1.5基本初等函数、初等函数、复合函数
初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及关系
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初等函数、简单函数、复合函数、初等函数的概念及
关系
1.初等函数:
初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除)与有限次复合形成的函数。
基本初等函数包括以下几种类型:-常数函数:如f(x)=C,C是常数。
-幂函数:如f(x)=x^n,n为实数。
-指数函数:如f(x)=a^x,a>0且a≠1.
-对数函数:如f(x)=log_a(x),a>0且a≠1.
-三角函数:sin(x),cos(x),tan(x),cot(x),sec(x),csc(x)及其逆函数(反三角函数)。
2.简单函数:
简单函数通常是指构成复杂函数的基本单元,它们相对独立且形式较为简单。
在解决具体问题时,简单函数可能指的就是上述基本初等函数,或者是通过基本初等函数进行一次或几次基本运算(如加法、乘法等)得到的函数。
3.复合函数:
复合函数是两个或多个函数通过变量的代换相互结合而成的新
函数。
如果存在两个函数f和g,那么可以定义一个复合函数h(x)=f(g(x)),其中g的值域需包含在f的定义域内。
例如,`h(x)
=sin(2x)`就是一个复合函数,其中`g(x)=2x`作为外层函数的“内层”被嵌套到`f(u)=sin(u)`中。
关系上:
-所有的基本初等函数都是简单函数。
-简单函数经过组合(包括复合和四则运算)可以形成更复杂的初等函数。
-复合函数是构造初等函数过程中的一种重要手段,它可以将几个简单函数联接起来构建新的、具有更丰富特性的函数表达式。
基本初等函数知识点总结
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基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数,包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学和实际问题中具有广泛的应用,因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。
下面将对基本初等函数的知识点进行总结。
一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。
它的一般形式为:$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中,$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数,$n$为正整数,$a_n \neq 0$。
多项式函数的特点包括:定义域为实数集,值域为实数集,可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。
二、指数函数指数函数的一般形式为:$$f(x) = a^x$$其中,$a$为正实数且不等于1。
指数函数的特点包括:定义域为实数集,值域为正实数集,可导且导函数为$a^x\ln a$。
三、对数函数对数函数的一般形式为:$$f(x) = \log_a x$$其中,$a$为正实数且不等于1,$x$为正实数。
对数函数的特点包括:定义域为正实数集,值域为实数集,可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。
四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的一般形式为:$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中,$x$为实数。
三角函数的特点包括:定义域为实数集,值域为闭区间[-1, 1],具有周期性,可导且导函数是相关三角函数的倍数。
五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
它们的一般形式为:$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中,$x$在相应的定义域内。
反三角函数的特点包括:定义域为闭区间[-1, 1],值域为实数集,可导且导函数是相关函数的倒数。
基本初等函数的性质还包括:1. 奇偶性对于函数$f(x)$,如果对于定义域内的任意$x$,有$f(-x)=-f(x)$,则称函数为奇函数;如果对于定义域内的任意$x$,有$f(-x)=f(x)$,则称函数为偶函数。
基本初等函数与初等函数主要内容
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(a 1)
y
log 7
1
x
a
4)三角函数与反三角函数
正弦函数 y sin x
定义域:R,值域:[-1,1]
求y sin x , x [ , ]的反函数:
22
x arcsin y y arcsin x
反正弦函数
余弦函数 y cos x
定义域x [1,1], 值域 y
2
2
数.
**分段函数不是初等函数**
双曲函数
双曲正弦sh x
ex
e x ,
2
双曲余弦ch x ex ex 2
等都是初等函数.
,
双曲正切thx
shx chx
ex ex
ex ex
,
青双苗曲辅导余1切cth x
chx shx
ex ex
ex ex
10Байду номын сангаас
例1
设
f (x)
e x ,
x,
x1
x 2,
设
e x , f (x)
x,
求 f [( x)].
x1
x 2,
x
,( x) 1
x
2
1,
x0 ,
x0
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
1 x 0; x 2;
综上所述
e x2 , x 1
f
[
(
x)]
17
反双曲正切 y arth x
y arthx
1 ln 1 x . 2 1 x
D : (1,1)
奇函数,
在 (1,1)内单调增加.
