平面向量题型归纳

平面向量题型归纳

一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。

3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。(与AB 共线的单位向量是||

AB AB ±)；

5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：∥相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

∥两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

∥平行向量无传递性！（因为有0)；

∥三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、

共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ）

A.AB CD =

B.AB AD BD -=

C.AD AB AC +=

D.AD BC +=0

7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 、AB BA =-。例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。其中正确的是_______

题型1、基本概念

1：给出下列命题：

∥若|a |＝|b |，则a =b ；∥向量可以比较大小；∥方向不相同的两个向量一定不平行； ∥若a =b ，b =c ，则a =c ；∥若a //b ，b //c ，则a //c ；∥00a ⋅=；∥00a ⋅=； 其中正确的序号是 。

2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。

（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。

（8）若ma mb =，则a b =。 （9）若ma na =，则m n =。

（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。

（11）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。 （12）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。

二、向量加减运算

8.三角形法则：

AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

题型2.向量的加减运算

1、化简()()AB MB BO BC OM ++++= 。

2、已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。

3、在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有 ( )

A. 0AD =

B. 00AB AD ==或

C. ABCD 是矩形

D. ABCD 是正方形 题型3.向量的数乘运算

1、计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-= 题型4.作图法求向量的和

1、已知向量,a b ，如下图，请做出向量132a b +

和322

a b -。 题型5.根据图形由已知向量求未知向量 1、已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，

表示AD 。 2、在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。

题型6.向量的坐标运算

1、已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132

a b -= 。 练习：若物体受三个力1(1

,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 。 2、已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。

3、.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -。

2、已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值。

5、已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内

的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1、已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.1212e e e e +-和

B.1221326e e e e --和4

C.122133e e e e +-和

D.221e e e -和 练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） (A))2,1(),0,0(21-==e e (B) )7,5(),2,1(2

1=-=e e (C) )10,6(),5,3(21==e e (D) )4

3,21(),3,2(21-=-=e e 2、.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55-- D.4(1,)3

--

3、知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于

4、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、

B 、D 三点共线，求k 的值.

5、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB ，其中α,β∥R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为 （ ） A ．3x +2y -11=0 B ．(x -1)2+(y -2)2=5 C ．2x -y =0 D ．x +2y -5=0

四．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2

π时，a ，b 垂直。 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a

a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。