玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
玻尔兹曼分布律在物理学中的应用
气体分子运动论
01
玻尔兹曼分布律是气体分子运动论的基础，可以用来描述气体
分子在平衡态下的速度分布和能量分布。
热力学
02
玻尔兹曼分布律在热力学中也有广泛应用，如热力学第二定律、
熵的概念等都涉及到玻尔兹曼分布律。
固体物理
03
在固体物理中，玻尔兹曼分布律可以用来描述电子在金属中的
05 结论与展望
研究结论
玻尔兹曼分布律在重力场中粒 子按高度分布的研究表明，在 一定条件下，粒子分布符合玻
尔兹曼分布。
随着高度的增加，粒子分布 逐渐稀疏，但仍保持玻尔兹
曼分布特征。
重力场对粒子分布的影响表现 为在低处粒子聚集，高处粒子 较少，这与玻尔兹曼分布的特
性相符合。
研究限制与不足
01
本研究仅限于理论分析和模拟，未能进行实际实验验证。
能量状态
根据能量守恒，可以得出 粒子在重力场中的能量状 态由动能和势能共同决定。
能量变化
在重力场中，粒子的能量 会发生变化，主要表现在 动能和势能之间的转换。
03 玻尔兹曼分布律与重力场 的结合
玻尔兹曼分布律在重力场中的适用性
玻尔兹曼分布律适用于粒子在平衡态 下的分布情况，当粒子受到重力作用 时，其分布情况同样适用玻尔兹曼分 布律。
玻尔兹曼分布律重力 场中粒子按高度分布
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的概述 • 重力场中粒子的运动规律 • 玻尔兹曼分布律与重力场的结合 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01 玻尔兹曼分布律的概述
定义与特性
定义
玻尔兹曼分布律是描述粒子在平衡态下按能量分布的规律，其数学表达式为f(E) = exp(-E/kT)，其中E为粒子能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
玻尔兹曼能量分布
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
玻尔兹曼能量分布
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
能量较大的分子数较小 能量较小的分子数较大
分子总是优先占据低能量状态
由麦克斯韦速率分布的归一化条件:
动能与速度有关，势能与位置有关.
系统处于平衡态时, 坐标、速度介于
空间区域: x → x + dx , y → y + dy , z → z + dz
速度区间: vx → vx + dvx , vy → vy + dvy , vz → vz + dvz
玻耳兹曼能量分布律:
内的分子数为
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
解得
dp = γ p dT γ −1T
因为
− m0 gz
p = p0e kT所以d Nhomakorabeap
=
−
p kT
m0 gdz
dT = − γ −1 m0g = − γ −1 Mg
dz γ k
γR
玻尔兹曼能量分布
空气分子平均摩尔质量: M = 29×10-3 kg. mol-1;
比热容比 : γ = 1.4
dT = −9.8 ×10−3 K ⋅ m −1 dz
大学物理
气体动理论
第4讲 玻尔兹曼能量分布
一、玻耳兹曼能量分布
奥地利物理学家玻耳兹 曼(Boltzmann,1844 — 1906), 在麦克斯韦速率分布的基础 上考虑到外力场对气体分子 分布的影响,建立了气体分子 按能量的分布规律.
玻尔兹曼分布律
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
x
xdN
N
xf ( x)dx
g( x)
g( x)dN
N
g( x) f ( x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
热运动使分子趋于均匀分布而重力使之位于低处。 在重力加速度可以认为不变的范围,取地面为势能 零点.分布在高度为h的地方单位体积内的分子数?
上式右方仅与速率有关.与速度方向无关.具有各向同性的特点.
