2-9变上限定积分
变上限定积分
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4cos 2xd2x
6
1 2
4
6
1 4
sin2x
4
6
1 24 4
3. 8
补例 计算 sin x sin3 xdx. 0
解 把被积函数化简.
sin x sin3 xdx sin x(1 sin2 x)dx
0
0
0 sin x | cos x | dx.
2 0
sin x cos xdx
sin x ( cos x)dx
2
2 0
sin xd sin x
sin xd sin x
2
2 3
3
sin2
x
2 0
2 3
3
sin2
x
2
2 ( 2) 4 . 3 33
3
22
4.2.3 定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 (1) 两个函数和的定积分等于它们 定积分的和, 即
b f ( x) g( x)dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分外面,
即
b
b
a kf ( x)dx k a f ( x)dx.
0
得
lim
x sin t 2dt
(
0
lim
x sin t 2dt)'
0
1 lim sin x2
《高等数学》第二节 定积分基本公式
![《高等数学》第二节 定积分基本公式](https://img.taocdn.com/s3/m/6b27f7374431b90d6c85c761.png)
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续,则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数, 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数,
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x), x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论:变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意:积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间 变化的,因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续,则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
定积分基本公式
![定积分基本公式](https://img.taocdn.com/s3/m/c082dd690066f5335a8121a5.png)
定积分基本公式定积分是高等数学中一个重要的基本概念,在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念,讨论定积分性质和计算方法,举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ,于是积分()d xa f x x⎰是一个定数,这种写法有一个不方便之处,就是x 既表示积分上限,又表示积分变量.为避免t ,于是这个积分就写成了()d x af t t⎰.x 值,积分()d xaf t t⎰就有一个确定的的一个函数,记作 ()Φx =()d x af t t⎰( a ≤x ≤b )通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分,其几何意义如图所示.定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则变上限积分()Φx =()d xa f t t ⎰在[,]ab 上可导,且其导数是d ()()d ()d xaΦx f t t f x x '==⎰( a ≤x ≤ b ).推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d xa f t t ⎰即为其原函数.例1 计算()Φx =20sin d xt t⎰在x =0 ,处的导数.解 因为2d sin d d x t t x ⎰=2sin x ,故2(0)sin 00Φ'==;πsin 242Φ'==.例2 求下列函数的导数:(1)e ln ()d (0)x atΦx t a t =>⎰;解 这里()Φx 是x 的复合函数,其中中间变量e xu =,所以按复合函数求导法则,有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t xx u t x ===⎰.(2)21()(0)x Φx x θ=>⎰.解 21d d d d x Φxx θ=-⎰22()xx ='=2sin 2sin 2x xx x x =-⋅=-.二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又 ()F x 是()f x 的任一个原函数,则有()d ()()b af x x F b F a =-⎰.证 由定理1知,变上限积分()()d xaΦx f t t=⎰也是()f x 的一个原函数,于是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0()d ()x a f t t F x C =+⎰.我们来确定常数 0C 的值,为此,令 x a =,有0()d ()aa f t t F a C =+⎰,得0()C F a =-.因此有 ()d ()()xaf t t F x F a =-⎰.再令x b =,得所求积分为 ()d ()()baf t t F b F a =-⎰.因此积分值与积分变量的记号无关,仍用x 表示积分变量,即得()d ()()b af x x F b F a =-⎰,其中()()F x f x '=.上式称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.为计算方便,该公式常采用下面的格式:()d ()()()b b a af x x F x F b F a ==-⎰.例1 求定积分:(1)2211d ()xx x +⎰;(2)2312⎰;(3)1x-⎰.解 (1)222221111d (2)d ()x x x x x x =+++⎰⎰23115(2)436x x x =+-=. (2)2231122=⎰⎰dx2122=⎰=0.3398.