变上限的定积分
变上限积分的求解技巧
变上限积分的求解技巧要求解一个函数的上限积分，首先需要明确上限积分的定义。
上限积分是通过将函数在一个区间上每一个点的函数值与该点与区间上限的距离的乘积累加得到的。
数学上，上限积分可以表示为下面的积分式：I = ∫[a, b] f(x)dx其中，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。
下面将介绍三种常用的技巧用于求解上限积分，分别是定积分、换元积分和分部积分。
1. 定积分法：最简单的方法就是直接计算上限积分的定积分。
定积分是求一个函数在一个区间上的累积量。
如果被积函数f(x)是已知的，我们可以使用基本的积分法则来计算上限积分。
首先，我们需要确定被积函数f(x)的原函数F(x)。
然后使用下面的定积分公式来计算上限积分：I = F(b) - F(a)这个方法非常简单，但要求能够找到f(x)的原函数F(x)。
有时候，寻找f(x)的原函数可能非常困难，这时候就需要借助其他的积分技巧。
2. 换元积分法：换元积分法是一种常见的用于简化被积函数的方法。
通过引入一个新的变量，可以将被积函数转化为更容易积分的形式。
使用换元积分法时，我们首先选择一个合适的变量替代原函数中的自变量，然后计算新的积分表达式。
在计算新的积分表达式时，需要注意对被积函数和积分变量的合理处理，以确保换元步骤的正确性。
一般来说，使用换元积分法时，我们选择一个合适的变量替代原函数中的自变量，然后计算新的积分。
最后，将新的积分表达式替换掉原函数中的自变量，得到上限积分的解。
3. 分部积分法：分部积分法是一种适用于求解上限积分的技巧。
它基于积分的乘法法则，将原函数的积分化简为两个函数的乘积的积分。
使用分部积分法时，我们首先将上限积分分解为两个函数的乘积，然后对其中一个函数求导，对另一个函数求积分。
最后，将得到的结果代入积分表达式，得到上限积分的解。
这种方法适用于当被积函数很难求导时。
通过分部积分法，我们可以将原函数化简为两个函数的乘积形式，从而更容易积分。
变上限定积分
4cos 2xd2x
6
1 2
4
6
1 4
sin2x
4
6
1 24 4
3. 8
补例 计算 sin x sin3 xdx. 0
解 把被积函数化简.
sin x sin3 xdx sin x(1 sin2 x)dx
0
0
0 sin x | cos x | dx.
2 0
sin x cos xdx
sin x ( cos x)dx
2
2 0
sin xd sin x
sin xd sin x
2
2 3
3
sin2
x
2 0
2 3
3
sin2
x
2
2 ( 2) 4 . 3 33
3
22
4.2.3 定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 (1) 两个函数和的定积分等于它们 定积分的和， 即
b f ( x) g( x)dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分外面，
即
b
b
a kf ( x)dx k a f ( x)dx.
0
得
lim
x sin t 2dt
(
0
lim
x sin t 2dt)'
0
1 lim sin x2
变限积分求导公式证明及其推论
变限积分求导公式证明及其推论变限积分求导公式证明及其推论⽬录1.变上限积分若函数f(x)在$[a, b] 上连续,对任意 x∈[a, b]$, 定义变上限定积分：Φ(x)=∫x a f(t)dt，x∈[a,b]2.引理若函数f(x) 在 [a,b]上连续，则变上限定积分Φ(x)=∫x a f(t)dt，x∈[a,b] 在[a,b]上可导 , 且Φ′(x)=f(x).证明：任取x∈[a,b]，改变量△x满⾜x+△x∈[a,b]，对应的改变量△Φ=Φ(x+△x)−Φ(x)满⾜：△Φ=Φ(x+△x)−Φ(x)f(t)dt−∫x a f(t)dt=∫x+△xaf(t)dt=∫x+△xx由积分中值定理：∃ξ∈[x,x+△x]⊂[a,b]f(t)dt=f(ξ)⋅△xs.t.→∫x+△xx∴因为f(x)在[a,b]上连续，所以：\lim_{\triangle x\to0}f(\xi)=f(x)即:f(x)=\lim_{\triangle x\to0}\frac{\int_x^{x+\triangle x}f(t)dt}{\triangle x}=\frac{d}{dx}(\int_a^{x}f(t)dt)3.重要推论若函数f(x)在[a,b]上连续，\phi(x),\varphi(x)在[a,b]上可微，则\frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)证明：这⾥只给出积分上限为复合函数的情况下的证明，下限同理。
设F(x)是f(x)的⼀个原函数，设：\begin{cases} u=\phi(x)\\ v=\varphi(x) \end{cases}，x\in[a,b]则原式为：\begin{align} \frac{d}{dx}(\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt)=& \frac{d}{dx}(\int_{a}^{u}f(t)dt)\\ （由链式求导法则）=&\frac{du}{dx}\cdot\frac{d}{du} (\int_{a}^{u}f(t)dt)\\ （由引理）=&\frac{du}{dx}\cdot f(u)\\ =&\frac{d}{dx}\phi(x)\cdot f(u)\\ =&f(\phi(x))\cdot\phi'(x) \end{align}下限同理可证，于是可以得出：\frac{d}{dx}(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来求解各种实际问题，在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。
下面将介绍变上限定积分导数的应用，并举例说明。
1. 面积和体积的计算：变上限定积分导数可以用来计算曲线围成的面积和曲线绕轴旋转所形成的体积。
当需要计算函数f(x)在区间[a,b]上的面积时，可以使用定积分∫[a,b]f(x)dx。
