苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数(解析版)

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新苏科版九年级数学下册《7章锐角三角函数7.2正弦、余弦》教案_15

走了 13m后，他的相对位置升高了 5m，如果
他沿着该斜坡行走了 26m，那么他的相对位
置升高了多少？行走了 a m 呢？
学生活动师生问答
2、问题 2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多
远？
二、探索活动 1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一
个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值 __________；它的邻边与斜边的比值 ___________ 。
学生独立回答问题小组讨论后集体讨论，教师引导
（根据是 ______________________________ 。） 2、正弦的定义如图，在 Rt △ ABC中，∠ C＝ 90°，
我们把锐角∠ A 的对边 a 与斜边 c 的比
叫做 ∠ A 的 ______ ，记作 ________ ，即： sinA ＝
.
情感态度 1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲
.
价值观 2.训练学生动脑、动口、动手能力 .
理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余
弦值。在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
自主探究法
教学准备多媒体 PPT 课件
教师活动一、情景创设
1、问题 1：如图，小明沿着某斜坡向上行
_____.
（ 3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦
值和余弦值。
（4）观察与思考：
从 sin15 °， sin30 °， sin75 °的值，你们得到什么结论？
从 cos15 °， cos30 °， cos75 °的值，你们得到什么结论？
当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎

中考数学-锐角三角函数(解析版)

专题 28 锐角三角函数
知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义在 Rt△ABC 中，若∠C=90°
sin A A的对边 a
斜边
c
A的邻边
b
cos A
斜边
c
A的对边
a
tan A A的邻边 b
A的邻边
b
cot A A的对边 a
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系： sin2 Acos2 A1
（1）三边之间的关系为 a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A
=
1 2
ac sin
B
（2）Rt△面积公式：
S
1 2
ab
1 2
ch
（3）直角三角形外接圆的半径
R c 2
，内切圆半径
r abc 2
结论：直角三角形斜边上的高 h ab c
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母 i 表示，即 i h . l
见问题，这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．

苏科版数学九年级下册7.6《锐角三角函数的简单应用》讲教学设计

苏科版数学九年级下册7.6《锐角三角函数的简单应用》讲教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.6《锐角三角函数的简单应用》这一节主要介绍了锐角三角函数的概念和简单应用。

学生通过学习这一节内容，可以进一步理解锐角三角函数的定义和性质，并能运用到实际问题中。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生掌握锐角三角函数的应用方法。

二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了锐角三角函数的定义和性质，但对函数的应用可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要帮助学生理解和掌握锐角三角函数的应用方法，并能够将其运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握其应用方法，并能够解决实际问题。

2.过程与方法：学生通过观察、分析和实践，培养解决问题的能力。

3.情感态度价值观：学生能够积极参与学习，增强对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.重点：学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握其应用方法。

2.难点：学生能够将锐角三角函数运用到实际问题中，解决问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

2.案例教学法：通过分析例题和练习题，让学生掌握锐角三角函数的应用方法。

3.小组合作学习：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具准备：准备多媒体教学设备，如投影仪和计算机等。

2.教学资源：准备相关的例题和练习题，以及教学PPT。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如建筑工人测量高度等，引入锐角三角函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示锐角三角函数的定义和性质，引导学生观察和分析。

3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的例题，教师进行个别指导，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的应用方法。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，共同完成教材中的练习题，教师巡回指导，巩固学生对锐角三角函数应用的理解和掌握。

苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理

苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理一、锐角三角函数的意义：（1）一个锐角的正弦、余弦、正切就叫做这个角的三角函数。

①锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA 。

（即直角三角形中两条直角边的比）②锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。

（即直角三角形中锐角A 所对的直角边与斜边的比） ③锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA 。

（即直角三角形中锐角A 相邻的直角边与斜边的比）（2）如图,在△ABC 中,∠c=900二、锐角三角函数之间的关系：（1）等角（锐角）的三角函数之间的关系：如果几个锐角相等,则其三角函数值对应相等；反之,如果几个锐角的三角函数值对应相等,则这几个锐角相等。

即锐角的三角函数值只与角的度数有关；若度数相等,则其三角函数值则对应相等。

边A的对边sinA 斜∠=斜边A的邻边cosA ∠=边A 边A的tanA 的邻对∠∠=（2）同一个锐角的三角函数之间的关系 ①sin²A+cos²A=1（即同一个锐角的正弦值和余弦值的平方和为1。

）② （即同一个锐角的正切值=这个角的正弦值与该角余弦值的商。

）（3）互余两锐角之间的三角函数之间的关系①若∠A 与∠B 互为余角,则sin A= cos （90︒- A ）= cosB②若∠A 与∠B 互为余角,则tan A ×tan （90︒- A ）= 1即tan A ×tanB = 1即：若∠A 与∠B 互为余角,则①∠A 的正弦值=∠B 的余弦值；∠A 的余弦值=∠B 的正弦值。

②∠A 的正切值与∠B 的正切值互为倒数。

三、锐角三角函数值的变化规律（或增减性）①当角度在0---90之间变化时,正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

②当角度在0---90之间变化时,余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

四、特殊角的三角函数cosAsinAtanA =五、解直角三角形（1）意义：由直角三角形中的已知元素（除直角外）,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。

苏科版数学九年级下册《7.3 特殊角的三角函数》教学设计

苏科版数学九年级下册《7.3 特殊角的三角函数》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级下册》第七章第三节“特殊角的三角函数”是初高中数学衔接的重要内容。

本节课主要介绍特殊角的三角函数值，包括30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值。

这些值在三角函数的学习以及解决实际问题中具有重要作用。

通过对特殊角的三角函数的学习，学生可以更好地理解三角函数的概念，为后续学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数、几何知识，具备一定的数学基础。

但是，对于特殊角的三角函数值，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生逐步理解特殊角的三角函数值，并通过实例让学生感受其在实际问题中的应用。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值，并能运用这些值解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生探究特殊角的三角函数值的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.重点：特殊角的三角函数值。

2.难点：特殊角的三角函数值的推导和应用。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生探究特殊角的三角函数值，激发学生的思维。

2.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得，互相促进。

3.实例分析法：通过实际问题，让学生感受特殊角的三角函数值在解决问题中的作用。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、多媒体教学设备。

2.学生准备：笔记本、三角板、计算器。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的锐角三角函数知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示特殊角的三角函数值，包括30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切函数值。

