高二数学常用逻辑用语知识点总结归纳

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高二数学第一章常用逻辑用语小结与复习(选修2-1)

2、a＞b成立的充分不必要的条件是（ D ） A. ac＞bc B. a/c＞b/c C. a+c＞b+c D. ac2＞bc2 3.关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的
解集为R的充要条件是( C
(A)m＜0 (C)m＜1 (B)m≤0 (D)m≤1
)
练习4、
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么”x∈M或 x∈N”是“x∈M∩N”的 B
“非 p”─ p 的全盘否定.特别注意!
一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作
p
都是
读作”非p”或”p的否定”
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 = > 是至多有一个至少有两个至少有一个没有一个任意的某个所有的某些
否定 ≠ ≤ 不是
方程 x 2 3x 2 0 的根一定是 x=2 或一定是 x=1 2. 写出命题 “ a 、 b 、 c R ，若 x a 2 2b 1 ， y b 2 2c 1 ， z c 2 2a 1 ，则 x 、 y 、 z 中至少有一个不
小于 0”的否定为____________________.
（3）“都”的否定为“不 q 则都”。
结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若p则q”的形式）注意：三种命题中最难写的是否命题。
三、四种命题之间的关系
原命题
若p则q 互否
互逆
逆命题
若q则p 互否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
逆否命题
若﹁q则﹁p
四、命题真假性判断

必备逻辑知识点总结高中

必备逻辑知识点总结高中一、论证方法1. 归纳论证：从个别到一般的推理方式，通过一系列具体事实或观察结果来推断一般规律的方法。

例如：这只鸟飞不起来，那只鸟飞不起来，那只鸟也飞不起来。

可以得出结论：所有这种鸟飞不起来。

2. 演绎论证：从一般到个别的推理方式，通过已知的普遍规律来推断具体情况的方法。

例如：所有人类都是动物，张三是人类，所以张三是动物。

3. 类比论证：通过比较两个事物的相似性来推断它们在某些方面也是相似的方法。

例如：水果和蔬菜都是植物，水果含有丰富的维生素，蔬菜也含有丰富的维生素。

二、命题逻辑1. 命题与连词：命题是陈述句，可以肯定、否定或具争议。

连词包括合取、析取、蕴涵和等价等关系。

2. 命题的等值变形：通过等值变形，可以将一个命题逻辑表达式转化为另一个等效的表达式。

例如：P∨Q等价于¬P→Q。

3. 命题的合取范式和析取范式：合取范式是一个命题逻辑表达式由若干个合取式的合取构成，析取范式是一个命题逻辑表达式由若干个析取式的析取构成。

三、谬误与辨析1. 高中生常见的逻辑谬误：包括悖论谬误、偷换概念谬误、诉诸情感谬误等。

2. 辨析：进行推理时要澄清命题的含义，分清各种命题和连词之间的逻辑关系，识别并纠正谬误。

四、推理规则1. 假言推理：若p→q为真，且p为真，则q为真。

2. 拒取式推理：若p→q为真，且q为假，则p为假。

3. 假言三段论：若p→q为真，且q→r为真，则p→r为真。

五、集合与命题1. 集合：集合是由一些确定的、有共同特征的对象组成的一个整体，包括并集、交集和补集等概念。

2. 命题：具有真假性的陈述句，包括简单命题和复合命题等概念。

六、范畴逻辑1. 范畴：指人们在日常生活和工作中习惯使用的思维模式和理论构造，包括时间、空间、数量、关系、动作、状态等范畴。

2. 范畴逻辑：通过范畴之间的关系来进行推理和论证。

以上是高中阶段必备的逻辑知识点总结，逻辑规范思维是高中学习的重要内容之一，学生们应该在平时积极实践逻辑思维，加强逻辑推理的训练，提高逻辑思维能力，从而更好地学习和生活。

高中数学,常用逻辑用语题型归纳(解析版)

第一章常用逻辑用语第一节：简单命题‖知识梳理‖1．命题的概念一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．1.1.对于命题概念的理解(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：①该语句是陈述句；②能够判断真假。

