多元线性回归自相关问题
多元线性回归分析
简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。
它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。
这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。
我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。
最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。
这些假设包括。
1）线性。
自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。
自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。
数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。
4）同质性。
残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。
残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。
残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。
7）没有异常值。
数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。
多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。
这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。
例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。
同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
多元线性回归模型(6)
样本，可表示为
Y1 1 2 X 21 3 X31 ... k X k1 u1 Y2 1 2 X 22 3 X32 ... k X k2 u2
Yn 1 2 X 2n 3 X3n ... k X kn un
11
用矩阵表示
Y1 1
即 X可X逆
假定6：正态性假定 ui ~ N(0,σ2)
15
第二节 多元线性回归模型的估计
本节基本内容:
● 普通最小二乘法（OLS） ● OLS估计式的性质 ● OLS估计的分布性质
● 随机扰动项方差 的估2 计
● 回归系数的区间估计
16
一、普通最小二乘法（OLS）
最小二乘原则
剩余平方和最小： min ei2 (Yi -Yˆi)2
1 X 22
X kiei
X
k1
Xk2
1 e1
0
X
2n
e2
=
XБайду номын сангаас
e
=
0
X
kn
en
0
X
e
因为样本回归函数为 Y = Xβˆ + e
两边乘 X有 ：
X Y = X Xβˆ + X e
因为 Xe，= 0则正规方程为：
X Xβˆ = X Y
19
OLS估计式
由正规方程 多元回归中 二元回归中
或取固定值的矩阵
2.无偏特性:
E(βˆk ) βk
21
3. 最小方差特性
在 βk所有的线性无偏估计中，OLS估计 β具ˆk 有
最小方差
结论：在古典假定下，多元线性回归的 OLS估计 式是最佳线性无偏估计式（BLUE）
2023年期货从业资格之期货投资分析自我提分评估(附答案)
2023年期货从业资格之期货投资分析自我提分评估(附答案)单选题（共40题）1、某资产管理机构设计了一款挂钩于沪深300指数的结构化产品，期限为6个月，若到期时沪深300指数的涨跌在－3.0%到7.0%之间，则产品的收益率为9%，其他情况的收益率为3%。
据此回答以下三题。
A.预期涨跌幅度在－3.0%到7.0%之间B.预期涨跌幅度在7%左右C.预期跌幅超过3%D.预期跌幅超过7%【答案】 A2、场内金融工具的特点不包括（）。
A.通常是标准化的B.在交易所内交易C.有较好的流动性D.交易成本较高【答案】 D3、某投资者以资产s作标的构造牛市看涨价差期权的投资策略(即买入1单位C1，卖出1单位C2)，具体信息如表2-7所示。
若其他信息不变，同一天内，市场利率一致向上波动10个基点，则该组合的理论价值变动是( )。
A.0.00073B.0.0073C.0.073D.0.73【答案】 A4、如果一家企业获得了固定利率贷款，但是基于未来利率水平将会持续缓慢下降的预期，企业希望以浮动利率筹集资金。
所以企业可以通过（）交易将固定的利息成本转变成为浮动的利率成本。
A.期货B.互换C.期权D.远期【答案】 B5、假设某债券投资组合的价值是10亿元，久期12．8，预期未来债券市场利率将有较大波动，为降低投资组合波动，希望降低久期至3．2。
当前国债期货报价为1 10，久期6．4。
投资经理应（）。
A.卖出国债期货1364万份B.卖出国债期货1364份C.买入国债期货1364份D.买入国债期货1364万份【答案】 B6、下面关于利率互换说法错误的是（）。
A.利率互换是指双方约定在未来的一定期限内，对约定的名义本金按照不同的计息方法定期交换利息的一种场外交易的金融合约B.一般来说，利率互换合约交换的只是不同特征的利息C.利率互换中存在两边的利息计算都是基于浮动利率的情况D.在大多数利率互换中，合约一方支付的利息是基于浮动利率进行计算的，则另一方支付的利息也是基于浮动利率计算的【答案】 D7、下列哪种情况下，原先的价格趋势仍然有效？( )A.两个平均指数，一个发出看跌信号，另一个保持原有趋势B.两个平均指数，一个发出看涨信号，另一个发出看跌信号C.两个平均指数都同样发出看涨信号D.两个平均指数都同样发出看跌信号【答案】 B8、以黑龙江大豆种植成本为例，大豆种植每公顷投入总成本8000元，每公顷产量1.8吨，按照4600元/吨销售。
关于多元线性回归的毕业论文
摘要许多现象往往不是简单的与某一因素有关而是要受多个因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。
