结构动力学习题解答(三四章)

(5) L=T-V; 根据拉格朗日定理：
V mgyA mgyB mgyC
mgL 3cos1 2 cos2 cos3 ；
d L
dt
i
L i
0
得：
3
L
2
2 2
1 1
1 2
g
3 0
0 2
0 0
12
0 0
1
1
1
3
0 0 1 3 0
（1） 求固有频率和固有振型：
3 2 1 3 0 0
(1 sin 1 2 sin 2 3 sin 3 ) 2
;
因为对于微振动有
sin 1 1, sin 2 2 , sin 3 3 , cos1 1, cos 2 1, cos3 1;
T
1 2
mL2
2 1
1 2
mL2
1 2
2 1 mL2 2
1 2 3
2；
（4）系统中 A、B、C 三质点的势能
（4）
（5）系统固有振型 将系统固有频率代入系统特征方程（2）得系统固有振型，
即各阶振型之比：
1 A1(1) , 1 A1(1) , 1 A1(2) , 1 A1(2) ; 1 A1(3) , 1 A1(3)
(1) 2
A2(1)
(1) 3
A3(1)
(2) 2
A2(2)
(2) 3
A3(2)
化简
m3 6 11m2 K 4 (2K 2m2 22K 2m) 2 33K 3 0 ;
求图 3-11 所示的三垂摆作微振动的固有频率和固有振型。
解：（1）系统自由度、广义坐标
图 3-11 所示的三垂摆系统自由度 N=3，广义坐标取
1 、 2 和 3 ； （2）系统中 A、B、C 三质点的坐标
m1 0
0
m2
0 0
xx12
(K1 K 2 )
K2
K2 (K2 K3 K5 K6 )
0 K3
x1 x2
0 0
;
（1）
0 0 m3 x3 0
K3
(K3 K 4 )x3 0
（3）系统特征方程 设 x1 A1 sin( t ) , x2 A2 sin( t ) , x3 A3 sin( t ) 代入系统运动微分方程（1）得系统特征方程
(3) 2
A2(3)
(3) 3
A3(3)
（6）系统振动方程
xx12
A1(1) A2(1)
sin(1
t
1 )
A1(2) A2(2)
sin( 2
t
2
)
A1(3) A2(3)
sin(3
t
3
)
x3
A3(1)
A3(2)
A3(3)
A1(1)
(1) 2
A1(1)
Bm
x A L1 cos1 ; y A L1 sin 1 ;
3
L
xB L(1 cos1 2 cos 2 ) ;
y
Cm
y B L(1 sin 1 2 sin 2 ) ;
图３－１１
xC L(1 cos1 2 cos 2 3 cos 3 ) ;
yC L(1 sin 1 2 sin 2 3 sin 3 ) ;
试求图 3-13 所示系统的振动方程，并求其固有频率和固有振型。
解：（1）以1 ,2 ,3 为广义坐标，
K1
K2
建立系统的运动微分方程：
系统的动能：
I3
I2
K3 I3
T
1 2
I112
1 2
I222
1 2
I332
系统的势能：
V
1 2
K112
1 2
K2
2
1 2
1 2
K3 3
2 2 ；
L=T-V；
由拉格朗日方程得：
B 点的竖直位移 y 和两杆绕 B 点的转角1,2 为广义坐标，试从特征方程出发，求系统
的固有频率和固有振型。
A
1
k l
y B
k
2
Cx
k l
图 3-12
（1）AB 杆的动能： AB 杆的势能：
T1
1 2
m
y
l 2
1
2
1 2
1 12
ml
2
2 1
；
V1
mg
y
l 2
1
；
（2）BC 杆的动能：
BC 杆的势能：
a2
K
2 2
m3
K
2 3
m1m3
m2 (K1
K 2 )(K3
K4 ) (K1
K 2 )(K 2
K3
K5
K6 )m3
4K 2m 4K 2m2 18K 2m 30K 2m
4K 2m2 44mK 2
a0
(K1
K 2 )(K 3
K 4 )(K 2
K3
K5
K6 )
K
2 2
(K
3
K4)
K
2 3
(K1
o
x
1 L
xA L sin 1 ; y A L cos1 ;
xB L sin 1 L sin 2 ; yB L cos1 L cos 2 ; xC L sin 1 L sin 2 L sin 3 ; yC L cos1 L cos 2 L cos3 ;