一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．2．命题的分类判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．3．命题的结构命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．‖题型归纳‖题型一命题及其真假的判断例题1、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？(2)x 2＋4x ＋5>0(x ∈R )； (3)x 2＋3x －2＝0；(4)一个数不是正数就是负数； (5)4是集合{1,2,3,4}中的元素； (6)求证y ＝sin 2x 的最小正周期为π. 【解】(1)是疑问句，不是命题．(2)是命题．因为当x ∈R 时，x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．(3)不是命题．因为语句中含有变量x ，在没给定x 的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题． (4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题． (5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题． (6)是祈使句，不是命题．练习1、下面命题中是真命题的是( )A ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期是2π B ．等差数列一定是单调数列 C ．直线y ＝ax ＋a 过定点(－1,0)D ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则角B 为锐角解析：A 中，y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，周期T ＝π，A 为假命题；B 中，当公差为0时，等差数列为常数列，B 为假命题；D 中，若AB →·BC →>0，则AB →与BC →的夹角为锐角，角B 为钝角，D 为假命题，故C 正确．答案：C题型二命题的结构形式例题2、把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－1或x ＝3；(3)有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形； (4)实数的平方是非负数；(5)平行于同一平面的两条直线互相平行．【解】(1)若ac >bc ，则a >b ，是假命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－1或x ＝3，是真命题．(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于90°，则这个三角形是锐角三角形，是假命题． (4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．练习2、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)能被9整除的数是偶数；(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；(3)如果a>1, 那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数，是假命题．(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1，是真命题．(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．‖随堂练习‖1．下列语句为命题的个数有( )①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是命题，故选B.答案：B2．下列命题中是假命题的是( )A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析：B中两个向量模相等，方向不一定相同，故B为假命题．答案：B3．已知α，β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是( ) A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，l⊥m，则l⊥αC．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nD．若l⊥α且l⊥β，则α∥β解析：A中，α与β有可能平行，A错；B中，m与n不一定相交，B错；C中，m与n的关系不确定，C错；D中，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．故选D.答案：D4．指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．解：(1)条件p ：整数a 能被2整除，结论q ：整数a 是偶数．(2)条件p ：四边形是菱形，结论q ：四边形的对角线互相垂直且平分． 5．把下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)函数y ＝x 3是奇函数； (2)奇数不能被2整除；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)已知x ，y 是正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2. 解：(1)若一个函数是y ＝x 3，则它是奇函数，它是真命题．(2)若一个数是奇数，则它不能被2整除，它是真命题．(3)若两个平面都与同一直线平行，则这两个平面平行，它是假命题． (4)已知x ，y 是正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2，它是假命题． 6．已知函数f (x )＝cos x －|sin x |，那么下列命题中假命题是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在[－π，0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在[－π，0]上是单调函数解析：∵f (－x )＝cos(－x )－|sin(－x )|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A 正确；由f (x )＝cos x －|sin x |＝0，x ∈[－π，0]时，可得cos x ＝－sin x ，∴x ＝－π4，即f (x )在[－π，0]上恰有一个零点，B 正确；∵f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)－|sin(x ＋2π)|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为周期函数，C 正确；当x ∈[－π，0]f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )在[－π，0]上不单调，D 为假命题，故选D. 答案：D四种命题及其相互关系‖知识梳理‖1．四种命题的概念2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．4．命题的真假判断一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．判断一个命题为真命题，需要逻辑推理(证明)，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．在四种命题中，互为逆否的两个命题同真或同假，称为等价命题．原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．因此，四种命题中真假命题的个数一定为偶数个．‖题型归纳‖题型一四种命题的概念例题1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若a<1，则方程x2＋2x＋a＝0有实根；(2)若ab是正整数，则a，b都是正整数；(3)若a＋5是有理数，则a是无理数．【解】(1)原命题的逆命题为：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1.否命题为：若a≥1，则方程x2＋2x＋a＝0没有实根．逆否命题为：若方程x2＋2x＋a＝0没有实根，则a≥1.(2)原命题的逆命题为：若a，b都是正整数，则ab是正整数；否命题为：若ab不是正整数，则a，b不都是正整数；逆否命题为：若a，b不都是正整数，则ab不是正整数．(3)原命题的逆命题为：若a是无理数，则a＋5是有理数．否命题为：若a＋ 5 不是有理数，则a不是无理数．逆否命题为：若a不是无理数，则a＋5不是有理数．练习1、“若a≥2，则a2≥4”的否命题是( )A．若a≤2，则a2≤4B．若a≥2，则a2≤4C．若a<2，则a2<4D．若a≥2，则a2<4解析：否命题既否定条件，又否定结论，所以“若a≥2，则a2≥4”的否命题为“若a<2，则a2<4”，故选C.答案：C题型二四种命题的相互关系例题2、下列说法中，不正确的是( )A．“若p，则q”与“若q，则p”互为逆命题B．“若﹁p，则﹁q”与“若q，则p”互为逆否命题C．“若﹁p，则﹁q”是“若p，则q”的逆否命题D．“若﹁p，则﹁q”与“若p，则q”互为否命题【解析】根据四种命题的概念知，A、B、D正确；C错误．【答案】 C练习2、若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是( )A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：设命题A为：“若p，则q”，依题意得，命题B为：“若﹁p，则﹁q”，命题C为：“若﹁q，则﹁p”，所以B与C为互逆命题．答案：A题型三四种命题的真假判断例题3、有下列四个命题：①“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；②“若m＝2，则直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行”的逆命题；③“已知a，b是非零向量，若a·b>0，则a与b方向相同”的逆否命题；④“若x≤3，则x2－x－6>0”的逆否命题．其中为真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】命题“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的逆命题为：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题．因为逆命题与否命题等价，所以①正确；因为②中原命题的逆命题为：“若直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，则m＝2”，是真命题，故②正确；对于③可考虑原命题．设a＝(0,1)，b＝(1,1)，则a·b＝1>0，但a与b不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中命题“若x≤3，则x2－x＋6>0”的逆否命题为：“若x2－x＋6≤0，则x>3”，是假命题，故④为假命题．【答案】 B练习3、下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：A中，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，为真命题；B中，命题“若x>1，则x2>1”的逆命题为“若x2>1，则x>1”，为假命题，所以其否命题为假命题；C中，命题的逆命题为“若x2＋x－2＝0，则x＝1”，为假命题，所以其否命题为假命题；D中，命题“若x2>1，则x>1”为假命题，则逆否命题为假命题，故选A.答案：A题型四、等价命题的应用例题4、判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假．【解】解法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 若a <1，则4a －7<0.所以抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题．解法二：判断原命题的真假．已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，得a ≥74，从而a ≥1成立．所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．练习4、已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0. 证明：原命题的逆否命题是：若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<0.∵a ＋b <0，∴a <－b . 又∵f (x )在R 上为增函数， ∴f (a )<f (－b )．又f (x )为奇函数，∴f (－b )＝－f (b )． ∴f (a )<－f (b )，即f (a )＋f (b )<0. ∴原命题的逆否命题为真命题．故原命题成立．‖随堂练习‖1．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( )A ．若a >b ，则a －1≤b －1B ．若a >b ，则a －1<b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a <b ，则a －1<b －1 解析：否命题应同时否定条件和结论．答案：C2．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是( )A ．若q 不正确，则p 不正确B ．若q 不正确，则p 正确C ．若p 正确，则q 不正确D ．若p 正确，则q 正确解析：由于原命题的逆命题与否命题互为等价命题，故D 正确．答案：D3．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题为真命题C ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题解析：C 中，原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，是真命题．答案：C 4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有____________．解析：命题③可以改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；命题④可以改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补；命题⑤可以改写为：若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆．其中②和④，③和⑥互为逆命题；①和⑥，②和⑤互为否命题；①和③，④和⑤互为逆否命题．答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤5．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0.真命题．否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1.真命题．逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0.真命题．6．设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，在命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”及其逆命题中( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．两个命题都真D ．两个命题都假解析：原命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”是假命题，而逆命题“若△ABC 不是直角三角形，则a 2＋b 2≠c 2”是真命题．故选B.充分条件与必要条件‖知识梳理‖1．推出关系一般地，命题“若p，则q”为真，可记作“p⇒q”；“若p，则q”为假，可记作p⇒q2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．若p⇒q，则说p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．3．充要条件如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.同时q也是p 的充要条件．若p⇒q，同时q⇒p，则称p与q互为充要条件，可以表示为p⇔q(p与q等价)，它的同义词还有：“当且仅当”、“必须只需”、“…，反过来也成立”．准确地理解和使用数学语言，对理解和运用数学知识是十分重要的．4．充分条件和必要条件的判断①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件．③若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．④若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件．⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．4.从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件：‖题型归纳‖题型一充分条件、必要条件的判定例题1、指出下列各题中，p是q的什么条件(在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B；q：BC>AC；(2)设x，y∈R，p：x＋y≠8；q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)(y－2)＝0；q：(x－1)2＋(y－2)2＝0；(4)在△ABC中，p：sin A>sin B；q：tan A>tan B．【解】(1)在△ABC中，有∠A>∠B⇔BC>AC，即p⇔q，所以p是q的充要条件．(2)由已知得﹁p：x＋y＝8；﹁q：x＝2且y＝6.易知﹁q⇒﹁p，但﹁p﹁q，等价于p⇒q，且q p，所以p是q的充分不必要条件．(3)由已知得p：A＝{(x，y)|x＝1或y＝2}；q：B＝{(1,2)}，易知q⇒p，且p q，所以p是q 的必要不充分条件．(4)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，则p q；又取∠A＝30°，∠B＝120°，则q p.所以p是q的既不充分也不必要条件．练习1—1、“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习1-2、“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)若直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直，则a2－a＝0，则a＝0或a＝1，故“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的充分不必要条件．(2)若函数y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数，则a2≤2，即a≤4，故“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．答案：(1)A (2)A题型二充分条件、必要条件的应用例题2、已知命题p：对数log a(－2t2＋7t－5)(a>0，a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.(1)若命题p为真命题，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解】 (1)由对数式有意义，得－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52，∴若命题p 为真命题，则实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0，可化为(t －1)(t －a －2)<0.若p 是q 的充分不必要条件，则1<t <52是不等式解集的真子集．则a ＋2>52，∴a >12.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.