函数的基本初等函数与复合函数
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函数的基本初等函数与复合函数函数作为数学中重要的概念,是数学研究的核心内容之一。
本文将探讨函数的基本初等函数与复合函数,并介绍它们的定义、性质和应用。
1. 基本初等函数基本初等函数是指一些常见的基本函数,包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
每个基本初等函数都有其独特的性质和特点。
1.1 常数函数常数函数是指函数图像上所有的点都位于同一条水平线上,即对于任意的x值,函数的取值都是一个常数。
常数函数的表达式为f(x) = C,其中C为常数。
1.2 幂函数幂函数是指函数的定义域为全体实数,并且函数表达式为f(x) = x^a,其中a为实数指数。
幂函数的图像呈现出平滑的曲线,且取决于指数a的不同而有不同的特征。
1.3 指数函数指数函数是以常数e为底的幂函数,其定义域为全体实数。
指数函数的表达式为f(x) = e^x,其中e约等于2.71828。
指数函数具有快速上升的特点,是模型中常见的函数之一。
1.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数,其定义域为正实数集合。
对数函数的表达式为f(x) = log_a(x),其中a为底数。
对数函数具有递增且变化逐渐减缓的特点。
1.5 三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等,其定义域为全体实数。
三角函数具有周期性和周期性平移的特点。
反三角函数是指三角函数的反函数,其定义域和值域视情况而定。
2. 复合函数复合函数是指多个函数的组合形成的新的函数。
设有两个函数f(x)和g(x),则其复合函数为f(g(x))。
复合函数的性质取决于原函数之间的关系。
复合函数的定义要求满足两个函数的定义域和值域相互对应,且内层函数的值域必须是外层函数的定义域。
复合函数的运算法则是由内到外进行运算。
3. 应用基本初等函数和复合函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在数学上,基本初等函数是构建更复杂函数的基础,通过组合使用这些基本函数,可以推导出其他函数的性质和特点。
微积分复习参考资料(辽大版)
![微积分复习参考资料(辽大版)](https://img.taocdn.com/s3/m/174466005f0e7cd184253669.png)
《微积分》复习参考资料第一章 函数一、据定义用代入法求函数值:典型例题:设函数f(x-1)=x 2,则f(x+1)=(x+2)2 ; 二、求函数的定义域:(答案只要求写成不等式的形式,可不用区间表示)对于用数学式子来表示的函数,它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围(集合) 主要根据:①分式函数:分母≠0②偶次根式函数:被开方式≥0③对数函数式:真数式>0④反正(余)弦函数式: 自变量 ≤1在上述的函数解析式中,上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
例1:求y=x x 212-+的定义域。
(答案:212<≤-x ) 三、判断函数的奇偶性:奇函数:f(-x)=-f(x),偶函授:f(-x)=f(x); 四、反函数 五、初等函授1.基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
2.复合函数3.初等函数:由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。
注:分段函数一般不是初等函数。
特例:,0,0x x y x x ≥⎧==⎨-<⎩为初等函数。
例2:设)(x f 是偶函数,)(x g 是奇函数,则函数)]([x g f 是( A ).A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D.以上均不对.例3:设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为__)100,10(_____.A. )100,10(B. )2,1(C. )2lg ,0(D. ]2lg ,0[第二章 极限与连续1、极限定义:n lim n a a →∞=⇔对任给0ε>,存在,N 当n N >时,有||n a a ε-<.(等价定义)2、无穷小的定义与性质:1)若函数f(x)当x x 0→(或∞→x )时的极限为零,则称f(x)当x x 0→(或∞→x )时为无穷小量。
注:(1)无穷小量是个变量而不是个很小的数. (2)零是常数中唯一的无穷小量。
基本初等函数--复合函数
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一、复合函数函数y=log2x是对数函数,那么函数y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解:设y=log2u,u=2x-1,因此函数y=log2(2x-1)是由对数函数y=log2u和一次函数u=2x-1经过复合而成的。
一般地,如果y是u的函数,而u又是x的函数,即y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量。
二、复合函数。
定理:设y=f(u),u=g(x),已知u=g(x)在[a,b]上是单调增(减)函数,y=f(u)在区间[g(a),g(b)](或[g(b),g(a)]上是单调增(减)函数,那么复合函数y=f[g(x)]在[a,b]上一定是单调函数,并有以下结论:同增异减判断复合函数的单调性的步骤如下:(1)求复合函数定义域;(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);(3)判断每个常见函数的单调性;(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;(5)求出复合函数的单调性。
例1.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。
解:函数定义域为R。
令u=x2-4x+3,y=0.8u。
