已知一元二次方程的一个根
一元二次方程练习题
一元二次方程练习题1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是2、22___)(_____8+=++x x x 22____)(_____4-=+-x x x 5、已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程） 6、已知x ＝1是关于x 的二次方程（m 2－1）x 2－mx ＋m 2＝0的一个根，则m 的值是 。
7、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 （ ） A 、x 1＋x 2＝1 B 、212+x －21-x ＝1 C 、x 2－x ＋1＝0 D 、2x 3－5xy －4y 2＝0 8、用配方法解一元二次方程时，配方有错误的是 ( ) A 、x 2－2x －99＝0化为（x －1）2 ＝100 B 、2x 2－7x －4＝0化为（x －47）2 ＝1681C 、x 2＋8x ＋9＝0化为（x ＋4）2 ＝25D 、3x 2－4x －2＝0化为（x －32）2 ＝9109、已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程x 2－16x ＋55＝0的根，则第三边长是 （ ）A 、5 B 、11 C 、5或11 D 、611、关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根，则K 的取值范围是( )A 、49-≤kB 、0k 49≠-≥且kC 、49k -≥D 、0k 49k ≠->且20、当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)1(22=+++-x m x m 有实根。
21.（1）已知关于x 的方程2x 2－mx －m 2＝0有一个根是1，求m 的值；（2）已知关于x 的方程（2x －m ）（mx ＋1）＝（3x ＋1）（mx －1）有一个根是0，求另一个根和m 的值.根的意义练习1．当m=___时，关于x 的方程22330x x m -+-=有一个根为0. 2．如果1是关于x 的方程22230x k x k --=的根，那么k 的值为 . 3．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2－1＝0有一根为0，则m 的值为（ ）．A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0 4．若关于x 的方程052=++m x x 的一个根是3，则方程的另一个根为______.5．如果a 是一元二次方程x 2–3x +m =0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+3x –m =0的一个根，那么a 的值等于（ ）A ．1或2B ．0或-3C ．-1或-2D ．0或36．关于x 方程230x x c -+=的一个根的相反数是方程230x x c +-=的一个根，求解这两个方程.7．方程02=++n mx x 中一根为0，另一根不为0，则m 、n 应满足（ ）A ．m =0,n =0B ．m =0,n ≠0C ．m ≠0,n =0D ．m ≠0, n ≠08．已知关于x 的方程ax 2 + bx + c = 0的一个根是1，则a + b + c = . 9．如果n 是关于x 的方程x 2 + mx + n = 0的根，且n ≠0，则m + n = .11．已知x = –5是方程x 2+mx –10=0的一个根，求x =3时，x 2+mx –10的值.13．若A 是方程2200810x x --=的根，则)42008A A )(32008A A (22+-+- 的值为 ． 15．求证：方程(a –b )x 2 +(b –c )x +c –a =0(a ≠b )有一个根为1.16．判断–1是否是方程(a –b )x 2–(b –c )x +c –a = 0 (a ≠b )的一个根，若是，求方程的另一个根.17．若x 0是方程ax 2+bx+c =0(a≠0)的根，△=b 2-4ac ，M=(2ax 0+b )2,则△与M 的大小关系为 ． 18．已知p 2–p –1=0，1–q –q 2=0，且pq ≠1，则式子1p q q+的值为 ．20、说明不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝m 2总有两个不相等的实根.23、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。
一元二次方程 练习题1
一元二次方程参考练习题一、选择题1、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．02、如果x ＝4是一元二次方程223a x x =-的一个根，那么常数a 的值是（ ）． A.2 B.－2 C.±2 D.±43、如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）。
A 、2B 、－2C 、4D 、－44、已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．35、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2者说 D 、0 6、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根7.若关于z 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>-1 C ．m>l D ．m<-1 8、一元二次方程x 2＋x ＋2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根 9、用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=10、已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ． m ＞－1B ． m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜0 11、一元二次方程032=+x x 的解是A ．3-=xB ．3,021==x xC ．3,021-==x xD ．3=x 12、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价（ ）A.10%B.19%C.9.5%D.20%13、 已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2 + 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ．没有实数根; B ．可能有且只有一个实数根; C ．有两个相等的实数根; D ．有两个不相等的实数根 14、关于方程式49x 2－98x －1=0的解，下列叙述何者正确？( )(A) 无解 (B) 有两正根 (C)有两负根 (D) 有一正根及一负根15、若220x x --=） A．3B．3CD或316、已知代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 二、填空题1、方程220x x -=的解是 ．2、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______． 3、已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =4、若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 ．5、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。
一元二次方程基础练习50题含详细答案
一元二次方程基础练习50题含详细答案一、单选题1．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−4D ．42．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ） A ．0B ．±1C ．1D ．1-3．若方程（m 2－1）x 2－mx －x ＋2＝0是关于x 的一元一次方程，则代数式|m －1|的值为（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．－24．已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A ．10B ．14C ．10或14D ．8或105．1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（ ） A ．2-B ．3-C ．4D ．6-6．若关于x 的一元二次方程(k+2)x 2﹣3x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜14且k≠﹣2 B ．k≤14C ．k≤14且k≠﹣2 D ．k≥147．下列方程有实数根的是 A ．4x 20+=B 1=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=-- 8．关于x 的二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0.59．已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．610．已知x ＝2是一元二次方程x 2+mx +2＝0的一个解，则m 的值是（ ） A ．﹣3B ．3C ．0D ．0或311．若2x =是关于x 的一元二次方程220180ax bx --=的一个解，则2035－2a ＋b 的值（ ） A ．17B ．1026C ．2018D ．405322值（ ） A ．0B ．1或2C ．1D ．213．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是( ) A ．1，-3，10B ．1，7，-10C ．1，-5，12D ．1， 3，214．关于x 的方程（m+1）21m x ++4x+2=0是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．m 1=﹣1，m 2=1B ．m=1C ．m=﹣1D ．无解15．已知1x =是一元二次方程22(2)40m x x m -+-=的一个根，则m 的值为（ ） A ．-1或2B ．-1C ．2D ．016．