练习2、已知函数f (x )＝x 2－x ＋a ，集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，集合B ＝{x |f (x )≤0}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则f (x )≤0，x ∈[－1,1]恒成立，即x 2－x ＋a ≤0，x ∈[－1,1]恒成立，即f (x )max ≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋a ≤0，1－1＋a ≤0，即a ≤－2.∴a 的取值范围为(－∞，－2]．题型三充要条件的证明例题3、已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.【证明】证法一：①充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1y >1x ，即1x <1y. ②必要性：由1x <1y，得1x －1y<0，即y －xxy<0. ∵x >y ，∴y －x <0，∴xy >0. 由①②知，1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0.故y －xxy <0⇔xy >0. ∴1x <1y ⇔xy >0.即1x <1y的充要条件是xy >0.练习3、求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0. 证明：①充分性：∵a －b ＋c ＝0，∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0，∴－1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根． ②必要性：∵ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是－1， ∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0，即a －b ＋c ＝0.由①②知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0.题型四充要条件的探求例题4、设集合A ＝{x |－2≤x ≤a }，B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }，M ＝{z |z ＝x 2，x ∈A }，求使M ⊆B 的充要条件．【解】 ∵A ＝{x |－2≤x ≤a }．∴B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }＝{y |－1≤y ≤2a ＋3}．当－2≤a <0时，M ＝{z |a 2≤z ≤4}；当0≤a ≤2时，M ＝{z |0≤z ≤4}；当a >2时，M ＝{z |0≤z ≤a 2}．故当－2≤a ≤2时，M ⊆B ，得2a ＋3≥4，即a ≥12.∴12≤a ≤2. 当a >2时，M ⊆B ，得 2a ＋3≥a 2，解得－1≤a ≤3. ∴2<a ≤3.综上知，M ⊆B 的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12≤a ≤3.练习4、直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是________．解析：∵直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切，∴圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于2，∴|1＋1＋m |2＝2，∴m ＝－4或m ＝0. 当m ＝－4或m ＝0时，直线与圆相切．答案：m ＝－4或m ＝0‖随堂练习‖1．设a >0，b >0，则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＋b ≥ab ＋1，得a －1＋b －ab ≥0，即(a －1)(1－b )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0<b ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，b ≥1，∴a 2＋b2≥1，即a ＋b ≥ab ＋1⇒a 2＋b 2≥1，但当a ＝b ＝2时，有a 2＋b 2≥1，而a ＋b <ab ＋1.∴“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的必要不充分条件，故选B. 答案：B2．已知命题p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，命题q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则﹁p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由p 成立，得a ≤1；由q 成立，得a >1，∴当﹁p 成立时，a >1，∴﹁p 是q 的充要条件．答案：C3．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ⊥α，l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，反之，若m ⊥α，l ∥α，则l ⊥m ，∴“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B. 答案：B4．已知p ：函数f (x )＝|x －a |在(2，＋∞)上是增函数，q ：函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)是减函数，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则a ≤2；若q 为真，则0<a <1.则q ⇒p ，pq ，∴p 是q 的必要不充分条件，故选A. 答案：A5．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，又p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，m ＞0，(等号不能同时成立)，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．6．设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由|x －1|<1，得0<x <2，∴“0<x <5”是“0<x <2”的必要而不充分条件，故选B. 答案：B简单的逻辑联结词‖知识梳理‖1．逻辑联结词把两个命题联结而成新命题的常用逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．2．简单命题与复合命题(1)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．(2)由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．复合命题一般有三种类型：①p且q；②p或q；③非p.(3)复合命题的真假①p且q同真才真，其他均假；②p或q同假才假，其他均真；③非p与p真假相反．3．对逻辑联结词“或”的理解“或”与日常生活用语中的“或”意义不同，日常生活用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑联结词中“或”含有“同时兼有”的意思，如x<－1或x>2.因此“p或q”的含义有三层意思：①p成立q不成立；②p不成立q成立；③p与q同时成立．4．对逻辑联结词“非”的理解“非”是否定的意思，如“3是非偶数”是对命题“3是偶数”进行否定而得出的新命题．一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语与它的否定如下表：5.逻辑联结词与集合的运算集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有密切关系，设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，可有如下关系：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}＝{x|p∧q}；A∪B＝{x|x∈A或x∈B}＝{x|p∨q}；∁U A＝{x|x∈U且x∉A}＝{x|﹁p}．6．命题的否定形式与否命题的关系：命题的否定与否命题都是对关键词进行否定，但有如下区别：(1)定义不同命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对命题的条件和结论都否定后组成的新命题．(2)构成形式不同对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则﹁q”，即不改变条件，只否定结论；而其否命题的形式为“若﹁p，则﹁q”，即对命题的条件和结论都否定．(3)与原命题的真假关系命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假；而否命题的真假与原命题的真假没有必然联系．(4)“p或q”的否定是“非p且非q”，“p且q”的否定是“非p或非q”．‖题型归纳‖题型一命题的构成例题1、分别写出由下列命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“﹁p”形式的命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；(3)p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1，q：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2.【解】(1)“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“﹁p”：π不是无理数．(2)“p∧q”：12是3的倍数且是4的倍数；“p∨q”：12是3的倍数或是4的倍数；“﹁p”：12不是3的倍数．(3)“p∧q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1且方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“p∨q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“﹁p”：方程x2－3x＋2＝0的根不是x＝1.练习1、试写出下列命题中的p ，q .(1)梯形有一组对边平行且相等；(2)方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等； (3)一元二次方程至少有三个根．解：(1)是p 且q 形式的命题．p ：梯形有一组对边平行； q ：梯形有一组对边相等．(2)是p 或q 形式的命题．p ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根； q ：方程x 2＋2x ＋1＝0的两根的绝对值相等．(3)是﹁p 的形式．p ：一元二次方程最多有两个根．题型二复合命题的真假判断例题2、分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题的真假：(1)p ：π>3，q ：π<2；(2)p ：若x ≠0，则xy ≠0，q ：若y ≠0，则xy ≠0；(3)p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边； (4)p ：函数y ＝x 12的定义域为R ，q ：函数y ＝x 2是偶函数．【解】 (1)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题．(2)∵p 是假命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是假命题，﹁p 是真命题． (3)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∧q 是真命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题． (4)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是真命题．练习2—1、命题p ：若ac 2>bc 2，则a >b ，命题q ：在△ABC 中，若A ≠B ，则sin A ≠sin B ，下列选项正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真练习2—2、已知命题p ：不等式－x 2＋2x <0的解集是{x |x <0或x >2}，命题q ：在△ABC 中，A >B 是sin A >sinB 的充要条件，则( )A ．p 真q 假B ．p ∨q 假C ．p ∧q 真D ．p 假q 真解析：(1)p 为真命题，q 为真命题，∴p 且q 为真，故选D.(2)由－x 2＋2x <0，得x >2或x <0，故p 为真命题，在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B ，故q 为真命题，所以p ∧q 为真，故选C. 答案：(1)D (2)C题型三命题的否定与否命题例题3、写出下列命题的否定与否命题，并判断真假．(1)若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为0； (2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0； (3)等腰三角形有两个内角相等．【解】 (1)命题的否定：若abc ＝0，则a ，b ，c 中都不为0，为假命题；否命题：若abc ≠0，则a ，b ，c 都不为0，为真命题．(2)命题的否定：若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0，为假命题；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0，为真命题． (3)命题的否定：等腰三角形的任意两个内角都不相等，为假命题；否命题：不是等腰三角形的三角形中任意两个角都不相等，为真命题．练习3、“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是___________；否命题是___________．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，因此否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除题型四逻辑联结词“或”“且”“非”的应用例题4、设命题p ：ln a <0；命题q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .(1)若命题q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 或q 是真命题，命题p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围．【解】 (1)对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是@⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12.所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥12.(2)若命题p 为真，则0<a <1，由“p 或q 是真命题，p 且q 是假命题”可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a <12，得0<a <12；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≥12，得a ≥1.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．练习4、已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：二次函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解：若函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，则0<a <1，∴p ：0<a <1.若曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两点，则(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.∴q ：a <12或a >52.若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p 与q 一真一假，若p 真q 假，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52，a >0且a ≠1，得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.若p 假q 真，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，a >0且a ≠1，得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.‖随堂练习‖1．已知命题p ：x ∈A ∪B ，则﹁p 是( )A ．x ∉A ∪B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A ∩B解析：由x ∈A ∪B ，知x ∈A 或x ∈B .﹁p 是：x ∉A 且x ∉B .故选C. 答案：C2．已知p ：|x ＋1|>2，q ：x >a ，则﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3解析：由|x＋1|>2，得x<－3或x>1，∵﹁p是﹁q的充分不必要条件，∴﹁p⇒﹁q，∴q⇒p，∴a≥1，故选A.答案：A3．设p，q是两个命题，若﹁(p∨q)是真命题，那么( )A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题解析：﹁(p∨q)是真命题，则p∨q是假命题，故p，q均为假命题．答案：D4．下列三个结论：①命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；②若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件．其中正确结论的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，即①正确；由p是q的充分不必要条件，可得由p能推出q，但是q不能推出p，所以﹁q能推出﹁p，﹁p不能推出﹁q，故﹁q是﹁p的充分不必要条件，即②正确；若p∧q为真，则p，q都为真，所以p∨q为真；若p∨q为真，则p，q至少有一个为真，所以“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，即③错误．故选C. 答案：C5．已知命题p：若a>b，则a2>b2，命题q：若a<b，则ac2<bc2，下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∧(﹁q)C．p∨(﹁q) D．p∨q解析：若a＝－1，b＝－2，满足a>b，但a2<b2，∴p为假命题，当c＝0，a<b时，但ac2＝bc2，q为假命题．∴p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨q为假，p∨(﹁q)为真，故选C.答案：C6．已知命题p：α，β是第一象限角，则α>β是sin α>sin β的充要条件，命题q：若S n为等差数列{a n}的前n项和，则S m，S2m，S3m(m∈N*)成等差数列，下列命题为真命题的个数是( )①p∨(﹁q) ②(﹁p)∧q③(﹁p)∨(﹁q) ④p∧qA．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵p为假命题，q为假命题，∴p∨(﹁q)为真命题，(﹁p)∧q为假命题，(﹁p)∨(﹁q)为真命题，p∧q为假命题．故选B. 答案：B全称量词与存在量词‖知识梳理‖1．全称量词和全称命题2.存在量词和特称命题3．全称命题与特称命题的辨析同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择．有的命题省略全称量词，但仍是全称命题．例如：“实数的绝对值是非负数”，省略了全称量词“任意”．但它仍然是全称命题．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义去判断．4．全称命题与特称命题的真假要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．。

