,技巧微积分中的极限是一个重要的概念，它是数学分析中最基本、最核心的概念。
本文将从定义、形式、应用、技巧等方面介绍极限的两个重要极限公式及其变形、应用和技巧。
首先，让我们来认识极限。
极限是指当一个变量接近某个值时，函数值的趋势。
在这里，极限可以表示为：当变量x接近某个值a时，函数f（x）的极限存在且为L，表示为：lim f (x) = L当x→a极限的两个重要公式是：（1）如果lim f (x) =L,lim g(x)=M，则lim [f (x)+g(x)] = L+M（2）如果lim f (x) =L,lim g(x)=M，则lim [f (x) g(x)] = LM这两个重要的极限公式，可以用来计算两个或多个函数的极限。
此外，这两个重要极限公式还可以进行变形，获得一系列与之对应的公式，如：（1）lim [f (x) c] = L c（2）lim [f (x) c] = c L（3） lim [f (x) / c] = L / c（4） lim [c / f (x)] = c / L其中，c是一个常量。
另外，衍生出来的公式也可以用来计算更复杂的函数的极限。
接下来，让我们来看一看这两个重要的极限公式的应用。
许多数学问题都可以用这两个重要公式来解决，如：（1）求极限：求函数f（x）的极限lim f (x),可以先把函数f （x）表示成f（x）=a+g(x)的形式，其中a是常数，g(x)是函数，然后根据公式求得lim g(x)，再根据公式lim [f (x) + g (x)] = a + lim g(x)变形，求出lim f (x)的值。
（2）求不定积分：当积分的上下限接近某个值时，可以根据极限公式来计算。
（3）求定积分：定积分的计算过程往往是用分割开来的小区间求和，这时就可以利用极限公式求出每个小区间的极限，再把这些极限值相加求出定积分的值。
最后，让我们来看一看这两个重要极限公式的技巧。
二元函数求极限的积分上下限变换技巧
二元函数求极限的积分上下限变换技巧在数学中，求解二元函数的极限是一项重要的内容，而实际上，在某些情况下，将二元函数的极限与积分联系起来，可以更加简洁地解决问题。
本文将介绍一些常用的积分上下限变换技巧，以帮助读者更好地理解和应用。
一、一般情况下的积分上下限变换对于一般的二元函数，我们可以通过适当的积分上下限变换来求解其极限。
具体地，我们可以利用变换后的积分形式，利用已知的积分性质或常见的积分公式进行求解。
例如，对于二元函数f(x, y)，若要求解其在特定区域Ω上的极限，我们可以通过积分上下限的变换，将此问题转化为对应的积分形式。
比如，我们可以将原来的问题转化为对于新的变量t的积分形式，即∫_[a]^[b] F(t)dt，其中F(t)为变量t的函数，a和b为相应的积分上下限。
二、极坐标系下的积分上下限变换在某些情况下，特别是在涉及到圆的问题时，我们常常使用极坐标系进行分析。
在极坐标系下，常常需要利用积分上下限变换来转化二元函数的极限求解问题。
以二维平面上的极坐标系为例，设二元函数为f(r, θ)，其中r为极径，θ为极角。
我们可以利用极坐标变换公式r=√(x^2+y^2)和θ=tan^(-1)(y/x)，将变量x,y转化为r和θ的形式。
然后，通过适当的积分上下限变换，我们可以将问题转化为r和θ的积分形式进行求解。
三、其他坐标系下的积分上下限变换除了极坐标系外，还有其他坐标系下常用的积分上下限变换技巧。
例如，柱坐标系和球坐标系都是常见的坐标系，它们在特定的问题求解中具有优势。
以柱坐标系为例，假设二元函数为f(ρ, θ, z)，其中ρ为柱坐标的径向坐标，θ为极角，z为高度。
我们可以利用柱坐标变换公式进行上下限的变换，并将问题转化为ρ、θ和z的积分形式进行求解。
类似地，对于球坐标系下的二元函数，我们也可以通过球坐标变换公式进行积分上下限的变换，并利用新的变量进行求解。
总结：通过适当的积分上下限变换技巧，我们可以将二元函数的极限求解问题转化为积分形式，从而更便于解决。
396数学函数极限详细知识点
396数学函数极限详细知识点一、拉格朗日中值定理与积分中值定理1.拉格朗日中值定理：在计算函数极限时，若极限式中出现相同类型式子的作差，形如f(x) - f(a)，考虑使用拉格朗日中值定理。
定理指出，在a 和b 之间存在一个点c，使得f"(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
2.积分中值定理：在计算函数极限时，若极限式中出现变限积分且上下限均为变量，考虑使用积分中值定理。
积分中值定理指出，在积分区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c) * (b - a)。