指数函数y=0.8u在(-∞,+∞)上是减函数,u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。
这里没有第四步,因为中间变量允许的取值范围是R,无需转化为自变量的取值范围。
例2.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。
解:显然函数定义域为(0,+∞)。
令 u=log2x,y=u2+u∵ u=log2x在(0,+∞)上是增函数,y=u2+u在(-∞,- ]上是减函数,在[- ,+∞)上是增函数(注意(-∞,-]及[-,+∞)是u的取值范围)因为u≤- log 2x≤- 0<x≤,(u≥- log2x≥-x≥)所以y=(log2x)2+log2x在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数。
基本初等函数初等函数
![基本初等函数初等函数](https://img.taocdn.com/s3/m/52d61f6ef11dc281e53a580216fc700abb68521f.png)
基本初等函数初等函数初等函数是指可以用有限次加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数、函数互反和常数的四则运算来表示的函数。
它是高中数学中的一种函数类型,是数学研究和应用中最基本、最常见的一类函数。
最基本的初等函数包括:1.常数函数:y=C,其中C为任意常数。
常数函数在整个定义域上都保持不变。
2. 一次函数:y = mx + b,其中m和b为任意常数,m表示斜率,b 表示截距。
一次函数的图像为一条直线。
3.幂函数:y=x^r,其中r为任意的实数。
幂函数是由自变量的幂指数决定的。
4.指数函数:y=a^x,其中a为一个正常数且不等于1、指数函数的图像呈现指数增长或指数衰减的形式。
5. 对数函数:y = log_a(x),其中a为一个正数且不等于1、对数函数是指数函数的反函数,可以解决指数方程。
6. 三角函数:包括正弦函数y = sin(x),余弦函数y = cos(x),正切函数y = tan(x)等。
三角函数是周期性的函数。
除了以上基本初等函数外,复合函数也属于初等函数的范畴。
例如,将两个初等函数通过运算符号连接在一起形成的函数仍然属于初等函数。
例如加、减、乘、除、复合函数、互反函数等等。
初等函数在数学的研究和应用中起着非常重要的作用。
它们广泛应用于科学、工程、经济、物理、化学、生物学等领域中的数学模型建立和问题求解。
通过使用初等函数,我们可以更好地描述和分析变量之间的关系,从而更好地理解和预测实际问题。
初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、初等函数的图像、定义域、值域、对称性、奇偶性、单调性、极值等特征都可以通过数学工具和方法进行研究和分析。
总之,初等函数是数学中最基本和常见的一类函数。
它们通过有限次的四则运算、函数互反和常数的运算构成,在数学的研究和应用中起着重要的作用。
初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、通过学习初等函数,我们可以更好地理解和应用数学知识,解决实际问题。
初等函数
![初等函数](https://img.taocdn.com/s3/m/06d98d0a3968011ca2009124.png)
y sin x
定义域(-∞,+∞),值域 [- 1,1] 以2π为最小正周期,有界函数
6
余弦函数 y cos x
y cos x
定义域(-∞,+∞),值域[- 1,1] 以2π为最小正周期,有界函数
7
正切函数 y tan x
y tan x
定义域
: (kπ
π
,
kπ
π
), k
20
例 下列函数能否复合为函数 y f [ g( x)],
若能,写出其解析式、定义域、值域.
(1) y f (u) u, u g( x) x x2 (2) y f (u) ln u, u g( x) sin x 1
解: (1) 能,y f [g(x)] x x2
1, x 0 f [g( x)] 0, x 0 ;
1, x 0
e, x 1
g[ f ( x)] 1, x 1
1 e
,
x
1
28
5
25 x2
提示与分析: 所给函数是两个函数之和形式,所以 f ( x)的定义域是使两个函数同时有意 义的取值范围,即应是两个函数定义 域的交集.
17
解 x 1 1, x2 25, x 1 5且 x 5
5
4 x 6且 5 x 5,
于是,定义域是[ , ).
3、由函数 y e u,u x 2 复合而成的函数为__y___e_x2.
4、函数 y sinln 2x 由_y___s_in__u_, u__复ln合v,而v 成2.x
27
1,x 1
二三、、设
函数类型细分辨,一目了然方法现——高中常见函数的分类
![函数类型细分辨,一目了然方法现——高中常见函数的分类](https://img.taocdn.com/s3/m/0c9cfad30408763231126edb6f1aff00bed57019.png)
函数类型细分辨,一目了然方法现——高中常见函数的分类
高中阶段,学生们开始研究函数。
因为函数的概念难以理解,种类繁多,课本又没有系统地讲解,许多老师也只是泛泛而谈,所以很多学生更是稀里糊涂,无所适从。
因函数类型的不同,处理方式也大不一样,所以函数类型是题目的一个重要标志,找到了标志,方法、步骤大致确定。
其实,只要能分辨清楚函数的类型,则对应的方法、技巧是一目了然的。
这里就给出分类标准,以供参考:
基本初等函数:包括6种
其它的函数,基本上都是由以上基本初等函数进行有限次组合或有限次复合而成的。
组合函数:
复合函数:将基本初等函数的自变量x换成另外一个基本初等函数(自身也行)就得到一个复合函数。
通俗地说,复合函数就是函数套函数,是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。
例如:
具体函数:给出了具体的解析式的函数叫具体函数。
抽象函数:没给出具体解析式的函数就是抽象函数。
抽象函数不是没有解析式,只是说题目没有给出来,仅以一个符号y=f(x)或f(x)来体现。
我们可以理解为“有这么一个函数存在,具体的解析式是什么样子的暂时还不知道”
至于其它的一些函数类型,因为高一新生接触不到,这里先不讲了!