本文的研究主要从四个部分来进行。
第一章从基础内容和研究对象着手，对主要研究内容进行了简单的阐述。
第二章对多元线性回归的基础进行了详细分析。
第三章介绍了中国经济的现状。
最后通过多元线性回归模型对我国工业生产总值进行了分析。
总的来说，本文在2007年全国各省市主要工业产品的产量与工业总产值的具体数据下，选用塑料、水泥、钢筋、平板玻璃、粗钢、盘条以及原煤等工业产品的产量作为研究对象，建立多元线性回归模型，并对模型做出参数估计.在此基础上对模型做出一定的解释，对于预测工业总产值具有一定的理论指导和现实意义。
关键词：多元线性回归模型工业生产总值假设检验预测AbstractMany phenomena are often not simply associated with a number of factors but with varieties. At this point we need to use two or more factors as independent variables to explain changes in the dependent variable. This is also known as multiple regression. When more than one independent variable and the dependent variable are linear relationship, the regression analysis is carried out by diversity regression.The main research work of this thesis is divided into four parts. In the first chapter, the thesis proceed from the basic content and object of study and elaborate main content simply. In the second chapter, multiple linear regression model is analyzed detail. In the third chapter, the thesis introduces status quo of china. And at last, gross industrial production is analyzed by multiple linear regression model in this article.Over all, this article use the specific data of the output of major industrial products and industrial output in nationwide provinces in 2007, and select the output of plastics, cement, steel, plate glass, crude steel, wire rod and raw coal as study object to establish multiple linear regression model, and then make the model parameter estimation. Based on this，we make some explanations to the model. All of these are of momentous current significance and far-reaching historical significance to the forecast of industrial production.Key Words: Multiple linear regression model Gross industrial production Hypothetical test Prediction目录摘要 (1)Abstract (2)1 绪论 (4)2 多元线性回归分析基础 (5)2.1 多元线性回归定义 (5)2.2多元线性回归模型 (6)2.2.1模型的建立及矩阵表示 (6)2.2.2模型的假设 (7)2.3 多元线性回归参数估计 (7)2.3.1 最小二乘估计和正规方程组 (7)2.3.2 最小二乘估计的矩阵形式 (8)2.4 回归拟合度评价和决定系数 (9)2.4.1 离差分解和决定系数 (9)2.4.2 决定系数的性质及修正可决系数 (10)2.5 统计检验 (11)2.5.1回归参数的显著性检验（t检验） (11)2.5.2回归方程的显著性检验（F检验） (12)2.5.3 多重共线性检验 (12)2.5.4 异方差检验 (13)3 中国经济现状 (15)3.1中国经济现状 (15)3.2 工业生产总值的概述 (15)4 工业生产总值的多因素模型分析 (15)4.1建立多因素分析模型 (16)4.2数据收集 (16)4.3 统计检验 (19)4.4 计量经济学检验及模型修正 (20)4.4.1 异方差检验 (21)4.4.2 自相关检验 (21)5 结论 (26)致谢 (27)参考文献 (28)1绪论在各个方面，变量之间的关系一般来说可分为确定性的与非确定性的两种。
多元线性回归模型常见问题及解决方法
Yi 0 1 X i1 2 X i 2
k X ik i ; i 1, 2, , n
基本假设 (1)随机扰动项ui数学期望（均值）为零。E(ui)=0 (2)随机扰动项ui的同方差性且无自相关Var(ui)=σ2 (3)解释变量X列线性无关。R(Xn×k)=K (4)随机扰动项ui与解释变量X不相关。cov(ui,X)=0
0 0 0 1 2 0
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1
Yt 0 1 X t1
k X tk Yt 1 t
(4)回归模型含有截距项。 D.W.检验的原假设为：H0: ρ=0，即μt不存在一 阶自回归。
构造统计量：
DW . .
