高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究1 曲线与方程练习 理-人教版高三全册数学试题
高考数学一轮总复习第九章解析几何专题研究1曲线与方程课件理
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专题要点
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1．求曲线轨迹方程的方法 (1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点 的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点间距离公式、点到直 线距离公式等)进行整理、化简． (2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程， 再确定其中的基本量．
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所以k是方程(x02－9)x2－2x0y0x＋y02－4＝0(x0≠±3)的一个
根，同理－
1 k
是方程(x02－9)x2－2x0y0x＋y02－4＝0(x0≠±3)的另
一个根．
所以k·－1k＝yx0022－ －49，得x02＋y02＝13，其中x0≠±3. 所以此时点P的轨迹方程为x02＋y02＝13(x0≠±3)． 因为P(±3，±2)满足x02＋y02＝13， 所以综上可知，点P的轨迹方程为x02＋y02＝13. 【答案】 (1)x92＋y42＝1 (2)x02＋y02＝13
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方法二(定义法)：∵∠OPC＝90°， ∴动点P在以M( 12 ，0)为圆心OC为直径的圆上，|OC|＝1，再 利用圆的方程得解．
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★状元笔记★ 定义法求轨迹方程 (1)适用条件 动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义． (2)关键 定义法求轨迹方程的关键是弄清各种常见曲线的定义．
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2．注意事项 (1)轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹方程只求出方程即可， 求轨迹时，首先求出轨迹方程，然后说明轨迹的形状、位置、 大小．若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的全面 性． (2)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对 应关系．检验可以从以下两个方面进行：一是方程的化简是否 是同解变形，二是是否符合题目的实际意义．
近年高考数学一轮复习第九章解析几何学案理(2021年整理)
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第九章解析几何第一节直线与方程本节主要包括3个知识点:1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2.直线的方程；3。
直线的交点、距离与对称问题。
突破点（一）直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系错误!1．直线的倾斜角（1）定义：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是［0，π)．2．直线的斜率公式（1）定义式:若直线l的倾斜角α≠错误!，则斜率k＝tan_α。
(2)两点式:P1(x1，y1)，P2(x2，y2）在直线l上，且x1≠x2,则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2。
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2错误!1．判断题(1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ）（2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．（）（3）直线的倾斜角越大，其斜率就越大．（)(4）当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( ）（5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.（)答案：（1）√(2）×(3）×(4）×(5)×2．填空题(1）若过两点A（－m，6），B（1,3m）的直线的斜率为12，则m＝________.答案：－2（2）如图中直线l 1，l2，l3的斜率分别为k1,k2，k3，则k1，k2,k3的大小关系为________．解析:设l1，l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 曲线与方程练习 理-人教版高三全册数学试题
§9.7曲线与方程考纲解读分析解读 1.了解解析几何的基本思想和研究几何问题的方法——坐标法.2.理解轨迹的概念.能够根据所给条件选择适当的直角坐标系,运用求轨迹方程的常用方法(如:直接法、代入法、定义法、待定系数法、参数法、交轨法等)求轨迹方程.3.本节在高考中以求曲线的方程和研究曲线的性质为主,分值约为12分,属中高档题.五年高考考点曲线与方程1.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P 满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B 两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=====-b=k2.所以AR∥FQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得2×|b-a|=,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)教师用书专用(3—6)3.(2015某某,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,N绕O 转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图2解析(1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,=2,且||=||=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且即且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=,y0=-,代入+=1,可得+=1,即所求的曲线C的方程为+=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8.(ii)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P;同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|·=.②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8·=8>8;当0≤k2<时,S△OPQ=8·=8.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.4.(2014某某,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0), 与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.5.(2013某某,18,13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连接OB i,过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9).(1)求证:点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△O的面积比为4∶1,求直线l的方程.解析解法一:(1)依题意,过A i(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,B i的坐标为(10,i),所以直线OB i的方程为y=x.设P i的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y.所以点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0,此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则因为S△OCM=4S△O,所以|x1|=4|x2|.又x1·x2<0,所以x1=-4x2,分别代入①和②,得解得k=±.所以直线l的方程为y=±x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.解法二:(1)点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E:x2=10y上.证明如下:过A i(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,B i的坐标为(10,i),所以直线OB i的方程为y=x. 由解得P i的坐标为,因为点P i的坐标都满足方程x2=10y,所以点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)同解法一.6.(2013某某,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程.解析(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,所以a=.又由已知得,c=1,所以椭圆C的离心率e===.(4分)(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.设点Q的坐标为(x,y).(i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.因为M,N在直线l上,所以可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|AM|2=(1+k2),|AN|2=(1+k2).又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.由=+,得=+,即=+=.①将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.②由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>.由②可知,x1+x2=,x1x2=,代入①中并化简,得x2=.③因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.由③及k2>,可知0<x2<,即x∈∪.又满足10(y-2)2-3x2=18,故x∈.由题意知,Q(x,y)在椭圆C内,所以-1≤y≤1,由10(y-2)2=18+3x2得(y-2)2∈,且-1≤y≤1,则y∈.所以点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈,y∈.(13分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点曲线与方程1.(2018某某某某模拟,9)设M是圆O:x2+y2=9上的动点,直线l过M且与圆O相切,若过A(-2,0),B(2,0)两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点F的轨迹方程是( )A.-=1(y≠0)B.-=1(y≠0)C.+=1(y≠0)D.+=1(y≠0)答案 C2.(2017某某某某中学期中,11)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为( )A.+=1B.-=1C.-=1D.+=1答案 D3.(2018某某某某调研,14)过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P,Q两点,那么线段PQ中点的轨迹方程是.答案y2=2x-24.(2017某某某某二模,20)已知抛物线x2=2py(p>0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过点B 作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.(1)求点C的轨迹M的方程;(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线,切点为P,轨迹M与直线n交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.解析(1)依题意可得,直线l的斜率存在,故设其方程为y=kx+,又设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),由⇒x2-2pkx-p2=0⇒x1·x2=-p2.(3分)易知直线OA:y=x=x,直线BC:x=x2,由得y==-,即点C的轨迹M的方程为y=-.(6分)(2)证明:由题意知直线n的斜率存在.设直线n的方程为y=k1x+m.由⇒x2-2pk1x-2pm=0⇒Δ=4p2+8pm.∵直线n与抛物线相切,∴Δ=0⇒p+2m=0,可得P(pk1,-m).又由⇒Q,(9分)∴·=·=-(p+2m)+pm+=0⇒FP⊥FQ,∴以线段PQ为直径的圆过点F.(12分)B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:50分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2017豫北名校4月联考,15)已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为.答案(x-10)2+y2=36(y≠0)2.(人教A选2—1,二A,3(2),变式)已知圆O1:(x-2)2+y2=16和圆O2:x2+y2=r2(0<r<2),动圆M与圆O1和圆O2都相切,动圆圆心M的轨迹为两个椭圆,设这两个椭圆的离心率分别为e1和e2(e1>e2),则e1+2e2的最小值为.答案3.(2016某某某某六校联考,15)已知A(3,2)、B(1,0),P(x,y)满足=x1+x2(O是坐标原点),若x1+x2=1,则P的坐标满足的方程是.答案x-y-1=0二、解答题(共40分)4.(2018某某某某模拟,20)已知抛物线E:y2=8x,圆M:(x-2)2+y2=4,点N为抛物线E上的动点,O为坐标原点,线段ON的中点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(x0≥5)是曲线C上的点,过点Q作圆M的两条切线,分别与x轴交于A、B两点,求△QAB面积的最小值.解析(1)设P(x,y),则点N(2x,2y)在抛物线E:y2=8x上,∴4y2=16x,∴曲线C的方程为y2=4x.(2)设切线方程为y-y0=k(x-x0).令y=0,可得x=x0-,圆心(2,0)到切线的距离d==2,整理可得(-4x0)k2+(4y0-2x0y0)k+-4=0.设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=,k1k2=,∴△QAB的面积S=-|y0|=2·.设t=x0-1∈[4,+∞),则f(t)=2在[4,+∞)上单调递增,∴f(t)≥,即△QAB面积的最小值为.5.(2018某某某某模拟,20)已知点M(4,0)、N(1,0),若动点P满足·=6||.(1)求动点P的轨迹C;(2)在曲线C上求一点Q,使点Q到直线l:x+2y-12=0的距离最小.解析(1)设动点P(x,y),又点M(4,0)、N(1,0),∴=(x-4,y),=(-3,0),=(x-1,y).(3分)由·=6||,得-3(x-4)=6,(4分)∴x2-8x+16=4(x2-2x+1)+4y2,故3x2+4y2=12,即+=1,∴轨迹C是焦点为(±1,0),长轴长为4的椭圆.(7分)(2)椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l:x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l1与直线l的距离.设直线l1的方程为x+2y+m=0(m≠-12).(8分)由消去y得4x2+2mx+m2-12=0(*).依题意得Δ=0,即4m2-16(m2-12)=0,故m2=16,解得m=±4.当m=4时,直线l1:x+2y+4=0,直线l与l1的距离d==.当m=-4时,直线l1:x+2y-4=0,直线l与l1的距离d==.由于<,故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为.(12分)当m=-4时,方程(*)化为4x2-8x+4=0,即(x-1)2=0,解得x=1.由1+2y-4=0,得y=,故Q,(13分)∴曲线C上的点Q到直线l的距离最小.(14分)6.(2017某某某某二模,20)已知动圆M过定点E(2,0),且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)设A,B是轨迹C上的两点,且·=-4,F(1,0),记S=S△OFA+S△OAB,求S的最小值.解析(1)设M(x,y),PQ的中点为N,连MN,则|PN|=2,MN⊥PQ,∴|MN|2+|PN|2=|PM|2.又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|PN|2=|EM|2,∴x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=4x.(4分)(2)设A,B,不妨令y1>0,则S△OFA=·|OF|·y1=y1,(5分)∵·=-4,∴x1x2+y1y2=+y1y2=-4,解得y1y2=-8,①(6分)当y1=-y2时,AB⊥x轴,A(2,2),B(2,-2),S△AOB=4,S△OFA=,S=5.当y1≠-y2时,直线AB的方程为=,(7分)即y-y1=,令y=0,得x=2,∴直线AB恒过定点(2,0),设定点为E,∴S△OAB=|OE|·|y1-y2|=y1-y2,(9分)由①可得S△OAB=y1+,(10分)∴S=S△OFA+S△OAB=y1+=y1+≥2=4当且仅当y1=,即y1=时,取等号.(11分)综上,S min=4.(12分)C组2016—2018年模拟·方法题组方法求轨迹方程的方法1.(2018某某某某模拟,9)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,点M,N是椭圆C上关于长轴对称的两点,若直线AM与BN相交于点P,则点P的轨迹方程是( )A.x=±a(y≠0)B.y2=2b(|x|-a)(y≠0)C.x2+y2=a2+b2(y≠0)D.-=1(y≠0)答案 D2.(2018某某某某模拟,20)如图,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解析(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E的方程为y2=2x.设C,D,y1≠0,y2≠0.易知l1,l2的斜率均存在,设切线l1:y-y1=k,代入y2=2x得ky2-2y+2y1-k=0,由Δ=0解得k=,∴l1的方程为y=x+,同理,l2的方程为y=x+,联立解得∵CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足+=8,x0∈[2,2],联立得x0y2+2y0y-16=0,则代入可知M(x,y)满足代入+=8得-y2=1,由x0∈[2,2]知x∈[-4,-2].∴动点M的轨迹方程为-y2=1,x∈[-4,-2].3.(2017某某某某二模,20)在△ABC中,O是BC的中点,|BC|=3,△ABC的周长为6+3.若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|.(1)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程;(2)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|·|ON|=1,过点M的直线与E交于P,Q,直线QN与E交于另一点R.证明:△MPR是等腰三角形.解析(1)如图,以O为坐标原点,以的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy.依题意得B,C.由|AB|+|AC|+|BC|=6+3,得|AB|+|AC|=6.因为|AB|+|AC|=6>|BC|,所以点A的轨迹是以B,C为焦点,6为长轴长的椭圆(除去长轴端点),所以点A的轨迹方程为+=1(x≠±3).设A(x0,y0),T(x,y),依题意知=,所以(x,y)=(x0,y0),即又+=1,∴+=1,所以点T的轨迹E的方程为x2+2y2=1(x≠±1).(2)证明:设M(m,0)(m≠1),N,Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3).由题意可得直线QM不与坐标轴平行,因为k QM=,所以直线QM的方程为y=(x-m),与x2+2y2=1联立并整理可得,(m2+1-2mx1)x2-2m(1-)x+(2mx1--m2)=0, 由根与系数关系得x1x2=,同理,x1x3===x1x2,所以x2=x3或x1=0,当x2=x3时,PR⊥x轴;当x1=0时,由x1+x2=得x2=,同理,x3===x2,∴PR⊥x轴.因此|MP|=|MR|,故△MPR是等腰三角形.。