=≈(3x=在[1,1]-上写成分段函数的形式,10,(),01,x x f x x x --≤<⎧=⎨≤≤⎩于是1110()d d x x x x x --=-+⎰⎰⎰220111022x x =-+=-.例2 计算2cos 12e d limx t x tx -→⎰.解 因为 0x →时,cos 1x →,故本题属 00 型未定式,可以用洛必达法则来求.这里2cos 1e d xt t-⎰是 x 的复合函数,其中cos u x =,所以222cos cos cos 1d e d e (cos )'sin e d x t x xt x x x ---==-⎰,于是有222cos cos1cos 200e d sin e sin limlim lim e 22x t xxx x x tx x x xx---→→→-⋅-==⎰111e 22e -=-=-.思考题1.若22()sin d x xf x t t=⎰,()?f x '=2.在牛顿-莱布尼茨公式中,要求被积函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续. 问当()f x 在[,]a b 区间上有第一类间断点时,还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分?并计算22()d ,f x x -⎰ 其中 22,21,10,1,(),10,21,0 2.x x x f x x x x x ⎧-<<-⎪=-⎪=⎨-<<⎪⎪+≤≤⎩。
变上限积分
![变上限积分](https://img.taocdn.com/s3/m/0241e2cf162ded630b1c59eef8c75fbfc77d94fa.png)
变上限积分介绍
---------------------------------------------------------------------- 变上限积分又称积分上限函数。
例如∫f(t)dt,其中上限为某一变量x,下限为某一常量a,假定f(t)的原函数为F(t),则上述变上限积分就等于F(x)-F(a),该积分显然是x 的函数,其中F(a)为常数。
现在对变上限积分求导就是对F(x)-F(a)求导,很明显等于f(x)。
如果积分上限为x的某一函数g(x),则变上限积分就等于F[g(x)]-F(a),对其求导就得到f[g(x)]g'(x)。
扩展资料:
积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。
上式为积分变上限函数的表达式,当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式,所以我们只讨论积分变上限函数即可。
积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。
首先,它是由定积分来定义的;其次,这个函数的自变量出现在积分上限或积
分下限。
变上限定积分函数及其导数教案
![变上限定积分函数及其导数教案](https://img.taocdn.com/s3/m/a6dde52130b765ce0508763231126edb6e1a7675.png)
变上限定积分函数及其导数教案教学目标:1. 理解变上限定积分的概念及其几何意义;2. 学会计算变上限定积分的函数;3. 掌握变上限定积分函数的导数计算方法。
教学重点:1. 变上限定积分的概念及其几何意义;2. 变上限定积分函数的计算;3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学难点:1. 变上限定积分的概念理解;2. 变上限定积分函数的计算;3. 变上限定积分函数的导数计算。
教学准备:1. 教师准备PPT课件;2. 教师准备相关例题和练习题。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 复习定积分的概念及其几何意义;2. 引导学生思考定积分与变上限定积分的关系;3. 引入变上限定积分的概念。
二、变上限定积分的概念及其几何意义(10分钟)1. 讲解变上限定积分的定义;2. 解释变上限定积分的几何意义;3. 举例说明变上限定积分的应用。
三、变上限定积分函数的计算(10分钟)1. 引导学生理解变上限定积分函数的概念;2. 讲解变上限定积分函数的计算方法;3. 举例演示变上限定积分函数的计算过程。
四、变上限定积分函数的导数计算(10分钟)1. 讲解变上限定积分函数的导数计算方法;2. 举例演示变上限定积分函数的导数计算过程;3. 引导学生总结变上限定积分函数的导数计算规律。
五、巩固练习(10分钟)1. 学生独立完成练习题;2. 教师讲解练习题的解题思路和方法;3. 学生总结解题经验。
教学反思:本节课通过讲解和练习,使学生掌握了变上限定积分的概念、几何意义、函数计算和导数计算。
在教学过程中,注意引导学生思考和总结,提高学生的理解能力和解决问题的能力。
注重练习题的设置,使学生巩固所学知识,为后续课程的学习打下基础。
六、变上限定积分的应用举例(10分钟)1. 讲解变上限定积分在几何中的应用,如计算曲线下的面积;2. 讲解变上限定积分在物理学中的应用,如计算物体的体积;3. 引导学生思考变上限定积分在其他领域的应用。
七、变上限定积分的进一步性质(10分钟)1. 讲解变上限定积分的性质,如线性性质、可加性等;2. 举例说明变上限定积分的性质在实际问题中的应用;3. 引导学生探究变上限定积分的其他性质。
变上限的定积分
![变上限的定积分](https://img.taocdn.com/s3/m/ea908222284ac850ad0242df.png)
1.变上限的定积分
设 f ( x) 在[a,b] 上连续,则对x[a,b] ,定积分
x a
f
(t
)dt
存在,这就确定了[a,b]
上的一个函数,记为
(
x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,即
(
x
)
x a
f (t )dt
,
x[a,b]
。积分
x a
f
(t )dt
称
为变上限的定积分。
2.定理 1 设 f ( x) 在[a,b] 上连续, c[a,b] ,则
x
( x) c f (t)dt
在[a,b] 上可导,且
(
x
)[
x c
f
(t )dt
]
f (x)
,x[a,b]
。
证明:设 x[a,b] ,且 x x[a,b] ,则
( x)( xx)( x)
x Δx
c f (t)dt
x
c f (t)dt
x
x Δx
x
x Δx
c f (t)dt x f (t)dt c f (t)dt x f (t)dt .