2 ( e e ) t t 1 t 2 2 e t t 1 n
n
该统计量的分布与给定样本中的X值有复杂关 系，其精确分布很难得到。
n1 n 2 2 n
其中，Ω为对称正定矩阵，故存在一可逆矩阵 D，使得 Ω=DD’ 用D-1左乘模型两边，得到新模型： D-1Y=D-1Xβ+D-1μ 即Y*=X*β+μ*
由于 E ( * * ') E[ D 1 '( D 1 ) '] D 1E ( ')( D 1 ) ' D 1 2( D 1 ) ' D 1 2 DD '( D 1 ) ' 2 I 故，可用普通最小二乘法估计新模型，记参数 ˆ * ，则 估计量为 ˆ * ( X * ' X * )1 X * ' Y * [ X '( D 1 ) ' D 1 X ]1 X '( D 1 ) ' D 1Y
2024年期货从业资格之期货投资分析通关提分题库及完整答案
2024年期货从业资格之期货投资分析通关提分题库及完整答案单选题（共45题）1、6月2日以后的条款是（）交易的基本表现。
A.一次点价B.二次点价C.三次点价D.四次点价【答案】 B2、程序化交易一般的回测流程是（）。
A.样本内回测一绩效评估一参数优化一样本外验证B.绩效评估一样本内回测一参数优化一样本外验证C.样本内回测一参数优先一绩效评估一样本外验证D.样本内回测一样本外验证一参数优先一绩效评估【答案】 A3、甲乙双方签订一份场外期权合约，在合约基准日确定甲现有资产组合为100个指数点。
未来指数点高于100点时，甲方资产组合上升，反之则下降。
合约乘数为200元／指数点，甲方总资产为20000元。
假设未来甲方预期资产价值会下降，购买一个欧式看跌期权，行权价为95，期限1个月，期权的价格为3．8个指数点，这3．8的期权费是卖出资产得到。
假设指数跌到90，则到期甲方资产总的市值是（）元。
A.500B.18316C.19240D.17316【答案】 B4、根据指数化投资策略原理，建立合成指数基金的方法有( )。
A.国债期货合约+股票组合+股指期货合约B.国债期货合约+股指期货合约C.现金储备+股指期货合约D.现金储备+股票组合+股指期货合约【答案】 C5、美元指数中英镑所占的比重为（）。
A.3.6%B.4.2%C.11.9%D.13.6%【答案】 C6、下列策略中，不属于止盈策略的是（）。
A.跟踪止盈B.移动平均止盈C.利润折回止盈D.技术形态止盈【答案】 D7、套期保值的效果取决于( )。
A.基差的变动B.国债期货的标的利率与市场利率的相关性C.期货合约的选取D.被套期保值债券的价格【答案】 A8、根据下面资料，回答89-90题A.145.6B.155.6C.160.6D.165.6【答案】 B9、在我国，中国人民银行对各金融机构法定存款准备金按（）考核。
A.周B.月C.旬D.日【答案】 C10、在险价值风险度量时，资产组合价值变化△II的概率密度函数曲线呈（）。
多元回归中自变量的关系
在多元回归分析中，自变量（解释变量）之间的关系可以是多样的，包括正相关、负相关、无关或更复杂的关系，如非线性关系、交互作用等。
以下是一些关于自变量关系的考虑：
1. 正相关：当两个自变量随着彼此的增加而增加时，它们之间是正相关的。
例如，一个人的收入（X1）和他们的教育水平（X2）可能是正相关的，因为通常情况下，教育水平越高的人收入也越高。
2. 负相关：当两个自变量随着彼此的增加而减少时，它们之间是负相关的。
例如，一个人的债务（X1）和他们的储蓄（X2）可能是负相关的，因为通常情况下，债务越多的人储蓄越少。
3. 无关：当两个自变量之间没有明显的相关关系时，它们被认为是无关的。
这可能是由于它们代表完全不同的概念，或者它们之间的关系太弱，无法通过统计方法检测到。
4. 非线性关系：自变量之间可能存在非线性关系，这意味着它们之间的关系不是线性的，而是曲线状的。
在这种情况下，一个自变量的变化可能会以非线性的方式影响另一个自变量。
5. 交互作用：在某些情况下，两个自变量共同作用可能会产生一个不同于各自单独作用的效果。
这种交互作用可以通过在回归模型中引入交互项来检测。
例如，性别（X1）和经验（X2）可能对工资（Y）有交互作用，不同性别的个体在经验增加时，工资的增长速度可能不同。
在多元回归分析中，了解自变量之间的关系对于正确解释回归系数、避免多重共线性问题以及确保模型的稳健性都是非常重要的。
因此，在进行多元回归分析之前，通常会对自变量进行探索性数据分析，包括计算它们之间的相关系数，以了解它们之间的关系。
如果存在多重共线性问题，可能需要采取一些措施，如剔除某些自变量、使用岭回归或主成分分析等。
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。
在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。
本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。
多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。
二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。
