第6章 1.行星的运动

1．内容： 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 焦点上． 2．理解： 图 6－1－1 所示的是行星绕太阳运动的椭圆轨道，OA 和 OB 是椭圆轨道的半长轴，若太阳位于椭圆轨道的焦点 F1 上，则点 A 称为近日点，点 B 称为远日点．
图 6－1－1
【例 1】关于开普勒第一定律，下列说法不正确的是( A．它的发现是建立在天文学家第谷的观测数据之上的 B．该定律中的“所有行星”是指除太阳外太阳系的所有 天体 C．开普勒假设天体不是做匀速圆周运动是发现该定律的 原因之一 D．开普勒执着于计算和观测数据之间的差别是发现该定 律的原因之一
开普勒行星运动定律的应用 1．开普勒行星运动定律不仅适用于太阳和太阳系行星之间 的关系，还适用于宇宙其他恒星和行星与行星和卫星，即一切
被环绕的中心天体和环绕天体之间的关系，例如月球绕地球运
动、人造卫星绕火星运动等．
2．在实际计算中，为了简化问题，有时能够将一些椭圆轨
道近似看做圆轨道来处理，这样，对应开普勒行星运动定律，
有以下结论：
(1)行星绕行的圆轨道只是椭圆轨道的一种特殊情况，太阳 处在圆心上． (2)当行星做匀速圆周运动时，角速度和线速度大小不变， 因此与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积必然相等．
a3 ＝k中，k值仍然只与中心天体有关，但a变 (3)在表达式 2 T r3 为行星运行圆轨道的半径r，即 2＝k. T
日地距离的测定被誉为“最崇高的天文问题”，1716 年英 国著名天文学家哈雷提出了一种利用观测金星凌日来计算日地 距离的方法：先根据不同地点观测到的金星凌日出现的视差计 算出地球与金星的距离，再结合开普勒第三定律计算出日地距 离．由此算出的结果与现代天文学得出的数据非常接近，十八 和十九世纪的天文学家正是通过这种方法算出日地距离的，该 方法称为时间计量法．
测算日地距离 R. 提示：由于金星凌日时，太阳、金星与地球在同一直线上，
故此时金星到太阳的距离为 R－r
R－r3 R3 根据开普勒第三定律，有 k＝ T2 ＝T2 1 2
将观测数据代入上式并解方程，即可求得日地距离 R.
1．内容： 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次 方的比值都相等． 2．表达式： 若用 a 代表椭圆轨道的半长轴的长度(如图 6－1－3 所示)，
公转周期的二次方 __________________的比值都相等． a3 2 ＝k T ②公式：____________.
3．行星运动的近似处理： 实际上行星的轨道与圆十分接近，可以按圆轨道处理，这 样就可以说： 圆心 (1)行星绕太阳运动的轨道接近圆，太阳处在_______上． 角速度(或线速度) (2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的______________ 匀速圆周 不变，即行星做____________运动． 三次方 (3) 所有行星轨道半径的____________ 跟它的公转周期的
a3 T 代表公转周期的大小，则开普勒第三定律的表达式为—＝k T2
图 6－1－3
3．理解： (1)开普勒第三定律揭示了轨道和周期之间的关系，椭圆轨 道半长轴越长的行星，其公转周期越大；反之，半长轴越短，
公转周期越小．
(2)k 值是一个由被环绕的中心天体本身决定的常量，也就 是说，在中心天体不同的系统里 k 值是不同的，在中心天体相
解：设哈雷彗星绕太阳运动的周期为 T′，地球的公转周 期为 T，根据开普勒第三定律有
