连续时间LTI系统的时域分析
连续时间系统的时域分析经典法

在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比,x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k,有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以,特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时,选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2)求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式,设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
信号与线性系统第3章

由于激励加入系统前,系统未储能,所以有y(j)(0-)=0。
但是由于在t=0时刻激励的加入,可能使得yf(j)(0+)不为 零。 因此需要根据激励来确定yf(j)(0+),从而确定零状态响应中 齐次解系数的值。
用δ(t)函数匹配法求0+初始值
若激励f(t)在t=0时刻接入系统,则确定待定系数Ci时用 t=0+ 时刻的值,y(j)(0+)(j=0,1,2,……n-1).
激励为0,因此令方程右端为0:
y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +L+ a1y′(t) + a0 y(t) = 0
可知,零输入响应与经典解法中的齐次解形式相 同。 由于对yx(t)而言,t ≥0时,f(t)=0
所以: { yx(k)(0+) }= { yx(k)(0-) } 因此:零输入响应的系数Ci(i=1,2,…,n)可以由系统的起
y(t) = yx (t) + yf (t)
其中: yx (t) = T[x1(0− ), x2 (0− ),L xn (0− ),0] = T[{x(0− )},0] yf (t) = T[0, f1(t), f2 (t),L, fn (t)] = T[0,{ f (t)}]
求解零输入响应yx(t)
¾ 在每次平衡低阶冲激函数项时,若方程左端所有同阶次δ(t) 函数项不能和右端平衡,则应返回到y(t)的最高阶次项进行补 偿,但已平衡好的高阶次δ(t)函数项系数不变。
系统全响应 y(t) = yx (t) + yf (t)
yf’(0+) = 2+ yf’(0-) = 2 代入初始值求得: yf(t) = -7e-t+4e-2t+3, t>0
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析

第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
-14B1+2B2-6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与线性系统分析第2章

e t
cos t sin t
Pe t (不等于特征根) t (P t P )e (等于特征单根) 1 0
(Pr t r Pr 1t r 1 P0 )e t (等于r重特征根)
例:f1(t), f2(t)如图,求f1(t)* f2(t) 解: f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1) –2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1) 由于ε (t)* ε (t) = tε (t) 据时移特性,有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1) –2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分,简称卷积;记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意:积分是在虚设的变量τ下进行的,τ为积分变量, t为参变量。结果仍为t 的函数。
y zs (t )
f ( )h(t ) d f (t ) * ) d
▲ ■ 第 13 页
2 .任意信号作用下的零状态响应
f ( t) 根据h(t)的定义: δ(t)
LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
由时不变性:
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应

y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6,K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2,y'(0) = 1, 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2,B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念:
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t), 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析

MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析连续LTI系统的时域分析是信号与系统学中的重要课题。
MATLAB作为一种强大的科学计算软件,提供了丰富的工具和函数来进行信号与系统的分析。
下面将介绍MATLAB在连续LTI系统时域分析中的应用。
首先,我们需要了解连续LTI系统的基本概念。
一个连续域线性时不变系统(LTI系统)可以由它的冲激响应完全描述。
冲激响应是系统对单位冲激信号的响应。
在MATLAB中,可以使用impulse函数来生成单位冲激信号。
假设我们有一个连续LTI系统的冲激响应h(t),我们可以使用conv 函数来计算系统对任意输入信号x(t)的响应y(t)。
conv函数实现了卷积运算,可以将输入信号与冲激响应进行卷积运算得到输出信号。
例如,我们假设一个连续LTI系统的冲激响应为h(t) = exp(-t)u(t),其中u(t)是单位阶跃函数。
我们可以使用以下代码生成输入信号x(t)和计算输出信号y(t):```matlabt=-10:0.1:10;%时间范围x = sin(t); % 输入信号h = exp(-t).*heaviside(t); % 冲激响应y = conv(x, h, 'same'); % 计算输出信号```这段代码首先定义了时间范围t,然后定义了输入信号x(t)和冲激响应h(t)。
接下来,使用conv函数计算输入信号和冲激响应的卷积,设置参数’same’表示输出信号与输入信号长度相同。
最后,得到了输出信号y(t)。
在得到输出信号后,我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化结果。
例如,使用以下代码可以绘制输入信号和输出信号的图像:```matlabfigure;plot(t, x, 'b', 'LineWidth', 2); % 绘制输入信号hold on;plot(t, y, 'r', 'LineWidth', 2); % 绘制输出信号xlabel('时间');ylabel('幅度');legend('输入信号', '输出信号');```除了卷积运算外,MATLAB还提供了许多其他函数来进行连续LTI系统的时域分析。
信号与系统教案第2章

