高考总复习简单的三角恒等变换习题
完整版简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换复习、公式体系(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos()cos cossin sincoscossin sincos()(3) tan(tan tan去分母得tan tan i tan()(1 tantan )1 tan tantantantan()(1 tantan 、倍角公式的推导及其变形：(1) sin 2sin( ) sin coscos sin2 sin cossin1 .cos— sin 2221 sin 2(sincos(2) cos 2cos() cos cos sin sin cos 2 sin 2cos 2cos 2 sin 2 (cossin )(cossin )cos 22• 2 cos 厶 sin2 2COS (1 cos )把1移项得 1 cos22 cos 2或 -4- GQS -2-c2 cos 212【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成2cos2 cos 2一 1 或 1 cos 2 cos 2或 - 1 cos —cos 22222因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成cos 42 cos 221 或 1 2Once 厶或nee? O12cos 2 22 cossin(1 sin 2) sin 2把1移项得1cos 22s in 2或 -4-1 2sin 22【因为是—的两倍，所以公式也可以写成2cos1 2 sin 2—或1 cos2 sin 2或 4 ---- eos-sin 22222因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成21、和差公式及其变形: 2) )2sin 2、基本题型1、已知某个三角函数，求其他的三角函数:注意角的关系，如(),(4 (1)已知，都是锐角，sin -，cos(5) ， (-4)_5 ，求sin的值13)(—)等等4 5(2)已知COS(—) 1,—，sin( )U,0 —,求sin( )的值4 5 4 4 4 13 4. 3(提不：(——)(—) ,只要求出sin( )即可)2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数(1)已知，都是锐角，sin —，cos5,求角的弧度103、T()公式的应用(2) A ABC 中，角A、B 满足(1 tan A)(l tan B) 2 ,求A+B 的弧度4、弦化切,即已知tan ,求与sin, cos相关的式子的值：化为分式,分子分母同时除以cos 或cos? 等(1)已知tansin2 ,求SmQ 1Q in 9 rnQ 7,3sin 2cos2 的值3sin cos 1 sin 2 cos 25、切化弦，再通分，再弦合一(1)、化简：① sin 50° (13 t#TiO°)sin 35°sin 2x x(2)、证明： ________ (1 tan x tan _) tan x2 cos x 26、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合②(tan 10 01) cos-100...化简(2 sin2 2 cos4cos 20° sin 40° 的值等于（）3cos cos2 的值等于（ )——5 511A .C. 2D ・ 4424、已知0AiL cos A 3 那么卡in 2A 等于（）2547-_ 12 24A.B .C ・D ・25252525215已知tan （)——,tan( )，则）的值等升（ : )544413313 3A •B.—c.-一D.182222186、sinl65o= ()——1A •B.3C. 62 D. 62 22，4J广 47sinl4ocos 16o+sin76ocos74o 的值是 ()1、sin 20°cos40°A. 1B. 3c.1 D. 342r 244 72、若 tan3 , tan,则 tan(）等于（)31 1 A. 3B. 3-c.D.33A・3 B . 18、已知2x ( ,0),£,COS X24 一,则tan 2x (A . 7 2B —579、化简242s in (JI—x) —• sin (24n:+x), 其结果是4 4A. sin2x cos2x —10 、sin —3 cos 的值是( )12 12A . 0 £-211 、1 tan 2 75 的值为（)ji V tan 753 1c. D.2 J 2)24 24C・ D .7 7( )C .—cos2x D. —sin2x5c. 2 D . 2 sin12A. 2 3。
专题12 简单的三角恒等变换（解析版）
于是 b + c = 2R (sinB + sinC )
=
43 3
sinB
+
sin
2 3
−
B
=
43 3
3 sinB + 2
3 2
cosB
=
4sin
B
+
6
.
因为 ABC 是锐角三角形且 A = ， 3
所以由 C
2
，得
2 3
−
B
2
，因此
B
的取值范围是
6
,
2
.
6/7
( 而由
；（2）
−
2 2
,1
.
【解析】（1）由正弦定理得： sinA = sinBcosC + sinCsinB
因为： sinA = sin ( B + C ) = sinBcosC + cosBsinC
故 cosBsinC = sinCsinB 因为 sinC 0 ，所以 cosB = sinB 因为 0 B ，所以 B =
2
2
∴ A .
6
4
) ∵
a
=
2
，∴
a sinA
2
2,4
.又 b + c = a ， sinB + sinC sinA
3/7
( ) ∴ b + c 2 2, 4 . sinB + sinC
( ) 故答案为 2 2, 4
7．（三角恒等变换在实际中的运用）如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 6m，最低点 B 处离地面 3.5m.若 从离地高 2m 的 C 处观赏它，则离墙______m 时，视角 最大.
高考数学总复习第24讲 倍角公式及简单的三角恒等变换
第24讲 倍角公式及简单的三角恒等变换1．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于(D) A ．2 B ．3C ．4D ．6因为sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝(B)A ．－45B ．－35C.35D.45因为θ的终边在直线y ＝2x 上，所以tan θ＝2.所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 3．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝(A) A.16 B.13C.12D.23因为sin 2α＝23， 所以cos 2(α＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 4．(2016·福州市毕业班质量检查)若2cos 2α＝sin(π4－α)，且α∈(π2，π)，则sin 2α的值为(A)A ．－78B ．－158C ．1 D.158因为α∈(π2，π)，π4－α∈(－3π4，－π4)， 所以sin(π4－α)<0， 因为cos 2α＝sin(π2－2α)＝2sin(π4－α)cos(π4－α)， 2cos 2α＝sin(π4－α)，所以cos(π4－α)＝14， 所以sin 2α＝cos(π2－2α)＝2cos 2(π4－α)－1＝－78. 5．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝ 2 ，b ＝ 1 .因为2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，所以A ＝2，b ＝1.6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝ －45.因为tan(π4＋θ)＝3，所以1＋tan θ1－tan θ＝3， 所以tan θ＝12. sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 7．已知cos α＝35，cos(α－β)＝1213，且0<β<α<π2，求cos β的值．因为cos α＝35，0<α<π2， 所以sin α＝1－cos 2α＝45， 因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1213， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝513， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×1213＋45×513＝5665.8.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°的值为(C) A ．－32 B ．－12C.12D.32原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12. 9.3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝ －43 .原式＝23(12sin 12°－32cos 12°)sin 12°(4cos 212°－2)cos 12°＝－23sin (60°－12°)sin 24°cos 24°＝－43sin 48°2sin 24°cos 24° ＝－4 3.10．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)． (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．(1)因为a 与b 互相垂直，则a·b ＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝±255，cos θ＝±55， 又θ∈(0，π2)，故sin θ＝255，cos θ＝55. (2)因为0<φ<π2，0<θ<π2，所以－π2<θ－φ<π2， 所以cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010， 因此cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝22.。
(完整word)高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解
高考总复习高 中 数 学 高 考 总 复习 简 单 的 三 角 恒 等 变 换 习 题 及 详 解一、选择题π π ，x ∈ R ，则函数 f(x) 是()1． (文 )(2010 山·师大附中模考 )设函数 f(x)＝ cos 2(x ＋ )－ sin 2(x ＋ )44A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为 π的偶函数πC ．最小正周期为 2的奇函数πD ．最小正周期为 2的偶函数 [答案]Aπ2π[分析]f(x)＝ cos(2x ＋ 2)＝－ sin2x 为奇函数，周期T ＝ 2 ＝ π.( 理)(2010 辽·宁锦州 )函数 y ＝ sin 2x ＋ sinxcosx 的最小正周期T ＝ ()π π A ． 2π B ． πC.2D.3[答案] B[分析]y ＝ sin 2x ＋ sinxcosx ＝ 1－ cos2x 12＋ sin2x2 ＝ 1＋ 2π，∴最小正周期T ＝ π.2 2 sin 2x － 4232． (2010 重·庆一中 )设向量 a ＝ (cos α， 2 )的模为2 ，则 cos2α＝ ()111 3 A ．－4 B ．－ 2C.2D. 2[答案] B[分析]∵ |a|2＝ cos 2α＋22＝ cos 2α＋ 1＝ 3，22 4∴ cos 2α＝1，∴ cos2α＝ 2cos 2α－ 1＝－ 1.42α3．已知 tan 2＝ 3，则 cos α＝ ()444 3A. 5 B ．－ 5C.15D ．－5[答案]Bα αα α cos 2－ sin 222 2含详解答案高考总复习1－ tan 2α＝ 2＝1－ 9＝－ 4，应选 B. 1＋ tan 2α1＋9522C4．在△ABC 中，若 sinAsinB ＝ cos 2 ，则△ABC 是 ()A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案]B[ 分析 ] ∵ sinAsinB ＝ cos 2C，211∴ 2[cos(A － B)－ cos(A ＋ B)] ＝ 2(1＋ cosC)， ∴ cos(A － B)－cos( π－C)＝ 1＋ cosC ，∴ cos(A － B)＝1，∵－ π<A －B<π，∴ A － B ＝ 0，∴△ ABC 为等腰三角形．π5． (2010 ·阳市诊疗绵 )函数 f(x)＝ 2sin(x － 2) ＋|cosx|的最小正周期为( )πA. 2B ．πC ． 2πD ． 4π[答案]C[ 分析 ] f(x)＝－ 2cosx ＋ |cosx|－ cosx cosx ≥ 0＝，画出图象可知周期为2π.－ 3cosx cosx<016． (2010 揭·阳市模考 )若 sinx ＋ cosx ＝ 3， x ∈ (0， π)，则 sinx － cosx 的值为 ()17171 17 A ．± 3 B ．