03=01=第三章,3.1扭转概念～4扭转应力

第三章 扭转
目录
结束
第三章 扭转
第三章
§3-1 扭转概念和实例 §3-2 外力偶矩计算 §3-3 纯剪切
扭 转
扭矩和扭矩图
§3-4 圆轴扭转时的应力
§3-5 圆轴扭转时的扭转变形
§3-6 圆柱密圈弹簧的应力和变形 §3-7 非圆截面杆扭转的概念
第三章 扭转
§3-1
扭转概念和实例
一、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。 2、汽车方向盘的转动轴 工作时受扭。
即该轴满足强度条件。
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祝大家学习愉快！
3）作扭矩图
M2
M3 B
M1 C 6.37
M4
A
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37kN m
4.78
T 图(kN· m)
9.56 |T|max = 9.56 kN· m 在BC段内
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例2
（m－为轴长方向的分布扭力偶矩） 试分析图示轴的扭矩
第三章 扭转
例2
图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。
扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切 应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴的强度。
解：1、作扭矩图
MA A
Ⅰ 22
MB
B
Ⅱ
MC C kN· m）
3
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二、扭转内力
1）圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。 2）截面法求扭矩
取左段为研究对象：
Me
1 1 1 1
Me
M x 0, T M e 0
A Me
A
B T
x
取右段为研究对象：
M x 0, T M e 0
1 1
Me B
T
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3）扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
1）求约束反力:对于具有自由端的构件，可省去此步骤
M A ml
2）截面法求扭矩
T M A mx
T m( l x )
3）作扭矩图
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§3-3 纯剪切
一、薄壁圆筒横截面上的应力
薄壁圆筒轴的扭转 (壁厚 1、实验：
1 r0 , r0：为平均半径） 10
2、变形分析

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在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。
当 p时, 有

G (3.3)
5 三个材料的弹性常数的关系 可以证明：见<例8.10>
G
E ( 3.4) 2(1 )
三、剪切应变能
类似于拉压的应变能，应变能密度的求法得
dV v dV
1
d
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为
负值。
T
+ -
第三章 扭转
三 扭矩图：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
1）扭矩图的意义：表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线） 2）举例
例 1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功 率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。
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max
T π 3 d 16
d
3
16T 16(1.5 10 3 N m ) 0.0535 m 6 π π(50 10 Pa)
3
取： d 54 mm
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2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
D
πD 3 16
3
1
Me
单元体的平衡：
'
d d yd z
d y

Fy 0
自动满足
存在'
b
O dx ' c

x
F M
x
z
0
0
d y d z d x d x d z d y
得

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2切应力互等定理
在相互垂直的两个面上，切应力总 是成对出现，并且大小相等，方向同时 指向或同时背离两个面的交线。
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm4 Ip WP —抗扭截面模量，单位：m3 , mm3. WP max Tmax 整个圆轴上——等直杆： max WP
三、公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
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四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
1实心圆截面：
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力 （1） 0 0 （2） 0 0
因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大 小相等，并且方向垂直于其半径方向。
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3 剪应变的变化规律
第三章 扭转
3、切应力的计算公式：

d
T dA.r r 2 td r 2 t 2
A 0
2

T 2r 2 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
第三章 扭转
二、切应力互等定理 1 单元体： 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体 Me
d x d z
y a z
外力偶矩计算
扭矩和扭矩图
一、外力偶矩
右图
设：轴的转速 n 转／分 (r／min) ，其中某一轮传输的功率为： P 千瓦( KW ）
实际作用于该轮的外力偶矩 m ，则
dW d ( M ) d n P M M M dt dt dt 30
30 P 10 P Me 9549 (N m) n n
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究对象
微段扭转 变形 d
DD' Rd tg dx dx
tg dd d
dx
dx
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d (a ) dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内
πD 4 1 4 32 Ip
d D
O
d A 2π d
πD 4 d 4 πD 3 1 4 Wp D/2 16 D 16
第三章 扭转
注意：对于空心圆截面
O
π 4 I p D d 4 32 π 3 Wp D d 3 16
0
1 2 v 2 2G
Βιβλιοθήκη Baidu三章 扭转
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力
一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 1 实验：
第三章 扭转
2 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
M
阻抗力偶 主动力偶
Me
第三章 扭转
3、机器中的传动轴工作时受扭。
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二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
Me
mA
阻抗力偶
主动力偶
M
Me
主要发生扭转变形的杆——轴。
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§3-2
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(

4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
πd 3 Wp d / 2 16
Ip
第三章 扭转
2空心圆截面：
D d
I p 2 π 3 d
D 2 d 2
π 4 4 D d 32
d T dx GI p
T GI p
d dx
扭转变形计算式
d 代入物理关系式 G dx 得：
T ( 3.9) Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
第三章 扭转
二、
的确定 横截面上 — max
T T max IP IP T WP
max
a

'
d

3 纯剪切的概念
单元体在其两对互相垂直的平 面上只有切应力而无正应力的状态称 为纯剪切应力状态。

b


'
c
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4 剪切虎克定律
l

为扭转角
r0 l
即
r0 l
由薄壁圆筒的扭转试验可得
T T—— 2 2r0 t r0 l
D d
第三章 扭转
五 扭转强度计算
1、强度条件：
max [ ]
变截面圆轴
等截面圆轴
T max W p max
2、强度条件应用：
Tmax max Wp
Tmax 1）校核强度: max WP
≤

2）设计截面尺寸:WP ≥ Tmax
[ ]
3）确定外荷载: Tmax≤ WP [ ]
D 3 实 心, 16 WP 3 D (1 4 ) 空 心. m 16
3举例 例1 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条件 设计实心圆轴，与a = 0.9 的空心圆轴。
解：1. 根据强度条件，确定实心圆轴直径
第三章 扭转
解：1）计算外力偶矩
M2 A
B
M3
M1 C
M4
D
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300
3
150 M 2 M 3 (9.55 10 )N m 4.78kN m 100
3
200 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37kN m 300
4
max
16T π 3 D (1 4) 16

16T 76.3 mm 4 π(1 )
d D 68.7mm
取： D 76 mm ， d 68 mm
3. 重量比较
π 2 (D d 2 ) 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比实心轴轻
T图
14
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2、计算轴的最大切应力，并校核强度
22
T图 14
kN· m）
T1 22 106 N mm 64.8MPa AB段 1,max π Wp1 3 120mm 16 T2 14 106 N mm 71.3MPa BC段 2,max π 3 Wp 2 100mm [ ] 80MPa 16
3
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2）分段计算扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
T3
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
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max P
→ G
G
d G ( 3.7) 方向垂直于半径。 dx
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三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
d T A dA G A 2 dA dx
令
I p A 2dA
第三章 扭转

'

圆周线——形状、大小、间距l不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
结论：
横截面上
0, 0 0 0

D


根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。