常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。
我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。
•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。
•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。
•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。
•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。
2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。
违反多元线性回归模型基本假定后果
违反多元线性回归模型基本假定后果
多元线性回归是一种流行的回归技术,其要求满足以下基本的假设条件,
否则会导致结果失真:
1) 残差项之间相互独立。
残差项之间应该是互相独立的,如果残差项之
间有关联或相依的话,将影响模型的精确度,而非正确反应真实的关系。
2) 残差项均值为零。
若残差项的均值不为零,则表明模型无法拟合数据,然而存在不符合要求的模型。
3) 残差项的方差应该是等于常数。
如果残差方差不是定值,就不能拟合
数据,也无法正确反映数据的关系。
4) 残差项的自相关应该是等于零。
若残差项的自相关不等于零,则表明
残差存在趋势或自相关,这会引起模型失真,从而影响现行模型给出的
如果违反多元线性回归模型基本假定，将会产生严重的后果。
首先，将会影
响模型的精度和可能性。
如果残差项存在关联或相依，则将不能拟合数据，
得出的结果也将不具有可靠性。
其次，违反假设条件可能会使得模型不可控，发生“大误差”的可能性也会增加，从而导致模型无效。
最后，多元线性回
归模型不同变量之间可能存在联系，如果违反假定会丧失变量间的相关性，
从而形成类似点击推荐或网络广告效果的误差。
总之，当使用多元线性回归模型的时候，必须遵守基本的假设条件，这
对于准确获取数据分析结果至关重要。
若违反多元线性回归模型基本假定，
将会导致模型失真，从而影响数据分析结果的准确性，甚至是无效的。
因此，必须在数据分析前进行有效的假设检验，确保模型能够正确反应数据相互之
间的关系。
多元线性回归模型常见问题及解决方法
上述即为加权最小二乘法，其中权数 为1 。
f ( X ji )
普通最小二乘法只是加权最小二乘法中权数恒 取1的一种特例，加权最小二乘法具有比普通 最小二乘法更普遍的意义。
加权最小二乘法也称为广义最小二乘法 (Generalized Least Squares, GLS)。
加权最小二乘法的关键是寻找适当的权，或者
nR2~χ2
在大样本下，对统计量nR2进行相应的χ2检验。
若存在异方差性，表明 e%i2与解释变量的某种 组合有显著的相关性，这时往往有较大的可决 系数R2，并且某一参数的t检验值较大。
加权最小二乘法(WLS)
加权最小二乘法(Weighted Least Squares, WLS) 是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异 方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计 其参数。
2
L k
f
1 (X
ji )
X ki
f
1 (X
ji
)
i
f
1 (X
ji )
X 2i
在新模型中，
2
Var
f
1 (X
ji
)
i
1
f (X ji )
Var(i )
1 f (X ji )
f (X ji ) 2
2
即满足同方差性，可用普通最小二乘法估计其 参数，得到参数β0,β1,…,βk的无偏、有效估计量。
序列相关性产生的原因
经济变量故有的惯性（物价指数，消费） 模型设定的偏误 数据的编造 （由已知数据生成）
(一)经济变量故有的惯性
消费函数模型：
元线性回归模型习题及答案解析
一元线性回归模型一、单项选择题1、变量之间的关系可以分为两大类__________。
AA 函数关系与相关关系B 线性相关关系和非线性相关关系C 正相关关系和负相关关系D 简单相关关系和复杂相关关系 2、相关关系是指__________。
DA 变量间的非独立关系B 变量间的因果关系C 变量间的函数关系D 变量间不确定性的依存关系 3、进行相关分析时的两个变量__________。
AA 都是随机变量B 都不是随机变量C 一个是随机变量，一个不是随机变量D 随机的或非随机都可以 4、表示x 和y 之间真实线性关系的是__________。
CA 01ˆˆˆt tY X ββ=+ B 01()t t E Y X ββ=+ C 01t t t Y X u ββ=++ D 01t t Y X ββ=+5、参数β的估计量ˆβ具备有效性是指__________。
B A ˆvar ()=0βB ˆvar ()β为最小C ˆ()0ββ－＝ D ˆ()ββ－为最小 6、对于01ˆˆi i iY X e ββ=++，以σˆ表示估计标准误差，Y ˆ表示回归值，则__________。