数学(理)一轮复习：第九章 解析几何 双曲线
1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。
(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。
近年高考数学一轮复习第9章解析几何专题研究1曲线与方程练习理(2021年整理)
2019高考数学一轮复习第9章解析几何专题研究1 曲线与方程练习理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第9章解析几何专题研究1 曲线与方程练习理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专题研究1 曲线与方程1．已知点A（－1，0)，B（2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是（) A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0答案B解析可知AB的方程为4x－3y＋4＝0,又｜AB|＝5，设动点C（x，y)．由题意可知错误!×5×错误!＝10，所以4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.故选B.2．方程x－1lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是（）答案D3．动圆M经过双曲线x2－错误!＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是( ) A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x答案B解析双曲线x2－错误!＝1的左焦点F（－2，0），动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y2＝－8x.4．（2017·皖南八校联考）设点A为圆（x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且｜PA|＝1,则P点的轨迹方程为（）A．y2＝2x B．(x－1）2＋y2＝4C．y2＝－2x D．（x－1）2＋y2＝2答案D解析(直译法)如图，设P（x，y)，圆心为M(1,0）．连接MA，PM.则MA⊥PA,且|MA|＝1,又因为｜PA｜＝1，所以｜PM|＝错误!＝错误!，即｜PM｜2＝2,所以（x－1）2＋y2＝2。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。
最新-2021年高考数学理人教A版一轮复习课件：第九章 解析几何 97 精品
-4知识梳理
双基自测
1
2
3
3.常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图
所示,则
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
2
(1)x1x2= ,y1y2=-p2.
4
2
(2)弦长|AB|=x1+x2+p= 2 (α 为弦 AB 所在直线的倾斜角).
sin
C.最小值是1 D.最大值是4
(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,
P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,
若=4,则|QF|=(
7
A.2
答案: (1)A
5
B.2
(2)C
)
C.3
D.2
-14考点1
考点2
考点3
解析: (1)设直线l:x=ty+1,代入抛物线方程,得y2-4ty-4=0.
连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,
则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,
1
1
则|KF|=|A1F1|=2|AA1|=2|AF|,即
3
p=2,故抛物线方程为 y2=3x.
-22考点1
考点2
考点3
考点 3
直线与抛物线的关系
例3已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E
于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标
准方程.
2.涉及抛物线上点到焦点的距离或点到准线的距离,在求最值时
可以相互转换,并结合图形很容易找到最值.
-19考点1
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新人
第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (1)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。
高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第9讲 曲线与方程教案 理 新人教版
第9讲曲线与方程
【202X年高考会这样考】
1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
2．利用直接法或定义法求轨迹方程．
3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质．
【复习指导】
正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。
基础梳理
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f，＝0的实数解建立了如下关系：
1曲线上点的坐标都是这个方程的解．
2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤
1建立适当的坐标系，用有序实数对，表示曲线上任意一点M的坐标．
2写出适合条件
点的坐标，后，直接找，的关系式不好求，故寻求其他变量建立，之间的联系．
解设M，，直线AB方程为＝＋b
由OM⊥AB得＝－错误!
由2＝4的轨迹方程为2＋2－4
是直线的轨迹方程．
第1问设出焦点坐标，根据|1F的轨迹方程．
解1设F1－c,0，F2c,0c＞0．
由题意，可得|2c12c的坐标为，，则A错误!的轨迹方程是
182－16错误!－15＝0＞0．12分
代入法求曲线方程的难点是建立，，0，0所满足的两个关系式，这需要根据问题的具体情况，充分利用已知条件列出关系式，一般需要找到两个互相独立的条件建立两个方程，通过这两个方程所组成的方程组用，表达0，0。
高考数学一轮总复习：第九章 解析几何1
高考数学一轮总复习：第九章解析几何目录第1课时直线方程第2课时两直线的位置关系第3课时圆的方程及直线与圆的位置关系第4课时圆与圆的位置关系及圆的综合问题第5课时椭圆（一）第6课时椭圆（二）第7课时双曲线（一）第8课时双曲线（二）第9课时抛物线（一）第10课时抛物线（二）第11课时直线与圆锥曲线的位置关系专题研究一求曲线的轨迹方程专题研究二最值与范围问题专题研究三定点、定值问题专题研究四探索性问题第1课时直线方程1．直线x－3y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )A.π6B.π3C.23π D.56π答案 A2．过点(－1，2)且倾斜角为150°的直线方程为( ) A.3x－3y＋6＋3＝0 B.3x－3y－6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0答案 D3．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)答案 D解析因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB ＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．4．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>π3”是“k>3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当π2<α<π时，k<0；当k>3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件，故选B.5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析由条件知直线在两个坐标轴上的截距为正数．6．过点(5，2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0答案 B解析设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y＝25x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为xa＋y2a＝1，又直线过点(5，2)，所以5a＋22a＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.故选B.7．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为( )A．1 B．2C．4 D．8答案 C解析∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.8．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )答案 B解析当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，B项符合．9．已知A(2，5)，B(4，1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( )A．－1 B．3C．7 D．8答案 C解析依题意得kAB ＝5－12－4＝－2，所以线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2，4]，即y＝－2x＋9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2，4]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2，4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7.10．曲线y＝13x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )A.π6B.3π4C.π4D.π3答案 B解析y′＝x2－2x，当x＝1时，切线斜率k＝12－2×1＝－1，设切线的倾斜角为θ，则tanθ＝－1，∴θ＝3π4.11．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是( )A．[34，2] B．(－∞，34]∪[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1，2] 答案 B解析直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1，1)，kPA ＝2，kPB＝34，故k的取值范围是(－∞，34]∪[2，＋∞)．故选B.12．已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为________．答案x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0解析设所求直线l的方程为xa＋yb＝1.∵k＝16，即ba＝－16，∴a＝－6b.又三角形面积S＝3＝12|a|·|b|，∴|ab|＝6.则当b＝1时，a＝－6；当b＝－1时，a＝6.∴所求直线方程为x －6＋y 1＝1或x 6＋y －1＝1. 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.13．已知P(－3，2)，Q(3，4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 (－73，－13)解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a.若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a<－13.14． 若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 k ＝0或k≥1解析 由题意，知|x －1|＝kx ，有且只有一个正实根，结合图形，可得k ＝0或k≥1.15．在△ABC 中，已知A(1，1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．答案 2x ＋5y ＋9＝0 解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，l AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎨⎧2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C(3，－3)． 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B(－2，－1)． ∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．答案 (3＋3)x －2y －3－3＝0 解析 由题意可得k OA ＝tan45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)， 所以AB 的中点C(m －3n 2，m ＋n2)， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1， 解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 17．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k∈R )， (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．答案 (1)定点(－2，1) (2)k≥0 (3)S 最小值为4，x －2y ＋4＝0 解析 (1)证明：设直线过定点(x 0，y 0)， 则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k∈R 恒成立， 即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立． 所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0.解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2，1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1， 要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k≥0，1＋2k≥0，解得k 的取值范围是k≥0. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，则A(－1＋2kk ，0)，B(0，1＋2k)．又－1＋2kk<0，且1＋2k>0， ∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k×(1＋2k)＝12(4k＋1k＋4)≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k＝1k，即k＝12时，等号成立．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.第2课时两直线的位置关系1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )A．－12 B．－2C．0 D．10答案 A解析由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.∴p＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.3．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是( )A．m＝1或m＝－2 B．m＝1C．m＝－2 D．m的值不存在答案 A解析 方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m≠0，则有1m ＝1＋m2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m)m ，得m ＝－2或m ＝1.当m ＝－2时，l 1：x －y －4＝0，l 2：－2x ＋2y ＋6＝0，平行． 当m ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y ＋6＝0，平行．4． 