a′3 a3 ＝ 2 T′2 T 得
a′3 T′＝ a 2T＝76.4
年
则哈雷彗星下次临近地球的时间是 1986 年＋76 年＝2062 年．
4．地球到太阳的距离为水星到太阳距离的 2.6 倍，那么地 球和水星绕太阳运动的速度之比是多少？(设地球和水星绕太 阳运动的轨道为圆)
)
解析：开普勒第一定律中的“所有行星”并不包括太阳系
中行星的卫星，例如月球． 答案：B
【触类旁通】 1．下列不属于开普勒第一定律所具有的意义的是( C ) A．说明天体并不是完美地按照圆周轨道来运动的 B．反映了各行星的椭圆轨道的一个焦点都在同一位置上 C．证明了太阳是静止的，静止在椭圆轨道的焦点上
【例 2】我国发射的第一颗人造卫星，其近地点高度 h1＝
439 km，远地点高度 h2＝2 384 km，求在近地点与远地点上，卫 星运动的速率之比 v1∶v2.(已知 R地＝6 400 km，用 h1、h2、R地表 示，不要求数值计算)
解：设卫星在近地点和远地点附近的运动时间均为 Δt，转 1 2 1 过的角度分别为 θ1、θ2，则在 Δt 内扫过的面积分别为2R1θ1 和2 1 2 1 2 2 R2θ2，根据开普勒第二定律有： R1θ1＝ R2θ2 2 2 1 2 1 2 即2R1ω1Δt＝2R2ω2Δt 又 v1＝ω1R1，v2＝ω2R2，故 v1R1＝v2R2 v1 R2 R地＋h2 所以v ＝R ＝ . R地＋h1 2 1
同的系统里 k 值是相同的．
【例3】哈雷彗星的环绕周期是 76 年，离太阳最近的距离 是 8.9×1010 m，离太阳最远的距离尚未得知．试根据开普勒定 律估算这个最远距离是多少？(k＝3.354×1018 m3/s2)
解：设最近距离是 l1，最远距离是 l2，则由数学知识可知 l1＋l2 半长轴 a＝ 2 a3 又由开普勒第三定律有T2＝k 3 2 两式联立得 l2＝2a－l1＝2 kT －l1 代入数据得 3 l2＝[2× 3.354×1018×76×365×24×3 6002－8.9×1010] m ＝5.27×1012 m.
【例 4】太阳系八大行星的公转轨道可近似看做圆轨道． 地球与太阳之间的平均距离约为 1.5 亿千米，结合下表可知， 火星与太阳之间的平均距离约为( 行星 金星 0.615 地球 1.0
)
火星 1.88 木星 11.86
公转周期/年
A.1.2 亿千米
B．2.3 亿千米
C．4.Байду номын сангаас 亿千米
D．6.9 亿千米
开普勒第一定律
日心说是真理吗？日心说的提出，是科学与神权的一次 “激烈碰撞”，经过哥白尼、布鲁诺、第谷、开普勒、伽利略 等一大批科学家的不懈努力，最终，科学战胜了神权．如今我
们学习地心说与日心说时，往往会一味地认为托勒密的地心说
是错误的，哥白尼的日心说才是正确的，真的是这样吗？
讨论： (1)随着科学的发展，人类最终认识到地心说和日心说相 日心说 比，________更先进． (2)现在看来，日心说也有其错误之处，其一是将天体的运 匀速圆周 太阳 动看成是____________运动；其二是把________看成是宇宙的 中心．
【触类旁通】 2．某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为 a，近 日点离太阳的距离为 b，过远日点时行星的速率为 va，则过近 日点时的速率 vb 为( C )
b A．vb＝ava
B．vb＝
a a bva C．vb＝bva
D．vb＝
b ava
解析：由开普勒第二定律可知，行星与太阳的连线在相等 的时间内扫过的面积相等，取Δt 足够短，所扫过的面积近似看 va vb a 做三角形面积，则有 2 Δt· 2 Δt· a＝ b，解得 vb＝bva.