分布在任一速率v ~ v +dv区间的体积是
4v2 dv 17
结论：在平衡态下，当气体分子间的相互作用 可以忽略时，分布在任一速率区间v ~ v +dv 的 分子数占总分子数的比率为
dN v (
m
3
) 2 e mv2 2kT 4v2 dv
§4 玻尔兹曼分布律
4.1 统计分布律与分布函数的概念 • 分布函数
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布 • 等温大气压强公式（高度计原理）
• 玻尔兹曼密度分布律
• 玻尔兹曼分子按能量分布律
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
5.2 麦克斯韦速率分布律
平均速率 v和方均根速率 v2, 最可几速率vp
3
• 分布函数 以伽尔顿板实验为例说明。
设一定量的分子总数为N
dN(x) 表示分布在某区间 x~ x +d x 内的分子数， dN (x) /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数 的比率（或百分比）。
dN(x)/N 是 x 的函数，在不同区间附近取相等的 间隔，此比率一般不相等。
玻尔兹曼速度分布律
分子平均动能与温度的关系
分子平均动能是气体分子动能的平均值，与温度T有关。根据 玻尔兹曼速度分布律，分子平均动能随着温度的升高而增大 。这是因为高温下气体分子运动速度更快，具有更高的动能 。
分子平均动能与温度的关系可以用公式E=3/2kT表示，其中E 是分子平均动能，k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。这个公 式反映了气体分子平均动能与温度的正比关系。
高温高压下的适用性
当温度和压力较高时，玻尔兹曼速度分布律可能不再适用。这是因为高温和高压条件下，气体分子间 的相互作用以及分子与容器壁之间的相互作用变得更加复杂，需要考虑量子效应和相对论效应的影响 。
在高温高压条件下，可能需要采用其他理论模型，如量子统计力学或相对论统计力学，来描述气体分 子的速度分布。
适用范围
玻尔兹曼速度分布律适用于稀薄气体，即在分子数密度较低的情况 下，气体分子的运动行为可以用该定律来描述。
02 玻尔兹曼速度分布律的数 学表达式
表达式概述
玻尔兹曼速度分布律是描述气体分子在平衡态下速度分布的统计规律，其数学表达 式为：f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/2kT)，其中m是分子质量，k 是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。
玻尔兹曼速度分布律
目录
CONTENTS
• 引言 • 玻尔兹曼速度分布律的数学表达式 • 玻尔兹曼速度分布律的物理意义 • 玻尔兹曼速度分布律的应用 • 玻尔兹曼速度分布律的局限性 • 玻尔兹曼速度分布律的发展与展望
01 引言
背景介绍
气体分子运动论
气体分子运动论是物理学的一个重要 分支，主要研究气体分子在空间中的 运动规律和相互作用。
大学物理 12-7 玻尔兹曼能量分布律
ε = εk ε P = 0
氏分布(按动能分布 速率分布 — M氏分布 按动能分布 氏分布 按动能分布) 均匀” 空间分布 — “均匀” 均匀
有力场作用) 实际气体 — 非自由粒子 (有力场作用 有力场作用 按动能分布) 速率分布 — M氏分布(按动能分布 氏分布 按动能分布
ε = εk + ε P
二. 重力场等温气压公式
n = n0e
mgz kT
P = Pe 0
mgz kT
kT P z= ln 0 mg P
概述理想气体m氏分布按动能分布空间分布均匀实际气体非自由粒子有力场作用m氏分布按动能分布空间分布不均匀按势能分布与力场方向有关速率空间坐标空间处单位体积内分子数统计意义
12－7 玻尔兹曼能量分布律 － 等温气压公式 一. Boltzmann能量分布率
1.Байду номын сангаас概述
无力场作用) 理想气体 — 自由粒子(无力场作用 无力场作用
坐标空间
x x + dx，y y + dy，z z + dz
3 2
m kT dNvx ,vy ,vz ,x, y,z = n0 dvxdvydvzdxdydz e 2πkT 速率空间 坐标空间 n0 — ε P = 0 处单位体积内分子数
εk +ε p
统计意义： 如分子) 统计意义：微观粒子(如分子 占据能量较低状态概率 如分子 >占据能量较高状态概率 占据能量较高状态概率
不均匀” 按势能分布 按势能分布) 空间分布 — “不均匀” (按势能分布 不均匀
(与力场方向有关 与力场方向有关) 与力场方向有关
2. Boltzmann分布 分布