直线kx －y ＋2＝4k ，当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0，0) B ．(2，1) C ．(4，2) D ．(2，4)答案 C解析 直线方程可化为k(x －4)－(y －2)＝0，所以直线恒过定点(4，2)． 5． 分别过点A(1，3)和点B(2，4)的直线l 1和l 2互相平行且有最大距离，则l 1的方程是( )A ．x －y －4＝0B ．x ＋y －4＝0C ．x ＝1D ．y ＝3 答案 B解析 连接AB ，当l 1与l 2分别与AB 垂直时，l 1与l 2之间有最大距离且d ＝|AB|，此时k AB ＝1，∴kl 1＝－1，则y －3＝－(x －1)，即x ＋y －4＝0.6．光线沿直线y ＝2x ＋1射到直线y ＝x 上，被y ＝x 反射后的光线所在的直线方程为( )A ．y ＝12x －1B ．y ＝12x －12C ．y ＝12x ＋12D ．y ＝12x ＋1答案 B解析 由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线过(－1，－1)．又直线y ＝2x ＋1上一点(0，1)关于直线y ＝x 对称的点(1，0)在所求直线上， ∴所求直线方程为y －0－1－0＝x －1－1－1，即y ＝x 2－12.7．点A(1，1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是( ) A ．2 B ．2－ 2 C ．2＋ 2 D ．4答案 C解析 由点到直线的距离公式，得d ＝|cosθ＋sinθ－2|cos 2θ＋sin 2θ＝2－2sin (θ＋π4)，又θ∈R ， ∴d max ＝2＋ 2.8．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 令y′＝4x 3＝4，得x ＝1，∴切点为(1，1)，l 的斜率为4.故l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.9． 若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0，l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2 答案 A解析 由题意知，点M 所在直线与l 1，l 2平行且与两直线距离相等．设该直线的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，解得c ＝－6.点M 在直线x ＋y －6＝0上．点M 到原点的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|－6|2＝3 2.故选A.10． 复数z 满足zi ＝3＋4i ，若复数z －在复平面内对应的点为M ，则点M 到直线3x －y ＋1＝0的距离为( )A.4105B.7105C.8105D.10答案 D解析 由zi ＝3＋4i ，得z ＝3＋4i i ＝3i －4－1＝4－3i ，∴z －＝4＋3i ，∴z －在复平面内对应的点M(4，3)，∴所求距离d ＝|3×4－3＋1|10＝10.11． 三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k≠±5，k ≠1答案 C解析 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，若(1，1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.12． 已知倾斜角为α的直线l 与直线m ：x －2y ＋3＝0垂直，则cos2α＝________．答案 －35解析 直线m ：x －2y ＋3＝0的斜率是12，∵l ⊥m ，∴直线l 的斜率是－2，故tanα＝－2，∴π2<α<2π3，sin α＝255，cos α＝－55，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－55)2－1＝－35.13．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图像关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．答案 2解析 直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x＝ay＋8与y＝－12x＋b为同一直线，故得⎩⎨⎧a＝－2，b＝4.所以a＋b＝2.14．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．答案 3解析∵M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，∴3a＋4b＝15.而a2＋b2的几何意义是原点到M点的距离|OM|，所以(a2＋b2)min ＝1532＋42＝3.15．已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．答案2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0解析设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得|－2k－2＋4－3k|1＋k2＝|4k＋2＋4－3k|1＋k2.∴k＝2或k＝－2 3 .∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.16.如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．答案210解析由题意，求出P关于直线x＋y＝4及y轴的对称点分别为P1(4，2)，P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P1P2|＝210.17．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A，C的坐标．答案A(－1，0)，C(5，－6)解析如图，设C(x0，y)，由题意知l1∩l2＝A，则⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0. 即A(－1，0)．又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1. ∴k BC ＝－1kl 1＝－112＝－2. ∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B′在直线AC 上，易得B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C(x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，可得⎩⎨⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0－4＝0⇒⎩⎨⎧x 0＝5，y 0＝－6.即C(5，－6)．18．设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．答案 2x ＋7y －5＝0解析 方法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎨⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C(1，0)． ⎩⎨⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D＝23，∴D(53，23)．则C ，D 的中点M 为(43，13)．又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43， 即2x ＋7y －5＝0为所求方程．方法二：∵与l 1，l 2平行且与它们的距离相等的直线方程为x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0.由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0，得M(43，13)．(以下同方法一)方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0， 设所求方程为(x －y －1)＋λ(x＋2y －2)＝0，∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x ＋7y －5＝0.方法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 ⎩⎨⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0⇒(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0. 又A ，B 的中点在直线x －y －1＝0上， ∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同方法一)第3课时 圆的方程及直线与圆的位置关系1．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )A ．(－1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，0)D ．(0，－1)答案 D解析r＝12k2＋4－4k2＝124－3k2，当k＝0时，r最大．2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( )A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4答案 A解析由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.3．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y 轴相切于原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a，0))，且半径r＝|a|.∴当E＝F＝0且D<0时，圆心为(－D2，0)，半径为|D2|，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选A.4．直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．无法确定答案 A解析方法一：圆x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A(0，2)，而02＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．故选A.方法二：求圆心到直线的距离，从而判定．5．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34答案 D解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)即kx－y－2k－3＝0，又因为反射光线与圆相切，所以|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1⇒12k2＋25k＋12＝0⇒k＝－43，或k＝－34，故选D项．6．已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A．x2＋(y±33)2＝43B．x2＋(y±33)2＝13C．(x±33)2＋y2＝43D．(x±33)2＋y2＝13答案 C解析方法一：(排除法)由圆心在x轴上，则排除A，B，再由圆过(0，1)点，故圆的半径大于1，排除D，选C.方法二：(待定系数法)设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，圆C与y轴交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝12∠ACB＝12×120°＝60°，则tan60°＝|OA||OC|＝1|OC|，所以a＝|OC|＝33，即圆心坐标为(±33，0)，r2＝|AC|2＝12＋(33)2＝43.所以圆的方程为(x±33)2＋y2＝43，选C.7．过点P(－1，0)作圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的两条切线，设两切点分别为A ，B ，则过点A ，B ，C 的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －1)2＝2B ．x 2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x －1)2＋y 2＝1答案 A解析 P ，A ，B ，C 四点共圆，圆心为PC 的中点(0，1)，半径为12|PC|＝12（1＋1）2＋22＝2，则过点A ，B ，C 的圆的方程是x 2＋(y －1)2＝2. 8．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sinθ－2－sinθ|sin 2θ＋cos 2θ＝2.所以直线与圆相切．9． 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2. 故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.另解：易知P ，A ，C ，B 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0，∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.10． 已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P(x ，y)，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C(0，1)到l 的距离为|1＋m|2，切线l 1应满足|1＋m|2＝2，∴|1＋m|＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)．从而－m≤－1，∴m ≥1.11． 直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析 联立⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3. ∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0.12．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．3答案 C解析设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，∴|PM|最小值为22，|PQ|＝|PM|2－1＝（22）2－1＝7，选C.13．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________．答案(x＋2)2＋(y－32)2＝254解析对于直线3x－4y＋12＝0，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4.即以两点(0，3)，(－4，0)为端点的线段为直径，则r＝32＋422＝52，圆心为(－4 2，32)，即(－2，32)．∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－32)2＝254.14．从原点O向圆C：x2＋y2－6x＋274＝0作两条切线，切点分别为P，Q，则圆C上两切点P，Q间的劣弧长为________．答案π解析如图，圆C：(x－3)2＋y2＝9 4，所以圆心C(3，0)，半径r＝3 2 .在Rt△POC中，∠POC＝π6.则劣弧PQ所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.15．若直线l：4x－3y－12＝0与x，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝1解析由题意知，A(3，0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.∴△AOB的内切圆半径r＝3＋4－52＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.16．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.又圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝|3a－a| 12＋12.∴有d2＋(7)2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为|a－b|2.∴r2＝(|a－b|2)2＋(7)2.即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9. 故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F.令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F.④ 又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E 2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E)2＋56＝2(D 2＋E 2－4F)．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1. 故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.17． 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称．(1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程．答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1. 由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得 y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.第4课时 圆与圆的位置关系及圆的综合问题1．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( )A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．2． 直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 D解析画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin∠AOC＝d|OC|＝12，∴∠AOC＝π6，∴∠CAO＝π6，∴∠ACO＝π－π6－π6＝2π3.3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．4 2C．6 D．210答案 C解析由题意得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a －1＝0，解得a＝－1，连接AC，BC，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C.4．