,在 (a,
b)
内有且只有一个根。
证明:令 F ( x)
x a
f
(t )dt
x b
dt f (t)
,
显然F ( x) C[a, b],且 f ( x) 0 ,则 f ( x) 0或f ( x) 0,
不妨设 f (x) 0
F (a)
a b
dt 0, f (t)
b
F (b) a f (t)dt0,
定理
1
变上限的定积分应用举偶
![变上限的定积分应用举偶](https://img.taocdn.com/s3/m/3bdba3afdd3383c4bb4cd2be.png)
dy = 2 sin x = 0 则 x = iπ (i = 1,2,3,LL) , 另易知, y ′ 在驻 dx
点 两 边 异 号 , 所 以 所 求 极 值 点 为
N i = iπ (i = 1,2,3,LL) .
∫
3 d 0 dt d x dt = + dx x 2 dx 0 4 4 1+ t 1+t 1 + t4
dy dy sin x + sin x = 0, 故 =− . dx dx ey
数,有 e y
∫
x
(证明略)
三、应用举例:1.求函数的导数
例 1 求 y = sin tdt 当x = 0及x =
0
∫
x
π 时的导数. 4
3.求极限
知
cos x x →0 x2
∫e lim
1
−t 2
dt
.
解
:
由
性
x=
质
定
理
可
解: 易知这是一个 则计算.分子可写成 −
0 积分未定式,利用洛必达法 0
e −t dt 故
2
y ' = sin x, y 'x =0 = sin 0 = 0, y ' π = sin
4
π 2 = . 4 2
∫
cos x
1
例 2 求参数方程 x = sin udu, , y = sin udu 所确定
∫
故:
解: 将
∫ e dt + ∫ sin tdt = 0 的两端同时对 x 求导
t 0 0
x
127
2004 年
x
《和田师范专科学校学报》 (汉文综合版)
变上限定积分计算公式
![变上限定积分计算公式](https://img.taocdn.com/s3/m/2461fd56640e52ea551810a6f524ccbff121ca38.png)
变上限定积分计算公式
变上限定积分是微积分中的一个重要概念,用于计算曲线下的
面积或者求解相关的问题。
变上限定积分的计算公式如下:
设函数f(x)在区间[a, b]上连续,定义F(x) = ∫[a, x] f(t) dt,其中t的上限是x,下限是a。
则F(x)在[a, b]上可导,且
F'(x) = f(x)。
这个公式的意义是,如果我们要计算函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分,可以先求出F(x) = ∫[a, x] f(t) dt,然后再计算F(b) F(a),即可得到定积分的值。
另外,变上限定积分还可以用于求解一些相关的问题,比如求
曲线的弧长、求曲线的平均值等。
在实际应用中,变上限定积分的计算可以通过数值积分的方法
进行近似计算,也可以通过微积分的方法进行精确计算。
无论是哪
种方法,都需要对函数的性质和区间进行分析,以确保计算的准确
性和有效性。
总之,变上限定积分是微积分中的重要内容,通过掌握相关的计算公式和方法,可以更好地理解和应用定积分的概念。
变上限定积分导数的应用
![变上限定积分导数的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/93a73e7e30126edb6f1aff00bed5b9f3f90f72aa.png)
变上限定积分导数的应用【摘要】引言部分将介绍变上限定积分导数的基本概念和背景。
在定义和性质部分,将详细讨论变上限定积分导数的数学定义、性质和特点。
求解方法部分将介绍在实际问题中如何使用变上限定积分导数进行求解。
应用举例部分将提供实际案例,展示变上限定积分导数在各种应用中的具体使用场景。
优势和局限性部分将探讨变上限定积分导数相对于其他方法的优势和局限性。
在结论部分将对本文内容进行总结,强调变上限定积分导数的重要性和实用性。
整篇文章将全面介绍变上限定积分导数的概念、应用和特点,为读者提供深入了解和学习的资料。
【关键词】引言、定义和性质、求解方法、应用举例、优势和局限性、总结1. 引言1.1 引言变上限定积分导数是微积分中一个重要的概念,它在求解函数的导数时具有独特的作用。
变上限定积分是指积分的上限是一个变量,而不是一个常数。
在实际问题中,我们经常会遇到上限是变量的情况,这时就需要用到变上限定积分导数来求解函数的导数。
在本文中,我们将介绍变上限定积分导数的定义和性质,探讨其求解方法,列举一些应用举例并分析其优势和局限性。
通过对这些内容的深入探讨,读者将对变上限定积分导数有更深入的理解,从而在实际问题的解决中能够更加灵活运用这一概念。
变上限定积分导数是微积分中一个重要且实用的工具,它在数学建模、物理等领域都有着广泛的应用。
通过学习和掌握这一概念,我们能够更好地理解函数的性质,解决实际问题中的数学和物理难题。
2. 正文2.1 定义和性质导数是微积分中一种非常重要的概念,它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中,我们常常会遇到需要求解导数的情况。
而在某些特定情况下,我们需要考虑导数的变上限定积分,即对导数的上限积分。
下面我们将介绍关于变上限定积分导数的定义和性质。
变上限定积分导数是指对导数的上限积分。