3 M氏分布 氏分布 εk m 2 kT dN = N e 4π v2dv = Nf (εk )dεk 2πkT B氏分布 式中 εk 用ε = εk +εP 代之 氏分布 速率区间 vx vx + dvx，vy vy + dvy，vz vz + dvz
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布，概率测量或频率分布。
当存在保守的外力（例如重力场，电场等）时，气体分子的空间位置不再均匀分布，并且在不同位置分子数密度也不同。
玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。
L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。
在相同的宽度范围内，如果E1> E2，则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量，并且状态是粒子优先占据较小的能量，这是玻尔兹曼的重要结果分配法。
经过近一个世纪的传播，物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”，但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。
这时，出现了更强大的科学成就，即热力学的第一定律和第二定律。
热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。
1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德（Ostwald）试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。
他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态，甚至使物质恢复能量。
他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。
在统计中，麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。
它首先被定义并在物理学中用于描述（特别是在统计力学中）粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度，除了粒子与其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。
在这种情况下，粒子是指气态粒子（原子或分子），并且假定粒子系统达到了热力学平衡。
当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时，玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。
粒子速度的概率分布表明哪个速度更有可能：粒子具有从分布中随机选择的速度，并且比其他选择方法更有可能处于速度范围内。
分布取决于系统温度和颗粒质量。
Maxwell Boltzmann分布适用于经典理想气体，这是理想的真实气体。
玻尔玆曼分布定律
玻尔兹曼分布定律是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布的定律，以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼命名。
在物理学和化学中，这个定律被广泛应用于描述气体分子的速度分布。
任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其他粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡状态。
玻尔兹曼分布定律具体说明了处于任何速度范围的粒子数量与系统温度的关系，这个关系由一个数学公式表示。
这个公式表明，随着系统温度的升高，高速运动的粒子数量会增加，而低速运动的粒子数量会减少。
这个定律在物理学中有广泛应用，不仅限于气体分子的研究，还涉及到其他领域如电磁学、热力学等。
此外，它也为统计力学的理论框架提供了基础，使得我们能够更好地理解物质的热性质和动力学行为。
玻尔兹曼分布律
n » 2.7 ´1025 m-3
对氢气分子取 d » 2 ´10-10 m ，则
Z » 7.95´109 s-1
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次，可 见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！
11/13
例 真空管的线度为 10-2 m ，其中真空度为 1.33× 10-3 Pa。 设空气分子的有效直径为 3×10-10 m。