高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结PPT课件

【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“图片”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
2、集合运算中的常用二级结论（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝ B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“图片”，读作“非p”或p的否定．
知识点5 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“图片”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．

高中数学常用逻辑用语知识点

高中数学常用逻辑用语目标认知考试大纲要求：1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.重点：充分条件与必要条件的判定难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。

知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。

可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

高中数学：常用逻辑用语

常用逻辑用语一、知识框架1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。

其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。

2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。

（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。

3.一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 表示p 与q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件（1）充分条件：如果A 成立，那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。

（2）必要条件：如果A 成立，那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。

（3）充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是A 成立的重要条件，所以此时，A 、B 互为充要条件。

【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A ＝＞B ”的不同表达方法。

5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （¬p ）。

（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。

6.量词与命题量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀存在量词存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等∃命题表述形式原命题若p 则q 逆命题若q 则p 否命题若¬p 则¬q 逆否命题若¬q 则¬p（2）全称命题与特称命题命题全称命题“()x p M x ,∈∀”特称命题“()00,x p M x ∈∃”定义短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示。

高中数学知识点总结(第一章集合与常用逻辑用语)

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。

高二上数学常用逻辑用语知识点

高二上数学常用逻辑用语知识点在高二数学学习中，逻辑用语是一种非常重要且常用的工具。

它们帮助我们在解决问题和证明定理时，用准确的语言描述数学思想和推理过程。

在本文中，我们将介绍一些高二上数学中常用的逻辑用语知识点。

1. 充分条件（necessary condition）：设A和B是两个数学命题，如果A是B发生的必要条件，那么我们可以用 "A⇒B" （A蕴含B）来表示。

例如，当一个整数是偶数时，它必定能被2整除。

因此，我们可以说 "偶数是能被2整除的充分条件"。

2. 必要条件（sufficient condition）：设A和B是两个数学命题，如果A是B发生的充分条件，那么我们可以用 "B⇒A" （B蕴含A）来表示。

例如，当一个整数能被2整除时，它必定是偶数。

因此，我们可以说 "偶数是能被2整除的必要条件"。

3. 充要条件（necessary and sufficient condition）：设A和B是两个数学命题，如果A既是B发生的充分条件，也是B发生的必要条件，那么我们可以用"A⇔B" （A当且仅当B）来表示。

例如，一个正整数是素数当且仅当它不能被任何比1和自身小的正整数整除。

4. 反证法（proof by contradiction）：反证法是一种常用的证明方法，通过否定所要证明的结论，假设其为假，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明所要证明的结论是正确的。

例如，要证明"根号2是无理数"，我们可以采用反证法，假设根号2是有理数，然后推导出与已知事实相矛盾的结论。

5. 全称量词（universal quantifier）：全称量词 "对于所有的" 被用来表示一个命题对于某一集合中的所有元素都成立。

例如，"对于所有的实数x，x^2≥0" 表示对于任意实数x，其平方都大于等于0。

高中逻辑推理知识点总结

高中逻辑推理知识点总结
（一）翻译推理
1. 充分条件命题：前推后
2. 必要条件假言命题：后推前
3. 逆否命题推理：肯前必肯后，否后必否前，否前肯后推不出确定性结论
4. 递推公式：A→B，B→C 可以得到A→C
5. 联言命题：全真为真，一假为假
6. 选言命题：全假为假，一真为真
7. 摩根定律：去括号，分负号，且变或，或变且
8. 否定肯定式：选言命题为真时，否定一肢，肯定一肢
9. 模态命题：移动否定词，所有变有的，有的变所有，可能变必然，必然变可能
10. 平行结构：只对比推理过程，不关注推理对错
（二）真假推理
解题技巧：找关系，看其余
1. 矛盾关系；
2. 反对关系
（三）分析推理
1. 优先排除法；
2. 最大信息法；
3. 确定信息优先；
4. 假设条件法；
5. 选项代入法。

（四）归纳推理
1. 话题一致原则：偷换话题、无由猜测、夸大事实；
2. 从弱原则；
3. 整体优先原则。

（五）原因解释
1. 题干中找冲突；
2. 选项中看解释
（六）加强论证
1. 加强论点；
2. 加强论据；
3. 建立联系；
4. 补充前提。

（七）削弱论证。

逻辑用语知识点总结详细

逻辑用语知识点总结详细逻辑是一门研究思维方法和规律的学科，逻辑用语是指在逻辑学中常用的一些术语、概念和规则。

逻辑用语是逻辑学习者必须掌握的知识点，它们对于理解和运用逻辑学原理非常重要。

本文将对逻辑用语的相关知识点进行总结和介绍，希望可以帮助读者更好地理解逻辑学的基本原理。

一、命题逻辑用语1. 命题：命题是对某个事实或者概念作出真假判断的陈述句。

命题可以是简单命题，也可以是复合命题。

2. 真值：命题的真假状态称为真值，真命题的真值为真，假命题的真值为假。

3. 联结词：联结词是用来表示命题之间逻辑关系的词语，例如“与”、“或”、“非”、“如果...那么”等。

4. 合取命题：由多个简单命题用“且”联结而成的复合命题。

5. 析取命题：由多个简单命题用“或”联结而成的复合命题。

6. 蕴含命题：由前提命题和结论命题构成的复合命题，用“如果...那么”联结。

7. 反命题：将原命题的真值取反得到的命题。

8. 逆命题：将原命题中的前提和结论位置互换得到的命题。

9. 逻辑等值式：两个命题具有相同的真值。

10. 矛盾命题：两个命题在真值上互为反义。

11. 背反命题：两个命题只能有一个为真。

二、谬误逻辑用语1. 常见谬误：指在推理过程中常见的一些错误逻辑。

2. 漏洞谬误：推理中忽略了一些重要的信息或者条件。

3. 意义不明谬误：命题的表述不清晰或者含糊不清。

4. 假设不当谬误：推理过程中使用了不成立的假设。

5. 伪命题：看似是命题实际上并不是命题。

6. 偷换概念谬误：在推理过程中将概念混淆或者曲解。

7. 弱势推理谬误：推理的结论过于绝对，没有考虑例外情况。

8. 诱导推理谬误：推理的结论只是一种可能性，并非必然性。

三、谓词逻辑用语1. 主体：命题中被描述的对象或者概念。

2. 谓语：对主体进行描述或者陈述的部分。

3. 量词：用来表示主体范围的词语，例如“所有”、“存在”等。

4. 谓词逻辑：一种更为复杂的逻辑系统，它允许我们在命题中引入量词，进而使得我们可以对全称命题（一般化陈述）和存在命题（实例化陈述）进行讨论。

常用逻辑用语知识点归纳ying

常用逻辑用语知识点归纳1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）小结：原命题与其逆否命题同真、同假。

（b ）否命题与逆命题同真、同假。

2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。

同时q 是p 的必要条件。

若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。

（2）判断方法：（i ）定义法，（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，①若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。

（同时q 是p 的必要条件）②若A B 则p 是q 的充分非必要条件。

③若B ⊆A 则p 是q 的必要条件④若B A 则p 是q 的必要非充分条件⑤若A=B ，则p 与q 互为充要条件。

（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。

当原命题为真时，p 是q 的充分条件。

当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。

小结：注意充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。

3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

（2）全称量词与存在量词的否定。

关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

（2）复合命题的真假判断：pq 非p p 或q p 且q 真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

高二数学常用逻辑用语知识点总结归纳

高二数学常用逻辑用语知识点总结归纳
常用逻辑用语的考察是考试中的重点，以下是整理的常用逻辑用语知识点，请大家掌握。

1、四种命题：
⑴原命题：若p则q;⑵逆命题：若q则p;⑶否命题：若p
则⑷逆否命题：若q则p
注：1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。

判断命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题pq否定形式是pq否命题是
pq.命题p或q的否定是p且q
p且q的否定是p或q. 3、逻辑联结词：
⑴且(and) ：命题形式p p q pq pq p ⑵或(or)：命题形式 p 真真真真假⑶非(not)：命题形式p .
或命题的真假特点是一真即真，要假全假
且命题的真假特点是一假即假，要真全真
非命题的真假特点是一真一假 4、充要条件
由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