3.应用场景及注意事项：在使用这两个定理之前，一般是泰勒公式无法使用；洛必达法能使用，但求导后的极限式过于复杂，不利于求其极限。
最后，由于极限式中出现了，而其介于a、b 之间，所以会涉及夹逼准则这块内容。
若有关的极限式在使用夹逼准则时失效，则表明这两个方法不能使用，需另谋他法（回归到原来的方法，如洛必达法则和泰勒公式）。
二、函数极限求解方法1.极限四则运算法则：在求解极限时，可运用极限的四则运算法则，如加法、减法、乘法、除法等。
2.等价无穷小替换：将极限式中的某一部分替换为等价无穷小，从而简化求解过程。
3.抓大头：在求解极限时，关注极限式中的主要部分，忽略次要部分。
4.恒等变形-根式有理化：通过对极限式进行恒等变形，将有理化根式转化为无理化根式，从而简化求解过程。
5.三角函数公式：利用三角函数的公式，将复杂极限式转化为简单极限式。
6.指数对数变形公式：利用指数对数公式，将极限式进行变形，从而简化求解过程。
三、考研数学第一章函数与极限考纲要求1.函数概念与表示方法：了解函数的定义及表示方法，会建立应用问题中的函数关系。
2.函数性质（有界性、单调性、周期性、奇偶性）：了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3.复合函数与分段函数：理解复合函数和分段函数的概念，了解反函数和隐函数的概念。
函数的limsup和liminf的定义
函数的limsup和liminf的定义在数学中，函数的limsup和liminf被看作是一种比较抽象的数学概念。
limsup和liminf代表了在函数收敛时其极限的上限和下限。
在此，我们将详细介绍limsup和liminf的定义及其数学表述。
一、limsup的定义limsup是函数序列发散时的上限，可以表示为序列的最大极限点或者为其发散的上确界。
在数学中，我们可以把limsup定义为：limsup f(x) = sup{ lim sup f(x_n) }这里，f表示函数，x表示自变量。
在公式中，sup后面的括号中包含着发散序列的所有极限点。
因此，limsup可以被理解为序列中出现最多次数的“最大”极限点。
另外，limsup还有一种等价的定义，可以用来描述集合中的上极限，即：这里，A_n表示集合A的n个子集，而sup(A_n)则代表了子集的最大值。
在这种情况下，limsup代表了集合A中所有包含其每个元素的子集的最小上界。
limsup和liminf在数学中有着广泛的应用，尤其是在复杂函数图像处理中，其作用更为显著。
利用limsup和liminf可以描述函数在自变量取值接近某些特定值时的极限状态，从而更好地掌握函数的特殊性质和行为规律。
例如，在大自然界中，许多复杂现象都与limsup和liminf有关。
例如，磁化等现象的产生与它们的自旋矩阵的上限有关。
此外，世界各地的天气预报，也利用了limsup和liminf的特性，精准预测未来的天气状况。
总的来说，limsup和liminf是数学中比较抽象的概念，但它们的应用范围很广。
在研究函数的特殊性质和行为规律时，利用这两种概念可以更好地揭示函数的极限状态，从而更好地解决复杂的数学问题。
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公元3世纪，我国古代杰出数学家刘徽成功地把极限思想应用于实践之中，其中最被人所熟知的方法是在计算圆的面积时所建立的“割圆术”。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。
刘永莉和石蕊在《函数极限的Stolz定理及其应用》【2】中将数列极限的Stolz定理推广到函数极限，并且用Stolz定理证明了L'Hospital法则，金少华、张建和宛艳萍在《求极限的若干方法》【3】中整理归纳了求取极限的多种方法，并给出了相应的证明，董仲超的《上、下限集的思考》【7】讨论了实变函数中上、下限集的定义，对数列极限和函数极限概念间的关系做了比较，冯适在《浅谈高等数学中极限定义的研究和应用》【8】中提出极限定义在高等数学中的实际应用，常瑞玲和郭新在《利用投影法选取积分的上、下限》【9】中对利用投影法求解函数上下限给出了详细的证明。
吕梁学院2019届毕业论文开题报告
（学生用表）
系（部）：数学系专业：数学与应用数学班级：1501(专升本)
课题名称
函数的上下限极限及应用
指导教师
王小二李花花
学生
吴平
学号
201502022101
1.课题的来源及意义