用宏观量pt表示的分子平均自由程为说明在标准状态下各种气体分子的平均碰撞频率的数量级约为101113估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率10701095常温常压下一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁
§12.8 玻耳兹曼分布律
问题： 麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子 的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。 若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？
dN (rv,vv) = Ce-e / kTdvxdvydvzdxdydz
式中e =ek+ep 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关 的比例系数。 这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。它给出了 分子数按能量的分布规律。
5/13
例 在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A ， 设柱体
在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不断 地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程就应 该是容器的线度。 即
l = 10-2 m
v=
8kT πm
= 468.7 m/s
Z = v = 4.68 ´104 s-1 l
13/13
中分子数为 N 。设大气的温度为T ，空气分子的质量μ 。
就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的n0
解 根据玻耳兹曼分布律，在重力场中，存在于x~x+dx ， y~y+dy ， z~z+dz 区间内，具有各种速度的分子数为
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律是描述气体分子速度分布的一种数学模型。
它是由奥地利物理学家玻耳兹曼在19世纪末提出的，被广泛应用于研究气体动力学、热力学等领域。
玻耳兹曼分布律的基本假设是：气体分子的速度是随机的，且分子之间的碰撞是弹性碰撞。
在这种情况下，气体分子的速度分布服从玻耳兹曼分布律。
玻耳兹曼分布律可以用以下公式表示：
f(v) = (m/(2πkT))^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/(2kT))
其中，f(v)表示速度为v的气体分子的概率密度函数，m表示气体分子的质量，k表示玻尔兹曼常数，T表示气体的温度。
从公式中可以看出，玻耳兹曼分布律与气体分子的质量、温度有关，速度越大的气体分子出现的概率越小。
此外，玻耳兹曼分布律还可以用于计算气体的热容、热传导系数等物理量。
在实际应用中，玻耳兹曼分布律可以用于研究气体分子的速度分布、
温度分布等问题。
例如，在研究气体分子的平均速度时，可以利用玻
耳兹曼分布律计算速度的平均值。
在研究气体的热传导性质时，可以
利用玻耳兹曼分布律计算气体分子的平均自由程。
总之，玻耳兹曼分布律是描述气体分子速度分布的一种重要数学模型，被广泛应用于研究气体动力学、热力学等领域。
它的应用不仅有助于
深入理解气体分子的运动规律，还可以为相关领域的研究提供重要的
理论基础。
玻耳兹曼分布律PPT讲解
自由运动的路程 ：自由程 其平均值 ：平均自由程
二、平均碰撞频率
v
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 Z ：碰撞频率
其平均值 Z ：平均碰撞频率
一个分子在单位时间内走过的平均路程：v ， v / Z
4
三、Z 、 的计算
d ：分子直径
v
Z d 2vn
d 2：分子碰撞截面
Z 2d 2vn
V1
V2
V
V2 V
10
功 A是过程量，不是状态量，与 P，V，T，E不同
元功 dA，dP、 dV 、dT 、 dE
9
四、平衡态、准静态过程、功的几何表示
理想气体， PV RT
P
P
P
（ P，V ）
V
V
点 平衡态
有向曲线 准静态过程
V1
P
面积 A V2 PdV V1
面积 准静态过程的功
只有 PV 图上的面积表示功
解： Z 2d 2vn 2d 2 8RT P kT
81.19 亿次/秒
kT
2d 2P
ห้องสมุดไป่ตู้
2.09 107 m
T t 273.15 ， 1atm 1.013105Pa
6
热力学基础 第1节 几个基本概念
一、系统与外界 确定为研究对象的宏观体系：系统或体系 系统以外的物体：外界或环境