而如果需要计算区间[a,b]上由曲线y=f(x)绕x轴旋转所形成的体积时，则可以使用定积分∫[a,b]πf(x)^2dx。
上限定积分导数可以帮助我们求解这些问题。
2. 平均值的计算：利用上限定积分导数，我们可以计算一个函数在某个区间上的平均值。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的平均值，可以使用定积分∫[a,b]f(x)d x除以区间长度(b-a)来计算。
上限定积分导数可以帮助我们确定这个平均值。
3. 物理中的速度、加速度和位移：在物理学中，速度v是位移x对时间t的导数，加速度a是速度v对时间t的导数。
如果我们知道加速度函数a(t)在某个时间区间内的变化情况，可以通过上限定积分导数求解速度和位移函数。
速度函数v(t)可以通过定积分∫[t1,t2]a(t)dt求解，位移函数x(t)可以通过定积分∫[t1,t2]v(t)dt求解。
4. 经济学中的边际效应：在经济学中，边际效应是指某个变量增加一个单位所引起的效应变化。
边际效应可以通过上限定积分导数求解。
假设某个企业的生产函数为y=f(x)，其中y表示产出，x表示投入。
那么边际产出的变化可以通过上限定积分导数dy/dx求解，即求生产函数f(x)的导数。
5. 优化问题的求解：变上限定积分导数在求解优化问题中也有重要应用。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，可以通过上限定积分导数求得。
最大值可以通过上限定积分导数f'(x)在[a,b]上为零的点求得，最小值可以通过上限定积分导数f'(x)在[a,b]上不存在的点求得。
定积分基本公式
定积分基本公式定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d xa f x x⎰是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免t ，于是这个积分就写成了()d x af t t⎰.x 值,积分()d xaf t t⎰就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x af t t⎰（ a ≤x ≤b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分()Φx =()d xa f t t ⎰在[,]ab 上可导，且其导数是d ()()d ()d xaΦx f t t f x x '==⎰（ a ≤x ≤ b ）.推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d xa f t t ⎰即为其原函数.例1 计算()Φx =20sin d xt t⎰在x =0 ,处的导数.解 因为2d sin d d x t t x ⎰=2sin x ,故2(0)sin 00Φ'==；πsin 242Φ'==.例2 求下列函数的导数：(1)e ln ()d (0)x atΦx t a t =>⎰；解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e xu =，所以按复合函数求导法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t xx u t x ===⎰.(2)21()(0)x Φx x θ=>⎰.解 21d d d d x Φxx θ=-⎰22()xx ='=2sin 2sin 2x xx x x =-⋅=-.二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()()b af x x F b F a =-⎰.证 由定理1知，变上限积分()()d xaΦx f t t=⎰也是()f x 的一个原函数，于是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0()d ()x a f t t F x C =+⎰.我们来确定常数 0C 的值，为此，令 x a =，有0()d ()aa f t t F a C =+⎰，得0()C F a =-.因此有 ()d ()()xaf t t F x F a =-⎰.再令x b =，得所求积分为 ()d ()()baf t t F b F a =-⎰.因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x 表示积分变量，即得()d ()()b af x x F b F a =-⎰,其中()()F x f x '=.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：()d ()()()b b a af x x F x F b F a ==-⎰.例1 求定积分：(1)2211d ()xx x +⎰；（2）2312⎰；（3）1x-⎰.解 （1）222221111d (2)d ()x x x x x x =+++⎰⎰23115(2)436x x x =+-=. （2）2231122=⎰⎰dx2122=⎰=0.3398.=≈（3x=在[1,1]-上写成分段函数的形式,10,(),01,x x f x x x --≤<⎧=⎨≤≤⎩于是1110()d d x x x x x --=-+⎰⎰⎰220111022x x =-+=-.例2 计算2cos 12e d limx t x tx -→⎰.解 因为 0x →时,cos 1x →,故本题属 00 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里2cos 1e d xt t-⎰是 x 的复合函数,其中cos u x =,所以222cos cos cos 1d e d e (cos )'sin e d x t x xt x x x ---==-⎰,于是有222cos cos1cos 200e d sin e sin limlim lim e 22x t xxx x x tx x x xx---→→→-⋅-==⎰111e 22e -=-=-.思考题1.若22()sin d x xf x t t=⎰，()?f x '=2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续. 问当()f x 在[,]a b 区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算22()d ,f x x -⎰ 其中 22,21,10,1,(),10,21,0 2.x x x f x x x x x ⎧-<<-⎪=-⎪=⎨-<<⎪⎪+≤≤⎩。