5、全称命题与特称命题：
短语所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语有一个或有些或至少有一个在陈述中表示所述事物的
个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

全称命题p：)(,xpMx 全称命题p的否定p：)(,xpMx。

特称命题p：)(,xpMx
特称命题p的否定p：)(,xpMx
常用逻辑用语知识点的全部内容就为大家分享到这里，希望对大家有帮助。

常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语知识点总结逻辑是一种以证明、推理和推断为基础的理性思维方法。

在日常生活和学术研究中, 人们经常会遇到各种逻辑问题, 如何正确运用逻辑用语是非常重要的。

下面将就常用的逻辑用语进行知识点总结。

一、假言命题1. 假言命题是由“如果……，则……”的句子构成的命题。

它表示的是一种条件关系。

2. 假言命题的充分条件和必要条件。

充分条件是指如果A成立，则B必定成立；必要条件是指B成立就必定是A成立。

3. 常用逻辑连接词：如果……，就……；只要……，就……；每当……，就……。

4. 示例：如果下雨，地面就会湿。

这就是一个假言命题，如果下雨是充分条件，地面湿是必要条件。

5. 常见的假言命题推理错误：偷换充分条件与必要条件；否定假设；无中生有。

二、联言命题1. 联言命题是由“而且”、“也”、“而且还”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是多个条件同时成立的关系。

2. 常用逻辑连接词：而且、又、且、还、除此之外还。

3. 示例：他不但聪明，而且还非常勤奋。

这就是一个联言命题，表示他既聪明又勤奋。

4. 常见的联言命题推理错误：谬误的联言；与联言条件无关；由联言推出联言分解。

三、析言命题1. 析言命题是由“但是”、“除了……还有”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是两个条件相互排斥的关系。

2. 常用逻辑连接词：但是、然而、不过、相反、相反地、与……相反。

3. 示例：他很有学识，但是思维缜密不足。

这就是一个析言命题，表示他虽然有学识，但思维缜密不足。

4. 常见的析言命题推理错误：非提出人之谬误；擅自坚持；不正当引用。

四、复言命题1. 复言命题是由多个简单命题以及相应的逻辑连接词构成的复杂命题。

2. 常用逻辑连接词：如果……，就……；且；但是；不是；如果……则……；不是因为……而是因为……。

3. 示例：如果你努力学习，就一定会取得好成绩。

这就是一个复言命题，由假言命题构成。

5. 常见的复言命题推理错误：对联言的否定；混淆假言及联言；推而广之。

高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。

1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。

2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。

（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？（6）（6）x ≤3。

2. 推断下列语句是不是命题。

（1）矩形莫非不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（3）一个数不是合数就是质数。

（4）大角所对的边大于小角所对的边；（5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。

高中数学常用逻辑用语一章汇总讲义

一、同步知识梳理（1）一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数学中的定义、公理、定理等都是真命题（2）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）215x ；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。

题意分析：本题考查命题的概念以及命题真假的判定。

解题思路：判断一个语句是不是命题关键看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。

题后思考: 命题的判定条件：①是否为陈述句，②是否可以判定真假，只要抓住这两个条件就可以判断语句是不是命题了。

如果命题具有“若p,则q”的形式,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的，q叫做命题的 .这种形式的命题也可写成“”，“”等形式。

p和结论q，并判断真假(在括号内填上真或假)．①若整数a能被２整除，则a是偶数．条件:______________________,结论:__________________,( )②若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分．条件:______________________,结论:__________________.( )③若a＞0，b＞0，则a+b＞0．条件:______________________,结论:__________________,( )④若a＞0，b＞0，则a+b＜0．条件:______________________,结论:__________________,( )⑤垂直于同一条直线的两个平面平行．条件:______________________,结论:__________________,( )p，则q”的形式，并判断它们的真假：（1）等腰三角形两腰的中线相等；__________________________________________________________( )（2）偶函数的图像关于y轴对称；__________________________________________________________( )（3）垂直于同一个平面的两平面平行。