BA i i ˆˆ0Y Y 0σ∑＝时，（－）＝B 2iiˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）＝0 C ii ˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）为最小 D 2iiˆˆ0Y Yσ∑＝时，（－）为最小 7、设样本回归模型为i 01i iˆˆY =X +e ββ+，则普通最小二乘法确定的i ˆβ的公式中，错误的是__________。
DA ()()()i i 12iX X Y -Y ˆX X β--∑∑＝B()i iii122iin X Y -X Y ˆn X -X β∑∑∑∑∑＝C ii122iX Y -nXY ˆX -nXβ∑∑＝ D i i ii12xn X Y -X Y ˆβσ∑∑∑＝8、对于i 01i i ˆˆY =X +e ββ+，以ˆσ表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有__________。
多元线性回归实验报告
实验题目：多元线性回归、异方差、多重共线性实验目的：掌握多元线性回归的最小二乘法，熟练运用Eviews软件的多元线性回归、异方差、多重共线性的操作，并能够对结果进行相应的分析。
实验内容：习题3.2，分析1994-2011年中国的出口货物总额（Y）、工业增加值（X2）、人民币汇率（X3），之间的相关性和差异性，并修正。
实验步骤：1.建立出口货物总额计量经济模型：错误！未找到引用源。
（3.1）1.1建立工作文件并录入数据，得到图1图1在“workfile"中按住”ctrl"键，点击“Y、X2、X3”，在双击菜单中点“open group”,出现数据表。
点”view/graph/line/ok”,形成线性图2。
图21.2对（3.1）采用OLS估计参数在主界面命令框栏中输入ls y c x2 x3，然后回车，即可得到参数的估计结果，如图3所示。
图 3根据图3中的数据，得到模型（3.1）的估计结果为（8638.216）（0.012799）（9.776181）t=(-2.110573) (10.58454) (1.928512)错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
F=522.0976从上回归结果可以看出，拟合优度很高，整体效果的F检验通过。
但当错误！未找到引用源。
=0.05时，错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
2.131.有重要变量X3的t检验不显著，可能存在严重的多重共线性。
2．多重共线性模型的识别2.1计算解释变量x2、x3的简单相关系数矩阵。
点击Eviews主画面的顶部的Quick/Group Statistics/Correlatios弹出对话框在对话框中输入解释变量x2、x3，点击OK，即可得出相关系数矩阵（同图4）。
相关系数矩阵图4由图4相关系数矩阵可以看出，各解释变量相互之间的相关系数较高，证实解释变量之间存在多重共线性。
2.2多重共线性模型的修正将各变量进行对数变换，在对以下模型进行估计。
计量经济学实验报告(多元线性回归 自相关 )
计量经济学实验报告(多元线性回归自相关 )1. 背景计量经济学是一门关于经济现象的定量分析方法研究的学科。
它的发展使得我们可以对经济现象进行更加准确的分析和预测，并对社会发展提供有利的政策建议。
本文通过对多元线性回归模型和自相关模型的实验研究，来讨论模型的建立与评价。
2. 多元线性回归模型在多元线性回归模型中，我们可以通过各个自变量对因变量进行预测和解释。
例如，我们可以通过考虑家庭收入、年龄和教育程度等自变量，来预测某个家庭的消费水平。
多元线性回归模型的一般形式为：$y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i1}+\beta_2 x_{i2}+...+\beta_k x_{ik}+\epsilon_i$在建立模型之前，我们需要对因变量和自变量进行观测和测算。
例如，我们可以通过调查一定数量的家庭，获得他们的收入、年龄、教育程度和消费水平等数据。
接下来，我们可以通过多元线性回归模型，对家庭消费水平进行预测和解释。
在实际的研究中，我们需要对多元线性回归模型进行评价。
其中一个重要的评价指标是 $R^2$ 值，它表示自变量对因变量的解释程度。
$R^2$ 值越高，说明多元线性回归模型的拟合程度越好。
3. 自相关模型在多元线性回归模型中，我们假设各个误差项之间相互独立，即不存在自相关性。
但实际上，各个误差项之间可能会互相影响，产生自相关性。
例如，在一个气温预测模型中，过去的温度对当前的温度有所影响，说明当前的误差项和过去的误差项之间存在相关性。
我们可以通过自相关函数来研究误差项之间的相关性。
自相关函数表示当前误差项和过去 $l$ 期的误差项之间的相关性。
其中，$l$ 称为阶数。