引导学生观察这些值的特点，并引导学生思考如何推导这些值。

第7章-专题16用锐角三角函数解决问题-同步学与练(含解析)-数学苏科版九年级下册

专题16用锐角三角函数解决问题（5个知识点4种题型3个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）知识点2．仰角、俯角问题（重点）知识点3．方向角问题知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题题型2．利用锐角三角函数解航线问题题型3．利用锐角三角函数进行方案设计题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题【方法三】仿真实战法考法1．仰角、俯角问题考法2．方向角问题考法3．坡度问题【方法四】成果评定法【学习目标】1．了解坡角、坡度、仰角、俯角、方向角等概念，并能在具体问题中正确运用．2．会用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来．3．能把实际问题转化为数学问题，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用，增强应用数学的意识和解决问题的能力．【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）1．如图，坡面的铅垂高度（A）和水平宽度（B）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作A，即B．坡度通常写成DC的形式，如i=1︰1.5．2．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作B．坡度C与坡角B之间的关系：B．【例1】．（2023秋•盘州市期中）1．某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂∠为43︒，坡长AB为2m．为保障安直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角ABC全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡（D在直线BC上），∠为31︒．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1m）【参考数坡角ADC据：sin430.68cos430.73ta430.93，，】︒=︒=︒=n，，；sin310.52cos310.86tan310.60︒=︒=︒=知识点2．仰角、俯角问题（重点）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线．2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线．3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例2】．（2023秋•成都期中）2．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠= ，求小李到古塔的水平距离即BC的长. （结果精确到1m，参考数据：75AOC≈≈）1.73知识点3．方向角问题1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度．若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向．2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角．方位．角A的取值范围为0360θ≤<【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）3．如图，海岸边上有三个观测站,,A B C ，观测站B 在观测站A 的东北方向，观测站C 在观测站B 的正东方向，观测站,B C 之间的距离为30海里．某天，观测站,,A B C 同时收到一艘轮船在D 处发出的求救信号，经分析，D 在观测站C 的南偏东15︒方向，在观测站B 的东南方向，在观测站A 的正东方向．(1)求CD 的长度．（结果精确到个位）(2)目前只有观测站A 与B 配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站B 的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去C 处，才能再去D 处（在C 处停留时间可忽略不计）；而观测站A 的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达D 处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 处？（参考数据：1.732≈≈）知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）【例4】．（2023•秦都区校级模拟）4．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 37 1.73≈≈≈≈︒︒︒）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【例5】．（2023秋•大东区期末）5．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7m AO =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；(2)若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈，1.732)≈【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题（2023秋•长春期末）6．在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ，已知30DCE ∠=︒，点E C A 、、在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒．求塔AB 的高度．【参考数据：tan 27 1.7︒==】．（2023秋•闵行区月考）7．小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度．如图所示，他先在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β．已知1tan 3α=，sin 13β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．求建筑AB 的高度．题型2．利用锐角三角函数解航线问题（2023上·山东东营·九年级统考期中）8．如图，灯塔A 周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B 处，测得灯塔A 在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C 处，测得灯塔A 在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin 320.530︒≈，cos320.848︒≈，tan 320.625︒≈，sin 580.848︒≈，cos580.530︒≈，tan 58 1.6︒≈）（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）9．嘉淇看到这样一道题目：如图，某巡逻船在A 处测得一艘敌舰在北偏东31︒的B 处，卫星测得AB 相距6海里，巡逻船静止不动，6分钟后测得该敌舰在巡逻船的北偏东57.6︒的C 处，此时卫星信号突然中断，已知该敌舰的航速为30海里/小时．（结果保留整数，参考数据：tan310.6︒≈，tan 57.6 1.6︒≈，tan 26.60.5≈° 2.236≈）嘉淇过点C 作CD AB ⊥于D ，设CD x =海里，请你帮她接着解决以下问题：(1)BD =______里（用含用x 的代数式表示）；(2)求敌舰在C 处时与巡逻船的距离．题型3．利用锐角三角函数进行方案设计（2023•东台市一模）10．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道120AB cm = ,两扇活页门的宽60OC OB cm == ,点B 固定，当点C 在AB 上左右运动时，OC 与OB 的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若50OBC ∠=︒,求AC 的长；(2)当点C 从点A 向右运动60cm 时，求点O 在此过程中运动的路径长.（参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14）图1 图2（2023•洪泽区二模）11．某班学生到工厂参加劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD 为矩形，点B 、C 分别在EF 、DF 上，90ABC ∠=︒，53BAD ∠=︒，10cm AB =，5cm =BC ．求零件的截面面积．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈）（2023•滨湖区一模）12．如图，某工程队从A 处沿正北方向铺设了184米轨道到达B 处．某同学在博物馆C 测得A 处在博物馆C 的南偏东27︒方向，B 处在博物馆C 的东南方向．（参考数据：sin 270.45︒≈︒，cos270.90︒≈︒，tan 270.50︒= 2.45=．）(1)请计算博物馆C 到B 处的距离；（结果保留根号）(2)博物馆C 周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B 处时，只需沿北偏东15︒的BE 方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C 周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）（2023•苏州）13．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，,,BE CD GF 为长度固定的支架，支架在,,A D G 处与立柱AH 连接（AH 垂直于MN ，垂足为H ），在,B C 处与篮板连接（BC 所在直线垂直于MN ），EF 是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F 处的螺栓改变EF 的长度，使得支架BE 绕点A 旋转，从而改变四边形ABCD 的形状，以此调节篮板的高度）．已知,208cm AD BC DH ==，测得60GAE ∠=︒时，点C 离地面的高度为288cm ．调节伸缩臂EF ，将GAE ∠由60︒调节为54︒，判断点C 离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin540.8,cos540.6︒≈︒≈）题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题（2023•建湖县三模）14．水乡建湖小桥多．桥的结构多为弧形的桥拱，弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．我校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为弧AB ，弦AB 为水平面，设弧AB 所在圆的半径为r ，建立了数学模型，得到了多个方案．(1)如图②，从点A 处测得桥拱上点C 处的仰角为30︒，BC a =，则r = ．（用含a 的代数式表示）(2)如图③，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：50B ∠=︒，8.8AC =米，求半径r （结果精确到0.1）．（参考数据：sin 200.34cos 200.94tan 200.36sin 500.77,cos500.64tan 50 1.19︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，）(3)如图④，在弧AB 上任取一点C （不与A B 、重合），作CD AB ⊥于点D ，若2CD =，3BD =，8AD =，求r 的值．