高中数学专题复习-集合与常用逻辑用语

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于,记为∈；不属于,记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ,且存在x 0∈B ,x 0∉AA B 或B A相等集合A ,B 的元素完全相同 A ⊆B ,B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集任意的x ,x ∉∅,∅⊆A∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,且x ∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元{x |x ∈U ,且x ∉A }∁U A素组成的集合4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集,即A ⊆A ； (2)子集关系的传递性,即A ⊆B ,B ⊆C ⇒A ⊆C ； (3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ,A ∪∅＝A ,A ∩∅＝∅,∁U U ＝∅,∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ,A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]1．已知集合A ＝{1,2},B ＝{x |0＜x ＜5,x ∈N },则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{2,4,5},则集合A ∪B 中元素的个数为________．答案：53．(江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8},B ＝{－1,1,6,8},那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(浙江名校联考)已知∁R M ＝{x |ln|x |＞1},N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x ＞0,则M ∪N ＝( ) A ．(0,e] B ．[－e,＋∞) C ．(－∞,－e]∪(0,＋∞)D ．[－e,e]解析：选B 由ln|x |＞1得|x |＞e,∴M ＝[－e,e]．N ＝(0,＋∞),∴M ∪N ＝[－e,＋∞)．故选B.2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5},B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1},且B ⊆A ,则由m 的可能取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1,即m ＜2时,B ＝∅,满足B ⊆A ；若B ≠∅,且满足B ⊆A ,如图所示,则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3,即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{0, x ＋1,x 2－5x },若－4∈A ,则实数x 的值为________．解析：∵－4∈A ,∴x ＋1＝－4或x 2－5x ＝－4. ∴x ＝－5或x ＝1或x ＝4.若x ＝1,则A ＝{0, 2,－4},满足条件；若x ＝4,则A ＝{0, 5,－4},满足条件；若x ＝－5,则A ＝{0,－4,50},满足条件．所以x ＝1或x ＝4或－5. 答案：1或4或－5考点一集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(x ,y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1,32,64,⎪⎪⎪⎪－12,0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A 由题意得,①不满足集合的确定性,故错误；②两个集合,一个是数集,一个是点集,故错误；③中⎪⎪⎪⎪－12＝0.5,出现了重复,不满足集合的互异性,故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点,还可表示原点,故错误．综上,没有正确命题,故选A.2．已知a ＞0,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0,a 2},则a 2＋b 2的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 由已知得a ≠0,则ba ＝0,所以b ＝0,于是a 2＝4,即a ＝2或a ＝－2,因为a ＞0,所以a ＝2,故a 2＋b 2＝22＋02＝4.3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素,则a 等于( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时,x ＝23,符合题意．当a ≠0时,由Δ＝(－3)2－8a ＝0,得a ＝98,所以a 的值为0或98.4．(易错题)(江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3},B ＝{2,3,4} ,M ＝{x |x ＝ab ,a ∈A ,b ∈B },则M 中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12},据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4},则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( ) A ．8个 B ．4个 C ．3个D ．2个解析：选B 由题意,得P ＝{3,4},所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0},B ＝{x |ax ＝1},若B ⊆A ,则a ＝( ) A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：选D 集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}．当x ＝－2时,－2a ＝1,解得a ＝－12；当x ＝1时,a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意,这时a ＝0,故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a ,b ,c ,d ,e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30D ．29解析：选B 因为集合有5个元素,所以其子集的个数为25＝32个,其真子集的个数为25－1＝31个． 2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3},B ＝{x |－m ＜x ＜m },若B ⊆A ,则m 的取值范围为________．解析：当m ≤0时,B ＝∅,显然B ⊆A . 当m ＞0时,∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时,在数轴上标出两集合,如图,∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞,1]．答案：(－∞,1]考点三集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(北京高考)已知集合A ＝{x ||x |＜2},B ＝{－2,0,1,2},则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选A ∵A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2},B＝{－2,0,1,2},∴A∩B＝{0,1}．故选A.2．(全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0},则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B∵x2－x－2＞0,∴(x－2)(x＋1)＞0,∴x＞2或x＜－1,即A＝{x|x＞2或x＜－1}．则∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.角度二：利用集合运算求参数3．(浙江联盟校联考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1},Q＝{x|0＜x＜a},若P∪Q＝{x|－1＜x＜2},则实数a的值为()A．1 B．2C．12D．32解析：选B因为P＝{x|－1＜x＜1},Q＝{x|0＜x＜a},所以当a≤1时,P∪Q＝{x|－1＜x＜1},不符合题意；当a＞1时,P∪Q＝{x|－1＜x＜a},结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2},可得a＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A,B,同时满足A∪B＝{1,2,3,4},A∩B＝{1},A≠{1},B≠{1},就称有序集对(A,B)为“好集对”．这里有序集对(A,B)是指当A≠B时,(A,B)和(B,A)是不同的集对,那么“好集对”一共有()个() A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4},A∩B＝{1},A≠{1},B≠{1},所以当A＝{1,2}时,B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时,B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时,B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时,B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时,B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时,B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个,故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1．(浙江十校联盟适考)已知集合A＝{x|1＜x＜4},B＝{x∈Z|x2－6x＜0},则(∁R A)∩B＝()A．{1,4} B．{4,5}C．{1,4,5} D．{2,3}解析：选C法一：由x2－6x＜0可得0＜x＜6,所以B＝{1,2,3,4,5},又∁R A＝{x|x≤1或x≥4},所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁R A)∩B,故排除D,又1,5∈∁R A,1,5∈B,故选C.2．(长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2－3x＋a＝0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为()A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B当a＝1时,x2－3x＋1＝0,无整数解,则A∩B＝∅；当a＝2时,B＝{1,2},A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时,B＝∅,A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(杭州高三四校联考)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0,a∈R},B＝{x|(x－1)(x－4)＝0},则A∪B的子集个数最多为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选D由题意可知,要使A∪B的子集个数最多,则需A∪B中的元素个数最多,此时a≠1,a≠3,且a≠4,即集合A＝{3,a},B＝{1,4},A∪B＝{1,3,4,a},故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x,y∈R,A＝{x|y＝2x－x2},B＝{y|y＝3x,x＞0},则A B为()A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2},B＝{y|y＞1},A∪B＝{x|x≥0},A∩B＝{x|1＜x≤2},所以A B＝∁A∪(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2},故选D.B一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(浙江考前热身联考)已知集合M＝{x|y＝2x－x2},N＝{x|－1＜x＜1},则M∪N＝()A．[0,1)B．(－1,2)C．(－1,2] D．(－∞,0]∪(1,＋∞)解析：选C法一：易知M＝{x|0≤x≤2},又N＝{x|－1＜x＜1},所以M∪N＝(－1,2]．故选C.法二：取x＝2,则2∈M,所以2∈M∪N,排除A、B；取x＝3,则3∉M,3∉N,所以3∉M∪N,排除D,故选C.2．(浙江三地联考)已知集合P＝{x|||x＜2},Q＝{x|－1≤x≤3},则P∩Q＝()A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：选A由|x|＜2,可得－2＜x＜2,所以P＝{x|－2＜x＜2},所以P∩Q＝[－1,2)．3．(嘉兴期末测试)已知集合P＝{x|x＜1},Q＝{x|x＞0},则()A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P ⊆∁R QD ．∁R P ⊆Q解析：选D 由已知可得∁R P ＝[1,＋∞),所以∁R P ⊆Q .故选D.4．(浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M ＝{0,1,2,3,4},N ＝{2,4,6},P ＝M ∩N ,则P 的子集有________个．解析：集合M ＝{0,1,2,3,4},N ＝{2,4,6},P ＝M ∩N ＝{2,4},则P 的子集有∅,{2},{4},{2,4},共4个. 答案：45．已知集合A ＝{x |x ≥3},B ＝{x |x ≥m },且A ∪B ＝A ,则实数m 的取值范围是________．解析：因为集合A ＝{x |x ≥3},B ＝{x |x ≥m },且A ∪B ＝A ,所以B ⊆A ,如图所示,所以m ≥3. 答案：[3,＋∞)二保高考,全练题型做到高考达标1．(杭州七校联考)已知集合A ＝{x |x 2＞1},B ＝{x |(x 2－1)(x 2－4)＝0},则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B A ＝{x |x ＜－1或x ＞1},B ＝{－2,－1,1,2},A ∩B ＝{－2,2},故选B.2．(浙江六校联考)已知集合U ＝{x |y ＝3x },A ＝{x |y ＝log 9x },B ＝{y |y ＝－2x }则A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．R C ．{x |x ＞0}D ．{0}解析：选C 由题意得,U ＝R ,A ＝{x |x ＞0},因为y ＝－2x ＜0,所以B ＝{y |y ＜0},所以∁U B ＝{x |x ≥0},故A ∩(∁U B )＝{x |x ＞0}．故选C.3．(永康模拟)设集合M ＝{x |x 2－2x －3≥0},N ＝{x |－3＜x ＜3},则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∪N ＝RD ．M ∩N ＝∅解析：选C 由x 2－2x －3≥0,解得x ≥3或x ≤－1,所以M ＝{x |x ≤－1或x ≥3},所以M ∪N ＝R . 4．(宁波六校联考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0},B ＝{1,a },且A ∩B 有4个子集,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞,1)∪(3,＋∞)解析：选B ∵A ∩B 有4个子集,∴A ∩B 中有2个不同的元素,∴a ∈A ,∴a 2－3a ＜0,解得0＜a ＜3且a ≠1,即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选B.5．(镇海中学期中)若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－x x ,N ＝{x |x ＜1},则M ∪N ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(－∞,2)D ．(0,＋∞)解析：选C 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ＝{x |0＜x ＜2},N ＝{x |x ＜1}．M ∪N ＝{x |x ＜2}＝(－∞,2)．故选C.6．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0},B ＝{x |x ＜1,且x ∈Z },则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2},因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1,x ∈Z }＝{－1,0}．答案：{－1,0}7．(嘉兴二模)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2},B ＝{x |x 2－4x ≤0},则A ∪B ＝________,A ∩(∁R B )＝________. 解析：因为B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4},所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}；因为∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞4},所以A ∩(∁R B )＝{x |－1≤x ＜0}．答案：{x |－1≤x ≤4} {x |－1≤x ＜0}8．设集合A ＝{(x ,y )|y ≥|x －2|,x ≥0},B ＝{(x ,y )|y ≤－x ＋b },A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(x ,y )∈A ∩B ,且x ＋2y 的最大值为9,则b 的值是________．解析：由图可知,当y ＝－x 往右移动到阴影区域时,才满足条件,所以b ≥2；要使z ＝x＋2y 取得最大值,则过点(0,b ),有0＋2b ＝9⇒b ＝92.答案：(1)[2,＋∞) (2)929．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16},B ＝[a ,b ],若A ⊆B ,则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4],因为A ⊆B ,所以a ≤2,b ≥4,所以a －b ≤2－4＝－2,即实数a －b 的取值范围是(－∞,－2]．答案：(－∞,－2]10．已知集合A ＝{x |(x ＋2m )(x －m ＋4)＜0},其中m ∈R ,集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0.(1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅,求实数m 的取值范围．解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1－xx ＋2＞0＝{x |－2＜x ＜1}．当A ＝∅时,m ＝43,不符合题意．当A ≠∅时,m ≠43.①当－2m ＜m －4,即m ＞43时,A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4},又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，－2m ≤－2，m －4≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞43，m ≥1，m ≥5，所以m ≥5.②当－2m ＞m －4,即m ＜43时,A ＝{x |m －4＜x ＜－2m },又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，－2m ≥1，m －4≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，m ≤－12，m ≤2，所以m ≤－12.综上所述,实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5,＋∞)． (2)由(1)知,B ＝{x |－2＜x ＜1}．当A ＝∅时,m ＝43,符合题意．当A ≠∅时,m ≠43.①当－2m ＜m －4,即m ＞43时,A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4},又因为A ∩B ＝∅,所以－2m ≥1或者m －4≤－2, 即m ≤－12或者m ≤2,所以43＜m ≤2.②当－2m ＞m －4,即m ＜43时,A ＝{x |m －4＜x ＜－2m },又因为A ∩B ＝∅,所以m －4≥1或者－2m ≤－2, 即m ≥5或者m ≥1,所以1≤m ＜43.综上所述,实数m 的取值范围为[1,2]．三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．对于复数a ,b ,c ,d ,若集合S ＝{a ,b ,c ,d }具有性质“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”,则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时,b ＋c＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ,b ,c ,d },由集合中元素的互异性可知当a ＝1时,b ＝－1,c 2＝－1,∴c ＝±i,由“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”知±i ∈S ,∴c ＝i,d ＝－i 或c ＝－i,d ＝i,∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.2．对于集合M ,N ,定义M －N ＝{x |x ∈M ,且x ∉N },M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M ),设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ,B ＝{x |x ＜0,x ∈R },则A ⊕B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－94，0B.⎣⎡⎭⎫－94，0C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0,＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0,＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{x |x ≥0,x ∈R },B －A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－94，x ∈R ,故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0,＋∞)．故选C.3．已知函数f (x )＝x －3－17－x的定义域为集合A ,且B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10},C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}．(1)求：A 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ,求实数a 的取值范围．解：(1)要使函数f (x )＝x －3－17－x, 应满足x －3≥0,且7－x ＞0,解得3≤x ＜7, 则A ＝{x |3≤x ＜7}, 得到∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7},而B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}, 所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1},要使A ∪C ＝R , 则有a ≥3,且a ＋1＜7,解得3≤a ＜6. 故实数a 的取值范围为[3,6)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题概念使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ,q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p ⇒/ q 且q ⇒pB 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔q A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/pA ,B 互不包含[小题体验]1．下列命题是真命题的是( )A ．若log 2a ＞0,则函数f (x )＝log a x (a ＞0,a ≠1)在其定义域上是减函数B ．命题“若xy ＝0,则x ＝0”的否命题C ．“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0垂直”的充要条件D ．命题“若cos x ＝cos y ,则x ＝y ”的逆否命题答案：B2．(温州高考适应性测试)已知α,β∈R ,则“α＞β”是“cos α＞cos β ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＞β ⇒/ cos α＞cos β,如α＝π3,β＝π6,π3＞π6,而cos π3＜cos π6；cos α＞cos β ⇒/ α＞β,如α＝π6,β＝π3,cos π6＞cos π3,而π6＜π3.故选D. 3．设a ,b 是向量,则命题“若a ＝－b ,则|a |＝| b |”的逆否命题为：________. 答案：若|a |≠|b |,则a ≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论． 2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．(杭州模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC中,若∠C＝90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC中,∠C＝90°,结论：∠A,∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2＞b2,则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2,则a≤b B．