2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
许多实际的系统可以用线性系统来模拟。一个线性系 统其激励与响应之间的关系可以用下列形式的微分方 程来描述:
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
第2-7页
2.1 LTI连续系统的响应
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励 f(t)的函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应; 特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。 例1: 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求(1)当f(t) = 2e-t,t≥0;y(0)=2,y’(0)= -1时的全解;
et[C cos( t) D sin( t)], 或 A cos( t )
其中Ae j C jD
第2-6页
2.1 LTI连续系统的响应
表2- 不同激励所对应的特解
激励 f (t)
tm
e t
cos( t) 或 sin( t)
特解 yp (t) Pmt m Pm-1t m1 P1t P0 所有的特征根均不等于0;
第2-13页
2.1 LTI连续系统的响应
通常,对于具体的系统,初始状态一般容易求得。这样 为求解微分方程,就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法 求得y(j)(0+)。下列举例说明。
例2:描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题

1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零,仅由系统的
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性,即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t) h(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2,s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t),求 系统的完全响应y(t)。
[例2-4-3] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动
态方程 y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0+)=1, y ‘(0+)=2, 输入信号f (t)=et u(t), (1)求系统的零状态响应y(t) 。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告

实验三连续时间LTI系统的时域分析实验报告一、实验目的通过实验三的设计和实现,达到如下目的:1、了解连续时间LTI(线性时不变)系统的性质和概念;2、在时域内对连续时间LTI系统进行分析和研究;3、通过实验的设计和实现,了解连续时间LTI系统的传递函数、共轭-对称性质、单位冲激响应等重要性质。
二、实验原理在常见的线性连续时间系统中,我们知道采用差分方程的形式可以很好地表示出该系统的性质和特点。
但是,在本实验中,我们可以采用微分方程的形式来进行相关的研究。
设系统的输入为 x(t),输出为 y(t),系统的微分方程为:其中,a0、a1、…、an、b0、b1、…、bm为系统的系数,diff^n(x(t))和diff^m(y(t))分别是输入信号和输出信号对时间t的n阶和m阶导数,也可以记为x^(n)(t)和y^(m)(t)。
系统的单位冲激响应函数 h(t)=dy/dx| x(t)=δ(t),则有:其中,h^(i)(t)表示h(t)的第i阶导数定义系统的传递函数为:H(s)=Y(s)/X(s)在时域内,系统的输出y(t)可以表示为:其中,Laplace^-1[·]函数表示Laplace逆变换,即进行s域到t域的转化。
三、实验步骤1、在Simulink中,构建连续时间LTI系统模型,其中系统的微分方程为:y(t)=0.1*x(t)-y(t)+10*dx/dt2、对系统进行单位冲激响应测试,绘制出系统的单位冲激响应函数h(t);4、在S函数中实现系统单位冲激响应函数h(t)的微分方程,并使用ODE45框图绘制出系统单位冲激响应函数h(t)在t=0~10s之间的图像;6、利用数据记录栏,记录系统在不同的参数下的变化曲线、阶跃响应函数u(t)和单位冲激响应函数h(t)的变化规律。
四、实验数据分析1、单位冲激响应测试那么,当输入信号为单位冲激函数δ(t)时,根据系统的微分方程,可以得知输出信号的形式为:即单位冲激响应函数h(t)为一个包含了单位冲激函数δ(t)在内的导数项序列。
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析