【方法三】仿真实战法考法1．仰角、俯角问题（2023•南通）15．如图，从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30︒，看这栋楼底部C 的俯角β为60︒，无人机与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（）A．B．C．D．（2023•淮安）16．根据以下材料，完成项目任务，项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量说明：点Q 为古塔底面圆圆心，测角仪高度15m AB CD ==.，在B D 、处分别测得古塔顶端的仰角为3245,9m BD ︒︒=、，测角仪CD 所在位置与古塔底部边缘距离12.9m DG =．点B D G Q 、、、在同一条直线上．参考数据sin320.530,cos320.848,tan320.625︒≈︒≈︒≈项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．（2023•泰州）17．如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为2635︒'．求堤坝高及山高DE ．（sin 26350.45'︒≈，cos 26350.89'︒≈，tan 26350.50'︒≈，小明身高忽略不计，结果精确到1m ）考法2．方向角问题（2022•南京）18．如图，灯塔B 位于港口A 的北偏东58︒方向，且A ，B 之间的距离为30km ，灯塔C 位于灯塔B 的正东方向，且B ，C 之间的距离为10km ．一艘轮船从港口A 出发，沿正南方向航行到达D 处，测得灯塔C 在北偏东37︒方向上，这时，D 处距离港口A 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）考法3．坡度问题（2023•淄博）19．如图，与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB （与水平地面BF 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若2BC =米，8.48CD =米，斜坡的坡角32ECF ∠=︒，则立柱AB 的高为米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625（2023•深圳）20．爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能()1.025cos J α-，若某人爬了1000m ，该坡角为30° 1.732≈ 1.414≈）（）A ．58JB ．159JC ．1025JD ．1732J（2023•辽宁）21．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）（2023•大庆）22．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268︒≈）【方法四】成果评定法一、选择题（共5小题）（2023•苏州一模）23．如图，为测楼房BC 的高，在距离楼房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC 为（）A ．30tan α米B ．30tan α米C ．30sin α米D ．30sin α米（2023秋•沛县校级月考）24．如图，滑雪场有一坡角20︒的滑雪道，滑雪道AC 长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB 的长为（）米．A ．200cos 20︒B ．200sin 20︒C ．200cos 20︒D ．200sin 20︒（2023秋•淮阴区期中）25．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC a =米，35PCA ∠=︒，则小河宽PA 等于（）A ．sin 35a ⋅︒米B ．sin 55a ⋅︒米C ．tan 35a ⋅︒米D ．tan 55a ⋅︒米（2023•梁溪区校级二模）26．小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A 处，花洒AD 的长度为20厘米．已知花洒与墙面所成的角120BAD ∠=︒，当花洒喷射出的水流CD 与花洒AD 成90︒的角时，水流喷射到地面的位置点C 与墙面的距离为（）A B ．200厘米C D ．170厘米（2023秋•江阴市月考）27．如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为)1海里．观测站B 到AC 的距离BP 是（）AB ．1C ．2D 二、填空题（共5小题）（2023秋•通州区校级月考）28．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知2m BC =， 5.8m CD =，30DCF ∠=o ，则车位所占的宽度EF 为米． 1.7≈，结果精确到1m)（2023秋•靖江市期中）29．如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．（2023•靖江市模拟）30．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为．（2023秋•无锡月考）31．“十一”假期，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为15m，旋转1周需要24min（匀速）．小明乘坐最底部（离地面约1m）的车厢按逆时针方向旋转开始1周的观光，启动10min时，小明离地面的高度是m．（2023秋•海门市校级月考）32．已知B港口位于A观测点北偏东45︒方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75︒方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为 km ．三、解答题（共7小题）（2023秋•通州区校级月考）33．2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED 与斜坡AB 垂直，大腿EF 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设G ，E ，D 三点共线且头部到斜坡的距离GD 为1.05m ，上身与大腿夹角53GFE ∠=︒，膝盖与滑雪板后端的距离EM 长为0.9m ，30EMD ∠=︒(1)求此滑雪运动员的小腿ED 的长度；(2)求此运动员的身高．（运动员身高由GF EF DE 、、三条线段构成；参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）（2023•灌云县校级模拟）34．如图，建筑物BC 的顶部有一个广告牌AB ，从距离建筑物15米的D 处测得广告牌的顶部A 的仰角为39︒，测得广告牌的底部B 的仰角为30︒，求广告牌AB 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan 390.81︒≈ 1.73≈．（2022秋•高邮市期末）35．如图1是一辆汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为n ︒时，箱盖DCE 落在DC E ''的位置（如图2），100cm DC =，20cm CE =，40cm EB =．(1)若72n =，求点C 、C '两点之间的距离；（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈）(2)若60n =，求E 、E '两点之间的距离．（2023•阜宁县二模）36．一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为24︒．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q 处，此时测得该建筑物底端B 的俯角为66︒．已知建筑物AB 的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：2sin 245≈ ，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈，9sin 6610︒≈，2cos 665︒≈，9tan 664︒≈）（2023秋•泰兴市期中）37．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．为了方便居民领取快递，小明的爸爸计划在一条笔直的公路l 旁设一个菜鸟驿站点P ，使驿站到公路同侧的A 、B 两个小区的距离相等．(1)如图 1，当A 小区到公路l 的距离300m AC =， B 小区到公路l 的距离400m BD =，且700m CD =时，求驿站点P 到A 小区的距离；(2)如图2，若A 、B 两个小区到公路l 的距离均为a ，CD 的长度为2a ，求APB ∠的度数；(3)爱动脑的小明通过推理发现：当A 小区到公路l 的距离a 与B 小区到公路l 的距离b 之和等于CD 的长度时，APB ∠始终是直角．请利用图3加以说明．（2023秋•启东市期中）38．如图，上午8时，一条船从A 处测得灯塔C 在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B 处，测得灯塔C 在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C 的正东方向D 处?（2023•栖霞区校级三模）39．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O 处，点O 距地面AC 的高度为60m ，此时观测到楼AB 底部点A 处的俯角为70︒，楼CD 上点E 处的俯角为30︒，沿水平方向由点O 飞行24m 到达点F ，测得点E 处俯角为60︒，其中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长．（结果精确到1m ，参考数据：sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈ 1.73)≈参考答案：1．2.3m【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先在Rt ABC △中，求出AC 的长，再在Rt ADC ，由tan AC ADC CD ∠=，即可求出CD 的长，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．【详解】解：在Rt ABC △中，sin AC ABC AB∠=，()sin4320.68 1.36m AC AB ∴=⋅︒=⨯=，在Rt ADC 中，tan AC ADC CD ∠=， ∴()1.36 2.3m tan 310.60AC CD ==≈︒，∴斜坡AD 底端D 与平台AC 的距离CD 约为2.3m ．2．21【分析】过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，根据题意可得：40AO =米，20OC =米，OE BD =，OE BD ∥，从而可得45EOC OCD ∠=∠=︒，进而可得30AOE ∠=︒，然后在Rt OCD △中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，再在Rt AOE 中，利用锐角三角函数的定义求出OE 的长，从而求出BD 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，由题意得：8540AO =⨯=（米），4520OC =⨯=（米），OE BD =，OE BD∥∴45EOC OCD ∠=∠=︒，∵75AOC ∠=︒，∴30AOE AOC EOC ∠=∠-∠=︒，在Rt OCD △中， cos 4520CD OC =⋅︒==（米），在Rt AOE 中，cos3040OE AO =⋅︒==，∴OE BD ==，∴21BC BD CD =-=-≈（米），∴小李到古塔的水平距离即BC 的长约为21米．3．(1)42（海里）；(2)A 观测站搜救艇可以更快到达D 处．