直线y＝－33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是( )A．(3，2) B．(3，3)C．(33，233) D．(1，233)答案 D解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m|1＋（33）2＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233.5．圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是( )A ．－3B ．3C ．2 2D ．8答案 A解析 由题知圆心为(2，－1)，半径为r ＝5－c.令x ＝0得y 1＋y 2＝－2，y 1y 2＝c ，∴|AB|＝|y 1－y 2|＝21－c.又|AB|＝2r ，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.6．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 把x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C 上存在点P ，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.8．已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是( )A．x2＋y2－x＝0 B．x2＋y2＋y－1＝0C．x2＋y2－y－2＝0 D．x2＋y2－x＋y＝0答案 B解析设P(x0，y)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x＝2x，y＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化简，得x2＋y2＋y－1＝0.9．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5 2 B．10 2C．15 2 D．20 2答案 B解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝10，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD的面积为S＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝10 2.10．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )A．6 B.11 2C．8 D.21 2答案 B解析如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为x4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.11． 若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 D解析 依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P(0，1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C(1，0)，半径为r ＝2.则易知定点P(0，1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l 时，此时直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.12．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx －ay＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b|b 2＋a 2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2，选择A.13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.14． 设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.15．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0，x ≤3，表示的平面区域内作圆M ，则最大圆M 的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 不等式组构成的区域是三角形及其内部，要作最大圆其实就是三角形的内切圆，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，x ＋3y ＋3＝0，得交点(－3，0)， 由⎩⎨⎧x －3y ＋3＝0，x ＝3，得交点(3，23)，由⎩⎨⎧x ＋3y ＋3＝0，x ＝3，得交点(3，－23)，可知三角形是等边三角形，所以圆心坐标为(1，0)，半径为(1，0)到直线x ＝3的距离，即半径为2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 答案 (1)y 2－x 2＝1(2)x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3 解析 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎨⎧|x 0－y 0|＝1，y 02－x 02＝1.由⎩⎨⎧x 0－y 0＝1，y 02－x 02＝1，得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎨⎧x 0－y 0＝－1，y 02－x 02＝1，得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.17． 已知圆C 经过(2，4)，(1，3)，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点．(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．答案 (1)(x －2)2＋(y －3)2＝1 (2)①AM →·AN →为定值，且定值为7 ②y＝x＋1解析 (1)设圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则依题意，得⎩⎨⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值．过点A(0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT|2＝7， ∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT|2＝7，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1，又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y＝x ＋1.第5课时 椭圆（一）1． 已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m>0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9答案 B解析 由4＝25－m 2(m>0)⇒m ＝3，故选B.2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4答案 A解析 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 3． 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由题意知2a ＝6，2c ＝13×6，所以a ＝3，c ＝1，则b ＝32－12＝22，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.4． 若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34 B.43 C.32或233D.34或43 答案 D解析将椭圆方程标准化为x21m＋y21n＝1，∵e2＝1－b2a2，∴b2a2＝1－e2＝34，①若a2＝1m，b2＝1n，则mn＝34；②若a2＝1n，b2＝1m，则mn＝43，故选D.5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为( )A.x216＋y212＝1 B.x216＋y28＝1C.x28＋y24＝1 D.x28＋y22＝1答案 B解析根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．∵e＝22，∴ca＝22.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.6．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24＋x23＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A．5 B．4C．3 D．2答案 A解析∵椭圆的方程为y24＋x23＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15答案 B解析由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b.又c2＝a2－b2，消去b整理，得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝3 5或e＝－1(舍去)．8．如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )A.x225＋y25＝1 B.x236＋y216＝1C.x236＋y210＝1 D.x245＋y225＝1答案 B解析设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．由F(－25，0)，得c＝2 5.由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.在Rt△PFF1中，由勾股定理，得|PF1|＝|F1F|2－|PF|2＝（45）2－42＝8.由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C的方程为x236＋y216＝1.9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22B．2－ 3C.5－2D.6－ 3 答案 D解析设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝2m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋2m，即m＝(4－22)a，则|AF2|＝2a－m＝(22－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2，即有c2＝(9－62)a2，即c＝(6－3)a，即e＝ca＝6－3，故选D.10．椭圆x25＋y24＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析 设右焦点为F′，由椭圆的定义得，△FMN 的周长C ＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2a －|F′M|)＋(2a －|F′N|)＝4a ＋|MN|－|F′M|－|F′N|≤4a，当MN 过点F′时取等号，即当直线x ＝m 过右焦点F′时，△FMN 的周长最大． 由椭圆的定义可得c ＝5－4＝1.把x ＝1代入椭圆标准方程可得15＋y 24＝1，解得y ＝±455.所以△FMN 的面积S ＝12×2×2×455＝855.故选C.11． 焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23答案 C解析 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c)·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.12． 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )A.22B.23C.59D.53 答案 D解析设线段PF1的中点为M，另一个焦点为F2，由题意知，|OM|＝b，又OM是△F2PF1的中位线，∴|OM|＝12|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由椭圆的定义知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b.又|MF1|＝12|PF1|＝12(2a－2b)＝a－b，又|OF1|＝c，在直角三角形OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，由此可求得离心率e＝ca＝53，故选D.13．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为( )A.3－1 B．2－ 3C.22D.32答案 A解析由题意知∠F1MF2＝π2，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，则c2＋(2a－c)2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝3－1.14．若点O和点F分别为椭圆x22＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________．答案 2解析由题意可知，O(0，0)，F(1，0)，设P(2cosα，sinα)，则|OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(2cosα－1)2＋sin2α＝2cos2α－22cosα＋3＝2(cosα－22)2＋2，所以当cosα＝22时，|OP|2＋|PF|2取得最小值2. 15． 椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．答案 (－3，0)或(3，0)解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3，0)或(3，0)．16 一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．答案 4 3解析 ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.17.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y 22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c.所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2. 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.18． 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b. 答案 (1)12(2)a ＝7，b ＝27解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac.将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点．故b 2a＝4，即b 2＝4a.①由|MN|＝5|F 1N|，得|DF 1|＝2|F 1N|. 设N(x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎨⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝27.第6课时 椭圆（二）1．已知对任意k∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，5)C ．[1，5)∪(5，＋∞)D ．[1，5)思路 该题有两种解题思路，一是根据直线和圆锥曲线位置关系的讨论方法，由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组必有解，通过消元，进一步转化为方程恒有解的问题，利用判别式Δ≥0求解参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过的定点，由直线和椭圆恒有公共点可得，定点在椭圆上或在椭圆内，这样便可得到关于参数m 的不等式，解之即可．答案 C解析 方法一：由椭圆的方程，可知m>0，且m≠5. 将直线与椭圆的方程联立方程组，得⎩⎨⎧y －kx －1＝0，①x 25＋y 2m＝1，②由①，得y ＝kx ＋1. 代入②，得x 25＋（kx ＋1）2m＝1.整理，得(5k 2＋m)x 2＋10kx ＋5(1－m)＝0.。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.8曲线与方程课件理新人教A版
解：设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵P→M⊥P→F，P→M＝(x0，－y0)，P→F＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0， ∴x0＋y20＝0. 由M→N＝2M→P，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴xy－ ＝x20y＝ 0，－2x0，
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于－13.求动点 P 的轨迹方程．
[解] 因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，所以点 B 的 坐标为(1，－1)．
设点 P 的坐标为(x，y)， 由题意得yx－ ＋11·yx＋ －11＝－13， 化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)． 故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲__线_上 ___的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某 种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．
2．求曲线方程的基本步骤
[典题 1] (1)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.
(1)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其 最大面积；
(2)求直线 AA1 与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程．
[解] (1)设 A(x0，y0)，则 S 矩形 ABCD＝4|x0y0|， 由x920＋y20＝1 得 y02＝1－x920， 从而 x02y20＝x021－x920＝－19x20－922＋94.
即xy00＝ ＝－ 12y， x，
∴－x＋y42＝0，即 y2＝4x.