具体来说,设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f’(x)存在于(a,b),则变上限积分\[[F(x) =\int_a^x f(t)dt \]]的导函数F’(x)称为f(x)在区间(a,b)上的变上限定积分导数。
变限积分确定的函数的性质及其应用
![变限积分确定的函数的性质及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/9d163cfc5901020206409cb6.png)
变限积分确定的函数的性质及其应用变限积分确定的函数的性质及应用摘要由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数,有重要的理论价值和应用价值。
本文给出了变限积分的定义及其性质,主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题,较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果,并简要介绍了它们的几点应用。
关键词:变限积分;函数;可积;连续;收敛。
ABSTRACTLimited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications.Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.目录一.变限积分的概念及其性质 (5)1.1变限积分的概念 (5)1.2变限积分的性质 (5)二.变限积分函数的应用 (9)2.1问题的提出 (9)2.2 变限积分函数的应用 (11)2.2.1利用变限积分求原函数 (11)2.2.2 化积分问题为微分学问题 (11)2.2.3 求定积分 (12)2.2.4变限积分的积分变量替换 (14)三.结论 (16)一、 变限积分的概念及其性质 1.1变限积分的概念定义1:如果函数)(x f 在区间[]b a ,可积,则称 ⎰=Φxa dt t f x )()(,[]b a x ,∈叫变动上限积分。
考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结
![考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结](https://img.taocdn.com/s3/m/0ea6b836cdbff121dd36a32d7375a417866fc143.png)
考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全⾯总结考研——积分上限的函数(变上限积分)知识点()()xaF x f t dt =?形如上式的积分,叫做变限积分。
注意点:1、在求导时,是关于x 求导,⽤课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时,则把x 看作常数,积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
(即在积分内的x 作为常数,可以提到积分之外。
)关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在(a ,b )上可积,⽽)(x f 可积,则?=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界,且只有有限个间断点,则)(x f 在(a ,b )上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续,则?=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导,⽽且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='? ==========================================注:(Ⅰ)从以上定理可看出,对)(x f 作变上限积分后得到的函数,性质⽐原来的函数改进了⼀步:可积改进为连续;连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
⽽我们知道,可导函数)(x f 经过求导后,其导函数)(x f '甚⾄不⼀定是连续的。
(Ⅱ)定理(3)也称为原函数存在定理。
它说明:连续函数必存在原函数,并通过定积分的形式给出了它的⼀个原函数。
我们知道,求原函数是求导运算的逆运算,本质上是微分学的问题;⽽求定积分是求⼀个特定和式的极限,是积分学的问题。
定理(3)把两者联系了起来,从⽽使微分学和积分学统⼀成为⼀个整体,有重要意义。
重要推论及计算公式:推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=? <变上限积分改变上下限,变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c '=? <上限是复合函数的情况求导。
定积分变限规则
![定积分变限规则](https://img.taocdn.com/s3/m/b8ccaf04dcccda38376baf1ffc4ffe473268fd05.png)
定积分变限规则
嘿,朋友们!今天咱来聊聊定积分变限规则,这可真是个神奇又有趣的玩意儿啊!