【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理15︒是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可．（2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题．【详解】（1）解：预备知识：如图1，在以90B Ð=°，15C ∠=︒，1AB =的Rt ABC △中，作AD BC =．∵15C DAC ∠=∠=︒∴30ADB C DAC ∠=∠+∠=︒∴在Rt △ABD 中，1AB =，∴由锐角三角函数可得BD =2AD CD ==，∴2BC =+，在Rt ABC △中，tan tan152AB C BC ∠=︒===．如图，过点D 作ED BC ⊥于点E ，由题意可得，45A HBD BDH ∠=∠=∠=︒，15FCD DC ∠=∠E =︒30BC HF ==．设CE x =，则30BE BH ED x ===+，∴在Rt EDC 中，tan tan152CE CDE ED∠=︒==∴(2CE ED =⋅∴(30)(2x x =+1)x =-，∴1)CE =，301)1)ED =+=．由勾股定理得，222CE ED CD +=∴42CD ==≈（海里）．（2）由（1）知，1)BH ED ==，∴从A 观测站行驶距离：21)AD BH ==（海里）时间：11) 2.732t ==≈（小时）；从B 观测站行驶距离1)BC CD +=（海里）时间：20.5 1.5 2.914t ==≈（小时）∵12t t <，∴A 观测站的搜救艇可以更快到达D 处．4．约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB =8米，∠ABC =37°，则AC =AB •sin ∠ABC ≈8×0.60=4.8（米），BC =AB •cos ∠ABC ≈8×0.80=6.40（米），在Rt △ADC 中，∠ADC =30°，则CD= 4.8tan tan 30AC ADC ==∠︒（米），∴BD =CD -BC =8.30-6.40≈1.9（米），答：BD 的长约为1.9米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．(1)车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m(2)没有碰头的危险．理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）过点B E AD '⊥于E ，根据正弦的定义求出B E '，进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）过点C '作C F B E ''⊥于点F ，根据题意求出60C B F ''∠=︒，根据余弦的定义求出B F '，再求出点C '到地面l 的距离，比较大小证明结论．【详解】（1）解：如图2，过点B E AD '⊥于E ，在Rt AB E '△中，1m AB AB '==，27B AD '∠=︒，sin B E B AE AB ''∠='，()sin 1sin 270.454m B E AB B AE '''∴=⋅∠=⨯︒≈，∴点B '到地面l 的距离为：()0.454 1.7 2.154 2.15m +=≈，答：车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C '作C F B E ''⊥于点F ，在Rt AB E '△中，27B AD '∠=︒，则902763AB E '∠=︒-︒=︒，123AB C ABC '∠=∠=︒ ，60C B F ''∴∠=︒，0.6m B C BC ''== ，()1cos 0.60.3m 2B F BC C B F ∴=⋅∠⨯''=''='，∴点C '到地面l 的距离为：()2.150.3 1.85m -=，1.85 1.83> ，∴没有碰头的危险．6．塔AB 的高度约为11.1m【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，根据题意可得：DE EC ⊥，然后在Rt DEC △中，利用含30度角的直角三角形的性质得CE ==，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，设m AB h =，根据题意得：()m,3m DF EA h DE FA ====则()3m BF h =-，然后在Rt BDF △中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，从而列出关于h 的方程，进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．【详解】由题意得：DE EC ⊥，在Rt DEC △中，90,30DEC DCE ∠=︒∠=︒，3m DE =，CE ∴==BA EA ⊥ ，在Rt ABC △中，m,45AB h BCA =∠=︒，m tan45AB AC h ∴=︒=()mAE EC AC h ∴=+=+过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，由题意得：()m,3m DF EA h DE FA ==+==，m AB h = ，()3m BF AB AF h ∴=-=-，在Rt BDF △中，27BDF ∠=︒，()tan270.5m BF DF h ∴=⋅︒=()30.5h h ∴-=，解得：611.1h ==11.1m AB ∴=∴塔AB 的高度约为11.1m ．7．31.5+【分析】延长BE BG ，分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =，则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+，然后在Rt MM B ' 和Rt MN B ' 中解直角三角形可得()1·tan 2103BM MM x α==+'、·tan BM MN β'=，由sin 13β=可得tan β=)210BM x =+，据此列方程解得35x =，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键．【详解】解：如图：延长BE BG ．分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =,则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+,在Rt MM B ' 中，()1·tan 2103BM MM x α==+'；在Rt MN B ' 中，·tan BM MN β'=，∵sin 13β=，∴cos β=，∴tan β=∴)210BM x =+，∴())12202103x x +=+，解得：35x =，∴()()123520 1.531.5m 3AB ⎡⎤=⨯++=⎣⎦．答：建筑AB 的高度为()31.5m ．8．渔船没有触礁的危险．【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点A 作AD BC ⊥，分别解Rt ADC 和Rt ADB ，求出AD 的长，即可得出结论．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，由题意，得：905832ABC ∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，8BC =，设AD x =，在Rt ADC 中，45ACD ∠=︒，∴AD CD x ==，∴8BD x =+，在Rt ADB 中，tan 0.6258AD x ABD BD x ∠==≈+，∴13x ≈，∴13AD ≈，∵1312>，∴渔船没有触礁的危险．9．(1)()62x -；(2)敌舰在C 【分析】(1)在Rt ADC 中运用1tan 2CD CAD AD ∠==，可求出2AD x =，再根据线段的和差即可求解； (2)运用勾股定理求出3CD =或95，再根据勾股定理求出AC 的长即可求解；本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解．【详解】（1）解：根据题意得， 57.63126.6CAB ∠=︒-︒=︒，630360BC =⨯=(海里)，在Rt ADC 中，CD x =海里，∴1tan 2CD CAD AD ∠==，∴2AD x =，∴()62BD AB AD x =-=-海里，故答案为：()62x -；（2）解：∵CD AB ⊥，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，∴222BD CD BC +=，即()222623x x -+=，解得13x =，295x =，∵CD BC <，∴13x =不合，舍去，∴95x =，又222AD CD AC +=，即()2222x x AC +=，∴AC =(负值舍去)，∴AC =海里) ，答：敌舰在C 10．（1）43.2cm. （2）62.8cm.【详解】【分析】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，在Rt △OBH 中，由cos ∠OBC=BH OB，求得BH 的长，再根据AC=AB －2BH 即可求得AC 的长；（2）由题意可知△OBC 是等边三角形，由此即可求出弧OC 的长，即点O 在此过程中运动的路径长.【详解】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，∵OC=OB=60，∴CH=BH ，在Rt △OBH 中，∵ cos ∠OBC=BH OB，∴BH= OB·cos50°≈60×0.64=38.4，∴AC=AB －2BH≈120－2×38.4=43.2，∴AC 的长约为43.2cm ；（2）∵AC=60，∴BC=60 ，∵OC=OB=60，∴OC=OB=BC=60 ，∴△OBC 是等边三角形，∴ OC 的长=6060180π⨯=20 3.14⨯ =62.8，∴点O 在此过程中运动的路径长约为62.8cm.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.11．截面的面积为250cm ．【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．由矩形的性质解直角三角形求得AE ，BE 的长，再解直角三角形求解BF ，FC 的长，进而可求解四边形EFDA ，ABE ，BCF △的面积，根据截面的面积ABE BCF EFDA S S S =-- 四边形计算可求解．【详解】解：四边形AEFD 为矩形，53BAD ∠=︒，∴AD EF ∥，90E F ∠=∠=︒，53BAD EBA ∴∠=∠=︒，在Rt ABE △中，90E ∠=︒，10cm AB =，53EBA ∠=︒，sin 0.80AE EBA AB∴∠=≈，cos 0.60BE EBA AB ∠=≈，8AE ∴=，6BE =，90ABC ∠=︒ ，9037FBC EBA ∴∠=︒-∠=︒，9053BCF FBC ∴∠=︒-∠=︒，在Rt BCF 中，90F ∠=︒，6BC cm =，sin 0.80BF BCF BC ∴∠=≈，cos 0.60FC BCF BC∠=≈，4BF ∴=，3=FC ，6410EF ∴=+=，()281080cm EFDA S AE EF ∴=⋅=⨯=四边形，()2118624cm 22ABE S AE BE =⋅=⨯⨯= ，()211436cm 22BCF S BF CF =⋅=⨯⨯= ，∴截面的面积()28024650cm ABE BCF EFDA S S S =--=--= 四边形．答：截面的面积为250cm ．12．(1)博物馆C 到B 处的距离约为(2)博物馆C 周围至少225米内不能铺设轨道【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点C 作CG AB ⊥于点G ，证明BCG 是等腰直角三角形，得到CG BG =，设CG BG x ==，则BC =，再由锐角三角函数定义得2AG x =，再由2184x x =+，问题可解；（2）过点C 作CH BE ⊥于点H ，根据题意得60CBE CBG DBE ∠=∠+∠=︒，利用锐角三角函数的定义求出CH 的长即可．【详解】（1）解：如图1，过点C 作CG AB ⊥于点G ，在Rt BCG 中，45CBG ∠=︒，。