Am 2 L
（2）系统中 A、B、C 三质点的速度
（3）系统中 A、B、C 三质点的动能
TA
1 2
m(
x
2 A
y
2 A
)
1 2
m L212
;
TB
1 2
m(
x
2 B
y
2 B
)
1 2
m L2
(1
cos1
2
cos 2
)2
(1 sin 1 2 sin 2 ) 2
;
TC
1 2
m( x C2
y
2 C
)Leabharlann Baidu
1 2
m L2
(1 cos1 2 cos 2 3 cos 3 ) 2
sin(1
t
1
)
A1(2)
(2) 2
A1(
2)
sin(
2
t
2
)
A1(3)
(3) 2
A1(3)
sin( 3
t
3
)
(1) 3
A1(1)
(2) 3
A1(
2)
(3) 3
A1(3)
（5） （6）
在方程（6）中含有 6 个待定常数： A1(1) 、 A1(2) 、 A1(3) 、 1 、 2 和 3 。 它们由初始条件 x1(0) 、 x1(0) 、 x2 (0) 、 x2 (0) 、 x3 (0) 和 x3 (0) 确定。
图 3-13
I1
0
0
0 I2 0
0 0 I3
1 2 3
K1 K2 K2 0
K2 K2 K3
K3
0 K3 K3
12 3
0 0 0
（2）当 I1 I2 I3 I , K1 K2 K3 K 时
可得固有频率：
1 0.4450
I K
,2
1.2471
I K
(
K
2 2
m3
K
2 3
m1
m3
m2
(K1
K
2
)(K 3
K4
)
(K1
K2
)(K
2
K3
K5
K6
)m3
)
2
(K1
K
2
)(K 3
K4
)(K
2
K3
K5
K6
)
K
2 2
(K3
K4
)
K
2 3
(K1
K2
)
a6 6 a4 4 a2 2 a0 0 ; 0 ;
其中
a6 m1m2m3 ;
a4 (K1 K2 )m2m3 (K3 K4 )m1m2 (K2 K3 K5 K6 )m1m3 ;
若３.１题中 m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，求该系统的固有频率和固
有振型。 解：若 m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，
则
a6 m1m2m3 2m3 ;
a4 (K1 K 2 )m2 m3 (K 3 K 4 )m1m2 (K 2 K 3 K 5 K 6 )m1m3 2m2 (K 2K ) 2m2 (2K K ) m2 (2K 2K 3K 3K ) 6m 2 K 6m 2 K 10m 2 K 22m 2 K ;
K2)
(K 2K )(2K K )(2K 2K 3K 3K ) 4K 2 (2K K ) 4K 2 (K 2K )
90K 3 12K 3 12K 3
66K 3 ;
系统频率方程（3）成为
2m3 6 22m2 K 4 (4K 2m2 44K 2m) 2 66K 3 0 ;
T2
1 2
m
y
l 2
2
2
1 2
1 12
ml 2
2 2
；
V2
mg
y
l 2
2
；
（3）三根弹簧的势能：V3
1 2
k
y
l1 2
y
l2
2
y2
；
（4） L T1 T2 V1 V2 V3 ；
由拉格朗日方程可得：
2m
ml 2
ml
2
ml 2
ml 2 3
0
ml
2
y
3k
0 ml
2
1 2
kl kl
3
kl kl 2 0
2mg
kl 0 kl 2
y 1 2
1
2
mgl 1 mgl 2
；
2m
ml 2
ml
2
3k kl kl
令
M
ml 2
ml
2
ml 2 3
0
0 K kl kl2
0
；
ml
2
kl 0 kl2
3
（5）由 K 2M 0
m1m2
4
)((K
3
K
4
)
m3
2
)
K
2 2
((K
3
K
4
)
m3
2
)
K
2 3
((K1
K
2
)
m1
2
)
(K1 K 2 )(K 3 K 4 )(K 2 K 3 K 5 K 6 ) (K1 K 2 )(K 2 K 3 K 5 K 6 )m3 2
(K 3 K 4 )(K 2 K 3 K 5 K 6 )m1 2 (K 2 K 3 K 5 K 6 )m1m3 4