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.8 曲线与方程 理-人教版高三全册数学试题
第九章解析几何 9.8 曲线与方程理1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( ×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)(4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2017·某某调研)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线 答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．3．(2016·某某模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0) C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0) D ．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0) 答案 C解析 由角的平分线性质定理得|PA |＝2|PB |， 设P (x ，y )，则x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)，故选C.4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________________．答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析 设MN 的中点为P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2a 2＋2y2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b2＝1(a >b >0)． 5．(2016·某某模拟)设集合A ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝45}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y－4)2＝165}，C ＝{(x ，y )|2|x －3|＋|y －4|＝λ}．若(A ∪B )∩C ≠∅，则实数λ的取值X 围是________． 答案 [255，4]解析 由题意可知，集合A 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝45上的点的集合，集合B 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝165上的点的集合，集合C 表示曲线2|x －3|＋|y －4|＝λ上的点的集合，这三个集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A 、B 表示圆，集合C 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值X 围是[255，4]．题型一 定义法求轨迹方程例1 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)；由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4＝|O 1O 2|.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a2＝74. ∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)依题意得，c ＝5，e ＝c a ＝53， 因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y24＝1，得x 29＋[k x －x 0＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0，Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在， 则易得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·某某模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以点A 的坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上， 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－1－222p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点，知x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ，MB 的方程分别为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0， 所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝gx ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上， ∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．22．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (12分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规X 解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[3分] (2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点， 所以x 24＋y 203＝1，解得y 20＝3－34x 2.由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[6分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[8分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[10分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[12分]1．(2017·某某质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件|PM 1|＋|PM 2|＝a ＋9a(其中a 是正常数)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在 答案 C解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a≥29＝6.当|PM 1|＋|PM 2|＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当a ＋9a>6时，点P 的轨迹是椭圆，故选C.2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y 答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意； C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．3．(2016·某某模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0 答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.4．(2016·某某模拟)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根， ∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时， 有4－m 2＝12，∴m ＝3； 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时， 有m －4m＝12，∴m ＝163； 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8 D ．y ＝2x ＋4答案 B解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8．(2017·某某月考)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________．答案x 225＋y 29＝1(x ≠±5) 解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10>8＝|AB |，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有－x22a 2＋－y22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案x 24＋y 23＝1(y ≠0) 解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4>2＝|AB |，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点， 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．11．已知实数m >1，定点A (－m,0)，B (m,0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率之积为－1m2.(1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)若m ＝2，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点？ 解 (1)设S (x ，y )，则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0x －m. 由题意，得y 2x 2－m2＝－1m2，即x 2m2＋y 2＝1(x ≠±m )． ∵m >1，∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.(2)m ＝2，则曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得9x 2＋8tx ＋2t 2－2＝0.令Δ＝64t 2－36×2(t 2－1)＝0，得t ＝±3. ∵t >0，∴t ＝3.此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点．12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过左焦点且倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为423.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M (1，0)作l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．解 (1)因为椭圆E 的离心率为22， 所以a 2－b 2a ＝22.解得a 2＝2b 2，故椭圆E 的方程可设为x 22b 2＋y 2b2＝1， 则椭圆E 的左焦点坐标为(－b,0)，过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l ′：y ＝x ＋b . 设直线l ′与椭圆E 的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋b消去y ，得3x 2＋4bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4b 3.因为|AB |＝1＋12|x 1－x 2| ＝42b 3＝423， 解得b ＝1.故椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 和椭圆E 有且只有一个交点， 所以Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0. 化简并整理，得m 2＝2k 2＋1. 因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为y ＝－1k(x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x －1，y ＝kx ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－km1＋k 2，y ＝k ＋m1＋k 2，所以x 2＋y 2＝1－km2＋k ＋m21＋k22＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋11＋k22＝k 2＋1m 2＋11＋k22＝m 2＋11＋k2， 把m 2＝2k 2＋1代入上式得x 2＋y 2＝2.(*) ②当切线l 的斜率为0时，此时Q (1,1)或Q (1，－1)，符合(*)式．③当切线l 的斜率不存在时，此时Q (2，0)或Q (－2，0)符合(*)式． 综上所述，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.*13.(2016·某某某某中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1＋S 2S的取值X 围． 解 (1)连接QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP | ＝4>|EF |＝23，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点， 长轴长为4的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝a 2－b 2＝3，则b ＝1，∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得，(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2. ∵k 1，k ，k 2构成等比数列， ∴k 2＝k 1k 2＝kx 1＋mkx 2＋mx 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12.此时Δ＝16(2－m 2)>0， 解得m ∈(－2，2)．又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0， 从而m ∈(－2，0)∪(0，2)． 故S ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12x 1＋x 22－4x 1x 2·|m |＝2－m 2|m |. 又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1， 则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22)＝π4(34x 21＋34x 22＋2) ＝3π16[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值． ∴S 1＋S 2S ＝5π4×12－m2m 2≥5π4，当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上，S 1＋S 2S ∈[5π4，＋∞)．。
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何曲线与方程教案理解析版
基础知识整合１．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（１）曲线上点的坐标都是错误!这个方程的解；（２）以这个方程的解为坐标的点都在错误!曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．２．曲线的交点设曲线C１的方程为F１（x，y）＝0，曲线C２的方程为F２（x，y）＝0，则C１，C２的交点坐标即为方程组错误!的错误!实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．３．求动点的轨迹方程的一般步骤（１）建系——建立适当的坐标系；（２）设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；（３）列式——列出动点P所满足的关系式；（４）代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；（５）证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．１．“曲线C是方程f（x，y）＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”的充分不必要条件．２．求轨迹问题常用的数学思想（１）函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件（性质）表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．（２）数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．（３）等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．１．（２0１9·云南质量检测）已知M（—２,0），N（２,0），则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为（）Ａ．x２＋y２＝２Ｂ．x２＋y２＝４Ｃ．x２＋y２＝２（x≠±错误!）Ｄ．x２＋y２＝４（x≠±２）答案D解析MN的中点为原点O，易知|OP|＝错误!|MN|＝２，∴P的轨迹是以原点O为圆心，２为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即顶点P的轨迹方程为x２＋y２＝４（x≠±２），故选Ｄ．２．（２0１9·金华模拟）已知点P是直线２x—y＋３＝0上的一个动点，定点M（—１,２），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是（）Ａ．２x＋y＋１＝0 Ｂ．２x—y—５＝0Ｃ．２x—y—１＝0 Ｄ．２x—y＋５＝0答案D解析设Q（x，y），则P为（—２—x,４—y），代入２x—y＋３＝0，得Q点的轨迹方程为２x—y＋５＝0．３．已知平面内有一条线段AB，其长度为４，动点P满足|PA|—|PB|＝３，O为AB的中点，则|OP|的最小值为（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．３答案B解析以AB中点为原点，中垂线为y轴建立直角坐标系，P点的轨迹为双曲线c＝２，a＝１．５，∴|OP|min ＝a＝１．５．４．已知圆的方程为x２＋y２＝４，若抛物线过点A（—１,0），B（１,0）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．答案错误!＋错误!＝１（y≠0）解析设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA１，BB１，OO１，则|AA１|＋|BB１|＝２|OO １|＝４，由抛物线定义得|AA１|＋|BB１|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝４，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为４的椭圆（去掉长轴两端点），所以抛物线的焦点轨迹方程为错误!