结构动力学习题解答(三四章)

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结构动力学习题解析

结构动力学习题2.1 建立题2.1图所示的三个弹簧-质点体系的运动方程（要求从刚度的基本定义出发确定体系的等效刚度）。

题2.1图2.2 建立题2.2图所示梁框架结构的运动方程（集中质量位于梁中，框架分布质量和阻尼忽略不计）。

题2.2图2.3 试建立题2.3图所示体系的运动方程，给出体系的广义质量M、广义刚度K、广义阻尼C和广义荷载P(t)，其中位移坐标u(t)定义为无重刚杆左端点的竖向位移。

题2.3图2.4 一总质量为m1、长为L的均匀刚性直杆在重力作用下摆动。

一集中质量m2沿杆轴滑动并由一刚度为K2的无质量弹簧与摆轴相连，见题 2.4图。

设体系无摩擦，并考虑大摆角，用图中的广义坐标q1和q2建立体系的运动方程。

弹簧k2的自由长度为b。

题2.4图2.5 如题2.5图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其右端与刚度为k的弹簧相连，左端与阻尼系数为c的阻尼器相连。

摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。

建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置）。

题2.5图2.6如题2.6图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其上部与一无重刚杆相连，无重刚杆与刚度为k2的弹簧及阻尼系数为c2的阻尼器相连，m1右端与刚度为k1的弹簧相连，左端与阻尼系数为c1的阻尼器相连。

摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。

建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置，假定系统作微幅振动，sinθ=tanθ=θ）。

计算结果要求以刚度矩阵，质量矩阵，阻尼矩阵的形式给出。

3.1单自由度建筑物的重量为900kN，在位移为3.1cm时（t＝0）突然释放，使建筑产生自由振动。

如果往复振动的最大位移为2.2cm（t ＝0.64s），试求：（1）建筑物的刚度k；（2）阻尼比ξ；（3）阻尼系数c。

3.2 单自由度体系的质量、刚度为m＝875t，k＝3500kN/m，且不考虑阻尼。

结构动力学3-4

j j
结构动力学
mu cu ku e
H (i j )
1 1 2 k i 1 ( ) [ 2 ( )] j n j n
u (t )
3.8 单自由度体系对任意荷载的反应
总的稳态反应为:
j
p u (t ) H (i ) p e

Tp
0 Tp
p (t )dt p (t ) cos( j t )dt p (t ) sin( j t )dt n 1 ,2 ,3 , n 1 ,2 ,3 ,
4/71

0 Tp
0
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
当用Fourier级数展开法时，隐含假设周期函数是从-∞开始到 +∞ 。初始条件 (t=-∞) 的影响到 t=0 时已完全消失，仅需计算稳态解，即特解。对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：

对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得单自由度体系频域运动方程：
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )

(t )e it dt iU ( ) u

(t )e it dt 2U ( ) u
p
1 2
...
τ
dτ du t 1脉冲引起的反应 du
t
du (t ) p ( )d h(t ) , t
2脉冲引起的反应以前所有脉冲作用下反应的和：
du t τ时刻脉冲引起的反应
. . .
单位脉冲及单位脉冲反应函数
p (t ) P( )

结构动力学哈工大版课后习题解答

..
.. .
..
第一章单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2）利用牛顿第二定律 m x F ,得到系统的运动微分方程；
0
bi
2 T
T
F (t ) sin(it )dt
0
因为 F (t) H sin 2 (0t) 是偶函数，所以 bi 0 。
于是
F (t )
H 2
H 2
c os (2 0 t )
而
x(t)
H 2k
A s in(2 0 t
a
/
2)
；
式中
H
A
2m
；
( n 2 402 ) 16n202
1 2
K A A2 K B B 2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2 ;
系统的机械能为
图 1-36
c
）
T
U
1 4
m
A
mB rA2 A2
1 2
K
A
KB
rA 2 rB 2
A2
C；
由 d T U 0 得系统运动微分方程
dt
1 2
m A
mB rA2A
K
A
KB
rA 2 rB 2
48EIl3
；
m
48EI k1l 3 m
（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:

[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解

前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。

结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。

1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。

二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。

2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。

克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。

之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。

为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。

本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。

所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。

达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。

以下黑体字是注释，其它为原书文字。

[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。

为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。

结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生

结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。

试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。

又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。

属于工程反问题的一种。

在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。

系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。

又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。

如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。

2、如何从物理意义上理解线性振动系统解的可叠加性。

求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。

复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。

4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。

固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。

圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。

即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。

它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。

一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。

系统的状态按照阻尼比ζ来划分。

把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。

结构动力学复习题全解

结构动力学
*本章讨论结构在动力荷载作用下的反应。 **学习本章注重动力学的特征------惯性力。 *结构动力计算的目的在于确定结构在动力荷载作用下的位移、内力等量值随时间变化的规律，从而找出其最大值作为设计的依据。 *动力学研究的问题：动态作用下结构或构件的强度、刚度及稳定性分析。一、本章重点 1．振动方程的建立 2．振动频率和振型的计算 3．振型分解法求解多自由度体系 4．最大动位移及最大动应力二、基础知识 1．高等数学 2．线性代数 3．结构力学三、动力荷载的特征 1．大小和方向是时间 t 的函数例如：地震作用，波浪对船体的作用，风荷载，机械振动等 2．具有加速度，因而产生惯性力四、动力荷载的分类 1．周期性动力荷载例如：①机械运转产生的动力荷载，②打桩时的锤击荷载。 P（t） P（t）

Δt 时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为 v (t ) = 的自由振动。由（3）式可知：
p∆t p ( ∆t ) 2 ，初位移为 y(t ) = =0 m 2m
y(t ) = y 0 cosωt +
v0 p∆t sinωt sinωt = ω mω
---------------------（9）
& (t ) FD= - C y
，称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反。
一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括 EI ①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 ②周围介质对结构的阻尼（如，空气的紫力） ③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 ④通过基础散失的能量 2．弹性恢复力 FE= - K y(t) ，K 为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反。 3．惯性力
，阻尼系数为 C ，横梁具有分布质量 m =
m L
。

结构动力学1~15

《结构动力学》习题答案1~151． 1简述求多自由度体系时程反应的振型叠加法的主要步骤答1）建立多自由度体系的运动方程)()()()(t p t kv t v c t vm =++ 2）进行振型和频率分析对无阻尼自由振动，这个矩阵方程能归结为特征问题)(ˆ2t p vm k =-ω 由此确定振型矩阵φ和频率向量ω 3）求广义质量和荷载依次取每一个振型向量n φ，计算每一个振型的广义质量和广义荷载n T n nm Mφφ= )()(t p t p Tn n φ=4）求非耦合运动方程用每个振型的广义质量、广义力、振型频率n ω和给定的振型阻尼比n ξ就能写出每一个振型的运动方程2)(2)(ωωξ++t Y t Y n n n n nn nMt P t Y )()(=5）求对荷载的振型反应根据荷载类型，用适当的方法解这些单自由度方程，每一个振型的一般动力反应表达式用Duhamel 积分给出ττωτωξτωd t t P M t Y Dn n n tn nn n )(sin )](exp[)(1)(0---=⎰写出标准积分形式τττd t h P t Y n tn n )()()(0-=⎰式中)](exp[)(sin 1)(τωξτωωτ---=-t t M t h n n Dn nn n 10<<n ξ6）振型自由振动每一个振型有阻尼自由振动反应的通式为)exp[]sin )0()0(cos )0([)(t t Y Y t Y t Y n n Dn Dnnn n n Dn n n ωξωωωξω-++=7）求在几何坐标中的位移反应通过正规坐标变换求几何坐标表示的位移式)()()()(2211t Y t Y t Y t V n n φφφ+++=显然，它反映了各个振型贡献的叠加。

因此命名为振型叠加法。

8）弹性力反应抵抗结构变形的弹性力)()()(t Y k t kv t f s φ==当频率、振型从柔度形式的特征方程中求出时，可以采用另一种弹性力的表达式。

结构动力学习题解答(三四章)