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-217．已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．﹣218．如果﹣1是方程x 2﹣3x+k=0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．4B ．2C ．﹣4D ．﹣219．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．x 2+2y=1B ．211x x+﹣2=0 C ．ax 2+bx+c=0 D ．x 2+2x=120．已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．无法确定21．如果2是方程x 2-3x +k =0的一个根，则常数k 的值为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-222．若关于x 的方程2230mx x -+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤13B ．m≤13-C ．m≥13D ．m≤13，且m≠0 23．方程()24310mm x x m ++++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．2m ≠±24．若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．-325．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．21x+x 2=0 B ．3x 2﹣2xy=0 C ．x 2+x ﹣1=0D ．ax 2﹣bx=0A ．2B ．0C ．0或2D ．0或﹣227．方程3x 2﹣8x ﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和8B ．3和﹣8C ．3和﹣10D ．3和1028．已知一元二次方程2x 6x c 0-+=有一个根为2，则另一根为 A ．2B ．3C ．4D ．829．若关于x 的方程（a +1）x 2+2x ﹣1＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≠﹣1B ．a ＞﹣1C ．a ＜﹣1D ．a ≠030．若关于x 的一元二次方程()2210k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为（ ） A ．1-B ．0或1C ．1D ．031．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A ．5x 2-2x+2=0 B ．ax 2+bx+c=0 C ．2x+3=6D ．（a 2+2)x 2-2x+3=032．若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（ ） A ．1或4 B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或-4二、填空题33．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 34．若关于x 的一元二次方程x 2+mx +2n ＝0有一个根是2，则m +n ＝_____． 35．已知m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，则224m m -＝______． 36．a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是_______．37．已知x=2是关于x 的方程240x x m -+=的一个根，则m ＝____________． 38．若a 是方程x 2-2x-2015=0的根，则a 3-3a 2-2013a+1=____________． 39．一元二次方程290x 的解是__．40．已知关于x 的方程x 2+3x ﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是_____． 41．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个根为0，则m 的值为_____． 42．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．43．关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.45．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．46．设m 是一元二次方程x 2﹣x ﹣2019＝0的一个根，则m 2﹣m +1的值为___． 47．若a 是方程2320x x --=的根，则2526a a +-=_____.48．若正数a 是一元二次方程x 2﹣5x +m =0的一个根，﹣a 是一元二次方程x 2+5x ﹣m =0的一个根，则a 的值是______．49．已知x=1是一元二次方程x²+ax+b=0的一个根，则代数式a²+b²+2ab 的值是____________.50．关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0，则k 的值是_______．参考答案1．B 【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B ．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．D 【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =， ∴210a -=，10a -≠， 则a 的值为：1a =-． 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 3．A 【解析】试题分析：根据一元一次方程的定义知m 2﹣1=0，且﹣m ﹣1≠0，据此可以求得代数式|m ﹣1|的值．解：由已知方程，得（m 2﹣1）x 2﹣（m+1）x+2=0．∵方程（m 2﹣1）x 2﹣mx ﹣x+2=0是关于x 的一元一次方程， ∴m 2﹣1=0，且﹣m ﹣1≠0， 解得，m=1，则|m ﹣1|=0． 故选A ．点评：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 4．B 【解析】试题分析： ∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x 2﹣8x+12=0， 解得x 1=2，x 2=6．①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 5．A 【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值 【详解】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2. 故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键 6．C 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程（k+2）x 2-3x+1=0有实数根，∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0， 解得：k≤14且k≠-2， 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k 的不等式是解此题的关键． 7．C 【解析】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B =−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆ =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意． 故选C ． 8．B 【分析】把0x =代入可得210a -=，根据一元二次方程的定义可得10a -≠，从而可求出a 的值． 【详解】把0x =代入()22110a x x a -++-=，得：210a -=，解得：1a =±，∵()22110a x x a -++-=是关于x 的一元二次方程，∴10a -≠， 即1a ≠， ∴a 的值是1-， 故选：B ．本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法等知识点的理解和运用，注意隐含条件10a -≠． 9．A 【解析】试题解析：设方程的另一个根为t ， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选A ．考点：根与系数的关系． 10．A 【分析】直接把x ＝2代入已知方程就得到关于m 的方程，再解此方程即可． 【详解】解：∵x ＝2是一元二次方程x 2+mx +2＝0的一个解， ∴4+2m +2＝0， ∴m ＝﹣3． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，难度系数较低，直接把解代入方程即可. 11．B 【分析】把x=2代入方程得2a-b=1009，再代入 20352a b -+，可求得结果. 【详解】因为x 2=，是关于x 的一元二次方程2ax bx 20180--=的一个解， 所以，4a-2b-2018=0, 所以，2a-b=1009,所以，20352a b -+=2035-（2a-b ）=2035-1009=1026. 故选B.本题主要考查一元二次方程的根的意义.12．D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【详解】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．13．A【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．【详解】方程整理得：x2−3x+10=0，则a=1，b=−3，c=10.故答案选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的每种形式. 14．B【解析】【分析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，计算即可求解. 