若a2≤b2,则a≤bC．若a≤b,则a2＞b2D．若a≤b,则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”．该题中,p为a2＞b2,q为a＞b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2,则a≤b.2．命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4,则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4,则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4,则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4,则x2－3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2－3x－4＝0,所以x＝4或－1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1,则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数,则a,b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x＋y＝0”,显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题；③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题；④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a＝－1,b＝－3,故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写；(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(杭州高三四校联考)“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若x2＋ax＋14＞0(x∈R),则a2－1＜0,即－1＜a＜1,所以“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的必要不充分条件．故选A.2．(杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*),则“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝kn＋2(n∈N*),所以当k＞2时,a n＋1－a n＝k＞2,则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列,则a n＋1－a n＝k＞0即可,所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.法二：根据一次函数y＝kx＋b的单调性知,“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k＞0”,所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a ＞0,b ＞0,则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为a ＞0,b ＞0,所以a ＋b ＞0,ab ＋1＞0,故不等式a ＋b ≥ab ＋1成立的充要条件是(ab ＋1)2≤(a ＋b )2,即a 2＋b 2≥a 2b 2＋1.显然,若a 2＋b 2≥a 2b 2＋1,则必有a 2＋b 2≥1,反之则不成立,所以a 2＋b 2≥1是a 2＋b 2≥a 2b 2＋1成立的必要不充分条件,即a 2＋b 2≥1是a ＋b ≥ab ＋1成立的必要不充分条件．2．(浙江期初联考)若a ,b ∈R ,使|a |＋|b |＞4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b ＜－4解析：选D 对选项A,若a ＝b ＝2,则|a |＋|b |＝2＋2≥4,不能推出|a |＋|b |＞4；对选项B,若a ＝4≥4,b ＝0,此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C,若a ＝2≥2,b ＝2≥2,此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D,由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4,但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.3．(宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形,AB ∥CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰AD ,BC ”是“l 垂直于两底AB ,DC ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为四边形ABCD 是梯形,且AB ∥CD ,所以腰AD ,BC 是交线,由直线与平面垂直的判定定理可知,当l 垂直于两腰AD ,BC 时,l 垂直于ABCD 所在平面,所以l 垂直于两底AB ,CD ,所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ,CD ,由于AB ∥CD ,所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面,所以l 不一定垂直于两腰AD ,BC ,所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12,则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －m ＋1x －2m ＜0,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的充分不必要条件是13＜x ＜12,所以B ⊆A .①当m －1＜2m ,即m ＞－1时,A ＝{x |m －1＜x ＜2m }．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43；②当m －1＝2m ,即m ＝－1时,A ＝∅,不满足B ⊆A ；③当m －1＞2m ,即m ＜－1时,A ＝{x |2m ＜x ＜m －1}．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13，m－1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上,m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43.答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(杭州名校大联考)已知条件p ：|x ＋1|＞2,条件q ：x ＞a ,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A ．[1,＋∞)B ．(－∞,1]C ．[－3,＋∞)D ．(－∞,－3]解析：选A 由|x ＋1|＞2,可得x ＞1或x ＜－3,所以綈p ：－3≤x ≤1；又綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件,所以a ≥1.2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m , 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件, 所以m ＋3≤－4或m ≥1, 故m ≤－7或m ≥1. 答案：(－∞,－7]∪[1,＋∞)一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0,则x ＝12或x ＝0,即不一定是x ＝0；若x ＝0,则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x－1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ,b ∈R ,则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3,知a ＞b ,由ab ＜0,知a ＞0＞b ,所以此时有1a ＞1b ,故充分性成立；当1a ＞1b 时,若a ,b 同号,则a ＜b ,若a ,b 异号,则a ＞b ,所以必要性不成立．故选A. 3．设φ∈R ,则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若φ＝0,则f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数,则φ＝k π(k ∈Z )．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p ：“若x 2＜1,则x ＜1”的逆命题为q ,则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：选B q ：若x ＜1,则x 2＜1. ∵p ：x 2＜1,则－1＜x ＜1.∴p 真,当x ＜1时,x 2＜1不一定成立,∴q 假,故选B.5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件,则实数a 的取值范围为( ) A ．(5,＋∞) B ．[5,＋∞) C ．(－∞,5)D ．(－∞,5] 解析：选D 由x ＞5是x ＞a 的充分条件知,{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a },∴a ≤5,故选D. 二保高考,全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数” C ．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”解析：选B 依题意得,原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”．2．命题“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3解析：选C 即由“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”．因为x ∈[1,2],所以x 2∈[1,4],x 2－a ≤0恒成立,即x 2≤a ,因此a ≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若x ＋y ＞0,则x ＞0且y ＞0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1,则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数,则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0,则x ＋y ＞0”为真,故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题； ③的逆命题为,若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ,则m ≥1. ∵当m ＝0时,解集不是R ,∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.∴③是真命题；④原命题为真,逆否命题也为真．4．(浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ,倾斜角为θ,则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时,0＜k ≤1；反之,当k ≤1时,0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件,故选A.5．命题“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意x ∈[1,2),x 2－a ≤0”为真命题,只需要a ≥4,∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a ,b ∈R )”,否命题的真假性为________．解析：命题的否命题为“若a ≤b ,则ac 2≤bc 2”．若c ＝0,结论成立．若c ≠0,不等式ac 2≤bc 2也成立．故否命题为真命题．答案：真 7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2,且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ,故①不正确； ②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |,故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ,且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ,故③正确．答案：②③8．已知α,β∈(0,π),则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β,所以若sin α＋sin β＜13,则有sin(α＋β)＜13,故充分性成立；当α＝β＝π2时,有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13,而sin α＋sin β＝1＋1＝2,不满足sin α＋sin β＜13,故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件．答案：充分不必要 9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0),q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0,m 2－7am ＋12a 2＜0,得3a ＜m ＜4a ,即p ：3a ＜m ＜4a ,a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆,可得2－m ＞m －1＞0,解得1＜m ＜32,即q ：1＜m ＜32.因为p 是q 的充分不必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38,所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38. 答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2,B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2, ∴716≤y ≤2, ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1,得x ≥1－m 2, ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, ∴A ⊆B ,∴1－m 2≤716, 解得m ≥34或m ≤－34,故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1．已知p ：x ≥k ,q ：3x ＋1＜1,如果p 是q 的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( ) A ．[2,＋∞) B ．(2,＋∞) C ．[1,＋∞)D ．(－∞,－1]解析：选B 由3x ＋1＜1得,3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0,即(x －2)(x ＋1)＞0,解得x ＜－1或x ＞2,由p 是q 的充分不必要条件知,k ＞2,故选B.2．在整数集Z 中,被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z },k ＝0,1,2,3,则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ,b 满足a ∈[1],b ∈[2],则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z },k ＝0,1,2,3,可知,只要整数m ＝4n ＋k ,n ∈Z ,k ＝0,1,2,3,则m ∈[k ],对于①中,2 018＝4×504＋2,所以2 018∈[2],所以符合题意；对于②中,－1＝4×(－1)＋3,所以符合题意；对于③中,所有的整数按被4除所得的余数分为四类,即余数分别为0,1,2,3的整数,即四“类”[0],[1],[2],[3],所以Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3],所以符合题意；对于④中,原命题成立,但逆命题不成立,因为若a ＋b ∈[3],不妨设a ＝0,b ＝3,则此时a ∉[1]且b ∉[2],所以逆命题不成立,所以不符合题意；对于⑤中,因为“整数a ,b 属于同一类”,不妨设a ＝4m ＋k ,b ＝4n ＋k ,m ,n ∈Z ,且k ＝0,1,2,3,则a －b ＝4(m －n )＋0,所以a －b ∈[0]；反之,不妨设a ＝4m ＋k 1,b ＝4n ＋k 2,m ,n ∈Z ,k 1＝0,1,2,3,k 2＝0,1,2,3,则a －b ＝4(m －n )＋(k 1－k 2),若a －b ∈[0],则k 1－k 2＝0,即k 1＝k 2,所以整数a ,b 属于同一类,故“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”,所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ,非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0,B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0,命题p ：x ∈A ,命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时,若p 真q 假,求x 的取值范围； (2)若q 是p 的必要条件,求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时,A ＝{x |2＜x ＜37},B ＝{x |12＜x ＜146},因为p 真q 假．所以(∁U B )∩A ＝{x |2＜x ≤12},所以x 的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件,即p ⇒q ,可知A ⊆B .因为a 2＋2＞a ,所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．当3a ＋1＞2,即a ＞13时,A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}, 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2,即a ＝13时,A ＝∅,不符合题意；当3a ＋1＜2,即a ＜13时,A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}, 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13；综上所述,实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一集合及其运算1．(浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},则∁U A ＝( )A ．∅B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5},A ＝{1,3},∴∁U A ＝{2,4,5}．2．(天津高考)设全集为R ,集合A ＝{x |0＜x ＜2},B ＝{x |x ≥1},则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ,B ＝{x |x ≥1},∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2},∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．3．(浙江高考)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1},Q ＝{x |0＜x ＜2},那么P ∪Q ＝( )A ．(－1,2)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义,得P ∪Q ＝(－1,2)．4．(全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0},B ＝{0,1,2},则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1},B ＝{0,1,2},∴A ∩B ＝{1,2}．5．(全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：选A 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ,y 全部列举出来,即(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(0,－1),(0,0),(0,1),(1,－1),(1,0),(1,1),共有9个．故选A.6．(江苏高考)已知集合A ＝{1,2},B ＝{a ,a 2＋3}．若A ∩B ＝{1},则实数a 的值为________．解析：因为a 2＋3≥3,所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1,即实数a 的值为1.答案：1命题点二充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ,则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24,当x ＝－b 2时,f (x )min ＝－b 24,又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24,当f (x )＝－b 2时,f (f (x ))min ＝－b 24,当－b 2≥－b 24时,f (f (x ))可以取到最小值－b 24,即b 2－2b ≥0,解得b ≤0或b ≥2,故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列,所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ,S 4＋S 6－2S 5＝d ,所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ,b 是实数,则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10,b ＝－1时,a ＋b ＞0,ab ＜0,故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2,b ＝－1时,ab ＞0,但a ＋b ＜0,所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(天津高考)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12,得0＜x ＜1,则0＜x 3＜1,即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1,得x ＜1,当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x －12≥12,即“x 3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．5．(天津高考)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12,得0＜θ＜π6,故sin θ＜12.由sin θ＜12,得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π,k ∈Z ,推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”．故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12,而当sin θ＜12时,取θ＝－π6,⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12.故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件．6．(北京高考)设a ,b 均为单位向量,则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |,得(a －3b )2＝(3a ＋b )2,即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .又a ,b 均为单位向量,所以a 2＝b 2＝1,所以a ·b ＝0,能推出a ⊥b .由a ⊥b ,得|a －3b |＝10,|3a ＋b |＝10,能推出|a －3b |＝|3a ＋b |,所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．命题点三四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ,命题“若m ＞0,则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是() A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根,则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义,命题“若m ＞0,则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根,则m ≤0”．2．(北京高考)能说明“若a ＞b ,则1a ＜1b”为假命题的一组a ,b 的值依次为________．解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时,1a ＞0＞1b .答案：1,－1(答案不唯一)3．(北京高考)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数．若a ＞b ＞c ,则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为________．解析：因为“设a ,b ,c 是任意实数．若a ＞b ＞c ,则a ＋b ＞c ”是假命题,则它的否定“设存在实数a ,b ,c .若a ＞b ＞c ,则a ＋b ≤c ”是真命题．由于a ＞b ＞c ,所以a ＋b ＞2c ,又a ＋b ≤c ,所以c ＜0.因此a ,b ,c 依次可取整数－1,－2,－3,满足a ＋b ≤c .答案：－1,－2,－3(答案不唯一)。