你想想看,定积分就像是一个大宝藏,而变限规则就是打开这个宝藏的钥匙。
它能让积分的上下限动起来,就好像给积分注入了生命力一样!
比如说,咱平常计算定积分,那上下限就是固定的,算出来就是一个确定的值。
但有了变限规则,嘿,那就不一样啦!上限或者下限可以变成一个函数,哇塞,这可就热闹了。
这就好比你走路,平常就是沿着一条直直的路走,目的地很明确。
但现在呢,路变得弯弯曲曲的,你得跟着它的变化而变化,是不是很有意思?
变限规则能帮我们解决好多问题呢!比如一些涉及到变化过程的情况,它就能大显身手啦。
就好像你要追一个一直在跑的小调皮,你得时刻根据他的位置调整自己的策略。
而且哦,理解了定积分变限规则,你就像是掌握了一门独特的武功秘籍。
在数学的江湖里,就能更加游刃有余啦!你难道不想拥有这样的“武功”吗?
咱再打个比方,定积分就像是一幅画,而变限规则就是让这幅画动起来的魔法。
它能让画面变得栩栩如生,充满了变化和惊喜。
学习定积分变限规则也不是那么难啦,只要你用心去感受它,就像和一个新朋友打交道一样,慢慢地了解它的脾气和特点。
你看,数学的世界就是这么奇妙,一个小小的变限规则就能带来这么多的乐趣和挑战。
别害怕,大胆地去探索吧!
总之呢,定积分变限规则真的很重要,很有趣,也很值得我们去深入研究和掌握。
它就像一把神奇的钥匙,能打开数学世界里更多的奥秘之门。
所以,朋友们,赶紧行动起来,去和定积分变限规则来一场奇妙的邂逅吧!。
二重积分的变上限积分
![二重积分的变上限积分](https://img.taocdn.com/s3/m/8c050ab27d1cfad6195f312b3169a4517623e563.png)
二重积分的变上限积分二重积分是微积分中的一种重要概念,常常用于计算平面上的曲线或曲面的面积、质量、重心等问题。
在计算二重积分时,变上限积分是一种常用的方法,可以减少计算的步骤和复杂度。
本文将介绍二重积分的概念、计算方法以及变上限积分的原理和应用。
一、二重积分的概念二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分,可以看作是重叠在这个区域上的无数个微小矩形面积的总和。
二重积分的表达式可以写成:∬f(x,y)dA其中,f(x,y)是定义在二维平面上的实函数,代表积分区域的每一个点上的函数值;dA是一个小面积元素,代表积分区域中的一个微小矩形面积。
二重积分的计算可以通过对区域的面积进行划分,将面积元素逐一求和的方式来实现。
二、二重积分的计算方法计算二重积分有多种方法,常见的包括直角坐标系下的直接积分法、极坐标系下的极坐标转化法和变上限积分法。
本文重点介绍变上限积分的方法。
变上限积分的基本思想是利用定积分的性质,将二重积分转化成一重积分。
相比直接计算二重积分,变上限积分可以简化运算的过程,并且可以避免一些复杂的代数运算。
具体地,变上限积分的计算可以通过以下步骤进行:1.确定积分的积分区域,通常需要画出区域的示意图,以便于后续的计算。
2.对积分区域进行参数化,即用一组参数表示区域中的每一个点。
参数化的方法可以根据具体问题进行选择,常见的是直角坐标系和极坐标系两种。
3.将二重积分转化成一重积分,这一步需要根据参数化的结果进行变换。
变上限积分的关键在于将积分的上限和下限与一维积分的积分变量进行匹配。
4.利用一维积分的技巧求解一重积分。
对于线性函数、指数函数、三角函数等常见的函数,可以使用基本积分公式来进行计算。
5.将一重积分的结果代入变换后的表达式,即可得到二重积分的计算结果。
三、变上限积分的原理和应用变上限积分的原理可以通过对积分的定义进行推导得到。
根据定积分的定义,可以把积分区间上的函数值看作是一个关于积分变量的函数,即积分函数。
变上限积分函数公式
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变上限积分求导公式怎么计算的变上限积分求导公式:也就是∫f(t)dt(积分限a到x),按照映射的规律,每给一个x就积分出一个实数,所以这是关于x的一元函数,记为g(x)=∫f(t)dt(积分限a到x),注意:积分变量无论用任何符号都不对积分值产生影响,改用t是为了不与上限x混在一起。
一、原函数与变上限积分函数有什么关系变上限积分函数的导数是原函数。
变上限积分对于未知数x存在着定义域,而不定积分x没有定义域。
变上限积分主要用到的知识是求极限的方法,而不定积分的求法是利用公式和定义去求,俩者不是一种类型的题。
变上限积分得到的是一个具体的值,而不定积分最终的结果只能是一个式子。