【详解】因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m ＝1，故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，掌握这个概念是解决此题的关键. 15．B 【分析】首先把x=1代入22(2)40m x x m -+-=，解方程可得m 1=2，m 2=-1，再结合一元二次方程定义可得m 的值 【详解】解：把x=1代入22(2)40m x x m -+-=得：2m 2+4m －－=0，2m m 20++=－，解得：m 1=2，m 2=﹣1∵22(2)40m x x m -+-=是一元二次方程， ∴m 20－≠ ， ∴m 2≠， ∴1m =-， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0． 16．D 【分析】将n 代入方程,提公因式化简即可. 【详解】解：∵()n n 0≠是关于x 的方程2x mx 2n 0++=的根， ∴2n mn 2n 0++=，即n(n+m+2)=0, ∵n 0,≠∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键.17．A【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，∴b2﹣ab+b=0，∵﹣b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选A．考点：一元二次方程的解．18．C【分析】把x=-1代入方程可得到关于k的方程，可求得k的值．【详解】∵-1是方程x2-3x+k=0的一个根，∴（-1）2-3×（-1）+k=0，解得k=-4，故选C．【点睛】考查一元二次方程的解，把方程的解代入得到到关于k的方程是解题的关键．19．D【分析】一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．20．B【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B21．A【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．【详解】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根，∴22-3×2+k=0，解得，k=2．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．22．A【分析】分m=0和m≠0两种情况求解即可. 当m=0时，方程是一元一次方程，一定有实根；当m≠0时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m的不等式，求得m的取值范围．【详解】当m≠0时，∵a=m，b=−2，c=3 且方程有实数根，∴△=b2−4ac=4−12m≥0∴m≤1 3 .当m=0 时，方程为一元一次方程，仍有解，故m的取值范围是m≤1 3 .故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 23．B【分析】根据次数最高项的次数是2，且次数最高项的系数不为0列式求解即可.【详解】由题意得，2m=，且20m+≠，解之得，2m=.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程，根据定义解答即可.24．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．【详解】设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A.考点：根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．由这四个条件对四个选项进行验证．【详解】A.不是整式方程，不是一元二次方程；B.含有两个未知数，不是一元二次方程；C.符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D.二次项系数a不知是否为0，不能确定是否是一元二次方程．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．26．A【解析】试题分析：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，∴4﹣4m+4=0，∴m=2．故选A．考点：一元二次方程的解．27．B【解析】【分析】分别确定2x和x的系数，注意符号不要遗漏.【详解】解：由题意得，二次项系数是3，一次项系数为-8，故选择B.【点睛】遗漏系数的符号是本题的易错点.28．C试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=4．考点：根与系数的关系．29．A【分析】根据一元二次方程的定义可得a +1≠0，即可得出答案.【详解】解：由题意得：a +1≠0，解得：a ≠﹣1．故选A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程.30．D【分析】把x=1代入()2210k x x k -+-=得以k 为未知数的一元二次方程，解方程求得k 值，再由二次项系数不为0 即可解答.【详解】把x=1代入()2210k x x k -+-=得k-1+1-k 2=0，解得k 1=0，k 2=1， 而k-1≠0，所以k=0．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k 的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．31．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可得.【详解】A. 5x 2-2x+2=0，不是整式方程，故不符合题意； B. 当a=0时，方程ax 2+bx+c=0不是一元二次方程，故不符合题意；C. 2x+3=6是一元一次方程，故不符合题意；D. （a 2+2)x 2-2x+3=0是一元二次方程，故符合题意，故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程是整式方程，含有一个未知数，含有未知数的项的次数最高为2次是解题的关键.32．B【分析】把2x =-代入关于x 的方程22502x mx m -+=，得到2450m m ++=，解关于m 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根， ∴2450m m ++=解得121,4m m =-=-故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m 的方程是解题关键．33．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，∴m 2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．34．﹣2【分析】根据一元二次方程的解的定义把x ＝2代入x 2＋mx ＋2n ＝0得到4＋2m ＋2n ＝0得n ＋m ＝−2，然后利用整体代入的方法进行计算．【详解】∵2（n≠0）是关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2n ＝0的一个根，∴4＋2m ＋2n ＝0，∴n ＋m ＝−2，故答案为−2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．35．6．【解析】试题分析：∵m 是关于x 的方程2230x x --=的一个根，∴2230m m --=，∴223m m -=，∴224m m -=6，故答案为6．考点：一元二次方程的解；条件求值．36．8【分析】直接把a 的值代入得出224a a -=，进而将原式变形得出答案．【详解】解：∵a 是方程224x x =+的一个根，∴224a a -=，∴22422(2)248a a a a -=-=⨯=．故答案为8．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．37．1【分析】把x ＝2代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x ＝2+代入方程得2(24(20m -++=，解得m ＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．38．-2014【分析】由题意得：222015,a a -=拆项，运用因式分解方法变形求解.【详解】由题意得：222015,a a -=则：a 3-3a 2-2013a+1=22a(2)20131a a a a ---+()22=20152013121201512014a a a a a --+=--+=-+=-.故答案为-2014.【点睛】考核知识点：因式分解的运用.拆项分组是关键.39．x 1＝3，x 2＝﹣3．【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵290x -=∴2x =9，∴x =±3，即x 1＝3，x 2＝﹣3，故答案为x 1＝3，x 2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.40．0【解析】【分析】设方程的另一个解是n ，根据根与系数的关系可得出关于n 的一元一次方程，解之即可得出方程的另一个解．【详解】设方程的另一个解是n ，根据题意得：﹣3+n=﹣3，解得：n=0，故答案为0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟记一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键． 41．﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m 2-1=0，由此可以求得m 的值．【详解】解：把x ＝0代入（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0得m 2﹣1＝0，解得m=±1， 而m ﹣1≠0，所以m ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．42．15．【详解】解：29180x x -+=，得x 1=3，x 2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．故答案是：1543．x=-4,x=-1【解析】【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，解得x=-4或x=-1．