工程问题和行程问题

一元一次方程的应用：行程和工程问题

一、教学目标：

【知识与技能】

使学生理解用一元一次方程解行程问题、工程问题的本质规律.

【过程与方法】

通过对“行程问题、工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力.

【情感态度】

使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力.

【教学重点】

用一元一次方程解决行程问题、工程问题.

【教学难点】

如何找行程问题中的等量关系.

二、教学过程：

一、情境导入，初步认识

1.行程问题中路程、速度、时间三者间有什么关系？相遇问题中含有怎样的相等关系？追及问题中含有怎样的相等关系呢？

2.工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系?

【教学说明】通过对这两种常见的问题中公式的复习，为找等量关系打好基础.

二、思考探究，获取新知

问题1：小张和父亲计划搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷.在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站.随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站.已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？

吴小红同学给出了一种解法：

设小张家到火车站的路程是x千米，由实际时间比原计划乘公共汽车提前了45分钟，可列出方程：

解这个方程：

x/40-x/120-x/120=3/4

3x―x―x＝90

x＝90

经检验，它符合题意.

答：小张到火车站的路程是90千米.

张勇同学又提出另一种解法：

设实际上乘公共汽车行驶了x千米，则从小张家到火车站的路程是3x千米，乘出租车行使了2x千米.注意到提前的3/4小时是由于乘出租车而少用的，可列出方程：

2x/40-2x/80＝3/4

解这个方程得：

x＝30.

3x＝90.

所得的答案与解法一相同.

讨论：试比较以上两种解法，它们各是如何设未知数的？哪一种比较方便？是不是还有其它设未知数的方法？试试看.

【教学说明】两种解题方法，让学生亲身体验设不同的未知数，可列出不同的方程，难易度也不一样.从而得出为了解题方便应选择设适当的未知数的结论.

【归纳结论】1.行程问题中基本数量关系是：路程＝速度×时间;变形可得到：速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.

2.常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都有以下的相等关系：

相遇：相遇时间×速度和＝路程和;

追及：追及时间×速度差＝被追及距离.

问题2：课外活动时李老师来教室布置作业,有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”，就停住了.片刻后，同学们带着疑问的目光，窃窃私语：“这个题目没有完呀？要求什么呢？”

李老师开口了：“同学们的疑问是有道理的，今天我们就是要请同学们自己来提问.”

调皮的小刘说：“让我试一试.”上去添了“两人合作需几天完成？”.

有同学反对：“这太简单了！”,但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起来：有添上一人先做几天再让另一人做的，有两人先后合作再一人离开的，有考虑两人合作完成后的报酬问题的……

李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？

试解答这一问题，并与同学一起交流各自的做法.

分析：我们可以将工作总量看作“单位1”，根据“工作效率=工作总量/工作时间”可以知道，师傅的工作效率是1/4，徒弟的工作效率是1/6，整项工程分了两个部分：第一部分是徒弟先做的一天，第二部分是师徒两人合作完成的，而合作的时间我们不知道，所以应设合作的时间为x，根据工作总量可列出方程.从而求出他们各自工作的量，这样就可以求出他们得到的报酬.

解：设两人合作的时间是x天，根据题意可列出方程：

1/6+（1/6+1/4）x=1

解得：x=2

经检验，它符合题意.

所以，徒弟工作时间为3天，完成工作总量的1/6×3=1/2；师傅工作时间为2天，完成工作总量的1/4×2=1/2.

因为他们完成的工作量一样，所以报酬也应该一样多，都是270元.

你还能提出其它的问题吗？试一试，并解答这些问题.

【教学说明】给学生充足的时间，发挥他们的想象力，锻炼他们的创新能力和思维能力.

【归纳结论】工程问题中的三个量，根据工作量＝工作效率×工作时间，已知其中两个量，就可以表示第三个量.两人合作的工作效率＝每个人的工作效率的和.

三、运用新知，深化理解

1.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥需多5秒，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.

2.一艘船由A地开往B地，顺水航行需5小时，逆水航行要比顺水航行多用50分钟.已知船在静水中每小时走12千米，求水流速度.

3.一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习跑步，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑4米.(1)两人同时、同地、背向出发，经过多少时间，两人首次相遇?(2) 两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇?

4.甲、乙两队合挖一条水渠，5天可以完成.如果甲队独挖8天可以完成，那么乙队独挖几天可以完成？

5.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

【教学说明】通过练习，使学生掌握应用一元一次方程解决实际问题的步骤和方法.

【答案】1.解：设第一座铁桥的长为x米，那么第二座铁桥的长为（2x-50）米，过完第一座铁桥所需的时间为x/600分.

过完第二座铁桥所需的时间为(2x-50)/600分.

依题意，可列出方程

x/600+5/60=(2x-50)/600

解方程x+50=2x-50

得x=100

∴2x-50=2×100-50=150

答：第一座铁桥长100米，第二座铁桥长150米.

2.分析：在水流问题中：

船的顺水速度＝船的静水速度＋水流速度，

船的逆水速度＝船的静水速度-水流速度.

等量关系：

船顺水航行的路程＝船逆水航行的路程.