函数的种类不同,使用到的方法、步骤大不相同(在以后的发文中我会一一讲解),所以要仔细区分函数的类型,必须达到一眼就能识别的程度。
函数运算知识点总结
![函数运算知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/ed8232c4cd22bcd126fff705cc17552707225ee2.png)
函数运算知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是一种数学对象,它表示输入到输出的映射关系。
一个函数通常用一个或多个自变量表示,通过特定的规则,计算得到相应的因变量。
一个函数可以表示为 f(x)=y,其中 x 是自变量,y 是因变量,f(x) 表示函数在自变量 x 下的取值。
1.2 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表示,它是函数横坐标和纵坐标的关系。
函数的图像可以用函数的表达式绘制成图形,通过观察函数的图像可以了解函数的性质和行为。
1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数定义的自变量的取值范围,函数的值域是指函数在定义域内的所有可能的因变量的取值范围。
函数的定义域和值域在确定函数的性质和行为上起到了重要的作用。
1.4 初等函数初等函数是指一些基本的函数形式,包括代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
初等函数是用于描述自然界和社会现象的一种数学模型,对于初等函数的研究在数学和物理等领域具有重要的意义。
1.5 函数运算函数运算是指对函数进行加、减、乘、除等运算,包括函数的复合、反函数、逆函数等。
函数运算的目的是得到新的函数,以便对函数进行更复杂的研究和应用。
二、函数的性质2.1 函数的奇偶性一个函数的奇偶性是指该函数在坐标系中的对称性。
若函数满足 f(-x)=f(x) ,则称其为偶函数;若函数满足 f(-x)=-f(x) ,则称其为奇函数。
奇偶性是函数性质的重要特征,在函数的图像和性质分析中起到重要的作用。
2.2 函数的单调性一个函数的单调性是指函数图像在定义域内的单调增加或单调减少的性质。
若函数满足对于任意的 x1<x2 ,有 f(x1)<f(x2) ,则称其为单调增加函数;若函数满足对于任意的x1<x2 ,有 f(x1)>f(x2) ,则称其为单调减少函数。
2.3 函数的极值和最值一个函数在定义域内的最小值和最大值称为函数的最值,而取得最值的自变量称为函数的极值点。
基本初等函数与初等函数
![基本初等函数与初等函数](https://img.taocdn.com/s3/m/c246513cff00bed5b9f31dc6.png)
y tan x
性质
(1)在定义域中是无界函数。 (4)周期为 l (2)是奇函数 , 内是单调增函数。 (3)在 2 2
(4)余切函数
y cot x
图形
x ,
x k
k 0, 1 ,2
y cot x
性质
(1)在定义域中是无界函数。 (4)周期为 l
其底数部分和指数部分都是自变量 x 的表达式,像
y [ f ( x)]
g ( x)
形式的函数称为幂指函数.
四、 初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复
合运算得到的可用一个式子表示的函数称为初等函数.
例如,
y ax bx c,
2
1 y sin , x
ye
等都是初等函数.
解
(1 )
y u ,u 3x 1
u, u sin v, v 5x 3
2
(2 ) y (3 )
y u , u ln v,v w , w 2x 3
三、 幂指函数
有一类既不能称为幂函数也不能称为指数函数的函数, 如
yx
x
y (1 2x) sin x 等,
0
0.017453 弧度
在直角坐标系中取单位圆 在圆周上任意一点 M x, y 圆的半径 R OM 1
1
1 y M x, y y
0
1 x
从现在开始角度用弧度x 表示 1 y (1)正弦函数 sin x y sin x x , 1 图形 性质:
合运算.
