2021高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修4

四 渐开线与摆线

一、基础达标

1.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ

(θ为参数)，则此渐开线对应的

基圆的周长是( ) A.π B.2π C.3π

D.4π

解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B. 答案 B

2.已知一个圆的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，

y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝

π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )

A.π

2

－1 B. 2 C.10

D.

3π2

－1 解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π

2代入参数方程中可得⎩⎪

⎨

⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π

2－1，y ＝3，

即A ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫3π2－3，3，∴|AB |＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2－3－3π22

＋（3－2）2＝10.

答案 C

3.摆线⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2（t －sin t ），y ＝2（1－cos t ）(t 为参数，0≤t ＜2π)与直线

y ＝2的交点的直角坐标是

( )

A.(π－2，2)，(3π＋2，2)

B.(π－3，2)，(3π＋3，2)

C.(π，2)，(－π，2)

D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)

解析 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π

2.代入参数方程

得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2).

答案 A

4.已知圆的渐开线的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，

y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的

基圆的直径是________，当参数θ＝π

4时对应的曲线上的点的坐标为________.

解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π

8，由此可得对

应的坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫22

＋2π8，22－2π8.

答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2

2＋2π8，22－2π8

5.已知圆的方程为x 2＋y 2

＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐

标为________.

解析 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ）y ＝2（sin φ－φcos φ）

(φ

为参数).

当φ＝π

2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2).

答案 (π，2)

6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.

解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，

所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，

y ＝3sin φ－3φcos φ

(φ为参数).

以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，

y ＝3－3cos φ(φ为参数). 7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π

2

，求A 、B 两点的距离. 解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩

⎪⎨

⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，

y ＝sin φ－φcos φ

(φ为参数)，

分别把φ＝π3和φ＝π

2

代入，可得A 、B 两点的坐标分别为

A ⎝

⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝

⎛⎭⎪⎫π2，1.

那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为

|AB |＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫33－π6－12

＝16

（13－63）π2

－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为

16

（13－63）π2

－6π－363＋72. 二、能力提升

8.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ︵、EF ︵、FG ︵、GH ︵

…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( ) A.3π B.4π C.5π

D.6π

解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π

2，继续旋转可得EF ︵是

半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的

1

4圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C

9.已知一个圆的平摆线方程是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，

y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平

摆线上最高点的坐标.

解 由平摆线方程知，圆的半径为2，

则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4， 平摆线具有周期性，周期为2π.

∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2k π，4)(k ∈Z ).