－ 3C.3D. 3[答案] D[分析]11 ，∴ sin2x ＝－ 8π 由 sinx ＋ cosx ＝两边平方得， 1＋ 2sinxcosx ＝ <0，∴ x ∈ ， π，39 9 2∴ (sinx － cosx)2＝ 1－ sin2x ＝17且 sinx>cosx ，9∴ sinx －cosx ＝17，应选 D.3高考总复习7． (文 )在锐角△ABC 中，设 x ＝ sinA ·sinB ， y ＝ cosA ·cosB ，则 x ， y 的大小关系是 ( )A ． x ≤yB ． x ＜ yC ． x ≥ yD ． x ＞y[答案]Dπ[分析] ∵ π>A ＋ B ＞ ，∴ cos(A ＋ B)＜0，即 cosAcosB － sinAsinB ＜ 0，∴ x ＞ y ，故应选 D.2( 理)(2010 皖·南八校 )在△ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为 a 、b 、 c ，假如 cos(2B ＋ C)＋ 2sinAsinB<0，那么a 、b 、c 知足的关系是 ()A ． 2ab>c 2B ． a 2＋ b 2<c 2C ． 2bc>a 2D ． b 2＋ c 2<a 2[答案]B[ 分析 ] ∵ cos(2B ＋C)＋ 2sinAsinB<0，且 A ＋B ＋ C ＝ π，∴ cos( π－ A ＋B)＋ 2sinA ·sinB<0，∴ cos( π－ A)cosB － sin( π－ A)sinB ＋ 2sinAsinB<0，∴－ cosAcosB ＋ sinAsinB<0 ，即 cos(A ＋ B)>0，π π∴ 0<A ＋ B< ，∴ C> ，22a 2＋b 2－c 2由余弦定理得，cosC ＝<0，2ab∴ a 2＋ b 2－ c 2<0，故应选 B.8． (2010 ·林省调研吉 )已知 a ＝ (cosx ，sinx)，b ＝ (sinx ，cosx)，记 f(x)＝a ·b ，要获得函数 y ＝ sin 4x － cos 4x 的图象，只要将函数 y ＝ f( x)的图象 ()πA ．向左平移 2个单位长度πB ．向左平移 4个单位长度πC ．向右平移 2个单位长度πD ．向右平移 4个单位长度[答案] D[分析]y ＝ sin 4x － cos 4 x ＝(sin 2x ＋ cos 2x)(sin 2x － cos 2x)＝－ cos2x ，π π π π将 f( x)＝ a ·b ＝ 2sinxcosx ＝ sin2x ，向右平移 4 个单位得， sin2 x －4 ＝ sin 2x －2 ＝－ sin － 2x＝－ cos2x ，故2选 D.高考总复习π 29． (2010 浙·江金华十校模考 )已知向量 a ＝ (cos2α， sin α)， b ＝ (1,2sin α－ 1)， α∈ 4， π，若 a ·b ＝5，π 则 tan α＋4 的值为 ( )12 1 2 A.3 B.7C.7D.3[答案] C[分析]a ·b ＝ cos2α＋ 2sin 2α－sin α＝ 1－ 2sin 2α＋ 2sin 2α－ sin α＝ 1－ sin α＝2，∴ sin α＝ 3，55π∵ <α<π，∴ cos α＝－ 4，∴ tan α＝－ 3，454π 1＋ tan α 1 .∴ tan α＋ ＝＝41－ tan α 75π 7π10． (2010 湖·北黄冈模拟 )若 2 ≤ α≤ 2 ，则 1＋ sin α＋ 1－ sin α等于 ()α α A ．－ 2cos 2 B ． 2cos 2α α C ．－ 2sin 2 D ． 2sin 2[答案]C5π7π 5π α 7π[分析] ≤ α≤，∴4≤ ≤4.∵ 2 2 2∴ 1＋ sin α＋ 1－ sin α＝1＋ 2sinα α 1－ 2sin α α2 cos ＋cos222＝α αα α2sin ＋ cos2 ＋sin － cos2 222αα α α＝－ (sin ＋ cos )－ (sin － cos )2222α＝－ 2sin 2. 二、填空题π 311． (2010 广·东罗湖区调研 )若 sin 2＋ θ＝ 5，则 cos2θ＝ ________.[答案] 7 － 25π 3，∴ cos θ＝ 3，[分析] ∵ sin ＋ θ＝25 5∴ cos2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.高考总复习tanx－ tan3 x12． (2010 江·苏无锡市调研 )函数 y＝的最大值与最小值的积是 ________．1＋ 2tan2x＋tan4x[答案]1－16[分析]y＝tanx－ tan3x tanx 1－ tan2x2 4＝2 21＋ 2tan x＋ tan x1＋ tan x＝tanx1－ tan2x＝sinxcosx cos2x－ sin2x 2·22 2 ＋22 1＋ tan x 1＋ tan x cos x＋ sin x cos x＋ sin x 11＝2sin2x·cos2x＝4sin4x，1所以最大与最小值的积为－16.13． (2010 ·江杭州质检浙)函数 y＝ sin(x＋ 10°)＋ cos(x＋ 40°)，( x∈R )的最大值是 ________．[答案]1[ 分析 ]y＝ sinxcos10 °＋ cosxsin10 ＋°cosxcos40 °－ sinxsin40 ＝°(cos10 －°sin40 )sinx°＋ (sin10 ＋°cos40 °)cosx，其最大值为＝2＋ 2 sin10 °cos40°－ cos10°sin40 °＝2＋ 2sin － 30°＝ 1.θ14．(文 )如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上， CD⊥ AB 于点 D ，且 AD＝ 3DB ，设∠COD ＝θ，则 tan22＝________.[答案]1 3[分析]3r，∴ OD＝r，∴ CD ＝3CD ＝3，设 OC＝ r，∵ AD ＝ 3DB，且 AD＋ DB＝2r，∴ AD ＝222 r ，∴ tanθ＝OD θ∵ tanθ＝2tan2θ3，∴ tan ＝1－ tan2θ23 (负值舍去 )，2θ1∴tan22＝3.( 理)3tan12 －°3＝ ________. 4cos212°－ 2 sin12 °[答案]－ 43[分析]3tan12 －°3＝ 3 sin12 －°3cos12 °4cos212°－2 sin12° 2cos24 sin12°cos12° °2 3sin 12°－ 60°3.＝1＝－ 4三、解答题15． (文 )(2010 北·京理 )已知函数f(x)＝2cos2x ＋ sin 2x － 4cosx.π(1) 求 f(3)的值；(2) 求 f(x)的最大值和最小值．[分析]π 2π π π 3 9 (1) f( )＝ 2cos＋ sin 2－ 4cos ＝－ 1＋－2＝－ .333344(2) f(x)＝2(2cos 2 x － 1)＋(1 －cos 2x)－ 4cosx＝ 3cos 2x － 4cosx － 1＝ 3(cosx －23)2－73， x ∈ R由于 cosx ∈ [ － 1,1] ，所以当 cosx ＝－ 1 时， f(x)取最大值 6；当 cosx ＝2时， f(x)取最小值－733.( 理)(2010 广·东罗湖区调研 )已知 a ＝(cosx ＋sinx ， sinx)， b ＝ (cosx － sinx,2cosx)，设 f(x)＝ a ·b. (1) 求函数 f(x)的最小正周期；(2) 当 x ∈ 0，π时，求函数 f(x)的最大值及最小值．2[ 分析 ] (1) f(x)＝ a ·b ＝ (cosx ＋ sinx) ·(cosx － sinx)＋ sinx ·2cosx ＝ cos 2x －sin 2x ＋ 2sinxcosx＝ cos2x ＋ sin2x ＝ 2222 cos2x ＋ 2 sin2xπ ＝ 2sin 2x ＋4 .∴ f(x)的最小正周期T ＝ π.πππ 5π(2) ∵ 0≤ x ≤ ，∴ ≤ 2x ＋ ≤ 4，2 4 4π π ππ 5π π∴当 2x ＋4＝ 2，即 x ＝8时， f(x)有最大值2；当 2x ＋ 4＝ 4 ，即 x ＝2 时， f(x)有最小值－ 1.π 16． (文 )设函数 f(x)＝ cos 2x ＋ 3 ＋ sin 2x.(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期；1C1(2) 设 A 、 B 、 C 为△ABC 的三个内角，若 cosB ＝3， f(2 )＝－ 4，且 C 为锐角，求 sinA 的值．[分析] (1) f(x)＝ cos 2x ＋ π π π 1－ cos2x 1 － 3＋ sin 2x ＝ cos2xcos － sin2xsin ＋ ＝ 2sin2x ，3 3 3 2 2 所以函数 f(x)的最大值为1＋ 3，最小正周期为π.2(2) f(C )＝1－ 3sinC ＝－1，所以 sinC ＝3π由于 C 为锐角，所以C ＝ 3，在△ ABC 中， cosB ＝13，所以 sinB ＝2 3 2，所以 sinA ＝ sin(B ＋ C)＝ sinBcosC ＋ cosBsinC＝2 2 1 1 ×3 ＝ 22＋ 33 × ＋ 26.2 3→ → → →( 理)已知角 A 、B 、 C 为△ABC 的三个内角， OM ＝ (sinB ＋ cosB ， cosC)， ON ＝ (sinC ， sinB － cosB)， OM ·ON ＝1－ 5.(1) 求 tan2A 的值；2A(2) 2cos 2－ 3sinA － 1的值．求π2sin A ＋4[分析]→ →(1) ∵OM ·ON ＝ (sinB ＋ cosB)sinC ＋1cosC(sinB － cosB)＝ sin(B ＋ C)－ cos(B ＋ C) ＝－ 5，∴ sinA ＋ cosA ＝－ 1①5两边平方并整理得： 2sinAcosA ＝－ 24，25∵－24π， π ，25<0，∴ A ∈ 2∴ sinA － cosA ＝ 1－2sinAcosA ＝ 75②联立①②得： sinA ＝ 3，cosA ＝－ 4，∴ tanA ＝－ 3， 5 5 4－ 3∴ tan2A ＝2tanA2＝224 .A＝－ 1－tan 1－ 9 7163(2) ∵ tanA ＝－ 4，A2cos 22 － 3sinA － 1 cosA －3sinA 1－ 3tanA ∴ π＝ cosA ＋sinA ＝1＋ tanA 2sin A ＋43＝1－3× －4 ＝13.－341＋π点之间的距离为2.(1) 求 m 和 a 的值；π(2) 若点 A(x 0， y 0) 是 y ＝ f( x)图象的对称中心，且 x 0∈ 0， 2 ，求点 A 的坐标．[ 分析 ] (1) f(x)＝ sin 2ax － 3sinaxcosax1－ cos2ax3π 1＝ 2 － 2 sin2ax ＝－ sin 2ax ＋ 6 ＋ 2，由题意知， m 为 f(x)的最大值或最小值，所以 m ＝－ 12或 m ＝32，π 由题设知，函数f(x)的周期为，∴ a ＝ 2，2所以 m ＝－ 1或 m ＝3， a ＝ 2. 2 2(2) ∵ f(x)＝－ sin 4x ＋ π＋1，6 2ππ∴令 sin 4x ＋ 6 ＝0，得 4x ＋6＝ k π(k ∈ Z) ，∴ x ＝ k π π－424(k ∈ Z)，由 0≤ k π π π(k ∈ Z)，得 k ＝ 1 或 k ＝ 2， 4 －24≤2所以点 A 的坐标为5π 1 或 11π1， ，24 224 2 .( 理)(2010 广·东佛山顺德区检测)设向量 a ＝ (sinx,1)， b ＝ (1， cosx)，记 f(x)＝ a ·b ， f ′ (x)是 f( x)的导函数．(1) 求函数 F(x)＝ f(x)f ′ (x)＋ f 2(x)的最大值和最小正周期；(2) 若 f(x)＝ 2f ′ (x)，求1＋ 2sin 2x的值．cos 2x － sinxcosx[ 分析 ] (1) f(x)＝ sinx ＋cosx ，∴ f ′( x)＝ cosx －sinx ，∴ F(x)＝ f(x)f ′ (x)＋ f 2(x) ＝ cos 2x －sin 2x ＋ 1＋2sinxcosx＝ cos2x ＋ sin2x ＋ 1＝ 1＋ 2sin π2x ＋4 ，π π π∴当 2x ＋ ＝ 2k π＋ ，即 x ＝ k π＋ (k ∈ Z)时， F( x)max ＝1 ＋ 2.42 8最小正周期为 T ＝2π＝ π.2(2) ∵ f(x)＝ 2f ′ (x)，∴ sinx＋ cosx＝ 2cosx－ 2sinx，∴cosx＝ 3sinx，∴ tanx＝1，3∴1＋ 2sin2x＝ 3sin2x＋ cos2x＝ 3tan2x＋ 1＝2.cos2x－sinxcosx cos2x－sinxcosx1－ tanx。