例3
函数 y = arcsin(x2 1)可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu 和 u=g (x)= x2 1
基本初等函数总结表格
![基本初等函数总结表格](https://img.taocdn.com/s3/m/a30b3b5b6fdb6f1aff00bed5b9f3f90f76c64dd3.png)
基本初等函数总结表格基本初等函数是数学中的重要概念,它们是解析函数的一种,具有简单的形式和基本的性质。
在学习数学的过程中,我们经常会接触到各种各样的基本初等函数,它们在数学建模、物理、化学等领域都有着重要的应用。
为了更好地理解和掌握基本初等函数,下面我们将对常见的基本初等函数进行总结,并制作成表格,以便大家更加直观地了解它们的特点和性质。
首先,我们来看一下常见的基本初等函数及其表达式、定义域和值域。
1. 线性函数。
表达式,y = kx + b。
定义域,(-∞, +∞)。
值域,(-∞, +∞)。
2. 幂函数。
表达式,y = ax^n (a ≠ 0, n为正整数)。
定义域,(-∞, +∞)。
值域,。
当n为奇数时,值域为(-∞, +∞)。
当n为偶数时,值域为[0, +∞)。
3. 指数函数。
表达式,y = a^x (a > 0, a ≠ 1)。
定义域,(-∞, +∞)。
值域,(0, +∞)。
4. 对数函数。
表达式,y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)。
定义域,(0, +∞)。
值域,(-∞, +∞)。
5. 三角函数。
正弦函数,y = sinx。
余弦函数,y = cosx。
正切函数,y = tanx。
定义域,(-∞, +∞)。
值域,[-1, 1]通过以上表格,我们可以清晰地了解到各种基本初等函数的特点和性质。
线性函数具有直线图像,定义域和值域都是整个实数集;幂函数的图像呈现出不同的形状,其值域受到幂指数n的影响;指数函数和对数函数是互为反函数的函数对,其值域和定义域分别是正实数集和整个实数集;三角函数则是周期函数,其定义域是整个实数集,值域在[-1, 1]之间。
除了上述基本初等函数外,还有一些其他常见的基本初等函数,如双曲函数、反比例函数等,它们都有着各自独特的特点和性质。
通过学习和掌握这些基本初等函数,我们可以更好地理解数学知识,解决实际问题,甚至在日常生活中也能够运用到这些知识。
五类基本初等函数知识点总结
![五类基本初等函数知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/529b324ff4335a8102d276a20029bd64783e628c.png)
五类基本初等函数知识点总结初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数,称为非初等函数,如狄利克雷函数和黎曼函数。
有两种分类方法:数学分析有六种基本初等函数,高等数学只有五种。
高等数学将基本初等函数归为五类:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
数学分析将基本初等函数归为六类:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。
1.幂函数一般地,形如y=xα(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注:y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。
一般形式如下:(α为常数,且可以是自然数、有理数,也可以是任意实数或复数。
)2.指数函数指数函数是数学中重要的函数。
应用到值e上的这个函数写为exp(x)。
还可以等价的写为ex,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于2.718281828,还称为欧拉数。
一般形式如下:(a>0, a≠1)3.对数函数一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。
其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。
它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。
因此指数函数里对于a 的规定,同样适用于对数函数。
一般形式如下:(a>0, a≠1,x>0,特别当α=e时,记为y=ln x)4.三角函数以角度为自变量,角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数,三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。
五类基本初等函数
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五类基本初等函数一元函数一元函数是数学里一种最基本的函数形式,它只含有一个变元。
即只有一个自变量,根据这个自变量计算出一个固定的值,例如:y=1/x,函数的定义域和值域为实数集合。
一元函数可以用来表示单纯的变换,即每一个函数值只具有一个变量的特性。
二元函数二元函数是一类常用的函数,它描述的是一个函数的定义域的双变量的关系,即每一个函数值拥有两个变量的特性。
例如,函数f(x,y)=x2+y2表示点(x,y)在直角坐标系上的变化。
二元函数也常常用来描述现实世界中物体之间的变化关系,例如,热量、动量、电势差以及力等。
三元函数三元函数是指有三个变元的函数,它和二元函数类似,但是拥有三个变量,例如,三元函数f(x,y,z)=x2+y2+z2是表示空间中某个点的到原点的距离的函数。
三元函数可以被用来描述三维物体之间的相互变化关系,常常被多学科用来描述不同物理量之间的变化,比如大气压、温度、斜率等等。
