1.3.2 函数的极值与导数 导学案(教师版)

1.3.2函数的极值与导数内容要求 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点1极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)若有极大值和极小值，则极大值一定大于极小值.()(2)若f′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点.()(3)若f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则f(x)在区间(a，b)上没有极值点.() 提示(1)函数f(x)的极大值和极小值的大小关系不确定，如图所示，极大值f(x1)小于极小值f(x2)，所以(1)错.(2)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点，(2)错.(3)由极值的定义可知(3)正确.答案(1)×(2)×(3)√知识点2求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.【预习评价】函数f(x)＝13x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＞0，得x＜－1或x＞3，令f′(x)＜0得－1＜x＜3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单增，在(－1，3)上单减，故f(x)的极大值为f(－1)＝233，极小值为f(3)＝－3.答案233－3题型一求函数的极值【例1】求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值.解函数的定义域为R.f′(x)＝2（x2＋1）－4x2（x2＋1）2＝－2（x－1）（x＋1）（x2＋1）2.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【训练1】求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值.解函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：↘↗因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.题型二利用函数极值确定参数的值【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ， ∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【训练2】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，求： (1)x 0的值； (2)a ，b ，c 的值.解 (1)由图象可知，在(－∞，1)上f ′(x )＞0，在(1，2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，因此f (x )在x ＝1处取得极大值，所以x 0＝1. (2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.【探究1】 设f (x )＝3x 3－x ＋1，试判断f (x )零点的个数.解 f ′(x )＝9x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＜－13或x ＞13，令f ′(x )＜0，得－13＜x ＜13， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13上单调递减，因此，当x ＝－13时，f (x )有极大值，且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝119，当x ＝13时，f (x )有极小值，且极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝79，由此易知f (x )的大致形状及走向如图所示，由图可知f (x )共有一个零点.【探究2】 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2).当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即当a∈(5－42，5＋42)时，方程f(x)＝a有三个不同的实根.规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.【训练3】设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.解(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)因为f(x)在(－∞，－1)内单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)内单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图1所示.当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，如图2所示.综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰有两个实数根.课堂达标1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.答案 C2.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的极值情况为()A.极大值为427，极小值为0B.极大值为0，极小值为4 27C.极大值为0，极小值为－427 D.极大值为－427，极小值为0解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，知x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3－2p －q ＝0，f （1）＝1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1， 所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0，故选A. 答案 A3.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.(－1，2)B.(－3，6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a >6或a <－3. 答案 D4.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1， 所以a ＝9，经验证此时Δ＞0，符合题意. 答案 95.已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，若函数f (x )在x ＝1处取得极值 －43，则b ＝________，c ＝________.解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，得⎩⎨⎧f ′（1）＝－1＋2b ＋c ＝0，f （1）＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3 ＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0， 当x ＞1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43. 故b ＝－1，c ＝3. 答案 －1 3课堂小结1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.基础过关1.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析函数在极小值点附近的图象应有先减后增的特点，因此根据导函数的图象，应该在导函数的图象上找与x轴相交，且交点左侧图象在x轴下方、交点右侧图象在x轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数只有1个极小值点.答案 A2.“可导函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“可导函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立.故选B.答案 B3.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.答案 D4.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)5.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ 2.因为当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，当x∈(－2，2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案a＋42a－4 26.已知f(x)＝x3＋12mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－52，求m的值.解∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝23m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：↗ ↘ ∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 7.设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0， x 取足够小的负数时，有f (x )<0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点. 由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值<0或f (x )极小值>0， 即527＋a <0或a －1>0， 所以a <－527或a >1，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.能力提升8.设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A.x ＝12为f (x )的极大值点 B.x ＝12为f (x )的极小值点 C.x ＝2为f (x )的极大值点 D.x ＝2为f (x )的极小值点解析 f (x )＝2x ＋ln x (x ＞0)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，当x ＞2时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数，因此x ＝2为f (x )的极小值点. 答案 D9.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103 解析 因为函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1， 所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有极值点，则f ′(x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有零点.由x 2－ax ＋1＝0，得a ＝x ＋1x .因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上递减，在(1，3)上递增，所以2≤a ＜103.又因为当a ＝2时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，不符合题意，所以a ≠2.故选C. 答案 C10.直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1.因为当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )极小值＝f (1)＝－2，f (x )极大值＝f (－1)＝2.函数y ＝x 3－3x 的大致图象如图所示，所以－2＜a ＜2. 答案 (－2，2)11.对于函数f (x )＝x 3－3x 2，给出下列四个命题： ①f (x )是增函数，无极值； ②f (x )是减函数，有极值；③f (x )在区间(－∞，0)，(2，＋∞)内是增函数； ④f (x )有极大值0，极小值－4. 其中正确命题的序号为________.解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增.所以当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－4.故③④正确. 答案 ③④12.设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由.解(1)∵f(x)＝a ln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解得，a＝－23，b＝－16.(2)由(1)可知f(x)＝－23ln x－16x2＋x，且其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－（x－1）（x－2）3x.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，2)时，f′(x)＞0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.创新突破13．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．解(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]e x.f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.。