高考数学一轮复习练习 简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换基础巩固组1.函数f (x )=(√3sin x+cos x )(√3cos x-sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.πC.3π2D.2π2.(2020陕西榆林一模,理7)已知α∈(0,π),2sin 2α=cos 2α-1,则sin α=( ) A.15B.√55C.-√55D.2√553.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=( ) A.43B.-43C.43或0D.-43或04.(2020山东德州二模,5)已知α终边与单位圆的交点P (x ,-35),且sin αcos α>0,则√1-sin2α+√2+2cos2α的值等于( ) A.95 B.75 C.65D.35.已知cos 2π3-2θ=-79,则sin π6+θ的值等于( ) A.13B.±13C.-19D.196.已知α∈0,π2,sin α-cos α=√55,则tan α+π4=( )A.-32B.-23C.-3D.-137.(多选)下列各式中,值为12的是( ) A.cos 2π12-sin 2π12B.tan22.5°1-tan 222.5°C.2sin 195°cos 195°D.√1+cos π628.(多选)(2020山东潍坊临朐模拟二,10)已知函数f (x )=sin x sin (x +π3)−14的定义域为[m ,n ](m<n ),值域为[-12,14],则n-m 的值可能是( ) A.5π12B.7π12C.3π4D.11π129.(2020山东历城二中模拟四,14)已知tan α2=√52,则sin π2+α= . 10.(2020山东济南一模,13)已知cos 2α-π3=23,则12-sin 2α-π6的值为 .11.(2020山东潍坊二模,14)已知α∈0,π2,sin α-π4=√55,则tan α= .12.(2020陕西西安中学八模,文14)若α∈0,π2,且2cos 2α=sin α+π4,则sin 2α的值为 .综合提升组13.已知f (x )=sin 2x+sin x cos x ,则f (x )的最小正周期和一个单调递增区间分别为( ) A.π [0,π] B.2π -π4,3π4 C.π-π8,3π8D.2π-π4,π414.已知m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )A.-1B.34 C.32D.215.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(α-β)的值为 . 16.(2020山东泰安一模,13)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sin β-π4=1213,则cos α+π4= .创新应用组17.(多选)(2020山东滨州二模,11)已知函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12的图像的一条对称轴为x=π6,则下列结论中正确的是( ) A.f (x )是最小正周期为π的奇函数 B.(-7π12,0)是f (x )图像的一个对称中心 C.f (x )在区间[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图像再向左平移π12个单位长度,即可得到函数f (x )的图像18.(2020河北邢台模拟,理12)已知定义域为R 的函数f (x )满足f 12=12,f'(x )+4x>0,其中f'(x )为f (x )的导函数,则不等式f (sin x )-cos 2x ≥0的解集为 ( )A.-π3+2k π,π3+2k π,k ∈Z B.-π6+2k π,π6+2k π,k ∈Z C.π3+2k π,2π3+2k π,k ∈Z D.π6+2k π,5π6+2k π,k ∈Z参考答案课时规范练21 简单的三角恒等变换1.B f (x )=2sin x+π6×2cos x+π6=2sin 2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B .2.D ∵α∈(0,π),∴sin α>0,∵2sin 2α=cos 2α-1,即4sin αcos α=(1-2sin 2α)-1,整理得cos α=-12sin α,代入sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=2√55.故选D .3.C 因为2sin 2α=1+cos 2α,所以2sin 2α=2cos 2α.所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=12.若cos α=0,则α=k π+π2,k ∈Z ,2α=2k π+π,k ∈Z ,所以tan 2α=0.若tan α=12,则tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.综上所述,故选C .4.A 已知α终边与单位圆的交点P x ,-35,且sin αcos α>0,∴x<0,故x=-45,∴sin α=-35,cos α=x=-45.则√1-sin2α+√2+2cos2α=|cos α-sin α|+√4cos 2α=15+85=95.故选A . 5.B ∵cos2π3-2θ=-79,∴cos π-π3+2θ=-cosπ3+2θ=-cos 2π6+θ =-1-2sin 2π6+θ=-79,解得sin 2π6+θ=19,∴sinπ6+θ=±13.故选B .6.C ∵sin α-cos α=√55,则(sin α-cos α)2=15,即1-sin 2α=15,得sin 2α=45,∴(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1+45=95,则sin α+cos α=3√55,又sin α-cos α=√55,∴sin α=2√55,cos α=√55,∴tan α=2,∴tan α+π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3.7.BC cos 2π12-sin 2π12=cos 2×π12=cos π6=√32,故A 错误;tan22.5°1-tan 222.5°=12·2tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12,故B 正确;2sin 195°cos 195°=2sin(180°+15°)cos(180°+15°)=2sin 15°cos 15°=sin 30°=12,故C 正确; √1+cos π62=√2+√34=√2+√32≠12,故D 错误.故选BC .8.AB f (x )=sin x sin x+π3-14=sin x 12sin x+√32cos x -14 =14(1-cos 2x )+√34sin 2x-14 =12√32sin 2x-12cos 2x =12sin 2x-π6.作出函数f (x )的图像如图所示,在一个周期内考虑问题.易得{m =π2,5π6≤n ≤7π6或{π2≤m ≤5π6,n =7π6满足题意,所以n-m 的值可能为区间[π3,2π3]上的任意实数.故选AB . 9.-19 sin π2+α=cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos2α2-sin2α2cos2α2+sin2α2=1-tan2α21+tan2α2=1-541+54=4-54+5=-19.10.13∵cos2α-π3=23,∴12-sin2α-π6=12−1-cos2(α-π6)2=12cos2α-π3=12×23=13.11.3∵α∈0,π2,∴α-π4∈-π4,π4,由sinα-π4=√55,得cosα-π4=2√55.∴sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=√55×√22+2√55×√22=3√1010,cos α=√1-sin2α=√1010,∴tan α=3.12.78由2cos 2α=sinα+π4,得2cos 2α=√22sin α+√22cos α,两边平方得4cos22α=12(1+sin 2α),即8(1-sin22α)=1+sin 2α,整理得(7-8sin 2α)(1+sin 2α)=0,又α∈0,π2,所以sin 2α=78或sin 2α=-1(舍去).13.C f(x)=sin2x+sin x cos x=1-cos2x2+12sin 2x=1 2+√22√22sin 2x-√22cos 2x=1 2+√22sin2x-π4,则T=2π2=π.又∵2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2(k ∈Z ),∴k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间.故选C . 14.D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+β-γ),∴12tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β), 故m=tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=2,故选D . 15.2327 ∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos 2α=2cos 2α-1=-79,∴sin 2α=√1-cos 22α=4√29. ∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√23,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =-79×-13+4√29×2√23=2327.16.-5665∵α,β∈3π4,π,∴α+β∈3π2,2π,∴cos(α+β)=√1-sin 2(α+β)=45. 又β-π4∈π2,3π4,sin β-π4=1213,∴cos β-π4=-√1-sin 2(β-π4) =-513.∴cos α+π4=cos (α+β)-β-π4=cos(α+β)cos β-π4+sin(α+β)sin β-π4=45×-513+-35×1213=-5665. 17.BD 函数f (x )=(a sin x+cos x )cos x-12=a sin x cos x+cos 2x-12=12a sin 2x+12cos 2x ,因为f (x )图像的一条对称轴为x=π6,所以f (0)=f (π3),即12=12a ×√32+12×(-12),解得a=√3,所以f (x )=√32sin 2x+12cos2x=sin (2x +π6).所以f (x )的最小正周期为π,但不是奇函数,故A 错误;f (-7π12)=sin (-7π6+π6)=f (-π)=0,所以(-7π6,0)是f (x )图像的一个对称中心,故B 正确;x ∈[-π3,π3]时,2x+π6∈[-π2,5π6],所以f (x )在区间[-π3,π3]上不是单调函数,故C 错误;将函数y=2sin 2x 图像上各点的纵坐标缩短为原来的12(横坐标不变),得y=sin 2x 的图像,再把所得函数图像向左平移π12个单位长度,得y=sin 2(x +π12)=sin 2x+π6的图像,即函数f (x )的图像,故D 正确.故选BD .18.D 令g (x )=f (x )+2x 2-1,g'(x )=f'(x )+4x>0,故g (x )在R 上单调递增,且g 12=f 12+2×122-1=0,所以f (sin x )-cos 2x=f (sin x )+2sin 2x-1≥0,即g (sin x )≥g 12,则sin x ≥12,解得π6+2k π≤x ≤5π6+2k π,k ∈Z .故选D .。
三角恒等变换练习题一
三角恒等变换练习题一三角恒等变换练题一一、选择题1.已知sin(π/2+θ)=3/5，则cos(π-2θ)=()A。
-12/25B。
-5/25C。
-5/12D。
25/252.若cosα=-4/5,且α在第二象限内，则cos(2α+π/4)为() A。
-31/50B。
31/50C。
-172/50D。
50/503.已知α∈R,sinα+2cosα=10/2，则tan2α=() A。
4/3B。
3/4C。
-4/3D。
-3/44.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π)，则sin2α=() A。
-1B。
-2/2C。
2/2D。
15.已知sin(x-π/4)=3/5，则sin2x的值为()A。
-7/25B。
79/16C。
25D。
26.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于() A。
13√2/2B。
3C。
2D。
2√3/27.函数f(x)=sinx(cosx-sinx)的最小正周期是()A。
π/4B。
π/2C。
πD。
2π8.函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-3cos^2x(π/4≤x≤2)的最大值为() A。
2B。
3C。
2+3D。
2-39.为了得到函数y=sin(2x-π/3)的图像，只需把函数y=sin(2x+π/6)的图像()A.向左平移π/4个长度单位B.向右平移π/4个长度单位C.向左平移π/2个长度单位D.向右平移π/2个长度单位10.函数y=sinxsin(x+π/3)+cosxcos2x的最大值和最小正周期分别为()A.1,πB.2,2πC.1+3√3/2,πD.2+2√3/3,2π11.函数y=sin2x+3cos2x-的最小正周期等于()A.πB.2πC.π/4D.π/212.若cos(3π-x)-3cos(x+π/4)=,则tan(x+π/4)等于()A.-B.-2C.D.213.将函数y=3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.5π/2B.3π/5C.2π/5D.π/514.若sin(-α) = 1/3，则cos(2α)的值为 -43/3.15.若f(x) = 2tan(x/2) - 1，则f(π/4)的值为 4/3.16.已知α∈(π/2,π)，sinα + cosα = -1，则tan(α+π/4)等于 -7.17.若cosθ = 2/5，sinθ = -2/5，则角θ的终边所在的直线为24x + 7y = 0.18.已知锐角α的终边上一点P(sin40°,1+cos40°)，则锐角α的度数为 50°。
「精选」人教版最新高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解及参考答案-精选文档