高次函数高次函数是指变元个数大于三个,并且大于三元函数的函数。
它可以是有一定定义域或ROI范围的多元函数,根据这些自变量的多维空间变量计算出固定的值,例如:函数f(x1,x2,x3,x4)= x1 + x2 + x3 + x4。
复合函数复合函数通常是将多种基本函数组合使用,以达到不同的目的。
例如,有的函数是将平方、高次函数等基本函数组合而成的。
我们常常可以看到这样的函数形式:f(x)= a*xb + y,这就是一个复合函数。
这类函数可以用来描述较复杂的现实形势,例如,它可以用来描述物理现象、生物特征及经济形势等多种情况。
综上所述,初等函数是数学中非常基础但又十分重要的概念,它们通常有一元函数、二元函数、三元函数、高次函数以及复合函数等。
它们可以用来描述各种不同的情况,被广泛应用于各个领域。
因此,弄清楚这些基本函数的正确使用方法非常有必要,不仅可以拓展人们的数学视野,而且能给我们的学习与研究带来更大的便利。
《高等数学》初等函数
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初等函数一、基本内容1. 基本初等函数(1) 幂函数:幂函数αx y =(α是任意实数)。
(2)指数函数:x a y =(a 为常数,且0>a ,1≠a )。
(3)对数函数:x y a log =(a 为常数,且0>a ,1≠a )。
(4)三角函数:正弦函数x y sin = 余弦函数x y cos =正切函数x y tan = 余切函数x y cot =正割函数x y sec = 余割函数x y csc =(5)反三角函数:反正弦函数x y arcsin =,是正弦函数在区间]2,2[ππ-上的反函数。
反余弦函数x y arccos =,是余弦函数在区间],0[π上的反函数。
反正切函数x y arctan =,是正切函数在区间)2,2(ππ-上的反函数。
反余切函数x arc y cot =,是余切函数在区间),0(π上的反函数。
2. 复合函数:(1)定义:设函数)(u f y =的定义域为f D ,函数)(x u ϕ=的值域为ϕR ,若φϕ≠=M R D f ,则在M 内通过变量u 确定了一个y 是x 的函数,记作)]([x f y ϕ=,该函数称为x 的复合函数。
其中x 称为自变量,y 称为因变量,u 称为中间变量。
(2)复合函数的分解原则:把一个复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算。
3. 初等函数:常数和基本初等函数经过有限次的四则运算与复合所构成的,并可用一个式子表示的函数。
*4. 双曲函数:双曲正弦函数 2xx e e shx y --==, ),(+∞-∞∈x 双曲余弦函数 2xx e e chx y -+==, ),(+∞-∞∈x 双曲正切函数 x x xx ee e e thx y --+-==, ),(+∞-∞∈x 双曲余切函数 x x xx ee e e x y ---+==coth ,),0()0,(+∞⋃-∞∈x 二、学习要求1. 掌握基本初等函数解析式、图像及常用公式;2. 理解复合函数的概念,掌握复合函数的分解;3. 理解初等函数的概念。
函数基本知识
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七、作业
1(2)(4);2(2)(3); 第6页 1(2)(4);2(2)(3);5
y M y=f(x) o -M x X M y
x0
o -M X
x
有界
无界
(4)函数的周期性: 函数的周期性:
f D 设函数 ( x)的定义域为 , 如果存在一个不为零的
且 x 数l, 使得对于任一 ∈ D, ( x ± l ) ∈ D. f ( x + l ) = f ( x)
f , f . 恒成立. 则称 (x)为周期函数 l称为 ( x)的周期
1 0≤ x ≤1 例1 设f ( x) = , 求函数 f ( x + 3)的定义域 . − 2 1 < x ≤ 2
解
1 0≤ x ≤1 Q f ( x) = − 2 1 < x ≤ 2
1 0≤ x + 3≤1 ∴ f ( x + 3) = − 2 1 < x + 3 ≤ 2 1 − 3 ≤ x ≤ −2 = − 2 − 2 < x ≤ −1
故
Df : [−3,−1]
(3)隐函数与显函数 (3)隐函数与显函数
隐函数: 隐函数:函数的对应法则是由方程 给出, 的隐函数。 给出,称 y为 的隐函数。
x
F(x, y) = 0
显函数: 显函数:由
确定的函数, y = f (x) 确定的函数,如 2 y = lg x, y = x − 2x + 3等。
u = ϕ(x)的值域为 Zϕ , 若 Df ∩ Zϕ ≠ ∅, 则称
复合函数. 函数 y = f [ϕ( x)]为 x的复合函数
, , x ←自变量 u ←中间变量 y ←因变量 ,
基本初等函数与初等函数
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1.指数函数是递增的,对数函数是递减的。 2.两个不同底数的指数函数有一点相交,对 于一些数,a^x>b^x
如何求复合函数和它的导数?
复合函数
一般指由一些简单函数组合而成的 函数,例如(fog)(x) = f(g(x)).
链式法则
求导常用的一种方法。 (fog)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)
例子
现有函数f(x) = x^2+1和g(x)=(3x-1)^2, 而h(x)=f(g(x)), 求h(x)的导数表达式。
1. 先根据复合函数的定义求出g(x) = (3x-1)^2的导函数g'(x). 2. f(x) = x^2+1的导数为 2x,所以由 复合函数求导的链式法则:h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 2(3x-1)(6x).