变上限定积分函数及其导数教案
变上限定积分函数及其导数教案教学目标：1. 理解变上限定积分的概念及其几何意义；2. 学会计算变上限定积分的函数；3. 掌握变上限定积分函数的导数计算方法。
教学重点：1. 变上限定积分的概念及其几何意义；2. 变上限定积分函数的计算；3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学难点：1. 变上限定积分的概念理解；2. 变上限定积分函数的计算；3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学准备：1. 教师准备PPT课件；2. 教师准备相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习定积分的概念及其几何意义；2. 引导学生思考定积分与变上限定积分的关系；3. 引入变上限定积分的概念。
二、变上限定积分的概念及其几何意义（10分钟）1. 讲解变上限定积分的定义；2. 解释变上限定积分的几何意义；3. 举例说明变上限定积分的应用。
三、变上限定积分函数的计算（10分钟）1. 引导学生理解变上限定积分函数的概念；2. 讲解变上限定积分函数的计算方法；3. 举例演示变上限定积分函数的计算过程。
四、变上限定积分函数的导数计算（10分钟）1. 讲解变上限定积分函数的导数计算方法；2. 举例演示变上限定积分函数的导数计算过程；3. 引导学生总结变上限定积分函数的导数计算规律。
五、巩固练习（10分钟）1. 学生独立完成练习题；2. 教师讲解练习题的解题思路和方法；3. 学生总结解题经验。
教学反思：本节课通过讲解和练习，使学生掌握了变上限定积分的概念、几何意义、函数计算和导数计算。
在教学过程中，注意引导学生思考和总结，提高学生的理解能力和解决问题的能力。
注重练习题的设置，使学生巩固所学知识，为后续课程的学习打下基础。
六、变上限定积分的应用举例（10分钟）1. 讲解变上限定积分在几何中的应用，如计算曲线下的面积；2. 讲解变上限定积分在物理学中的应用，如计算物体的体积；3. 引导学生思考变上限定积分在其他领域的应用。
七、变上限定积分的进一步性质（10分钟）1. 讲解变上限定积分的性质，如线性性质、可加性等；2. 举例说明变上限定积分的性质在实际问题中的应用；3. 引导学生探究变上限定积分的其他性质。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用1. 引言1.1 什么是变上限定积分导数变上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，是对定积分上限的函数关于变上限的导数。
在数学上，定积分的上限是一个常数，而变上限定积分导数是将上限看作一个变量，对其求导数的过程。
通常用符号F(x,t)表示，其中x为积分上限，t为变量。
变上限定积分导数的定义为\frac{d}{dt}\left(\int_{a}^{t}f(x)dx\right)=f(t)变上限定积分导数的计算方法上，主要利用导数的性质和积分的换元法。
在应用上，变上限定积分导数具有广泛的应用价值。
在数学分析中，可以用于证明一些定理和推论，如黎曼黎曼积分定理。
在经济学中，变上限定积分导数可以用于求解边际效用，生产函数等问题。
在物理学中，可以用于求解一些变化过程的速率，如速度、加速度等。
变上限定积分导数的应用前景广阔，将会在更多领域得到应用和拓展。
1.2 变上限定积分导数的应用变上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，它在数学、经济学和物理学等领域都有着广泛的应用。
通过对变上限定积分导数的研究和运用，我们可以更好地理解和解决实际问题，从而推动这些领域的发展。
在经济学中，变上限定积分导数被广泛应用于描述市场供需关系、生产函数和效用函数等经济模型。
通过对变上限定积分导数的计算，经济学家可以更好地理解经济现象的发展规律，为经济政策的制定提供科学依据。
在物理学中，变上限定积分导数常常被用来描述物体的运动、力的作用和能量的转化等物理现象。
通过运用变上限定积分导数，物理学家可以更精确地描述和预测物体的运动状态，为物理学理论的建立和实验的设计提供重要参考。
变上限定积分导数在各个领域的应用都具有重要意义，它不仅推动了科学技术的发展，也为我们更深入地认识和理解世界提供了重要工具和方法。
随着研究的深入和技术的不断进步，相信变上限定积分导数的应用前景会更加广阔，为我们带来更多的惊喜和启发。
2. 正文2.1 变上限定积分导数的计算方法变上限定积分导数的计算方法是数学分析中的重要内容，它主要涉及对函数的变上限定积分进行求导。
变上限定积分计算公式
变上限定积分计算公式
变上限定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下的
面积或者求解相关的问题。
变上限定积分的计算公式如下：
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，定义F(x) = ∫[a, x] f(t) dt，其中t的上限是x，下限是a。
则F(x)在[a, b]上可导，且
F'(x) = f(x)。
这个公式的意义是，如果我们要计算函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分，可以先求出F(x) = ∫[a, x] f(t) dt，然后再计算F(b) F(a)，即可得到定积分的值。
另外，变上限定积分还可以用于求解一些相关的问题，比如求
曲线的弧长、求曲线的平均值等。
在实际应用中，变上限定积分的计算可以通过数值积分的方法
进行近似计算，也可以通过微积分的方法进行精确计算。
无论是哪
种方法，都需要对函数的性质和区间进行分析，以确保计算的准确