令 m 2 6k
解得： 固有频率：
1 21 6 62 0
1
3
6
3 ,12
3
3k m
2
1 2
, 2 2
3k m
3
3 6
3 ,32
3
3k m
1 1.1260
k m
,2
1.7321
k m
,3
2.1753
k； m
固有振型：
1
3
3
1
1
3
l
2
1 3
1
33
3
1
1
l
K2 (K 2 K3 K5 K6 m2 2 )
K3
0
K3
0;
(K3 K 4 m3 2 )
展开得系统频率方程
((K1 K 2 ) m1 2 )((K 2 K 3 K 5 K 6 ) m2 2 )((K 3 K 4 ) m3 2 )
K
2 2
((K 3
K4
)
m3
2
)
K
2 3
2
L
2
2
1
g
0
2
0
0；
1 1 1 0 0 1
解得固有频率：
固有振型：
1 0.6448
g L
2 1.5147
g L
3 2.5080
g L
1
1
1
1 1.29212 0.3529 3 1.6450 ；
1.6308
2.3981
0.7669
两端由弹簧支撑的刚性均质杆，质量均为没，在 B 处用铰链连接，如图 3-12 所示，如选取
(K1 K 2 m1 2 )
K2
0
K2 (K 2 K3 K5 K6 m2 2 )
K3
0 K3
A1 A2
0 0
;
（2）
(K3
K4
m3
2
) A3
0
（4）系统频率方程 系统特征方程（2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零， 即
(K1 K 2 m1 2 ) K2 0
整理如下
m1x1 K1x1 K 2 (x1 x2 ) ; m2 x2 K 2 (x2 x1 ) K3 (x2 x3 ) K5 x2 K 6 x2 ; m3 x3 K3 (x3 x2 ) K 4 x3 ;
写成矩阵形式
m1x1 (K1 K 2 )x1 K 2 x2 0 ; m2 x2 K 2 x1 (K 2 K3 K5 K 6 )x2 K3 x3 0 ; m3 x3 K3 x2 (K3 K 4 )x3 0 ;
(3)
m2 (K1 K 2 )(K 3 K 4 ) 2 (K1 K 2 )m2 m3 4 (K 3 K 4 )m1m2 4
m1m2 m3 6
K
2 2
(
K
3
K
4
)
K
2 2
m3
2
K
2 3
(
K1
K
2
)
K
2 3
m1m3
2
m1m2 m3 6 ((K1 K 2 )m2 m3 (K 3 K 4 )m1m2 (K 2 K 3 K 5 K 6 )m1m3 ) 4
((K1
K2
)
m1
2
)
0
;
进一步计算得
((K1 K 2 ) m1 2 )((K 2 K 3 K 5 K 6 ) m2 2 )((K 3 K 4 ) m3 2 )
K
2 2
((K 3
K4
)
m3
2
)
K
2 3
((K1
K
2
)
m1
2
)
((K1 K 2 )(K 2 K 3 K 5 K 6 ) m1 2 (K 2 K 3 K 5 K 6 ) m2 (K1 K 2 ) 2
,3
1.8019
第三章 多自由度系统
试求图 3-10 所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。
K5
K6
x1
K1
m1
K2
x2
m2
K3
x3 m3 K4
图３－１０
解：（1）系统自由度、广义坐标
图示系统自由度 N=2，选 x1、x2 和 x3 为广义坐标；
（2）系统运动微分方程
根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：
a2
K
2 2
m3
K
2 3
m1m3
m2 (K1
K 2 )(K3
K4 ) (K1
K 2 )(K 2
K3
K5
K6 )m3 ;
a0
(K1
K 2 )(K3
K 4 )(K 2
K3
K5
K
6
)
K
2 2
(K
3
K4)
K
2 3
(
K1
K 2 );
求解方程（3）得系统固有频率
i fi (m1, m2 , m3 , K1, K2 , K3 , K4 , K5 , K6 ), (i 1,2,3) ;