二、准静态过程 系统状态随时间的变化：热力学过程 准静态过程：如果一个过程进行的无限缓慢，体系所经历的 每一个中间态都无限接近于平衡态
例：求大气中 n 相差一倍的两处的高度差
已知：空气摩尔质量 28.97 103 kg ，T 300K
解： h1处：n1
gh1
10.2麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
dN ) v f (vmv N m dv
2 2 kT RT v 2
§10.2
麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v )
平均速率
O
v
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
(3)方均根速率： 气体分子速率平方的平均值的平方根。
v
2
v
2
N dN f ( v ) m 1. 73 f (v ) 4 N e dv 2kT
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
1.分子热运动的基本特征 分子热运动的基本特征是永恒的运动与频繁 的相互碰撞。它与机械运动有本质的区别，故不 能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。
(1)无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的； 各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正 是热运动与机械运动的本质区别。
§10.2
麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
统计方法： 气体动理论中，求出大量分子的某些微观量 的统计平均值，用它来解释实验中测的宏观量， 故可从实测的宏观量了解个别分子的真实性质。
统计方法同时伴随着起伏现象。 如对气体中某体积内的质量密度的多次 测量，各次测量对平均值都有微小的偏差。当气 体分子数很大时，起伏极微小，完全可忽略；当 气体分子数较小时，起伏将与平均值可比拟，不 可忽略。故统计规律只适用于大量分子的整体。
3 2
mv
2 2 kT v 2
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v )
最 概 然 速 率
O
vp
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
(2)平均速率：气体分子速率的算术平均值。
v
N
0
气体分子运动论和热力学基础之玻尔兹曼分布律
此外，可以结合量子力学和经典力学理论，深入研究气体分子在不同 尺度下的运动规律和相互作用机制。
04
通过这些研究，有望进一步揭示气体分子行为的奥秘，为相关领域的 发展提供新的思路和方法。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该理论在统计物理学、热力学 、化学反应动力学等领域有着 广泛的应用，对于理解气体分 子行为的本质和规律具有重要 意义。
对未来研究的展望
01
随着实验技术和计算机模拟方法的不断发展，对气体分子运动和热力 学性质的研究将更加深入。
02
未来研究可以进一步探索玻尔兹曼分布律在不同条件下的适用范围和 局限性，例如极端温度、高压等极端条件下的气体分子行为。
02 气体分子运动论基础
分子运动论的基本概念
1 2
分子
物质的最小单位，具有热运动和相互碰撞的性质。
分子的热运动
分子在不停地做无规则的热运动，温度越高，热 运动越剧烈。
3
分子的碰撞
分子之间会发生碰撞，碰撞过程中会传递能量和 动量。
分子动理论的基本假设
分子无规则热运动的假设
分子在空间中的运动是无规则的，即每个分子的运动方向和速度 都是随机的。
该定律基于微观分子运动和宏观热力 学性质之间的关系，为理解气体性质 和热力学过程提供了基础。
玻尔兹曼分布律的重要性
玻尔兹曼分布律是热力学统计物理学的基石之一，对于理解气体分子在平 衡态下的行为至关重要。
该定律有助于解释和预测气体在不同温度和压力下的性质，如密度、压强、 内能等。
玻尔兹曼分布律在物理学、化学、生物学等领域都有广泛的应用，对于理 解物质的宏观性质和微观机制具有重要意义。
分子之间相互碰撞的假设
波尔兹曼能量分布律
z
二、计算
分子视为弹性小球，有效直径为d，
v v 速率为 ，碰撞后速率仍为
考虑一个分子运动，其它分子静止，运动分子在1秒内
与其它分子的平均碰撞次数为
Z d 2vn
d d d v
考虑所有的分子都在运动，平 均碰撞频率为
Z
2d 2vn
平均碰撞频率
z 2 d 2nv
平均自由程 v 1 kT z 2 d 2n 2d 2 p