性和有效性。
总之，变上限定积分是微积分中的重要内容，通过掌握相关的计算公式和方法，可以更好地理解和应用定积分的概念。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用【摘要】引言部分将介绍变上限定积分导数的基本概念和背景。
在定义和性质部分，将详细讨论变上限定积分导数的数学定义、性质和特点。
求解方法部分将介绍在实际问题中如何使用变上限定积分导数进行求解。
应用举例部分将提供实际案例，展示变上限定积分导数在各种应用中的具体使用场景。
优势和局限性部分将探讨变上限定积分导数相对于其他方法的优势和局限性。
在结论部分将对本文内容进行总结，强调变上限定积分导数的重要性和实用性。
整篇文章将全面介绍变上限定积分导数的概念、应用和特点，为读者提供深入了解和学习的资料。
【关键词】引言、定义和性质、求解方法、应用举例、优势和局限性、总结1. 引言1.1 引言变上限定积分导数是微积分中一个重要的概念，它在求解函数的导数时具有独特的作用。
变上限定积分是指积分的上限是一个变量，而不是一个常数。
在实际问题中，我们经常会遇到上限是变量的情况，这时就需要用到变上限定积分导数来求解函数的导数。
在本文中，我们将介绍变上限定积分导数的定义和性质，探讨其求解方法，列举一些应用举例并分析其优势和局限性。
通过对这些内容的深入探讨，读者将对变上限定积分导数有更深入的理解，从而在实际问题的解决中能够更加灵活运用这一概念。
变上限定积分导数是微积分中一个重要且实用的工具，它在数学建模、物理等领域都有着广泛的应用。
通过学习和掌握这一概念，我们能够更好地理解函数的性质，解决实际问题中的数学和物理难题。
2. 正文2.1 定义和性质导数是微积分中一种非常重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中，我们常常会遇到需要求解导数的情况。
而在某些特定情况下，我们需要考虑导数的变上限定积分，即对导数的上限积分。
下面我们将介绍关于变上限定积分导数的定义和性质。
变上限定积分导数是指对导数的上限积分。
具体来说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f’(x)存在于(a,b)，则变上限积分\[[F(x) =\int_a^x f(t)dt \]]的导函数F’(x)称为f(x)在区间(a,b)上的变上限定积分导数。
变上限定积分函数及其导数教案
变上限定积分函数及其导数教案一、教学目标：1. 理解变上限定积分的概念，掌握其图像和性质。
2. 学会计算变上限定积分的导数，并能应用于实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 变上限定积分的概念和性质2. 变上限定积分的计算3. 变上限定积分的导数4. 应用举例三、教学重点与难点：1. 重点：变上限定积分的概念、性质、计算和导数。
2. 难点：变上限定积分的导数计算和应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解变上限定积分的概念、性质、计算和导数。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用变上限定积分及其导数解决问题的关键。
3. 练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾定积分的概念，引出变上限定积分的概念。
2. 讲解：讲解变上限定积分的性质，演示其图像，引导学生理解。
3. 计算：讲解变上限定积分的计算方法，举例说明。
4. 导数：讲解变上限定积分的导数计算，引导学生理解导数的意义。
5. 应用：分析实际问题，引导学生运用变上限定积分及其导数解决问题的关键。
6. 练习：布置课堂练习，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课内容进行总结，强调重点和难点。
8. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂练习：检查学生对变上限定积分的计算和导数的掌握情况。
2. 课后作业：检查学生对变上限定积分及其导数的应用能力。
3. 课堂表现：评价学生在课堂上的参与度和数学思维能力。
4. 学习总结：评价学生的学习效果和总结能力。
六、教学准备：1. 教学课件：制作课件，包括变上限定积分的概念、性质、计算和导数的讲解，以及实际应用案例。
2. 教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用变上限定积分及其导数解决实际问题。
3. 练习题库：准备一系列练习题，涵盖变上限定积分的计算、导数及其应用。
七、教学步骤：1. 回顾上节课的内容，巩固变上限定积分的概念和性质。
变上限定积分
x
f(t)dt
x0
f (c)(x x0 )
由此推出
F0 (x) F0 (x0 ) f (c), x x0
当x x0时, c x0,于是由函数f的连续性可知x x0时
f (c) f (x0 ), 因而
lim
x x0
F0 (x) F0 (x0 ) x x0
f (x0 ).
即
dF0 (x) dx
定理１(积分中值定理) 若函数 f(x) 在闭区间[a,b]
上 连续，则在[a,b]内至少存在一个点c ，使得
b
a f (x)dx f (c) (b a) .
证 因为f (x)在[a,b]上连续，它在[a,b]上有最大值M和
最小值m.则
b
b
b
m f (x) M , x [a,b]. a mdx a f (x)dx a Mdx,
a
b
前页 后页 结束
说明:
• 积分中值定理对
y f (x)
• 可把
b
a f (x) dx f (c)
y
ba
因
oa c bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
前页 后页 结束
定理2 设f 在[a,b]上连续，则其变上限积分的积分
x
F0 (x) a f (t)dt (a x b)
是[a, b]上的连续函数,且在 a, b 内可导，且
F0(x) f (x) , x a,b.
即
F0 (x)
d dx
x
f (t)dt f (x)
a
x a,b.