＋错误!＝１（y≠0）．５．（２0１9·人大附中模拟）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），M（x，—４），以线段PM为直径的圆经过原点O.则动点P的轨迹方程为________．答案x２＝４y解析由题意可得OP⊥OM，所以错误!·错误!＝0，所以（x，y）·（x，—４）＝0，即x２—４y＝0，所以动点P的轨迹方程为x２＝４y.6．（２0１9·武汉模拟）如图，设P是圆x２＋y２＝２５上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD 上一点，且|MD|＝错误!|PD|.当P在圆上运动时，点M的轨迹C的方程为________．答案错误!＋错误!＝１解析设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（xP，yP），由已知得错误!因为P在圆上，所以x２＋错误!２＝２５，即轨迹C的方程为错误!＋错误!＝１．核心考向突破考向一定义法求轨迹例１（２0１9·大庆模拟）已知圆C１：（x＋３）２＋y２＝１和圆C２：（x—３）２＋y２＝9，动圆M 同时与圆C１及圆C２相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解如图所示，设动圆M与圆C１及圆C２分别外切于点A和点B，则有|MC１|—|AC１|＝|MA|，|MC ２|—|BC２|＝|MB|.又|MA|＝|MB|，所以|MC２|—|MC１|＝|BC２|—|AC１|＝３—１＝２，即动点M到两定点C２，C１的距离的差是常数２，且２<|C１C２|＝6，|MC２|>|MC１|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C２，C１为焦点的双曲线的左支，则２a＝２，所以a＝１．又c＝３，则b２＝c２—a２＝8．设动圆圆心M的坐标为（x，y），则动圆圆心M的轨迹方程为x２—错误!＝１（x≤—１）．触类旁通定义法求轨迹方程及其注意点（１）在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．２利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.即时训练１．（２0１9·福建模拟）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0,１）的距离比它到x轴的距离大１，记点P的轨迹为曲线Ｃ．（１）求点P的轨迹方程；（２）设圆M过点A（0,２），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？解（１）依题意知，动点P到定点F（0,１）的距离等于P到直线y＝—１的距离，故曲线C是以原点为顶点，F（0,１）为焦点的抛物线．∵错误!＝１，∴p＝２，∴曲线C的方程是x２＝４y.（２）设圆的圆心为M（a，b），∵圆M过点A（0,２），∴圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝a２＋（b—２）２．令y＝0得x２—２ax＋４b—４＝0．设圆M与x轴的两交点分别为E（x１，0），G（x ２,0），不妨设x１>x２，由求根公式得x１＝错误!，x２＝错误!，∴x１—x２＝错误!.又∵点M（a，b）在抛物线x２＝４y上，∴a２＝４b，∴x１—x２＝错误!＝４，即|EG|＝４，∴当M运动时，弦长|EG|为定值４．考向二直接法求轨迹方程角度１利用动点满足的关系式求轨迹例２在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，—１），B点在直线y＝—３上，M点满足错误!∥错误!，错误!·错误!＝错误!·错误!，M点的轨迹为曲线Ｃ．（１）求曲线C的方程；（２）P为曲线C上的动点，l为曲线C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．解（１）设M（x，y）．由已知得B（x，—３），又A（0，—１），所以错误!＝（—x，—１—y），错误!＝（0，—３—y），错误!＝（x，—２）．再由题意可知（错误!＋错误!）·错误!＝0，即（—x，—４—２y）·（x，—２）＝0，所以曲线C的方程为y＝错误!x２—２．（２）设P（x0，y0）为曲线C：y＝错误!x２—２上一点，因为y′＝错误!x，所以l的斜率为错误!x0，因此直线l的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），即x0x—２y＋２y0—x错误!＝0，所以O点到l的距离d＝错误!.又y0＝错误!x错误!—２，所以d＝错误!＝错误!错误!≥２，当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为２．角度２无明确等量关系求轨迹方程例３已知动圆过定点A（４,0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（１）求动圆圆心的轨迹C的方程；（２）已知点B（—１,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的平分线，证明直线l过定点．解（１）如图，设动圆圆心为O１（x，y），由题意得|O１A|＝|O１M|，当O１不在y轴上时，过O１作O１H⊥MN交MN于点H，则点H是MN的中点，∴|O１M|＝错误!，又|O１A|＝错误!，∴错误!＝错误!，化简得y２＝8x（x≠0）．又当O１在y轴上时，O１与O重合，点O１的坐标为（0,0）也满足方程y２＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y２＝8x.（２）证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），P（x１，y１），Q（x２，y２），将y＝kx＋b代入y２＝8x中，得k２x２＋（２bk—8）x＋b２＝0．其中Δ＝—３２kb＋6４>0．由根与系数的关系，得x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!，２∵x轴是∠PBQ的平分线，所以错误!＝—错误!，即y１（x２＋１）＋y２（x１＋１）＝0，（kx１＋b）（x２＋１）＋（kx２＋b）（x１＋１）＝0，２kx１x２＋（b＋k）（x１＋x２）＋２b＝0，３将１２代入３，得２kb２＋（k＋b）（8—２bk）＋２k２b＝0，∴k＝—b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k（x—１），即直线l过定点（１,0）．触类旁通直接法求轨迹方程应注意的问题直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．即时训练２．已知|AB|＝２，动点P满足|PA|＝２|PB|，求动点P的轨迹方程．解如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（—１,0），B（１,0）．设P（x，y），因为|PA|＝２|PB|，所以错误!＝２错误!，整理得x２＋y２—错误!x＋１＝0，即错误!２＋y２＝错误!.所以动点P的轨迹方程为错误!２＋y２＝错误!.３．如图，过点P（２,４）作两条互相垂直的直线l１，l２，若l１交x轴非负半轴于A点，l２交y轴非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．解设点M坐标为（x，y）．因为M（x，y）为线段AB的中点，所以点A，B的坐标分别为A（２x,0），B（0,２y）．当x≠１时，因为l１⊥l２，且l１，l２过点P（２,４），所以kPA·kPB＝—１，即错误!·错误!＝—１（x≠１），化简得x＋２y—５＝0（x≠１）．当x＝１时，A，B分别为（２,0），（0,４），所以线段AB的中点为（１,２），满足方程x＋２y—５＝0（x≥0，y≥0）．综上得M的轨迹方程为x＋２y—５＝0（x≥0，y≥0）．考向三代入法求轨迹方程例４（２0１7·全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：错误!＋y２＝１上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.（１）求点P的轨迹方程；（２）设点Q在直线x＝—３上，且错误!·错误!＝１．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解（１）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0,0），错误!＝（x—x0，y），错误!＝（0，y0）．由错误!＝错误!错误!得x0＝x，y0＝错误!y.因为点M（x0，y0）在C上，所以错误!＋错误!＝１．因此点P的轨迹方程为x２＋y２＝２．（２）证明：由题意知F（—１,0）．设Q（—３，t），P（m，n），则错误!＝（—３，t），错误!＝（—１—m，—n），错误!·错误!＝３＋３m—tn，错误!＝（m，n），错误!＝（—３—m，t—n）．由错误!·错误!＝１得—３m—m２＋tn—n２＝１，又由（１）知m２＋n２＝２，故３＋３m—tn＝0．所以错误!·错误!＝0，即错误!⊥错误!.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.触类旁通代入法求轨迹方程的四个步骤（１）设出所求动点坐标P（x，y）．错误!错误!错误!即时训练４．（２0１9·安徽合肥调研检测）已知M为椭圆C：错误!＋错误!＝１上的动点，过点M作x 轴的垂线，垂足为D，点P满足错误!＝错误!错误!.（１）求动点P的轨迹E的方程；（２）若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求错误!的取值范围．解（１）设P（x，y），M（m，n），依题意知D（m,0），且y≠0．由错误!＝错误!错误!，得（m—x，—y）＝错误!（0，—n），则有错误!⇒错误!又M（m，n）为椭圆C：错误!＋错误!＝１上的点，∴错误!＋错误!＝１，即x２＋y２＝２５，故动点P的轨迹E的方程为x２＋y２＝２５（y≠0）．（２）依题意知A（—５,0），B（５,0），F（—４,0），设Q（x0，y0），∵线段AB为圆E的直径，∴AP⊥BP，设直线PB的斜率为kPB，则kPA＝—错误!，错误!＝错误!＝—kQFkPB＝—kQFkQB＝—错误!·错误!＝—错误!＝—错误!＝错误!＝错误!＝错误!错误!，∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，∴—５<x0<５且x0≠—４，又y＝错误!在（—５，—４）和（—４,５）上都是减函数，∴错误!错误!∈（—∞，0）∪错误!，故错误!的取值范围是（—∞，0）∪错误!.考向四参数法求轨迹方程例５（２0１9·湖北武汉模拟）在平面直角坐标系xOy中取两个定点A１（—错误!，0），A２（错误!，0），再取两个动点N１（0，m），N２（0，n），且mn＝２．（１）求直线A１N１与A２N２的交点M的轨迹C的方程；（２）过R（３,0）的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F 为轨迹C的右焦点，若错误!＝λ错误!（λ>１），求证：错误!＝λ错误!.解（１）依题意知，直线A１N１的方程为y＝错误!（x＋错误!），１直线A２N２的方程为y＝—错误!（x—错误!），２设M（x，y）是直线A１N１与A２N２的交点，１×２得y２＝—错误!（x２—6），又mn＝２，整理得错误!＋错误!＝１．故点M的轨迹C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）证明：设过点R的直线l：x＝ty＋３，P（x１，y１），Q（x２，y２），则N（x１，—y１），由错误!消去x，得（t２＋３）y２＋6ty＋３＝0，（*）所以y１＋y２＝—错误!，y１y２＝错误!.由错误!＝λ错误!，得（x１—３，y１）＝λ（x２—３，y２），故x１—３＝λ（x２—３），y１＝λy２，由（１）得F（２,0），要证错误!＝λ错误!，即证（２—x１，y１）＝λ（x２—２，y２），只需证２—x１＝λ（x２—２），y１＝λy２，只需错误!＝—错误!，即证２x１x２—５（x１＋x２）＋１２＝0，又x１x２＝（ty１＋３）（ty２＋３）＝t２y１y２＋３t（y１＋y２）＋9，x１＋x２＝ty１＋３＋ty２＋３＝t（y１＋y２）＋6，所以２t２y１y２＋6t（y１＋y２）＋１8—５t（y１＋y２）—３0＋１２＝0，即２t２y１y２＋t（y１＋y２）＝0，而２t２y１y２＋t（y１＋y２）＝２t２·错误!—t·错误!＝0成立，即证．触类旁通参数法求轨迹方程的步骤（１）选取参数k，用k表示动点M的坐标．错误!错误!错误!即时训练５．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，上、下顶点分别是B１，B２，C是线段B１F２的中点，若错误!·错误!＝２，且错误!⊥错误!.（１）若点Q是椭圆上任意一点，A（9,6），求|QA|—|QF１|的最小值；（２）若点M，N是椭圆上的两个动点，M，N两点处的切线相交于点P，当错误!·错误!＝0时，求点P 的轨迹方程．解（１）由题意得F１（—c,0），F２（c,0），B１（0，b），则C错误!，由错误!得错误!即错误!解得错误!从而a２＝４，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．由椭圆的定义得|QF１|＋|QF２|＝４，所以|QA|—|QF１|＝|QA|—（４—|QF２|）＝|QA|＋|QF２|—４，而|QA|＋|QF２|≥|AF２|＝错误!＝１0，所以|QA|—|QF１|的最小值为6．（２）设P（x0，y0），１当PM⊥x轴，或PN⊥x轴时，可知P（２，错误!）或P（２，—错误!）或P（—２，错误!）或P（—２，—错误!）．２当PM与x轴不垂直且不平行时，x0≠±２，设直线PM的斜率为k，则k≠0，PN的斜率为—错误!，直线PM的方程为y—y0＝k（x—x0），由错误!得（３＋４k２）x２＋8k（y0—kx0）x＋４（y0—kx0）２—１２＝0．因为直线PM与椭圆相切，所以Δ＝0，即４k２（y0—kx0）２—（３＋４k２）[（y0—kx0）２—３]＝0，即（x错误!—４）k２—２x0y0k＋y错误!—３＝0，所以k是方程（x错误!—４）k２—２x0y0k＋y错误!—３＝0的一个根，同理—错误!是方程（x错误!—４）k２—２x0y0k＋y错误!—３＝0的另一个根，所以k·错误!＝错误!，即x错误!＋y错误!＝7，其中x0≠±２，所以点P的轨迹方程为x２＋y２＝7（x≠±２）．P（２，错误!）或P（２，—错误!）或P（—２，错误!）或P（—２，—错误!）满足上式，综上，点P 的轨迹方程为x２＋y２＝7．。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何9.9曲线与方程教学案 理 新人教A版
9.9 曲线与方程考纲要求了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的____；(2)以这个方程的解为坐标的点都是________________________________________．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．1．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )．A ．抛物线的一部分B ．双曲线的一部分C ．圆D ．半圆2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )． A ．两条直线 B ．两条射线 C ．两条线段 D ．一条直线和一条射线4．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足AP →·BP →＝x 2－6，则P 点的轨迹方程是________．5．过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线PN ，N 为垂足，则线段PN 中点M 的轨迹方程为__________．一、直接法求轨迹方程【例1－1】 已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆O 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【例1－2】 已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线l ：x ＋2y －12＝0的距离的最小值． 方法提炼建立适当的坐标系，设出曲线上任意一点的坐标，找出动点满足的等量关系，化简即得所求曲线方程．请做演练巩固提升1二、用定义法求轨迹方程【例2】 已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，点B 是圆F ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程．方法提炼若由题意能判断出动点的运动轨迹能满足某种曲线的定义，则只需设出标准方程并确定出方程中的基本量即可，这也是求轨迹方程的首选方法．请做演练巩固提升2三、代入法求点的轨迹方程【例3】 已知△ABC 的两个顶点为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．方法提炼若A 点的运动与B 点的运动相关，且B 点的运动有规律，则找出两点坐标间的关系，用A 点坐标表示出B 点坐标，代入B 点所满足的方程，整理即得A 点的轨迹方程．请做演练巩固提升4曲线轨迹方程的求解【典例】 (14分)(2012湖北高考)设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．规范解答：(1)如图1，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．(4分)因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；(6分) 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．(8分)(2)方法一：如图2,3，∀k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2.(10分)因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1m 2＋4k 2.于是PQ →＝(－2x 1，－2kx 1)，PH →＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2.而PQ ⊥PH 等价于PQ →·PH →＝42－m 2k 2x 21m 2＋4k 2＝0，(13分)即2－m 2＝0.又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .(14分)图1 图2(0＜m ＜1) 图3(m ＞1)方法二：如图2,3，∀x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0.③(10分)依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合． 故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0，于是由③式可得 y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 2.④(12分)又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 22.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 22＝－1.又m ＞0，得m ＝ 2.故存在m ＝2， 使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .(14分)答题指导：解决轨迹的问题时，要注意以下几点：(1)当动点(或动直线)的位置不确定时，要注意对它们所有可能的情形进行必要的分类讨论，以防以偏概全或遗漏一种或几种情况；(2)解决直线与曲线的交点问题，不仅仅要考虑方程解的个数，还要注意数形结合．1．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是________．2．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 2＝4的两焦点，Q 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1QF 2平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹方程是__________．3．如图，已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且|AB |＝2，点M 分有向线段AB →的比为λ，求点M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．4．已知点M 是抛物线y 2＝x 上一动点，以OM 为一边(O 为原点)作正方形MNPO ，求动点P 的轨迹方程．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)解 (2)曲线上的点 基础自测1．D 解析：由y ＝9－x 2得x 2＋y 2＝9，因为x 2＋y 2＝9表示一个圆，所以y ＝9－x 2表示一个半圆．2．A 解析：以MN 的中点为原点建立直角坐标系，并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )，则PM uuu r ·PN uuu r ＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9，故P 点的轨迹是圆．3．D 解析：由(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0可得2x ＋3y －1＝0或x －3＝1，即2x ＋3y －1＝0或x ＝4(x ≥3)．4．y 2＝x 解析：AP uu u r ＝(x ＋2，y )，BP uu r ＝(x －3，y )，AP uu u r ·BP uu r＝(x ＋2)(x －3)＋y 2＝x 2－6，整理得y 2＝x .5.x 24＋y 2＝1 解析：设点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 02.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 02＋y 02＝4.∴x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.考点探究突破【例1－1】 解：如图所示，设直线MN 切圆于N 点，则动点M 组成的集合是：P ＝{M ||MN |＝λ|MQ |}(λ＞0)．因为圆的半径|ON |＝1，所以|MN |2＝|MO |2－|ON |2＝|MO |2－1. 设点M 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理，得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0，当λ＝1时，方程化为x ＝54，它表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2，它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0，半径为1＋3λ2|λ2－1|的圆． 【例1－2】 解：(1)设动点P (x ，y )，则MP uuu r＝(x －4，y )，MN uuu r ＝(－3,0)，PN uuu r ＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得：3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.∴点P 的轨迹C 的方程是：x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆C 的与直线l 平行的切线l ′：x ＋2y ＋D ＝0，将其代入椭圆方程消去x ，化简得16y 2＋12Dy ＋3(D 2－4)＝0.Δ＝144D 2－192(D 2－4)＝0， 解得D ＝±4.l ′和l 的距离最小值为|12－4|5＝855.∴点Q 到直线l 的距离的最小值为855.【例2】 解：如图，连接PA ，依题意可知|PA |＝|PB |.∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2＞1.∴P 点轨迹为以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，长半轴长为1的椭圆． 其方程可设为x 21＋y 2b2＝1.又∵c ＝12，a ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝34.故P 点的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.【例3】 解：设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－23，y ＝y 0－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2.∵点C 在y ＝3x 2－1上，∴y 0＝3x 02－1.∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，整理得y ＝9x 2＋12x ＋3.∴△ABC 重心的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3. 演练巩固提升1．x ＋2y －4＝0 解析：OP uu u r ＝(x ，y )，OA uu r ＝(1,2)，则OP uu u r ·OA uu r＝x ＋2y ＝4.∴点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.2．x 2＋y 2＝4 解析：如图，延长F 1P 交QF 2于F ′1点，连接PO .则在△F 1F 2F 1′中，|PO |＝12|F 2F 1′|＝12(|QF 1′|－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝2， 即|PO |＝2，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.3．解：设M 点坐标为(x ，y )，A ，B 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )，则a 2＋b 2＝4，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a1＋λ，y ＝λb1＋λ，当λ≠0时，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝(1＋λ)x ，b ＝1＋λλy ，∴(1＋λ)2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋λλ2y 2＝4.(1)若λ＝1，则x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心半径为1的圆；(2)若λ＞1或λ＜－1，则x 24(1＋λ)2＋y 24λ2(1＋λ)2＝1表示中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆；(3)若0＜λ＜1或－1＜λ＜0，则x 24(1＋λ)2＋y 24λ2(1＋λ)2＝1表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；(4)若λ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝0.又－2≤a ≤2，即y ＝0，－2≤x ≤2，则M 点的轨迹表示线段．4．解：设动点P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵在正方形MNPO 中，|OM |＝|OP |，OP ⊥OM ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x 02＋y 02＝x 2＋y 2，y x ·y 0x 0＝－1.①②又点M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝x 上， ∴得y 02＝x 0.③由②得y 0＝－x 0x y ，代入③得x 0＝x 02x 2y2，∴x 0＝y 2x2.④将③代入①，得x 02＋x 0＝x 2＋y 2，⑤将④代入⑤，得y 4x 4＋y 2x 2＝x 2＋y 2，化简，得y 2＝x 4，∴x 2＝±y (y ≠0)为所求轨迹方程．。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线真题演练集训 理 新人教A版(2021年最新整理)
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理新人教A版1．［2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( ）A．（－1，3) B．（－1,错误!)C．(0,3）D．(0,错误!）答案：A解析:由题意，得(m2＋n)（3m2－n)>0，解得－m2〈n〈3m2,又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1,所以－1〈n<3。
2．［2016·天津卷］已知双曲线错误!－错误!＝1(b＞0）,以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B,C,D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A。
错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝1答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，圆的方程为x2＋y2＝4,不妨设交点A在第一象限，由y＝错误!x，x2＋y2＝4得x A＝错误!,y A ＝错误!,故四边形ABCD的面积为4x A y A＝错误!＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为错误!－错误!＝1，故选D。
3．[2016·新课标全国卷Ⅱ］已知F1,F2是双曲线E：错误!－错误!＝1的左，右焦点,点M 在E上，MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1＝错误!,则E的离心率为( ）A。
高考数学一轮复习 第九章解析几何9.9曲线与方程练习 理 新人教A版
课时作业51 曲线与方程一、选择题1．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( )． A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆2．“f (x 0，y 0)＝0”是“点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图所示，已知两点A (－2,0)，B (1,0)，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程是( )．A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0) B．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0)C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0) D．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0)4．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)，且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( )．A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆5．已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP →，则点P 的轨迹方程为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1 D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝16．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )．A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1 C.x 29－y 24＝1D.y 29－x 24＝1 7．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是( )．A.16x 2a 2－16y 215a 2＝1(y ≠0)B.16y 2a 2－16x23a 2＝1(x ≠0) C.16x 2a 2－16y 215a 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－a 4 D.16x 2a 2－16y 23a 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >a 4 二、填空题8．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为________．9．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．10．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是__________．三、解答题11．如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．12．(2012四川高考)如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (2,0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB .设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝－2x ＋m 与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：∵θ是任意实数， ∴－1≤cos θ≤1.当－1≤cos θ＜0时，方程x 2＋y 2cos θ＝4为双曲线； 当cos θ＝0时，x ＝±2为两条直线；当0＜cos θ＜1时，方程x 2＋y 2cos θ＝4为椭圆；当cos θ＝1时，方程x 2＋y 2＝4为圆． 2．C3．C 解析：由∠APO ＝∠BPO ，设P 点坐标为(x ，y )， 则|PA |∶|PB |＝|AO |∶|BO |＝2，即|PA |＝2|PB |，∴（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2，整理得(x －2)2＋y 2＝4，且y ≠0.4．B 解析：设圆P 的半径为r ，则点P 到y 轴的距离为32r .设P (x ，y )，则|x |（x －a ）2＋y2＝32，x 2（x －a ）2＋y 2＝34， 整理，得（x ＋3a ）212a 2－y 24a2＝1， ∴点P 的轨迹为双曲线．5．A 解析：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则有RA →＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x －1，y )． 又RA →＝2AP →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2（x －1），－y 0＝2y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y . 又R (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(－2x ＋3)2＋(－2y )2＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1.6．C 解析：设交点为P (x ，y )，A 1(－3，0)，A 2(3，0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)，∵A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.①∵A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.②由①②解得x 0＝9x ，y 0＝3yx，代入x 209＋y 204＝1，化简，得x 29－y 24＝1.7．D 解析：∵sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得到|AB |－|AC |＝12|BC |＝12a (定值)．∴A 点轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线右支(不包括点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0)，其中实半轴长为a4，焦距为|BC |＝a .∴虚半轴长为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝34a .∴动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 23a 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >a 4. 二、填空题8．x ＋y －1＝0 解析：当直线l 1，l 2的斜率存在时，设l 1斜率为k ，则l 2斜率为－1k.l 1的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx －k ＋1，l 2的方程为y －1＝－1k(x －1)，即x ＋ky －k －1＝0.则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k ＋1k ， 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k －12k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，y ＝k ＋12k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k .消去k ，得x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0.当l 1或l 2的斜率不存在时，也满足上述方程． 综上，所求轨迹方程为x ＋y －1＝0.9．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) 解析：由圆的定义可知，点P 的轨迹是以原点为圆心、以2为半径的圆除去两个点，即所求轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．10．以O ，A 为焦点，OB 为实轴长的双曲线 解析：如图，连接AP ，由于P 是线段AB垂直平分线上一点，故有|PA |＝|PB |，因此||PA |－|PO ||＝||PB |－|PO ||＝|OB |＝R ＝定值，其中R 为⊙O 的半径． 