高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题(附参考答案)一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π2＝π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2πB ．πC.π2D.π3[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为32，则cos2α＝( ) A ．－14B ．－12C.12D.32[答案] B[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛⎭⎫222＝cos 2α＋12＝34，∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－12.3．已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．5．(2010·绵阳市诊断)函数f (x )＝2sin(x －π2)＋|cos x |的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] C[解析] f (x )＝－2cos x ＋|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x cos x ≥0－3cos x cos x <0，画出图象可知周期为2π. 6．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－173C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－89<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179且sin x >cos x ，∴sin x －cos x ＝173，故选D. 7．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥yD ．x ＞y[答案] D[解析] ∵π>A ＋B ＞π2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( )A ．2ab >c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．2bc >a 2D ．b 2＋c 2<a 2[答案] B[解析] ∵cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，且A ＋B ＋C ＝π， ∴cos(π－A ＋B )＋2sin A ·sin B <0，∴cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0， ∴－cos A cos B ＋sin A sin B <0，即cos(A ＋B )>0， ∴0<A ＋B <π2，∴C >π2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故应选B.8．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] D[解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π4个单位得，sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos2x ，故选D. 9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.13B.27C.17D.23[答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，∵π4<α<π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 10．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sin α＋1－sin α ＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y ＝tan x －tan 3x1＋2tan 2x ＋tan 4x 的最大值与最小值的积是________．[答案] －116[解析] y ＝tan x －tan 3x 1＋2tan 2x ＋tan 4x ＝tan x (1－tan 2x )(1＋tan 2x )2＝tan x 1＋tan 2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x ＝sin x cos xcos 2x ＋sin 2x ＋cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝12sin2x ·cos2x ＝14sin4x ， 所以最大与最小值的积为－116. 13．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． [答案] 1[解析] y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)cos x ，其最大值为(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1.14．(文)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan 2θ2＝________.[答案] 13[解析] 设OC ＝r ，∵AD ＝3DB ，且AD ＋DB ＝2r ，∴AD ＝3r 2，∴OD ＝r 2，∴CD ＝32r ，∴tan θ＝CDOD＝3，∵tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，∴tan θ2＝33(负值舍去)，∴tan 2θ2＝13.(理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)2cos24°sin12°cos12°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73. (理)(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．[解析] (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋ cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝13.17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝32，由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2，所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2.(2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，记f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋2sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ， ∴F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x ) ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos2x ＋sin2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝1＋ 2.最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝2f ′(x )，∴sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ， ∴cos x ＝3sin x ，∴tan x ＝13，∴1＋2sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝3tan 2x ＋11－tan x ＝2.。
新高考数学计算题型精练 三角恒等变换(解析版)
新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。
三角恒等变换常考题(含答案)
三角恒等变换基础题型一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟4．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣ D．5．若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．6．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．若，则=（）A． B．C．D．8．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．9．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．10．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．12．已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣13．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．715．已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．16．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣17．若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5 D．﹣519．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A． B．C．D．21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣ C．D．23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．325．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣226．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1三角恒等变换基础题型组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）4．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D．5．（2017•焦作二模）若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：sinα=．∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．故选D6．（2017•衡水一模）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．7．（2017•商丘三模）若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．8．（2017•德州二模）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．【解答】解：由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β）=cos（β﹣α）=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin（α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos[（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×﹣（﹣）×=，所以β=．故选：C．9．（2017•青海模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴co sα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．10．（2017•大武口区校级四模）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．12．（2017•腾冲县校级二模）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故选：C．13．（2017•榆林一模）已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣ B．﹣7 C．D．7【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．15．（2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．16．（2017•山西一模）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．17．（2017春•陆川县校级月考）若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣ B．C．5 D．﹣5【解答】解：原式=．故选B．19．（2017春•福州期末）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°+sin43°cos（90°+77°）=cos43°cos77°﹣sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选D．21．（2017春•荔城区校级期中）已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina+cosa=，∴（sina+cosa）2=，∴1+2sinacosa=，∴sin2a=﹣．故选：A．23．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．24．（2016•肃南裕县校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．25．（2016•河南模拟）已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣2【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．26．（2016•全国二模）已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=sinα，∴tanα===﹣1．故选：A．29．（2017•玉林一模）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．30．（2017•成都模拟）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选：D．。