故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．故答案为：x1=-4，x2=-1．【点睛】本题考查方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．44．2【解析】试题分析：∵关于x的方程230-+=的一个根是1，∴1﹣3×1+m=0，解得，m=2，x x m故答案为2．考点：一元二次方程的解．45．2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2028，故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a ． 46．2020.【分析】把x=m 代入方程计算即可求解．【详解】解：把x ＝m 代入方程得：m 2﹣m ﹣2019＝0，即m 2﹣m ＝2019，则原式＝2019+1＝2020，故答案为2020.【点睛】本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 47．1【分析】利用一元二次方程解的定义得到3a 2-a=2，再把2526a a +-变形为()2523a a --，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵a 是方程2320x x --=的根，∴3a 2-a-2=0，∴3a 2-a=2，∴2526a a +-=()2523a a --=5-2×2=1． 故答案为：1．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．48．5试题解析：∵a 是一元二次方程x 2-5x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2+5x-m=0的一个根，∴a 2-5a+m=0①，a 2-5a-m=0②，①+②，得2（a 2-5a ）=0，∵a ＞0，∴a=5．考点：一元二次方程的解．49．1【分析】把x=1代入x 2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．【详解】∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1.∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=（﹣1）2=1.50．1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=，解得k 的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【详解】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程，∴k+2≠0，即k ≠-2；又0是该方程的一个根，∴220k k +-=，解得，11k =，22k =-，由于k ≠-2，所以，k=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．。
一元二次方程根与系数的关系
中考考点1 •理解一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)。
2 •会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求岀另一个根与未知系数。
3 •会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解4 C1 .若一兀二次方程ax2+bx+c=0(a 工的两根为x i,x2,贝x i+x2=-“ , x i X2=・*。
2 •以X i,X2为根的一元二次方程是(x-x i)(x-x 2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程2ax +bx+c=0(a 工0)3 •对二次项系数为i的方程x2+px+q=0的两根为x i,X2时，那么x i+X2=-p, x i X2=q。
反之,以X i,X2为根的一元二次方程是：(X-X i)(X-X 2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：2x +px+q=0 。
4 •一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：(1)已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
(2)已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
(3)已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+i=0的两根为X i,X2，不解方程，求X i2+X22的值。
3£ 3 £5[T X i+X2=- ，X i X2=亠，••• X i2+X22 = (X i+X2)2-2X i X2=( - )2-2 於 * ](4)验根、求根、确定根的符号。
(5)已知两根，求作一元二次方程(注意最后结果要化为整系数方程)。
(6)已知两数和与积，求这两个数。
(7)解特殊的方程或方程组。
考题评析1 •(北京市东城区)如果一元二次方程X2+3X-2=0的两个根为x i，X2，那么X1+X2与X i X2的值分别为( )(A) 3，2 ( B) -3，-2 ( C) 3，-2(D) -3, 2考点：一元二次方程的根与系数关系。
一元二次方程两个根的关系公式
一元二次方程两个根的关系公式一元二次方程，这可是中学数学里的“常客”，要说这一元二次方程两个根的关系公式，那可是有不少有趣的地方呢！咱们先来说说这一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
要是这个方程有两个根，分别记为 x₁和 x₂，那它们之间的关系可就有讲究啦。
韦达定理告诉咱们，x₁ + x₂ = -b/a ，x₁ × x₂ = c/a 。
这两个公式看起来挺简单，但是用处可大着呢！就比如说，给你一个一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 ，那根据韦达定理，两根之和 x₁ + x₂就等于 5 ，两根之积 x₁ × x₂就等于 6 。
然后你一解这个方程，发现它的两个根是 2 和 3 ，嘿，2 + 3 正好是 5 ，2 × 3 正好是 6 ，是不是很神奇？我还记得有一次，在课堂上给学生们讲这个知识点。
有个学生特别调皮，一直在下面小声嘀咕说：“这有啥用啊，能当饭吃吗？”我当时也没生气，就笑着跟他说：“同学，你先别着急，咱们来做个小游戏。
”我在黑板上出了一道题：已知一元二次方程 2x² + 3x - 5 = 0 的一个根是 1 ，求另一个根。
这时候那调皮的学生傻眼了，不知道从哪儿下手。
我就引导大家一起用韦达定理来解决。
因为两根之和是 -3/2 ，一个根是 1 ，那另一个根很快就能算出来是 -5/2 。
那学生眼睛一下子亮了，说：“老师，这还真有用啊！”从那以后，他上数学课认真多了。
再比如说，有时候题目会给你两根之间的关系，让你求方程中的系数。
比如告诉你一个方程的两根差是 3 ，那结合韦达定理就能列出式子，然后求出系数的值。
在实际生活中，一元二次方程两个根的关系公式也有用武之地哦。
比如计算面积问题，或者工程中的一些计算，都可能用到这个知识点。
所以啊，别小看这小小的韦达定理，它能帮咱们解决好多数学问题呢！只要咱们认真学，好好用，数学也能变得很有趣，很有用！希望大家以后遇到一元二次方程两个根的关系问题，都能轻松应对，加油！。
2022-2023学年人教版九年级数学上学期压轴题汇编专题02 解一元二次方程(解析版)
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题02 解一元二次方程考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022八下·淮北期末）若实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，则（ ） A ．240b ac -> B ．240b ac -< C ．240b ac -≥ D ．240b ac -≤【答案】C【完整解答】解：∵0a b c ++=， ∴b a c =--，∴()2244b ac a c ac -=---2224a ac c ac =++-222a ac c =-+()20a c =-≥故答案为：C【思路引导】先求出b a c =--，再代入计算求解即可。
2．（2分）（2022八下·柯桥期末）方程（x －2）2= 4（x-2）（ ） A ．4 B ．－2C ．4或－6D ．6或2【答案】D【完整解答】解：移项得 （x －2）2 - 4（x —2） =0 （x-2）（x-2-4）=0 ∴x -2=0或x-6=0， 解之：x 1=2，x 2=6. 故答案为：D.【思路引导】观察方程的特点：将（x-2）看着整体，方程两边都含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.3．（2分）（2022·贵港）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（ ）A ．0，-2 B ．0，0C ．-2，-2D ．-2，0【答案】B【完整解答】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =； ∴220x x +=， ∴(2)0x x +=， ∴12x =-，0x =， ∴方程的另一个根是0x =； 故答案为：B.【思路引导】将x=-2代入方程中可得m 的值，则方程可化为x 2+2x=0，利用因式分解法可得方程的解，据此解答.4．（2分）（2022·仙桃）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．6【答案】A【完整解答】解：∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根， ∴22Δ=(2)4(41)0m m m ----≥， ∴14m ≥-，∵12 x x ，是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根， ∵21212241x x m x x m m +=⋅=--，，又()()121222217x x x x ++-=∴12122()130x x x x +--=把21212241x x m x x m m +=⋅=--，代入整理得，28120m m -+=解得，1226m m ==，故答案为：A.