第三章多自由度系统3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。

图３－１０解：〔1〕系统自由度、广义坐标图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标；〔2〕系统运动微分方程根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：;)(;)()(;)(34233332625323122222121111x K x x K x m x K x K x x K x x K xm x x K x K xm ---=------=---= 整理如下;0)(;0)(;0)(3432333332653212222212111=++-=-++++-=-++x K K x K xm x K x K K K K x K xm x K x K K xm 写成矩阵形式;000)(0)(0)(00000321433365322221321321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+++--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x K K K K K K K K K K K K x x x m m m 〔1〕〔3〕系统特征方程设)sin(,)sin(,)sin(332211ϕωϕωϕω+=+=+=t A x t A x t A x 代入系统运动微分方程〔1〕得系统特征方程;000)(0)(0)(321234333226532222121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+++---+A A A m K K K K m K K K K K K m K K ωωω〔2〕〔4〕系统频率方程系统特征方程〔2〕有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，即;0)(0)(0)(234333226532222121=-+---+++---+ωωωm K K K K m K K K K K K m K K展开得系统频率方程;0))(())(()))(())(()((21212323432223432265322121=-+--+--+-+++-+ωωωωωm K K K m K K K m K K m K K K K m K K进一步计算得;0;0)()())()(()))(())((())()()(()()()()())(()())(())(())()(())(())(()))(()()())((())(())(()))(())(()((02244662123432265324321236532214321231233224316532214332216321231232123232243226321421434322124321243165322165324323653221653243212121232343222343421221265322165322121212323432223432265322121==++++-+-+++++++++++-++-+++++++++++-=++-++--++++++-++++++++-++++-+++++=-+--+--+++-+++-++++=-+--+--+-+++-+a a a a K K K K K K K K K K K K K K m K K K K K K K K K K m m m K m K m m K K K K m m K K m m K K m m m m m K K K K m K K K K m m m m m K K m m K K K K K K m m m K K K K m K K K K K K m K K K K K K K K K K K K K K m K K K m K K K m K K m m K K m K K K K m K K K K K K m K K K m K K K m K K m K K K K m K K ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω (3)其中;3216m m m a -= ;)()()(316532214332214m m K K K K m m K K m m K K a +++++++=;))(())((36532214321231233222m K K K K K K K K K K m m m K m K a ++++-++-+=);()())()((21234322653243210K K K K K K K K K K K K K K a +-+-+++++=求解方程〔3〕得系统固有频率;)3,2,1(),,,,,,,,,(654321321==i K K K K K K m m m f i i ω 〔4〕〔5〕系统固有振型将系统固有频率代入系统特征方程〔2〕得系统固有振型，即各阶振型之比：)3(3)3(1)3(3)3(2)3(1)3(2)2(3)2(1)2(3)2(2)2(1)2(2)1(3)1(1)1(3)1(2)1(1)1(21,1;1,1,1,1A A A A A A A A A A A A ======γγγγγγ 〔5〕〔6〕系统振动方程)sin()sin()sin()sin()sin()sin(33)3(1)3(3)3(1)3(2)3(122)2(1)2(3)2(1)2(2)2(111)1(1)1(3)1(1)1(2)1(133)3(3)3(2)3(122)2(3)2(2)2(111)1(3)1(2)1(1321ϕωγγϕωγγϕωγγϕωϕωϕω+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧t A A A tA A A tA A A t A A A t A A A t A A A x x x 〔6〕在方程〔6〕中含有6个待定常数：)1(1A 、)2(1A 、)3(1A 、1ϕ、2ϕ和3ϕ。