三角函数及其周期弦函数 • 正切函数
周期和幅值
• T=2π • 幅值为1 • T=π • 幅值为1 • T=π* • 变幅
导数公式
• f'(x)=cos(x) • f'(x)=-sin(x) • f'(x)=sec^2(x)
双曲函数及其导数公式
双曲余弦函数
指数函数
指数函数的自变量为指数,其底数为 常数
三角函数和反三角函数
包括正弦函数、余弦函数、正切函 数、余切函数、正割函数和余割函 数
初等函数和基本初等函数的区别
初等函数
是常数函数、幂函数、指数函 数、对数函数、三角函数和反 三角函数的有限次四则运算和 函数复合所得的函数。
基本初等函数
是由常数、自变量、指数函数、 三角函数、反三角函数所组成 的函数。
复合函数的性质及解析方法
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复合函数的性质及解析方法复合函数是高中数学中一个重要的概念,也是初学微积分的基础,本文将从复合函数的定义、性质及解析方法三个方面介绍这个概念。
一、复合函数的定义所谓复合函数,就是由两个函数组成的一个新函数。
设有函数$f(x)$ 和 $g(x)$,则它们的复合函数 $F(x)$ 定义为:$$F(x)=f[g(x)]$$其中,$x$ 是自变量,$g(x)$ 是 $x$ 的函数,$f(x)$ 是 $g(x)$ 的函数。
二、复合函数的性质1. 复合函数的可交换性:设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都有定义域 $X$ 和值域 $Y$,则当 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ 均有定义时,有:$$f[g(x)]=g[f(x)]$$这被称为复合函数的可交换性,也就是说,多次复合函数的结果与复合的次序无关。
2. 复合函数的可微性:如果 $f(x)$ 在点 $g(a)$ 处可导,$g(x)$ 在点$a$ 处可导,则复合函数 $F(x)$ 在点 $a$ 处也可导,且有:$$F'(a)=f'[g(a)]\cdot g'(a)$$这个公式被称为复合函数求导法则或链式法则。
3. 复合函数的反函数:如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是一对反函数,即$f[g(x)]=x$,$g[f(x)]=x$,则有:$$F^{-1}(x)=g^{-1}[f^{-1}(x)]$$其中,$F^{-1}(x)$ 表示 $F(x)$ 的反函数。
三、复合函数的解析方法有些复合函数的解析比较简单,比如 $F(x)=\sqrt{1+e^{2x}}$ 就可以直接分解成 $F(x)=f[g(x)]$ 的形式,其中 $f(x)=\sqrt{1+x}$,$g(x)=e^{2x}$,从而应用函数复合的定义进行计算。
对于一些较为复杂的复合函数,我们需要运用一些解析方法进行求解,如下面几种方法:1. 基本初等复合函数:这种复合函数是由基本初等函数(包括正弦、余弦、指数、对数、幂、三角函数等)和加、减、乘、除等运算所组成的。
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1 cos 2 x 1 cos 2 x 2 sin x , cos x 2 2
2
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6 反三角函数 三角函数都是周期函数,对于值域中的任何都有无 穷多个与之对应,故三角函数在其定义域内不存在 反函数.为了定义它们的反函数,必须限制自变量的 取值范围,使得该函数在这个范围内单调.
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常用的三角函数公式:
(1)商的关系
sin x cos x 1 1 1 tan x , cot x ,sec x , csc x , tan x cos x sin x cos x sin x cot x
(2)平方关系
sin 2 x cos2 x 1,sec2 x 1 tan 2 x,csc2 x 1 cot 2 x
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二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式 f[g(x)]是有意义的 则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量 的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
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6 反三角函数 常用的反三角函数有yarcsin x yarccos x yarctanx 函数值的确定
求arccos x 在[0, ]内确定一点 使cos x 则arccos x
1) 例如 求 arccos( 2 1 ) 2 因为 cos2 1 所以 arccos( 3 2 2 3
§ 1.5 基本初等函数、复合函数与初等函数
一、基本初等函数
二、复合函数
三、初等函数
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一、基本初等函数
下列函数称为基本初等函数 常数 yc 幂函数 yxa (a为任何实数) 指数函数 yax(a0 a1) 对数函数 yloga x (a0 a1) 三角函数 ysin x ycos x ytan x ycot x ysec x ycsc x 反三角函数 yarcsin x yarccos x yarctan x yarccot x yarcsec x yarccsc x
正切函数y=tanx在ຫໍສະໝຸດ ( 《微积分》(第三版) 电子教案
, )上有反函数吗? 2 2
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正弦函数 y sin x( x R) 有反函数吗? 没有,因为他不是一一对应函数,同一个三角函数值会对应 y 许多角。
2
1 o -1
2
-2
· ·
-
· · · ·
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1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为c的直线 2 幂函数 yxa (a为任何实数)
常用的幂函数有
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3 指数函数 yax(a0 a 1),特例y=ex 它的定义域为( ) 值域为(0 ) 都通过(0 1)点 当 a1时 函数单调增加 当0a1时 函数单调减少 微积分中常用以e为底的指数函数ex,其中e=2.71828· · · , 它为一个无限不循环小数.