苏科版数学九年级下7.2锐角三角函数—正弦、余弦课件(共16张PPT)

B
在△ABC中, ∠C=90°.
A C
我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦,记作sinA. 我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦,记作cosA.
∠A的对边 a sinA = = 斜边 c
∠A的邻边 b cosA = = 斜边 c
整合提升
1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D若AC= 5 BC=2 ，求∠A的三角函数值和sin∠ACD的值.
AD 4 tan B . BD 3
个性展示
3. 在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求: △ABC 的周长和面积
5 4 .在△ABC中，∠C=90°，sinA= 13 ，△ABC的周长
为60，求△ABC的面积。
课堂小结
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数
例1.根据图中数据,分别求出∠A, ∠B 的正弦,余弦.
A
C
3
C
3
4 ①
B
A
4 ②
B
已知:如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D
(1)sinA ( AC ) BC (
( AB
A
)
)
C D B
CD (2)sinB ( )

(3)cosACD
(4)tanA CD (
CD (
( AC
)
, cosBCD
) , tanB (
( BC
)
)
A计算器 ,求值（精确到0.01）:
α sinα 10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º
0.17 0.34 0.5 0.87 0.64 0.77 0.77 0.64 0.87 0.5 0.94 0.34 0.98 0.17

初中数学九年级下册苏科版7.6用锐角三角函数解决问题说课稿

课中，我将采用问题驱动法和案例分析法为主要教学方法。问题驱动法能够激发学生的学习兴趣和动机，引导学生主动探索和解决问题。案例分析法能够让学生直观地理解和掌握锐角三角函数在实际问题中的应用。这两种方法都符合建构主义学习理论，即学生通过主动构建知识体系来提高学习效果。
（二）媒体资源
为了辅助教学，我将使用多媒体课件、实物模型和数学软件等技术工具。多媒体课件能够生动地展示锐角三角函数的图像和性质，帮助学生直观地理解知识点。实物模型和数学软件则可以让学生亲身体验和操作，增强他们的动手能力和解决问题的能力。
3.动手实践：让学生利用实物模型或数学软件进行操作和实践，亲身体验锐角三角函数的应用过程。这样的实践活动能够增强学生的动手能力和解决问题的能力。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我会引导学生进行自我评价，并提供有效的反馈和建议。首先，我会让学生回顾所学知识，总结锐角三角函数的概念和性质。然后，我会鼓励学生分享自己的学习心得和体会，让其他同学和学习成果。最后，我会对学生的表现进行点评，给予肯定和鼓励，并提出改进的建议和指导。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我会逐步呈现锐角三角函数的知识点，引导学生深入理解。首先，我会回顾一下锐角三角函数的定义和性质，为学生提供一个知识框架。然后，我会通过多媒体课件展示锐角三角函数的图像，让学生直观地理解函数的变化规律。接下来，我会通过案例分析法，引导学生分析和解决实际问题，让学生将理论知识运用到实际情境中。在这个过程中，我会鼓励学生积极参与，提出问题和解决问题，从而加深对锐角三角函数的理解。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将注重布局的合理性、内容的精炼性和风格的简洁性。板书将包括本节课的主要知识点，如锐角三角函数的定义、图像和性质，以及解决实际问题的方法。布局上，我会将板书分为几个部分，每个部分都有明确的标题和内容，以便学生能够清晰地理解和把握知识结构。板书在教学过程中的作用是提供一个视觉辅助工具，帮助学生梳理和巩固知识点。为了确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我会尽量使用简洁的文字和图示，并注意字体的清晰度和大小。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题（附答案）1．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，≈1.7）．3．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）4．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD 的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）5．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）6．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E 的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.2877．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）8．位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）9．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°条幅底端F到地面的距离FE的长度．≈0.80，tan37°≈0.75）10．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．11．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C 在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．12．如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile 是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）13．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）14．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]15．如图是一矩形广告牌ACGE，AE＝2米，为测量其高度，某同学在B处测得A点仰角为45°，该同学沿GB方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE的高为2.25米，求广告牌的高度（AC或EG的长）．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75）16．如图，小谢想测某楼的高度，她站在B点从A处望向三楼的老田（D），测得仰角∠DAG 为30°，接着她向高楼方向前进1m，从E处仰望楼顶F，测得仰角∠FEG为45°，已知小谢身高（AB）1.7m，DF＝6m．（参考数据：≈1.7，≈1.4）（1）求GE的距离（结果保留根号）；（2）求高楼CF的高度（结果保留一位小数）．17．如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）18．我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）19．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）20．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）参考答案1．解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高约为78m．2．解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝BE＝14m，在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，∴AM＝CM＝14（m），∴AB＝BM﹣AM＝CE﹣AM＝20+14﹣14≈10.2（m），答：AB的长约为10.2m．3．解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．4．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．5．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．6．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH ＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．7．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．8．解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，∴BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，tan61°＝≈1.80，解得CD≈18，∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．∴烈士塔的高度约为28m．9．解：设AC与GE相交于点H，由题意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，设CH＝x米，∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH•tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，解得：x＝4，经检验：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．10．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．11．解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BC sin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．12．解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），∴货船与A港口之间的距离约为80海里．13．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．14．解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，∴∠CBE＝45°，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∴CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，∴．∴CF≈133.3．∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．答：河宽EF的长约为53m．15．解：由题意：DH＝BF＝6米，DB＝HF＝1.7米，PE＝2.25米，如图，设直线DH交EG于M，交AC于N，则EM＝AN．设AN＝x，则PM＝x+2.25，在Rt△AND中，∵∠ADN＝45°，∴AN＝ND＝x，∵AE＝MN＝2，则MH＝6+x+2＝8+x，在Rt△PHM中，∵tan37°＝，∴，解得x≈15，∴AC＝AN+NC＝15+1.7≈17（米），故广告牌的高度为17米．16．解：（1）设GE＝xm，∵∠EGF＝90°，∠FEG＝45°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FG＝EG＝xm，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AG＝EG+AE＝（x+1）m，∵tan∠DAG＝＝tan30°＝，∴DG＝AG＝（x+1）m，∵FG﹣DG＝DF，∴x﹣（x+1）＝6，解得：x＝，答：GE的距离为m；（2）由（1）得：FG＝GE＝m，∵GC＝AB＝1.7m，∴CF＝FG+GC＝+1.7≈17.2（m），答：高楼CF的高度约为17.2m．17．解：过点C作CF⊥DE于F，由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE＝296m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin∠D＝，∴CD≈＝462.5（m），答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．18．解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，∴tan∠EAM＝，∴AM＝＝≈＝12米，∴BH＝AM＝12米，∵BD＝20，∴DH＝BD﹣BH＝8米，∴CN＝8米，在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，∴tan∠ECN＝，∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），即古槐的高度约为13米．19．解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．20．解：过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，由题意可知：OD⊥AC，AC＝10cm，OM＝7.5﹣2＝5.5cm，∵∠AOM＝160°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝70°，∵∠OAB＝115°，∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAD＝115°﹣70°＝45°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝10cm，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝，∴AB＝，∵AB+AO+OM＝31.64cm，∴AO＝12cm，在Rt△AOD中，cos∠AOD＝，∴OD＝AO•cos∠AOD＝12×cos20°≈11.28cm，∴BC+OD+7.5＝11.28+10+7.5＝28.78cm，∴点B到桌面得距离为28.78cm．。

九年数学下册第7章锐角函数71正切712锐角三角函数的计算习题课件新版苏科版

(2) 锐角的正切函数值随角度的增大而__增__大____．
9 【2021·南京】如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得CD＝80 m， ∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′， ∠BDC＝56°19′.设A、B、C、D在同一平面内，求A、 B两点之间的距离．(参考数据：，tan 56°19′≈1.50.)
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD 于 E，AF⊥BE， ∴四边形 ACEF 是矩形． ∴AF＝CE≈48 m，EF＝AC≈28 m， ∴BF＝BE－EF≈20 m，在 Rt△ ABF 中， AB＝ AF2＋BF2＝ 482＋202＝52(m)．答：A、B 两点之间的距离是 52 m.
解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于 F，如图． ∵∠BCD＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形．设CE＝x，则BE＝x， ∵CD＝80 m， ∴DE＝(80－x)m.
在 Rt△ BDE 中，∠BDC＝56°19′， ∴tan 56°19′＝DBEE，即80x－x≈1.5，解得 x≈48(m)． ∴BE＝CE≈48 m. 在 Rt△ ACD 中，∠ADC＝19°17′，CD＝80 m， ∴tan 19°17′＝CADC，即A8C0 ≈0.35，解得 AC≈28 m，
6 用计算器比较tan 25°，tan 27°，tan 26°的大小关系是( A ) A．tan 25°<tan 26°<tan 27° B．tan 25°<tan 27°<tan 26° C．tan 27°<tan 25°<tan 26° D．tan 26°<tan 25°<tan 27°
7 用计算器求 tan 10°，tan 20°，tan 30°，tan 40°，tan 50°，

专题01 锐角三角函数(解析版)