MATLAB与信号实验-——-连续LTI系统的时域分析在信号处理中,MATLAB是一个强大的工具,它提供了许多功能,使我们能够模拟和分析各种信号系统。
对于连续LTI系统,时域分析是一个重要的方法,它允许我们直接观察系统的输入和输出信号之间的关系。
下面是一个关于连续LTI系统的时域分析的实验。
一、实验目的本实验的目的是验证连续LTI系统的时域响应,通过使用MATLAB模拟系统,我们可以观察到不同的输入信号产生的输出信号,从而了解系统的特性。
二、实验步骤1.定义系统:首先,我们需要定义我们的连续LTI系统。
这可以通过使用MATLAB中的lti函数来完成。
我们需要提供系统的传递函数,它描述了系统的输入和输出之间的关系。
2.设置输入信号:为了观察系统的行为,我们需要设置一个合适的输入信号。
在MATLAB中,我们可以使用square函数来生成一个方波信号,该信号具有固定的频率和幅度。
3.模拟系统:使用MATLAB的lsim函数,我们可以模拟我们的连续LTI系统。
这个函数将输入信号和系统的传递函数作为参数,然后计算出系统的输出信号。
4.分析结果:我们可以使用MATLAB的图形功能来观察输入和输出信号。
这可以帮助我们理解系统的行为,并验证我们的模型是否正确。
三、实验结果与分析在实验中,我们使用了不同的输入信号(如方波、正弦波等)来测试我们的连续LTI系统。
对于每种输入信号,我们都观察了系统的输出信号,并记录了结果。
通过对比不同的输入和输出信号,我们可以得出以下结论:1.对于方波输入,系统的输出信号是带有延迟的方波,这表明系统对突变信号的响应是瞬时的。
2.对于正弦波输入,系统的输出信号是与输入信号同频同相位的正弦波,这表明系统对正弦波的响应是具有稳定性的。
这些结果验证了连续LTI系统的基本特性:即对于单位阶跃函数(突变信号)的输入,系统的响应是瞬时的;而对于周期性输入(如正弦波),系统的响应具有稳定性。
这些结果与我们在理论上学到的知识相符,从而验证了我们的模型是正确的。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题

谢谢您的聆听
THANKS
优点
能够直接得到系统在任意 时刻的响应值。
缺点
计算量大,需要逐个时间 点进行计算。
拉普拉斯变换法
定义
拉普拉斯变换法是一种将时域函 数转换为复频域函数的数学工具。
01
描述ห้องสมุดไป่ตู้
02 通过拉普拉斯变换,将系统的微 分方程转化为代数方程,然后求 解得到系统在复频域的响应。
优点
能够方便地求解高阶微分方程, 适用于具有复杂特性的系统。 03
拉普拉斯变换法
能够求解系统的零状态响应,但需要 已知系统传递函数,且变换过程可能 较为复杂。
05
结论
总结
本文介绍了求解连续时间LTI系统响应的几种方法,包括时域法和频域法。 通过具体实例,展示了这些方法在求解系统响应中的应用和优势。
时域法通过建立和求解微分方程来获取系统输出,具有直观和物理意义 明确的优点。而频域法则通过分析系统函数的频域特性来求解响应,具
信号与系统连续时间LTI系统的 几种响应求解方法及例
CONTENTS
• 引言 • 几种响应求解方法 • 例题解析 • 方法比较与选择 • 结论
01
引言
背景介绍
01
信号与系统是电子工程和通信工 程的重要基础学科,主要研究信 号和系统在时域和频域的行为和 特性。
02
在信号与系统中,线性时不变 (LTI)系统是最基本、最重要的 系统之一,其响应求解是研究的重 要内容。
LTI系统的基本概念
LTI系统是指系统的输出仅与输入和系统 的状态有关,而与时间无关。
LTI系统具有线性、时不变和因果性等基 本特性。
连续时间系统的时域分析实验报告

