[整理]中学《生活中的数学》校本课程教材.

《生活中的数学》校本课程目录第一讲：生活中的趣味数学第二讲：数学中的悖论第三讲：对称——自然美的基础第四讲：斐波那契数列第五讲：龟背上的学问第六讲：巧用数学看现实第七讲：运用数学函数方程解决生活中的问题第八讲：生活中的优化问题举例第一讲：生活中的趣味数学1．“荡秋千”问题：我国明朝数学家程大位（1533～1606年）写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（每5尺为一步），秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？下面我们用勾股定理知识求出答案：如图，设绳索AC=AD=x（尺），则AB=（x+1）-5（尺），BD=10（尺）在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即（x-4）2+102=x2，解得x=14.5，即绳索长为14.5尺．2．方程的应用：小青去植物园春游，回来以后爸爸问他春游花掉多少钱。

小青并不直接回答，却调皮地说：“我带出去的钱正好花了一半，剩下的元数是带出去角数的一半，剩下的角数与带出去元数相同。

”爸爸踌躇一下，有些为难。

你能否帮助他把钱数算出来，小青到底带了多少钱？花了多少钱？还剩多少钱？方法一：设带出去x元,y角.根据"剩下的元数是带出去角数的一半"知道y是偶数花了的钱分x为奇数与偶数情况（1）x是奇数时候,花一半就是花了=剩下=(x-1)/2元,(y/2+5)角根据后面两句话知道,剩下=y/2元,x角有二元一次方程组:(x-1)/2=y/2,y/2+5=x 解得x=9,y=8（2）x是偶数时候,花一半就是花了=剩下=x/2元,(y/2+5)角剩下的同上面情况有二元一次方程组:x/2=y/2,y/2+5=x 解得x=y=10 但是没有10角钱说法不符合实际（舍）∴答案是9元8角方法二：设带出去X元Y角，还剩a元b角按照用掉一半还剩一半的等式：10a + b = ( 10x + y)/ 2又因为： a = y / 2b = x带入等式化简即可得：x / y = 9 / 8因为y 只能是小于10的整数所以，小青带了9元8角！用了4元9角，还剩4元9角！3．工资的选择：假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：（A）工资以年薪计，第一年为4000美元以后每年加800美元；（B）工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元。

你选择哪一种方案？为什么？答案：第二种方案要比第一种方案好得多4．我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。

经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。

每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。

问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？答案：日租金360元。

虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。

而客满时净利润160*80-40*80=9600元。

当然，所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担。

第二讲数学中的悖论“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。

悖论有三种主要形式。

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。

悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。

正因为如此，悖论就成了一种十分有价值的教学手段。

悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。

这就是说它带有强烈的游戏色彩。

然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。

欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。

莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。

希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。

冯·纽曼奠基了博弈论。

最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。

爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。

悖论一览1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。

试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。

这样，理发师陷入了两难的境地。

2．芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。

假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。

比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。

3．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。

”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。

所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。

公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是真的。

”同上，这又是难以自圆其说！4．跟无限相关的悖论：{1，2，3，4，5，…}是自然数集：{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。

这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？5．伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。

由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB 上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。

为什么？6．谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；……如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；7、“意外绞刑”悖论：“一名囚犯被法官告知将于周一到周五间的某一天被绞死。

法官并且声明说：绞刑的具体日期将是完全出人意料的。

这个囚犯非常聪明 (也许以前是逻辑学教授)，他由此推断出他根本不会被绞死，为什么？他由此推断出绞刑一定不会安排在周五，因为否则的话，前四天一过他就知道绞刑的具体日期了，但法官说过具体日期会是完全出人意料的。

法官是不会撒谎的，因此绞刑不可能在周五。

排除了周五，就只剩下四天了。

但是依据同样的推理，周四也可以被排除掉，...，以此类推，最终每一天都可以排除掉。

于是他得出令人欣慰的结论：他根本不会被绞死。

可是到了周二法官却突然宣布执行绞刑，大大出乎了他的意料！而这，恰恰证明法官的确没有撒谎。

”1、小丁和小明、小红三个小朋友并排在有灰尘的楼梯上同时从顶上向下走。

小明一步下2阶，小红一步下3阶，小丁一步下4阶，如果楼顶和楼底均有所有三个人的脚印，那么仅有一个人脚印的楼梯最少有几级？2、偶数的难题在很久以前，一个年迈的国王要为自己的独生公主选女婿，一时应者如云。

国王于是想出了比武招亲的办法。

经过文试、武试，三个英俊的小伙子成为最后的人选。

要从这三个难分高下的小伙子中选出一个女婿来，可真难为了国王。

他绞尽脑汁想出了一个方法。

国王命人拿出一个4*4的方格，将16枚棋子依次放在16个方格中。

国王对三个小伙子说：“现在你们从这１６枚棋子中随便拿去６个，但要保证纵、横行列中留下的都是偶数枚棋子。

这三个小伙子犯难了，最后，其中一个小伙子终于解开了这道难题，迎娶了公主。

请问这个小伙子是怎样解开这道难题的？第三讲：对称——自然美的基础在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。

它们引起人们的注意，令人赏心悦目。

每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。

仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。

花朵具有旋转对称的性征。

花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。

旋转时达到自相重合的最小角称为元角。

不同的花这个角不一样。

例如梅花为72°，水仙花为60°。

“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。

我国最早记载了雪花是六角星形。

其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。

既是中心对称，又是轴对称。

很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。

例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。

这种有趣的现象叫叶序。

向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。

“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。

无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。

在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。

第四讲：斐波那契数列斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。

（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8………………………翠雀花13………………………金盏草21………………………紫宛34，55，84……………雏菊（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。