2021-2022学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编专题01 锐角三角函数一．选择题1．（2021春•金台区期末）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，直线MN垂直平分AB交AB于M，交BC于N，且∠B＝15°，AC＝3，则BC的长为（）A．6B．6+3C．6+2D．9【思路引导】如图，连接AN．证明AN＝BN，推出∠B＝∠NAB＝15°，推出∠ANC＝30°，再求出AN，CN，可得结论．【完整解答】如图，连接AN．∵MN垂直平分线段AB，∴NA＝NB，∴∠B＝∠BAN＝15°，∴∠ANC＝∠B+∠NAB＝30°，∵AC＝3，∠C＝90°，∴AN＝2AC＝6，CN＝＝＝3，∴BC＝CN+BN＝3+6，故选：B．2．（2020秋•南召县期末）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么tan∠ABC的值为（）A．B．C．4D．【思路引导】过点A作AE⊥BC于E．根据，tan∠ABC＝，求解即可．【完整解答】过点A作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝＝4，故选：C．3．（2020秋•仁寿县期末）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【思路引导】证明△ABC是等边三角形，可得结论．【完整解答】如图，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tan B＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选：C．4．（2020秋•紫金县期末）如图，点A（3，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，则cosα＝（）A．B．C．D．【思路引导】过点A作AE⊥x轴于E．利用勾股定理求出OA，再根据cosα＝，可得结论．【完整解答】如图，过点A作AE⊥x轴于E．∵A（3，4），∴OE＝3，AE＝4，∴OA＝＝＝5，∴cosα＝＝，故选：B．5．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC 于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A．B．C．D．【思路引导】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE ＝AE ＝BE ＝AB ，进而得到∠BEC ＝2∠A ＝∠BFC ，从而有∠CEF ＝∠CBF ，根据三角形的面积公式求出AF ，由勾股定理，在Rt △BCF 中，求出CF ，再根据锐角三角函数的定义求解即可．【完整解答】连接BF ，∵CE 是斜边AB 上的中线，EF ⊥AB ，∴EF 是AB 的垂直平分线，∴S △AFE ＝S △BFE ＝5，∠FBA ＝∠A ，∴S △AFB ＝10＝AF •BC ，∵BC ＝4，∴AF ＝5＝BF ，在Rt △BCF 中，BC ＝4，BF ＝5，∴CF ＝＝3，∵CE ＝AE ＝BE ＝AB ，∴∠A ＝∠FBA ＝∠ACE ，又∵∠BCA ＝90°＝∠BEF ，∴∠CBF ＝90°﹣∠BFC ＝90°﹣2∠A ，∠CEF ＝90°﹣∠BEC ＝90°﹣2∠A ，∴∠CEF ＝∠FBC ，∴sin ∠CEF ＝sin ∠FBC ＝＝，故选：A ．6．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝，AD ＝2，BD ＝4，连接CD ，则CD 长的最大值是（）A ．2+B ．2+1C ．2+D ．2+2【思路引导】如图，在AD 的下方作Rt △ADT ，使得∠ADT ＝90°，DT ＝1，连接CT ，则AT ＝，证明△DAB ∽△TAC ，推出＝＝，推出TC ＝2，再根据CD ≤DT +CT ，可得CD ≤1+2，由此即可解决问题．【完整解答】如图，在AD 的下方作Rt △ADT ，使得∠ADT ＝90°，DT ＝1，连接CT ，则AT ＝，∵＝＝2，∴＝，∵∠ADT ＝∠ABC ＝90°，∴△ADT ∽△ABC ，∴∠DAT ＝∠BAC ，＝∴∠DAB ＝∠TAC ，∵＝，∴△DAB ∽△TAC ，∴＝＝，∴TC ＝2，∵CD≤DT+CT，∴CD≤1+2，∴CD的最大值为1+2，故选：B．7．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A 到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．21.5米B．21.9米C．22.0米D．23.9米【思路引导】延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，根据锐角三角函数即可求出结果．【完整解答】如图，延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，∵CD的坡度为i＝1：0.75＝，∴＝，设DG＝4k，CG＝3k，则CD＝5k，∴5k＝15，∴k＝3，∴DG＝12，CG＝9，∵EF的坡角为45°，EF＝3，∴EH＝FH＝3，∵四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3，DN＝MG，NM＝DG＝12，∴BM＝BN+NM＝15，在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝2BF+12，∴BM＝CM•tan∠BCM，∴15＝（2BF+12）×0.75，∴BF＝4，在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，∴AB＝BF•tan60°＝4≈6.92（米），∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．故选：B．8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（）米．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．12.9B．22.2C．24.9D．63.1【思路引导】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．【完整解答】过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，在Rt△BCF中，由斜坡BC的坡度i＝，得，＝，又BC＝65，设BF＝12x，FC＝5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，∴x＝5，∴BF＝60，FC＝25，又∵DC＝115，∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90＝EG，在Rt△AEG中，AG＝EG•tan39°≈90×0.81＝72.9，∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），故选：C．二．填空题（共11小题）9．（2021春•沙河口区期末）如图，从一艘船A上测得海岸上高为42米的灯塔顶部B的仰角∠BAC＝30°，求船离灯塔的水平距离AC的长度是　71　米（参考数据：≈1.7，≈2.2，结果取整数）．【思路引导】由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC＝84（米），再由勾股定理即可求解．【完整解答】由题意得：∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝42米，∴AB＝2BC＝84（米），∴AC＝＝＝42≈71（米），故答案为：71．10．（2020秋•肥城市期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos B+sin B的值为　　．【思路引导】如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．利用勾股定理求出AB，可得结论．【完整解答】如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．在Rt△ABE中，∠E＝90°，AE＝3，BE＝4，∴AB＝＝＝5，∴cos B＝＝，sin B＝＝，∴cos B+sin A＝+＝，故答案为：．11．（2020秋•崇川区期末）如图，若A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则∠BOD的余弦值为．【思路引导】如图，取格点T，连接CT．DT．利用平行线的性质证明∠BOD＝∠TCD，求出CT，CD，可得结论．【完整解答】如图，取格点T，连接CT．DT．观察图象可知，CT∥AB，CT⊥DT，∴∠BOD＝∠TCD，∠CTD＝90°，∵CT＝＝，CD＝＝5，∴cos∠BDO＝cos∠TCD＝＝＝，故答案为：．12．（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为　　．【思路引导】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，CH，可得结论．【完整解答】如图，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝2，BC＝5，＝×2×4＝•BC•AH，∴S△ABC∴AH＝，∴BH＝＝＝，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣＝，∴tan∠ACB＝＝＝，故答案为：．13．（2020秋•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝　10　cm．【思路引导】根据锐角三角函数即可求出AB的值．【完整解答】∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD＝，∴cos∠A＝＝，∵AC＝8cm，∴AB＝10cm．故答案为：10．14．（2020秋•德江县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tan B＝，则CE＝　3　．【思路引导】过点F作FG⊥AB于点G，根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【完整解答】过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴＝，∵AC＝6，∠ACB＝90°，∴tan B＝＝∴BC＝8，AB＝＝＝10，∴＝，∵FC＝FG，解得：FC＝3，即CE的长为3．故答案为：3．15．（2020秋•新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝．【思路引导】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．证明CB＝CT，利用等腰三角形的性质求解即可．【完整解答】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．∵BC＝＝5，CT＝＝5，∴CB＝CT，∵BH＝HT，∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，∵HT＝，∴sin＝＝＝，故答案为：．16．（2021春•瑞安市月考）如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝　8　米．【思路引导】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．利用相似三角形的性质证明DF＝FG，再证明∠DEA＝∠DEF，推出EN＝EM＝FN，证明△EGM≌△EGN （AAS），推出EM＝EN，设AM＝m，在Rt△ETF中，利用勾股定理求出方程求出m，即可解决问题．【完整解答】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．∵FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，∴∠FCD＝∠EAD＝90°，BG∥AE，∵∠FDC＝∠EDA，∴△FCD∽△EAD，△GBD∽EAD，∴＝＝2，＝＝，∴DF＝2DG，DE＝3DG，∴EG＝FG＝2DG，∴FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝∠GFE+∠GEF，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠FDJ+∠FDC＝90°，∠EDJ+∠EDA＝90°，∠FDC＝∠EDA，∴∠FDJ＝∠EDJ，∴2∠EDJ＝2∠GEF，∴∠EDJ＝∠DEF，∵DJ∥AE，∴∠EDJ＝∠AED，∴∠DEA＝∠DEF，∵GM⊥AE，GN⊥EF，∴∠EMG＝∠ENG＝90°，∵EG＝EG，∴△EGM≌△EGN（AAS），∴EM＝EN，∵GE＝GF，GN⊥EF，∴FN＝EN＝EM，∵四边形ABGM，四边形CFTA都是矩形，∴AB＝GM＝CD＝6（米），∵DF＝EG，∠FCD＝∠GME＝90°，∴Rt△FCD≌Rt△EMG（HL），∴CF＝EM，设AM＝m米则AE＝3m米，EM＝CF＝AT＝FN＝EN＝2m米，∴ET＝AE﹣AT＝m（米），在Rt△EFT中，FT2+ET2＝EF2，∴302+m2＝（4m）2，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴FN＝4（米），∵GN＝GM＝12米，∴FG＝＝＝8（米），故答案为：8．17．（2021•道里区三模）△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，则∠BAC的余弦值为　或　．【思路引导】分两种情况进行解答，即当△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形，分别画出相应的图形，通过做高，利用直角三角形的边角过程求出相应的边长，再根据锐角三角函数的意义求出答案．【完整解答】（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AC，垂足为E，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝8，∴BD＝AB＝4，AD＝AB＝4，在Rt△ACD中，CD＝＝1，由三角形的面积公式得，BC•AD＝AC•BE，即（4+1）×4＝7BE，∴BE＝，在Rt△ABE中，AE＝＝，∴cos∠BAC＝＝＝；（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CF⊥AB，垂足为F，由题意得，BC＝4﹣1＝3，在Rt△BCF中，∠FBC＝60°，BC＝3，∴BF＝BC＝，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣＝，在Rt△AFC中，cos∠BAC＝＝；故答案为：或．18．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为　2　．【思路引导】作NP⊥AB于点P，设AM长为x，用含x代数式表示出ON，然后通过配方求解．【完整解答】作NP⊥AB于点P，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，设AM长为x，则BM＝5﹣x，∵tan∠MAN＝＝，∴AN＝2MN，∴AM＝＝MN，∴MN＝AM＝x，AN＝2MN＝x，同理，在Rt△ANP中可得NP＝＝x，AP＝2NP＝x，∵O为BM中点，∴BO＝BM＝，∴AO＝AB﹣BO＝，∴OP＝AO﹣AP＝﹣x＝，在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，即ON2＝（）2+（x）2＝（25x2﹣150x+3125）＝（x2﹣6x+125）＝（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，ON2取最小值为20，∴ON最小值为2．故答案为：2．19．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为．【思路引导】当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到y＝﹣（n﹣3）（n+2），进而求解．【完整解答】过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，故BN最小，即BG最大时，tanα最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴，即，∴y＝﹣（n﹣3）（n+2），∵﹣＜0，故当n＝（3﹣2）＝时，y取得最大值，故n＝，故答案为：．三．解答题20．（2021•河池）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．（1）风筝离地面多少m？（2）A、C相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）【思路引导】（1）过B作BD⊥AC于D，由含30°角的直角三角形的性质即可求解；（2）由锐角三角函数定义求出CD、AD的长，即可求解．【完整解答】（1）过B作BD⊥AC于D，如图所示：则∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝50（m），即风筝离地面50m；（2）由（1）得：BD＝50m，在Rt△BCD中，∠BCD＝50°，∵tan∠BCD＝＝tan50°≈1.1918，∴CD≈＝≈41.95（m），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∵tan∠BAD＝＝tan30°≈0.5774，∴AD≈≈86.60（m），∴AC＝AD+CD≈41.95+86.60≈128.6（m），即A、C相距约128.6m．