常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断⇒/.1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q ¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示． 2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。

高中数学-常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句2.疑问句，祈使句，感叹句都不是命题3.真命题：判断为真的语句4.假命题：判断为假的语句5.一般用小写英文字母表示如p:∀x>0,x2+1>0二、量词1.全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等符号：∀2.存在量词存在、至少有、有一个、某个、某(有)些等符号：∃3.全称命题：含有全称量词的命题全称命题q:∀x∈A，q(x) 它的否定是⌝q:∃x∈A，⌝q(x) 4.存在性命题：含有存在量词的命题存在性命题p:∃x∈A，p(x) 它的否定是⌝p:∀x∈A，⌝p(x)三、“且”与“或”,“非”1. “且”（p∧q一假则假）“或”（p∨q一真则真）2. “非”（否定）互否互否互逆互逆四、推出与充分条件、必要条件 1.推出“如果p ，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p 可以推出q ；记作：p ⇒q 2.充分条件、必要条件如果p 可推出q ，则称：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件 3.充要条件如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则称 p 是q 的充分且必要条件（p 是q 的充要条件）五、命题的四种形式 1.若p ，则q原命题：若p ，则q 逆命题：若q ，则p 否命题：若非p ，则非q 逆否命题：若非q ，则非p 注：命题的否定（否结论）否命题（否条件，否结论）2.充分条件、必要条件的判定（一）（1）如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件（2）如果p ⇒q ，但q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件（3）如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件（4）如果q ⇒p ，但p ⇏q ，则p 是q 的必要不充分条件（5）如果p ⇏q ，且q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件原命题：若p ，则q逆否命题：若非q ，则非p否命题：若非p ，则非q逆命题：若q ，则p3.充分条件、必要条件的判定（二）若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现即A ＝{ x | p(x) }，B ＝{ x | q(x) }，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为（1）若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件（2）若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件（3）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件（4）若A B ，则p 是q 的充分不必要条件（5）若A B ，则p 是q 的必要不充分条件（6）若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件 4.等价命题（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性①¬q 是¬p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件 ②¬q 是¬p 的必要不充分条件⇔p 是q 的必要不充分条件 ③¬q 是¬p 的充要条件⇔p 是q 的充要条件④¬q 是¬p 的既不充分也不必要条件⇔p 是q 的既不充分也不必要条件（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 5. 常见结论的否定形式≠⊂≠⊃。

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