二、积分的几何意义(1)若f(x)≥0,x∈[a,b],∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积;(2)若f(x)≤0,x∈[a,b],∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积的相反数;(3)若f(x)在区间[a,b]上有正有负时,∫(a→b)f(x)dx的几何意义为曲线y=f(x)在x轴上方部分之下的曲边梯形的面积取正号,曲线y=f(x)在x轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号,构成的代数和。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。
三、积分的运算法则积分的运算法则是如果一个函数f可积,那么它乘以一个常数后仍然可积。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质,改变函数某点的取值不会改变它的积分值。
对于黎曼可积的函数,改变有限个点的取值,其积分不变。
对于勒贝格可积的函数,某个测度为0的集合上的函数值改变,不会影响它的积分值。
如果两个函数几乎处处相同,那么它们的积分相同。
定积分变换上下限
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定积分变换上下限
【实用版】
目录
1.引言
2.定积分变换上下限的概念
3.定积分变换上下限的方法
4.定积分变换上下限的例子
5.总结
正文
1.引言
在数学中,定积分变换上下限是一种常见的计算方法。
当我们需要计算一个定积分时,有时候我们需要改变上下限,以便于计算。
这种方法被称为定积分变换上下限。
2.定积分变换上下限的概念
定积分变换上下限指的是,在计算定积分时,通过改变积分的上下限,使得积分变得更容易计算。
这种变换通常会使用代换、分部积分等方法,将原积分转化为另一个更容易计算的积分。
3.定积分变换上下限的方法
在实际计算中,定积分变换上下限的方法有很多,主要包括以下几种:(1)代换法:通过引入一个新的变量,将原积分中的上下限表示为新变量的取值范围,从而实现上下限的变换。
(2)分部积分法:将原积分中的一个函数拆分成两个函数的乘积,然后使用分部积分公式,将原积分转化为另一个更容易计算的积分。
(3)三角代换法:在积分中含有三角函数时,可以通过三角代换,
将三角函数表示为另一个更容易计算的函数,从而实现上下限的变换。
4.定积分变换上下限的例子
下面我们通过一个例子来说明定积分变换上下限的方法:
计算积分:∫(x^2 + 3x - 2) dx
通过分部积分法,我们可以将这个积分转化为:∫(x^2 + 3x - 2) dx = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 2x + C
这样,我们就可以通过代入上下限,计算出积分的结果。
5.总结
定积分变换上下限是一种重要的数学方法,可以帮助我们更容易地计算定积分。
变限积分的性质
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变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一,是一类很重要的函数,是产生新函数的重要工具,同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁,可见它在微积分学中的重要地位。
本文通过对变限积分的定义进行简介,对变限积分的性质进行介绍及举例,包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性,还介绍了变限积分的一些应用。
通过这些介绍及得到的有关结论,希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值,在以后研究学习中有所帮助。
关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用引言随着时代的要求和科技的进步,由于函数概念的产生和运用的加深,一门新的数学分支——微积分学产生了,而极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题,微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中,有越来越广泛地应用,可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的,微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
积分学是微积分中重要的一部分内容,积分学可分为不定积分和定积分,而变限积分就是一种特殊的定积分,它具有许多特殊的性质,比如连续性、可微性、奇偶性等,它是我们学习积分学经常考察的一个知识点,研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。
下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。