21．（2020秋•长沙期末）如图，A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝45°，∠CBD＝75°，AB＝60m．（1）求∠ACB的度数；（2）求线段CB的长度．【思路引导】（1）利用三角形的外角的性质求解即可．（2）如图，过点B作BH⊥AC于H，利用等腰直角三角形的性质求出BH，再根据BC＝2BH，可得结论．【完整解答】（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠A＝45°，∠CBD＝75°，∠∠ACB＝75°﹣45°＝30°．（2）如图，过点B作BH⊥AC于H．∵∠BHA＝90°，AB＝60m，∠A＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝60（m），∵∠BCH＝30°，∴BC＝2BH＝120（m）．22．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【思路引导】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【完整解答】如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，即这棵古树的高AB为（9+4）m．23．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【思路引导】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．【完整解答】∵山坡BM的坡度i＝1：3，∴i＝1：3＝tan M，∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝＝tan M＝1：3，∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即树AB的高度约为5.7m．24．（2020秋•阜宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，a﹣b＝2﹣2，解这个直角三角形．【思路引导】利用三角形内角和定理构建方程组求出∠A，∠B的值，推出a＝b，解方程组求出a，b，即可解决问题．【完整解答】∵，∴，∵，∴，由，解得，∵，∴c＝2b＝4．25．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？【思路引导】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．【完整解答】（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，设PC＝x，则BC＝x，在Rt△PAC中，∵tan30°＝＝＝，∴x＝10+10，∴PA＝2x＝20+20，答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，有sin∠PBE＝＝＝，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．26．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．【思路引导】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．【完整解答】如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝（海里），又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝（海里），∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的长约为168海里．27．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB 行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．【思路引导】（1）通过作垂线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．【完整解答】（1）如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CF，垂足为M，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝，即＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1，∴DM＝5（米），CM＝12（米），答：D处的竖直高度为5米；（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，又∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，∵tan∠ADE＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．28．（2021•莱芜区二模）如图，为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某段限速道路AB＝328米，当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°．求无人机距离地面道路的高度和飞行距离各为多少米．（均精确到1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【思路引导】通过作垂线构造直角三角形，在不同的直角三角形中，利用边角关系进行计算即可．【完整解答】（1）如图，由题意得：∠ECA＝37°，∠CDA＝30°，∠FDB＝45°，CD∥AB，AB＝328米，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，则四边形CDNM是矩形，∵∠ECA＝37°，∠CDA＝30°，∠FDB＝45°，CD∥AB，∴∠CAM＝∠ECA＝37°，∠DAN＝∠CDA＝30°，∠B＝∠FDB＝45°，即无人机距离地面道路的高度为120米，∴，∴CD＝MN＝AN﹣AM＝207.6﹣160≈48米，即无人机的飞行距离为48米．29．（2021•碑林区校级模拟）学校“科技创新小团队”设计的智能照明家居（如图①）的设计方案（如图②）所示：MN为台灯底座，支架AB与MN的夹角为60°．支架AB与BC的夹角可以调节的．试用后发现，当支架AB与BC的夹角为108°时，可以达到较好的照明效果．若AB＝21cm，BC＝28cm．此时点C离底座MN的距离为多少？（结果精确到0.1cm．参考数据：≈1.41；≈1.73；sin48°≈0.74；cos48°≈0.67；tan48°≈1.11）【思路引导】过点C作CE⊥MN于点M，过点B作BF⊥MN于点F，作BG⊥CE于点G，得矩形EGBF，根据锐角三角函数即可求出CG和BF的值，进而可得结果．【完整解答】如图，过点C作CE⊥MN于点M，过点B作BF⊥MN于点F，作BG⊥CE于点G，得矩形EGBF，在Rt△ABF中，∵∠BAF＝60°，AB＝21cm，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝cm，∴BF＝AF＝≈18.165（cm），∴GE＝BF≈18.165（cm），在Rt△CGB中，∵∠CBG＝108°﹣60°＝48°，BC＝28cm．∴CG＝BC×sin48°≈28×0.74≈20.72（cm），∴CE＝CG+GE＝20.72+18.165≈38.9（cm），答：此时点C离底座MN的距离为38.9cm．。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．不能确定2．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A等于（）A．1B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（）A．6B．6C．7D．75．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．+1C．D．+16．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）A．米B．米C．50sin40°米D．50cos40°米7．如图，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（）mA．8B．16C．4D．48．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．比较大小：tan50°tan60°．10．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠P AB+tan∠PBA ＝．12．如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度为，则河堤的高BE为米．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A 为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC ＝2，BN＝15，则CH的长为．16．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．计算：﹣2（1+sin60°）18．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD ＝6．求AD的长．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．20．如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．（1）求点E到水平地面的距离；（2）求楼房AB的高．21．某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A 处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，＝1.732）22．如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC 的高度．（参考数据：）23．阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sin B＝，sin C＝，于是AD＝c sin B，AD＝b sin C，也就是c sin B ＝b sin C，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．（2）仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，∴边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变．故选：C．2．解：∵∠A为锐角，且sin A＝，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝，故选：D．3．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tan A＝＝，故选：D．4．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝4，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝4×＝4，BD＝AB cos45°＝4×＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴CD＝AD tan∠CAD＝4×＝3，∴BC＝BD+DC＝4+3＝7，故选：C．5．解：过A点作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠B，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝x，∵∠C＝30°，∴tan C＝，∴，∵BC＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，即AD＝1，∴．故选：A．6．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝40°，BC＝50米，∴sin40°＝，∴AB＝＝米，故选：A．7．解：Rt△ABC中，BC＝4m，tan A＝1：2；∴AC＝＝8m，∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．8．解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAC＝．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．10．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．11．解：设小正方形的边长是a，∵tan∠P AB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠P AB+tan∠PBA＝+＝．12．解：由已知斜坡AB的坡度，得：BE：AE＝12：5，设AE＝5x米，则BE＝12x米，在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：132＝5x2+（12x）2，即169x2＝169，解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），5x＝5，12x＝12即河堤高BE等于12米．故答案为：12．13．解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案为：．14．解：过点F作直线F A∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥F A于点H，则∠F AE＝90°，∵F A∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝，在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EF cos∠FEA＝10×＝6，∴根据勾股定理得，AF＝8，∵∠F AE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15，∴由勾股定理得：HG＝＝12，∴F（8，12）．故答案为：（8，12）．15．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．16．解：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故答案为：3．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：原式＝﹣2（1+）＝+﹣2﹣＝﹣2．18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tan A＝，∴a＝b tan A，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sin A＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．19．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tan A＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cos B＝＝＝，∴∠B的余弦值为．20．解：（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，∴设EF＝a米，则CF＝2a米，在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE＝＝＝a（米），∵CE＝8米，∴a＝8，∴a＝8，∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），∴点E到水平地面的距离为8米；（2）如图：延长FE交AG于点H，由题意得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，在Rt△AHE中，HE＝AH•tan45°＝40×1＝40（米），∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），∴楼房AB的高为48米．21．解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝5海里，∴CD＝5+5≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷＝27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，22．解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，∴CF＝EF＝50＝86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．答：建筑物BC的高度约为136.6米．23．解：（1）根据阅读材料可知，，∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，∴＝，∴AB＝＝2；（2）证明．理由如下：如图，连接CO并延长交⊙O于D，连接AD、BD，则∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，∴CD＝．在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，∴CD＝，∴＝，∴＝，即在△ABC中，．。