【思路引导】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m 的范围，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2m ，x 1x 2=m 2-4m-1，然后结合已知条件可得m 的值.5．（2分）（2022·雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x+c ＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c ，则c 的值为（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9【答案】C【完整解答】解：x 2+6x+c ＝0， 移项得：26x x c +=-，配方得：()239x c +=-， 而（x+3）2＝2c ， 92c c ∴-=，解得：3c =， 故答案为：C.【思路引导】首先将常数项c 移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+3)2=9-c ，结合题意可得9-c=2c ，求解可得c 的值. 6．（2分）（2022九下·泉州开学考）已知x ，y 为实数，且满足 2244x xy y -+= ，记224u x xy y =++ 的最大值为M ，最小值为m ，则 M m += （ ）.A ．403B ．6415C ．13615D ．315【答案】C【完整解答】解：∵2244x xy y -+= ， ∴2244x y xy +=+ ，∴22424u x xy y xy =++=+ ，∵()225444xy xy x y =++-()2244x y =+-≥- ，当且仅当 2x y =- ，即 x = ， y =，或 5x =， 5y =- 时，等号成立， ∴xy 的最小值为 45-， ∴22424u x xy y xy =++=+ 最小值为：125，即 125m =， ∵()223444xy xy x y =-+-()2424x y =--≤ ，当且仅当 2x y = 时，即 x =， y =，或 3x =-， 3y =- 时等号成立， ∴xy 的最大值为43， ∴22424u x xy y xy =++=+ 的最大值为203， 即 203M = ， ∴20121363515M m +=+= ， 故答案为：C.【思路引导】利用已知等式可得 22424u x xy y xy =++=+ ，根据 ()225444xy xy x y =++-=()242x y =--，根据偶次幂的非负性知当且仅当2x y =-时，xy 的最小值为 45-，即可得出 22424u x xy y xy =++=+ 最小值为125 ，即 125m = ；根据 ()223444xy xy x y =-+-()242x y =-- ，根据偶次幂的非负性当且仅当 2x y = 时， xy 的最大值为 43，即得M ，再代入计算即可.7．（2分）（2021七下·娄底期中）无论a ，b 为何值代数式a 2+b 2+6b+11﹣2a 的值总是（ ） A ．非负数 B ．0C ．正数D ．负数【答案】C【完整解答】解：原式＝（a 2﹣2a+1）+（b 2+6b+9）+1 ＝（a ﹣1）2+（b+3）2+1， ∵（a ﹣1）2≥0，（b+3）2≥0， ∴（a ﹣1）2+（b+3）2+1＞0，即原式的值总是正数. 故答案为：C.【思路引导】把含a 的放一块，配成完全平方公式，把含b 的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．8．（2分）（2020八上·越秀期末）若 a ， b ， c 是 ABC ∆ 的三边长，且2220a b c ab ac bc ++---= ，则 ABC ∆ 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定【答案】C【完整解答】解：∵2220a b c ab ac bc ++---= ， ∴2 222222220a b c ab ac bc ++---= ， ∴()222()()0a b b c c a -+-+-= ， ∴a=b=c∴这个三角形是等边三角形． 故答案为：C ．【思路引导】首先利用完全平方公式对等式进行变形，然后利用平方的非负性得出a 、b 、c 的数量关系，即可判定．9．（2分）（2019九上·涪城月考）若点 (),M m n 是抛物线 2223y x x =-+- 上的点,则 m n -的最小值是（ ） A ．0 B ．158C ．238D ．3- 【答案】C【完整解答】解：根据题意可得： 把 (),M m n 的坐标代入表达式，即：2223n m m =-+- ，∴22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ，函数的最值为 244ac b a- ，所以代入得 m n - 的最小值为：238；故答案为：C.【思路引导】根据题意把 (),M m n 的坐标代入表达式，得出 2223n m m =-+- ,求 m n - 的最小值即： 22(223)23m n m m m m m -=--+-=-+ ，求出最小值即可.10．（2分）（2022·海陵模拟）已知3x ﹣y ＝3a 2﹣6a+9，x+y ＝a 2+6a ﹣10，当实数a 变化时，x 与y 的大小关系是（ ） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x ＞y 、x ＝y 、x ＜y 都有可能【答案】A【完整解答】解：∵3x﹣y ＝3a 2﹣6a+9，x+y ＝a 2+6a ﹣10， ∴()()()223369610x y x y a a a a --+=-+-+-，∴()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+，∵不论a 为何值，()22311a -+≥， ∴220x y -＞， ∴22x y ＞， ∴x y ＞． 故答案为：A ．【思路引导】先求出()()22222212192691231x y a a a a a -=-+=-++=-+，再求出220x y -＞，最后求解即可。
一元二次方程的根的公式
一元二次方程的根的公式一元二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
解一元二次方程的关键是求出方程的根，而求根的公式被称为一元二次方程的根的公式。
一元二次方程的根的公式如下：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)在这个公式中，x表示方程的根，±表示两个根的取值可能性，b²-4ac表示判别式，√表示平方根，a、b、c分别表示方程的系数。
根据这个公式，我们可以通过代入方程的系数，计算出方程的根。
但在计算之前，我们需要先判断方程的根的情况，即判别式的值。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。
在解一元二次方程时，我们需要注意以下几点：1. 判别式的值决定了方程的根的情况：大于0时有两个不相等的实根，等于0时有两个相等的实根，小于0时没有实根；2. 当判别式大于0时，我们可以使用根的公式直接计算出方程的两个实根；3. 当判别式等于0时，我们可以使用根的公式计算出方程的两个相等的实根；4. 当判别式小于0时，我们无法直接计算出方程的实根，而是得到两个共轭的复根，其中实部为-b/(2a)，虚部为√(4ac-b²)/(2a)。
下面我们通过几个例子来说明一元二次方程的根的公式的应用。
例1：解方程x²-4x+3=0。
根据方程的系数，我们得到a=1，b=-4，c=3。
将这些值代入根的公式，我们可以计算出方程的根。
判别式为b²-4ac=(-4)²-4(1)(3)=16-12=4，大于0，说明方程有两个不相等的实根。
根的公式为x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)，代入系数得到x = (4 ± √4)/(2)。
化简得到x = (4 ± 2)/(2)，即x = 3或x = 1。
一元二次方程的解法练习题(带答案))
【答案】（ 1 ） ① ②
（2） （3）
【解析】（ 1 ） （ 2 ） 方程 ∴
． ． ． ．
的解为
， ．
6
（ 3 ） 解方程
得
∴
【标注】【知识点】算式找规律
， ．
四、 因式分解法
1. 用因式分解法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3） （4）
，
．
，
．
，
．
，
．
【解析】（ 1 ） （2） （3） （4）
3. 阅读材料，解答问题．
阅读材料：为解方程
，我们可以将 视为一个整体，然后设
，则
，原方
程化为
．解得
，
．当 时，
，
∴
；当 时，
，∴
．
∴原方程的解为
，
，
，
．
解答问题：请你仔细阅读上述材料，深刻领会解题过程中所包含的数学思想和方法，然后解方程
．
【答案】
，
．
【解析】 设
，则原方程化为
．
解这个方程，得
，．
当
， ，
． ．
【解析】（ 1 ） （2）
， ，
． ．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
2. 公式法解方程：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
【答案】（ 1 ） （2） （3）
，
．
，
．
，
．
【标注】【知识点】公式法求一元二次方程的根
3. 在实数范围内因式分解：
一元二次方程经典练习题(6套)附带详细答案