自相关函数的一般形式为：$\rho_l={\frac{\sum_{t=l+1}^{T}(y_t-\bar{y})(y_{t-l}-\bar{y})}{\sum_{t=1}^{T}(y_t-\bar{y})^2}}$在自相关模型中，我们通过对误差项进行差分或滞后变量，来消除误差项之间的自相关性。
多元线性回归模型常见问题及解决方法
特点
03
04
05
适用于多个自变量对因 变量的影响研究；
适用于线性关系假设下 的数据；
可通过参数估计和模型 检验来评估模型的可靠 性和预测能力。
多元线性回归模型的应用场景
经济预测
用于预测股票价格、GDP等经济指标；
市场营销
用于分析消费者行为、预测销售额等；
医学研究
用于分析疾病风险因素、预测疾病发 病率等；
自相关问题
残差序列之间存在相关性，违 反了线性回归模型的独立性假 设。
异常值和离群点问题
异常值和离群点对回归模型的 拟合和预测精度产生影响。
解决方法的总结与评价
01
02
03
04
05
多重共线性的解 决方法
异方差性的解决 方法
自相关问题的解 决方法
解释变量的选择 异常值和离群点
方法
处理方法
如逐步回归、主成分回归 、岭回归和套索回归等。 这些方法在处理多重共线 性问题时各有优缺点，需 要根据具体问题和数据特 点选择合适的方法。
2. 稳健标准误
使用稳健标准误来纠正异方差性 对模型估计的影响。
总结词
异方差性是指模型残差在不同观 测点上的方差不相等，导致模型 估计失真。
3. 模型诊断检验
使用如White检验、BP检验等异 方差性检验方法来诊断异方差性 问题。
自相关问题
01
02
03
04
05
总结词
详细描述
1. 差分法
2. 广义最小二乘 3. 自相关图和偏
详细描述
例如，在时间序列数据中，如果一个观测值的残差 与前一个观测值的残差正相关，则会导致模型的预 测精度降低。
解决方法
多元线性回归分析及其应用
多元线性回归分析及其应用一、本文概述《多元线性回归分析及其应用》这篇文章旨在深入探讨多元线性回归分析的基本原理、方法以及在实际应用中的广泛运用。
文章首先将对多元线性回归分析的基本概念进行阐述，包括其定义、特点以及与其他统计分析方法的区别。
随后，文章将详细介绍多元线性回归分析的数学模型、参数估计方法以及模型的检验与优化。
在介绍完多元线性回归分析的基本理论后，文章将重点探讨其在各个领域的应用。
通过具体案例分析，展示多元线性回归分析在解决实际问题中的强大作用，如经济预测、市场研究、医学统计等。
文章还将讨论多元线性回归分析在实际应用中可能遇到的问题，如多重共线性、异方差性等，并提出相应的解决方法。
文章将对多元线性回归分析的发展趋势进行展望，探讨其在大数据时代背景下的应用前景以及面临的挑战。
通过本文的阅读，读者可以全面了解多元线性回归分析的基本理论、方法以及实际应用，为相关领域的研究与实践提供有力支持。
二、多元线性回归分析的基本原理多元线性回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（一个或多个）和自变量（一个或多个）之间的关系。
这种技术通过建立一个包含多个自变量的线性方程，来预测因变量的值。
这个方程描述了因变量如何依赖于自变量，并且提供了自变量对因变量的影响的量化估计。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量和自变量之间存在线性关系，即因变量可以表示为自变量的线性组合加上一个误差项。
这个误差项表示了模型中未能解释的部分，通常假设它服从某种概率分布，如正态分布。
多元线性回归模型的参数估计通常通过最小二乘法来实现。
最小二乘法的基本思想是通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来求解模型的参数。
这个过程可以通过数学上的最优化方法来完成，例如梯度下降法或者正规方程法。
除了参数估计外，多元线性回归分析还需要进行模型的诊断和验证。
这包括检查模型的拟合优度（如R方值）、检验自变量的显著性（如t检验或F检验）、评估模型的预测能力（如交叉验证）以及检查模型的假设是否成立（如残差的正态性、同方差性等）。
统计学多元回归分析方法
多元线性回归分析多元线性回归分析多元线性回归分析多元线性回归分析多元线性回归分析多元线性回归分析在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。
要了解变量之间如何发生相互影响的，就需要利用相关分析和回归分析。
回归分析的主要类型：一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。
1.1 回归分析基本概念相关分析和回归分析都是研究变量间关系的统计学课题。
在应用中，两种分析方法经常相互结合和渗透，但它们研究的侧重点和应用面不同。
在回归分析中，变量y称为因变量，处于被解释的特殊地位；而在相关分析中，变量y与变量x处于平等的地位，研究变量y与变量x的密切程度和研究变量x与变量y的密切程度是一样的。
在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量；而在相关分析中，变量x和变量y都是随机变量。