1. 变限积分的概念与理解 1.1变限积分的定义设f 在[,]a b 上可积,根据定积分的性质,对任何[,]x a b ∈,f 在[,]a x 也可积,于是,由()(),[,]xa x f t dt x ab Φ=∈⎰ (1)定义了一个以积分上限x 为自变量的函数,称为变上限的定积分或积分上限函数.类似地,又可定义变下限的定积分:(),(),[,].bx x f t dt x a b ψ=∈⎰ (2)Φ与ψ统称为变限积分; 变量复合函数定义为:()()()()(),(),(),u x bu x av x v x f t dt f t dt f t dt ⎰⎰⎰其中()u x 、()v x 是定义在[,]αβ上的函数且()u x ,()v x [,]a b ∈.注:在变限积分(1)与(2)中,不可再把积分变量写成x (例如()xa f x dx ⎰),以免与积分上、下限的x 混淆。
《变上限定积分》课件
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直接法
总结词
直接法是利用微积分基本定理,将变上限定积分转化为定积分进行计算。
详细描述
直接法的基本思路是将变上限定积分$int_{a(x)} f(x,t) dt$转化为定积分$int_{a}^{b} f(x,t) dt$,其中$a(x)$和 $b$都是关于$x$的函数。然后利用微积分基本定理,将定积分转化为关于$x$的函数,从而求出变上限定积分的 值。
积分与微分的关系
如果f(x)在[a, b]上可微,则∫(a→b) f'(x) dx = f(b) - f(a)。
变上限定积分与普通定积分的联系
当a和b均为常数时,变上限定积分退 化为普通定积分。
普通定积分是变上限定积分的特殊情 况,而变上限定积分是普通定积分的 推广。
03
CATALOGUE
变上限定积分的计算方法
几何意义
变上限定积分可以理解为曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积随a和b的变化 而变化。
变上限定积分的性质
积分区间的可加性
∫(a→c) f(x) dx = ∫(a→b) f(x) dx + ∫(b→c) f(x) dx。
线性性质
∫(a→b) [k*f(x) + m*g(x)] dx = k*∫(a→b) f(x) dx + m*∫(a→b) g(x) dx。
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量,将变上限定积分转化为更容易计算的 积分。
详细描述
换元法的基本思路是引入新的变量替换原变量,使得新的变量与原变量之间的 关系更容易处理。通过这种方式,可以将变上限定积分转化为更容易计算的积 分,从而简化计算过程。
分部积分法
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d (x) ∫a f (t) dt = f [(x)]′(x) dx ( x) d ( x) d a f (t) dt = f (t) dt + ∫ f (t) dt a dx ∫ψ ( x) dx ∫ψ (x)
= f [(x)]′(x) f [ψ(x)]ψ′(x)
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�
dF0 (x) 即 |x=x0 = f (x0 ). dx 因x0为 a, b)上任意一点,故将上式 0换成x得到 ( x dF0 (x) 即 = f (x ). 证毕. 证毕 dx
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f (c) → f (x0 ), 因而 F0 (x) F0 (x0 ) lim = f (x0 ). x→x0 x x0
m ≤ f (x) ≤ M, x ∈[a, b]. ∫a mdx ≤ ∫a f (x)dx ≤ ∫a Mdx,
ba 再 连 函 的 值 理 存 c∈[a, b], 使 由 续 数 介 定 , 在 得
a
b
b
b
m(b a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M(b a),
b
∫ m≤
b
a
f (x)dx
≤ M.
x0 ∈(a, b] 及x < x0 , x ∈[a, b),
x→x0 0
同理可证
lim F (x) = F0 (x0 ), (x 0
再结合刚才所得(x) F 0
即F x)在(a, b]中每一点都左连续 ( . 0
在 a, b)上 连 的 论 于是证明了F x)在 a, b]上连续 [ 右 续 结 , ( [ . 0
a x0
x
a
= ∫ f(t)dt = f (c)(x x0 ) →0,
x0
x
当x → x0 + 0时(其中x0 < c < x). 由此推出 lim F0 (x) = F0 (x0 ).