证 由积分中值定理，x0 [a,b) 及x x0, x (a,b], 有
F0 (x) F0 (x0 )
《变上限定积分》课件
直接法
总结词
直接法是利用微积分基本定理，将变上限定积分转化为定积分进行计算。
详细描述
直接法的基本思路是将变上限定积分$int_{a(x)} f(x,t) dt$转化为定积分$int_{a}^{b} f(x,t) dt$，其中$a(x)$和 $b$都是关于$x$的函数。然后利用微积分基本定理，将定积分转化为关于$x$的函数，从而求出变上限定积分的 值。
积分与微分的关系
如果f(x)在[a, b]上可微，则∫(a→b) f'(x) dx = f(b) - f(a)。
变上限定积分与普通定积分的联系
当a和b均为常数时，变上限定积分退 化为普通定积分。
普通定积分是变上限定积分的特殊情 况，而变上限定积分是普通定积分的 推广。
03
CATALOGUE
变上限定积分的计算方法
几何意义
变上限定积分可以理解为曲线y=f(x)与直线x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积随a和b的变化 而变化。
变上限定积分的性质
积分区间的可加性
∫(a→c) f(x) dx = ∫(a→b) f(x) dx + ∫(b→c) f(x) dx。
线性性质
∫(a→b) [k*f(x) + m*g(x)] dx = k*∫(a→b) f(x) dx + m*∫(a→b) g(x) dx。
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将变上限定积分转化为更容易计算的 积分。
详细描述
换元法的基本思路是引入新的变量替换原变量，使得新的变量与原变量之间的 关系更容易处理。通过这种方式，可以将变上限定积分转化为更容易计算的积 分，从而简化计算过程。
分部积分法
积分上限函数的性质及应用
积分上限函数的性质及应用积分上限函数（即变上限的定积分）揭示了定积分和不定积分之间的联系,是一元函数微积分学中的一个重要概念.积分上限函数具有很多的性质，既具有普通函数相似的特征，由于它的上限是变化的，因而又有许多与积分有关的特殊性质.本文首先总结归纳出积分上限函数的重要性质，并对这些性质进行详细的证明;其次总结归类出证明积分等式、不等式的方法并进一步给出这些方法的具体应用.1 积分上限函数1.1 积分上限函数的定义)220](1[P设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，对任何[,]x a b ∈,()f x 在[,]a x 上也可积.于是，由()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰,定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数即变上限的定积分.1.2 积分上限函数的几何意义)350](2[P如果[,]x a b ∀∈，有函数()0f x ≥，对区间[,]a b 上任意x ，积分上限函数()F x 是区间[,]a x 上曲边梯形的面积，如下图的阴影部分.图1.11.3 积分上限函数的性质1.3.1积分上限函数的连续性)221](1[P若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续. 证 [,]x a b ∀∈,且[,]x x a b +∆∈，有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰因为f 在[,]a b 上可积，所以f 在[,]a b 上有界， 即存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∀∈，当0x ∆≥时，x M dt t f dt t f x F xx x xx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()( 当0x ∆<时，x M dt t f dt t f x F xx xxx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()(所以0lim ()0x F x ∆→∆=, 即积分上限函数()F x 在点x 连续，而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上连续.1.3.2积分上限函数的可导性[1](221)P若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可导，且()()F x f x '=. 证 [,]x a b ∀∈，且[,]x x a b +∆∈，(0)x ∆≠有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰由积分第一中值定理，有()1()()x xx F x f t dt f x x x xθ+∆∆==+∆∆∆⎰ (01)θ≤≤ 因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，所以00()()lim lim ()()x x F x F x f x x f x xθ∆→∆→∆'==+∆=∆即()F x 在点x 可导. 而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上可导.1.3.3积分上限函数的可积性若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可积.证 已知函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在区间[,]a b 上可积，所以由1.3.1可推出积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续，则()F x 在区间[,]a b 上可积.1.3.4积分上限函数的单调性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负（正），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上单调递增（减）.证 因为)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负，则()()0F x f x '=≥，所以)(x F 在区间[,]a b 上单调递增.同理可证另一种情况.特别地,若()f x 在[,]a b 上非负单调递增（减），则()F x 在[,]a b 上单调递增. 1.3.5积分上限函数的奇偶性[3](140)P若函数)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇（偶）函数时，则积分上限函数)(x F 为偶（奇）函数. 证 设)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇函数，即)()(x f x f -=-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--===⎰⎰⎰，所以)(x F 为偶函数.同理 当)(x f 在区间[,]a a -上连续且为偶函数，即)()(x f x f =-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--=-=-=-⎰⎰⎰所以)(x F 为奇函数.1.3.6积分上限函数的凹凸性[4](32)P若函数)(x f 在区间上[,]a b 单调递增（递减），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上是凸（凹）函数.