实验二连续时间系统的时域分析一、实验目的通过使用MATLAB 软件对连续时间线性非时变系统的时域特性进行仿真分析,熟悉IT 系统在典型激励下的响应及特征,熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用,熟悉井掌握用MATLAB 函数求解冲激响应、阶跃响应、零输入响应、零状态响应及全响应的方法。
二、实验原理(一)连续时间系统的时域分析方法 连续时间线性非时变系统(LTI )的输入()t f 与输出()t y 可以用线性常系数微分方程来描述:()()()()()()()()()()t f b t f b t fb t y a t y a t y a t y a m m n n n n 0'10'111++=++++--如果已知系统的输入信号()t f 及系统的初始条件为()()()()()-----0,,0,0,01'''n y y y y ,就可以利用解析方法求出系统的响应。
线性系统的全响应由零输入响应分量和零状态响应分量组成。
零输入响应是指当输入为零时仅由t=0的初始条件产生的系统响应,零状态响应是当初始条件(在t=0)假定为零时仅由0≥t 时的输入产生的系统响应分量。
零输入响应(单极点时)为:()∑==+++=nk t k tn ttx k n e c ec ec ec t y 12121λλλλ f式中,n c c c 、、、 21为任意待定常数,由初始条件确定。
零状态响应为:()()()τττd t h f t y f -=⎰∞∞-此式是对任意输入()t f ,用单位冲激响应()t h 形式表示的零状态响应()t y f 的公式。
已知()t h 就可确定任意输入()t f 的零状态响应()t y f ,即系统对任意输入的响应都可以用单位冲激响应确定。
系统总响应为:()()()()()τττλd t h f ec t y t y t y tnj j f x j -+=+=⎰∑∞∞-=1对于高阶系统,手工计算非常繁琐。
MATLAB 3.连续时间LTI系统的时域分析

1
3.连续时间 LTI 系统的时域分析
作业题
2、某连续系统的输入为 e(t),输出为 y(t),系统的微分方程为:y ’’(t)+5y ’(6)+6y(t)=3f ’(t)+2f(t) 绘出该系统的单位冲激响应和单位阶跃响应时域图形 若f t = ������ −2������ ������(������),绘出系统的零状态响应时域图形
将激励信号和单位冲击响应进行卷积,由下图发现结果一致。
6
3.连续时间 LTI 系统的时域分析
作业题
4、如下图所示的电路中,已知 电压 y(t ) 作为系统输出:
R1 R2 R3 4() , L1 L2 1( H ) ,如果以电阻 R3 上
请画出系统的冲击响应 h(t) 请画出系统在激励e(������) = 12������(������)(v)作用下的零状态响应,要求写出系统微分方程的求 解步骤。 对所求结果进行验证。
零输入响应: eq1='D2y+4*Dy+4*y=0'; cond='Dy(-0.01)=1,y(-0.01)=1'; answer=dsolve(eq1,cond) answer = 103/(100*exp(1/50)*exp(2*t))+ (3*t)/(exp(1/50)*exp(2*t)) >> 全响应: eq1='D2y+4*Dy+4*y=Df+3*f'; eq2='f=exp(-t)*heaviside(t)'; cond='Dy(-0.01)=1,y(-0.01)=1'; answer=dsolve(eq1,eq2,cond); simplify(answer.y) ans = (3*t+2*exp(t+1/50)*heaviside(t)-2*exp(1/50)*heaviside(t)-t*exp(1/50)* heaviside(t) + 103/100)/exp(2*t + 1/50)
MATLAB仿真之连续时间LTI系统仿真和时域分析

r=conv(h,e);t=-10:l/a:10;PlOt(I.r);title('零状态响应r(t)'); xlabel('t');ylabel('r');零输入程序及仿真建模当UT系统的输入为零时,其零输入响应为微分方程的其次解(即令微分方程的等号右端为零),其形式为(设特征根均为单根)Mf)=GeR÷Ge网+••••+”'其中PbP2,,∙∙,Pn是特征方程alλn+a2λn-l+∙∙∙+anλ+an=O的根,它们可以用rool(八)语句求得。
各系数IIIy及其各阶导数的初始值来确定。
对此有G+G+•…+G=NOp l C l+p2C2+--+P ll C n=Dy0PFG+〃2”工+•…3Y写成矩阵形式为:PJC+IY1C J+∙∙∙+PJC=D"*PlPi - P nC*-∣C∣t-∣JU-IP∣Pi…P…V为范德蒙矩阵,在matlab的特殊矩阵库中有Vandero以下面式子为例:√(r)+5y(0+4y(r)=2∕(∕)-4∕(r)y(OJ=l,y(OJ=5:MAT1.AB程序:a=input(,输入分母系数a=[al,a2,...]=');n=length(八)-l;YO=inputC输入初始条件向量YO=[yO,DyO,D2yO,.p=roots(八);V=rot90(vander(p));c=V∖Y0';dt=inρut('dt=');te=inpιιt('te-);t=O:dt:te;y=zeros(1,length(t));fork=kny=y÷c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t,y);gridon:xlabel(,t');ylabel('y');litle('零输入响应');程序运行结果:用这个通用程序来解一个三阶系统,运行此程序并输入a=[l,5,4]Y0=[l,5]dt=O.Olte=6结果如下列图:依据图可以分析零输入响应,它的起始值与输入函数无关,只与它的初始状态值有关,其起始值等于y(0_)的值。
第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件