a3 (1)开普勒第三定律的表达式为________，其中 k 值对于金 T2＝k 相同 星和地球来说是______的，它是只和_____________有关的常量． 太阳(中心天体)
(2)已知金星和地球的公转周期分别为 T1 和 T2，金星凌日时
讨论：
得到的金星与地球的距离为 r，试简要分析如何利用时间计量法
知识点3
开普勒第三定律
2012 年6 月，各大洲相继出现了本世纪第二次金星凌日的 天文奇观，而下一次出现将要等到2117 年．早在1639 年12 月， 英国天文学家耶利米霍罗克斯首次记录到这一天文现象，该现 象为太阳、金星与地球排成一条直线，在地球上我们会观察到 金星如同一个小黑点在炙热的太阳盘面上慢慢移动．
二次方 __________的比值都相等．
4．下列对天体运动规律的认识，其中错误的是( A ) A．恒星的相互位置几乎都是固定的，因此恒星是静止的
B．月球绕地球运动，遵循类似于开普勒行星运动定律的
规律 C．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，但较接近圆 D．木星与太阳的连线，在相等的时间内扫过的面积相等
知识点1
(2)开普勒第二定律： ①内容：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的 相等 时间内扫过_______的面积． 小 ②开普勒第二定律表明：行星离太阳较远时速率较_____， 大 较近时速率较______． (3)开普勒第三定律：
半长轴的三次方 ①内容：所有行星的轨道的___________________跟它的
及地球上曾存在的生物种数的五十分之一．
地球上孕育出如此之多的形形色色的生物，可谓和季节变化 不无关系，然而季节变化正是由于地球公转使地表受太阳光照产 生周期性差异而引起的．当地球位于远日点时，北半球处于夏季， 南半球处于冬季；当地球位于近日点时，北半球处于冬季，南半
球处于夏季．
讨论： (1)季节变化是有周期性的，四季出现一次交替就是地球绕 一周 太阳公转了________． 远 (2)联系季节特点可知，夏至日时地球在________ 日点附 近 近，冬至日时地球在________日点附近． 慢 (3)北半球处于夏季时，地球的公转速度较________；北半 快 球处于冬季时，地球的公转速度较________．
第六章
万有引力与航天
1．行星的运动
地心说 1．________认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、 日心说 月亮以及其他行星都绕地球运动；________认为太阳是静止不 动的，地球和其他行星都绕太阳运动． 2．开普勒行星运动定律： (1) 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆 焦点 ______，太阳处在椭圆的一个______上．
1．内容： 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫 过相等的面积．(如图 6－1－2 所示，阴影部分表示行星在相等
时间内扫过的面积．)
2．理解：
图 6－1－2
由于行星的轨道不是圆，因此行星与太阳的距离在不断地
变化．这个定律告诉我们，当行星离太阳较近时，运行的速度 比较快，而离太阳较远时，运行的速度比较慢．
D．为日心说提供了有力的证据
解析：开普勒第一定律指出太阳处在行星运动椭圆轨道的
一个焦点上，是以太阳为参考系来描述行星运动的，并不是说
太阳静止．
知识点2
开普勒第二定律
经过数十亿年的演化，地球上现存的有记载的生物中，植物
大约有 50 多万种，动物大约有150 多万种，而尚未被发现的现存 生物的种数可能是这总数的 3 倍之多，但现存生物的种数却还不
解：设地球绕太阳运动的周期为 T1，运动半径为 R1，线速 度为 v1；水星绕太阳运动的周期为 T2，运动半径为 R2，线速度 R3 R3 1 2 为 v2，那么由开普勒第三定律得 T2＝T2 1 2 地球和水星都绕太阳做匀速圆周运动，故有 2πR1 2πR2 T1＝ v ，T2＝ v 1 2 v1 联立以上三式得v ＝ 2 R2 R1＝ 1 2.6＝ 5∶ 13.
r3 解析：由题意可知，行星绕太阳运转时，满足 T2＝常数， 设地球的公转周期和公转半径分别为 T1、r1，火星绕太阳的公
3 r1 r3 2 转周期和公转半径分别为 T2、 2， T2＝T2.代入数据得， 2＝2.3 r 则 r 1 2
亿千米．
答案：B
【触类旁通】 3．哈雷彗星最近出现的时间是 1986 年，天文学家哈雷曾 预言，这颗彗星将每隔一定的时间就会出现．请预测其下一次 飞临地球是哪一年？提供以下数据供参考： (1)地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨迹是一个椭 圆； (2)哈雷彗星轨道的半长轴 a′约等于地球轨道半长轴 a 的 18 倍．