结构动力学习题+讲解

&&(t ) + （ω2 – n2 ）S (t) = 0 --------------------------------------------（5） S
1．当 n >ω时（强阻尼）方程（5）的解为： S (t) = A1sh n − ω t +A2ch n − ω t
2 2 2 2
从而，方程（4）的解为：
若时间 t 不是从 0 开始，而是从τ开始的，则（9）式写为：
y (t ) =
p∆t sinω（t-τ） mω
---------------------------------------（10）
写作：，记ω2 =
K m
，2n =
C ，又可写作： m
& &(t ) + 2n y & (t ) +ω2 y (t ) = 0 y
利用常数变易法，令 y (t ) = e
− nt
---------------------------------------------（4）
S (t ) 代入方程（4）中得：
K/2 VBA
48i/7L
2
A
取横梁为研究对象，Σ X=0，得：K= 4）振动方程
24 EI L3
即，
&(t ) - K y(t ) + Psinθt = 0 y - 2 m& &(t ) + y 2 m&
24 EI y(t ) = Psinθt L3
一、无阻尼的自由振动
振动方程
&(t ) +K y (t ) = 0 ， m& y & &(t ) + y K y (t ) = 0 m

结构动力学参考答案

.. .
m u + c u + ku = Pu (t ) 2.13 一根均匀杆，图 P2.13 其单位体积质量密度 ρ ，并具有顶部质量 M，应用假定法ψ ( x) = x L 来推导该系统轴向自由振动的运动方程。假定 AE = 常数。解：
.. 1 EA ( ρAL + M ) u + u = P(t ) 3 L
结构动力学习题参考答案
1
2.3 一根刚梁 AB，用力在弹簧 BC 上去激励它，其 C 点的运动规定为 Z（t）,如图 P2.3. 按 B 点的垂直运动 u 来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。解： 4M u + 3c u + (3k1 + 12k 2 )u = 12k 2 Z (t )
.. .
4
4.17 在振动的结构上一个点，已知其运动为 Ζ = Ζ1 cos(Ω1t ) + Ζ 2 cos(Ω 2 t ) =
0.05 cos ( 60π t ) + 0.02 cos(120π t ) 。
（a）用一加速度计其阻尼因数 ξ = 0.70 和 20 KHz 共振频率来确定振动记录 w p (t ) 。 (b) 加速度计是否会引起有效幅值或相位畸变？解：（a） w p (t ) = w p1 (t ) + w p 2 (t ) = 6.339 × 10 −11 A1 cos 60π (t − 1.1145 × 10 −5 ) + 6.339 × 10 −11 A2 • cos 120π (t − 1.1146 × 10 −5 ) （b） w p (t ) = C[ A1 cos Ω1 (t − τ ) + A2 cos Ω 2 (t − τ )] A1 , A2 分别表示 Z1 , Z 2 的加速度幅值，所以输出 w p (t ) 与加速度输入成正比，所以不会发生幅值畸变或相位畸变。 5.2 运送一件仪器设备重 40 1b，是用泡沫包装在一容器内。该容器的有效刚度 k=100 1b/in，有效阻尼因数 ξ = 0.05 ，若整个容器和它的包装以垂直速度 V=150 in/s 碰撞在地面上，求泡沫包装在仪器设备的最大总应力。（如图 P5.2 所示）解： f max = 451.739 (1b) 6.5 例题 4.3 中的车辆，已知 k = 400 × 10 3 , m = 1200kg , ξ = 0.4。当满载时以

结构动力学基础知识(典型例题分析)

分析：
图 2a
图 2b
（1）由于结构对称，质量分布对称，所以质点 m 无水平位移，只有竖向位移，此桁架为单自由度体系。
( ) ∑ （2）
挠度系数： δ 11
=
1 EA
FN2l
=
l EA
1+
2
（3）自振频率：ω = 1 mδ11
3. 计算图 3a 结构的自振频率，设各杆的质量不计。
图 3a
图 3b
一、自由度 1. 判断自由度的数量。
典型例题分析（动力学）
二、单自由度体系的自振频率 1. 试列出图 1a 结构的振动方程，并求出自振频率。EI＝常数。
分析：
图 1a
图 1b M1
图 1c M2
（1）质点 m 的水平位移 y 为由惯性力和动荷载共同作用引起： y = δ11 (− m&y&) + δ12 Fp (t ) 。
( M 2 = Y (2)T MY (2) = 1 4.6)⎢⎣⎡20m m0 ⎥⎦⎤⎜⎜⎝⎛ 41.6⎟⎟⎠⎞ = 22.16m
F1(t) = Y (1)T Fp (t) = (1
−
0.44)⎜⎜⎝⎛
Fp (t
0
)⎟⎟⎠⎞
=
Fp
(t
)
F2 (t) = Fp (t)
（6）
求正则坐标：突加荷载时ηi (t)
y2 (t) = −0.44η1(t) + 4.6η2 (t)
五、能量法求第一自振频率
1. 试用能量法求 1a 梁具有均布质量 m＝q／8 的最低频率。
[ ] 已知：位移形状函数：Y (x) = q 3l 2 x2 − 5lx3 + 2x4 48EI