证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上单调递增，取123,,[,]x x x a b ∈，且123x x x <<， 则123()()()f x f x f x <<.2121()()F x F x x x --2121()()x x aaf t dt f t dtx x -=-⎰⎰2121()x x f t dtx x =-⎰2()f x ≤≤3232()x x f t dtx x -⎰3232()()F x F x x x -=-所以()F x 在区间[,]a b 上是凸函数.同理可证明另一种情况.1.3.7积分上限函数的周期性[3](140)P若函数)(x f 在(,)-∞+∞上以T 为周期，对任意a b <, )(x f 在区间[,]a b 上可积，且()0Tf t dt =⎰,则积分上限函数()F x 也以T 为周期. 证 ()()x T a F x T f t dt ++=⎰()()()Tx TaTf t dt f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰0()0()x TaTf t dt f t dt +=++⎰⎰令t u T =+()()()()()xaF x T f u T d u T f u T d u T +=+++++⎰⎰()00()xaf u T du f u T du=+++⎰⎰00()()xaf u du f u du =+⎰⎰()()xaf t dt F x ==⎰所以()F x 是一个以T 为周期的函数.1.3.8积分上限函数的有界性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界. 证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，所以由积分上限函数的可积性可知 函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，即函数)(x f 在区间[,]a b 上有界. 所以存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∈ 则()F x ()xaf t dt ≤⎰()()xaf t dt M b a ≤≤-⎰,所以积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界.2 积分上限函数的应用给出积分上限函数在证明积分等式、不等式的问题中应用. 2.1 利用积分上限函数证明积分等式在证明积分等式时，根据题设条件设积分上限函数为()F x ，由拉格朗日中值定理的推论：如果在某个区间上恒有()0F x '=，则在该区间上()F x 恒等于一个常数，即可证明某些关于积分的等式.例1 若()f x 在区间[,]a b 上连续,则()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.证 设()()xaF x f t dt =⎰,则()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰()()()bb aaf a b x dx f a b x d a b x +-=-+-+-⎰⎰()b aF a b x =-+-()()F a b b F a b a =-+-++-()()F b F a =-于是命题得证.例2 设()f x 是连续函数，证明0[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.证 方法一 令00()[()]()()x ux F x f t dt du x u f u du =--⎰⎰⎰()()()()()0xxF x f t dt f u du x f x xf x '=--+=⎰⎰()F x C ≡（C 为常数），因为(0)0F =，所以()0F x ≡， 即[()]()()x uxf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.方法二 记 10()()()()()xx xg x x u f u du x f u du uf u du =-=-⎰⎰⎰20()[()]xug x f t dt du =⎰⎰则由 10()()()()()xx g x f u du xf x xf x f u du '=+-=⎰⎰， 20()()xg x f u du '=⎰由此得到 12()()g x g x ''=，所以12()()g x g x C -≡，（C 为常数）12(0)(0)0g g ==，所以12()()g x g x =即[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则[,]x a b ∃∈，证明 ()()xbaxf t dt f t dt =⎰⎰.证 令()()()ybayF y f t dt f t dt =-⎰⎰.由函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，可知()F y 区间[,]a b 上连续，且()(),()()b baaF a f t dt F b f t dt =-=⎰⎰.若()0baf t dt ≠⎰，则()()0F a F b <，由零点定理可知[,]x a b ∃∈,使得()()()0x b axF x f t dt f t dt =-=⎰⎰或()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰.若()0baf t dt =⎰，则取x a =或x b =，有()().x baxf t dt f t dt =⎰⎰于是命题得证.例4 设()f x 是连续函数，证明 232001()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.证 构造辅助函数232001()()()2a a F a x f x dx xf x dx =-⎰⎰.由积分上限函数的导数定理及复合函数求导法则得32221()()()202F a a f a a f a a '=-⋅=，所以()F a C ≡（C 为常数）,又因为(0)0F =,所以()0F a =, 故2321()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.例5在区间(0,1)上连续，证明 ⎰⎰⎰⎰=1311])([61)()()(dt t f dz z f dy y f dx x f x y x .证 令0()()xF x f t dt =⎰，则()()F x f x '=. 原等式左端11(){()[()()]}x f x f y F y F x dy dx =-⎰⎰12101(){[()()]}2x f x F y F x dx=-⎰1201()[(1)()]2f x F F x dx =-⎰ 3101[(1)()]6F F x =-=3)]1([61F==⎰13])([61dt t f 右端 故所证等式成立.2.2 利用积分上限函数证明积分不等式在证明积分不等式时，根据题意构造积分上限函数，可适时选择常数变易法、辅助函数法等方法去解决问题.例1 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且单调增加，求证()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 证明 构造辅助函数()F x ()xa t f t dt =⎰()2xaa x f t dt +-⎰，则()0F a =，对任意[,]x ab ∈，()F x 关于x 求导，有()F x '=1()()()22x a a xxf x f t dt f x +--⎰ 1()()22x a x a f x f t dt-=-⎰ 1[()()]2xaf x f t dt =-⎰ 因为()f x 单调递增，所以()0F x '≥.()F x 在区间[,]a b 上连续并且单调递增，则()()F b F a ≥0=,所以命题得证.例2设()f x 在区间],[b a 上单调增并且连续，证明 ()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.