[
, ] 2 2
(3)奇偶性: 是奇函数,
其图象关于坐标原点对称,
y
y arcsin x, x [1,1], y [
arcsin( x) arcsin x x [1,1].
-3 -2
2
2
, ] 2 2
1.5
1
2
0.5
-1
-1 -0.5
y sin x, x [
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1 常数 yc 它的定义域是(, ) 图形为平行于x轴截距为c的直线
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1 常数 yc 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为c的直线 2 幂函数 yxa (a为任何实数)
v2 , 得
ln u, 得
u (sin x 2 x)2
再把 u (sin x 2 x)2代入y
y ln(sin x 2 x)
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课堂练习
1.已知 y u , u 2 v2 , v cos x, 将y表示成x的函数. 2.下列函数可以看成是由哪些简单函数复合而成的?
, ) 2 2
2
yx
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6 反三角函数 常用的反三角函数有yarcsin x yarccos x yarctanx 函数值的确定
求arcsin x
在[ , ] 内确定一点 使 sin x 则 arcsin x 2 2 1) 例如 求 arcsin( 2 1) 因为 sin( ) 1 所以arcsin( 6 2 2 6
2 3 4
x
正弦函数 y sin x( x [ , ]) 有反函数吗? 2 2
有,因为它是一一对应函数,同一个三角函数
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值只对应一个角。
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反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1,1]的图象与性质: (1)定义域:[-1,1]。 (2)值域:
loga x loga y loga xy x log a x log a y log a y
loga x N N loga x
log c b log a b log c a
x eln x
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5 三角函数 三角函数有 ysin x ycos x ytan x ycot x ysec x ycsc x ysin x与ycos x的定义域均为(, ) 均以2为周期 因为sin(x)sin x 所以ysin x为奇函数 因为cos(x)cos x 所以ycos x为偶函数 又因|sin x|1 |cos x|1所以它们都是有界函数 ytan x以为周期 是奇函数 注:在微积分中,三角函数的自变量一律用弧度单位表 示.
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二、复合函数
定义115(复合函数) 设函数 yf(u) 的定义域为 Df 函数 ug(x) 的值域为 G 若 GDf F 则yf[g(x)]确定一个以x为自变量、y为因变量的函 数 称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数 u称为中间变量
(3)两角和公式
sin( x y) sin x cos y cos x sin y,
cos(x y) cos x cos y sin x sin y
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(4)倍角公式
sin 2 x 2sin x cos x,
cos 2 x cos2 x sin 2 x 1 2sin 2 x 2cos2 x 1
(1) y 3x 1;
答案:1. y
(2) y (1 lg x) ;
5
(3) y e
e x
2
2 cos x
2
2.(1) y u , u 3x 1
(2) y u5 , u 1 v, v lg x
(3) y eu , u ev , v x2
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗? 没有,因为他不是一一对应函数 (4)正弦函数y=sinx在 [ , ] 上有反函数吗? 2 2 余弦函数y=cosx在[0,π] 上有反函数吗?
例 4 函数 y e
解 y e
x 2 1
x 2 1
是由哪些函数复合而成?
可以看成是由
ye u u v vx21
三个函数复合而成
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二、复合函数
定义115(复合函数) 设函数 yf(u) 的定义域为 Df 函数 ug(x) 的值域为 G 若 GDf F 则yf[g(x)]确定一个以x为自变量、y为因变量的函 数 称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数 u称为中间变量 例5已知 y ln u, u v2 , v sin x 2x, 将y表示成x的函数. 解 把v sin x 2 x 代入 u
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二、复合函数
定义115(复合函数) 设函数 yf(u) 的定义域为 Df 函数 ug(x) 的值域为 G 若 GDf F 则yf[g(x)]确定一个以x为自变量、y为因变量的函 数 称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数 u称为中间变量 例2 设yf(u)lg u ug(x)1sin2x 因为ug(x)的值域G(1, 2] yf(u)的定义域Df(0, ) GDfF 所以y=lg(1sin2x)是复合函数 例3 设yf(u)arcsin u ug(x)2x2 因为ug(x)的值域G[2, ) yf(u)的定义域Df [1, 1] GDf F 所以yarcsin(2x2)不是复合函数