结构动力学习题+讲解

结构动力学*本章讨论结构在动力荷载作用下的反应。

**学习本章注重动力学的特征------惯性力。

*结构动力计算的目的在于确定结构在动力荷载作用下的位移、内力等量值随时间变化的规律，从而找出其最大值作为设计的依据。

*动力学研究的问题：动态作用下结构或构件的强度、刚度及稳定性分析。

一、本章重点1．振动方程的建立2．振动频率和振型的计算3．振型分解法求解多自由度体系4．最大动位移及最大动应力二、基础知识1．高等数学2．线性代数3．结构力学三、动力荷载的特征1．大小和方向是时间t的函数例如：地震作用，波浪对船体的作用，风荷载，机械振动等2．具有加速度，因而产生惯性力四、动力荷载的分类1．周期性动力荷载例如：①机械运转产生的动力荷载，②打桩时的锤击荷载。

P（t） Pt t（机械运转荷载）（打桩荷载）2．冲击荷载例如：①爆炸力产生的动力荷载，②车轮对轨道连接处的冲击。

P（t）P（t）P（t）t t t（爆炸力动力荷载）（吊车起吊钢索的受力）（随机动力荷载）3．突加常量荷载例如：吊车起吊重物时钢索的受力。

4．随机动力荷载前3类荷在是时间t的确定函数，称为确定性动力荷载；而地震作用，波浪对船体的作用，风荷载等其作用大小只能用统计的方法获得。

五、动力荷载的计算方法1．原理：达朗贝尔原理，动静法建立方程2．计算工具：微分方程，线性代数，结构力学六、体系振动的自由度---------动力自由度结构具有质量，有质量在运动时就有惯性力。

在进行动力计算时，一般把结构的质量简化为若干质点的质量，整个结构的惯性力就成为各质点的惯性力问题。

1．质点简化的一般要求①简单，②能反映主要的振动特性例如：楼房；质量集中在各层楼板平面内水塔：质量集中在水箱部分梁：无限自由度集中质量（楼房质量集中）（水塔质量集中）（梁的质量集中）2．位移y（t）即指质点的位移y（t），其加速度为y&&)(t3．动力自由度的确定即质点位移数量的确定。

结构动力学习题解答

M
ω2 =
1 192 EI EI = = 13.86 , ρ2 = 1 3 mδ 11 ml ml
l/4 P=1 3l/16
δ11 =
1 1 3l l 2 l 1 5l l 1 l ( × × × × − × × × × ) EI 2 16 2 3 2 2 32 2 3 2 7l 3 = 768 EI
结构力学Ⅱ
习题解答
14-14 试求图示刚架的自振频率和主振型
m 正对称
l/2 m l/2 l/2 l/2 反对称
14-14 试求图示刚架的自振频率和主振型
l/8 P=1 l/8
l/8 P=1
2 1 l l 2 l 1 l l 1 l ( × × × × − × × × × ) δ 11 = EI 2 8 2 3 4 2 8 2 3 4 Mp l3 = 192 EI
FI0 = 1
ql 12
反对称
y2 = δ11 (− m&&2 ) + δ12 y
4l 4 δ12 = 768EI
q sin θt 2
ql 2 32
7l 3 δ11 = 768EI
l/2
P=1
7 ml 3 2ql 4 0 ( 2− ) FI 1 = θ 768EI 768EI 1
FI02 =
2ql 9
kθ1 − Py1 = 0
代入几何关系
k k 2 y1 − y2 − Py1 = 0 a a k k − y1 + 2 y2 − Py2 = 0 a a
k k 2 P − 4 P + 3( ) = 0 a a k 3 a k P= , 故PCR = k a a
2
2
5ql 2 96