相关分析是测定变量之间的关系密切程度，所使用的工具是相关系数；而回归分析则是侧重于考察变量之间的数量变化规律，并通过一定的数学表达式来描述变量之间的关系，进而确定一个或者几个变量的变化对另一个特定变量的影响程度。
具体地说，回归分析主要解决以下几方面的问题。
（1）通过分析大量的样本数据，确定变量之间的数学关系式。
（2）对所确定的数学关系式的可信程度进行各种统计检验，并区分出对某一特定变量影响较为显著的变量和影响不显著的变量。
（3）利用所确定的数学关系式，根据一个或几个变量的值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确度。
作为处理变量之间关系的一种统计方法和技术，回归分析的基本思想和方法以及“回归（Regression）”名称的由来都要归功于英国统计学F·Galton（1822～1911）。
在实际中，根据变量的个数、变量的类型以及变量之间的相关关系，回归分析通常分为一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析和逻辑回归分析等类型。
多元线性回归自相关问题
（五）应用举例
例1：修正美国投资方程残差序列旳自有关性 例2：考虑美国消费CS和GDP及前期消费之间旳关系。数
据区间：1947年第1季度到1995年第1季度，数据中已 消除了季节要素。建立模型，检验序列有关性，并进 行修正。
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（五）有关图和Q统计量检验序列有关
p阶滞后旳Q统计量旳原假设是：序列不存在p阶自有关； 备选假设为：序列存在序列有关。在实际检验中，一般会计算 出不同滞后阶数旳Q统计量、自有关系数和偏自有关系数。假 如各阶Q统计量都没有超出临界值，则接受原假设，即不存在 序列有关，而且此时各阶旳自有关和偏自有关系数都接近于0； 假如存在某一滞后阶数p，Q统计量超出设定旳明显性水平旳临 界值，则拒绝原假设，阐明残差存在p阶自有关。
实例7-2
利用游程检验判断美国抵押债务方程残差项旳 自有关性
9
三、序列有关性旳发觉和判断
（四）杜宾-瓦尔森(D-W)检验（适应于一阶自有 关情况旳检验）
DW检验旳原理
对线性回归模型 Y 0 1X1 K X K
假如误差项有一阶自回归问题，那么
i i1 i
其中旳0 1 ，i 是均值为0旳独立同分布随机变量。
（五）有关图和Q统计量检验序列有关
能够应用所估计回归方程残差序列旳自有关和偏自有关
系数以及Ljung-Box Q统计量来检验序列有关。Q统计量
旳体现式为 QLB T (T 2)
p rj2 j1 T j
其中rj是残差序列旳j阶自有关系数，T为样本容量，p为 设定旳滞后阶数。
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三、序列有关性旳发觉和判断
记
Y~ A1Y, X~ A1X, ~ε A1ε
得到
Y~ X~β ~ε
其中误差向量满足
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三、序列相关性的发现和判断
根据 i和 i的性质，有
E ii1
E
i1 i • i1
E
2 i 1
E
i1 i
E
2 i 1
E
2 i
因此
E i i1
E
2 i
n
ei ei1
ˆ i1 ei2
i
10
三、序列相关性的发现和判断
考虑与 ˆ有密切关系的DW统计量
一、序列相关性的定义
线性回归模型假设要求
Ei Ei j E j E i j 0
对任意 i j 都成立
误差序列相关比较基本和重要类型——一阶自回归：
i i1 i 其中 满足 0 1
1
二、序列相关性的后果
1、参数估计量是无偏的和一致的，但不再是BLUE的， 是非有效。
2、OLS估计量的方差是有偏的 3、检验统计量不再生效，变量显著性检验失去意义。 3、模型的预测失效。
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三、序列相关性的发现和判断
（五）序列相关LM检验
在给定地显著性水平下，如果统计量大于临界值，则说明序 列存在序列相关性，否则不存在序列相关性。
Eviews 实现 View-Residual Tests-Correlogram and Q-statistics
实例：美国的投资方程 建立美国国内私人投资INV和GNP平减指数、利息率之间的
2
三、序列相关性的发现和判断
（一）残差序列图分析
如形成锯齿形或循环状，可断定残差序列存在相关
e
S
i
a
e S
i
b
e
S
i
c
3
三、序列相关性的发现和判断
分析误差序列相关残差分布图
ei
ei
ei
0
ei1
0
ei1
0
ei1
a
b
c
4
三、序列相关性的发现和判断
例7.1 美国进口支出函数
给出美国1968年到1987年期进口支出与个人可支配收 入（PDI）数据，建立美国支出函数模型，检验残差序 列的自相关性。 绘出残差序列随时间变化的趋势 绘出残差序列与其滞后项
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三、序列相关性的发现和判断
（五）相关图和Q统计量检验序列相关