证 构造辅助函数()()()2()x xaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰则 ()F x '=()xa f t dt ⎰+()()2()a x f x xf x +-()()()xaf t dt x a f x =--⎰()()()()0x a f x x a f x ≤---=由此可知,()F x 在区间[,]a b 上单调递减，所以()()F b F a ≤0=，即()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.例3 设()f x 在区间[,]a b 上正值连续,证明⎰badxx f )(1()badx f x ≥⎰2()b a -. 证 构造辅助函数()F x =2()()()xxaadtf t dt x a f t --⎰⎰则()F x '=1()()xaf x dt f t ⎰+1()2()()xaf t dt x a f x --⎰ ()()[]2()()()xaf x f t dt x a f t f x =+--⎰ 因为()()2()()f x f t f t f x +≥, ()2()2()0F x x a x a '≥---= 所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增，而()0F a =，()0F x ≥ )(a x ≥，则()0F b ≥,即⎰badxx f )(≥⎰dx x f ba)(12)(a b -. 例4 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调递减，证明 对任意(0,1]a ∈，均有()af x dx ⎰1()a f x dx ≥⎰.证 方法1 设x at =,等式左端化为:11()()()af x dx a f at dt a f ax dx ==⎰⎰⎰因为()f x 单调递减,01a <≤,所以()()f ax f x ≥,于是11()()()af x dx a f ax dx a f x dx =≥⎰⎰⎰.方法21()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰等价于1()()1af x dx f x dx a≥⎰⎰ (0)a >设0()()xf x dx F x x=⎰,(01)x <≤,则02()()()x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰.因为()f x 连续,利用积分中值定理2()()()f x x f x F x x ξ⋅-⋅'=()()f x f xξ-= (0)x ξ<< 因为()f x 在[0,1]上单调递减，所以当x <<ξ0时,)()(ξf x f <,从而当10≤<x 时()0F x '≤，故()F x 在[0,1]上单调递减，于是对任意(0,1)a ∈，有()(1)F a F >，特别地当1a =时,原不等式中的等号成立，所以1001()()af x dx f x dx a≥⎰⎰， 即1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.例5已知当b x a ≤≤时，()0,()0f x f x '''>>，证明()()()[()()]2bab ab a f a f x dx f a f b --<<+⎰. 证 ⑴令()()()()xaF x f t dt x a f a =--⎰()a x b ≤≤，则()()()F x f x f a '=-当b x a ≤≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间[,]a b 上单调递增,即 ()()f x f a ≥. 当且仅当a x =时，()0F x '=，所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增, 即 ()()0F b F a >=，则 ()()()ba b a f a f x dx -<⎰.⑵令()()[()()]2xax aG x f t dt f a f x -=-+⎰ ()a x b ≤≤，则 1()()[()()]()22x aG x f x f a f x f x -''=-+-()()()22f x f a x af x --'=-因为()f x 在],[x a )(b x a ≤<上满足拉格朗日中值定理，所以(,)a x ξ∃∈，得()()()()f x f a x a f ξ'-=-()[()()]2x aG x f f x ξ-'''=- ()a x ξ<< 当a x b ≤≤时，()0f x ''>,()f x '在[,]a b 上单调递增，则()()f f x ξ''< 故()0G x '< ()a x b <≤，所以可知,()G x 在a x =处连续.因为()G x 在[,]a b 上单调减,()()0G b G a -<. 则 ()[()()]02bab af x dx f a f b ---<⎰, 所以()[()()]2bab af x dx f a f b -<+⎰，结合⑴原不等式得证. 例6 证明 若函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 可积，则[][]222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰（施瓦茨不等式）证 构造辅助函数222()[()][()](()())xx xaaaF x f t dt g t dt f t g t dt =-⎰⎰⎰2222()()()()()2()()()()xxxaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=⋅+⋅-⎰⎰⎰2222[()()2()()()()()()]xaf xg t f x g x f t g t f t g x dt =-⋅+⎰2[()()()()]0xaf xg t f t g x dt =-≥⎰从而()F x 在区间[,]a b 上单调递增，故有()()0F b F a ≥= 则222(()())[()][()]bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰.例7 设()f x 在[0,1]上连续可微，且满足(0)0f =，0()1f x '<≤,证明11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.证 作辅助函数230()(())()xxF x f t dt f t dt =-⎰⎰ [0,1]x ∈.由于(0)0F =，32()2()()()()[2()()]xxF x f x f t dt f x f x f t dt f x '=-=-⎰⎰ .令20()2()()xG x f t dt f x =-⎰，[0,1]x ∈.由于()f x 在区间[0,1]上连续可微，(0)0f =，0()1f x '<≤,所以()f x 单调递增. 故()0f x >,(0,1]x ∈.(0)0G =,则()2()2()()2()[1()]0G x f x f x f x f x f x '''=-=-≥,故()(0)0G x G ≥=，[0,1]x ∈.当(0,1)x ∈时，()0F x '≥，()F x 单调递增.特别当1123(1)(())()(0)0F f x dx f x dx F =-≥=⎰⎰,即得证11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.