x→x0 +0
以上证明了F0 (x)在x0处右连续 由于x0是 a, b)上的任意一点, . [ 也即证明了F x)在 a, b)中每一点都右连续 ( [ . 0
t
y
若 (x) ∈C[a, b], f
则
d x ∫b f (t)dt = f (x). dx
(∵∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt)
x b
b
x
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结束
例2
设
求 ′(x). F 解 F(x) =
F(x) = ∫ 2 1+ tdt
x
x
∫
x
2
x
1+ tdt = ∫ 1+ tdt + ∫ 2 1+ t dt
d x 即 F ′ (x) = ∫ f (t)dt = f (x) x ∈( a, b) . 0 dx a 证 由积分中值定理, x0 ∈[a, b) 及x > x0 , x ∈(a, b], 有
F (x) F0 (x0 ) = 0
∫ f(t)dt ∫
axBiblioteka x0af(t)dt = ∫ f(t)dt + ∫ f(t)dt
2-9 变上限定积分
在区间[a,b]上连续,则对于任意的 上连续, 设 f(x) 在区间 上连续 则对于任意的x ( a ≤ x ≤ b ),积分 ∫a ,
x
f ( x)dx
存在, 存在, 是上限x的函数 是上限 的函数. 的函数
∫
x
a
f ( x)dx
a≤ x≤b
注意:积分上限x与被积表达式 与被积表达式f(x)dx中的积分变量 是 中的积分变量x是 注意:积分上限 与被积表达式 中的积分变量 两个不同的概念,在求积时 或说积分过程中 上限x是 或说积分过程中)上限 两个不同的概念,在求积时(或说积分过程中 上限 是 固定不变的,而积分变量 是在下限与上限之间变化的 固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间变化的 ,因此常记为
∫
b
a
f (x) dx ba
y
= f (c)
y = f (x)
因
oa
c
b x
故它是有限个数的平均值概念的推广.
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定理2 定理 设f 在 a, b]上连续,则其变上限积分的积分 [
F (x) = ∫ f (t)dt 0
a x
(a ≤ x ≤ b)
是 a, b]上的 [ 连续函数 在( a, b)内可 ,且 导,且 F′(x) = f (x) , 0 x ∈ ( a, b) .
0 x
x
x
0
F′(x) = (∫ 1+ tdt)′ + (∫ 2 1+ tdt)′ 0
0 x
= 1+ x 1+ x2 (x2 )′
= 1+ x 2x 1+ x2 .
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结束
说明: 说明
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 变限积分求导:
∫
x
a
f (t )dt.
定理1 积分中值定理 积分中值定理) 在闭区间[ ] 定理1(积分中值定理) 若函数 f(x) 在闭区间[a,b]
连续,则在[ ] 至少存在一个点c 上 连续,则在[a,b]内至少存在一个点 ,使得
∫
最小值m.则
b
a
f (x)dx = f (c) (b a) .
证 因 f (x)在 a, b]上 续 它 [a, b]上 最 值 和 为 [ 连 , 在 有 大 M
a x
例1 设
求 ′(x) =? F 解 令 y = 2x +1,
0
F(x) = ∫
2x+1
et sin 5tdt
则 F(x) = 2x+1et sin 5tdt ∫
0
由
g( y) = ∫ e sin 5tdt 和 y = 2x +1 复合而成的复合函数. 复合而成的复合函数 0 F′(x) = G′( y) y′ = ey sin 5y 2 = 2e2x+1 sin 5(2x +1).
设x0 ∈(a, b)及x ∈(a, b), 则由积分中值定理可知存在一点 c在 与 0之 , 有 x x 间 且
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F (x) F0 (x0 )= 0
由此推出
∫
x
x0
f(t)dt = f (c)(x x0 )
F0 (x) F0 (x0 ) = f (c), x x0
当x → x0时 c → x0 ,于是由函数f的连续性可知x → x0时 ,
∫ f (c) =
b
a
f (x)dx ba
, 即
∫
b
a
f (x)dx = f (c) (b a) .
几何意义: 几何意义: 在 [a , b] 上至少存在一点 ξ , 使得曲边梯形的面积等于同 一底边而高为 面积. 面积
f (ξ ) 的矩形的
a
ξ
b
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说明: 说明
积分中值定理对 可把
定理2也称作原函数存在定理 定理 也称作原函数存在定理 也称作
如果函数f (x)在区间 [a, b]上连续,则 Φ(x) = ∫ f (t)dt 是f (x)在( a, b) 上的一个原函数 .
由上述结论可知: 由上述结论可知:尽管不定积分与定积分概念的引入 完全不同,但彼此有着密切的联系,因此我们可以通 完全不同,但彼此有着密切的联系,因此我们可以通 过求原函数来计算定积分.