Eviews 实现 View-Residual Tests-Correlogram and Q-statistics
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三、序列相关性的发现和判断
（五）序列相关LM检验
LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关，p为预先定义好 的整数；备择假设为：存在p阶自相关
实例7-2
利用游程检验判断美国抵押债务方程残差项的 自相关性
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三、序列相关性的发现和判断
（四）杜宾-瓦尔森(D-W)检验（适应于一阶自相 关情况的检验）
DW检验的原理
对线性回归模型 Y 0 1X1 K X K
如果误差项有一阶自回归问题，那么
i i1 i
其中的0 1 ， i 是均值为0的独立同分布随机变量。
7
三、序列相关性的发现和判断
（三）游程检验 令N为观察值的总个数，N1表示+号（正的残差）的个数， N2表示-号（负的残差）的个数，k表示游程个数，在残差 是独立的假设下，Swed-Eisenhart给出了游程检验的上下 临界值，如果实际游程个数小于或等于下临界值，或是大 于或等于上临界值，则可以拒绝零假设，说明所观察的序 列是随机的
6
三、序列相关性的发现和判断
（三）游程检验
游程：为同一符号或属性（例如+或-)的一个不间断历程。 如：记残差的符号(+或-),有
(+++++++)(-)(+++)(-----)(++++) 总共有20个残差构成了5个游程。其中一个7个正值的游程 （其长度为7）。若游程太多，则意味着e在频繁地变换着 符号，表明存在负的序列相关；如果游程太少，则意味着 存在正的自相关。在残差是独立的假设下，史威德 （Swed）和艾森哈特（Eisenhart）建立了游程检验的临 界值。
DW
2
4 dU 4 dL
4
实例7-3 利用杜宾-瓦尔森检验判断美国抵押债务方程残
差项的 自相关性
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三、序列相关性的发现和判断
DW检验序列相关性的主要不足： （1）D.W.统计量的扰动项在原假设下依赖于系数矩阵X； （2）回归方程右边如果存在滞后变量， D.W.检验不再
有效； （3）仅仅检验残差是否存在一阶序列相关
n
ei ei1 2
DW i2
ei2
i
n
ei2
n
e2 i1
n
2
eiei1
n
ei ei1Dຫໍສະໝຸດ i2i2i2ei2
2
2
i2
ei2
2 1 ˆ
i
i
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三、序列相关性的发现和判断
检验误差序列正自相关性 DW检验区域图
一阶自相关 无法判断 无一阶自相关性
无法判断 一阶负自相关
0
d L
d U
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三、序列相关性的发现和判断
（五）相关图和Q统计量检验序列相关
可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关
系数以及Ljung-Box Q统计量来检验序列相关。Q统计量
的表达式为 QLB T (T 2)
p rj2 j1 T j
其中rj是残差序列的j阶自相关系数，T为样本容量，p为 设定的滞后阶数。
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三、序列相关性的发现和判断
（二）回归检验法
首先应用OLS估计模型并求出ε的估计值即残差e，然后以
et 为被解释变量，以各种可能的相关变量如
作为自变量进行线性拟合如：
et et1 ut
et 1et1 2et2 ut , 等
et1, e等t2
对各种拟合形式进行统计检验，选择显著的最优的拟合 形式作为序列相关的具体形式。
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三、序列相关性的发现和判断
（五）相关图和Q统计量检验序列相关
p阶滞后的Q统计量的原假设是：序列不存在p阶自相关； 备选假设为：序列存在序列相关。在实际检验中，通常会计算 出不同滞后阶数的Q统计量、自相关系数和偏自相关系数。如 果各阶Q统计量都没有超过临界值，则接受原假设，即不存在 序列相关，并且此时各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0； 如果存在某一滞后阶数p，Q统计量超过设定的显著性水平的临 界值，则拒绝原假设，说明残差存在p阶自相关。
检验过程：估计回归方程，并求出残差，对原始回归变量X和直到 p阶的滞后残差作回归。LM检验通常给出两个统计量：F统计 量和n×R2统计量。F统计量是对以上回归方程中所有滞后残差 联合显著性的检验。 n×R2统计量是Breusch-Godfrey LM检验 统计量，是观测值个数n乘以以上方程的R2, 一般地它服从渐近 地χ2(p)分布。