p p0egz / RT 6.67104 Pa
因此位于3600m高空的压强只有海平面处压强的0.66%
§7 平均自由程和平均碰撞频率
一、概念
平均自由程：一个分子 连续两次碰撞所经过路
程的平均值，用 表示
平均碰撞频率：一个分子 在单位时间内与其他分子
z 碰撞次数的平均值，用
表示
线度 ~ 10-8m
z RT ln po
g p
高度？
高度计公式
[例1]已知拉萨的高度为海拔3600m。若大气温度处处 相同，且为27℃，问拉萨的压强为多少？（空气摩尔质
量为2.89×10-2 kg／mol，海平面处的压强为1.013×105
Pa）
解：由题意知空气的温度为 T＝273＋27＝300(K) 拉萨的高度 z＝3600m
dN
n0
m
2kT
3/ 2
e(k p )/ kT dvxdvydvz dxdydz
(1)
n0表示在势能p为零处单位体积内各种速度的
分子总数
结论：在温度为T的平衡态下，系统在某一状态区间内
的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量有关，在数
值上是与e-/kT成正比——玻耳兹曼能量分布律
分子的能量越大，其分子数就越小，即分子处于低 能量状态的概率较大
玻尔兹曼速度分布律
3. 实验证明： 实验证明：
1909年皮兰定量地研究布朗运动， 1909年皮兰定量地研究布朗运动，尤其是悬浮 年皮兰定量地研究布朗运动 液中布朗粒子数密度随高度的分布， 液中布朗粒子数密度随高度的分布，测得高度分别 处的密度n 为z1, z2处的密度 1, n2时，Na=(6.5-6.8) 1023/mol
dvxdvy dvz =即
所以 dN′ = C′e
dxdydz E − ′ 分子数密度： 分子数密度： n = dN = C′e KT dxdydz
P
−
EP KT
(分子按势能的分布律)
三、重力场中微粒按高度分布
1. 重力场中微粒受到两种相互对立的作用 重力场中微粒受到两种相互对立的作用。 ①无规则热运动 ②重力 匀分布。 匀分布 使气体分子均匀分布。 使气体分子均匀分布。
M gh − mol
(高度计原理)
这说明， 越高， 越小， 这说明，T越高， mol 越小，它们相对而言就愈多地分 M 布在高层大气。这与大气逃逸问题的物理图象一致。 布在高层大气。这与大气逃逸问题的物理图象一致。
推导： 推导：玻尔兹曼速度分布律
一、从麦克斯韦分布律推广到分子处在重力场中
1. 麦克斯韦速度分布函数是讨论理想气体在热动平衡 状态下分子在没有外力场作用下的速度分布情况： 状态下分子在没有外力场作用下的速度分布情况
dN m −EK =( ) e KT dvxdvy dvz N 2πKT
这时，分子在空间分布是均匀的。 这时，分子在空间分布是均匀的。气体分子在空间 各处的密度分布也是均匀的。 各处的密度分布也是均匀的。
使气体分子聚集在地面上， 使气体分子聚集在地面上，非均
对于更一般的情形， 对于更一般的情形，如在外力场 中的气体分子的分布将如何？？ 中的气体分子的分布将如何？？
12.4.1玻尔兹曼能量分布律平均自由程 - 玻尔兹曼能量分布律平均自由程
d p mgnd z 代入 p = nkT ，得：
d n mg d z n kT
积分： n d n z mg d z n n0 0 kT
ln n mg z n0 kT
n n0emgz/ kT 重力场中分子的分布
p
p emgz/kT 0
——等温气压公式
dN n0e kT dxdydz
三) 四个重要的统计规律
1）压强公式 2）温度公式
p2 3
k
n k
3 kT 2
3）能量均分定理（平衡态时，均分到每个 自由度上的能量均为kT/2）
___
分子的平均总能量：
i
kT
2 一定量理想气体的内能： E内
i
2
RT
4）分子的平均自由程和碰撞频率
n0 是势能为0处的分子数密度
玻尔兹曼分布定律不仅适用于气体，也适用于固
体和液体中的微观粒子。
问题：室温情况下，分子的平均速率可 达数百米每秒。为什么在房间里离开我 们几米远的地方，打开一瓶酒精的塞子， 我们却并不能立刻闻到酒精味？
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程 自由程：分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程
四、 玻尔兹曼能量分布律
1. 重力场中分子的分布（设 T = const.）
热运动 浓度n均匀 重力 分子在底部
平衡时有一定分布
z z+dz
z
p+dp
n Sp
薄层气体：底面积 S，厚dz， 分子质量为m，平衡时：
T
0
n0
( p d p)S mgnS d z pS d p mgnd z
玻尔兹曼分布律(补充)