练习一一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x-2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -=0,⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( )A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=0 4.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=0 5.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C.231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1 B.4x 2+4x+54=0; C. 20x --= D.(x+2)(x-3)==-58.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题：(每小题3分,共24分)9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.10.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______. 16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________. 三、解答题(2分)17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y 2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a 2(a 是常数) 18.(7分)已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x 的解,你能求出m 和n 的值吗? 19.(10分)已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根. (2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值. 四、列方程解应用题(每题10分,共20分)20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率. 答案一、DAABC,DBD 二、 9.x 2+4x-4=0,4 10. 240b c -≥ 11.因式分解法 12．1或2313．2 14．1815．115k >≠且k 16．30% 三、17．（1）3，25-；（2）3；（3）1，2a-118.m=-6,n=819.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2) k = 四、 20．20% 21．20%练习二一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
一元二次方程中考试题(含答案)
一元二次方程测试题一．选择题1．用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是( )A ．(x －1)2＝4B ．(x ＋1)2＝4C ．(x －1)2＝16D ．(x ＋1)2＝162．某学校准备修建一个面积为200m 2的矩形花圃，它的长比宽多10m ，设花圃的宽为x m ，则可列方程为【 】A ．x (x －10)＝200B ．2x ＋2(x －10)＝200C ．x (x ＋10)＝200D ．2x ＋2(x ＋10)＝2003． 若一元二次方程022=++m x x 有实数解，则m 的取值范围是 （ ）A. 1-≤mB. 1≤mC. 4≤mD.21≤m 4． 已知关于x 的一元二次方程(a-1)x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a ≠1D ．a<-241．5. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得（ ）A ． 168（1+x ）2=128B ． 168（1﹣x ）2=128C ． 168（1﹣2x ）=128D ． 168（1﹣x 2）=1286. 若方程2360x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）7.已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）. A.当0=k 时，方程无解B.当1=k 时，方程有一个实数解C.当1-=k 时，方程有两个相等的实数解D.当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解8.已知b ＜0，关于x 的一元二次方程（x ﹣1）2=b 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根9.如果三角形的两边长分别是方程x 2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）A ．B ． 5C ．D ． 4 10.已知一元二次方程062=+-c x x 有一个根为2，则另一根为（ ）11.若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a ﹣b 的值是（ ）A ． 2018B ． 2008C ． 2014D ． 201218．二．填空题12一元二次方程0322=--x x 的解是13. 已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是14. 已知03522=--x x n m 是方程和的两根，则=+nm 11 . 15.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是16.若关于x 的方程22(2)0ax a x a +++=有实数解，那么实数a 的取值范围是_____________三．解答题１．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售2.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款3.如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（1）用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．．4. 已知一元二次方程x 2-(2k+1)x +k 2+k=0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5. 当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.5. 用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0．6.已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2,且│x 1－x 2│=2,求k 的值.7.已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试及答案-人教版
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试及答案-人教版一、选择题1．已知一元二次方程20x bx -=的一个根是1，则b 的值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．用配方法解方程2640x x ++=，配方正确的是（ ）A ．()235x +=B ．()2313x +=C ．()265x +=D ．()2613x +=3．一元二次方程2310x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4．如果270a a +=，那么a 的值是（ ）A ．0B ．7C ．0或7D ．0或－75．若12x x ，是一元二次方程23100x x --=的两个根.则12x x ⋅的值为（ ）A ．3B ．10C ．3-D ．10-6．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x 支队伍参加比赛，则所列方程为( ) A ．x(x+1)=45B ．(1)2x x +=45 C ．x(x-1)=45 D ．(1)2x x -=45 7．已知关于x 的方程220x bx ++=的一个根为1x =，则实数b 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-8．若一元二次方程220ax x -+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．18a <B ．18a <且0a ≠ C ．18a ≤且0a ≠ D ．18a >9．方程22240x x --=的根是（ ）A ．16x =和24x =B ．16x =和24x =-C ．16x =-和24x =D ．16x =-和24x =-10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．()316210x x -= B ．()316210x -= C ．()316210x x -=D ．36210x =二、填空题11．若()22250aa x ---=是一元二次方程，则a ＝ .12．240x x -=的解是 .13．若m 、n 是一元二次方程22202250x x -+=的两个根，则m n +的值为 ．14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出 个小分支三、计算题15．解一元二次方程：（1）22410x x --=； （2）()()1310x x x -+-=．四、解答题16．将一元二次方程5x 2﹣1＝4x 化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．17．判断关于 x 的方程 ()()232x x p --= 根的情况，并说明理由.18．x 为何值时，两个代数式x 2+1，4x +1的值相等？五、综合题19．规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程” （1）解方程x 2+2x-8=0（2）方程x 2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”20．已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m ＝0.（1）证明：无论m 为何值，原方程有两个不相等的实数根； （2）当方程有一根为1时，求m 的值及方程的另一根.21．若关于x 的方程2210x x k -+-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）设方程的两根分别是1x 和2x ，且满足211212x x x x x x +=，求k 的值.22．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：月份用水量（吨）交水费总金额（元）4186252486根据上表数据，求规定用水量a的值答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵一元二次方程20x bx -=的一个根是1∴10b -= ∴1b = 故答案为：C【分析】将x=1代入方程中即可求出b 值.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵x 2+6x+4=0∴x 2+6x+32=-4+32 ∴（x+3）2=5. 故答案为：A.【分析】将常数项移到方程的右边，然后配方(方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“32”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.3．【答案】B【解析】【解答】由分析可知，一元二次方程 2310x x -+= 的判别式△=b 2-4ac=9-4=5＞0，则该方程有两个不相等的实数根； 故答案为：B 。
