稳定裕度

5.5 稳定裕度
5.5.1 稳定裕度的定义
控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。

而对一个稳定的系统而言，还有一个稳定的程度，即相对稳定性的概念。

相对稳定性与系统的动态性能指标有着密切的关系。

在设计一个控制系统时，不仅要求它必须是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度。

只有这样，才能不致因系统参数变化而导致系统性能变差甚至不稳定。

对于一个最小相角系统而言，()G j ω曲线越靠近（1,0j -）点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。

因此，可用)(ωj G 曲线对（0,1j -）点的接近程度来表示系统的相对稳定性。

通常，这种接近程度是以相角裕度和幅值裕度来表示的。

相角裕度和幅值裕度是系统开环频率指标，它与闭环系统的动态性能密切相关。

1 相角裕度
相角裕度是指幅相频率特性)(ωj G 的幅值1)()(==ωωj G A 时的向量与负实轴的夹角，常用希腊字母γ表示。

图5-46 相角裕度和幅值裕度的定义 图5-47稳定裕度在Bode 图上的表示
在G 平面上画出以原点为圆心的单位圆，见图5-46。

)(ωj G 曲线与单位圆相交，交点处的频率c ω称为截止频率，此时有1)(=c A ω。

按相角裕度的定义
)
(180
)180()(c c ωϕωϕγ+=--=
（5-59）
由于01lg 20)(lg 20)(===c c A L ωω，故在伯德图中，相角余度表现为
dB
L 0)(=ω处的相角)(c ωϕ与 180-水平线之间的角度差，如图5-46所示。

上述
两图中的γ均为正值。

2 幅值裕度
)
(ωj G 曲线与负实轴交点处的频率g ω称为相角交界频率，此时幅相特性曲
线的幅值为)(g A ω，如图5-45所示。

幅值裕度是指（0,1j -）点的幅值1与)(g A ω之比，常用h 表示，即
)
(1g A h ω=
（5-60）
在对数坐标图上
20lg 20lg ()()g g h A L ωω=-=-
（5-61）
即h 的分贝值等于)(g L ω与dB 0之间的距离（dB 0下为正）。

相角裕度的物理意义在于：稳定系统在截止频率c ω处若相角再迟后一个γ角度，则系统处于临界状态；若相角迟后大于γ，系统将变成不稳定。

幅值裕度的物理意义在于：稳定系统的开环增益再增大h 倍，则g ωω=处的幅值)(g A ω等于1，曲线正好通过（0,1j -）点，系统处于临界稳定状态；若开环增益增大h 倍以上，系统将变成不稳定。

对于最小相角系统，要使系统稳定，要求相角裕度0>γ，幅值裕度1>h 。

为保证系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度不能太小。

在工程设计中，一般取
60~30=γ，2≥h 对应20lg 6h dB ≥。

5.5.2 稳定裕度的计算
根据式（5-59）,要计算相角裕度γ，首先要知道截止频率c ω。

求c ω较方便的方法是先由)(s G 绘制)(ωL 曲线，由)(ωL 与dB 0线的交点确定c ω。

而求幅值裕度h 首先要知道相角交界频率g ω，对于阶数不太高的系统，直接解三角方程
180)(-=∠g j G ω是求g ω较方便的方法。

通常是将)(ωj G 写成虚部和实部，令虚部为零而解得g ω。

例5-12 某单位反馈系统的开环传递函数为
)
5)(1()(0
++=
s s s K s G
试求100=K 时系统的相角裕度和幅值裕度。

解 ⎩⎨
⎧==++=
1
5
)
151)(
1(5)(00υK K s s s K s G 绘制开环增益250==K K 时的)(ωL 曲线如图5-48所示。

当2=K 时
)20(2
1
2
11
)5
(
1
2
)(2
2
2
2
2
2
2
<<=≈
=++=
c c
c
c c c c c A ωωωωωωωω
所以 2=c ω
5
.198.157.54905
arctan
arctan 90180
)
(180
1=--=---=∠+=c
c c j G ωωωγ
又由 0)5arctan(arctan 90180)(180=---=∠+︒g g g j G ωωω 有 arctan arctan(90o g g ωω+=
等式两边取正切： ∞==⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-
+
90tan 5152
g g g ωωω
得 0512
=-g
ω，即 236
.25==
g ω。

dB
A h g
g g g 9.8793.22
1
)5
(
1)
(12
2
1==++=
=
∴
ωωωω
在实际工程设计中，只要绘出)(ωL 曲线，直接在图上读数即可，不需太多计算。

图5-48 2=K 时的)(ωL 曲线。