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的起源和定义 • 玻尔兹曼分布律的数学表达形式 • 玻尔兹曼分布律的应用 • 玻尔兹曼分布律与其他统计分布的关系 • 玻尔兹曼分布律的近似和推广 • 玻尔兹曼分布律的实验验证
01 玻尔兹曼分布律的起源和 定义
起源
01
19世纪末，路德维希·玻尔兹曼在 研究气体分子运动时，提出了分 子分布的一种理论。
总结
泊松分布和玻尔兹曼分布律都是描述随机事件发生次数的统计分布，但它们关 注的侧重点不同。泊松分布关注的是单位时间内事件发生的次数，而玻尔兹曼 分布律关注的是事件发生的相对频率。
与指数分布的关系
指数分布
在一定条件下，某个事件发生的时间间隔往往服从指数分布。如果一个随机变量服从指数分布，则其概率密度函 数是关于时间间隔的倒数对称的。
在分子运动论中的应用
01
02
03
分析分子运动规律
利用玻尔兹曼分布律，可 以分析气体分子在平衡态 下的运动规律，如平均速 度、方均根速度等。
研究分子碰撞过程
玻尔兹曼分布律可以用于 研究气体分子之间的碰撞 过程，如弹性碰撞、非弹 性碰撞等。
预测分子输运性质
通过玻尔兹曼分布律，可 以预测气体分子的输运性 质，如扩散系数、粘滞系 数等。
在信息论中的应用
熵的概念起源
玻尔兹曼分布律是信息论中熵概念的起源，熵表示系统的混乱程 度或不确定性的度量。
概率分布的应用
玻尔兹曼分布律作为一种概率分布，可以用于描述信息传输中的错 误概率分布。
信息编码与解码
在信息编码与解码的过程中，可以利用玻尔兹曼分布律来优化编码 方案，提高信息传输的效率和可靠性。
指导实际应用
玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。
玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导。
它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。
如果在这个情况下应用玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。
另外一个不适用玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用玻尔兹曼分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。
玻尔兹曼分布律 - 推导麦克斯韦速度分布律是讨论理想气体在平衡状态中在没有外力场作用下分子按速度分布的情况。
这时分子在空间分布是均匀的，气体分子在空间各处的密度是一样的。
如果气体分子处于外力场(如重力场、电场或磁场)中，分子按空间位置的分布又将遵守什么规律呢？能有关。
实际上，麦克斯韦已导出了理想气体分子按速度的分布，即在速度区间dvxdvydvz的分子数与该区间内分子的平动动能εk有关，而且与e－εk/kT成正比。
据(9.29)式可得玻耳兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形。
在这种情况下，应考虑到分子的总能量ε＝εk＋εp，这里εk是分子的动能，εp是分子在力场中的势能。
同时，由于一般说来势能随位置而定，分子在空间的分布是不均匀的，需要指明分子按空间位置的分布，即要指出位置坐标分别在x到x＋dx，y到y＋dy，z到z＋dz区间内的分子数或百分比，这里dxdydz叫位置区间，而dvxdvydvz叫速度区间。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布律是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。
当有保守外力（如重力场、电场等）作用时，气体分子的空间位置就不再均匀分布了，不同位置处分子数密度不同。
玻尔兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律。
玻尔兹曼(L.E.Boltzmann)将麦克斯韦分布律推广到有外力场作用的情况。
在等宽的区间内，若E1>E2，则能量大的粒子数dN1小于能量小的粒子数dN2，状态即粒子优先占据能量小的，这是玻尔兹曼分布律的一个重要结果。
经过将近一个世纪的传播，物理学界、化学界渐渐接受了道尔顿的“原子—分子模型”，但原子、分子的确凿证据迟迟没有找到。
恰恰此时，一股更强大的科学成就——热力学第一、第二定律出现了。
热力学原则上解决了一切化学平衡的问题。
1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德试图在此基础上证明，将物理学和化学问题还原为原子或分子之间的力学关系是多余的。
他试图将“能量”赋以实物一样的地位，甚至要把物质还原为能量。
他提出“世界上的一切现象仅仅是由于处于空间和时间中的能量变化构成的”。
