2015届高考数学(理)二轮练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)

三角函数、解三角形、平面向量

1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．

任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y

x (x ≠0)，三角函数值只与

角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．

[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －1

5

2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin α

cos α

.

(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限

[问题2] cos 9π

4

＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________． 答案

22－3

3

3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；

(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π

2

，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；

对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π

2，0，k ∈Z . (3)单调区间：

y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π

2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦

⎤π2＋2k π，3π

2＋2k π (k ∈Z )；

y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；

y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π

2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：

y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．

易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；

(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π

2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π

3的递减区间是________． 答案 ⎣

⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5

12π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝β

sin 2α＝2sin αcos α.

cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β

1∓tan αtan β

.

cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α

1－tan 2α.

在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝1

2

[(α＋β)＋(α－β)]．

α＋π

4

＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－3

5，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56

65

5．解三角形

(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变

式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

；(ⅲ)a ＝2R sin A ，

b ＝2R sin B ，

c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .

(2)余弦定理：a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．

[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°

6．向量的平行与垂直

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.

0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．

[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，

a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22

，

a 在

b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2

x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．

易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．

[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案

12

5

8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．

[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④

9．几个向量常用结论：

①P A →＋PB →＋PC →

＝0⇔P 为△ABC 的重心；