又由于点A 在圆外，故||PA |－|PO ||＝|OB |＝R ＜|OA |，故动点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 为实轴长的双曲线． 三、解答题11．解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)， 则点N 的坐标为(2x －x 1，2y －y 1)． ∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2.①又∵直线PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.③又∵点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴x 21－y 21＝1.④③代入④，得动点P 的轨迹方程是 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.12．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0. 当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2∠MAB ，即－|y |x －2＝2|y |x ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫|y |x ＋12. 化简可得，3x 2－y 2－3＝0.而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，综上可知，轨迹C 的方程为3x 2－y 2－3＝0(x ＞1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0消去y ，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0.(*) 由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内．设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－－4m 2>1，f （1）＝12－4m ＋m 2＋3>0，Δ＝（－4m ）2－4（m 2＋3）>0.解得，m ＞1，且m ≠2.设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |有x R ＝2m ＋3（m 2－1），x Q＝2m －3（m 2－1）.所以|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3（m 2－1）2m －3（m 2－1）＝2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m22－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＝－1＋42－3⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 2.由m ＞1，且m ≠2，有1＜－1＋42－3⎝⎛⎭⎪⎫1－1m2＜7＋43，且－1＋42－3⎝⎛⎭⎪⎫1－1m2≠7. 所以|PR ||PQ |的取值范围是(1，7)∪(7，7＋43)．。
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专题研究1 曲线与方程1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0答案 B解析 可知AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x ，y)．由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，所以4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.故选B.2．方程x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )答案 D3．动圆M 经过双曲线x 2－y23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x答案 B解析 双曲线x 2－y23＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 经过F 且与直线x＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x.4．(2017·皖南八校联考)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 (直译法)如图，设P(x ，y)，圆心为M(1，0)．连接MA ，PM. 则MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1，所以|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2， 即|PM|2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.5．(2017·某某市毕业检测)设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都外切，则圆P 的圆心轨迹可能是( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④答案 A解析 当两定圆相离时，圆P 的圆心轨迹为①；当两定圆外切时，圆P 的圆心轨迹为②；当两定圆相交时，圆P 的圆心轨迹为③；当两定圆内切时，圆P 的圆心轨迹为⑤.6．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x248＝1(y≤－1)B ．y 2－x248＝1C ．y 2－x248＝－1D ．x 2－y248＝1答案 A解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴轨迹方程为y 2－x248＝1(y≤－1)．7．△ABC 的顶点为A(－5，0)、B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y216＝1 B.x 216－y29＝1 C.x 29－y216＝1(x>3) D.x 216－y29＝1(x>4) 答案 C解析 设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D(3，0)．由于AC 、BC 都为圆的切线． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6. 由双曲线定义知所求轨迹方程为x 29－y216＝1(x>3)．故选C.8．(2017·某某十校联考)在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别为A(－1，0)，B(1，0)，平面内两点G ，M 同时满足下列条件：①GA →＋GB →＋GC →＝0，②|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，③GM →∥AB →.则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 23＋y 2＝1(y≠0) B.x 23－y 2＝1(y≠0) C ．x 2＋y23＝1(y≠0)D ．x 2－y23＝1(y≠0)答案 C解析 根据题意，G 为△ABC 的重心，设C(x ，y)，则G(x 3，y3)，而M 为△ABC 的外心，∴M 在AB 的中垂线上，即y 轴上，由GM →∥AB →，得M(0，y 3)，根据|MA →|＝|MC →|，得1＋(y 3)2＝x 2＋(y －y 3)2，即x 2＋y 23＝1，又C 点不在x轴上，∴y ≠0，故选C.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，若M(a ，b)，则动点M 所形成的轨迹曲线的长度为( ) A ．π B.2π C.3π D ．2π答案 B解析 设P(x ，y)，则x 2＋y 2＝r 2，A(r ，r)，B(－r ，r)．由OP →＝aOA →＋bOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（a －b ）r ，y ＝（a ＋b ）r ，代入x 2＋y 2＝r 2，得(a －b)2＋(a ＋b)2＝1，即a 2＋b 2＝12，故动点M 所形成的轨迹曲线的长度为2π.10．已知抛物线y 2＝nx(n<0)与双曲线x 28－y2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________．答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n 4)2，n<0，即n 2＝16(m ＋8)(n<0)．11．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足：AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程为________________． 答案 x 2＋14y 2＝1解析 设A(a ，0)，B(0，b)，则a 2＋b 2＝9.又C(x ，y)，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y)＝2(－x ，b －y)．即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.12．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)． 得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4k k2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．13.如图所示，直角三角形ABC 的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． (1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 答案 (1)y ＝22x －2 2 (2)(x －1)2＋y 2＝9(3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)． 又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，∵圆N 过点P(－1，0)， ∴PN 是该圆的半径．又∵动圆N 与圆M 内切， ∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.14．已知动点P(x ，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．答案 (1)x 2－y2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ.整理，得x 2－y2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．15．已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的轨迹方程；(2)Q 为直线y ＝－1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D ，E ，求△QDE 的面积S 的最小值． 答案 (1)x 2＝4y(x≠±4)(2)4解析 (1)设M(x ，y)，则k AM ＝y －4x ＋4，k BM ＝y －4x －4.∵直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差为－2，∴y －4x ＋4－y －4x －4＝－2，∴x 2＝4y(x≠±4)． (2)设Q(m ，－1)．∵切线斜率存在且不为0，故可设一条切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋1＝k(x －m)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k （x －m ），x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4(km ＋1)＝0.由相切得Δ＝0，将k 2－km －1＝0代入，得x 2－4kx ＋4k 2＝0， 即x ＝2k ，从而得到切点的坐标为(2k ，k 2)． 在关于k 的方程k 2－km －1＝0中，Δ>0，∴方程k 2－km －1＝0有两个不相等的实数根，分别为k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝m ，k 1·k 2＝－1，故QD⊥QE，S ＝12|QD||QE|.记切点(2k ，k 2)到Q(m ，－1)的距离为d ，则d 2＝(2k －m)2＋(k 2＋1)2＝4(k 2－km)＋m 2＋k 2m 2＋4km ＋4， 故|QD|＝（4＋m 2）（k 12＋1）， |QE|＝（4＋m 2）（k 22＋1）， S ＝12(4＋m 2)1＋1－2k 1k 2＋（k 1＋k 2）2＝12(4＋m 2)4＋m 2≥4， 即当m ＝0，也就是Q(0，－1)时面积的最小值为4.16．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为423.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程． 答案 (1)x 22＋y 2＝1 (2)x 2＋y 2＝2解析 (1)因为椭圆E 的离心率为22，所以a 2－b 2a ＝22.解得a 2＝2b 2，故椭圆E 的方程可设为x 22b 2＋y 2b 2＝1，则椭圆E 的左焦点坐标为(－b ，0)，过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l ′：y ＝x ＋b. 设直线l ′与椭圆E 的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋b ，消去y ，得3x 2＋4bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4b 3.因为|AB|＝1＋12|x 1－x 2|＝42b 3＝423，解得b ＝1.∴a 2＝2，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当切线l 的斜率存在且不为0时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立直线l 和椭圆E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1.消去y 并整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 和椭圆E 有且仅有一个交点， 所以Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0. 化简并整理，得m 2＝2k 2＋1.因为直线MQ 与l 垂直，所以直线MQ 的方程为y ＝－1k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），y ＝kx ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－km1＋k 2，y ＝k ＋m 1＋k2，∴x 2＋y 2＝（1－km ）2＋（k ＋m ）2（1＋k 2）2＝k 2m 2＋k 2＋m 2＋1（1＋k 2）2＝（k 2＋1）（m 2＋1）（1＋k 2）2＝m 2＋11＋k2，把m 2＝2k 2＋1代入上式得x 2＋y 2＝2.(*)②当切线l 的斜率为0时，此时Q(1，1)或(1，－1)，符合(*)式． ③当切线l 的斜率不存在时，此时Q(2，0)或(－2，0)，符合(*)式． 综上所述，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.1．(2018·某某某某二模)已知动圆M 过定点E(2，0)，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4.则动圆圆心M 的轨迹C 的方程是________． 答案 y 2＝4x解析 设M(x ，y)，PQ 的中点为N ，连MN ，则|PN|＝2，MN ⊥PQ ， ∴|MN|2＋|PN|2＝|PM|2.又|PM|＝|EM|，∴|MN|2＋|PN|2＝|EM|2， ∴x 2＋4＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x. ∴动圆圆心M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.2．已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上一定点，平面α内的动点B 满足PB 与直线l 成30°角，那么B 点轨迹是( ) A ．两条直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 C解析 P 是直线l 上的定点，平面α与直线l 平行，平面α内的动点B 满足PB 与直线l 成30°角，因为空间中过P 与l 成30°角的直线构成两个相对顶点的圆锥，α即为平行于圆锥轴的平面，点B 的轨迹可理解为α与圆锥侧面的交线，所以点B 的轨迹为双曲线，故选C.3．(2018·某某某某二模)已知抛物线x 2＝2py(p>0)，F 为其焦点，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，过点B 作x 轴的垂线，交直线OA 于点C ，如图所示．求点C 的轨迹M 的方程．答案 y ＝－p2解析 依题意可得，直线l 的斜率存在，故设其方程为y ＝kx ＋p2，又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x ，y)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2⇒x 2－2pkx －p 2＝0⇒x 1·x 2＝－p 2.易知直线OA ：y ＝y 1x 1x ＝x 12p x ，直线BC ：x ＝x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12p x ，x ＝x 2，得y ＝x 1·x 22p ＝－p2，即点C 的轨迹M 的方程为y ＝－p 2.4．(2014·课标全国Ⅰ，文)已知点P(2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积． 答案 (1)(x －1)2＋(y －3)2＝2 (2)x ＋3y －8＝0，S △POM ＝165解析 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x ，y)，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y)．由题设知CM →·MP →＝0，故x(2－x)＋(y －4)(2－y)＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON⊥PM.因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13.故l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0.又|OM|＝|OP|＝22，O 到l 的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM 的面积为165.。