一元二次方程根与系数的关系2
张庄初中自主互助-当堂巩固九年级数学课案班级小组姓名课题一元二次方程根与系数的关系2 课型练习课执笔人毋利玲学习目标1．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程．重点对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用．难点一元二次方程的根与系数的关系的运用．自主学习指导1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.例1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值.思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.解：法一：把x=2代入原方程，得22-6×2+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3，m2=-1当m1=3，m2=-1时，原方程都化为x2-6x+8=0∴x1=2，x2=4∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.法二：设方程的另一个根为x.则2.判别一元二次方程两根的符号.2.不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况.思路点拨：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2或x1+x2的正负情况.解：∵△=32-4×2×(-7)=65＞0∴方程有个不相等的实数根，设方程的两个根为x1，x2，∵∴原方程有两个异号的实数根.总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，若x1·x2＞0，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.【变式1】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2= x1x2=（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即x1+x2=，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16＞0∴当k=0时，方程两根互为相反数.（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即x1x2==1，解得k=4当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144＜0∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根.（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x1x2==0，解得k=又当k=时，x1+x2=，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=＞0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.总结升华：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac不得小于零.3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值.思路点拨：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程，就可求得m的值.解：∵方程有两个实数根，∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0解这个不等式，得m≤0设方程两根为x1，x2，∴x1+x2=-2(m-2)x1·x2=m2+4∵x12+x22-x1x2=21∴(x1+x2)2-3x1x2=21∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m1=17，m2=-1又∵m≤0，∴m=-1.总结升华：1.求出m1=17，m2=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=17.【变式2】设与是方程x2-7mx+4m2=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求m的值．思路点拨：利用一元二次方程的根与系数的关系把等式(-1)(-1)=3转化为关于m的方程．解：由于与是方程x2-7mx+4m2=0的两个根，根据根与系数的关系，有所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3．所以，得方程4m2-7m-2=0．解这个方程得经检验，都能使判别式Δ=(7m)2-4×(4m2)=33m2＞0，所以都符合题意．总结升华：如果所求m的值使方程没有实数根，就是错误的结果，所以检验的步骤是十分必要的．讨论方程的实数根的问题，只有在判别式的值是非负数时才有意义，在解决问题时应注意这个重要的条件．4．利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个已知数是否方程的根，能够求出以两个已知数为根的一元二次方程．5.判断下列方程后面括号内的两个数是不是方程的根：(1)x2-8x-20=0，(10，-2)；(2)6y2+19y+10=0，；(3)a2-2a+3=0，(+，-+)．解：(1) ∵10+(-2)=+8=-(-8)，10×(-2)=-20，∴10与-2是方程x2-8x-20=0的两个根；(2) ∵∴(3) 虽然有但是所以+与-+方程a2+2a-3=0的根．6.(1)作一个以-与为根的一元二次方程；(2)作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0的两个根的倒数．思路点拨：作一元二次方程，只需利用根与系数的关系求出方程各项的系数．解：(1) 由于-+=-2+=-，-·=-=-4，所以所求方程是．(2) 设x1与x2是方程2x2+5x-8=0的两个根，所以，有x1+x2=，x1x2=-4．所以于是所求方程是：自我检测一、选择题1. 如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为( )A. 3，2B.C.D.2. 如果方程的两个实数根分别为，那么的值是( )A. 3B.C.D.3.如果是方程的两个根，那么的值等于( )A. B. 3 C. D.4.以2，-3为根的一元二次方程是( )A.x2+x+6=0B.x2+x-6=0C.x2-x+6=0D.x2-x-6=0二、填空题1. 如果是方程的两个根，那么____________.2. 已知一元二次方程的两根分别为，那么的值是_________.3.已知一元二次方程的两根为2+和2-，则这个方程为_______．三、解答题1.设x1与x2是方程x2+4x-6=0的两个根，不解这个方程，求下列各式的值：(1)；(2)+x1x2+；(3)(x1-2)(x2-2)．2.(1)已知方程x2+mx+21=0的两个根的平方和是58，求m的值；(2)已知方程x2+3x+m=0的两个根的差是5，求m的值；(3)已知方程x2+3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值．拓展与探究已知一元二次方程.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设是方程的两个实数根，且满足，求m的值.张庄初中自主互助-当堂巩固九年级数学课案班级小组姓名课题一元二次方程根与系数的关系2 课型练习课执笔人毋利玲课堂反馈1.判断下列方程后面括号中的两个数是不是这个方程的根：(1)x2+x-12=0，(+4，-3)；(2)2y2+9y+4=0，；(3)z2-(2+)z+6=0，(，)．2.分别求作以下列各对数为根的一个一元二次方程：(1)-5，+7；2.(2)，+；(3)，-；(4)(4)+，-．3.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是( )A. B.C. D.4.已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是( )A. B. C. 2或 D.二、填空题1. 已知3x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=____，x1x2=____，+=•_______，•x12+x22=_______，x1-x2=________．2. 已知一元二次方程3x2-kx-1=•0•的一根为3,则该方程的另一根为_____，•k=_______．3. 若方程的两根的倒数和是，则____________.等级。
一元二次方程根与系数的关系课件
3．已知一元二次方程y2-3y+1=0的两个实数根
分别为y1、y2
，则(y1-1)(y2-1)的值为______．
-1
4 ．关于 x 的方程 ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0 有两个
不相等的实根x1、x2，且有x1- x1x2 +x2=1-a,则
a的值是（
C ）
Ｃ．1或-1 Ｄ．2
A．1
Ｂ．-1
x2 ，那么：
c b x1 x2 , x1 x2 a a
这就是一元二次方程根与系数的关系.
典例解析
【例 1】不解方程，求下列方程两根的和 与两根的积各是多少？
（1）x2-3x+1=0
（2）3x2-2x=2
（3）x2-3x+4=0
易错点：
1.首先将方程化为一般式；
2.根与系数关系使用前提： b 4ac 0
解得：k=-3或k=1
【例3】已知方程 x 2 kx k 2 0的两个实数
2 2 根是 x1, x2 且 x1 x2 x1 x2 3 ，求k的值.