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试求图 3-13 所示系统的振动方程，并求其固有频率和固有振型。
解：（1）以1 ,2 ,3 为广义坐标，
K1
K2
建立系统的运动微分方程：
系统的动能：
I3
I2
K3 I3
T
1 2
I112
1 2
I222
1 2
I332
系统的势能：
V
1 2
K112
1 2
K2
2
1 2
1 2
K3 3
2 2 ；
L=T-V；
由拉格朗日方程得：
m1 0
0
m2
0 0
xx12
(K1 K 2 )
K2
K2 (K2 K3 K5 K6 )
0 K3
x1 x2
0 0
;
（1）
0 0 m3 x3 0
K3
(K3 K 4 )x3 0
（3）系统特征方程设 x1 A1 sin( t ) , x2 A2 sin( t ) , x3 A3 sin( t ) 代入系统运动微分方程（1）得系统特征方程
a2
K
2 2
m3
K
2 3
m1m3
m2 (K1
K 2 )(K3
K4 ) (K1
K 2 )(K 2
K3
K5
K6 )m3
4K 2m 4K 2m2 18K 2m 30K 2m
4K 2m2 44mK 2
a0
(K1
K 2 )(K 3
K 4 )(K 2
K3
K5
K6 )
K
2 2
(K
3
K4)
K
2 3
(K1
图 3-13
I1
0
0
0 I2 0
0 0 I3
1 2 3
K1 K2 K2 0
K2 K2 K3
K3
0 K3 K3
12 3
0 0 0
（2）当 I1 I2 I3 I , K1 K2 K3 K 时
可得固有频率：
1 0.4450
I K
,2
1.2471
I K
m1m2
4
)((K
3
K
4
)
m3
2
)
K
2 2
((K
3
K
4
)
m3
2
)
K
2 3
((K1
K
2
)
m12Leabharlann )(K1 K 2 )(K 3 K 4 )(K 2 K 3 K 5 K 6 ) (K1 K 2 )(K 2 K 3 K 5 K 6 )m3 2
(K 3 K 4 )(K 2 K 3 K 5 K 6 )m1 2 (K 2 K 3 K 5 K 6 )m1m3 4
第三章多自由度系统
试求图 3-10 所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。
K5
K6
x1
K1
m1
K2
x2
m2
K3
x3 m3 K4
图３－１０
解：（1）系统自由度、广义坐标
图示系统自由度 N=2，选 x1、x2 和 x3 为广义坐标；
（2）系统运动微分方程
根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：
（4）
（5）系统固有振型将系统固有频率代入系统特征方程（2）得系统固有振型，
即各阶振型之比：
1 A1(1) , 1 A1(1) , 1 A1(2) , 1 A1(2) ; 1 A1(3) , 1 A1(3)
(1) 2
A2(1)
(1) 3
A3(1)
(2) 2
A2(2)
(2) 3
A3(2)
((K1
K2
)
m1
2
)
0
;
进一步计算得
((K1 K 2 ) m1 2 )((K 2 K 3 K 5 K 6 ) m2 2 )((K 3 K 4 ) m3 2 )
K
2 2
((K 3
K4
)
m3
2
)
K
2 3
((K1
K
2
)
m1
2
)
((K1 K 2 )(K 2 K 3 K 5 K 6 ) m1 2 (K 2 K 3 K 5 K 6 ) m2 (K1 K 2 ) 2
若３.１题中 m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，求该系统的固有频率和固
有振型。解：若 m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，
则
a6 m1m2m3 2m3 ;
