2021高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修4

四 渐开线与摆线
一、基础达标
1.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ
(θ为参数)，则此渐开线对应的
基圆的周长是( ) A.π B.2π C.3π
D.4π
解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B. 答案 B
2.已知一个圆的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝
π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )
A.π
2
－1 B. 2 C.10
D.
3π2
－1 解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π
2代入参数方程中可得⎩⎪
⎨
⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2－1，y ＝3，
即A ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2－3，3，∴|AB |＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－3－3π22
＋（3－2）2＝10.
答案 C
3.摆线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2（t －sin t ），y ＝2（1－cos t ）(t 为参数，0≤t ＜2π)与直线
y ＝2的交点的直角坐标是
( )
A.(π－2，2)，(3π＋2，2)
B.(π－3，2)，(3π＋3，2)
C.(π，2)，(－π，2)
D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)
解析 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π
2.代入参数方程
得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2).
答案 A
4.已知圆的渐开线的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，
y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的
基圆的直径是________，当参数θ＝π
4时对应的曲线上的点的坐标为________.
解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π
8，由此可得对
应的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫22
＋2π8，22－2π8.
答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2＋2π8，22－2π8
5.已知圆的方程为x 2＋y 2
＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐
标为________.
解析 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ）y ＝2（sin φ－φcos φ）
(φ
为参数).
当φ＝π
2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2).
答案 (π，2)
6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.
解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，
所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，
y ＝3sin φ－3φcos φ
(φ为参数).
以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，
y ＝3－3cos φ(φ为参数). 7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π
2
，求A 、B 两点的距离. 解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，
y ＝sin φ－φcos φ
(φ为参数)，
分别把φ＝π3和φ＝π
2
代入，可得A 、B 两点的坐标分别为
A ⎝
⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝
⎛⎭⎪⎫π2，1.
那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为
|AB |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33－π6－12
＝16
（13－63）π2
－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为
16
（13－63）π2
－6π－363＋72. 二、能力提升
8.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ︵、EF ︵、FG ︵、GH ︵
…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( ) A.3π B.4π C.5π
D.6π
解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π
2，继续旋转可得EF ︵是
半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的
1
4圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C
9.已知一个圆的平摆线方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，
y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平
摆线上最高点的坐标.
解 由平摆线方程知，圆的半径为2，
则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4， 平摆线具有周期性，周期为2π.
∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2k π，4)(k ∈Z ).
10.渐开线方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），
y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆
的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标. 解 由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x 2
＋y 2
＝36. 把横坐标伸长到原来的2倍，
得到椭圆方程x 2
4＋y 2
＝36，即x 2114＋y 2
36＝1， 对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0).
11.如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚
动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r
2
，请推
出Q 的轨迹的参数方程.
解 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )， 则⎩⎪⎨
⎪
⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0
＝r （1－cos θ）.当|AQ |＝r
2时，
有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －rθ，y 0＝2y －r ， 代入⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），
y 0＝r （1－cos θ）. ∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1
2
sin θ，
y ＝r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12cos θ(θ为参数).
当AQ ＝3r
2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0
＝rθ＋2x 3，y 0
＝r ＋2y 3，
代入⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0
＝r （1－cos θ）.
∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－32cos θ(θ为参数).
三、探究与创新 12.已知一个参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，
如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设
斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆. (1)请写出直线和圆的普通方程；
(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程.
解 (1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2
＋(y －2)2
＝t 2
.
(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t （φ－sin φ），y ＝t （1－cos φ）(φ为参数).励志名言
学习不一定成功，不学习一定不能成功。

期末考，加油！
生命之中最快乐的是拼搏，而非成功，生命之中最痛苦的是懒散，而非失败。

你要逼自己优秀，然后骄傲的生活，余生还长，何必慌张，以后的你，会为自己所做的努力，而感到庆幸，别在最好的年纪选择了安逸。

期末考，加油！
吃别人吃不了的苦，忍别人受不了地气，付出比别人更多的努力，才会享受的比别人更多。

自强不息怀壮志以长行，厚德载物携梦想而抚凌。