第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求:当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5:已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求:当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6:如图所示电路图,其中R=5,L=1H,
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0,电感电流
为i(t)为响应,求系统全响应。
+ uR(t) -
解:激励is(t),响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9:描述某线性时不变系统的微分方程为: y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入: f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t); (2)求系统的零输入响应yx(t); (3)全响应y(t)。
LTI系统的时域频率复频域分析

一、LTI系统时域分析
1. 用单位冲激响应和单位脉冲响应表示LTI系统
x ( t ) h ( t ) y(t)x(t)h(t)
x[n] h[n]
y[n]x[n]h[n]
3
2. 用微分和差分方程描述的因果LTI系统
一个LTI系统的数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常 系数差分方程来描述。分析这类系统,就是要求解线性常系数 微分方程或差分方程。 对于因果系统,当输入为0时,输出也为0。也就是说对于因 果LTI系统,其输出的初始状态为零,此时的输出常称为系统 的零状态响应。 系统分析时,往往不是通过微分/差分方程的时域求解,而是 通过频域或复频域分析来求解方程。但是对离散LTI系统,其 差分方程的时域递归解法在数字滤波器的设计中有非常重要的 应用。
4
4 4
4
4 4
依此 ,可 y [n 类 ]得 1 n 1 推 ,n 1 . 或者 y [n ] 1 写 n 1 u [n 成 1 ]
4
4
8
3. LTI系统的方框图表示
(1) 离散时间系统
一阶差分方程 : y [n ] a[n y 1 ]b[n x ]
2. 根据系统的描述,求出 H ( j )
3. Y (j)X (j)H (j)
4. y(t)F1[Y(j)]
16
从信号分解观点分析
若 x ( t) : e j t
则 y ( t) : h ( t) x ( t) h () e j ( t ) d h () e jd e j t H (j) e j t
x[n][n1] 1,n1,
对于因果y系 [n]统 0,n必 1. 有
0,n1
信号与系统实验五 连续线性时不变系统分析