极限理论在数学学科中是最基础、但却是最重要的内容之一，它以各种各样的形式出现，并贯穿于高等数学中。极限是数学中由常量到变量、有限到无限、近似到精确思想转变的重要概念，在整个现代数学中，极限理论是最基本的概念之一，是解决与处理数学问题的一种重要的数学思想和方法。
3.2研究内容
（1）函数的上下极限定义以及相关性质证明
（2）函数极限的求解方法
（3）极限思想方法在中学教学中的应用
（4）函数极限在物理学中的应用
4.本课题研究方法及进度安排
4.1研究方法
根据这篇论文所确定要解决的问题，论文研究的方法主要是文献研究法和理论研究法。文献研究法是指收集与课题有关的文献资料，阅读相关文献，以便对课题有较全面的认识。理论研究法是指在统计分析的基础上，对调查资料进一步进行有系统的思维加工的方法，它是多种思维方法的综合运用。理论研究法的直接目的在于从调查资料中引出理论、观点来，并对研究假设进行检验，此外文献资料的分析会一直伴随着这篇论文写作的全过程，包括选题的背景、研究的思路等。
极限理论的建立与完善,历经数千年，研究探索极限理论从最初萌芽到不断发展的历史过程，探索分析极限理论从最初的建立及后面不断完善发展的过程。由此可以看出，一种新的数学理论的建立，不能只是长期停留在形象直观的阶段上，必须在不断深化认识的基础上,由定性认识转化为定量认识,形成概念和理论的系统。
极限理论作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，生产力的不断提高，对数学及其它学科将会发挥极其重要的作用。
[3]金少华,张建,宛艳萍.求极限的若干方法[J].高师理科学刊,2016
[4]郑伟.极限理论的发展与应用研究[D].云南：云南师范大学,2015.
[5]陶振乾.极限概念的源流及其文化性探析.[D].华中师范大学,2015.
[6]吴艺团.极限思想方法及其在中学数学的应用研究[D].福建师范大学,2013.
（4）2019.04.12-2019.05.10通过查阅资料分析：函数极限的思想在中学教学中的应用以及在物理学中的应用（比如：光学、微型热管传热技术和硅技术）。
（5）2019.05.10-2019.05.20完善、修改论文
5.实验方案的可行性分析和已具备的实验条件(本部分内容在老师指导下就具体研究内容组织)
在17世纪,解析几何的创立成为数学发展的转折点。17世纪下半叶,英国的数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹在前人大量工作的基础上创立了微积分，此外，牛顿在《流数简论》中提出了流数法。严格的极限理论是由法国数学家柯西初建,由德国数学家魏尔斯特拉斯完成的。
3.课题的研究目标和内容
3.1研究目标
探究极限的起源与演变，给出函数上下限极限的定义与证明相关性质，寻求函数极限的若干方法，并解决与函数极限相关的问题，探究数学划归思想在积分学中的应用
4.2进度安排
(1) 2019.01.11-2019.02.25查阅文献资料，掌握各种求解函数极限的方法，完成开题报告
(2) 2019.02.25-2019.03.15函数的上、下极限的定义及相关的性质是由数列上、下极限的定义及相关的性质推广演变而来，深入分析他们之间存在的关系给出定义及证明过程
(3)2019.03.15-2019.04.12对各种求解函数极限的方法进行深入分析，找出它们当中存在的一些关系和思考方式
5.1研究方案（或实验方案）的可行性
*******Leabharlann *******5.2已具备的研究条件（或实验条件）
*******
6.参考文献
[1]陈昌华.函数极限的求法探究[D].广东财经大学华商学院,2017.
[2]刘永莉,石蕊.函数极限的Stolz定理及其应用[J].甘肃高师学报,2017.9(22)12-15.
指导教师意见：
（该部分留给指导教师手写3-4行的空间，不可过大也不可过小。
指导教师签名后留白空间、年月日留白要足够手写空间）
指导教师（签字）
年月日
注：1、本表可根据内容续页；2、指导教师意见及签名手写，其他内容电子版填写。
[7]董仲超.上、下限集的思考[J].常州信息职业技术学院学报,2013.12(4).
[8]冯适.浅谈高等数学中极限定义的研究和应用[J].价值工程，2012.
[9]常瑞玲,郭新.利用投影法选取积分的上、下限[J].濮阳职业技术学院学报,2010.23(01).
[10] AlexanderIksanov, ZakharKabluchko. Functional limit theorems for Galton–Watson processes with very active immigration[J]. Elsevier,2018.