32特殊平行四边形(1)

§3．2．1 特殊平行四边形(一)
教学目标
(一)教学知识点
1．能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．
2．能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．
(二)能力训练要求
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．
2．能够用综合法证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．
3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
4．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．
(三)情感与价值观要求
通过学习矩形的性质，让学生从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一
般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念．
教学重点
矩形的性质的证明．
教学难点
矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系．
教学方法
启发引导归纳式教学法．
教具准备
投影片五张
第一张：总结(记作投影片§3．2．1 A)
第二张：定理(记作投影片§3．2．1 B)
第三张：议一议(记作投影片§3．2．1 C)
第四张：例题(记作投影片§3．2．1 D)
第五张：小明的解法(记作投影片§3．2. 1 E)
教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课
[师]上两节课我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理．下面我们来共同回忆总结：
[师生共析](学生总结，教师补充)(出示投影片§3．2．1 A)
已加一个四边形是平行四边形，则有：
对边平行
对边相等
对角相等
邻角互补
对角线互相平分
从两组对边分别平行
边两组对边分别相等的四边边形是
看一组对边平行且相等平行四边形
从角看：两组对角分别相等
从对角线看：对角线互相平分
[师]了解了平行四边形后，你还了解哪些特殊的平行四边形?
[生]特殊的平行四边形有矩形、菱形和正方形．
[师]还记得它们与平行四边形的关系吗?能用一张图来表示它们之间的关系吗?
[生]有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；而有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此看来，矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们都是有特殊性质的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且也是特殊的矩形、特殊的菱形．所以可用下图来表示它们之间的关系：
(随学生的叙述，教师播放投影，使学生进一步了解它们的关系)
[师]它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质．又因为它们是特殊的平行四边形，所以它们又具有各自的独特性质．
今天我们先来研究矩形的特殊性质．
Ⅱ．讲授新课
[师]前面我们已探讨过矩形的性质，还记得吗?
[生]矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
[师]很好，那你能证明它们吗?
[生]能．
[师]好，大家先来独自证明，然后与同伴交流你的证明思路．
[生甲]已知四边形ABCD是矩形．
求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
证明：∵四边形ABCD是//四边形，
∴∠A＝90°，四边形ABCD是．
∴∠A=∠C，∠B＝∠D．
∠A+∠D＝180°．
∴∠B＝∠C：∠D＝∠A＝90°．
[生乙]已知矩形ABCD，求证：AC＝DB．
证明：在矩形ABCD中，
∵∠ABC ＝∠DCB ＝90°，(矩形的四个角都是直角) AB ＝DC ，(平行四边形的对边相等) BC ＝CB ，
∴△ABC ≌DCB ． ∴AC=DB ．
[师]很好，我们证明矩形的第一个性质时，用到了矩形的定义及平行四边形的性质；证明第二个性质时，用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形．我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质，把它们称为定理．即(出示投影片§3．2．1 B) 定理：矩形的四个角都是直角．
∵矩形ABCD ，
∴∠A=∠B ＝∠C=∠D ＝90°． 定理：矩形的对角线相等．
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝DB ．
[师]接下来，我们来想一想，议一议．(出云投影片§3．2．1 C)
如图，设矩形的对角线AC 与BD 的交点为E ，那么BE 是Rt △ABC 中一条怎样的特殊线段?它与AC 有什么大小关系?为什么?