归纳：本题所涉及的数学知识、数学思想 方法及易错点. 1.转化成根与系数的关系； 2.建立关于未知系数k的方程； 3.易错点： b 4ac 0
证明：
x1 x 2 ( b b 2 4ac b b 2 4ac )( ) 2a 2a
b
2
b 4ac 4a 2
2
2
c a
归纳结论
当b
2
2
如果一元二次方程 4ac 0时，
ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1、
3一元二次方程根的判别 二次三项式的因式分解
一元二次方程根的判别 二次三项式的因式分解 1，一元二次方程根的判别式我们把ac b 42-叫做一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式，记作ac b 42-=∆例：求一元二次方程5322+=x x 的根的判别式。
2，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ，当0〉∆时，方程有两个不相等的实数根；当0=∆时，方程有两个相等的实数根； 当0〈∆时，方程没有实数根。
例：判别一元二次方程()()011212=+-+--m x m x m 的根的情况3,利用一元二次方程根的情况来判断根的判别式的符号对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax当方程有两个不相等的实数根时，0〉∆； 当方程有两个相等的实数根时，0=∆； 当方程没有实数根时，0〈∆例：已知关于x 的方程()024412=-+-+m mx x m 有两个实数根，求m 的取值范围4，一元二次方程应用（1）二次三项式的因式分解把二次三项式c bx ax ++2分解时，如果042≥-ac b ，那么()()212x x x x a c bx ax --=++（其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个实数根）；如果042〈-ac b ，那么c bx ax ++2在实数范围内不能分解例：在实数范围内分解因式：（1）132++x x （2）22243y xy x -+（3）624--x x （4）34222-+xy y x5，一元二次方程根与系数关系如果方程()002≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 。
那么a b x x -=+21， ac x x =⋅21 一元二次方程根与系数关系有很广泛的用途。
一般，可解决以下几类问题：（1）已知一元二次方程的一个根，可求另一个根（2）已知两根，可写出这个二次方程； （3）求已知二次方程的根的对称式；（4）与根的判别式结合起来，可不解方程判断两根的性质和正负号。
例谈中考题中的一元二次方程根与系数的关系
在中考中，韦达定理作为一元二次方程的重要考点，其考查的方式也是多种多样的，但万变不离其宗。
现在就让我们一起走进南京中考，看看近年来韦达定理在中考题中的风采。
一、已知两根，求系数例1（2017·南京）已知关于x 的方程x 2+px+q=0的两根为-3和-1，则p=；q=。
【解析】本题可以有两种解法：第一种，将两根的值直接带入原方程，转化为二元一次方程组进行求解；第二种，运用根与系数的关系，在本题中x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q ，直接赋值求解即可。
【答案】4，3。
【点评】知道一元二次方程的两个根，我们可以有两种方法去求方程的系数：一种是代入转化为二元一次方程组，另一种是通过根与系数的关系进行求解。
很明显，第二种方法比起第一种方法更为高效。
而这也显示了学习根与系数的关系对于求方程的系数所带来的高效性。
二、已知一个根与一个系数，求另一个根与另一个系数例2（2015·南京）已知方程x 2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m 的值是。
【解析】本题可以有两种解法：第一种，将已知根的值直接带入原方程，转化为一元一次方程，先求m 的值，再求另一个根的值；第二种，运用根与系数的关系，在本题中x 1·x 2=3，可以先求出另一个根的值，再通过x 1+x 2=-m ，求出m 的值。
【答案】3，-4。
例3（2019·南京）已知2+3是关于x 的方程x 2-4x+m=0的一个根，则m =。
【解析】本题可以有两种解法：第一种，将根的值直接带入原方程，转化为一元一次方程进行求解；第二种，运用根与系数的关系，在本题中x 1+x 2=4，先求出另一根的值，再通过x 1·x 2=m ，求出m的值。
【答案】1。
【点评】已知一元二次方程的一个根与一个系数，要求另一个根与系数，可以有两种方法：第一种，通过代入一个根，先求出另一个系数，再对另一个根进行求解；第二种，通过根与系数的关系，先求出另一个根，再对另一个系数进行求解。
一元二次方程练习题
一．选择题（每小题3分，共39分）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）；A ．02=++c bx axB ．2112=+xxC ．1222-=+x x xD ．)1(2)1(32+=+x x2．方程()()24330x x x -+-=的根为（ ）；A ．3x =B ．125x =C ．12123,5x x =-=D ．12123,5xx ==3．解下面方程：（1）()225x -=（2）2320x x --=（3）260x x +-=，较适当的方法分别为（ ）A ．（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法B ．（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法C ．（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法D ．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法 4．方程5)3)(1(=-+x x的解是 （）；A ．3,121-==x x B ．2,421-==x xC ．3,121=-=x xD ．2,421=-=x x5．方程x 2+4x =2的正根为( )A ．2-6B ．2+6C ．-2-6D ．-2+66．方程x 2＋2x －3＝0的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－37．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨。
若平均每月增率是x ，则可以列方程（ ）；A ．720)21(500=+x B ．720)1(5002=+x C ．720)1(5002=+x D ．500)1(7202=+x8．某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A ．200(1+a%)2=148B ．200(1－a%)2=148C ．200(1－2a%)=148D ．200(1－a 2%)=1489．关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则（ ）A ．k ＜0B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ≤010．方程2=x 的解的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．1或211．已知关于x 的一元二次方程22xm x-= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ＞－1B ．m ＜－2C ．m ≥0D ．m ＜012．已知x =1是一元二次方程x 2-2mx +1=0的一个解，则m 的值是( )A ．1B ．0C ．0或1D ．0或-113．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m等于（ ）A ．6-B ．1C ．6-或1 D ．2二．填空题（每小题3分，共45分） 1．把一元二次方程12)3)(31(2+=+-x x x 化成一般形式是: ____________ ；它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。
一元二次方程有根
一元二次方程有根一元二次方程是高中数学中的重要概念，它在代数学中具有广泛的应用。
一元二次方程的根是指方程的解，即使方程等式两边相等成立的数值。
本文将围绕一元二次方程的根展开讨论，并探究其应用。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c均为已知常数，且a ≠ 0。
求解一元二次方程的根可以使用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据求根公式，一元二次方程可能有两个根、一个根或无解。
接下来，我们将分别讨论这三种情况。
考虑一元二次方程有两个根的情况。
当判别式 D = b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根。
这意味着方程的图像与x轴有两个交点，也就是图像在x轴上切开。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以使用求根公式计算出两个根：x1 = 1，x2 = 3。
这两个根分别对应于方程图像在x轴上的两个交点。
考虑一元二次方程有一个根的情况。
当判别式 D = b^2 - 4ac等于0时，方程有一个实数根，也称为重根。
这意味着方程的图像与x 轴只有一个交点，也就是图像在x轴上相切。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，可以使用求根公式计算出一个根：x = 2。
这个根对应于方程图像在x轴上的唯一一个交点。
考虑一元二次方程无解的情况。
当判别式D = b^2 - 4ac小于0时，方程无实数根。
这意味着方程的图像与x轴没有交点，也就是图像在x轴上完全位于上方或下方。
例如，对于方程x^2 + 2x + 2 = 0，可以使用求根公式计算出判别式D = -4，小于0，因此方程无解。
除了求解一元二次方程的根，它还有着广泛的应用。
在物理学中，一元二次方程常常用于描述自由落体运动的轨迹，例如抛物线的模型。
在经济学中，一元二次方程可以用于分析成本、收益和利润之间的关系。
在工程学中，一元二次方程可以用于描述曲线的形状和变化。
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已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的
值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，
先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：
即
解得当时，原方程均可化为：
，解得：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：，
即解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，∴△
解这个不等式，得≤0 设方程两根为
则，
∵
∴
∴
整理得：
解得：
又∵，∴
说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非
零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
（1）（2）
若，则有：；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若，则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。
知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出。