高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究1 曲线与方程练习 理-人教版高三全册数学试题

专题研究1 曲线与方程

1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0

答案 B

解析 可知AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x ，y)．由题意可知12×5×|4x －3y ＋4|

5＝10，

所以4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.故选B.

2．方程x －1lg(x 2

＋y 2

－1)＝0所表示的曲线图形是( )

答案 D

3．动圆M 经过双曲线x 2

－y

2

3

＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )

A ．y 2

＝8x B ．y 2

＝－8x C ．y 2

＝4x D ．y 2

＝－4x

答案 B

解析 双曲线x 2

－y

2

3

＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 经过F 且与直线x

＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2

＝－8x.

4．(2017·皖南八校联考)设点A 为圆(x －1)2＋y 2

＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2

＝2x B ．(x －1)2＋y 2

＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2

＋y 2

＝2

答案 D

解析 (直译法)如图，设P(x ，y)，圆心为M(1，0)．连接MA ，PM. 则MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因为|PA|＝1，

所以|PM|＝|MA|2

＋|PA|2

＝2， 即|PM|2

＝2，所以(x －1)2

＋y 2

＝2.

5．(2017·某某市毕业检测)设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都外切，则圆P 的圆心轨迹可能是( )

A ．①②③⑤

B ．②③④⑤

C ．①②④⑤

D ．①②③④

答案 A

解析 当两定圆相离时，圆P 的圆心轨迹为①；当两定圆外切时，圆P 的圆心轨迹为②；当两定圆相交时，圆P 的圆心轨迹为③；当两定圆内切时，圆P 的圆心轨迹为⑤.

6．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )

A ．y 2

－x

2

48

＝1(y≤－1)

B ．y 2

－x

2

48

＝1

C ．y 2

－x

2

48

＝－1

D ．x 2

－y

2

48

＝1

答案 A

解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2

＝48，∴轨迹方程为y 2

－x

2

48

＝1(y≤－1)．

7．△ABC 的顶点为A(－5，0)、B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 2

9－y

2

16＝1 B.x 216－y

2

9＝1 C.x 2

9－y

2

16＝1(x>3) D.x 2

16－y

2

9

＝1(x>4) 答案 C

解析 设△ABC 的内切圆与x 轴相切于D 点，则D(3，0)．由于AC 、BC 都为圆的切线． 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6. 由双曲线定义知所求轨迹方程为x 2

9－y

2

16＝1(x>3)．

故选C.

8．(2017·某某十校联考)在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别为A(－1，0)，B(1，0)，平面内两点G ，M 同时满足下列条件：①GA →＋GB →＋GC →＝0，②|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，③GM →∥AB →

.则△ABC 的顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 2

3＋y 2

＝1(y≠0) B.x 2

3－y 2

＝1(y≠0) C ．x 2

＋y

2

3

＝1(y≠0)

D ．x 2

－y

2

3

＝1(y≠0)

答案 C

解析 根据题意，G 为△ABC 的重心，设C(x ，y)，则G(x 3，y

3)，而M 为△ABC 的外心，∴M 在AB 的中垂线上，

即y 轴上，由GM →∥AB →，得M(0，y 3)，根据|MA →|＝|MC →|，得1＋(y 3)2＝x 2＋(y －y 3)2，即x 2

＋y 2

3＝1，又C 点不在x

轴上，∴y ≠0，故选C.

9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2

＋y 2

＝r 2

(r>0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝aOA →＋bOB →

(a ，b ∈R )，若M(a ，b)，则动点M 所形成的轨迹曲线的长度为( ) A ．π B.2π C.3π D ．2π

答案 B

解析 设P(x ，y)，则x 2

＋y 2

＝r 2

，A(r ，r)，B(－r ，r)．由OP →＝aOA →＋bOB →，得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝（a －b ）r ，y ＝（a ＋b ）r ，代入x 2＋y 2＝

r 2，得(a －b)2＋(a ＋b)2＝1，即a 2＋b 2

＝12

，故动点M 所形成的轨迹曲线的长度为2π.

10．已知抛物线y 2

＝nx(n<0)与双曲线x 2

8－y

2

m

＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________．

答案 n 2

＝16(m ＋8)(n<0)

解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n 4

)2，n<0，即n 2

＝16(m ＋8)(n<0)．

11．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足：AC →＝2CB →

，则动点C 的轨迹方程为________________． 答案 x 2

＋14

y 2＝1

解析 设A(a ，0)，B(0，b)，则a 2＋b 2

＝9.又C(x ，y)，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y)＝2(－x ，b －y)．

即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，

b ＝32

y ，

代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2

＋14y 2＝1.

12．若过抛物线y 2

＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2

＝4(x －2)

解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →

，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)． 得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.

由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2

＋4k 2.

y ＝y 1＋y 2＝4k k

2，消去参数k ，得y 2

＝4(x －2)．

13.如图所示，直角三角形ABC 的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． (1)求BC 边所在直线方程；