[生]因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 也是平行四边形．因此，对角线AC 与BD 互相平分．即AE ＝EC ，BE ＝DE ．又因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，因此BE= 2
1
BD ＝
21AC ．故BE 是Rt △ABC 的斜边AC 上的中线，它与AC 的大小关系为BE ＝ 2
1
AC ．
[师]很好，那你能用一句话概括你所得到的结论吗? [生]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． [师]这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论．那你能用推理的方法来证明它吗? [生]能．
如图，已知BE 是Rt △ABC 的斜边AC 上的中线．
求证：BE ＝
2
1
AC ．
分析：要证明这个结论，可构造辅助图形——矩形，所以可以过点A 作BC 的平行线，也可以延长BE 到D ，使DE=BE ，然后证明四边形ABCD 是矩形．再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论．
证明：过点A 作BC 的平行线与BE 的延长线交于点D ，连接CD ．(如图)
则∠DAE ＝∠BCE ．
∵BE 是Rt △ABC 的斜边AC 上的中线， ∴AE ＝EC ．
又∵∠AED ＝∠CEB ， ∴△AED ≌△CEB ． ∴AD ＝BC ．
∵AD//BC ．∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形． ∴AC=BD ，BE ＝ED ＝2
1
BD ． ∴BE ＝
2
1
AC ． [师]我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的．那么我们以后就可直接应用了． ∵BE 是Rt △ABC 的AC 上的中线， ∴BE ＝
2
1
AC ．
下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质(出示投影片§3．2．1 D)[例题]如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD ＝120°，AB ＝2．5 cm ．求矩形对角线的长．
分析：欲求对角线的长，由于∠BAD ＝90°或∠ABC=90°，AB=4 cm ，则只要再找出Rt △ABD 中一条直角边或一个锐角的度数，再从已知条件∠AOD ＝120°出发，应用矩形的性质可知 ∠ADB ＝30°，这样即可求出对角线的长． 解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，且OA=OC=2
1
AC ， OB ＝OD=
2
1
BD ，(矩形的对角线相等且互相平分) ∴OA ＝OD ．
∵∠AOD ＝120°，
∴∠OAD ＝∠ODA ＝2
120180︒-︒＝30°．
∵∠DAB ＝90°．(矩形的四个角都是直角) ∴BD ＝2AB ＝2×2．5＝5(cm)． 故这个矩形的对角线的长为5 cm ．
[师]同学们来想一想，还有没有其他的方法来解这个题呢?
[师]小明认为，这个题还可以这样想：(出示投影片§3．2．1 E) ∠AOD ＝120°→∠AOB=60°→OA ＝OB ＝AB →AC ＝20A ＝2×2．5＝5(cm)． [师]你能帮小明写出完整的解题过程吗? [生]解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，且OA ＝OC ＝2
1
AC ， OB ＝OD ＝
2
1
BD ．(矩形的对角线相等且互相平分) ∴OA ＝OB ．
∵∠AOD ＝120°， ∴AOB ＝60°． ∴OA=OB ＝AB ．
∴AC ＝2OA ＝2×2．5＝5(cm)． [师]已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢? 下面我们通过做练习来证明矩形的判定定理． Ⅲ．课堂练习
(一)课本P 84随堂练习1
1．证明：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B=∠C ＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°．
∴AD//BC．
同理可证：AB//CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠A=90°，
∴ //四边形ABCD是矩形．
Ⅳ．课时小结
我们这节课主要研究了矩形的性质，现在来归纳：
对边平行且相等
1．矩形四个角都是直角
对角线互相平分且相等
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
一个角是直角的平行四边形
3．有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形
Ⅴ．课后作业
课本P85随堂练习1
课本P86,习题3．4 2、3
Ⅵ．活动与探究
1．取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下；
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)．
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E．如图(2)．
第三步：沿EB′，线折叠得折痕EF．如图(3)．
利用展开图(4)探究：
(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．
(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．
[过程]通过学生动手操作、观察、猜想，进而通过推理论证了猜想，来培养学生的创新能力和实践能力．
[结果](1)△AEF 是等边三角形．
证明：∵△ABE 与△AB ′E 完全重合．
∴△ABE ≌△AB ′E ，∠BAE ＝∠1，由平行线等分线段定理得EB ′＝B ′F ． 又∠AB ′E ＝90°，∴△AB ′E ≌△AB ′F ． ∴AE ＝AF ，∠1＝∠2=
3
1
∠BAD=30°． ∴△AEF 是等边三角形． (2)不一定．
由以上推证可知：当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边AF 时，即矩形的宽：长＝AB ：AF ＝sin60°=3：2时能正好折出． 如果设矩形的长为a ，宽为b ，可知 当b ≤
2
3
a 时。

按此法一定能折出等边三角形； 当a
2
3
<b<a 时，按此法无法折出完整的等边三角形． 板书设计 §3．2．1 特殊平行四边形(一)
1．
2．定理：矩形的四个角都是直角． 定理：矩形的对角线相等． 证明：
3．议一议：
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．例题： 5．课堂练习：
有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形．
6．课时小结
7．课后作业
备课资料
参考例题
[例]折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB＝2，BC＝1，求AG．
分析：折叠性问题主要是要明确折叠后的对称关系，从中找出相等的条件．才能把未知逐渐转化为已知．本题由题意可知GE＝AG，DE＝AD=1．因为折叠后出现了直角，所以利用勾股定理即可求出AG．
解：由题意知GE＝AG，DE＝AD＝1，
∵AB＝2，BC＝1，
∴BD=5
∴BE= 5-1．
设AG为x，则GB＝2-x．
在Rt△GEB中，GB2＝BE2+GE2，
(2-x)2=(5-1)2+x2．
解得x＝
21
5-
因而AG的长为
21
5-。