简单的三角恒等变换练习题(基础、经典、好用)
简单的三角恒等变换一、选择题1．(2013·梅州模拟)设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b2．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118 C.79 D ．－13．已知x ∈(－3π4，π4)，且cos(π4－x )＝－35，则cos 2x 的值是( )A ．－725B ．－2425 C.2425 D.7254．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)的值为( )A ．4 3B.833C ．4D ．85．(2012·湖南高考)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( ) A ．[－2，2] B ．[－3，3] C ．[－1，1] D ．[－32，32]二、填空题6．(2012·大纲全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________． 7．已知sin(π4－x 2)＝35，x ∈(0，π2)，则tan x ＝________．8．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2＝________． 三、解答题9．已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos 2β＝－79，sin(α＋β)＝79. (1)求cos β的值； (2)求sin α的值．10．(2012·重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f （x ＋π6）的值域．图3－6－111．(2012·四川高考)函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如图3－6－1所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈(－103，23)，求f (x 0＋1)的值．解析及答案一、选择题1．【解析】 a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°， ∵sin 24°＜sin 25°＜sin 26°，∴a ＜c ＜b . 【答案】 D2．【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118. 【答案】 B3．【解析】 ∵x ∈(－3π4，π4)，∴sin(π4－x )＝22(cos x －sin x )＞0，又cos(π4－x )＝－35，∴sin(π4－x )＝45.∴cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝－2425. 【答案】 B4．【解析】 f (x )＝2sin xcos x ＋1－2sin 2x212sin x＝2sin x cos x ＋2cos x sin x ＝2（sin 2x ＋cos 2x ）sin x cos x ＝4sin 2x ， 所以f (π12)＝4sin π6＝8.【答案】 D5．【解析】 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3(32sin x －12cos x )＝3sin(x －π6)(x ∈R)，∴f (x )的值域为[－3，3]． 【答案】 B 二、填空题6．【解析】 ∵y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)， ∴y ＝2sin(x －π3)(0≤x <2π)．由0≤x <2π知，－π3≤x －π3<5π3，∴当y 取得最大值时，x －π3＝π2，∴x ＝56π. 【答案】 56π7．【解析】 ∵sin(π4－x 2)＝35，∴sin x ＝cos(π2－x )＝1－2sin 2(π4－x 2)＝1－2×925＝725. 又x ∈(0，π2)∴cos x ＝2425，从而tan x ＝724.【答案】 7248．【解析】 ∵α是第三角限角且sin α＝－2425，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－（－2425）2＝－725，∴tan α2＝1－cos αsin α＝－43.【答案】 －43三、解答题9．【解】 (1)cos 2β＝1＋cos 2β2＝1＋（－79）2＝19，又∵β∈(π2，π)，∴cos β＝－13. (2)由(1)知sin β＝1－cos 2β＝1－（－13）2＝223.由α∈(0，π2)、β∈(π2，π)得(α＋β)∈(π2，3π2)． cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β） ＝－1－（79）2＝－429.sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝79×(－13)－(－429)×223＝13.10．【解】 (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，T ＝2πω，ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2. 从而sin(2×π6＋φ)＝1， 所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又由－π＜φ≤π，得φ＝π6. 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin （2x ＋π2）＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1）＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)．因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2x ≠12， 故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．11．【解】 (1)f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin(ωx ＋π3)． 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4.所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin(πx 04＋π3)＝835，∴sin(πx 04＋π3)＝45.由x 0∈(－103，23)， 知πx 04＋π3∈(－π2，π2)．所以cos(πx 04＋π3)＝ 1－（45）2＝35.故f (x 0＋1)＝23sin(πx 04＋π4＋π3)＝23sin[(πx 04＋π3)＋π4]＝23[sin(πx 04＋π3)cos π4＋cos(πx 04＋π3)sin π4]＝23×(45×22＋35×22)＝765.。
简单的三角恒等变换习题
简单的三角恒等变换一、知识清单1．;__________2sin =α2．______;_________________________________2cos ===α3．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠=Z k ,k 4______________2tan ππαα 4．.________________sin =α25．.________________cos =α2二、同步练习1.求证（1）cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α. （2） αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a（3）2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x （4）4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ（5）在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．2.化简求值（1）θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ （2）设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α（3）已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.求tan α及sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．3.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值，并指出此时x 的值.4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形5.若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．±173 B ．－173 C.13 D.1736.已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 7.已知函数 f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；② f (x )的最小正周期是2π；③ f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④ f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，其中为真命题的是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．②③ D ．③④8.若函数 f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数 9.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 10.已知函数. (1) 求的最小正周期. (2) 求的单调递增区间11.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴；（2）若，求的值域.12.(12分)如图, 现要在一块半径为1m, 圆心角为的扇形纸报AOB上剪出一个平行四边形MNPQ, 使点P在弧AB上, 点Q在OA上, 点M、N在OB上, 设∠BOP＝, 平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角.13.（本小题满分10分）已知函数，求：（I）的最小正周期；（Ⅱ）的最大值与最小值，以及相应的.。
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高考总复习高 中 数 学 高 考 总 复习 简 单 的 三 角 恒 等 变 换 习 题 及 详 解一、选择题π π ，x ∈ R ，则函数 f(x) 是()1． (文 )(2010 山·师大附中模考 )设函数 f(x)＝ cos 2(x ＋ )－ sin 2(x ＋ )44A ．最小正周期为 π的奇函数B ．最小正周期为 π的偶函数πC ．最小正周期为 2的奇函数πD ．最小正周期为 2的偶函数 [ 答案 ] Aπ2π[ 解析 ] f(x)＝ cos(2x ＋ 2)＝－ sin2x 为奇函数，周期 T ＝ 2 ＝ π. ( 理)(2010 辽·宁锦州 )函数 y ＝ sin 2x ＋ sinxcosx 的最小正周期 T ＝ ()π π A ． 2π B ． πC.2D.3[ 答案 ] B[ 解析 ] y ＝ sin 2x ＋ sinxcosx ＝ 1－ cos2x 12＋ sin2x2 ＝ 1＋ 2π，∴最小正周期 T ＝ π.2 2 sin 2x － 4232． (2010 重·庆一中 )设向量 a ＝ (cos α， 2 )的模为 2 ，则 cos2α＝ ()111 3 A ．－ 4 B ．－ 2C.2D. 2[ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ |a|2＝ cos 2α＋ 2 2＝ cos 2α＋ 1＝ 3，2 2 4∴ cos 2α＝1，∴ cos2α＝ 2cos 2α－ 1＝－ 1.42α3．已知 tan 2＝ 3，则 cos α＝ ()444 3A. 5 B ．－ 5C.15D ．－ 5[ 答案 ] Bαααα cos2－ sin2222含详解答案高考总复习1－ tan 2α＝ 2 ＝1－ 9＝－ 4，故选 B. 1＋ tan 2α 1＋ 9522C4．在△ABC 中，若 sinAsinB ＝ cos 2 ，则△ABC 是 ()A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ sinAsinB ＝ cos 2C，211∴ 2[cos(A － B)－ cos(A ＋ B)] ＝ 2(1＋ cosC)， ∴ cos(A － B)－cos( π－C)＝ 1＋ cosC ，∴ cos(A － B)＝1，∵－ π<A －B<π，∴ A － B ＝ 0，∴△ ABC 为等腰三角形．