信号与系统实验陈述课程名称:信号与系统实验实验项目名称:连续线性时不变系统分析专业班级:姓名:学号:完成时间:年月日一、实验目的1.掌握连续LTI系统的单位冲激响应、单位阶跃响应和任意激励对应响应的求解方法。
2.掌握连续LTI系统的频域分析方法。
3.掌握连续LTI系统的复频域分析方法。
4.掌握连续LTI系统的时域、频域和复频域分析方法的相互转换。
二、实验原理1.连续LTI系统的时域分析(1)连续线性时不变系统的描述设连续线性时不变系统的激励为,响应为,则描述系统的微分方程可暗示为为了在Matlab编程中调用有关函数,我们可以用向量和来暗示该系统,即这里要注意,向量和的元素排列是按微分方程的微分阶次降幂排列,缺项要用0补齐。
(2) 单位冲激响应单位冲激响应是指连续LTI系统在单位冲激信号激励下的零状态响应,因此满足线性常系数微分方程(5.1)及零初始状态,即,依照定义,它也可暗示为对于连续LTI系统,若其输入信号为,冲激响应为,则其零状态响应为可见,能够刻画和表征系统的固有特性,与何种激励无关。
一旦知道了系统的冲激响应,就可求得系统对任何输入信号所发生的零状态响应。
Matlab提供了专门用于求连续系统冲激响应的函数impulse(),该函数还能绘制其时域波形。
(3)单位阶跃响应单位阶跃响应是指连续LTI系统在单位阶跃信号激励下的零状态响应,它可以暗示为Matlab提供了专门用于求连续系统单位阶跃响应的函数step( ),该函数还能绘制其时域波形。
(4)任意激励下的零状态响应已经知道,连续LTI系统可用常系数线性微分方程(5.1)式来描述,Matlab提供的函数lsim( )能对上述微分方程描述的连续LTI系统的响应进行仿真,该函数不但能绘制指定时间范围内的系统响应波形图,而且还能求出系统响应的数值解。
其调用格式有lsim(b,a,x,t)y=lsim(b,a,x,t) :只求出系统的零状态响应的数值解,而不绘制响应曲线需要特别强调的是,Matlab总是把由分子和分母多项式暗示任何系统都当作是因果系统。
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一、课程设计题目:基于 MATLAB 的连续时间LTI 系统的时域分析二、基本要求:① 掌握连续时不变信号处理的基本概念、基本理论和基本方法; ② 学会 MATLAB 的使用,掌握 MATLAB 的程序设计方法; ③ 学会用 MATLAB 对信号进行分析和处理;④ 编程实现卷积积分或卷积和,零输入响应,零状态响应; ⑤ 撰写课程设计论文,用信号处理基本理论分析结果。
三、设计方法与步骤:一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: ①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积;⑤画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.1.连续时间系统的零输入响应描述n 阶线性时不变(LTI )连续系统的微分方程为:已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0),… y (n-1)(0), 求系统的零输入响应。
建模当LIT 系统的输入为零时,其零输入响应为微分方程的其次解(即令微分方程的等号右端为零),其形式为(设特征根均为单根)其中p 1,p 2,…,p n 是特征方程a 1λn+a 2λn-1+…+a n λ+a n =0的根,它们可以用root(a)语句求得。
各系数 由y 及其各阶导数的初始值来确定。
对此有………………………………………………………………………………………写成矩阵形式为: P 1n-1C 1+ P 2n-1C 2+…+ P n n-1C n =D n-1y 01121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dtdt dt dt dt -++-++⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅++1212()n p t p t p t n y t C e C e C e =++⋅⋅⋅⋅+120n C C C y ++⋅⋅⋅⋅+=11220n n p C p C p C Dy ++⋅⋅⋅⋅+=111111220n n n n n n p C p C p C D y----++⋅⋅⋅⋅+=1012201111120111n n n n n n n C y p p p C Dy p p p C D y ----⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 V •C=Y 0 其解为:C=V\Y 0 式中V 为范德蒙矩阵,在matlab 的特殊矩阵库中有vander 。
以下面式子为例:y(0_)=1,y(0_)=5;MATLAB 程序:a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]=');n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]='); p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0'; dt=input('dt=');te=input('te='); t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t)); for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t,y);gridxlabel('t') ;ylabel('y'); title('零输入响应');程序运行结果:用这个通用程序来解一个三阶系统,运行此程序并输入 a=[1,5,4] Y0=[1,5] dt=0.01 te=6结果如下图:根据图可以分析零输入响应,它的起始值与输入函数无关,只与它的初始状态值有关,其起始值等于y(0_)的值。
随着时间的推移,最后零输入响应的值无限的趋近于0。
1211112111n n n n n p p p V p p p ---⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦[]12n C C C C =⋅⋅⋅1000n C y Dy D y -⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦''''()5()4()2()4()y t y t y t f t f t ++=-0.20.40.60.811.21.41.61.8ty零输入响应2.卷积的计算连续时间信号1()f t 和2()f t 的卷积运算可用信号的分段求和来实现,即:1212120()()*()()()lim()()k f t f t f t f t f t d f k f t k ττ∞∞-∞∆→=-∞==-=∆-∆⋅∆∑⎰如果只求当tn (n 为整数)时f (t )的值f (n ) ,则上式可得:1212()()()()[()]k k f n f k f t k f k f n k ∞∞=-∞=-∞∆=∆-∆⋅∆=∆∆-∆∑∑式中的12()[()]k f k f n k ∞=-∞∆∆-∆∑实际上就是连续时间信号1()f t 和2()f t 经等时间间隔 均匀抽样的离散序列1()f k ∆和2()f k ∆的卷积和。