[1]在统计学中，麦克斯韦- 玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。
它一开始在物理中定义并使用是为了描述（特别是统计力学中描述理想气体）在理想气体中粒子自由移动的在一个固定容器内与其它粒子无相互作用的粒子速度，除了它们相互或与它们的热环境交换能量与动量所产生的非常短暂的碰撞。
在这种情况下粒子指的是气态粒子（原子或分子），并且粒子系统被假定达到热力学平衡。
[2]在这种分布最初从麦斯威尔1960年的启发性的基础上衍生出来时 [3-4]，玻尔兹曼之后对这种分布的物理起源进行了大量重要调查。
物理-玻尔兹曼分布律 气体分子平均碰撞频率与平均自由程 准静态过程
能量守恒定律：自然界一切物质都具有 能量，能量有各种不同的形式，能够从 一种形式转化为另一种形式，从一个物 体传递给另一个物体，在转化和传递中 能量的数值不变。
§2.1 准静态过程
§2.1.1 准静态过程
(热力学)过程：系统从一个平衡 态向另一个平 衡态的过渡
§1.5.2 分子在势场中的分布
§1.5.3 重力场中分子按高度分布
令 轴竖直向上， 处
，
则高度 处单位体积内的分子数为
§1.5.3 重力场中分子按高度分布
➢ 分子数随 z 增加而减小，减小的快慢与
温度和质量有关 ➢恒温气压公式——高度计 设温度不随高度变化
§1.7
气体分子平均碰撞频率 和平均自由度
§1.5 Boltzmann分布率
§1.5.1 Boltzmann分布率
与分子平动能有关 气体分子处于外力场中还具有与坐标有关的势能
总能量
§1.5.1 Boltzmann分布率 速度在区间 位置在区间
分子数目为处单位 体积内的分子数Boltzmann因子
§1.5.2 分子在势场中的分布
对所有速度区间积分,可得粒子在势场中按坐标 的分布
§2.1.1 准静态过程
Tl
Tl dT
Th
Tl 2dT
§2.1.1 准静态过程
§2.1.1 准静态过程
§2.1.1 准静态过程
平衡态可由一组状态参量的一组取值唯一确定， 一个平衡态在状态参数空间中可以用一个点表示。
准静态过程可以用状态参量的连续变化描述，在 参数空间中由一条连续曲线表示。
§1.7.3 气体分子平均相对速率
§1.7.3 气体分子平均相对速率
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 玻尔兹曼分布律
当分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分 布律中的指数项应以总能量 E Ek E p 2 1 E mv 代替动能 k ，这样在保守力场 2 中分子的空间分布也不均匀。
玻尔兹曼
玻尔兹曼计算得到系统在某一微小区域 x-x+dx， y-y+dy，z-z+dz 及 vx-vx+dvx， vy-vy+dvy， vz-vz+dvz 的分 子数 dN 设 Ep=0 处分子数密度为n0
ε p kT e dxdydz
设 Ep=0 处分子数密度为 n0 ，
在保守力场中，分子总是优先占据势能较低的 状态。
2. 重力场中气体分子按高度分布
重力场中考虑一竖直空气柱， 设Ep=0 处分子数密度为n0 ， ε p 据dN n e kT dxdydz
0
z
0
n
在 Z 处分子数密度为
设Z=0处分子数密度为P0 ，重力场中气体
的压强随高度的增加按指数规律减小。
重力场中气体分子按高度分布
恒温气压公式（高度计）
设温度不随高度变化 根据压强变化测高度，实际温度也随高度 变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。 由上式可得高度 h 为：
z ln( p0 / p) RT / M mol g
n n0e
mgz kT
n0
重力场中气体分子按高度分布
当大气温度均匀时， 分子数密度随高度增 加按指数规律减小。
z
0
n
在同一高度
m
T
n 减小更快 n 减小更慢
n0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
重力场中气体分子按高度分布
又据p nkT
将分子数密度代入，得:
p p0e
mgz kT
p0e
M mol gz RT
m dN n0 e 2kT
3 2
k p
kT
dvxdv y dvz dxdydz
玻尔兹曼分布律
设气体分子处于某一保守力场中，分子势能 为 p ，则其分子数密度仍遵从上式。 在空间某一微小区域 x-x+dx，y-y+dy，z-z+dz 的分子数dN’
dN n0
重力场中气体分子按高度分布
恒温气压公式（高度计）
设温度不随高度变化 根据压强变化测高度，实际温度也随高度 变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。 由上式可得高度h为：
z ln( p0 / p) RT / M mol g