π5． (2010 ·阳市诊断绵 )函数 f(x)＝ 2sin(x － 2) ＋|cosx|的最小正周期为( )πA. 2B ．πC ． 2πD ． 4π[ 答案 ] C[ 解析 ] f(x)＝－ 2cosx ＋ |cosx|－ cosx cosx ≥ 0＝，画出图象可知周期为2π.－ 3cosx cosx<016． (2010 揭·阳市模考 )若 sinx ＋ cosx ＝ 3， x ∈ (0， π)，则 sinx － cosx 的值为 ()17171 17 A ． ± 3 B ．－ 3C.3D. 3[ 答案 ] D[ 解析 ]11 ，∴ sin2x ＝－ 8π 由 sinx ＋ cosx ＝ 两边平方得， 1＋ 2sinxcosx ＝ <0，∴ x ∈ ， π，3 99 2∴ (sinx － cosx)2＝ 1－ sin2x ＝17且sinx>cosx ， 9∴ sinx －cosx ＝17，故选 D.3高考总复习7． (文 )在锐角△ABC 中，设 x ＝ sinA ·sinB ， y ＝ cosA ·cosB ，则 x ， y 的大小关系是 ( )A ． x ≤yB ． x ＜ yC ． x ≥ yD ． x ＞y[ 答案 ] Dπ[ 解析 ] ∵ π>A ＋ B ＞ ，∴ cos(A ＋ B)＜0，即 cosAcosB － sinAsinB ＜ 0，∴ x ＞ y ，故应选 D.2( 理)(2010 皖·南八校 )在△ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为 a 、b 、 c ，如果 cos(2B ＋ C)＋ 2sinAsinB<0，那么 a 、 b 、 c 满足的关系是 ()A ． 2ab>c 2B ． a 2＋ b 2<c 2C ． 2bc>a 2D ． b 2＋ c 2<a 2[ 答案 ] B[ 解析 ] ∵ cos(2B ＋C)＋ 2sinAsinB<0，且 A ＋B ＋ C ＝ π，∴ cos( π－ A ＋B)＋ 2sinA ·sinB<0，∴ cos( π－ A)cosB － sin( π－ A)sinB ＋ 2sinAsinB<0，∴－ cosAcosB ＋ sinAsinB<0 ，即 cos(A ＋ B)>0，π π∴ 0<A ＋ B< ，∴ C> ，22a 2＋b 2－c 2由余弦定理得，cosC ＝<0，2ab∴ a 2＋ b 2－ c 2<0，故应选 B.8． (2010 ·林省调研吉 )已知 a ＝ (cosx ，sinx)，b ＝ (sinx ，cosx)，记 f(x)＝a ·b ，要得到函数 y ＝ sin 4x － cos 4x 的图象，只需将函数 y ＝ f( x)的图象 ()πA ．向左平移 2个单位长度πB ．向左平移 4个单位长度πC ．向右平移 2个单位长度πD ．向右平移 4个单位长度[ 答案 ] D[ 解析 ] y ＝ sin 4x － cos 4 x ＝(sin 2x ＋ cos 2x)(sin 2x － cos 2x)＝－ cos2x ，π π π π将 f( x)＝ a ·b ＝ 2sinxcosx ＝ sin2x ，向右平移 4 个单位得， sin2 x －4 ＝ sin 2x －2 ＝－ sin － 2x＝－ cos2x ，故2 选 D.高考总复习π 29． (2010 浙·江金华十校模考 )已知向量 a ＝ (cos2α， sin α)， b ＝ (1,2sin α－ 1)， α∈ 4， π，若 a ·b ＝5，π 则 tan α＋4 的值为 ( )12 1 2 A.3 B.7C.7D.3[ 答案 ] C[ 解析 ]a ·b ＝ cos2α＋ 2sin 2α－sin α＝ 1－ 2sin 2α＋ 2sin 2α－ sin α＝ 1－ sin α＝ 2，∴ sin α＝ 3，5 5 π∵ <α<π，∴ cos α＝－ 4，∴ tan α＝－ 3，454π 1＋ tan α 1 .∴ tan α＋ ＝ ＝4 1－ tan α 75π 7π10． (2010 湖·北黄冈模拟 )若 2 ≤ α≤ 2 ，则 1＋ sin α＋ 1－ sin α等于 ()α α A ．－ 2cos 2 B ． 2cos 2α α C ．－ 2sin 2 D ． 2sin 2[ 答案 ]C5π7π 5π α 7π[ 解析 ] ≤ α≤，∴4≤ ≤4.∵ 2 2 2∴ 1＋ sin α＋ 1－ sin α＝1＋ 2sin α α 1－ 2sin α α2 cos ＋ cos22 2 ＝α α α α2sin ＋ cos2 ＋sin － cos2 2 22αα α α＝－ (sin ＋ cos )－ (sin － cos )2222α＝－ 2sin 2. 二、填空题π 311． (2010 广·东罗湖区调研 )若 sin 2＋ θ＝5，则 cos2θ＝ ________. [ 答案 ] 7 － 25π 3，∴ cos θ＝ 3，[ 解析 ] ∵ sin ＋ θ＝2 5 5∴ cos2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.高考总复习tanx－ tan3 x12． (2010 江·苏无锡市调研 )函数 y＝的最大值与最小值的积是 ________．1＋ 2tan 2x＋tan4x[ 答案 ]1 －16[ 解析 ] y＝tanx－ tan3x tanx 1－ tan2x2 4＝2 21＋ 2tan x＋ tan x 1＋ tan x＝tanx 1－ tan2x＝sinxcosx cos2x－ sin2x2 · 2 2 2 ＋ 2 2 1＋ tan x 1＋ tan x cos x＋ sin x cos x＋ sin x 1 1＝2sin2x·cos2x＝4sin4x，1所以最大与最小值的积为－16.13． (2010 ·江杭州质检浙)函数 y＝ sin(x＋ 10°)＋ cos(x＋ 40°)，( x∈R )的最大值是 ________．[ 答案 ] 1[ 解析 ]y＝ sinxcos10 °＋ cosxsin10 ＋°cosxcos40 °－ sinxsin40 ＝°(cos10 －°sin40 )sinx°＋ (sin10 ＋°cos40 °)cosx，其最大值为＝2＋ 2 sin10 °cos40°－ cos10°sin40 °＝2＋ 2sin － 30°＝ 1.θ14．(文 )如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上， CD⊥ AB 于点 D ，且 AD＝ 3DB ，设∠COD ＝θ，则 tan22＝________.[ 答案 ] 1 3[ 解析 ]3r，∴ OD＝r，∴ CD ＝ 3 CD ＝3，设 OC＝ r，∵ AD ＝ 3DB，且 AD＋ DB＝2r，∴ AD ＝2 2 2 r ，∴ tanθ＝OD θ∵ tanθ＝2tan2 θ3，∴ tan ＝1－ tan2θ 2 3 (负值舍去 )，2θ1∴tan22＝3.( 理)3tan12 －°3＝ ________. 4cos212 °－ 2 sin12 °[ 答案 ] － 4 3[ 解析 ]3tan12 －°3 ＝ 3 sin12 －°3cos12 °4cos212°－2 sin12 ° 2cos24 sin12°cos12° °2 3sin 12 °－ 60°3. ＝ 1 ＝－ 4三、解答题15． (文 )(2010 北·京理 )已知函数f(x)＝2cos2x ＋ sin 2x － 4cosx.π(1) 求 f(3)的值；(2) 求 f(x)的最大值和最小值．[ 解析 ] π 2π π π 3 9 (1) f( )＝ 2cos＋ sin2－ 4cos ＝－ 1＋－2＝－ .3 33344(2) f(x)＝2(2cos 2 x － 1)＋(1 －cos 2x)－ 4cosx＝ 3cos 2x － 4cosx － 1＝ 3(cosx －23)2－73， x ∈ R因为 cosx ∈ [ － 1,1] ，所以当 cosx ＝－ 1 时， f(x)取最大值 6；当 cosx ＝2时， f(x)取最小值－733.( 理)(2010 广·东罗湖区调研 )已知 a ＝(cosx ＋sinx ， sinx)， b ＝ (cosx － sinx,2cosx)，设 f(x)＝ a ·b. (1) 求函数 f(x)的最小正周期；(2) 当 x ∈ 0，π时，求函数 f(x)的最大值及最小值．2[ 解析 ] (1) f(x)＝ a ·b ＝ (cosx ＋ sinx) ·(cosx － sinx)＋ sinx ·2cosx ＝ cos 2x －sin 2x ＋ 2sinxcosx＝ cos2x ＋ sin2x ＝ 2222 cos2x ＋ 2 sin2xπ ＝ 2sin 2x ＋4 .∴ f(x)的最小正周期 T ＝ π.πππ 5π(2) ∵ 0≤ x ≤ ，∴ ≤ 2x ＋ ≤ 4 ，2 4 4π π ππ 5π π∴当 2x ＋4＝ 2，即 x ＝8时， f(x)有最大值 2；当 2x ＋ 4＝ 4 ，即 x ＝2 时， f(x)有最小值－ 1.π16． (文 )设函数 f(x)＝ cos 2x ＋ 3 ＋ sin 2x.(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期；1C1(2) 设 A 、 B 、 C 为△ABC 的三个内角，若 cosB ＝3， f(2 )＝－4，且 C 为锐角，求 sinA 的值． [ 解析 ] (1) f(x)＝ cos 2x ＋ π π π 1－ cos2x 1 － 3 ＋ sin 2x ＝ cos2xcos － sin2xsin ＋ ＝ 2 sin2x ，3 3 3 2 2所以函数 f(x)的最大值为1＋ 3，最小正周期为π.2(2) f(C )＝ 1－ 3sinC ＝－ 1，所以 sinC ＝ 3π因为 C 为锐角，所以C ＝ 3，在△ ABC 中， cosB ＝13，所以 sinB ＝2 3 2，所以 sinA ＝ sin(B ＋ C)＝ sinBcosC ＋ cosBsinC＝ 2 2 1 1 × 3 ＝ 22＋ 33 × ＋ 26 .2 3→ → → →( 理)已知角 A 、B 、 C 为△ABC 的三个内角， OM ＝ (sinB ＋ cosB ， cosC)， ON ＝ (sinC ， sinB － cosB)， OM ·ON ＝1－ 5.(1) 求 tan2A 的值；2A(2) 2cos 2－ 3sinA － 1 的值．求π2sin A ＋4[ 解析 ]→ →(1) ∵OM ·ON ＝ (sinB ＋ cosB)sinC ＋1cosC(sinB － cosB)＝ sin(B ＋ C)－ cos(B ＋ C) ＝－ 5，∴ sinA ＋ cosA ＝－ 1①5两边平方并整理得： 2sinAcosA ＝－ 24，25∵－24π， π ，25<0，∴ A ∈ 2∴ sinA － cosA ＝ 1－2sinAcosA ＝ 75②联立①②得： sinA ＝ 3，cosA ＝－ 4，∴ tanA ＝－ 3， 5 5 4－ 3∴ tan2A ＝2tanA2＝224 . A ＝－ 1－tan 1－ 9 7163(2) ∵ tanA ＝－ 4，A2cos 22 － 3sinA － 1 cosA －3sinA 1－ 3tanA ∴ π＝ cosA ＋sinA ＝1＋ tanA 2sin A ＋43＝1－3× －4 ＝ 13.－341＋π点之间的距离为2.(1) 求 m 和 a 的值；π(2) 若点 A(x 0， y 0) 是 y ＝ f( x)图象的对称中心，且 x 0∈ 0， 2 ，求点 A 的坐标． [ 解析 ] (1) f(x)＝ sin 2ax － 3sinaxcosax1－ cos2ax3π 1＝ 2 － 2 sin2ax ＝－ sin 2ax ＋ 6 ＋ 2，由题意知， m 为 f(x)的最大值或最小值，所以 m ＝－ 12或 m ＝32，π 由题设知，函数f(x)的周期为，∴ a ＝ 2，2所以 m ＝－ 1或 m ＝3， a ＝ 2. 2 2(2) ∵ f(x)＝－ sin 4x ＋ π＋1，6 2ππ∴令 sin 4x ＋ 6 ＝0，得 4x ＋6＝ k π(k ∈ Z) ，∴ x ＝ k π π－424(k ∈ Z)，由 0≤ k π π π(k ∈ Z)，得 k ＝ 1 或 k ＝ 2，4 －24≤2 因此点 A 的坐标为 5π 1 或 11π1 ， ，24 2 24 2.( 理)(2010 广·东佛山顺德区检测 )设向量 a ＝ (sinx,1)， b ＝ (1， cosx)，记 f(x)＝ a ·b ， f ′ (x)是 f( x)的导函数．(1) 求函数 F(x)＝ f(x)f ′ (x)＋ f 2(x)的最大值和最小正周期；(2) 若 f(x)＝ 2f ′ (x)，求1＋ 2sin 2x的值．cos 2x － sinxcosx[ 解析 ] (1) f(x)＝ sinx ＋cosx ，∴ f ′( x)＝ cosx －sinx ，∴ F(x)＝ f(x)f ′ (x)＋ f 2(x) ＝ cos 2x －sin 2x ＋ 1＋2sinxcosx＝ cos2x ＋ sin2x ＋ 1＝ 1＋ 2sin π2x ＋4 ，π π π ∴当 2x ＋ ＝ 2k π＋ ，即 x ＝ k π＋ (k ∈ Z)时， F( x)max ＝1 ＋ 2.428最小正周期为 T ＝ 2π＝ π.2(2) ∵ f(x)＝ 2f ′ (x)，∴ sinx＋ cosx＝ 2cosx－ 2sinx，∴cosx＝ 3sinx，∴ tanx＝1，3∴1＋ 2sin2x ＝ 3sin2x＋ cos2x ＝ 3tan2x＋ 1＝2.cos2x－sinxcosx cos2x－sinxcosx 1－ tanx。
高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解