当足够小时,()f n ∆就是卷积积分的结果——连续时间信号f (t )的较好数值近似。
建模下面是利用MATLAB 实现连续信号卷积的通用程序conv(),该程序在计算出卷积积分的数值近似的同时,还绘制出f (t )的时域波形图。
应注意,程序中是如何设定f (t )的时间长度。
MATLAB 程序:f1=input('输入函数f1='); f2=input('输入函数f2='); dt=input('dt='); y=conv(f1,f2);plot(dt*([1:length(y)]-1),y);grid on; title('卷积');xlabel('t'); ylabel('f1*f2')程序运行结果: 输入以下数据:f1=sin(3*t) f2=cos(3*t+2) dt=0.01 得出图形如下:卷积tf 1*f 23.连续时间系统零状态响应的数值计算我们知道,LTI 连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述,()()0()()NMi j i j i j a yt b f t ===∑∑例如,对于以下方程:''''''''''''32103210()()()()()()()()a y t a y t a y t a y tb f t b f t b f t b f t +++=+++可用32103210[,,,],[,,,],a a a a a b b b b b ==输入函数()u f t =,得出它的冲击响应h ,再根据LTI 系统的零状态响应y (t )是激励u (t )与冲击响应h (t )的卷积积分。
注意,如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项,则其向量a 或b 中的对应元素应为零,不能省略不写,否则出错。
求函数的零状态响应及初始状态'(0)(0)0zs zs y y --==。
输入函数()sin(3*)cos(2*)f t t t =+。
建模先求出系统的冲击响应,写出其特征方程2540λλ++= 求出其特征根为p 和p ,及相应的留数r ,r ;则冲击响应为''''()5()4()2()4()y t y t y t f t f t ++=-1212()p t p th t r e r e =+ 输入y (t )可用输入u (t )与冲击响应h (t )的卷积求得。
MATLAB 程序:a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]='); b=input('输入输入信号系数b=[b1,b2,...]='); dt=input('dt=');te=input('te='); t=0:dt:te;u=input('输入函数u='); te=t(end);dt=te/(length(t)-1); [r,p,k]=residue(b,a);h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t); subplot(2,1,1),plot(t,h);grid title('冲击函数'); y=conv(u,h)*dt; subplot(2,1,2),plot(t,y(1:length(t)));grid title('零状态响应');程序运行结果执行这个程序,取a=[1,5,4] b=[2,4] dt=0.01 te=6sin(3*)cos(2*)u t t =+得出图形如下:由于初始状态为零,所以零状态的起始值也为零,即h (t )包含了连续系统的固有特性,与系统的输入无关。
只要知道了系统的冲激响应,即可求得系统在不同输入时产生的输出。
因此,求解系统的冲激响应h 对进行连续时间系统的分析具有非常重要的意义冲击函数零状态响应4.连续时间系统的全响应计算上面通过对LTI 系统函数的描述,我们可以得知:如果在系统的初始状态不为零,在激励f (t )的作用下,LTI 系统的响应称为全响应,它是零输入响应和零状态响应之和,即()()()zi zs y t y t y t =+故可先求出零输入响应和零状态响应,再把两者相加,得到全响应。
但简单的相加可能由于零输入与零状态的矩阵不同而不能的出正确的结果,这就需要对矩阵进行截取,使它们的阶数相同。
例如,对于以下方程:初始值为:y(0_)=1,y(0_)=5; 输入函数为:()sin(3*)cos(2*)f t t t =+求它的全响应。
建模先根据零输入响应的求法,得出零输入响应y1(t )。
再根据零状态响应的求法,得出零状态响应y2(t )。
最后,全响应y 等于零输入响应y1(t )加上零状态响应y2(t ),得出全响应。
MATLAB 程序:a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]='); n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]='); b=input('输入输入信号系数b=[b1,b2,...]='); u=input('输入函数u=');dt=input('dt=');te=input('te='); t=0:dt:te;p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0'; y1=zeros(1,length(t));for k=1:n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t);end te=t(end);dt=te/(length(t)-1); [r,p,k]=residue(b,a);h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t); y2=conv(u,h)*dt;y=y1(1:length(t))+y2(1:length(t)); figure(1);subplot(3,1,1),plot(t,y1),gridxlabel('t'); ylabel('y1');title('零输入响应'); subplot(3,1,2),plot(t,y2(1:length(t)));grid xlabel('t');ylabel('y2');title('零状态响应');''''()5()4()2()4()y t y t y t f t f t ++=-subplot(3,1,3),plot(t,y),gridxlabel('t'); ylabel('y');title('全响应响应');程序运行结果执行程序,取 a=[1,5,4] Y0=[1,5] b=[1,2,4] u=sin(3*t)+cos(2*t) dt=0.01 te=6结果如下图:在零输入响应中任一时刻取值y1,在零状态响应的对应时刻取值y2,再在全响应的对应时刻取值y 。