a4 (K1 K 2 )m2 m3 (K 3 K 4 )m1m2 (K 2 K 3 K 5 K 6 )m1m3 2m2 (K 2K ) 2m2 (2K K ) m2 (2K 2K 3K 3K ) 6m 2 K 6m 2 K 10m 2 K 22m 2 K ;
K2)
(K 2K )(2K K )(2K 2K 3K 3K ) 4K 2 (2K K ) 4K 2 (K 2K )
90K 3 12K 3 12K 3
66K 3 ;
系统频率方程（3）成为
2m3 6 22m2 K 4 (4K 2m2 44K 2m) 2 66K 3 0 ;
整理如下
m1x1 K1x1 K 2 (x1 x2 ) ; m2 x2 K 2 (x2 x1 ) K3 (x2 x3 ) K5 x2 K 6 x2 ; m3 x3 K3 (x3 x2 ) K 4 x3 ;
写成矩阵形式
m1x1 (K1 K 2 )x1 K 2 x2 0 ; m2 x2 K 2 x1 (K 2 K3 K5 K 6 )x2 K3 x3 0 ; m3 x3 K3 x2 (K3 K 4 )x3 0 ;
1 2
kl kl
3
kl kl 2 0
2mg
kl 0 kl 2
y 1 2
1
2
mgl 1 mgl 2
；
2m
ml 2
ml
2
3k kl kl
令
M
ml 2
ml
2
ml 2 3
0
0 K kl kl2
0
；
ml
2
kl 0 kl2
3
（5）由 K 2M 0
令 m 2 6k
解得：固有频率：
1 21 6 62 0
1
3
6
3 ,12
3
3k m
2
1 2
, 2 2
3k m
3
3 6
3 ,32
3
3k m
1 1.1260
k m
,2
1.7321
k m
,3
2.1753
k； m
固有振型：
1
3
3
1
1
3
l
2
1 3
1
33
3
1
1
l
B 点的竖直位移 y 和两杆绕 B 点的转角1,2 为广义坐标，试从特征方程出发，求系统
的固有频率和固有振型。
A
1
k l
y B
k
2
Cx
k l
图 3-12
（1）AB 杆的动能： AB 杆的势能：
T1
1 2
m
y
l 2
1
2
1 2
1 12
ml
2
2 1
；
V1
mg
y
l 2
1
；
（2）BC 杆的动能：
BC 杆的势能：
(3) 2
A2(3)
(3) 3
A3(3)
（6）系统振动方程
xx12
A1(1) A2(1)
sin(1
t
1 )
A1(2) A2(2)
sin( 2
t
2
)
A1(3) A2(3)
sin(3
t
3
)
x3
A3(1)
A3(2)
A3(3)
A1(1)
(1) 2
A1(1)
a2
K
2 2
m3
K
2 3
m1m3
m2 (K1
K 2 )(K3
K4 ) (K1
K 2 )(K 2
K3
K5
K6 )m3 ;
a0
(K1
K 2 )(K3
K 4 )(K 2
K3
K5
K
6
)
K
2 2
(K
3
K4)
K
2 3
(
K1
K 2 );
求解方程（3）得系统固有频率
i fi (m1, m2 , m3 , K1, K2 , K3 , K4 , K5 , K6 ), (i 1,2,3) ;
(1 sin 1 2 sin 2 3 sin 3 ) 2
;
因为对于微振动有
sin 1 1, sin 2 2 , sin 3 3 , cos1 1, cos 2 1, cos3 1;
T
1 2
mL2
2 1
1 2
mL2
1 2
2 1 mL2 2
1 2 3
2；
（4）系统中 A、B、C 三质点的势能
化简
m3 6 11m2 K 4 (2K 2m2 22K 2m) 2 33K 3 0 ;
求图 3-11 所示的三垂摆作微振动的固有频率和固有振型。
解：（1）系统自由度、广义坐标
图 3-11 所示的三垂摆系统自由度 N=3，广义坐标取
1 、 2 和 3 ；（2）系统中 A、B、C 三质点的坐标

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