《锐角三角函数》(解析版)

《锐角三角函数》(解析版)锐角三角函数一、定义三角函数是数学中一类重要的函数，它们与三角关系密切相关。

而锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90°的三角函数。

1. 正弦函数（sin）正弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。

可以用以下公式表示：sinθ = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）余弦函数是指在锐角三角形中，对应的直角边比斜边的比值。

可以用以下公式表示：cosθ = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）正切函数是指在锐角三角形中，对边比邻边的比值。

可以用以下公式表示：tanθ = 对边 / 邻边二、性质1. 值域和定义域正弦函数和余弦函数的值域都在[-1, 1]之间，定义域为锐角三角形中的角度范围。

2. 周期性正弦函数和余弦函数在每个周期内都有相同的波形形状，它们的周期都为360°或2π弧度。

3. 正交性正弦函数和余弦函数之间具有正交性，即它们的乘积积分为0。

4. 切线斜率正切函数的斜率可以表示为tanθ的导数，即：f'(θ) = sec^2(θ)5. 三角恒等式锐角三角函数之间满足一系列的三角恒等式，如：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1三、图像与应用1. 图像正弦函数和余弦函数的图像为周期性的正弦波和余弦波，可以通过函数图像进行可视化。

2. 应用锐角三角函数广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

例如在电路分析中，可以通过正弦函数来表示交流电压的变化；在计算机图形学中，可以通过正弦函数和余弦函数来生成动画效果。

四、常见问题1. 如何计算锐角三角函数的值？通过查阅三角函数表或使用计算器等数学工具，可以准确地计算出锐角三角函数的值。

2. 如何利用锐角三角函数解决实际问题？在实际问题中，可以通过建立三角函数模型并利用已知条件来解决问题。

例如在测量中，可以利用正弦函数或余弦函数计算出某个角度的值。

3. 锐角三角函数与钝角三角函数有什么区别？锐角三角函数与钝角三角函数在定义上有所不同，钝角三角函数可定义为任意角度，而锐角三角函数仅限于小于90°的角度范围。

苏科版九年级下册锐角三角函数课件

(1) 计算：sin30°•tan45°+sin260°－2cos60°
α
sin α
cos α
tan α
30°
45°
60°

60°

1
2
1
30°
45°
1

知识梳理
2.特殊角的三角函数
（2）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，已知sinA=
∠C=
3
1
，cosB= ，则
2
2
圆中的锐角三角函数
例5. 如图，AD是⊙O的直径，BD、BC都是弦，且BD＝BC，经过点B作
⊙O的切线交AD的延长线于点E.
(1) 求证：∠EBD＝∠CAB；
连接OB.∵ BE是⊙O的切线，∴ OB⊥BE.
∴ ∠OBD＋∠EBD＝90°.
∵ AD是⊙O的直径，∴ ∠ABD＝90°.
∴ ∠ABO＋∠OBD＝90°.
求BC与AB的长．
特殊角，构造直角三角形
C
解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵ ∠A＝30°，AC＝ 6，

3
＝，

2
cos A＝cos 30°＝
∴
3 2
AD＝ .
2
1
2

45°＝＝1，∴

B
A
6
2
6
BD＝ .
2
D
∵ sin A＝sin 30°＝＝，∴ CD＝ .
∵ tan B＝tan
求BC与AB的长．
找特殊角，构造直角三角形

(完整word版)苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案

课题7.1正切(1) 自主空间学习目标知识与技能:1.理解正切的概念, 能通过画图求出一个角的正切的近似值。

能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。

过程与方法:1.经历探索表示物体倾斜程度, 形成正切的概念的过程, 练就创造性解决问题的能力。

1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。

学习重点理解并掌握正切的含义, 会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。

学习难点计算一个锐角的正切值的方法。

教学流程预习导航观察回答: 如图某体育馆, 为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。

下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答: 图的台阶更陡, 理由合作探究一、新知探究:1.思考与探索一:除了用台阶的倾斜角度大小外, 还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度。

（思考: BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答: _________________. 讨论: 你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答: ________________________. 2.思考与探索二:（1）如图, 一般地, 如果锐角A的大小已确定,我们可以作出无数个相似的RtAB1C1, RtAB2C2, RtAB3C3……, 那么有: Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质,得: ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定, 那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。

3.正切的定义如图, 在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。

我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______, 记作______。

即: tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看.4．思考: 当锐角α越来越大时, α的正切值有什么变化？二. 例题分析:例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm, 一个台阶的高度为15cm, 求楼梯倾斜角的正切值。

数学九年级下册教案-7.1 正切2-苏科版

《正切》教学设计教学内容：苏科版数学九年级下册第七章《锐角三角函数》第1节《正切》．学情分析：九年级学生的认知发展水平处于从具体形象思维向抽象概括思维的过渡阶段，对图形的认知水平逐步提高。

在学习本节内容之前，学生已经学习了有关直角三角形的边（勾股定理及其逆定理）、角（直角三角形的两个锐角互余）的知识，并积累的一定的几何学习经验，这为本节课的学习奠定了坚实的认知基础．教学目标：1．认识锐角的正切的概念，会求一个锐角的正切值．2．经历正切概念的探索过程，感受利用控制变量法研究多个因素之间关系的方法。

3．了解锐角的正切值随着锐角的增大而增大，随着锐角的减小而减小，初步感受正切的函数思想．教学重点：正切的概念、求一个锐角的正切值．教学难点：探索正切的概念．教学重点解决措施：在教学过程中，我从概念的内涵和外延两个方面来加深学生对正切本质的理解．在概念的内涵上，通过设问：要正确把握正切的概念需要抓住哪几个关键点，来引发学生对概念内涵的思考；在概念的外延上，通过一组“试一试”即求直角三角形（摆放位置各不相同）及斜三角形任意内角的正切，来感受求一个角的正切值的前提（直角三角形）及注意点（两条直角边比的顺序）．教学难点解决措施：教学中，我从学生熟悉的爬山情境出发，通过比较不同类型山坡的倾斜程度，引发学生对山坡的倾斜角、垂直高度、水平距离之间关系的思考。

通过由易到难，层层铺设问题，利用控制变量法，分别控制三个变量中的每个变量，进而探索另外两个变量之间的关系．在此过程中，学生对三个变量间关系的思考也越来越深入，最终水到渠成，获得：当倾斜角一定时，其垂直高度与水平距离的比就一定，当倾斜角变化时，这个比值也随之变化，即获得正切的概念．教学工具及资源：利用可触摸电子屏幕，在几何画板环境下组织、实施教学．教学过程：一、问题情境你爬过山或坡吗？什么样的山或坡爬的时候比较累？你是怎样描述山坡的倾斜程度的？二、建构活动1．如果把山坡看作是直角三角形的斜边，如下图所示，你觉得坡AB和坡A’B’哪个更陡？你是怎么判断的？由此，你能获得什么结论？【多媒体资源使用】教师利用几何画板，移动ΔA’B’C’，使得点A’与点A重合，从而比较∠A’与∠A的大小．2．下图中坡AB和坡A’B’哪个更陡？你是怎么判断的？由此，你能获得什么结论？【多媒体资源使用】让学生利用几何画板，移动ΔA’B’C’，使得点A’与点A重合，或使得B’C’与BC重合，从而比较∠A’与∠A的大小．3．当倾斜角不变时，其垂直高度与水平距离之间有什么关系？学生画图分析、组内讨论，阐述结论及证明思路．6cm4cm B'BC'10cm 6cm6cm B'BC C'【多媒体资源使用】在学生思考、讨论完以后，教师利用几何画板画出两个具有相等倾斜角的直角三角形，如上图所示，让学生研究当倾斜角不变时，垂直高度与水平距离之间的数量关系．4．当山坡的倾斜角变化时，其垂直高度与水平距离之比有怎么样的变化？【多媒体资源使用】利用几何画板交互性的优势，将前面的两组图调出来，研究倾斜角变化的情况．5．通过以上活动你能得出什么结论？通过以上活动发现：山坡的倾斜角与其垂直高度、水平距离的比有着密切的联系．在数学中，这个比叫做这个角的正切．三、数学化认识1．定义：在Rt △ABC 中，∠C =90°，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切（tangent ），记作 tan A ．2．符号表示：b a A A A =∠∠=的邻边的对边tan ． 3．阅读正切的概念，你觉得把握这个定义需要抓住哪几个关键点？4．活动：请你将下列各锐角的正切表示出来．【多媒体资源使用】教师利用几何画板画出一组直角三角形和斜三角形，如上图所示，让学生以“接长龙”、“开火车”表示出各个锐角的正切值。