高中数学高考总复习简单的三角恒等变换习题及详解一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π2＝π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2πB ．πC.π2D.π3[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为32，则cos2α＝( ) A ．－14B ．－12C.12D.32[答案] B[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛⎭⎫222＝cos 2α＋12＝34，∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－12.3．已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．5．(2010·绵阳市诊断)函数f (x )＝2sin(x －π2)＋|cos x |的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] C[解析] f (x )＝－2cos x ＋|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x cos x ≥0－3cos x cos x <0，画出图象可知周期为2π. 6．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－173C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－89<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝173，故选D. 7．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( )高考总复习含详解答案A ．x ≤yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ＞y[答案] D[解析] ∵π>A ＋B ＞π2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( )A ．2ab >c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．2bc >a 2D ．b 2＋c 2<a 2[答案] B[解析] ∵cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，且A ＋B ＋C ＝π， ∴cos(π－A ＋B )＋2sin A ·sin B <0，∴cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0， ∴－cos A cos B ＋sin A sin B <0，即cos(A ＋B )>0， ∴0<A ＋B <π2，∴C >π2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故应选B.8．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] D[解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π4个单位得，sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos2x ，故选D.9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.13B.27C.17D.23[答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，∵π4<α<π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 10．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sin α＋1－sin α ＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y ＝tan x －tan 3x1＋2tan 2x ＋tan 4x的最大值与最小值的积是高考总复习含详解答案________．[答案] －116[解析] y ＝tan x －tan 3x 1＋2tan 2x ＋tan 4x ＝tan x (1－tan 2x )(1＋tan 2x )2＝tan x 1＋tan 2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x ＝sin x cos xcos 2x ＋sin 2x ＋cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝12sin2x ·cos2x ＝14sin4x ， 所以最大与最小值的积为－116. 13．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． [答案] 1[解析] y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)cos x ，其最大值为(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1.14．(文)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan 2θ2＝________.[答案] 13[解析] 设OC ＝r ，∵AD ＝3DB ，且AD ＋DB ＝2r ，∴AD ＝3r 2，∴OD ＝r 2，∴CD ＝32r ，∴tan θ＝CDOD＝3，∵tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，∴tan θ2＝33(负值舍去)，∴tan 2θ2＝13.(理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.[答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)2cos24°sin12°cos12°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73. (理)(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x .高考总复习含详解答案(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．[解析] (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋ cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝13.17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝32，由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2，所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2.(2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，记f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数．高考总复习含详解答案(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋2sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ， ∴F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x ) ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos2x ＋sin2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝1＋ 2.最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝2f ′(x )，∴sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ， ∴cos x ＝3sin x ，∴tan x ＝13，∴1＋2sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝3tan 2x ＋11－tan x ＝2.。
(完整版)简单的三角恒等变换练习题
3.2 简单的三角恒等变换一、填空题1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．5． 设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________二、解答题6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α．12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．13．求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos2x 的值．15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．参考答案一、填空题1． 215+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θθθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．7．证明：左边=2sin （4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2π－2x ） =cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=αααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +- =ααtan 1tan 1+- =右边，原题得证．9．证明：∵cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅， ∴1－cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+， 1+cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222A B AA A ==+-， 2tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 22．10．解：因为15°是第一象限的角，所以sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·22cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，所以sin x =2524或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =2524，cos x =－257． 又2x 是第一或第三象限角， 从而cos2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜2π， ∴0＜2β＜4π． 故cos656572cos 1=+=2ββ．。
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22）B（，）C（0，）D（- ，）三角恒等变换高考题汇编1、（07 ft东理）函数y=sin （2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（6 3）A ，1B ，C 2，1D 2，cos 22、（07 海南）=-sin( )42 ，则 cos+sin的值为（）A - 7B -1C1D 72 2 2 23、（07 福建文）sin150cos750+cos150sin1050=（）A 0 B1C 3D 12 21 34、（07浙江理）已知sin+cos=且≤≤，则cos2的值是（）5 2 415、（07浙江文）已知sin+cos=则sin2的值是（）5x6、（07 全国Ⅰ理）函数 f（x）=cos2x-2cos2 的一个单调增区间是（）2A（，23 3 6 2 3 6 617、（07广东理）已知函数f（x）=sin2x-（x∈R），则f（x）是（）2A 最小正周期为的奇函数B 最小正周期为的奇函数2C 最小正周期为2的偶函数D 最小正周期为的偶函数8、（07 北京文）函数f（x）=sin2x-cos2x 的最小正周期是（）A B2C 2D 49、（06 全国）函数f（x）=sin2xcos2x 的最小正周期是（）A B2C 2D 410、（06 全国）若 f（sinx）=3-cos2x，则 f（cosx）=（）A 3-cos2xB 3-sin2xC 3+cos2xD 3+sin2x11、（06 重庆文）已知, ∈（0，），cos（-）= 3 ，sin（- ）=-1，则2cos（+）的值等于（）2 2 2 223 3 A - 3B - 1C1 D3 2 22 23 3 1212、（06 重庆理）已知, ∈（ ，），sin （+ ）=-，sin （ - ）= ，4则cos （+ ）=（）454 13113、（06 浙江理）函数y= sin2x+sin 2x ，x∈R 的值域是（ ） 21 3 3 12 1 2 1 2 1 2 A [- ， ]B [- ， ]C [-+ ，+ ] D [-- ，-2 222 1 ]222 22 22214、（06 浙江文）函数 y=2sinxcosx-1，x∈R 的值域是（ ）15、（08 四川）若0 ≤≤ 2,sin > 