例8 设()f x 在区间[,]a b 上有连续的导数，且()0F a =，证明2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰证 2221()()[()]()2x x a a F x x a f t dt f t dt '=--⎰⎰22221()()[()]()[()]()2x a F x x a f x x a f t dt f x '''=-+--⎰ 22221()[()]()1[()]2x x a a x a f x f x dx f t dt''=--+⋅⎰⎰ 22221()[()]()(())2x a x a f x f x f t dt ''≥--+⎰（施瓦茨不等式）22221()[()]()()2x a f x f x f x '=--+ 221()[()]02x a f x '=-≥ 得出()F x 为单调递增函数，当a x >∀时，()()0F x F a ≥=特别地2221()()[()]()02b b a a F b b a f x dx f x dx '=--≥⎰⎰得证2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰.例9设函数()f x 在区间[,]a b 上连续并可微，且()0f a =，证明不等式22()[()]baM b a f x dx '≤-⎰，其中max ()a x bM f x ≤≤=证 由施瓦茨不等式可知 222(()())()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰因为22()[()]1[()]xxx aaax a f x dx dx f x dx ''-=⎰⎰⎰22[()]()xaf x dx f x '≥=⎰ ([,])x a b ∀∈引入辅助函数2()()[()]xaF x x a f x dx '=-⎰,222()1[()][()]()xxx aaaF x dx f x dx f x dx f x ''=≥=⎰⎰⎰ ([,])x a b ∈所以22()()[()]()ba Fb b a f x dx f x '=-≥⎰.11 故由题设[,]x a b ∀∈，所以22()[()]b a M b a f x dx '≤-⎰.。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用
上限定积分是微积分中的重要概念，它在实际问题中有广泛的应用，特别是在求变化率、求面积和求物理量等方面。
上限定积分可以用来求解函数的变化率。
在微积分中，函数的导数可以表示函数的变
化率。
而上限定积分可以通过对函数进行积分来求得函数的原函数。
如果要求函数在某一
点的变化率，可以通过求函数在该点的上限定积分来得到。
上限定积分还可用于求解曲线与坐标轴所围面积。
在微积分中，函数的上限定积分可
以表示函数与坐标轴所围成的面积。
这一特性可以应用于各种几何问题的求解，如矩形的
面积、圆的面积等。
上限定积分还可以用来求解物理量。
物理学中的许多问题可以通过微积分来求解，而
上限定积分在其中扮演了重要角色。
物体的位移、速度和加速度等物理量，都可以通过对
物体的运动方程进行积分来求解。
需要注意的是，上限定积分的应用需要基于良好的问题分析和数学建模能力。
在具体
问题中，需要将问题转化为数学表达式，然后利用微积分的知识来求解。
在应用上限定积
分时，我们需要对微积分的概念和方法有深入的了解，并能够将其应用于实际问题中去。
上限定积分的应用十分广泛，特别是在求变化率、求面积和求物理量等方面。
通过充
分理解和应用上限定积分的原理和方法，我们可以更好地解决实际问题，并对问题进行深
入的分析和研究。
值得注意的是，在应用过程中，我们需要对问题进行合理的建模和抽象，同时注重数学推导和实际意义的解释，以确保结果的准确性和可靠性。
定积分到变上限积分
定积分到变上限积分
定积分和变上限积分是微积分中的两个概念。
定积分是指在一个定义域内的函数“积分”或求面积的过程，而变上限积分是指积分区间上限随着某个值的变化而改变的积分。
设函数f(x)在[a,b]区间连续，则定积分∫(a,b)f(x)dx表示从x=a到x=b的函数f(x)的累积和，即函数f(x)所围成的图形与X轴之间的面积或代表物理意义的解释。
而如果将定积分的上限从b更改为另一个变量g(x)，使积分变成∫(a,g(x))f(t)dt，则这就是一个变上限积分。
其中，a为常数，g(x)可以是一个常数、一个自由变量或者一个函数。
变上限积分就相当于定积分的一种推广，其计算方法与定积分类似，但除了要对被积函数进行积分外，还需要对积分上限进行带入计算，然后再求导得出函数的导数。
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1．变上限的定积分
设 f ( x) 在[a,b] 上连续，则对x[a,b] ，定积分
x a
f
(t
)dt
存在，这就确定了[a,b]
上的一个函数，记为
(
x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
(
x
)
x a
f (t )dt
,
x[a,b]
。积分
x a
f
(t )dt
称
为变上限的定积分。
2．定理 1 设 f ( x) 在[a,b] 上连续， c[a,b] ，则
x
( x) c f (t)dt
在[a,b] 上可导，且
(
x
)[
x c
f
(t )dt
]
f (x)
，x[a,b]
。
证明：设 x[a,b] ，且 x x[a,b] ，则
( x)( xx)( x)
x Δx
c f (t)dt
x
c f (t)dt
x
x Δx
x
x Δx
c f (t)dt x f (t)dt c f (t)dt x f (t)dt .
，在 (a,
b)
内有且只有一个根。
证明：令 F ( x)
x a
f
(t )dt
x b
dt f (t)
，
显然F ( x) C[a, b]，且 f ( x) 0 ,则 f ( x) 0或f ( x) 0，
不妨设 f (x) 0
F (a)
a b
dt 0, f (t)
b
F (b) a f (t)dt0,
定理
1
说明当
f
(
x)C[a,b]
时，(
x)
x a
f
(t )dt
是f
(
x)
在[a,b] 上的一个原函数，从而可知连续函数必存在原函数，
故定理 1 也称为原函数存在定理。
3.变限求导公式
（1）[
x a
f
(t )dt]
f
(
x)
；
（2）[
b x
f
(t )dt]
f
( x)
；
（3）[ (x) f (t )dt] f [( x)]( x) ； a
故由零点定理可知，至少存在一点(a, b) ，
使得 F ()0, 即方程F ( x)0 在(a, b) 内至少有一个根。
∵ F ( x) f ( x) 1 2 ， f (x)
∴ F ( x) 在[a,b] 上严格单增，
∴方程 F ( x)0 在(a, b) 内只有一个根。
当 f ( x)0 时，可类似证得结论。
（4）[ b f (t )dt] f [( x)]( x) ； ψ( x)
（5）[ ( x) f (t)dt] f [( x)]( x) f [( x)]( x) 。 ( x)
例 1．求下列函数的导数dy 。 dx
（1） y
x
e
t
2
dt.
0
（2）
y
0
cos(
x
3t
1
)dt
.
（3） y 0 x sin(t 2 )dt.
（4） y
lnx 1
f
(t )dt
，求dy
。
x
dx
（5） y
x2
sinx
1t 2 dt
0
x
2
sin
3 2
tdt
例 2．求 lim
x0
0 x
t(t sint )dt
0
例 3．设 f ( x) 是以 T 为周期的连续函数，试证：对任意 x有
xT
T
( 1 ) x f (t)dt 0 f (t)dt,
a nT
T
( 2 ) a f (t)dtn 0 f (t)dt.
例 4．设 f ( x) 是[0, ) 上的单调减少的连续函数。
证明：当 x0 时，
x
(
x
2
3t
2
)
f
(t
)dt
0
。
0
例 5．设 f ( x) 在[a,b] 上连续，且 f ( x)0 。证明方程
x a
f
(t )dt
x b
dt 0 f (t)
由积分中值定理知，在 x与xx 之间至少存在一点 ，
使
Φ( x)
x Δx
f (t)dt f ()x,
x
∵ f ( x)C[a,b] ，
∴当 x0 时，有 x ， f () f ( x) ，
∴ ( x) lim Φ( x) lim f () f ( x) ， x0 x x
即 ( x) f ( x) 。
故方程
x a
f
(t
)dt
x b
dt f (t
0 )
在(a,
b)
内有且只有一个根。