3cos，则的取值范围是：()⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎛ 4⎫ ⎛ 3⎫ （Ａ） , ⎪（Ｂ） ,⎪（Ｃ） , ⎪（Ｄ） , ⎪⎝ 3 2 ⎭ ⎝ 3 ⎭2 ⎝3 3 ⎭ ⎝ 3 2 ⎭16、（06 湖北）若∆ A BC 的内角A 满足 s in2A= ，则sinA+cosA=（ ） 3A15 B- 15C5 D - 533 3 317、（06 湖南）若 f （x ）= asin （x+ ）+bsin （x- ）（ab≠0）是偶函数，则有序实数44对（a ，b ）可以是（）（注：只要满足 a+b=0 的一组数即可）18、（05 全国1 + cos 2x + 8sin2 x）当 0<x< 时，函数 f （x ）的最小值为（ ）2sin 2xA 2B 2C 4D 4 3sin 3x 13 ）设x 是第四象限角，若=则tan2x=（ ）sin x520、（05 北京）已知 tan =2，则 tan =（），tan （+ ）=（）2421、（07 全国Ⅰ文）函数y= 2cos 2x 的一个单调增区间是（ ）3A （- ， ）B （0， ）C （ ，） D （ ，）4 4 244222、（07 上海理）函数 y=sin （x+ ）sin （x+ ）的最小正周期 T 是（）3223、（07 江苏）函数f （x ）= sinx- cosx ， x∈[-，0] 的单调增区间是（）19、（05 全国3 225 5A [-，- ]B [- ，- ]C [- ，0]D[- ，0]6663 6 24、（10 浙江理数）（11）函数 f (x ) = sin(2x - )- 2 2 sin 2 x 的最小正周期是4.cos25、(07 江西理）若 tan （ -）=3 则 等于（ ）4sinA -2B -1 C1 D2 22 426、（07 江西文）若 tan =3，tan =，则tan （-）等于（）31 1 A -3B -C 3D31 3328、（07 江苏）若 cos （+）=，cos （-）= ，则tantan=（）5π429、（08 ft 东卷 5）已知 cos （α- ）+sinα= 6 553,则sin(α - 7π 6)的值是（A ）-2 3 （B ） 2 3(C)- 4 (D) 4 5 5 5 530、（08 湖南）函数 f (x ) = sin x + 3⎡ ⎤ sin x cos x 在区间 ⎢ , ⎥ 上的最大值是()⎣ 4 2 ⎦A.1B. 1+2C.32 D.1+ 331、（08 浙江）若cos a + 2sin a = - 5, 则 tan a =11（A ）（B ）2（C ） -22 3 - sin 700132、（08 海南）2 - cos 2100 =（） A.2B. 2（D ） - 2C. 2D.233、（08 上海）函数 f (x )＝ 3sin x +sin(2+x )的最大值是34、（08 广东）已知函数 f (x ) = (sin x - cos x ) s in x ， x ∈ R ，则 f (x ) 的最小正周期是．35、（08 ft 东卷 15）已知 a ，b ，c 为△ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ＝（3,-1 ），n ＝（cos A ,sin A ）.若 m ⊥n ，且 a cos B +b cos A =c sin C ，则角 B ＝36、（07 重庆文）下列各式中，值为3 的是（ ）233） （) cos( - A 2sin150cos150 B cos 2150-sin 2150 C 2sin 2150-1 D sin 2150+cos 215037、（2010 陕西文数）3.函数f (x )=2sin x cos x 是 [C](A) 最小正周期为 2π 的奇函数（B ）最小正周期为 2π 的偶函数(C)最小正周期为 π 的奇函数 （D ）最小正周期为 π 的偶函数38、（10 全国 2 文）已知sin=2，则cos(x - 2) =3 （A ） - 5 （B ） - 1 （C 1 D ） 5 39 9339、（10 福建文数）计算1- 2 s in 22.5 的结果等于()1 2 A ．B ．C ．3D ． 223240、（10 福建理数） 计算si n43 cos13 - si n13 cos 43 的值等于（）1 3 A ．B ．C.2D.3232241、（10 全国 2 理数）（13）已知a 是第二象限的角， tan(+ 2a ) = - 4，则 tan a =3．42、（10 浙江文数）（12）函数 f (x ) = sin 2 (2x - )的最小正周期是。
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。
答案：B。
通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。
2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。
答案：C。
通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。
答案：B。
通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。
答案：B。
通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。
5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。
答案：D。
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高考总复习简单的三角恒等变换习题(附参考答案)一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π2＝π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2πB ．πC.π2D.π3[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为32，则cos2α＝( ) A ．－14B ．－12C.12D.32[答案] B[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛⎭⎫222＝cos 2α＋12＝34，∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－12.3．已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．5．(2010·绵阳市诊断)函数f (x )＝2sin(x －π2)＋|cos x |的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] C[解析] f (x )＝－2cos x ＋|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x cos x ≥0－3cos x cos x <0，画出图象可知周期为2π. 6．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－173C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－89<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179且sin x >cos x ，∴sin x －cos x ＝173，故选D. 7．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥yD ．x ＞y[答案] D[解析] ∵π>A ＋B ＞π2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( )A ．2ab >c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．2bc >a 2D ．b 2＋c 2<a 2[答案] B[解析] ∵cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，且A ＋B ＋C ＝π， ∴cos(π－A ＋B )＋2sin A ·sin B <0，∴cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0， ∴－cos A cos B ＋sin A sin B <0，即cos(A ＋B )>0， ∴0<A ＋B <π2，∴C >π2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故应选B.8．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] D[解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π4个单位得，sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos2x ，故选D. 9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.13B.27C.17D.23[答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，∵π4<α<π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 10．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sin α＋1－sin α ＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y ＝tan x －tan 3x1＋2tan 2x ＋tan 4x 的最大值与最小值的积是________．[答案] －116[解析] y ＝tan x －tan 3x 1＋2tan 2x ＋tan 4x ＝tan x (1－tan 2x )(1＋tan 2x )2＝tan x 1＋tan 2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x ＝sin x cos xcos 2x ＋sin 2x ＋cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝12sin2x ·cos2x ＝14sin4x ， 所以最大与最小值的积为－116. 13．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． [答案] 1[解析] y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)cos x ，其最大值为(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1.14．(文)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan 2θ2＝________.[答案] 13[解析] 设OC ＝r ，∵AD ＝3DB ，且AD ＋DB ＝2r ，∴AD ＝3r 2，∴OD ＝r 2，∴CD ＝32r ，∴tan θ＝CDOD＝3，∵tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，∴tan θ2＝33(负值舍去)，∴tan 2θ2＝13.(理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)2cos24°sin12°cos12°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73. (理)(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．[解析] (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋ cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×⎝⎛⎭⎫－341＋⎝⎛⎭⎫－34＝13.17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝32，由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2，所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2.(2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，记f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋2sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ， ∴F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x ) ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos2x ＋sin2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝1＋ 2.最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝2f ′(x )，∴sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ， ∴cos x ＝3sin x ，∴tan x ＝13，∴1＋2sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝3tan 2x ＋11－tan x ＝2.。